Why a wrist-sensing RFFE puts two couplers on a wireless-charging coil — four-port theory, directivity, the through-path measurement, and the limit directivity imposes
為什麼腕戴感測 RFFE 會在無線充電線圈上放兩個耦合器 — 四埠理論、方向性、傳輸路徑量測，以及方向性所施加的極限
手首センシング用 RFFE がワイヤレス充電コイルに結合器を 2 つ配置する理由 — 四端子理論、方向性、伝送経路の測定、そして方向性が課す限界
In the RF front-end (RFFE) block diagram, the transmit chain runs DAC → LPF → I/Q mixer → PA → BPF → coupler → coil, and the receive chain runs coil → coupler → BPF → LNA → I/Q mixer → LPF → ADC. Those are two different couplers, and they attach to two different terminals of the same coil. Reading the diagram as a single shared coupler is the first thing to get right.
The coil is not a purpose-built antenna. It is the smartwatch's Qi wireless-charging coil, and its two leads already run to the charger's rectifier. That connection has to survive untouched — the entire claim of the design is that standard wireless charging keeps working while the radar is sensing. So the radar cannot simply be wired to the coil: it has to be coupled onto a pair of leads it is not allowed to break.
That is the job of the two directional couplers. Each coupler's main (through) line is one leg of the coil↔rectifier charging path. The radar lives on the coupled line: coupler 1 injects the 4.7 GHz interrogating tone onto one leg, coupler 2 picks the returning signal off the other leg. At the Qi band of 110–205 kHz a coupler built for 4.7 GHz is electrically a piece of wire, so charging power passes through it with no meaningful loss.
Everything about this front end follows from one idea: the same physical component is asked to be two different things in two widely separated bands.
| Band | What the coupler is |
|---|---|
| Sensing 4.7 GHz |
A working directional coupler — defined coupling (3 dB if the part is a hybrid, 20 dB for a loose tap), port-to-port isolation, directivity. The band it was designed for. |
| Qi charging 110–205 kHz |
Effectively absent. The coupled section is electrically tiny at this frequency, so the device degenerates into a plain conductor and charging power flows as though the part were not fitted. |
Neither band is a compromise imposed on the other, and that is what makes the structural reuse honest rather than a hack. But note carefully: the split is a property of the coupler, not automatically of everything hung off it. The 50 Ω terminations must be made to respect the same division, and that turns out not to be free (§3.1).
The abstract states that charging “remains fully operational during radar sensing,” and in the frequency domain that is true. In the use domain it mostly does not arise: a watch sitting on a Qi pad is a watch that has been taken off the wrist, and there is then no wrist to sense. In practice the two functions are time-multiplexed, not concurrent.
This does not weaken the design — it relocates the benefit. What structural reuse actually buys is hardware economy: no second antenna, no extra board area, no extra BOM line, no extra aperture in the enclosure. It does not need to buy concurrency, and the claim is on firmer ground stated that way.
One consequence is easy to miss and matters a great deal: the 50 Ω terminations are passive and permanently connected. They have no idea whether the radar is running. Whatever they do to the charging path, they do it on every charge cycle, radar powered or not — which is why the DC block in §3.1 cannot be dodged by scheduling.
Label the ports 1–4 as in Figure 1. Two transmission lines run alongside each other over a region short enough to be treated as a single component but long enough for fields to leak between them. The device obeys one rule:
All four are dB numbers referred to the incident power at P1.
Typical values for a PCB or surface-mount coupler at UHF / low microwave: $C = 10$–$20$ dB, $D = 20$–$35$ dB, $L = 0.05$–$0.5$ dB.
Problem: A source delivers $+20$ dBm into port 1 of a $C = 20$ dB coupler with directivity $D = 25$ dB. Assume the coupler itself is lossless.
This is the generic four-port budget. Note that it does not map onto the RFFE front end in the obvious way: there the transmitter drives the coupled line, so the coil receives $P_{\text{TX}} - C$ rather than the through-port power. See §3.4 and Practice 3.
(a) The voltage coupling coefficient is $c = 10^{-C/20} = 10^{-1} = 0.1$, so a fraction $c^2 = 0.01$ of the power is tapped off:
$$L = -10\log_{10}(1-0.01) = 0.044\ \text{dB} \;\Rightarrow\; P_{\text{through}} = 20 - 0.044 \approx +19.96\ \text{dBm}$$Essentially all of it. A 20 dB coupler is almost invisible to the main path — which is exactly why one can be left permanently in-line across the wireless-charging path without disturbing it.
(b) $P_3 = 20 - C = 20 - 20 = \mathbf{0\ dBm}$. In the RFFE this is the number that matters most: with the PA on the coupled line, $0$ dBm is what actually reaches the coil.
(c) Isolation is $I = C + D = 20 + 25 = 45$ dB, so
$$P_4 = 20 - 45 = \mathbf{-25\ dBm}$$Sanity check: $-25$ dBm is 45 dB below the source but still a large signal for an LNA. Remember both numbers — Practice 3 chains two of these couplers together and shows what the pairing buys.
Bring two transmission lines close together and energy leaks across by two independent mechanisms at once. This is the physical heart of the device.
The balance condition is that both mechanisms scale the same way relative to the line impedance:
In a homogeneous medium (stripline, coax) this holds exactly and directivity can exceed 40 dB. In an inhomogeneous medium — ordinary microstrip, where the even and odd modes see different mixtures of substrate and air — the two modes travel at different velocities, the cancellation is imperfect, and directivity typically caps out near 15–25 dB.
For a quarter-wave coupled-line coupler in a $Z_0$ system with voltage coupling coefficient $c = 10^{-C/20}$, the two mode impedances follow directly:
These two numbers are then turned into a physical trace width $w$ and gap $s$ by a field solver or by closed-form microstrip formulas. Tighter coupling means a narrower gap, which is why couplers tighter than about 6 dB are hard to fabricate as a simple edge-coupled pair.
The coupled-port response of an ideal quarter-wave coupler is
Coupling peaks at $\theta = 90^\circ$ ($\ell = \lambda/4$) and falls off as $\sin\theta$ on either side, giving a broad response — roughly an octave for $\pm 1$ dB flatness. That is far wider than a ferrite circulator, and it is one of the practical reasons couplers dominate in instrumentation.
Problem: Design a 20 dB coupled-line coupler in a 50 Ω system at $f_0 = 1$ GHz on a board with $\varepsilon_{\text{eff}} = 3.0$. Find $Z_{0e}$, $Z_{0o}$, and the physical length.
Coupling coefficient: $c = 10^{-20/20} = 0.100$.
$$Z_{0e} = 50\sqrt{\frac{1.1}{0.9}} = 50(1.1055) = \mathbf{55.3\ \Omega}$$ $$Z_{0o} = 50\sqrt{\frac{0.9}{1.1}} = 50(0.9045) = \mathbf{45.2\ \Omega}$$Check: $\sqrt{55.3 \times 45.2} = 50.0\ \Omega$. Correct.
Length:
$$\lambda_g = \frac{c_0}{f\sqrt{\varepsilon_{\text{eff}}}} = \frac{3\times10^8}{10^9\sqrt{3}} = 173.2\ \text{mm} \;\Rightarrow\; \ell = \lambda_g/4 = \mathbf{43.3\ mm}$$Comment: Note how close $Z_{0e}$ and $Z_{0o}$ are — only 10 Ω apart. Loose coupling means a wide gap and a nearly uncoupled pair, which is easy to fabricate but leaves directivity vulnerable to small etch and dielectric variations. Also note the length: 43 mm at 1 GHz is already awkward on a wearable board, and at 100 MHz it would be 43 cm. See §5.1.
Both couplers in the RFFE figure are wired the same way: the main line carries the Qi charging path (coil↔rectifier), and the auxiliary (coupled) line carries the radar, with a 50 Ω termination at its far end. Only the direction of the wanted signal differs.
The role column is the key to reading the figure, and it is worth restating why: “coupled” and “isolated” are not fixed names for physical ports. They are roles assigned relative to whichever port is being driven, and they swap when the direction of travel reverses (§1.2). Coupler 1's roles below are given for the transmit drive entering its auxiliary line; coupler 2's for the signal arriving from the coil on its main line.
| Coupler | Port | Role | Connected to | Carries |
|---|---|---|---|---|
| 1 (TX inject) |
Aux line, PA end | driven | PA → BPF | Transmit drive, $+20$ dBm |
| Aux line, far end | through | 50 Ω to ground | Most of the TX power — deliberately dumped | |
| Main line, coil side | coupled | Coil terminal 1 | The injected fraction $P_{\text{TX}} - C$: the interrogating tone | |
| Main line, charger side | isolated | Rectifier | $\approx 0$ — which is exactly what keeps the transmitter out of the charger | |
| 2 (RX pick-off) |
Main line, coil side | driven | Coil terminal 2 | The tissue-modulated signal arriving from the coil |
| Main line, charger side | through | Rectifier | The charging path continues, undisturbed | |
| Aux line, LNA end | coupled | BPF → LNA → I/Q mixer → ADC | The measurement | |
| Aux line, far end | isolated | 50 Ω to ground | Absorbs whatever arrives from the charger side |
Read the two coupled rows together and the architecture falls out: coupler 1's coupled port feeds the coil, coupler 2's coupled port feeds the LNA. Note also that neither 50 Ω termination sits on a coupled port — one is a through port, which is why it burns most of the transmit power (§3.4), and the other is an isolated port. Confusing “the coupled line” (a physical line) with “the coupled port” (a role) is the single most common way to misread this figure.
Each coupler has exactly one grounded port, and it is not a decorative detail — it is a 50 Ω termination, not a short. An unused coupler port must be terminated in the system impedance. Leave it open or shorted and the wave that should have been absorbed is re-reflected into the coupled section, destroying directivity.
Note carefully that the two grounded ports play different roles. On coupler 1 it is the through port for the transmit drive — which is why most of the PA power is dissipated there (§3.4). On coupler 2 it is the isolated port for the wanted signal. Same symbol, opposite function: “grounded” and “isolated” are not synonyms, and which port is isolated still depends on which way the wave is travelling (§1.2).
The figure draws each termination as a plain resistor to ground. That is only true in the sensing band. Whether it is dangerous at Qi frequencies depends on how the coupler is physically realised (§5.1), and the schematic symbol is identical either way:
The second case is not a marginal loss. The Qi source impedance is low and it is a power source: at a 10 V coil node a 50 Ω shunt dissipates $V^2/R = 2$ W continuously, as heat, inside a wrist-worn enclosure. That is a thermal and safety failure long before it is an RF one, and the loading would also disturb Qi's own power-regulation loop.
The fix is a series high-pass element — in practice a DC-blocking capacitor — between the coupled port and the resistor, high impedance at 150 kHz and a near-short at 4.7 GHz:
| Series $C$ | $|X_C|$ at 150 kHz | Qi dissipation at 10 V | $|X_C|$ at 4.7 GHz | Termination RL |
|---|---|---|---|---|
| none | 0 | 2 W | 0 | perfect |
| 10 pF | 106 kΩ | 0.4 µW | 3.4 Ω | 29 dB |
| 100 pF | 10.6 kΩ | 44 µW | 0.34 Ω | 49 dB |
| 1 nF | 1.06 kΩ | 4.4 mW | 0.03 Ω | 69 dB |
Ideal-capacitor values — see the parasitic-inductance trap below.
The constraint that decides the value is the one from the callout above: the termination's own return loss must sit well below the coupler's directivity, or the termination becomes the limit instead. At $D = 25$ dB, 10 pF leaves only 4 dB of margin — not enough. 100 pF leaves 24 dB.
One more trap. Choose the part by its self-resonance, not its capacitance. A 100 pF 0402 carries perhaps 0.4 nH of parasitic inductance, putting its SRF near 2.5 GHz — at 4.7 GHz it is inductive, roughly $+j12\ \Omega$, which drags the termination return loss back down to about 19 dB and undoes the whole exercise. The clean answer is a small part in a small package, chosen so that it is series-resonant in the sensing band: with $\approx 0.25$ nH of package and pad inductance, $C \approx 1/(\omega_0^2 L) \approx 4.7$ pF resonates at 4.7 GHz, giving near-zero reactance there and still 226 kΩ at 150 kHz.
And it cannot be scheduled around. Since charging and sensing are time-multiplexed in practice (§1.1), it is tempting to argue the termination only matters while the radar runs. It does not work: the resistor is passive and permanently wired to the coupled port, so if the coupler has galvanic continuity the shunt is present during every charge cycle whether or not the radar is powered. Switching it out with an RF switch would buy insertion loss, nonlinearity and leakage at the most sensitive node in the system. A series capacitor costs one component and nothing else.
None of this is visible on the block diagram. It is unavoidable in implementation.
The coil is a two-terminal near-field structure, driven at one terminal and sensed at the other. Presenting the wrist changes its near-field environment: tissue permittivity and conductivity load the coil, shifting both its reactance and its loss. Because the transmitter and the receiver sit on different terminals, the front end reads this out not as a reflection but as a complex transmission:
Both factors are time-varying. Because $\varepsilon_c$ is complex, tissue motion moves the magnitude and the phase together (see the callout immediately below). The receiver nonetheless takes $\Delta\phi(t)$ as the signal — not because $|H(t)|$ stands still, but because the DSIL loop servos phase and because phase is immune to gain drift (§3.3). Amplitude modulation is present, and deliberately discarded; everything downstream treats $|H_0|$ as a constant.
The paragraph above says tissue shifts both the coil's reactance and its loss. Those are not two coincidental effects; they are one cause. Tissue is described by a single complex permittivity, which folds the conductivity in:
$$\varepsilon_c = \varepsilon' - j\varepsilon'' = \varepsilon_0\varepsilon_r - j\frac{\sigma}{\omega}$$At 4.7 GHz muscle has $\varepsilon_r \approx 50$ and $\sigma \approx 4$ S/m, so
$$\frac{\sigma}{\omega\varepsilon_0} = \frac{4}{2\pi(4.7\times10^{9})(8.854\times10^{-12})} = 15.3 \qquad\Longrightarrow\qquad \varepsilon_{c,r} \approx 50 - j\,15.3$$a loss tangent of $\tan\delta \approx 0.31$. Neither part is negligible — the imaginary part is about a third of the real part, which is why the common claim that reactance shifts “far more” than loss does not survive at this frequency (§3.3).
| Part | Physical action | Effect on the coil |
|---|---|---|
| $\varepsilon'$ (real) | Stores extra electric energy in the near field — more field lines terminate in a high-$\varepsilon_r$ medium | Raises effective capacitance → shifts reactance, pulls resonance down |
| $\varepsilon''$ (imaginary, $=\sigma/\omega$) | Conduction and dielectric-relaxation currents dissipate power as heat | Raises effective conductance → increases loss, lowers $Q$ |
In circuit terms the terminal impedance $Z = R + jX$ becomes $(R + \Delta R) + j(X + \Delta X)$: the tissue adds a $\Delta C$ and a $\Delta G$ at once, because it is one material with one $\varepsilon_c$. Perturbation theory states it in a single line — for a small material perturbation sitting in the field,
$$\frac{\Delta\omega}{\omega} \approx -\frac{\int_{\Delta V}\Delta\varepsilon\,|E|^{2}\,\mathrm{d}V}{2\int_{V}\varepsilon|E|^{2}\,\mathrm{d}V}$$If $\Delta\varepsilon$ is complex then $\Delta\omega$ is complex: its real part is the reactance and frequency shift, its imaginary part the change in $Q$, i.e. loss. One complex cause, one complex effect — they are inseparable by construction. This is the physical reason $H$ is a complex measurand, and therefore the reason the front end needs an I/Q receiver rather than a diode detector (§3.3): a scalar receiver discards half of what the tissue did.
Keep the causality straight. Permittivity is the coupling path, not the driver. Tissue properties do not change; what changes is the position of the tissue boundary inside the coil's near field as the skin displaces, altering the volume-weighted average $\varepsilon_c$ that the coil sees (§3.5). Displacement is the cause; complex permittivity is how it becomes an electrical signal. And because tissues differ sharply — fat is roughly $\varepsilon_r \approx 5$, $\sigma \approx 0.3$ S/m, while blood is near $\varepsilon_r \approx 55$, $\sigma \approx 5$ S/m — which tissue enters the sensed volume matters as much as how far it moves.
The paper's own figure of merit confirms the reading: the coil interface is characterised by an insertion loss — $\lt 7$ dB measured at 4.7 GHz — not a return loss. A structure designed for 110–205 kHz magnetic coupling turns out to have a usable microwave passband between its two leads, and that passband is what the radar rides on.
The coil's measured S-parameters remove any remaining doubt about which quantity this front end reads. The measurement is a two-port one — $S_{11}$, $S_{22}$ and $S_{21}$. You do not measure $S_{22}$ and $S_{21}$ on a one-port reflectometer target; their existence alone rules out the single-coupler reading, before any of the values are examined.
| At 4.7 GHz | Measured | Linear | What it is |
|---|---|---|---|
| $|S_{21}|$ | $-6.86$ dB | 0.454 | $|H_0|$ — the operating point used throughout §4 |
| $|S_{11}|$ | $-18.99$ dB | 0.112 | Match looking into coil terminal 1 |
| $|S_{22}|$ | $-21.08$ dB | 0.088 | Match looking into coil terminal 2 |
Note that $|H_0| = 0.454$ is the number Figure 4 and Practices 3 and 4 were built on, and $6.86$ dB is the insertion loss they assume as 7 dB. The budget in §4 rests on a measured value, not an estimate.
Why 4.7 GHz. Across 1–4 GHz the coil's return loss is only 2–5 dB ($|\Gamma| \approx 0.6$–$0.8$, badly mismatched) and $|S_{21}|$ sits down at $-20$ to $-30$ dB — the structure blocks, as a part built for 200 kHz should. Both terminals then dip sharply into a matched resonance at 4.7 GHz, and $|S_{21}|$ peaks in the same place. The operating frequency was therefore not chosen for propagation or tissue reasons at all: it is the one frequency at which a coil designed for 110–205 kHz happens to look like 50 Ω at both leads simultaneously. That is opportunism, well executed — and it is the passband the radar rides on.
An argument for the topology that the curve shapes give away. The $S_{11}$ null is sharp, a few hundred MHz wide. The $S_{21}$ peak is broad — still around $-8$ dB some 600 MHz either side of centre. A reflection-based sensor would have to sit on the steep flank of a narrow null, where any coil detuning (strap tension, temperature, tissue loading) swings the reading hard. The through-path measurement sits on a broad, flat maximum instead, and is therefore inherently more tolerant of detuning than the reflectometer it is so often mistaken for. That robustness is a genuine advantage of the two-coupler topology, and it is why the coil-detuning row in §4.3 is a milder problem here than it would be otherwise.
What it does not tell you. This is the coil alone on a VNA, in free space, with no wrist present. It contains no couplers, no rectifier and no PCB, so it measures none of the three error terms of §4.1. In particular $|\Gamma_r|$ for the rectifier remains an assumption and board crosstalk $X$ remains unmeasured — those are the two numbers that would turn §4's error budget from illustrative into real.
Sign convention: the measured plots show $|S|$ in dB and are therefore negative. This guide treats return loss and insertion loss as positive quantities. Same numbers, opposite sign.
Where directivity does its work here. In a classical reflectometer, directivity decides how cleanly the reverse wave is separated from the forward wave on one line. In this topology it does a different job with the same mechanism: coupler 2 must hand the LNA what arrived from the coil, and reject what arrived from the rectifier. The two are counter-propagating on the same main line, which is exactly the discrimination a directional coupler provides.
The tip above is easy to nod at and hard to act on, so here is the consequence in numbers. Take coupler 1 with $C = 20$ dB, $D = 25$ dB, $P_{\text{TX}} = +20$ dBm and the coil's measured 6.86 dB insertion loss. Everything turns on which main-line port the coil is attached to:
| Coil on the coupled port — intended | Coil on the isolated port — reversed | |
|---|---|---|
| Power reaching the coil | $20 - C = \mathbf{0}$ dBm | $20 - (C+D) = \mathbf{-25}$ dBm |
| Power reaching the rectifier | $-25$ dBm | $0$ dBm |
| At the LNA, after the coil and coupler 2 | $-27$ dBm | $-52$ dBm |
The reversed column costs 25 dB of link budget and at the same time drives the full coupled sample straight into the charger's rectifier — the exact opposite of the isolation claimed in §3.4. Practice 3's entire budget rests on the left-hand column.
Why this is such a nasty failure mode. It does not look like a failure. A reversed coupler still delivers a signal to the LNA, still follows respiration and pulse, and still produces plausible waveforms — merely 25 dB weaker, and therefore sitting far closer to the error floor of §4.1. On the bench you would see a working-but-weak system and most likely blame the coil, the coupling factor or the LNA. Nothing in the symptom points at the coupler.
The block diagram cannot settle it for you. A box with an X is a generic coupler glyph carrying no directional information, and the arrowheads in the paper's Fig. 1(b) are not self-consistent either — the one on coupler 1's rectifier-side port matches neither the radar flow nor the Qi charging flow. Only two things resolve the question: the part's datasheet port table, and the board itself.
Notice in the RFFE diagram that the splitter feeds the same signal generator (SG) tone to both the transmit and receive I/Q mixers. This is not incidental. It makes the receiver phase-coherent with the transmitter, so the baseband outputs are
What $K$ is. It is the lumped, real gain of everything between the coil's terminals and the ADC counts — the transmit drive amplitude, both coupling factors $c_1$ and $c_2$, the BPF insertion losses, LNA gain, mixer conversion gain, baseband gain, and the converter's counts-per-volt. The two couplings alone account for the 40 dB between the coil's own $S_{21}$ ($-6.86$ dB) and the PA-port-to-LNA-port transmission ($-47$ dB, Practice 4). Because $H$ is dimensionless, $K$ carries all the units.
Note that $K$ is a magnitude only. The chain also imposes a phase shift — cable and filter group delay, mixer phase — but that shift is indistinguishable from the coil's own, so it is absorbed into $\phi_0$, not into $K$. This is exactly why absolute phase carries no information in this system and only $\Delta\phi$ does: $\phi_0$ is an inseparable mixture of the coil and the entire electronics chain, and no single measurement can pull them apart.
You never need to measure $K$. It divides out of the normalisation in §4.2, and again out of $Q'/I'$ below, so no absolute gain calibration is required anywhere in the system. It matters in just two places: it sets where the static carrier sits inside the ADC's range (the dynamic-range point further down), and it drifts with temperature, supply and AGC — one more reason the architecture reads phase rather than amplitude.
The pair $(I, Q)$ is the complex number $K\!\cdot\!H$ written in Cartesian form: amplitude $\sqrt{I^2+Q^2}/K = |H|$, phase $\operatorname{atan2}(Q,I) = \phi$. Nothing is inferred and nothing is lost. But the wrist does not move $|H|$ and $\phi$ independently — it perturbs an operating point:
The factor $j$ carries the whole argument: the signal is perpendicular to the carrier in the I/Q plane. The measured point sits at radius $K|H_0|$ and angle $\phi_0$, and micro-motion makes it travel along a short arc rather than in and out. De-rotating the frame by $-\phi_0$, so that $H_0$ lies on the real axis, separates the two cleanly:
Nothing is gained or lost — it is a lossless change of basis. What changes is which axis carries what. Expand the raw pair for small $\Delta\phi$ and the trouble with the unprimed frame becomes visible:
Both channels carry a static term and a signal term, and how the signal divides between them is set by $\phi_0$ — which is arbitrary, being a mixture of coil and chain. At $\phi_0 = 45^\circ$ each channel carries half the signal; at $\phi_0 = 0$ all of it sits in $Q$. Neither channel alone is usable, and the split moves as $\phi_0$ drifts.
| $I,\ Q$ | $I',\ Q'$ | |
|---|---|---|
| Reference axis | the receiver's arbitrary axis | aligned with the static vector $H_0$ |
| Static carrier | split across both | entirely in $I'$ |
| Signal $\Delta\phi$ | split across both | entirely in $Q'$ |
| Recovering $\Delta\phi$ | $\operatorname{atan2}(Q,I) - \phi_0$ | simply $Q'/I'$ |
| Depends on $\phi_0$? | yes, strongly | no — absorbed by the rotation |
The operation itself is a plain 2×2 rotation by $-\phi_0$, done numerically:
The primed names are the physically meaningful ones: $I'$ is in phase with the carrier and $Q'$ is in quadrature to it — which is exactly what the $j$ in $H_0(1 + j\Delta\phi)$ asserts. One practical catch: the rotation needs $\phi_0$, taken from the baseline or no-wrist reference. In this architecture the DLL's parking position $D_0$ already encodes it, which is why the servo and the de-rotation are two views of the same alignment.
Two consequences, both of which matter later. First, that ratio cancels $K$ and $|H_0|$, so a phase reading obtained this way is immune to amplifier gain drift and AGC action — which is the honest reason this architecture reads phase rather than amplitude. Second, $\Delta\phi$ is precisely the quantity that maps to physical displacement through the interface's transduction constant, and therefore to the 70 µm floor measured in §3.5.
Compare the two terms. For $\Delta\phi$ of order a degree, $Q'$ is about 1 % of $I'$ — a small wiggle riding on a carrier a hundred times larger, with the error vector $\varepsilon$ sitting between them (up to 40 % of $|H_0|$ in the integrated regime, §4.1). That is why Fig. 1(a) places a VA + VPS clutter canceller and an I/Q DC-offset calibration ahead of the detector.
Note carefully where in the chain this happens: the ADC digitises the raw I/Q from the RFFE with the static carrier still present, and the image and clutter cancellers are digital blocks inside the FPGA, downstream of the converter. So the static $H_0$ is not removed before digitisation — it consumes ADC dynamic range. With the signal at roughly 1 % of the carrier, about 7 bits are spent representing the carrier, leaving the rest for the signal; a 14-bit converter still has around 7 bits of headroom, which is presumably why the architecture is viable in this form. The delay-locked loop then holds $\phi$ near its set-point, keeping $|\Delta\phi| \ll 1$ true so the linearisation above stays valid.
The de-rotation above gives $\Delta\phi \approx Q'/I'$, which is the right way to understand why phase is recoverable and why it is immune to gain drift. But it is not the signal path the hardware uses. In Fig. 1(a) the cancelled samples drive a comparator into the TDL, and the DLL — frequency detector → PI controller → TDL — adjusts the delay line to hold the SILO's injection phase at its set-point.
Written out, the total phase accumulated around that loop is
$$\theta_{\text{loop}} = \phi_0 + \Delta\phi(t) + \phi_{\text{TDL}}(D)$$with only three terms, because $\phi_0$ as defined above already carries the fixed electronics phase along with the coil's — that was the point of the $K$ discussion. There is no separate “remaining loop phase” left to write down. The loop drives $D$ until $\theta_{\text{loop}}$ reaches its set-point $\theta_{\text{set}}$, so
$$\phi_{\text{TDL}}(D) = \theta_{\text{set}} - \phi_0 - \Delta\phi(t)$$which splits cleanly in two. The static part $D_0$ absorbs $\theta_{\text{set}} - \phi_0$ — that is where $\phi_0$ goes — while the dynamic part $\Delta D(t) \propto -\Delta\phi(t)$ is the signal. The delay line parks wherever it must in order to swallow the static loop phase, and its deviations from that parking position are the measurement.
The readouts are therefore the loop's own state: Doppler phase is the TDL control word ($D$ in the figure) and Doppler amplitude comes from the amplitude detector ($A$). The control effort is the measurement — a servo readout. So $Q'/I'$ is the discriminator characteristic the loop operates on, and the loop linearises around that slope; it is not the number the FPGA reports.
Do not confuse this with the clutter canceller. The two mechanisms dispose of different things:
| Mechanism | What it disposes of |
|---|---|
| TDL + DLL | the static phase $\phi_0$ — absorbed into $D_0$, with the deviations becoming the signal |
| Clutter canceller (VA + VPS) | the static vector magnitude — the I/Q DC offset that would otherwise eat the ADC's range |
The VPS does need the correct angle to build its cancelling replica, so $\phi_0$ appears as a parameter of clutter cancellation — but it is the delay line, not the phase shifter, that actually disposes of it.
Two consequences follow. First, this is why the “D” in DSIL exists: a plain SIL radar's sensitivity varies sinusoidally with injection phase and collapses at null points, so absorbing $\phi_0$ into a tunable delay and holding the loop at an optimal set-point is the fix the architecture is named for. Second, it explains the irrecoverability — $\phi_0$ ends up buried in $D_0$ alongside $\theta_{\text{set}}$, so no measurement pulls it back out. That is the same conclusion reached above from the $K$ and chain-phase side: two routes, one answer.
The sources do not publish a value. Thesis [2] states only that the digital delay line compensates the injection phase in real time so as to keep it at the “optimal sensing point”. No angle is given, and the thesis contains no $\theta$, no $\pi$ and no discussion of in-phase versus anti-phase operation.
It is tempting to import $\theta_{\text{set}} = \pi$ from the companion ultrasonic work, where anti-phase operation is chosen because at $A_{\text{inj}} = 0.5$ the plant gain is maximally flat there — its first three derivatives vanish, giving the most linear operating point, and the accompanying negative gain conveniently makes the PI loop negative-feedback. That reasoning belongs to that paper's plant. Carrying it across to the 4.7 GHz wrist system would be an assumption, not a finding, so this guide leaves $\theta_{\text{set}}$ symbolic.
Do not confuse it with the other 180° in this system. Thesis [2] §2 does specify a 180°, but it belongs to the clutter canceller: a variable-gain amplifier and a register-based variable phase shifter trim a transmit replica to equal amplitude and 180° phase difference, and an adder sums the two so the clutter subtracts. That is the phasor cancellation described above — VGA sets the magnitude, VPS sets the angle — and it has nothing to do with the injection set-point. (The thesis says VGA where the URSI figure labels it VA.)
A diode detector on coupler 2's coupled port would give you only $|H|$ — a scalar measurement. Adding a phase-locked I/Q downconverter gives you $|H|$ and $\phi$: a vector gain-phase measurement of the coil interface, on a wearable board. Phase is where the information lives — though not for the reason usually given. At 4.7 GHz muscle has $\varepsilon_r \approx 50$ and $\sigma \approx 4$ S/m, a loss tangent near 0.3, so tissue is not a low-loss perturbation and the reactive part does not obviously dominate the resistive one. The real reasons are architectural: phase is what the DSIL loop natively servos, and phase is immune to the amplifier gain drift and AGC action that corrupt an amplitude reading.
Phase is also not optional downstream. The DSIL processor in Fig. 1(a) stabilises the injection phase of the self-injection-locked oscillator through a delay-locked loop — and injection phase only exists as an observable if the receiver is coherent with the transmitter. A scalar front end would leave the DLL nothing to lock to.
Three practical consequences of this topology, the third of which is easy to miss:
Problem: Both couplers have $C = 20$ dB and $D = 25$ dB. The PA delivers $+20$ dBm. The coil interface has 7 dB insertion loss at 4.7 GHz (the paper's measured figure), and the rectifier network passes 6 dB between the two charging legs at that frequency.
(a) Follow the signal one coupling at a time. The drive enters coupler 1's coupled line, so the coil sees $P_{\text{TX}} - C$; it crosses the coil interface losing $IL$; coupler 2 then taps it, losing another $C$:
$$P_{\text{RX}} = P_{\text{TX}} - C_1 - IL - C_2 = 20 - 20 - 7 - 20 = \mathbf{-27\ dBm}$$(b) Each coupler's isolation is $I = C + D = 20 + 25 = 45$ dB. The transmitter must leak into coupler 1's isolated (charger-side) port, cross the rectifier network, then leak into coupler 2's isolated port:
$$P_{\text{leak}} = 20 - 45 - 6 - 45 = \mathbf{-76\ dBm}$$(c) The margin is $-27 - (-76) = \mathbf{49\ dB}$. Contrast this with a single-coupler reflectometer, where transmit leakage sits only a few dB below the entire sensing signal: splitting TX and RX across two couplers on two coil terminals buys roughly two full directivities of isolation. That is the strongest argument for the topology.
But $-76$ dBm is not the number that limits the system. Three effects dominate it:
Sanity check: $-27$ dBm at the LNA input is a comfortable level — far below the $P_{1\text{dB}}$ of any sensible LNA, so no compression, and far above the thermal noise floor of a Low-IF channel. The design problem here is dynamic range against a large static carrier, not sensitivity against thermal noise.
Everything so far has treated $H$ as a black box that the wrist somehow moves. It is worth saying plainly what moves it, because the answer is less exotic than “tissue dielectric loading” suggests and it changes how the sensitivity numbers should be read.
| Configuration | Standoff | Minimum detectable displacement |
|---|---|---|
| Free-space antennas (the Ch. 2 radar) | 1.5 m | 20.7 µm |
| Watch charging coil | 1 mm | 70 µm |
| Strap-mounted SRR | 1 mm | 60 µm |
So the coil interface resolves about 70 µm of boundary motion. The thesis notes this is close to — not comfortably below — the skin displacement a wrist pulse produces. That single fact explains a great deal downstream, including why the pulse path needs EEMD while the respiration path does not.
Two quite different mechanical routes deliver vital signs to a sensor strapped to the wrist:
The wrist thesis compares both interfaces at both placements. Mean error, lower is better:
| Interface | Placement | Respiration | Pulse |
|---|---|---|---|
| Watch charging coil | volar (palmar side of the wrist) | 8.90 % | 3.53 % |
| dorsal (back of the wrist) | 6.71 % | 3.02 % | |
| Strap-mounted SRR | volar | 7.70 % | 3.47 % |
| dorsal | 4.81 % | 2.67 % |
Two clean trends. Dorsal beats volar in all four comparisons, attributed to proximity to major vessels plus better fascial coupling. And the SRR beats the coil everywhere, attributed to its higher $Q$ and tighter field localisation — consistent with its 60 µm versus 70 µm on the bench. The charging coil, never designed for this job, nonetheless holds its own; that is the whole structural-reuse argument in one table.
The thesis data above make dorsal placement better on every metric. The URSI abstract states the opposite — RMSE of 2.08 breaths/min dorsal against 1.49 volar, and 3.8 beats/min dorsal against 3.14 volar, i.e. volar better.
The two are not directly comparable (percentage error against absolute RMSE, and different subject sets — the abstract cites 9 subjects), so the numbers need not match. But the ranking should not invert, and the thesis offers an anatomical mechanism for dorsal superiority that the abstract's conclusion contradicts. Whichever is right, the two documents should not be published saying opposite things about the same interface.
Sources: Hao-Cheng Wang, Delay- and Self-Injection-Locking Radar for Wrist-Based Vital Sign Monitoring, NSYSU MS thesis, Sept 2025 — §2.4.1, §3.2.1, §3.3 and Table 3.4; and Hsuan-Yung Chen, Design of Delay Line Chips and Split-Ring Resonators for Self-Injection-Locked Radar Applications, NSYSU MS thesis, Jan 2026.
In a one-port reflectometer the answer is directivity, and nothing else comes close. In the two-coupler through path of §3 the answer is not directivity — and working out why is the most useful thing this section has to offer.
The receiver cannot separate the wanted through-signal from anything else that lands in-band at the LNA. Everything else adds as a single complex error vector:
Three paths contribute. It pays to write each one relative to the wanted signal $P_{\text{RX}} = P_{\text{TX}} - C_1 - IL - C_2$ rather than in absolute dBm, because it is the ratio, not the level, that limits resolution.
| # | Error term | Path | Magnitude relative to $|H|$ | Value |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Board crosstalk | Coupler 1's coupled line straight across the PCB to coupler 2's coupled line — the couplers are not involved at all | $10^{-(X - C_1 - C_2 - IL)/20}$ | $-8$ dB at $X = 55$ dB |
| 2 | Rectifier mismatch | Wanted signal continues past coupler 2, reflects off the rectifier, re-enters coupler 2 travelling the other way | $|\Gamma_r|\cdot 10^{-D/20}$ | $-26$ dB at $|\Gamma_r| = 0.9$ |
| 3 | Charger-path leakage | Coupler 1 isolated port → rectifier network → coupler 2 isolated port | $10^{-(D_1 + D_2 + L_{\text{rect}} - IL)/20}$ | $-49$ dB |
All values are for $C_1 = C_2 = 20$ dB, $D_1 = D_2 = 25$ dB, $IL = 7$ dB, $L_{\text{rect}} = 6$ dB.
Because $\angle\varepsilon$ is unknown a priori, the true value lies on a circle of radius $|\varepsilon|$ about the measured point — the same geometry as the classical error circle, but now in the $H$ plane rather than the $\Gamma$ plane, and with a radius that is a large fraction of the signal itself:
The classical remedy is a one-port calibration: present three known standards — open, short, load — solve the three error terms of the one-port model, and invert. None of it transfers here, and the reason is structural rather than practical: there is no single port to present a standard to. The measurement spans two ports, and the thing between them — coil plus wrist — is precisely the unknown.
The honest two-port equivalent would be a full SOLT or TRL calibration, needing through, reflect and line standards presented at the coil terminals. On a sealed wearable, with the coil soldered into the charging circuitry, not one of those is presentable. What remains is the weakest tier of correction:
Once the static error is normalised away, only its motion matters. If each term drifts by a fraction $\eta$ of its own magnitude, the residual is $\eta|\varepsilon|$. For small phase modulation $H(t) = H_0 e^{j\Delta\phi} \approx H_0(1 + j\Delta\phi)$, so the signal component is $|H_0|\Delta\phi$, and the resolution limit follows immediately:
| Symbol | Meaning | Value used in §4 |
|---|---|---|
| $\Delta\phi_{\min}$ | Smallest resolvable phase change, in radians | the answer |
| $\varepsilon$ | The error vector — everything arriving in-band at the LNA that is not signal: crosstalk + rectifier mismatch + charger-path leakage (§4.1) | $0.401|H_0|$ integrated $0.051|H_0|$ connectorized |
| $\eta$ | The fraction of $\varepsilon$ that drifts between baseline and measurement — not $\varepsilon$ itself. The static part is already normalised away (§4.2) | 2 % assumed |
| $|H_0|$ | Magnitude of the operating point, set by the coil's insertion loss | 0.454 |
Look back at Figure 4. The operating point sits at radius $|H_0|$. After normalisation, the residual error is a small blob of size $\eta|\varepsilon|$ around it. The angle that blob subtends at the origin is simply
$$\text{angle} = \frac{\text{arc length}}{\text{radius}}$$and that is the whole formula. $\Delta\phi_{\min}$ comes out in radians because it is an arc-over-radius. The inset in Figure 4 draws exactly this situation: the drift circle, and $\Delta H$ having to reach past it before it can be seen.
Read as a design statement rather than an equation, it offers three levers — listed here in descending order of usefulness for this system:
| Source | Mechanism | Mitigation |
|---|---|---|
| Crosstalk vs temperature | $\varepsilon_r$ and copper resistivity shift the coupling between the two coupled lines — this moves term 1, the dominant term | Route the TX and RX coupled lines apart, ground fence between them, avoid shared return paths. This is the highest-leverage fix in the whole design. |
| Rectifier state | The charger's diodes present one impedance conducting and another blocking, so $\Gamma_r$ moves between charging and idle. But sensing does not run during charging (§1.1), so this shifts the baseline between sessions rather than corrupting one in flight | Re-baseline on donning — which a wearable must do anyway, since a fresh wrist and placement invalidate the old baseline regardless of the charger |
| Strap flex / coil mount | Moves the reference plane on both legs at once | Rigid mounting; keep both couplers equidistant from the coil |
| Coil detuning | Strap tension changes coil inductance independently of tissue — but the measured $S_{21}$ peak is broad (§3.2), so the through path shrugs this off far better than an $S_{11}$ reading would | Mechanical design; measure over frequency to separate tuning from loading |
| LO phase noise | Degrades the phase resolution of the I/Q readout | Shared SG for transmit and receive — see below |
It is tempting to treat rectifier state as this design's most awkward error source: charging begins, the diodes conduct, $\Gamma_r$ jumps, and term 2 of §4.1 moves discontinuously. The step is real. The opportunity for it to corrupt a measurement mostly is not — charging happens with the watch off the wrist, so nothing is in flight when the step occurs, and by the time sensing resumes the watch has been re-donned, which forces a fresh baseline for reasons that have nothing to do with the charger (§1.1).
What survives is a requirement on the algorithm, not on the RF design: re-baseline on donning, and never assume a baseline stored before a charge cycle is still valid after one. Note the contrast with §3.1's DC block, which time-multiplexing does not rescue — a passive resistor across the charging line does not care what the software is doing.
Problem: Both couplers have $C = 20$ dB and $D = 25$ dB. The coil interface has $IL = 7$ dB. The rectifier presents $|\Gamma_r| = 0.9$ at 4.7 GHz, and its network passes $L_{\text{rect}} = 6$ dB between the two charging legs. Board crosstalk between the two coupled lines is $X = 55$ dB.
(a) The wanted signal sits $C_1 + IL + C_2 = 20 + 7 + 20 = 47$ dB below the transmit drive. Referencing everything to that:
$$\text{crosstalk:}\quad 55 - 47 = 8\ \text{dB below} \;\Rightarrow\; -8\ \text{dB}$$ $$\text{rectifier:}\quad |\Gamma_r|10^{-D/20} = 0.9 \times 10^{-1.25} = 0.0506 \;\Rightarrow\; -25.9\ \text{dB}$$ $$\text{charger path:}\quad -(D_1 + D_2 + L_{\text{rect}} - IL) = -(25+25+6-7) = -49\ \text{dB}$$(b) In linear magnitude: $0.398$, $0.0506$, $0.00354$. The phases are unrelated, so combine in RSS:
$$|\varepsilon| = \sqrt{0.398^2 + 0.0506^2 + 0.00354^2} = 0.401\,|H_0|$$Roughly 40 % of the reading is error before any correction — and $0.398/0.401 = 99.3\%$ of that is term 1 alone. Worst case, with all three in phase, the sum is $0.452$.
(c) With $\eta = 0.02$:
$$\Delta\phi_{\min} \approx \eta\,\frac{|\varepsilon|}{|H_0|} = 0.02 \times 0.401 = 0.0080\ \text{rad} = \mathbf{0.46^\circ}$$Now raise both couplers to $D = 35$ dB. Term 2 falls to $-36$ dB and term 3 to $-69$ dB, so
$$|\varepsilon| = \sqrt{0.398^2 + 0.0160^2 + 0.000355^2} = 0.398\,|H_0|$$The floor improves from $0.401$ to $0.398$ — 0.07 dB. Ten decibels of extra directivity, bought at real cost in board area or insertion loss, changes the sensitivity of the instrument by nothing measurable.
What this means: two conclusions, and they are the point of the section. First, the entire sensitivity of this sensor rests on the thermal and mechanical stability of two copper traces — a layout property, not a component specification. Second, $0.46^\circ$ is the uncorrected floor; the DLL removes everything slower than its loop bandwidth, which is exactly what makes the 0.1–2 Hz vital-sign band usable despite a 40 % static error.
Sanity check: if term 1 dominates this badly, the first design review question is not “which coupler?” but “how far apart can the two coupled lines be routed, and can they be separated by a ground structure?”
Practice 4 assumed $X = 55$ dB, which is what two coupled lines a few millimetres apart on a shared PCB will give you. The photographed prototype is not built that way: it uses connectorized coupler modules joined by coax. Good connectors and semi-rigid jumpers isolate far better — 80 to 100 dB rather than 55. Take $X = 90$ dB and the budget rearranges completely:
| Error term | Integrated PCB $X = 55$ dB | Connectorized prototype $X \approx 90$ dB |
|---|---|---|
| 1 — board crosstalk | $-8$ dB | $-43$ dB |
| 2 — rectifier mismatch | $-26$ dB | $-26$ dB |
| 3 — charger path | $-49$ dB | $-49$ dB |
| $|\varepsilon|$ | $0.401\,|H_0|$ | $0.051\,|H_0|$ |
| $\Delta\phi_{\min}$ at $\eta = 2\%$ | $0.46^\circ$ | $\mathbf{0.059^\circ}$ |
The dominant term flips from crosstalk to rectifier mismatch, and the sensitivity floor improves by about 18 dB.
This inverts Practice 4's punchline. There, 10 dB of extra directivity moved the floor by 0.07 dB — nothing. That result holds only while crosstalk dominates. In the connectorized regime term 2 scales as $10^{-D/20}$, so the same $D = 25 \rightarrow 35$ dB takes $|\varepsilon|$ from $0.051$ to $0.0175$: about 9 dB of genuine improvement. Both statements are correct; they simply belong to different regimes, and neither is a property of the coupler alone.
The warning that matters for the roadmap. The paper's stated goal is ASIC integration and a fully wrist-worn build. Every step along that path moves the system from the right-hand column to the left: the couplers stop being connectorized modules and become traces on a shared substrate, and crosstalk returns as the wall. The prototype's measured sensitivity will therefore not predict the integrated version's — it will flatter it. Anyone porting this design to a single board should expect the floor to get worse for reasons that have nothing to do with the couplers they chose.
$X \approx 90$ dB is a typical figure for connectorized hardware, not a measurement. One number settles the whole budget: measure PA-port to LNA-port isolation with the coil disconnected.
Practice 2 exposed the problem: a quarter-wave coupled line is 43 mm at 1 GHz and 43 cm at 100 MHz. For a wrist-worn coil operating anywhere below roughly 1 GHz, the distributed structure is simply too big. Three realisations cover the range:
| Type | Frequency range | Typical directivity | Notes |
|---|---|---|---|
| Coupled-line (microstrip/stripline) | > 500 MHz | 15–25 dB microstrip, 35–45 dB stripline | Free — it is just copper. Size set by $\lambda/4$. |
| Transformer / lumped | 1 MHz – 3 GHz | 20–35 dB | Ferrite or air-core bifilar transformer in a small SMT package. The usual choice for HF/VHF coil systems. |
| Resistive bridge | DC – 6 GHz | 35–45 dB | Extremely broadband and very high directivity, but $\ge 6$ dB loss in both directions — a real noise-figure and TX-power penalty. |
All three can separate transmit from receive. The coupler wins here for specific reasons:
| Directional coupler | Circulator | T/R switch | |
|---|---|---|---|
| Simultaneous TX/RX | Yes | Yes | No — time-multiplexed |
| Bandwidth | Wide (octave+) | Narrow (ferrite resonance) | Wide |
| Size / cost at < 1 GHz | Small (transformer) | Large, expensive, magnetic | Small |
| TX→RX rejection | $C + D$, e.g. 45 dB | Isolation ~20 dB | Very high when off |
| Loss in main path | < 0.1 dB | 0.3–0.5 dB | 0.5–1.5 dB |
| Phase stability | Excellent (passive, planar) | Temperature-sensitive ferrite | Switching transients |
For a continuous-wave coherent front end that must hold phase to a fraction of a degree, the coupler's combination of low loss, wide bandwidth, small size and thermal stability is decisive. A switch cannot transmit and receive at once, and a circulator at these frequencies would dominate the board area and drift with temperature.
More signal at the receive port, better SNR at the ADC. But higher insertion loss on the main path (0.46 dB at 10 dB coupling), and more absolute transmitter leakage for the same directivity.
Nearly invisible to the transmit path and less absolute leakage, but the receive chain must supply more gain, so LNA noise figure becomes the limiting factor instead.
Always good, never free. Costs board area (stripline, compensation structures) or insertion loss (resistive bridge). Beyond ~30 dB, calibration is cheaper than hardware.
Put the coupler as close to the coil as the layout allows. Every millimetre of line between coupler and coil is reference-plane error that drifts with temperature and flex.
| Quantity | Formula | Comment |
|---|---|---|
| Coupling | $C = -20\log_{10}|S_{31}|$ | Size of the tap |
| Isolation | $I = -20\log_{10}|S_{41}| = C + D$ | Total TX→RX rejection |
| Directivity | $D = I - C$ | The figure of merit |
| Insertion loss | $L = -10\log_{10}(1 - 10^{-C/10})$ | 0.044 dB for $C=20$ dB |
| Voltage coupling | $c = 10^{-C/20}$ | Linear amplitude ratio |
| Even/odd impedances | $Z_{0e,0o} = Z_0\sqrt{(1\pm c)/(1\mp c)}$ | $Z_0 = \sqrt{Z_{0e}Z_{0o}}$ |
| Coupled length | $\ell = \lambda_g/4$, $\lambda_g = c_0/(f\sqrt{\varepsilon_{\text{eff}}})$ | Sets $f_0$ |
| Coil transmission | $H = b/a \approx S_{21}^{\text{coil}}$ | The measurand in this RFFE |
| Reflection coefficient | $\Gamma = (Z_L - Z_0)/(Z_L + Z_0)$ | The measurand in a one-port reflectometer — shown for contrast |
| Through-path budget | $P_{\text{RX}} = P_{\text{TX}} - C_1 - IL - C_2$ | Two couplers in cascade |
| Crosstalk error term | $10^{-(X - C_1 - C_2 - IL)/20}$ | Dominant — relative to $|H|$ |
| Cascaded leakage | $10^{-(D_1 + D_2 + L_{\text{rect}} - IL)/20}$ | Two directivities add |
| Resolvable phase | $\Delta\phi_{\min} \approx \eta|\varepsilon|/|H_0|$ | $\eta$ = fractional drift of $\varepsilon$ |
| I/Q recovery | $H = (I + jQ)/K$ | Requires coherent LO |
1. The couplers exist so the radar can tap a wireless-charging line it is not allowed to break, sorting waves according to which way they travel.
2. It works because capacitive and inductive coupling cancel at the isolated port; how well they cancel is the directivity.
3. Cascading two couplers makes directivity stop being the limit; what then sets the floor is board crosstalk between the two coupled lines — and how much it drifts.
在射頻前端（RFFE）方塊圖中，發射鏈為 DAC → LPF → I/Q 混頻器 → PA → BPF → 耦合器 → 線圈， 接收鏈為 線圈 → 耦合器 → BPF → LNA → I/Q 混頻器 → LPF → ADC。 這是兩個不同的耦合器，而且它們接在同一個線圈的兩個不同端點上。 把圖看成共用一個耦合器，是第一個必須避免的誤讀。
這個線圈並非專門設計的天線，而是智慧手錶的 Qi 無線充電線圈，其兩條引線本來就接到 充電器的整流器。這條連線必須原封不動 — 整個設計的主張就是：雷達在感測的同時，標準無線充電仍 正常運作。因此雷達不能直接接到線圈上，而必須耦合到一對它不被允許切斷的引線上。
這正是兩個定向耦合器的任務。每個耦合器的主線（直通線）就是線圈↔整流器充電路徑的一條腿。 雷達活在耦合線上：耦合器 1 把 4.7 GHz 的詢問訊號注入其中一條腿，耦合器 2 從另一條腿取出返回的訊號。 在 110–205 kHz 的 Qi 頻段，一個為 4.7 GHz 設計的耦合器在電氣上就只是一段導線，因此充電功率 通過時沒有任何有意義的損耗。
這個前端的一切，都源自同一個想法：同一顆實體元件，被要求在兩個相距極遠的頻段裡扮演兩種不同的角色。
| 頻段 | 耦合器是什麼 |
|---|---|
| 感測頻率 4.7 GHz |
一顆正常運作的定向耦合器 — 具有明確的耦合度（若元件是 hybrid 則為 3 dB 分光，鬆耦合取樣則為 20 dB）、埠對埠隔離、方向性。這是它被設計的頻段。 |
| Qi 充電頻率 110–205 kHz |
實質上「消失」。耦合區段在此頻率下電氣尺寸極小，元件因而退化成一段普通導線， 充電功率就像沒裝這顆元件一樣流過去。 |
兩個頻段都不是對另一方妥協的結果，這正是「結構再利用」之所以是誠實的設計、而不是硬湊的原因。 但請特別注意：這個分工是耦合器本身的性質，並不會自動適用於掛在它身上的每一個元件。 50 Ω 終端必須被刻意做成也遵守同樣的分工，而這件事並不是免費的（§3.1）。
論文摘要說充電「在雷達感測期間仍完全正常運作」，就頻域而言這是對的。但就使用情境 而言，這件事多半不會發生：手錶放在 Qi 充電座上，就代表它已經從手腕上取下，此時根本沒有手腕可量。 實務上這兩個功能是分時多工，不是並行。
這並不會削弱這個設計 — 它只是把好處換了位置。結構再利用真正買到的是硬體經濟性： 不需要第二根天線、不需要額外板面積、不需要多一項 BOM、外殼上也不必多開一個孔。它並不需要買到 「並行運作」，而這樣陳述反而站得更穩。
有一個後果很容易被忽略，而且相當要緊：50 Ω 終端是被動且永久連接的。它們並不知道 雷達有沒有在跑。它們對充電路徑做的任何事，在每一次充電循環都會發生，不論雷達有沒有通電 — 這正是為什麼 §3.1 的隔直元件無法靠排程來迴避。
依圖 1 將四個埠標為 1–4。兩條傳輸線並行一段距離，這段長度短到可視為單一元件，卻又長到足以 讓場在兩者之間洩漏。此元件遵守一條規則：
四者皆為相對於 P1 入射功率的 dB 值。
PCB 或表面黏著式耦合器在 UHF／低微波頻段的典型值：$C = 10$–$20$ dB、 $D = 20$–$35$ dB、$L = 0.05$–$0.5$ dB。
題目：一訊號源送出 $+20$ dBm 進入一個 $C = 20$ dB、方向性 $D = 25$ dB 的耦合器 埠 1。假設耦合器本身無損。
這是通用的四埠預算。注意它並不以直觀的方式對應到 RFFE 前端：在那裡發射機驅動的是 耦合線，因此線圈收到的是 $P_{\text{TX}} - C$，而不是直通埠的功率。見 §3.4 與練習 3。
(a) 電壓耦合係數為 $c = 10^{-C/20} = 10^{-1} = 0.1$，故被取走的功率比例為 $c^2 = 0.01$：
$$L = -10\log_{10}(1-0.01) = 0.044\ \text{dB} \;\Rightarrow\; P_{\text{through}} = 20 - 0.044 \approx +19.96\ \text{dBm}$$幾乎全數通過。20 dB 耦合器對主路徑而言近乎隱形 — 這正是為什麼可以把它長期串在無線充電 路徑上而不干擾充電。
(b) $P_3 = 20 - C = 20 - 20 = \mathbf{0\ dBm}$。在 RFFE 中這才是最關鍵的數字： 既然 PA 接在耦合線上，$0$ dBm 就是實際到達線圈的功率。
(c) 隔離度為 $I = C + D = 20 + 25 = 45$ dB，因此
$$P_4 = 20 - 45 = \mathbf{-25\ dBm}$$合理性驗証：$-25$ dBm 比訊號源低 45 dB，但對 LNA 而言仍是很大的訊號。兩個數字都要 記住 — 練習 3 會把兩個這樣的耦合器串接起來，說明這樣配對能換到什麼。
把兩條傳輸線靠近，能量會同時透過兩種獨立機制洩漏過去。這是此元件的物理核心。
平衡條件是兩種機制相對於線阻抗以相同方式縮放：
在均勻介質中（帶狀線、同軸線）此式嚴格成立，方向性可超過 40 dB。在非均勻介質中 — 例如一般微帶線，偶模與奇模看到的基板與空氣比例不同 — 兩個模的傳播速度不同，相消不完全， 方向性通常止步於 15–25 dB 附近。
對於 $Z_0$ 系統中、電壓耦合係數 $c = 10^{-C/20}$ 的四分之一波長耦合線耦合器，兩個模阻抗可直接得出：
接著再用場解算器或微帶線閉合公式，把這兩個數字轉換成實體線寬 $w$ 與間距 $s$。耦合越緊代表間距越窄， 這也是為什麼比大約 6 dB 更緊的耦合器很難用簡單的邊緣耦合線對做出來。
理想四分之一波長耦合器的耦合埠響應為
耦合度在 $\theta = 90^\circ$（$\ell = \lambda/4$）達到峰值，兩側按 $\sin\theta$ 衰減，因而響應相當寬 — 以 $\pm 1$ dB 平坦度計約可達一個八度音程。這遠寬於鐵氧體環形器，也是耦合器在量測儀器中 佔主導地位的實務原因之一。
題目：在 50 Ω 系統中、於 $f_0 = 1$ GHz、板材 $\varepsilon_{\text{eff}} = 3.0$ 的 條件下設計一個 20 dB 耦合線耦合器。求 $Z_{0e}$、$Z_{0o}$ 與實體長度。
耦合係數：$c = 10^{-20/20} = 0.100$。
$$Z_{0e} = 50\sqrt{\frac{1.1}{0.9}} = 50(1.1055) = \mathbf{55.3\ \Omega}$$ $$Z_{0o} = 50\sqrt{\frac{0.9}{1.1}} = 50(0.9045) = \mathbf{45.2\ \Omega}$$驗算：$\sqrt{55.3 \times 45.2} = 50.0\ \Omega$，正確。
長度：
$$\lambda_g = \frac{c_0}{f\sqrt{\varepsilon_{\text{eff}}}} = \frac{3\times10^8}{10^9\sqrt{3}} = 173.2\ \text{mm} \;\Rightarrow\; \ell = \lambda_g/4 = \mathbf{43.3\ mm}$$評論：注意 $Z_{0e}$ 與 $Z_{0o}$ 有多接近 — 只差 10 Ω。鬆耦合意味著 寬間距與幾乎不耦合的線對，容易製造，但方向性因此對蝕刻與介電常數的微小變異相當敏感。 也要注意長度：1 GHz 時 43 mm 在穿戴式電路板上已相當難處理，100 MHz 時更會變成 43 cm。見 §5.1。
RFFE 圖中的兩個耦合器接法相同：主線承載 Qi 充電路徑（線圈↔整流器）， 輔助線（耦合線）承載雷達，其遠端接 50 Ω 終端。兩者只差在所需訊號的行進方向。
下表的角色欄是讀懂這張圖的關鍵，其原因值得重申：「耦合」與「隔離」 不是實體埠的固定名稱。它們是相對於「哪一個埠正在被驅動」而指派的角色， 並且會隨行進方向反轉而互換（§1.2）。下表中耦合器 1 的角色，是針對從其輔助線進入的發射驅動訊號 而言；耦合器 2 則是針對沿其主線從線圈抵達的訊號而言。
| 耦合器 | 埠 | 角色 | 連接到 | 承載 |
|---|---|---|---|---|
| 1 （TX 注入） |
輔助線，PA 端 | 被驅動 | PA → BPF | 發射驅動訊號，$+20$ dBm |
| 輔助線，另一端 | 直通 | 50 Ω 接地 | 大部分的 TX 功率 — 刻意丟棄 | |
| 主線，線圈側 | 耦合 | 線圈端點 1 | 被注入的部分 $P_{\text{TX}} - C$：詢問訊號 | |
| 主線，充電器側 | 隔離 | 整流器 | $\approx 0$ — 這正是讓發射機進不了充電器的原因 | |
| 2 （RX 取出） |
主線，線圈側 | 被驅動 | 線圈端點 2 | 從線圈返回、被組織調變過的訊號 |
| 主線，充電器側 | 直通 | 整流器 | 充電路徑照常延續，不受干擾 | |
| 輔助線，LNA 端 | 耦合 | BPF → LNA → I/Q 混頻器 → ADC | 被測量 | |
| 輔助線，另一端 | 隔離 | 50 Ω 接地 | 吸收任何從充電器側過來的訊號 |
把兩個耦合列並排來看，整個架構就浮現了：耦合器 1 的耦合埠餵給線圈， 耦合器 2 的耦合埠餵給 LNA。另外請注意，兩個 50 Ω 終端都不在耦合埠上 — 一個是直通埠（這正是它燒掉大部分發射功率的原因，§3.4），另一個是隔離埠。 把「耦合線」（一條實體線）和「耦合埠」（一個角色）混為一談，是誤讀這張圖最常見的方式。
每個耦合器都恰好只有一個接地埠，而它不是裝飾性的細節 — 它是 50 Ω 終端，不是短路。未使用的耦合器埠必須以系統阻抗終結。若讓它開路或 短路，本該被吸收的波就會被反射回耦合區，方向性隨之毀掉。
請特別注意，這兩個接地埠扮演的是不同角色。在耦合器 1 上，它是發射驅動訊號的 直通埠 — 這也是為什麼大部分 PA 功率消耗在那裡（§3.4）。在耦合器 2 上， 它是所需訊號的隔離埠。同樣的符號，相反的功能：「接地」與「隔離」不是同義詞， 而且哪一個埠是隔離埠，仍取決於波往哪個方向行進（§1.2）。
圖上把每個終端都畫成一顆單純接地的電阻。這件事只有在感測頻段成立。它在 Qi 頻率下會不會出事， 取決於耦合器實體上如何實現（§5.1），而兩種情形的電路符號一模一樣：
第二種情形絕不是什麼邊際損耗。Qi 的源阻抗很低，而且它是一個功率源：在 10 V 的線圈節點上， 一顆 50 Ω 分流會持續消耗 $V^2/R = 2$ W，全部化為熱，而且是在一個腕戴式外殼裡面。這在成為射頻問題 之前，早就是熱與安全問題了；而且這樣的負載也會擾動 Qi 自身的功率調節迴路。
解法是在耦合埠與電阻之間串一個高通元件 — 實務上就是一顆隔直電容 — 使它在 150 kHz 呈現 高阻抗、在 4.7 GHz 近似短路：
| 串聯 $C$ | 150 kHz 的 $|X_C|$ | 10 V 下的 Qi 耗功 | 4.7 GHz 的 $|X_C|$ | 終端反射損耗 |
|---|---|---|---|---|
| 無 | 0 | 2 W | 0 | 完美 |
| 10 pF | 106 kΩ | 0.4 µW | 3.4 Ω | 29 dB |
| 100 pF | 10.6 kΩ | 44 µW | 0.34 Ω | 49 dB |
| 1 nF | 1.06 kΩ | 4.4 mW | 0.03 Ω | 69 dB |
此為理想電容的數值 — 寄生電感的陷阱見下方。
真正決定選值的，是上一個提示框裡的那條限制：終端自身的反射損耗必須遠低於耦合器的方向性， 否則變成終端成為限制因素。在 $D = 25$ dB 下，10 pF 只留下 4 dB 餘裕 — 不夠。100 pF 則留下 24 dB。
還有一個陷阱。選料要看它的自諧振頻率，不是只看電容值。一顆 100 pF 的 0402 大約帶有 0.4 nH 的寄生電感，使其 SRF 落在 2.5 GHz 附近 — 在 4.7 GHz 它已經是電感性的， 約 $+j12\ \Omega$，會把終端反射損耗一路拉回到約 19 dB，整件事就白做了。乾淨的答案是採用小封裝的小容值料， 並讓它在感測頻段自身串聯諧振：在封裝與焊墊電感約 $0.25$ nH 的情況下， $C \approx 1/(\omega_0^2 L) \approx 4.7$ pF 會在 4.7 GHz 諧振，於該處呈現近乎零的電抗， 而在 150 kHz 仍有 226 kΩ。
而且這件事無法靠排程迴避。既然實務上充電與感測是分時多工的（§1.1），很容易想主張 「終端只有在雷達運作時才要緊」。但行不通：電阻是被動的，而且永久接在耦合埠上，因此只要耦合器具有 直流連通性，這顆分流在每一次充電循環都存在，與雷達有沒有通電無關。改用射頻開關把它切掉， 換來的是在全系統最敏感的節點上多了插入損耗、非線性與洩漏。一顆串聯電容的代價則只有一顆料，沒有別的。
這一點在方塊圖上完全看不出來，但實作時跑不掉。
線圈是一個雙端點的近場結構，一端被驅動、另一端被感測。把手腕靠近會改變它的近場環境：組織的 介電常數與導電率對線圈造成負載，同時改變其電抗與損耗。由於發射機與接收機位於不同端點， 前端讀出的不是反射，而是一個複數傳輸：
兩個因子都隨時間變化。由於 $\varepsilon_c$ 是複數，組織的運動會讓大小與相位一起移動 （見下方緊接的提示框）。但接收機仍取 $\Delta\phi(t)$ 作為訊號 — 並不是因為 $|H(t)|$ 靜止不動， 而是因為 DSIL 迴路伺服的是相位，而且相位對增益漂移免疫（§3.3）。振幅調變確實存在，只是被刻意捨棄； 下游一切都把 $|H_0|$ 當成常數。
上一段說組織會同時改變線圈的電抗與損耗。這並不是兩個湊巧同時發生的效應，而是同一個原因。 組織是以單一個複數介電常數來描述的，導電率就折進其中：
$$\varepsilon_c = \varepsilon' - j\varepsilon'' = \varepsilon_0\varepsilon_r - j\frac{\sigma}{\omega}$$在 4.7 GHz 下，肌肉的 $\varepsilon_r \approx 50$、$\sigma \approx 4$ S/m，因此
$$\frac{\sigma}{\omega\varepsilon_0} = \frac{4}{2\pi(4.7\times10^{9})(8.854\times10^{-12})} = 15.3 \qquad\Longrightarrow\qquad \varepsilon_{c,r} \approx 50 - j\,15.3$$損耗正切為 $\tan\delta \approx 0.31$。兩部分都不可忽略 — 虛部約為實部的三分之一， 這正是為什麼「電抗的變化遠大於損耗」這個常見說法在此頻率下站不住腳（§3.3）。
| 部分 | 物理作用 | 對線圈的影響 |
|---|---|---|
| $\varepsilon'$（實部） | 在近場中儲存額外的電能 — 更多電力線終止於高 $\varepsilon_r$ 的介質中 | 提高等效電容 → 改變電抗，把諧振往下拉 |
| $\varepsilon''$（虛部，$=\sigma/\omega$） | 傳導電流與介電鬆弛電流把功率耗散為熱 | 提高等效電導 → 增加損耗，降低 $Q$ 值 |
以電路的語言來說，端點阻抗 $Z = R + jX$ 變成 $(R + \Delta R) + j(X + \Delta X)$：組織同時加上了一個 $\Delta C$ 與一個 $\Delta G$，因為它是同一種材料、只有一個 $\varepsilon_c$。 微擾理論用一行就說完了 — 對於置於場中的一個小材料微擾，
$$\frac{\Delta\omega}{\omega} \approx -\frac{\int_{\Delta V}\Delta\varepsilon\,|E|^{2}\,\mathrm{d}V}{2\int_{V}\varepsilon|E|^{2}\,\mathrm{d}V}$$若 $\Delta\varepsilon$ 是複數，則 $\Delta\omega$ 也是複數：其實部就是電抗與頻率的偏移， 其虛部就是 $Q$ 值的變化、也就是損耗。一個複數的因，一個複數的果 — 兩者在結構上就無法分離。 這正是 $H$ 之所以是複數被測量的物理理由，也因此正是前端需要 I/Q 接收機、而非二極體檢波器的理由 （§3.3）：純量接收機會丟掉組織所造成的一半資訊。
因果順序要擺對。介電常數是耦合的途徑，不是驅動源。組織的性質並沒有改變； 改變的是皮膚位移時，組織邊界在線圈近場中的位置，從而改變線圈所看到的體積加權平均 $\varepsilon_c$（§3.5）。位移是因，複數介電常數是它變成電訊號的方式。而且由於各種組織差異極大 — 脂肪大約是 $\varepsilon_r \approx 5$、$\sigma \approx 0.3$ S/m，血液則接近 $\varepsilon_r \approx 55$、$\sigma \approx 5$ S/m — 進入感測體積的是哪一種組織， 其重要性不亞於它移動了多遠。
論文自身的品質指標印證了這個讀法：線圈介面是以插入損耗刻畫的 — 4.7 GHz 實測 $\lt 7$ dB — 而不是反射損耗。一個為 110–205 kHz 磁耦合設計的結構，結果在兩條引線之間 具有可用的微波通帶，而雷達正是搭在這個通帶上。
線圈的實測 S 參數，讓「這個前端究竟在讀什麼物理量」不再有任何疑問。這是一份雙埠量測 — $S_{11}$、$S_{22}$ 以及 $S_{21}$。單埠反射計的待測物上量不到 $S_{22}$ 與 $S_{21}$； 光是這兩者的存在，就在還沒看任何數值之前，排除了「單一耦合器」的讀法。
| 4.7 GHz 下 | 實測值 | 線性值 | 它是什麼 |
|---|---|---|---|
| $|S_{21}|$ | $-6.86$ dB | 0.454 | $|H_0|$ — §4 全節所採用的工作點 |
| $|S_{11}|$ | $-18.99$ dB | 0.112 | 從線圈端點 1 看進去的匹配 |
| $|S_{22}|$ | $-21.08$ dB | 0.088 | 從線圈端點 2 看進去的匹配 |
請注意 $|H_0| = 0.454$ 正是圖 4 與練習 3、4 所依據的數字，而 $6.86$ dB 就是它們取為 7 dB 的插入損耗。 §4 的誤差預算是建立在實測值上，不是估計值。
為什麼是 4.7 GHz。在 1–4 GHz 之間，線圈的反射損耗只有 2–5 dB （$|\Gamma| \approx 0.6$–$0.8$，嚴重失配），而 $|S_{21}|$ 低到 $-20$ 至 $-30$ dB — 這個結構是阻斷的，一顆為 200 kHz 而生的元件本來就該如此。接著兩個端點在 4.7 GHz 同時急遽下陷、 進入一個匹配的諧振，而 $|S_{21}|$ 也在同一處達到峰值。所以工作頻率根本不是基於傳播或組織的考量選出來的： 它是一個為 110–205 kHz 設計的線圈，恰好在兩條引線上同時看起來像 50 Ω 的那個唯一頻率。 這是漂亮執行的機會主義 — 而雷達正是搭在這個通帶上。
曲線形狀洩漏出的一個支持此拓樸的論據。$S_{11}$ 的凹陷很尖銳，只有數百 MHz 寬； $S_{21}$ 的峰值卻很寬平 — 往兩側各 600 MHz 仍維持在約 $-8$ dB。以反射為基礎的感測器， 必須坐在一個窄凹陷的陡峭側壁上，任何線圈失諧（腕帶張力、溫度、組織負載）都會讓讀值劇烈擺動。 而傳輸路徑量測坐落在一個寬而平坦的極大值上，因此比它常被誤認的那種反射計 天生更能容忍失諧。這份穩健性是雙耦合器拓樸的真實優勢，也是為什麼 §4.3 中 「線圈失諧」這一列在這裡是個較溫和的問題。
它沒有告訴你的事。這是線圈單獨在向量網路分析儀上、於自由空間、沒有手腕的量測。 它不含耦合器、不含整流器、也不含電路板，因此 §4.1 的三個誤差項它一個也沒量到。 特別是整流器的 $|\Gamma_r|$ 仍然只是假設，電路板串擾 $X$ 也仍未量測 — 這兩個數字才是能把 §4 的誤差預算從示意變成真實的關鍵。
符號慣例：實測圖上畫的是 $|S|$ 的 dB 值，因此為負。本指南把反射損耗與插入損耗當作正值處理。 數字相同，正負號相反。
方向性在這裡做的工作。在傳統反射計中，方向性決定同一條線上的反向波與 正向波分離得多乾淨。在本拓樸中它用同樣的機制做另一件事：耦合器 2 必須把 來自線圈的訊號交給 LNA，並拒斥來自整流器的訊號。這兩者在同一條主線上 逆向行進，而這正是定向耦合器所提供的鑑別能力。
上面那個提示很容易點頭稱是、卻很難據以行動，所以這裡把後果換成數字。取耦合器 1，$C = 20$ dB、 $D = 25$ dB、$P_{\text{TX}} = +20$ dBm，並採用線圈實測的 6.86 dB 插入損耗。一切都取決於線圈接在 主線的哪一個埠上：
| 線圈接在耦合埠 — 正確 | 線圈接在隔離埠 — 接反 | |
|---|---|---|
| 到達線圈的功率 | $20 - C = \mathbf{0}$ dBm | $20 - (C+D) = \mathbf{-25}$ dBm |
| 到達整流器的功率 | $-25$ dBm | $0$ dBm |
| 經過線圈與耦合器 2 後，在 LNA 端 | $-27$ dBm | $-52$ dBm |
接反的那一欄，代價是整整 25 dB 的鏈路預算，同時還把完整的耦合取樣直接灌進充電器的 整流器 — 與 §3.4 所主張的隔離恰好相反。練習 3 的整個預算都建立在左邊那一欄上。
為什麼這是個很惡劣的失效模式。因為它看起來不像失效。接反的耦合器仍然會把 訊號送到 LNA、仍然能跟上呼吸與脈搏、仍然產生看似合理的波形 — 只是弱了 25 dB， 因而離 §4.1 的誤差底線近得多。在實驗桌上你會看到一個「能動但很弱」的系統，然後多半去怪線圈、 怪耦合度、或怪 LNA。症狀本身沒有任何一點指向耦合器。
方塊圖無法替你判定這件事。一個內含 X 的方框只是通用的耦合器符號，不帶任何方向資訊；而論文圖 1(b) 中的箭頭本身也並不自洽 — 耦合器 1 靠整流器那一側的箭頭，既不符合雷達的訊號流向，也不符合 Qi 的 充電流向。只有兩樣東西能解決這個問題：元件規格書的埠位表，以及電路板本身。
留意 RFFE 圖中的分功器把同一個訊號產生器（SG）的載波同時送到發射與接收的 I/Q 混頻器。 這並非偶然，而是讓接收機與發射機相位同調，因此基頻輸出為
$K$是什麼。它是線圈端點到 ADC 計數之間、所有東西集總起來的實數增益 — 包含發射驅動振幅、兩個耦合係數 $c_1$ 與 $c_2$、BPF 的插入損耗、LNA 增益、混頻器轉換增益、 基頻增益，以及轉換器的「每伏特對應多少計數」。光是那兩個耦合，就佔掉了線圈自身 $S_{21}$（$-6.86$ dB） 與 PA 埠到 LNA 埠之間傳輸（$-47$ dB，練習 4）相差的那 40 dB。由於 $H$ 是無因次的， 所有單位都由 $K$ 承擔。
請注意 $K$ 只是一個大小。訊號鏈同樣會帶來相位偏移 — 纜線與濾波器的群延遲、混頻器相位 — 但這個偏移與線圈自身造成的偏移無法區分，因此它被吸收進 $\phi_0$，而不是進到 $K$ 裡。 這正是為什麼在本系統中絕對相位不帶任何資訊、只有 $\Delta\phi$ 才帶資訊： $\phi_0$ 是線圈與整條電子鏈難以分離的混合物，單一次量測無法把兩者拆開。
你永遠不需要量出 $K$。它會在 §4.2 的歸一化中被除掉，也會在下方的 $Q'/I'$ 中再被除掉一次， 所以整個系統任何地方都不需要絕對增益校正。它只在兩個地方要緊：它決定靜態載波落在 ADC 範圍中的哪個位置 （也就是下方那個動態範圍的論點），以及它會隨溫度、電源與 AGC 漂移 — 這又是本架構讀相位而非讀振幅的另一個理由。
$(I, Q)$ 這一對就是複數 $K\!\cdot\!H$ 的直角座標寫法：振幅為 $\sqrt{I^2+Q^2}/K = |H|$，相位為 $\operatorname{atan2}(Q,I) = \phi$。沒有任何東西是推論出來的， 也沒有任何東西遺失。但手腕並不會讓 $|H|$ 與 $\phi$ 各自獨立地移動 — 它擾動的是一個 工作點：
那個 $j$ 承載了整個論證：在 I/Q 平面上，訊號與載波互相垂直。量測點位於半徑 $K|H_0|$、角度 $\phi_0$ 之處，而微動使它沿著一小段圓弧移動，而不是進進出出。把座標框反旋轉 $-\phi_0$， 讓 $H_0$ 落在實軸上，兩者就乾淨地分離開來：
沒有任何東西被增加或失去 — 它是一次無損的基底變換。改變的是哪一個軸承載什麼。 把原始的那一對針對小 $\Delta\phi$ 展開，未加撇的座標框問題就浮現了：
兩個通道都同時帶有靜態項與訊號項，而訊號在兩者之間如何分配， 是由 $\phi_0$ 決定的 — 而它是任意的，因為它是線圈與訊號鏈的混合物。當 $\phi_0 = 45^\circ$ 時， 每個通道各承載一半的訊號；當 $\phi_0 = 0$ 時，全部落在 $Q$ 上。任一通道單獨都不堪用， 而且這個分配比例會隨 $\phi_0$ 的漂移而移動。
| $I,\ Q$ | $I',\ Q'$ | |
|---|---|---|
| 參考軸 | 接收機任意的軸 | 與靜態向量 $H_0$ 對齊 |
| 靜態載波 | 分散在兩者 | 完全落在 $I'$ |
| 訊號 $\Delta\phi$ | 分散在兩者 | 完全落在 $Q'$ |
| 還原 $\Delta\phi$ 的方式 | $\operatorname{atan2}(Q,I) - \phi_0$ | 只要 $Q'/I'$ |
| 是否依賴 $\phi_0$？ | 是，而且很強烈 | 否 — 已被旋轉吸收 |
這個運算本身就是一個以 $-\phi_0$ 為角度的 2×2 旋轉，以數值方式完成：
加撇的名稱才是具有物理意義的那一組：$I'$ 是與載波同相，$Q'$ 是與載波正交 — 這正是 $H_0(1 + j\Delta\phi)$ 中那個 $j$ 所主張的。實務上有一個要注意的地方： 這個旋轉需要 $\phi_0$，它取自基準值（或無手腕）參考狀態。而在本架構中，DLL 的停駐位置 $D_0$ 本來就已經把它編碼進去了 — 這也正是為什麼伺服與反旋轉，其實是同一個對齊動作的兩種看法。
由此得到兩個後果，兩者稍後都很重要。第一，這個比值會把 $K$ 與 $|H_0|$ 一併消掉， 因此以這種方式取得的相位讀值，對放大器增益漂移與 AGC 動作免疫 — 這才是本架構讀相位而非振幅的 誠實理由。第二，$\Delta\phi$ 正是那個透過介面的轉換常數對應到實體位移的量，因而也對應到 §3.5 所量測的 70 µm 下限。
比較這兩項。當 $\Delta\phi$ 約為一度的量級時，$Q'$ 大約只有 $I'$ 的 1 % — 一個微小的擺動，騎在一個大上百倍的載波上，而誤差向量 $\varepsilon$ 就夾在兩者之間 （在整合式情境中高達 $|H_0|$ 的 40 %，§4.1）。這正是為什麼圖 1(a) 把 VA + VPS 雜波對消器與 I/Q 直流偏移校正放在檢波器之前。
請特別注意這件事發生在鏈路的哪個位置：ADC 數位化的是來自 RFFE 的原始 I/Q，靜態載波仍然在裡面； 而影像對消與雜波對消都是位於 FPGA 內部、在轉換器下游的數位方塊。所以靜態的 $H_0$ 並不是在數位化之前被移除的 — 它消耗掉 ADC 的動態範圍。當訊號大約只有載波的 1 % 時， 約有 7 個位元花在表示載波上，其餘才留給訊號；一顆 14 位元的轉換器仍約有 7 位元的餘裕， 這大概就是此架構之所以能以這種形式成立的原因。接著延遲鎖定迴路把 $\phi$ 維持在工作點附近， 使 $|\Delta\phi| \ll 1$ 持續成立，上面的線性化才站得住。
上面的反旋轉給出 $\Delta\phi \approx Q'/I'$，這是理解「為什麼相位可以被還原、以及為什麼它對 增益漂移免疫」的正確方式。但這並不是硬體實際採用的訊號路徑。在圖 1(a) 中，對消後的取樣驅動一個比較器進入 TDL，而 DLL — 頻率檢測器 → PI 控制器 → TDL — 會調整延遲線， 把 SILO 的注入相位維持在設定點上。
把這個迴路上累積的總相位寫出來，就是
$$\theta_{\text{loop}} = \phi_0 + \Delta\phi(t) + \phi_{\text{TDL}}(D)$$只有三項，因為上文定義的 $\phi_0$ 已經把固定的電子鏈相位與線圈的相位一起承擔了 — 這正是前面討論 $K$ 時的重點。並沒有另一個「其餘的迴路相位」需要再寫出來。迴路會驅動 $D$，直到 $\theta_{\text{loop}}$ 到達其設定點 $\theta_{\text{set}}$，因此
$$\phi_{\text{TDL}}(D) = \theta_{\text{set}} - \phi_0 - \Delta\phi(t)$$這乾淨地分成兩半。靜態部分 $D_0$ 吸收掉 $\theta_{\text{set}} - \phi_0$ — $\phi_0$ 就是跑到這裡去了 — 而動態部分 $\Delta D(t) \propto -\Delta\phi(t)$ 才是訊號。延遲線會停在任何能吞掉 靜態迴路相位的位置上，而它相對於那個停駐位置的偏移量，就是量測結果。
因此讀出的量其實是迴路自身的狀態：都卜勒相位就是 TDL 的控制字 （圖中的 $D$），而都卜勒振幅來自振幅檢測器（$A$）。控制努力本身就是量測結果 — 這是一種伺服式讀出。所以 $Q'/I'$ 是迴路所依據的鑑別器特性，迴路在這個斜率附近做線性化； 它並不是 FPGA 最終回報的那個數字。
不要把這件事和雜波對消器搞混。這兩個機制處理掉的東西並不相同：
| 機制 | 處理掉什麼 |
|---|---|
| TDL + DLL | 靜態相位 $\phi_0$ — 被吸收進 $D_0$，而其偏移量成為訊號 |
| 雜波對消器（VA + VPS） | 靜態向量的大小 — 也就是若不處理就會吃掉 ADC 範圍的 I/Q 直流偏移 |
VPS 確實需要正確的角度才能建出用來對消的複製訊號，所以 $\phi_0$ 是雜波對消的一個參數 — 但真正把它處理掉的是延遲線，不是相位移器。
由此得到兩個後果。第一，這正是 DSIL 之中那個「D」存在的理由：單純的 SIL 雷達 其靈敏度隨注入相位呈正弦變化，並在零點處崩塌；因此把 $\phi_0$ 吸收進一條可調延遲線、並把迴路維持在 最佳設定點上，就是這個架構命名所來自的那個解法。第二，它解釋了為何相位無法還原 — $\phi_0$ 最終與 $\theta_{\text{set}}$ 一起埋在 $D_0$ 裡，沒有任何量測能把它挖回來。 這與上文從 $K$ 與訊號鏈相位那一側得到的結論相同：兩條路徑，同一個答案。
原始論文並未給出數值。論文 [2] 只說數位延遲線會即時補償注入訊號相位， 以確保它維持在「最佳感測點」。沒有給出角度，而且該論文中完全沒有出現 $\theta$、沒有 $\pi$， 也沒有討論同相與反相操作。
很容易想把 $\theta_{\text{set}} = \pi$ 從同系列的超音波論文搬過來 — 在那裡之所以選反相操作， 是因為當 $A_{\text{inj}} = 0.5$ 時，plant 增益在該處最大平坦（前三階導數為零）， 給出最線性的工作點，而隨之而來的負增益也剛好讓 PI 迴路成為負回授。但那套推理屬於那一篇的 plant。 把它搬到 4.7 GHz 的手腕系統上會是假設、而非發現，因此本指南讓 $\theta_{\text{set}}$ 保持為符號。
不要把它和本系統中另一個 180° 搞混。論文 [2] 第二章確實指定了一個 180°， 但那屬於雜波對消器：以可變增益放大器與一個由暫存器串構成的可調相移器，把一路發射訊號調整到 振幅相同、相位相差 180°，再用加法器把兩路相加，使雜波相互抵銷。這就是上文所述的 相量對消 — VGA 定大小、VPS 定角度 — 與注入設定點毫無關係。 （論文寫 VGA，而 URSI 的圖標為 VA。）
在耦合器 2 的耦合埠接一顆二極體檢波器只能給你 $|H|$ — 這是純量量測。 加上鎖相的 I/Q 降頻器，你同時得到 $|H|$ 與 $\phi$：在穿戴式電路板上完成線圈介面的 向量增益-相位量測。資訊確實藏在相位裡 — 但原因並不是常見的那個說法。 在 4.7 GHz 下，肌肉的 $\varepsilon_r \approx 50$、$\sigma \approx 4$ S/m，損耗正切約 0.3， 因此組織並不是低損耗的微擾，電抗項也並不明顯地主導電阻項。真正的理由是架構上的： 相位正是 DSIL 迴路原生伺服的量，而且相位對放大器增益漂移與 AGC 動作免疫，振幅讀值則不然。
相位在下游同樣不可或缺。圖 1(a) 的 DSIL 處理器透過延遲鎖定迴路穩定自我注入鎖定振盪器的 注入相位 — 而注入相位唯有在接收機與發射機同調時才成為可觀測量。純量前端會讓 DLL 無物可鎖。
此拓樸帶來三個實務後果，其中第三個最容易被忽略：
題目：兩個耦合器皆為 $C = 20$ dB、$D = 25$ dB。PA 送出 $+20$ dBm。線圈介面在 4.7 GHz 有 7 dB 插入損耗（論文的實測值），整流器網路在該頻率上於兩條充電腿之間通過 6 dB。
(a) 一次一個耦合地追蹤訊號。驅動進入耦合器 1 的耦合線，所以線圈看到 $P_{\text{TX}} - C$；訊號穿過線圈介面損失 $IL$；耦合器 2 再取出，又損失一次 $C$：
$$P_{\text{RX}} = P_{\text{TX}} - C_1 - IL - C_2 = 20 - 20 - 7 - 20 = \mathbf{-27\ dBm}$$(b) 每個耦合器的隔離度為 $I = C + D = 20 + 25 = 45$ dB。發射訊號必須先洩漏進 耦合器 1 的隔離（充電器側）埠，穿過整流器網路，再洩漏進耦合器 2 的隔離埠：
$$P_{\text{leak}} = 20 - 45 - 6 - 45 = \mathbf{-76\ dBm}$$(c) 餘裕為 $-27 - (-76) = \mathbf{49\ dB}$。對比單一耦合器的反射計 — 在那裡 發射洩漏只比整個感測訊號低幾個 dB — 把 TX 與 RX 拆到兩個耦合器、兩個線圈端點上，大約買到了 兩層完整的方向性。這是此拓樸最強的理由。
但 $-76$ dBm 並不是限制系統的那個數字。真正主導的是以下三項：
合理性驗証：LNA 輸入端的 $-27$ dBm 是相當舒適的準位 — 遠低於任何合理 LNA 的 $P_{1\text{dB}}$，因此不會壓縮；也遠高於 Low-IF 通道的熱雜訊底。這裡的設計難題是 面對大靜態載波的動態範圍，而不是對抗熱雜訊的靈敏度。
到目前為止，本指南都把 $H$ 當成一個「手腕會以某種方式推動它」的黑盒子。值得把推動它的東西講清楚， 因為答案比「組織介電負載」聽起來樸素得多，而且它會改變我們該如何解讀那些靈敏度數字。
| 組態 | 間距 | 最小可偵測位移 |
|---|---|---|
| 自由空間天線（第二章的雷達） | 1.5 m | 20.7 µm |
| 手錶充電線圈 | 1 mm | 70 µm |
| 錶帶型 SRR | 1 mm | 60 µm |
所以線圈介面能分辨約 70 µm 的邊界運動。論文指出，這已經接近 — 而不是舒適地低於 — 手腕脈搏對皮膚造成的位移。單這一個事實就解釋了下游很多事情， 包括為什麼心跳路徑需要 EEMD、而呼吸路徑不需要。
有兩條相當不同的機械路徑，把生命徵象送到一個綁在手腕上的感測器：
手腕式論文比較了兩種介面 × 兩種配戴位置。平均誤差，越低越好：
| 感測介面 | 配戴位置 | 呼吸 | 心跳 |
|---|---|---|---|
| 手錶充電線圈 | 手腕正面（volar） | 8.90 % | 3.53 % |
| 手腕背面（dorsal） | 6.71 % | 3.02 % | |
| 錶帶型 SRR | 手腕正面 | 7.70 % | 3.47 % |
| 手腕背面 | 4.81 % | 2.67 % |
兩個乾淨的趨勢。手腕背面在四組比較中全勝，原因歸於接近主要血管，以及較佳的筋膜耦合。 SRR 也全面優於充電線圈，歸因於其較高的 $Q$ 值與更集中的場分佈 — 這與量測台上 60 µm 對 70 µm 的結果一致。而從未為此用途設計的充電線圈，表現仍然站得住腳； 整個「結構再利用」的論據，就濃縮在這張表裡。
上表的論文數據顯示手腕背面在每一項指標上都比較好。但 URSI 摘要說的正好相反 — 背側 RMSE 為 2.08 breaths/min、掌側為 1.49；脈搏則是背側 3.8 beats/min、掌側 3.14， 也就是掌側較好。
兩者並非直接可比（百分比誤差對絕對 RMSE，受試者組也不同 — 摘要寫的是 9 位受試者）， 所以數值本來就不必吻合。但排序不應該反轉，而且論文為「背側較優」提出了解剖學上的機制， 與摘要的結論相牴觸。無論哪一個才對，這兩份文件都不該在同一個介面上發表相反的說法。
資料來源：王昊成，《用於手腕式生理監測之延遲與自我注入鎖定雷達》，國立中山大學碩士論文， 2025 年 9 月 — §2.4.1、§3.2.1、§3.3 與表 3.4；以及陳暄詠， 《用於自我注入鎖定雷達之延遲線晶片與裂環諧振器設計》，國立中山大學碩士論文，2026 年 1 月。
在單埠反射計中，答案是方向性，其他因素都望塵莫及。但在 §3 的雙耦合器傳輸路徑中，答案 不是方向性 — 而弄清楚為什麼不是，正是本節最有價值的地方。
接收機無法把所需的穿透訊號，與任何其他落在頻帶內、抵達 LNA 的東西區分開來。其餘的一切都以 單一個複數誤差向量的形式相加：
有三條路徑造成貢獻。把每一條都寫成相對於所需訊號 $P_{\text{RX}} = P_{\text{TX}} - C_1 - IL - C_2$ 的比值、而非絕對的 dBm，是值得的 — 因為限制解析度的是比值，不是準位。
| # | 誤差項 | 路徑 | 相對於 $|H|$ 的大小 | 數值 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 電路板串擾 | 從耦合器 1 的耦合線直接橫越 PCB 到耦合器 2 的耦合線 — 完全不經過耦合器 | $10^{-(X - C_1 - C_2 - IL)/20}$ | $-8$ dB（$X = 55$ dB 時） |
| 2 | 整流器阻抗失配 | 所需訊號越過耦合器 2 繼續前進，在整流器上反射，再以相反方向重新進入耦合器 2 | $|\Gamma_r|\cdot 10^{-D/20}$ | $-26$ dB（$|\Gamma_r| = 0.9$ 時） |
| 3 | 充電器路徑洩漏 | 耦合器 1 隔離埠 → 整流器網路 → 耦合器 2 隔離埠 | $10^{-(D_1 + D_2 + L_{\text{rect}} - IL)/20}$ | $-49$ dB |
以上數值皆取 $C_1 = C_2 = 20$ dB、$D_1 = D_2 = 25$ dB、$IL = 7$ dB、$L_{\text{rect}} = 6$ dB。
由於 $\angle\varepsilon$ 事先未知，真值落在以量測點為圓心、半徑 $|\varepsilon|$ 的圓上 — 幾何形式與傳統的誤差圓相同，只是現在畫在 $H$ 平面而非 $\Gamma$ 平面上，而且半徑佔訊號本身 相當大的一部分：
傳統的解法是單埠校正：接上三個已知標準件 — 開路、短路、負載 — 解出單埠模型的三個 誤差項，再反解。這一切在此都無法沿用，而理由是結構性的、不是實務上的：根本沒有一個 「單一埠」可以拿標準件去接。這個量測橫跨兩個埠，而夾在兩者之間的東西 — 線圈加上手腕 — 恰恰就是未知數。
誠實的雙埠對應做法會是完整的 SOLT 或 TRL 校正，需要在線圈端點上接上 through、reflect 與 line 標準件。在一個密封的穿戴式裝置上、線圈已焊入充電電路的情況下，這三者一個也接不上去。 剩下的只有最弱的一層修正：
一旦靜態誤差被歸一化掉，剩下重要的就只有它的移動。若每一項各自漂移其自身大小的比例 $\eta$， 殘量便是 $\eta|\varepsilon|$。對小幅相位調變而言 $H(t) = H_0 e^{j\Delta\phi} \approx H_0(1 + j\Delta\phi)$，故訊號成分為 $|H_0|\Delta\phi$， 解析度極限隨即可得：
| 符號 | 意義 | §4 採用的數值 |
|---|---|---|
| $\Delta\phi_{\min}$ | 最小可解析的相位變化，單位為弧度 | 所求的答案 |
| $\varepsilon$ | 誤差向量 — 所有落在頻帶內、抵達 LNA 而不屬於訊號的東西： 串擾 + 整流器阻抗失配 + 充電器路徑洩漏（§4.1） | 整合式 $0.401|H_0|$ 接頭式 $0.051|H_0|$ |
| $\eta$ | $\varepsilon$ 在基準值與量測之間漂移掉的比例 — 不是 $\varepsilon$ 本身。靜態部分早已被歸一化消掉（§4.2） | 假設為 2 % |
| $|H_0|$ | 工作點的大小，由線圈的插入損耗決定 | 0.454 |
回頭看圖 4。工作點位於半徑 $|H_0|$ 之處。歸一化之後，殘餘誤差是圍繞著它、 大小為 $\eta|\varepsilon|$ 的一小團。這一團在原點所張的角，就只是
$$\text{angle} = \frac{\text{arc length}}{\text{radius}}$$而這就是整條公式的全部。$\Delta\phi_{\min}$ 之所以以弧度為單位，正是因為它就是 「弧長除以半徑」。圖 4 的插圖畫的正是這個情境：漂移圓，以及 $\Delta H$ 必須伸出它之外才看得見。
若把它當成一句設計陳述、而不只是一條方程式，它提供了三個槓桿 — 以下依對本系統的實用程度 由高至低排列：
| 來源 | 機制 | 緩解方式 |
|---|---|---|
| 串擾隨溫度變化 | $\varepsilon_r$ 與銅電阻率改變兩條耦合線之間的耦合量 — 這會移動第 1 項，也就是主導項 | 把 TX 與 RX 的耦合線拉開、在兩者之間加接地圍籬、避免共用回流路徑。這是整個設計中槓桿最大的一招。 |
| 整流器狀態 | 充電器的二極體導通時與截止時呈現不同阻抗，因此在充電與閒置之間 $\Gamma_r$ 會移動。但感測不會在充電期間進行（§1.1），所以這是讓基準值在不同次量測之間位移，而不是破壞一次進行中的量測 | 在配戴時重建基準值 — 穿戴式裝置本來就必須這麼做，因為換了一隻手腕、換了位置，舊的基準值本來就失效，與充電器無關 |
| 腕帶彎折／線圈固定 | 同時移動兩條腿上的參考平面 | 剛性固定；讓兩個耦合器與線圈等距 |
| 線圈失諧 | 腕帶張力改變線圈電感，與組織無關 — 但實測的 $S_{21}$ 峰值很寬平（§3.2），因此傳輸路徑對此的容忍度遠高於 $S_{11}$ 讀值 | 機構設計；掃頻量測以區分調諧與負載 |
| LO 相位雜訊 | 劣化 I/Q 讀出的相位解析度 | 發射與接收共用 SG — 見下方說明 |
很容易把整流器狀態當成本設計最棘手的誤差來源：充電開始、二極體導通、$\Gamma_r$ 跳變， §4.1 的第 2 項不連續地移動。這個階梯是真的。但它有機會破壞量測的情境多半不存在 — 充電發生時手錶已從手腕取下，階梯出現的當下並沒有任何量測在進行；而等到感測恢復時，手錶已經重新戴上， 這本身就會強制重建基準值，理由與充電器毫無關係（§1.1）。
真正留下來的是對演算法、而非對射頻設計的要求：在配戴時重建基準值，並且絕不假設充電循環之前 存下的基準值在之後仍然有效。請注意這與 §3.1 的隔直元件形成對比 — 那件事分時多工救不了： 一顆橫跨在充電線上的被動電阻，並不在乎軟體正在做什麼。
題目：兩個耦合器皆為 $C = 20$ dB、$D = 25$ dB。線圈介面 $IL = 7$ dB。整流器在 4.7 GHz 呈現 $|\Gamma_r| = 0.9$，其網路在兩條充電腿之間通過 $L_{\text{rect}} = 6$ dB。 兩條耦合線之間的電路板串擾為 $X = 55$ dB。
(a) 所需訊號比發射驅動低 $C_1 + IL + C_2 = 20 + 7 + 20 = 47$ dB。以此為基準：
$$\text{crosstalk:}\quad 55 - 47 = 8\ \text{dB below} \;\Rightarrow\; -8\ \text{dB}$$ $$\text{rectifier:}\quad |\Gamma_r|10^{-D/20} = 0.9 \times 10^{-1.25} = 0.0506 \;\Rightarrow\; -25.9\ \text{dB}$$ $$\text{charger path:}\quad -(D_1 + D_2 + L_{\text{rect}} - IL) = -(25+25+6-7) = -49\ \text{dB}$$(b) 換成線性大小：$0.398$、$0.0506$、$0.00354$。三者相位互不相關，故以方均根合成：
$$|\varepsilon| = \sqrt{0.398^2 + 0.0506^2 + 0.00354^2} = 0.401\,|H_0|$$在任何修正之前，讀值中大約 40 % 是誤差 — 而其中 $0.398/0.401 = 99.3\%$ 全部來自第 1 項。最壞情況下三者同相，總和為 $0.452$。
(c) 取 $\eta = 0.02$：
$$\Delta\phi_{\min} \approx \eta\,\frac{|\varepsilon|}{|H_0|} = 0.02 \times 0.401 = 0.0080\ \text{rad} = \mathbf{0.46^\circ}$$現在把兩個耦合器都提升到 $D = 35$ dB。第 2 項降到 $-36$ dB，第 3 項降到 $-69$ dB，於是
$$|\varepsilon| = \sqrt{0.398^2 + 0.0160^2 + 0.000355^2} = 0.398\,|H_0|$$下限從 $0.401$ 改善到 $0.398$ — 0.07 dB。多出來的十個分貝方向性，是用實實在在 的板面積或插入損耗換來的，卻讓儀器的靈敏度改善了一個量不出來的數字。
這代表什麼：有兩個結論，也是本節的重點。第一，這個感測器的全部靈敏度，取決於 兩條銅走線的熱穩定性與機械穩定性 — 那是佈局的性質，不是元件的規格。第二，$0.46^\circ$ 是未經修正的下限；DLL 會移除所有比其迴路頻寬更慢的成分，這正是為什麼在 40 % 的靜態誤差下， 0.1–2 Hz 的生命徵象頻段仍然可用。
合理性驗証：如果第 1 項主導到這種程度，設計審查該問的第一個問題就不是「用哪顆 耦合器？」，而是「兩條耦合線最遠能拉開多少？中間能不能加一道接地結構隔開？」
練習 4 假設 $X = 55$ dB，這是同一塊 PCB 上相距數毫米的兩條耦合線會給你的數字。但照片中的原型機 並不是這樣做的：它使用以同軸線連接的接頭式耦合器模組。優良的接頭與半剛性跳線隔離度好得多 — 是 80 到 100 dB，而不是 55 dB。取 $X = 90$ dB，整個預算就徹底重排：
| 誤差項 | 整合式 PCB $X = 55$ dB | 接頭式原型機 $X \approx 90$ dB |
|---|---|---|
| 1 — 電路板串擾 | $-8$ dB | $-43$ dB |
| 2 — 整流器阻抗失配 | $-26$ dB | $-26$ dB |
| 3 — 充電器路徑 | $-49$ dB | $-49$ dB |
| $|\varepsilon|$ | $0.401\,|H_0|$ | $0.051\,|H_0|$ |
| $\eta = 2\%$ 時的 $\Delta\phi_{\min}$ | $0.46^\circ$ | $\mathbf{0.059^\circ}$ |
主導項從串擾翻轉為整流器阻抗失配，靈敏度下限改善了約 18 dB。
這把練習 4 的結論反轉了。在那裡，多 10 dB 的方向性只讓下限移動 0.07 dB — 等於沒有。但那個結果只有在串擾主導時才成立。在接頭式的情境中，第 2 項按 $10^{-D/20}$ 縮放， 因此同樣的 $D = 25 \rightarrow 35$ dB 會讓 $|\varepsilon|$ 從 $0.051$ 降到 $0.0175$： 約 9 dB 的真實改善。兩種說法都正確；它們只是分屬不同的情境，而且都不是耦合器 單獨的性質。
對發展藍圖而言真正要緊的警告。論文明言的目標是 ASIC 整合與完全腕戴式的實作。 這條路上的每一步，都會把系統從右欄推向左欄：耦合器不再是接頭式模組，而變成同一基板上的走線， 於是串擾重新成為那道牆。因此原型機量到的靈敏度並不能預測整合版的表現 — 它會美化它。 任何要把這個設計移植到單一電路板上的人，都該預期下限會變差，而原因與他們選了哪顆耦合器毫無關係。
$X \approx 90$ dB 是接頭式硬體的典型值，不是量測值。有一個數字就能定住整個預算： 在線圈斷開的情況下，量測 PA 埠到 LNA 埠的隔離度。
練習 2 暴露了問題：四分之一波長耦合線在 1 GHz 是 43 mm，在 100 MHz 是 43 cm。對於工作頻率大致 低於 1 GHz 的腕戴線圈，分佈式結構根本太大。以下三種實作涵蓋整個範圍：
| 實作方式 | 實用頻段 | 典型方向性 | 備註 |
|---|---|---|---|
| 耦合線（分佈式） | > 1 GHz | 15–25 dB（微帶線） | PCB 上免費，但需要 $\lambda/4$ 的長度。低於 1 GHz 就不切實際。 |
| 變壓器／集總式 | 1 MHz – 3 GHz | 20–35 dB | 小型 SMT 封裝中的鐵氧體或空心雙股線變壓器。HF/VHF 線圈系統的常用選擇。 |
| 電阻式電橋 | DC – 6 GHz | 35–45 dB | 極寬頻且方向性很高，但雙向皆有 $\ge 6$ dB 損耗 — 對雜訊指數與發射功率都是實質代價。 |
三者都能分離發射與接收。耦合器在此勝出，理由很具體：
| 定向耦合器 | 環形器 | 收發開關 | |
|---|---|---|---|
| 同時收發 | 可以 | 可以 | 不行 — 需分時 |
| 頻寬 | 寬（一個八度以上） | 窄（鐵氧體諧振） | 寬 |
| < 1 GHz 的尺寸／成本 | 小（變壓器式） | 大、貴、有磁性 | 小 |
| TX→RX 抑制 | $C + D$，例如 45 dB | 隔離度約 20 dB | 關閉時極高 |
| 主路徑損耗 | < 0.1 dB | 0.3–0.5 dB | 0.5–1.5 dB |
| 相位穩定度 | 優異（被動、平面） | 鐵氧體對溫度敏感 | 切換暫態 |
對一個必須把相位守在幾分之一度以內的連續波同調前端而言，耦合器兼具低損耗、寬頻、小尺寸與熱穩定， 是決定性的組合。開關無法同時收發，而環形器在這些頻率下會吃掉大量板面積並隨溫度漂移。
接收埠訊號更大，ADC 端的 SNR 更好。但主路徑插入損耗更高（10 dB 耦合時為 0.46 dB）， 且在相同方向性下發射機的絕對洩漏量更大。
對發射路徑幾乎隱形、絕對洩漏也較小，但接收鏈必須提供更多增益，於是 LNA 雜訊指數反而成為限制因素。
永遠是好事，但從不免費。代價是板面積（帶狀線、補償結構）或插入損耗（電阻式電橋）。 超過約 30 dB 之後，校正比硬體便宜。
在佈局允許範圍內把耦合器盡量靠近線圈。耦合器與線圈之間每一毫米的線長都是參考平面誤差， 會隨溫度與彎折而漂移。
| 物理量 | 公式 | 說明 |
|---|---|---|
| 耦合度 | $C = -20\log_{10}|S_{31}|$ | 取樣的大小 |
| 隔離度 | $I = -20\log_{10}|S_{41}| = C + D$ | 總 TX→RX 抑制 |
| 方向性 | $D = I - C$ | 品質指標 |
| 插入損耗 | $L = -10\log_{10}(1 - 10^{-C/10})$ | $C=20$ dB 時為 0.044 dB |
| 電壓耦合係數 | $c = 10^{-C/20}$ | 線性振幅比 |
| 偶／奇模阻抗 | $Z_{0e,0o} = Z_0\sqrt{(1\pm c)/(1\mp c)}$ | $Z_0 = \sqrt{Z_{0e}Z_{0o}}$ |
| 耦合段長度 | $\ell = \lambda_g/4$、$\lambda_g = c_0/(f\sqrt{\varepsilon_{\text{eff}}})$ | 決定 $f_0$ |
| 線圈傳輸 | $H = b/a \approx S_{21}^{\text{coil}}$ | 本 RFFE 中的被測量 |
| 反射係數 | $\Gamma = (Z_L - Z_0)/(Z_L + Z_0)$ | 單埠反射計中的被測量 — 列此以資對照 |
| 傳輸路徑預算 | $P_{\text{RX}} = P_{\text{TX}} - C_1 - IL - C_2$ | 兩個耦合器串接 |
| 串擾誤差項 | $10^{-(X - C_1 - C_2 - IL)/20}$ | 主導項 — 相對於 $|H|$ |
| 串接洩漏 | $10^{-(D_1 + D_2 + L_{\text{rect}} - IL)/20}$ | 兩個方向性相加 |
| 可解析相位 | $\Delta\phi_{\min} \approx \eta|\varepsilon|/|H_0|$ | $\eta$ 為 $\varepsilon$ 的漂移比例 |
| I/Q 還原 | $H = (I + jQ)/K$ | 需要同調 LO |
1. 耦合器存在的理由，是讓雷達能夠在一條不被允許切斷的無線充電線路上取樣， 並依據波的行進方向加以分類。
2. 它之所以有效，是因為電容性與電感性耦合在隔離埠相消；相消得多好，就是 方向性。
3. 串接兩個耦合器之後，方向性不再是限制；此時決定下限的是兩條耦合線之間的電路板串擾 — 以及它漂移了多少。
RF フロントエンド（RFFE）のブロック図では、送信系は DAC → LPF → I/Q ミキサ → PA → BPF → 結合器 → コイル、 受信系は コイル → 結合器 → BPF → LNA → I/Q ミキサ → LPF → ADC と流れる。 ここに現れるのは二つの別々の結合器であり、しかも同じコイルの異なる二つの端子に接続されている。 図を「共用された一つの結合器」と読んでしまうのが、最初に避けるべき誤読である。
このコイルは専用に設計されたアンテナではない。スマートウォッチの Qi ワイヤレス充電コイルであり、 その 2 本のリードはもともと充電器の整流回路につながっている。この接続には一切手を触れられない — レーダーがセンシングしている間も標準のワイヤレス充電がそのまま動くこと、それがこの設計の主張そのものだからである。 したがってレーダーをコイルへ直結することはできず、切断が許されない一対のリードへ結合させるしかない。
それこそが二つの方向性結合器の役割である。各結合器の主線路（スルー線路）が、コイル↔整流器という 充電経路の片脚そのものになっている。レーダーは結合線路の側で生きている。結合器 1 が 4.7 GHz の 問い合わせ信号を一方の脚へ注入し、結合器 2 がもう一方の脚から戻ってきた信号を取り出す。 110–205 kHz の Qi 帯では、4.7 GHz 用に設計された結合器は電気的にはただの電線でしかなく、 充電電力は意味のある損失なしに通過する。
このフロントエンドのすべては一つの発想から出ている。すなわち、同一の物理部品に、遠く離れた二つの周波数帯で 二つの異なる役割を演じさせるということである。
| 周波数帯 | そこでの結合器の姿 |
|---|---|
| センシング周波数 4.7 GHz |
正常に機能する方向性結合器 — 明確な結合度（ハイブリッドなら 3 dB 分配、疎結合のサンプリングなら 20 dB）、端子間アイソレーション、方向性をもつ。設計対象の帯域はこちらである。 |
| Qi 充電周波数 110–205 kHz |
事実上「消える」。この周波数では結合区間の電気的寸法が極端に小さく、部品はただの電線に 退化する。充電電力はあたかもこの部品が存在しないかのように流れていく。 |
どちらの帯域も他方への妥協の産物ではない。だからこそ「構造の再利用」が、こじつけではなく誠実な設計になっている。 ただし注意すべき点がある。この役割分担は結合器そのものの性質であって、そこにぶら下がるすべての部品に 自動的に適用されるわけではない。50 Ω 終端が同じ分担に従うようにするには意図的な設計が必要で、 それはただでは手に入らない（§3.1）。
論文の要旨は、レーダーのセンシング中も充電が「完全に正常動作する」と述べている。周波数領域の話としては その通りである。しかし使用シナリオとしては、それはほとんど起こらない。時計が Qi 充電台に載っているということは、 すでに手首から外されているということであり、そのとき測るべき手首は存在しない。実務上、この二つの機能は 並行ではなく時分割である。
これはこの設計の価値を損なうものではない — 利点の置き場所が変わるだけである。構造の再利用が本当に買っているのは ハードウェアの経済性であり、第 2 のアンテナも、追加の基板面積も、余分な BOM 項目も、筐体の追加開口も 要らないという点にある。「並行動作」を買う必要はなく、そう述べたほうがむしろ主張は堅固になる。
見落とされやすいが重要な帰結が一つある。50 Ω 終端は受動で、恒久的に接続されている。レーダーが動いて いるかどうかを終端は知らない。終端が充電経路に及ぼす影響は、レーダーの電源が入っていようがいまいが毎回の 充電サイクルで生じる — §3.1 の DC ブロック部品をスケジューリングで回避できない理由がここにある。
図 1 に従って四つの端子を 1–4 と番号づける。2 本の伝送線路がある区間だけ平行に走る。その長さは 単一の部品とみなせるほど短く、しかも両者のあいだで電磁界が漏れ合うには十分な長さである。この部品は次の一つの規則に従う。
いずれも P1 への入射電力を基準とした dB 値である。
UHF〜低マイクロ波帯における PCB あるいは表面実装型結合器の代表値は、$C = 10$–$20$ dB、 $D = 20$–$35$ dB、$L = 0.05$–$0.5$ dB である。
問題：ある信号源が $+20$ dBm を、$C = 20$ dB、方向性 $D = 25$ dB の結合器の端子 1 へ送り込む。 結合器自体は無損失とする。
これは一般的な四端子バジェットである。RFFE のフロントエンドには直観どおりには対応しないことに注意すること。 あちらでは送信機が駆動しているのは結合線路であり、コイルが受け取るのはスルー端子の電力ではなく $P_{\text{TX}} - C$ である。§3.4 と演習 3 を参照。
(a) 電圧結合係数は $c = 10^{-C/20} = 10^{-1} = 0.1$ であり、取り出される電力の割合は $c^2 = 0.01$ である。
$$L = -10\log_{10}(1-0.01) = 0.044\ \text{dB} \;\Rightarrow\; P_{\text{through}} = 20 - 0.044 \approx +19.96\ \text{dBm}$$ほぼ全量が通過する。20 dB 結合器は主経路から見ればほとんど透明であり、だからこそワイヤレス充電経路に恒久的に 直列挿入しても充電を妨げない。
(b) $P_3 = 20 - C = 20 - 20 = \mathbf{0\ dBm}$。RFFE ではこれが最も重要な数値になる。 PA が結合線路に接続されている以上、$0$ dBm が実際にコイルへ届く電力だからである。
(c) アイソレーションは $I = C + D = 20 + 25 = 45$ dB なので、
$$P_4 = 20 - 45 = \mathbf{-25\ dBm}$$妥当性の確認：$-25$ dBm は信号源より 45 dB 低いが、LNA にとっては依然として大きな信号である。 両方の数値を覚えておくこと — 演習 3 ではこのような結合器を 2 個縦続接続し、その組み合わせで何が得られるかを見る。
2 本の伝送線路を近づけると、エネルギーは二つの独立な機構を通じて同時に漏れていく。ここがこの部品の物理の核心である。
平衡条件は、二つの機構が線路インピーダンスに対して同じようにスケールすることである。
均一媒質（ストリップライン、同軸線路）ではこの式が厳密に成り立ち、方向性は 40 dB を超えうる。不均一媒質 — たとえば通常のマイクロストリップでは、偶モードと奇モードが見る基板と空気の比率が異なる — では 両モードの伝搬速度が違うため相殺が不完全になり、方向性はふつう 15–25 dB 程度で頭打ちになる。
$Z_0$ 系における、電圧結合係数 $c = 10^{-C/20}$ の 1/4 波長結合線路結合器では、二つのモードインピーダンスは直接求まる。
あとは電磁界ソルバか、マイクロストリップの閉形式の式を用いて、この二つの数値を実際の線幅 $w$ と間隔 $s$ に変換する。 結合が密になるほど間隔は狭くなる。おおよそ 6 dB より密な結合器を、単純なエッジ結合の線路対で作るのが難しいのはこのためである。
理想的な 1/4 波長結合器の結合端子応答は次式で与えられる。
結合度は $\theta = 90^\circ$（$\ell = \lambda/4$）でピークとなり、その両側では $\sin\theta$ に従って落ちるだけなので、 応答はかなり広い — $\pm 1$ dB 平坦度でおよそ 1 オクターブに達する。これはフェライト・サーキュレータよりはるかに広く、 測定機器の世界で結合器が主役であり続けている実務的な理由の一つでもある。
問題：50 Ω 系、$f_0 = 1$ GHz、基板の $\varepsilon_{\text{eff}} = 3.0$ という条件で 20 dB の結合線路結合器を設計せよ。$Z_{0e}$、$Z_{0o}$ および物理長を求めること。
結合係数：$c = 10^{-20/20} = 0.100$。
$$Z_{0e} = 50\sqrt{\frac{1.1}{0.9}} = 50(1.1055) = \mathbf{55.3\ \Omega}$$ $$Z_{0o} = 50\sqrt{\frac{0.9}{1.1}} = 50(0.9045) = \mathbf{45.2\ \Omega}$$検算：$\sqrt{55.3 \times 45.2} = 50.0\ \Omega$ となり正しい。
長さ：
$$\lambda_g = \frac{c_0}{f\sqrt{\varepsilon_{\text{eff}}}} = \frac{3\times10^8}{10^9\sqrt{3}} = 173.2\ \text{mm} \;\Rightarrow\; \ell = \lambda_g/4 = \mathbf{43.3\ mm}$$コメント：$Z_{0e}$ と $Z_{0o}$ がどれほど近いかに注目してほしい — 差はわずか 10 Ω である。 疎結合とは広い間隔とほとんど結合していない線路対を意味し、製造は容易だが、その分だけ方向性がエッチングや 誘電率のわずかなばらつきに敏感になる。長さにも注意すること。1 GHz で 43 mm はウェアラブル基板ではすでに扱いにくく、 100 MHz なら 43 cm になってしまう。§5.1 を参照。
RFFE 図の二つの結合器は同じつなぎ方をしている。主線路が Qi 充電経路（コイル↔整流器）を担い、 副線路（結合線路）がレーダーを担って、その遠端は 50 Ω で終端されている。違いは、必要な信号がどちら向きに進むかだけである。
次表の役割の列がこの図を読み解く鍵であり、その理由は繰り返す価値がある。「結合」と「アイソレーション」は 物理端子に固定された名前ではない。それらは「どの端子が駆動されているか」に対して割り当てられる役割であり、 進行方向が反転すれば入れ替わる（§1.2）。表中の結合器 1 の役割はその副線路から入る送信駆動信号に対するものであり、 結合器 2 の役割はその主線路をコイルから伝わってくる信号に対するものである。
| 結合器 | 端子 | 役割 | 接続先 | 担うもの |
|---|---|---|---|---|
| 1 （TX 注入） |
副線路、PA 側 | 駆動される端子 | PA → BPF | 送信駆動信号、$+20$ dBm |
| 副線路、反対端 | スルー | 50 Ω 終端 | TX 電力の大部分 — 意図的に捨てられる | |
| 主線路、コイル側 | 結合 | コイル端子 1 | 注入される分 $P_{\text{TX}} - C$：問い合わせ信号 | |
| 主線路、充電器側 | アイソレーション | 整流器 | $\approx 0$ — 送信機を充電器に入れないのはこの働き | |
| 2 （RX 取り出し） |
主線路、コイル側 | 駆動される端子 | コイル端子 2 | コイルから戻る、組織で変調された信号 |
| 主線路、充電器側 | スルー | 整流器 | 充電経路はそのまま継続し、妨げられない | |
| 副線路、LNA 側 | 結合 | BPF → LNA → I/Q ミキサ → ADC | 測定対象 | |
| 副線路、反対端 | アイソレーション | 50 Ω 終端 | 充電器側から来るものを吸収する |
二つの結合の行を並べて見ると、構成の全体像が浮かび上がる。結合器 1 の結合端子はコイルへ、 結合器 2 の結合端子は LNA へ送っている。さらに、二つの 50 Ω 終端はどちらも結合端子には付いていないことに注意してほしい。 一方はスルー端子であり（だからこそ送信電力の大部分をそこで捨てている、§3.4）、もう一方はアイソレーション端子である。 「結合線路」（物理的な 1 本の線路）と「結合端子」（一つの役割）を混同することが、この図を読み違える最もありがちな道筋である。
各結合器にはちょうど一つだけ接地端子がある。これは装飾的な細部ではなく、 50 Ω 終端であって短絡ではない。使わない結合器端子は系のインピーダンスで必ず終端しなければならない。 開放や短絡のままにすると、吸収されるはずだった波が結合区間へ反射して戻り、方向性が台無しになる。
この二つの接地端子が異なる役割を演じている点にも注意すること。結合器 1 では、それは送信駆動信号にとっての スルー端子である — PA 電力の大部分がそこで消費される理由でもある（§3.4）。結合器 2 では、それは 所望信号にとってのアイソレーション端子である。同じ記号で逆の機能。「接地」と「アイソレーション」は同義語ではないし、 どの端子がアイソレーション端子になるかは、依然として波の進む向きに依存する（§1.2）。
図では各終端が単純に接地された抵抗として描かれている。それが成り立つのはセンシング帯域だけである。Qi 周波数で問題になるかどうかは、 結合器が物理的にどう実装されているか（§5.1）で決まるが、回路記号は両者でまったく同じである。
第 2 の場合は決して周辺的な損失ではない。Qi の電源インピーダンスは低く、しかもそれは電力源である。10 V のコイル節点に 50 Ω のシャントがあれば、$V^2/R = 2$ W を継続的に消費し、それがすべて熱になる。しかも腕に着ける筐体の中でである。 これは RF の問題である以前に、熱と安全の問題であり、さらにこの負荷は Qi 自身の電力制御ループも乱す。
解は、結合端子と抵抗のあいだに高域通過素子 — 実務的には DC ブロック用コンデンサ — を直列に入れ、 150 kHz では高インピーダンス、4.7 GHz ではほぼ短絡になるようにすることである。
| 直列 $C$ | 150 kHz での $|X_C|$ | 10 V での Qi 側消費 | 4.7 GHz での $|X_C|$ | 終端の反射損失 |
|---|---|---|---|---|
| なし | 0 | 2 W | 0 | 完全 |
| 10 pF | 106 kΩ | 0.4 µW | 3.4 Ω | 29 dB |
| 100 pF | 10.6 kΩ | 44 µW | 0.34 Ω | 49 dB |
| 1 nF | 1.06 kΩ | 4.4 mW | 0.03 Ω | 69 dB |
これは理想コンデンサの値である — 寄生インダクタンスの落とし穴については以下を参照。
値を実際に決めるのは、前のヒントに挙げた制約である。終端自身の反射損失は結合器の方向性より十分低くなければならず、 さもないと終端のほうが制限要因になってしまう。$D = 25$ dB のとき、10 pF では余裕が 4 dB しか残らない — 足りない。100 pF なら 24 dB 残る。
もう一つの落とし穴。部品は容量値だけでなく自己共振周波数で選ぶこと。100 pF の 0402 は およそ 0.4 nH の寄生インダクタンスをもち、SRF は 2.5 GHz 付近になる — 4.7 GHz ではすでに誘導性で、 $+j12\ \Omega$ 程度となり、終端の反射損失を 19 dB 程度まで引き戻してしまい、すべてが台無しになる。 きれいな答えは、小型パッケージの小さな容量値を選び、センシング帯域でそれ自身を直列共振させることである。 パッケージとランドのインダクタンスが $0.25$ nH 程度なら、$C \approx 1/(\omega_0^2 L) \approx 4.7$ pF が 4.7 GHz で共振し、 そこではほぼゼロのリアクタンスを示しつつ、150 kHz では依然として 226 kΩ を保つ。
しかもこれはスケジューリングでは回避できない。充電とセンシングが実際には時分割である（§1.1）以上、 「終端が問題になるのはレーダーが動いているときだけだ」と主張したくなる。だがそれは通らない。抵抗は受動であり、結合端子に恒久的に接続されている。 したがって結合器に直流導通性があるかぎり、このシャントはレーダーの通電の有無にかかわらず毎回の充電サイクルで存在する。 RF スイッチで切り離す方式に変えれば、系全体でもっとも敏感な節点に挿入損失と非線形性と漏れを増やすことになる。直列コンデンサの代償は部品 1 個だけで済む。
この点はブロック図からはまったく読み取れないが、実装では避けて通れない。
コイルは二つの端子をもつ近傍界構造であり、一方が駆動され、他方でセンシングされる。手首を近づけるとその近傍界環境が変わる。 組織の誘電率と導電率がコイルに負荷を与え、そのリアクタンスと損失を同時に変化させる。送信機と受信機が異なる端子にあるため、 フロントエンドが読み出すのは反射ではなく、複素の伝送である。
二つの因子はどちらも時間変化する。$\varepsilon_c$ が複素数であるため、組織の運動は振幅と位相を同時に動かす （直後のヒント枠を参照）。それでも受信機は $\Delta\phi(t)$ を信号として取る — $|H(t)|$ が静止しているからではなく、 DSIL ループが位相をサーボしており、位相は利得ドリフトに対して免疫だからである（§3.3）。振幅変調は確かに存在するが、意図的に捨てられている。 下流のすべてが $|H_0|$ を定数として扱っている。
前段では、組織がコイルのリアクタンスと損失を同時に変えると述べた。これは偶然同時に起こる二つの効果ではなく、一つの原因である。 組織は単一の複素誘電率で記述され、導電率はそこに畳み込まれている。
$$\varepsilon_c = \varepsilon' - j\varepsilon'' = \varepsilon_0\varepsilon_r - j\frac{\sigma}{\omega}$$4.7 GHz では筋肉の $\varepsilon_r \approx 50$、$\sigma \approx 4$ S/m であるから、
$$\frac{\sigma}{\omega\varepsilon_0} = \frac{4}{2\pi(4.7\times10^{9})(8.854\times10^{-12})} = 15.3 \qquad\Longrightarrow\qquad \varepsilon_{c,r} \approx 50 - j\,15.3$$損失正接は $\tan\delta \approx 0.31$ である。どちらの部分も無視できない — 虚部は実部の約三分の一であり、 「リアクタンスの変化は損失の変化よりはるかに大きい」というよくある言い方が、この周波数では成り立たない理由がここにある（§3.3）。
| 成分 | 物理的な働き | コイルへの影響 |
|---|---|---|
| $\varepsilon'$（実部） | 近傍界に余分な電気エネルギーを蓄える — より多くの電気力線が高 $\varepsilon_r$ の媒質で終端する | 等価容量が増える → リアクタンスが変わり、共振が下へ引かれる |
| $\varepsilon''$（虚部、$=\sigma/\omega$） | 伝導電流と誘電緩和電流が電力を熱として散逸させる | 等価コンダクタンスが増える → 損失が増え、$Q$ が下がる |
回路の言葉で言えば、端子インピーダンス $Z = R + jX$ は $(R + \Delta R) + j(X + \Delta X)$ になる。組織は $\Delta C$ と $\Delta G$ を 同時に付け加える。それは同じ材料であり、$\varepsilon_c$ が一つしかないからである。摂動論はこれを一行で言い切る — 場の中に置かれた小さな材料摂動に対して、
$$\frac{\Delta\omega}{\omega} \approx -\frac{\int_{\Delta V}\Delta\varepsilon\,|E|^{2}\,\mathrm{d}V}{2\int_{V}\varepsilon|E|^{2}\,\mathrm{d}V}$$$\Delta\varepsilon$ が複素数なら $\Delta\omega$ も複素数になる。その実部はリアクタンスと周波数のずれであり、虚部は $Q$ の変化すなわち損失である。 複素の原因、複素の結果 — 両者は構造的に分離できない。これが $H$ が複素の測定量である物理的理由であり、 したがってフロントエンドがダイオード検波器ではなく I/Q 受信機を必要とする理由でもある（§3.3）。スカラー受信機は組織が生む情報の半分を捨ててしまう。
因果の順序を取り違えないこと。誘電率は結合の経路であって駆動源ではない。組織の性質が変わるのではない。 変わるのは、皮膚が変位したときにコイル近傍界の中で組織境界がどこにあるかであり、それによってコイルが見る体積加重平均の $\varepsilon_c$ が変化する（§3.5）。変位が原因であり、複素誘電率はそれが電気信号になるための道筋である。 しかも組織どうしの差は大きい — 脂肪はおよそ $\varepsilon_r \approx 5$、$\sigma \approx 0.3$ S/m、血液は $\varepsilon_r \approx 55$、$\sigma \approx 5$ S/m 程度である — ので、センシング体積に入ってくるのがどの組織かは、 それがどれだけ動いたかと同じくらい重要になる。
論文自身の品質指標もこの読み方を裏づけている。コイル界面は反射損失ではなく挿入損失で特徴づけられており、 4.7 GHz での実測値は $\lt 7$ dB である。110–205 kHz の磁気結合のために設計された構造が、結果として 2 本のリードのあいだに 使えるマイクロ波通過帯域をもっており、レーダーはその通過帯域に乗っている。
コイルの実測 S パラメータは、このフロントエンドが何を読んでいるのかについての疑いを完全に晴らす。これは2 端子対測定であり、 $S_{11}$、$S_{22}$ そして $S_{21}$ がある。単端子の反射計では被測定物の $S_{22}$ も $S_{21}$ も測れない。 この二つが存在するというだけで、数値を見る前から「単一結合器」という読み方は排除される。
| 4.7 GHz にて | 実測値 | 線形値 | その意味 |
|---|---|---|---|
| $|S_{21}|$ | $-6.86$ dB | 0.454 | $|H_0|$ — §4 全体が用いる動作点 |
| $|S_{11}|$ | $-18.99$ dB | 0.112 | コイル端子 1 から見た整合 |
| $|S_{22}|$ | $-21.08$ dB | 0.088 | コイル端子 2 から見た整合 |
$|H_0| = 0.454$ が図 4 と演習 3、4 の拠りどころとなる数値であり、$6.86$ dB がそこで 7 dB と丸めて使う挿入損失である。 §4 の誤差バジェットは推定値ではなく実測値の上に立っている。
なぜ 4.7 GHz なのか。1–4 GHz ではコイルの反射損失はわずか 2–5 dB （$|\Gamma| \approx 0.6$–$0.8$、ひどい不整合）で、$|S_{21}|$ は $-20$ 〜 $-30$ dB と低い — この構造は遮断しており、200 kHz 用に生まれた部品としてはそれが当然である。ところが 4.7 GHz で両端子が同時に急激に落ち込み、 整合した共振に入るとともに、$|S_{21}|$ も同じ場所でピークになる。つまり動作周波数は伝搬や組織の考察から選ばれたのではない。 110–205 kHz 用に設計されたコイルが、たまたま両方のリードで同時に 50 Ω に見える唯一の周波数なのである。 見事に実行された機会主義であり、レーダーはその通過帯域に乗っている。
曲線の形からこのトポロジを支持する論拠が漏れ出している。$S_{11}$ のくぼみは鋭く、幅は数百 MHz しかない。 一方 $S_{21}$ のピークは広く平らで、両側に 600 MHz 離れても約 $-8$ dB を保つ。反射に基づくセンサは狭いくぼみの急な斜面に座らねばならず、 コイルの離調（バンドの張力、温度、組織負荷）があれば読み値は激しく振れる。伝送経路の測定は広く平坦な極大の上に座るので、 しばしば取り違えられる反射計よりも本質的に離調に強い。この頑健性こそが二結合器トポロジの本当の利点であり、 §4.3 の「コイルの離調」の行がここでは比較的穏やかな問題である理由でもある。
それが教えてくれないこと。これはコイル単体を、自由空間で、手首なしにベクトル・ネットワーク・アナライザで測った結果である。 結合器も整流器も基板も含まれていないので、§4.1 の三つの誤差項は一つも測られていない。とりわけ整流器の $|\Gamma_r|$ は依然として仮定であり、 基板のクロストーク $X$ も未測定のままである — §4 の誤差バジェットを模式図から実物へ変えられるのは、この二つの数字である。
符号の約束：実測図に描かれているのは $|S|$ の dB 値なので負になる。本ガイドでは反射損失と挿入損失を正の値として扱う。 数値は同じで符号が逆になるだけである。
ここで方向性が果たしている仕事。従来の反射計では、方向性は同一線路上の逆方向波と順方向波をどれだけきれいに分けられるかを決める。 このトポロジでは同じ機構が別の仕事をする。結合器 2 はコイルから来る信号を LNA に渡し、整流器から来る信号を排除しなければならない。 この二つは同じ主線路を逆向きに進んでおり、それを見分ける能力こそ方向性結合器が提供するものである。
上のヒントはうなずくのは簡単でも行動に移しにくいので、ここでは結果を数値に置き換える。結合器 1 で $C = 20$ dB、$D = 25$ dB、 $P_{\text{TX}} = +20$ dBm とし、コイルの実測挿入損失 6.86 dB を用いる。すべては、コイルが主線路のどちらの端子につながっているかで決まる。
| コイルが結合端子側 — 正しい | コイルがアイソレーション端子側 — 逆 | |
|---|---|---|
| コイルに届く電力 | $20 - C = \mathbf{0}$ dBm | $20 - (C+D) = \mathbf{-25}$ dBm |
| 整流器に届く電力 | $-25$ dBm | $0$ dBm |
| コイルと結合器 2 を経た LNA 入力 | $-27$ dBm | $-52$ dBm |
逆に付けた側の列では、代償はまるまる 25 dB のリンクバジェットであり、同時に結合サンプル全量を充電器の整流器へ直接注ぎ込むことになる — §3.4 が主張するアイソレーションのちょうど逆である。演習 3 のバジェットはすべて左の列の上に立っている。
これが厄介な故障モードである理由。故障のように見えないからである。逆に付けた結合器でも信号は LNA に届き、 呼吸や脈拍に追随でき、もっともらしい波形を生み出す — ただ 25 dB 弱いだけで、その分 §4.1 の誤差フロアにずっと近い。 実験机の上では「動くが弱い」系が見えるだけで、たいていはコイルか結合度か LNA のせいにされる。症状そのものは結合器を指し示さない。
ブロック図はこれを判定してくれない。X が入った四角は方向情報を持たない汎用の結合器記号にすぎず、論文の図 1(b) の矢印自体も整合していない — 結合器 1 の整流器側の矢印は、レーダーの信号の流れとも Qi の充電の流れとも合っていない。この問題を解決できるのは、 部品データシートの端子表と、基板そのものの二つだけである。
RFFE 図の分配器が、同一の信号発生器（SG）の搬送波を送信側と受信側の I/Q ミキサへ同時に送っていることに注目してほしい。 これは偶然ではなく、受信機と送信機を位相コヒーレントにするためである。その結果、ベースバンド出力は次のようになる。
$K$ とは何か。それはコイル端子から ADC のカウント値までのあいだにあるすべてを集約した実数の利得である — 送信駆動振幅、二つの結合係数 $c_1$ と $c_2$、BPF の挿入損失、LNA 利得、ミキサの変換利得、ベースバンド利得、そして変換器の 「1 ボルトあたり何カウントか」を含む。この二つの結合だけで、コイル自身の $S_{21}$（$-6.86$ dB）と PA 端子から LNA 端子までの伝送 （$-47$ dB、演習 4）の差である 40 dB を占めている。$H$ は無次元なので、単位はすべて $K$ が引き受ける。
$K$ は大きさだけである点に注意すること。信号系は位相のずれも同様にもたらす — ケーブルやフィルタの群遅延、ミキサの位相 — が、そのずれはコイル自身によるずれと区別できないため、$K$ ではなく $\phi_0$ に吸収される。 本システムで絶対位相が何の情報も持たず、$\Delta\phi$ だけが情報を持つ理由がここにある。 $\phi_0$ はコイルと電子系全体の分離しがたい混合物であり、単発の測定では両者を切り分けられない。
$K$ を測る必要は決してない。§4.2 の正規化で割り落とされ、下の $Q'/I'$ でもう一度割り落とされるので、 系のどこにも絶対利得の校正は要らない。$K$ が効くのは二か所だけである。静的な搬送波が ADC レンジのどこに落ちるかを決めること （すなわち下記のダイナミックレンジの議論）、そして温度・電源・AGC とともにドリフトすること — これもまた、この構成が振幅ではなく位相を読む理由の一つである。
$(I, Q)$ の組は複素数 $K\!\cdot\!H$ の直交座標表現そのものである。振幅は $\sqrt{I^2+Q^2}/K = |H|$、 位相は $\operatorname{atan2}(Q,I) = \phi$ である。何も推定されておらず、何も失われていない。 しかし手首は $|H|$ と $\phi$ を独立に動かすのではなく、一つの動作点を摂動する。
この $j$ が議論のすべてを担っている。I/Q 平面上で信号は搬送波に直交している。測定点は半径 $K|H_0|$、 角度 $\phi_0$ の位置にあり、微小な動きはそれを短い円弧に沿って動かすのであって、出入りさせるのではない。 座標系を $-\phi_0$ だけ逆回転させて $H_0$ を実軸に載せれば、両者はきれいに分離する。
何かが加わったり失われたりするわけではない — これは損失のない基底変換である。変わるのはどの軸が何を担うかである。 元の組を小さな $\Delta\phi$ について展開すると、プライムなしの座標系の問題が見えてくる。
両方のチャネルが静的な項と信号の項を同時にもち、信号が両者へどう配分されるかは $\phi_0$ が決めている — そしてその $\phi_0$ はコイルと信号系の混合物なので任意である。$\phi_0 = 45^\circ$ なら各チャネルが信号の半分ずつを運び、 $\phi_0 = 0$ ならすべてが $Q$ に載る。どちらのチャネルも単独では使いものにならず、しかもこの配分比は $\phi_0$ のドリフトとともに動く。
| $I,\ Q$ | $I',\ Q'$ | |
|---|---|---|
| 基準軸 | 受信機の任意の軸 | 静的ベクトル $H_0$ に整列 |
| 静的な搬送波 | 両者に分散 | すべて $I'$ に集まる |
| 信号 $\Delta\phi$ | 両者に分散 | すべて $Q'$ に集まる |
| $\Delta\phi$ の復元法 | $\operatorname{atan2}(Q,I) - \phi_0$ | $Q'/I'$ だけでよい |
| $\phi_0$ に依存するか | する、しかも強く | しない — 回転に吸収済み |
この演算そのものは角度 $-\phi_0$ の 2×2 回転であり、数値的に実行される。
物理的な意味をもつのはプライム付きの名前のほうである。$I'$ は搬送波と同相、$Q'$ は搬送波と直交であり — まさに $H_0(1 + j\Delta\phi)$ の $j$ が主張していることである。実務上の注意が一つある。 この回転には $\phi_0$ が必要で、それはベースライン（あるいは手首なし）の参照状態から取る。 そして本構成では DLL の停留位置 $D_0$ がすでにそれを符号化している — サーボと逆回転が同じ整列動作の二つの見方にすぎない理由でもある。
ここから二つの帰結が出る。どちらも後で効いてくる。第一に、この比は$K$ と $|H_0|$ をまとめて消してしまうので、 この方法で得た位相の読み値は増幅器の利得ドリフトや AGC の動作に対して免疫である — この構成が振幅ではなく位相を読む誠実な理由はこれである。 第二に、$\Delta\phi$ こそが界面を通じた変換定数によって物理的な変位に対応する量であり、したがって §3.5 で測られた 70 µm の下限にも対応する。
この二項を比べてほしい。$\Delta\phi$ が 1 度程度のとき、$Q'$ は $I'$ のおよそ 1 % しかない — 百倍大きい搬送波に乗った微小な揺れであり、その両者のあいだに誤差ベクトル $\varepsilon$ が挟まっている （統合された状況では $|H_0|$ の 40 % に達する、§4.1）。図 1(a) が VA + VPS のクラッタ・キャンセラと I/Q の DC オフセット補正を検波器の前に置いている理由がこれである。
それが系のどこで起きているかにも注意してほしい。ADC がディジタル化するのは RFFE から来た生の I/Q であり、静的搬送波はまだその中にいる。 イメージ抑圧もクラッタ抑圧もFPGA 内部、変換器の下流にあるディジタル・ブロックである。つまり静的な $H_0$ はディジタル化の前には取り除かれず、 ADC のダイナミックレンジを食う。信号が搬送波の約 1 % のとき、およそ 7 ビットが搬送波の表現に費やされ、残りが信号に回る。 14 ビット変換器ならまだ約 7 ビットの余裕があり、おそらくそれがこの構成をこの形で成立させている。そのうえで遅延同期ループが $\phi$ を動作点近傍に保ち、 $|\Delta\phi| \ll 1$ を維持し続けるので、上の線形化が成り立つ。
上の逆回転は $\Delta\phi \approx Q'/I'$ を与える。これは「なぜ位相が復元でき、なぜそれが利得ドリフトに免疫なのか」を理解する正しい道筋である。 しかしハードウェアが実際に使う信号経路はこれではない。図 1(a) では、キャンセル後のサンプルがコンパレータを駆動してTDL に入り、 DLL — 周波数検出器 → PI 制御器 → TDL — が遅延線を調整して、SILO の注入位相を設定点に保つ。
このループ上で積み上がる総位相を書き下すと、
$$\theta_{\text{loop}} = \phi_0 + \Delta\phi(t) + \phi_{\text{TDL}}(D)$$項が三つしかないのは、上で定義した $\phi_0$ が固定の電子系位相とコイルの位相をすでにまとめて引き受けているからである — $K$ の議論の要点がまさにこれであった。「残りのループ位相」を別に書く必要はない。ループは $\theta_{\text{loop}}$ が設定点 $\theta_{\text{set}}$ に達するまで $D$ を駆動するので、
$$\phi_{\text{TDL}}(D) = \theta_{\text{set}} - \phi_0 - \Delta\phi(t)$$これはきれいに二つに分かれる。静的部分 $D_0$ が $\theta_{\text{set}} - \phi_0$ を吸収し — $\phi_0$ の行き先はここである — 動的部分 $\Delta D(t) \propto -\Delta\phi(t)$ が信号である。遅延線は静的なループ位相を飲み込める位置ならどこにでも止まり、 その停留位置からのずれが測定結果になる。
したがって読み出されているのはループ自身の状態である。ドップラー位相は TDL の制御ワード（図中の $D$）であり、 ドップラー振幅は振幅検出器（$A$）から来る。制御努力そのものが測定結果である — サーボ型の読み出しである。 つまり $Q'/I'$ はループが依拠する弁別器特性であって、ループはその傾き近傍で線形化しているにすぎない。 FPGA が最終的に報告する数値そのものではない。
これをクラッタ・キャンセラと混同しないこと。この二つの機構が片付けているものは同じではない。
| 機構 | 何を片付けるか |
|---|---|
| TDL + DLL | 静的な位相 $\phi_0$ — $D_0$ に吸収され、そこからのずれが信号になる |
| クラッタ・キャンセラ（VA + VPS） | 静的なベクトルの大きさ — 放置すれば ADC レンジを食う I/Q の DC オフセット |
VPS はキャンセル用のレプリカを作るために正しい角度を必要とするので、$\phi_0$ はクラッタ抑圧のパラメータではある — しかしそれを実際に片付けているのは遅延線であって移相器ではない。
ここから二つの帰結が出る。第一に、これが DSIL の「D」が存在する理由である。単純な SIL レーダーは感度が注入位相に対して 正弦的に変化し、ゼロ点で崩壊する。したがって $\phi_0$ を可変遅延線に吸収させ、ループを最適設定点に保つことが、この構成の名前の由来となった解決策そのものである。 第二に、位相が復元できない理由も説明される — $\phi_0$ は最終的に $\theta_{\text{set}}$ とともに $D_0$ に埋もれ、どんな測定でも掘り返せない。 これは上で $K$ と信号系位相の側から得た結論と同じである。二つの道筋、一つの答えである。
原論文は数値を与えていない。論文 [2] は、ディジタル遅延線が注入信号の位相をリアルタイムに補償して 「最適センシング点」に保つ、とだけ述べている。角度は示されておらず、その論文には $\theta$ も $\pi$ も出てこず、 同相動作と逆相動作の議論もない。
同系列の超音波の研究から $\theta_{\text{set}} = \pi$ を持ち込みたくなる — そちらで逆相動作が選ばれたのは、 $A_{\text{inj}} = 0.5$ のときプラント利得がそこで最大平坦（三階までの導関数がゼロ）になり、最も線形な動作点を与え、 それに伴う負の利得がちょうど PI ループを負帰還にするからであった。しかしその論法はあちらのプラントに属する。 4.7 GHz の手首システムへ持ち込めばそれは発見ではなく仮定になるので、本ガイドでは $\theta_{\text{set}}$ を記号のままにしておく。
本システムに出てくるもう一つの 180° と混同しないこと。論文 [2] の第 2 章は確かに 180° を指定しているが、 それはクラッタ・キャンセラの話である。可変利得増幅器とレジスタ列で構成した可変移相器を使い、送信信号の一方を 振幅は同じ、位相は 180° 違いに調整し、加算器で両者を足してクラッタを相殺する。これは上述のフェーザ相殺であり — VGA が大きさを、VPS が角度を決める — 注入設定点とは何の関係もない。 （論文は VGA と書き、URSI の図では VA と表記されている。）
結合器 2 の結合端子にダイオード検波器をつなげば得られるのは $|H|$ だけであり、これはスカラー測定である。 位相同期した I/Q ダウンコンバータを足せば、$|H|$ と $\phi$ が同時に得られる。ウェアラブル基板の上でコイル界面の ベクトル利得‐位相測定を行うということである。情報は確かに位相に宿っている — ただしその理由は、よく言われるものとは違う。 4.7 GHz では筋肉の $\varepsilon_r \approx 50$、$\sigma \approx 4$ S/m、損失正接は約 0.3 なので、組織は低損失の摂動ではなく、 リアクタンス項が抵抗項を明確に支配しているわけでもない。本当の理由は構成上のものである。位相こそ DSIL ループが本来サーボしている量であり、 しかも位相は増幅器の利得ドリフトや AGC の動作に対して免疫だが、振幅の読み値はそうではない。
位相は下流でも不可欠である。図 1(a) の DSIL プロセッサは、遅延同期ループを通じて自己注入同期発振器の注入位相を安定化する — そして注入位相が可観測量になるのは、受信機と送信機がコヒーレントなときだけである。スカラーのフロントエンドでは DLL は同期すべき対象を失う。
このトポロジには実務上三つの帰結がある。そのうち三番目がもっとも見落とされやすい。
問題：二つの結合器はいずれも $C = 20$ dB、$D = 25$ dB とする。PA は $+20$ dBm を出す。 コイル界面は 4.7 GHz で 7 dB の挿入損失をもち（論文の実測値）、整流器回路網はこの周波数で 2 本の充電脚のあいだを 6 dB で通す。
(a) 結合を一つずつたどる。駆動は結合器 1 の結合線路へ入るので、コイルが見るのは $P_{\text{TX}} - C$ である。 信号はコイル界面を通って $IL$ だけ失い、結合器 2 が取り出すときにもう一度 $C$ を失う。
$$P_{\text{RX}} = P_{\text{TX}} - C_1 - IL - C_2 = 20 - 20 - 7 - 20 = \mathbf{-27\ dBm}$$(b) 各結合器のアイソレーションは $I = C + D = 20 + 25 = 45$ dB である。送信信号はまず結合器 1 の アイソレーション端子（充電器側）へ漏れ、整流器回路網を通り、さらに結合器 2 のアイソレーション端子へ漏れなければならない。
$$P_{\text{leak}} = 20 - 45 - 6 - 45 = \mathbf{-76\ dBm}$$(c) マージンは $-27 - (-76) = \mathbf{49\ dB}$ である。単一結合器の反射計 — そこでは送信漏れは センシング信号全体よりわずか数 dB 下でしかない — と比べれば、TX と RX を二つの結合器、二つのコイル端子に分けたことで、 まるまる二段ぶんの方向性を買ったことになる。これがこのトポロジのもっとも強い論拠である。
しかし $-76$ dBm は系を制限する数字ではない。実際に支配的なのは次の三つである。
妥当性の確認：LNA 入力の $-27$ dBm はかなり快適なレベルである — まっとうな LNA の $P_{1\text{dB}}$ よりはるかに低いので圧縮せず、 Low-IF チャネルの熱雑音フロアよりはるかに高い。ここでの設計上の難所は熱雑音に対する感度ではなく、 大きな静的搬送波に対するダイナミックレンジである。
ここまで本ガイドは $H$ を「手首が何らかの形で動かす」ブラックボックスとして扱ってきた。それを動かしているものをはっきりさせておく価値がある。 答えは「組織の誘電負荷」という言い方よりずっと素朴であり、しかも感度の数字をどう読むべきかを変えるからである。
| 構成 | 間隔 | 最小検出可能変位 |
|---|---|---|
| 自由空間アンテナ（第 2 章のレーダー） | 1.5 m | 20.7 µm |
| 時計の充電コイル | 1 mm | 70 µm |
| バンド型 SRR | 1 mm | 60 µm |
つまりコイル界面が分解できる境界運動はおよそ 70 µm である。論文はこれが手首の脈拍による皮膚変位に 近い — 余裕をもって下回っているのではない — と述べている。この事実一つで下流の多くが説明できる。 心拍の系統に EEMD が必要で、呼吸の系統には要らない理由もそこに含まれる。
手首に巻いたセンサへバイタルサインを届ける機械的な経路は、かなり性質の異なるものが二つある。
手首の論文は二つの界面 × 二つの装着位置を比較している。平均誤差であり、低いほどよい。
| センシング界面 | 装着位置 | 呼吸 | 心拍 |
|---|---|---|---|
| 時計の充電コイル | 手首の掌側（volar） | 8.90 % | 3.53 % |
| 手首の背側（dorsal） | 6.71 % | 3.02 % | |
| バンド型 SRR | 手首の掌側 | 7.70 % | 3.47 % |
| 手首の背側 | 4.81 % | 2.67 % |
きれいな傾向が二つある。手首の背側が四つの比較すべてで勝っている。理由は主要血管への近さと、より良い筋膜結合に帰されている。 SRR も充電コイルに対して全面的に優れている。より高い $Q$ とより集中した界分布によるものであり — 測定台での 60 µm 対 70 µm という結果と整合する。それでも、この用途のために設計されたことのない充電コイルの成績は十分に通用する。 「構造の再利用」という論拠全体が、この表に凝縮されている。
上表の論文データは手首の背側がすべての指標で良いことを示している。ところが URSI の要旨はちょうど逆を述べている — 背側の RMSE が 2.08 breaths/min、掌側が 1.49、脈拍では背側 3.8 beats/min、掌側 3.14 で、掌側のほうが良いとなっている。
両者は直接比較できるものではない（百分率誤差対絶対 RMSE であり、被験者群も異なる — 要旨は 9 名と書いている）ので、 数値が一致しなくても構わない。しかし順序が反転してはならないし、論文は「背側が優れる」ことに解剖学的な機構を与えており、 要旨の結論と衝突している。どちらが正しいにせよ、この二つの文書が同じ界面について反対のことを発表すべきではない。
出典：Hao-Cheng Wang, Delay- and Self-Injection-Locking Radar for Wrist-Based Vital Sign Monitoring, NSYSU 修士論文, 2025 年 9 月 — §2.4.1、§3.2.1、§3.3 および表 3.4。ならびに Hsuan-Yung Chen, Design of Delay Line Chips and Split-Ring Resonators for Self-Injection-Locked Radar Applications, NSYSU 修士論文, 2026 年 1 月。
単端子の反射計であれば、答えは方向性であり、他の要因は遠く及ばない。しかし §3 の二結合器による伝送経路では、答えは 方向性ではない — そしてなぜそうでないのかを突き止めることが、本節でもっとも価値のある部分である。
受信機は、所望の透過信号と、帯域内で LNA に届く他のあらゆるものとを区別できない。それ以外のすべては、単一の複素誤差ベクトルとして加算される。
寄与する経路は三つある。それぞれを絶対的な dBm ではなく、所望信号 $P_{\text{RX}} = P_{\text{TX}} - C_1 - IL - C_2$ に対する比として書くだけの価値がある — 分解能を制限するのは比であってレベルではないからである。
| # | 誤差項 | 経路 | $|H|$ に対する大きさ | 数値 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 基板クロストーク | 結合器 1 の結合線路から PCB を直接横切って結合器 2 の結合線路へ — 結合器をまったく通らない | $10^{-(X - C_1 - C_2 - IL)/20}$ | $-8$ dB（$X = 55$ dB のとき） |
| 2 | 整流器のインピーダンス不整合 | 所望信号が結合器 2 を越えて進み、整流器で反射し、逆向きに結合器 2 へ再入射する | $|\Gamma_r|\cdot 10^{-D/20}$ | $-26$ dB（$|\Gamma_r| = 0.9$ のとき） |
| 3 | 充電器経路の漏れ | 結合器 1 のアイソレーション端子 → 整流器回路網 → 結合器 2 のアイソレーション端子 | $10^{-(D_1 + D_2 + L_{\text{rect}} - IL)/20}$ | $-49$ dB |
以上の数値はすべて $C_1 = C_2 = 20$ dB、$D_1 = D_2 = 25$ dB、$IL = 7$ dB、$L_{\text{rect}} = 6$ dB としたものである。
$\angle\varepsilon$ は事前には未知なので、真値は測定点を中心とし半径 $|\varepsilon|$ の円上のどこかにある — 幾何としては従来の誤差円と同じだが、いまや $\Gamma$ 平面ではなく $H$ 平面に描かれており、しかもその半径が信号自身のかなりの割合を占めている。
従来の解法は単端子校正である。既知の標準 — 開放、短絡、負荷 — を三つ接続し、単端子モデルの三つの誤差項を解いて逆補正する。 ここではそのすべてが使えないが、理由は実務的なものではなく構造的なものである。そもそも標準をつなぐべき「単一の端子」が存在しない。 この測定は二つの端子にまたがっており、その中間にあるもの — コイルと手首 — こそが未知数だからである。
誠実な二端子対の対応物は完全な SOLT または TRL 校正であり、コイル端子の上で through、reflect、line の標準を接続する必要がある。 密閉されたウェアラブル機器の中で、コイルがすでに充電回路にはんだ付けされている状況では、この三つはどれも接続できない。残るのはもっとも弱い補正だけである。
静的な誤差が正規化で消えてしまえば、あとはその動きだけが問題になる。各項がそれぞれ自身の大きさの割合 $\eta$ だけドリフトするとすれば、 残差は $\eta|\varepsilon|$ である。微小な位相変調では $H(t) = H_0 e^{j\Delta\phi} \approx H_0(1 + j\Delta\phi)$ なので、 信号成分は $|H_0|\Delta\phi$ となり、分解能の限界がただちに得られる。
| 記号 | 意味 | §4 で用いる値 |
|---|---|---|
| $\Delta\phi_{\min}$ | 分解可能な最小の位相変化、単位はラジアン | 求める答え |
| $\varepsilon$ | 誤差ベクトル — 帯域内で LNA に届く、信号でないもののすべて。 クロストーク + 整流器の不整合 + 充電器経路の漏れ（§4.1） | 統合版 $0.401|H_0|$ コネクタ版 $0.051|H_0|$ |
| $\eta$ | ベースラインと測定のあいだに $\varepsilon$ がドリフトする割合であって、 $\varepsilon$ 自身ではない。静的な部分はすでに正規化で消えている（§4.2） | 2 % と仮定 |
| $|H_0|$ | 動作点の大きさ。コイルの挿入損失で決まる | 0.454 |
図 4 に戻ってほしい。動作点は半径 $|H_0|$ の位置にある。正規化のあと、残留誤差はその周りにある 大きさ $\eta|\varepsilon|$ の小さな塊である。この塊が原点に張る角は単に
$$\text{angle} = \frac{\text{arc length}}{\text{radius}}$$であり、式のすべてがこれで尽きている。$\Delta\phi_{\min}$ の単位がラジアンなのは、それがまさに「弧長を半径で割ったもの」だからである。 図 4 の挿入図が描いているのはこの状況、すなわちドリフト円と、それを越えて伸びなければ見えない $\Delta H$ である。
これを単なる方程式ではなく設計上の主張として読むと、三つのレバーが得られる — 以下は本システムにとって有用な順に並べてある。
| 要因 | 機構 | 対策 |
|---|---|---|
| クロストークの温度変化 | $\varepsilon_r$ と銅の抵抗率が 2 本の結合線路間の結合量を変える — これは支配項である第 1 項を動かす | TX と RX の結合線路を引き離し、あいだに接地フェンスを入れ、共通のリターン経路を避ける。設計全体でもっともレバーの大きい一手である。 |
| 整流器の状態 | 充電器のダイオードは導通時と遮断時で異なるインピーダンスを示すので、充電中とアイドル時で $\Gamma_r$ が動く。ただしセンシングは充電中には行われない（§1.1）ので、これは測定と測定のあいだでベースラインをずらすのであって、進行中の測定を壊すわけではない | 装着時にベースラインを取り直す — ウェアラブルではもともとそうせざるを得ない。手首が変われば、位置が変われば、古いベースラインは充電器と無関係に無効になるからである |
| バンドの曲げ／コイルの固定 | 2 本の脚の基準面を同時に動かす | 剛性のある固定。二つの結合器とコイルを等距離に配置する |
| コイルの離調 | バンドの張力がコイルのインダクタンスを変える。組織とは無関係である — ただし実測の $S_{21}$ ピークは広く平坦なので（§3.2）、伝送経路は $S_{11}$ の読みよりはるかにこれに寛容である | 機構設計。掃引測定で同調と負荷を区別する |
| LO の位相雑音 | I/Q 読み出しの位相分解能を劣化させる | 送信と受信で SG を共用する — 下記参照 |
整流器の状態をこの設計で最も厄介な誤差要因と考えたくなる。充電が始まり、ダイオードが導通し、$\Gamma_r$ が飛び、§4.1 の第 2 項が不連続に動く。 この段差は本物である。しかしそれが測定を壊しうる状況はたいてい存在しない — 充電が起きているとき時計はすでに手首から外れており、 段差が生じる瞬間に進行中の測定はない。センシングが再開するころには時計は着け直されており、それ自体が充電器とはまったく無関係の理由で ベースラインの再取得を強制する（§1.1）。
残るのは RF 設計ではなくアルゴリズムへの要求である。装着時にベースラインを取り直し、充電サイクルの前に保存したベースラインが あとでも有効だと決して仮定しないこと。§3.1 の DC ブロックとの対比に注意してほしい — あちらは時分割では救えない。 充電線に横たわる受動抵抗は、ソフトウェアが何をしていようが気にしないからである。
問題：二つの結合器はいずれも $C = 20$ dB、$D = 25$ dB。コイル界面は $IL = 7$ dB。整流器は 4.7 GHz で $|\Gamma_r| = 0.9$ を示し、その回路網は 2 本の充電脚のあいだを $L_{\text{rect}} = 6$ dB で通す。 2 本の結合線路間の基板クロストークは $X = 55$ dB である。
(a) 所望信号は送信駆動より $C_1 + IL + C_2 = 20 + 7 + 20 = 47$ dB 低い。これを基準にすると、
$$\text{crosstalk:}\quad 55 - 47 = 8\ \text{dB below} \;\Rightarrow\; -8\ \text{dB}$$ $$\text{rectifier:}\quad |\Gamma_r|10^{-D/20} = 0.9 \times 10^{-1.25} = 0.0506 \;\Rightarrow\; -25.9\ \text{dB}$$ $$\text{charger path:}\quad -(D_1 + D_2 + L_{\text{rect}} - IL) = -(25+25+6-7) = -49\ \text{dB}$$(b) 線形の大きさに直すと $0.398$、$0.0506$、$0.00354$。三者の位相は互いに無相関なので二乗和平方根で合成する。
$$|\varepsilon| = \sqrt{0.398^2 + 0.0506^2 + 0.00354^2} = 0.401\,|H_0|$$いかなる補正の前でも、読み値のおよそ 40 % が誤差であり、そのうち $0.398/0.401 = 99.3\%$ が第 1 項だけから来ている。 最悪の場合、三者が同相になり合計は $0.452$ になる。
(c) $\eta = 0.02$ とすると、
$$\Delta\phi_{\min} \approx \eta\,\frac{|\varepsilon|}{|H_0|} = 0.02 \times 0.401 = 0.0080\ \text{rad} = \mathbf{0.46^\circ}$$ここで両方の結合器を $D = 35$ dB に上げてみる。第 2 項は $-36$ dB、第 3 項は $-69$ dB に下がるので、
$$|\varepsilon| = \sqrt{0.398^2 + 0.0160^2 + 0.000355^2} = 0.398\,|H_0|$$下限は $0.401$ から $0.398$ へ — 0.07 dB の改善である。追加の 10 dB の方向性は実際の基板面積か挿入損失で購われるのに、 計測器の感度は測定できないほどの量しか良くならない。
これが意味すること：結論は二つあり、それが本節の要点である。第一に、このセンサの感度は全面的に 2 本の銅パターンの 熱的・機械的安定性に依存している — それはレイアウトの性質であって部品のスペックではない。第二に、$0.46^\circ$ は 無補正の下限である。DLL はそのループ帯域幅より遅い成分をすべて取り除く。40 % の静的誤差があっても 0.1–2 Hz のバイタルサイン帯域が使える理由がこれである。
妥当性の確認：第 1 項がここまで支配的であるなら、設計レビューで最初に問うべきは「どの結合器を使うか」ではなく、 「2 本の結合線路をどこまで引き離せるか。あいだに接地構造を入れて遮蔽できるか」であるはずだ。
演習 4 は $X = 55$ dB を仮定した。これは同一 PCB 上で数ミリ離れた 2 本の結合線路が与える数字である。しかし写真の試作機はそうなっていない — 同軸ケーブルで接続されたコネクタ型の結合器モジュールを使っている。良質なコネクタとセミリジッド・ジャンパのアイソレーションははるかに良く、 55 dB ではなく 80〜100 dB である。$X = 90$ dB とすると、バジェット全体が並べ替わる。
| 誤差項 | 統合 PCB $X = 55$ dB | コネクタ型試作機 $X \approx 90$ dB |
|---|---|---|
| 1 — 基板クロストーク | $-8$ dB | $-43$ dB |
| 2 — 整流器の不整合 | $-26$ dB | $-26$ dB |
| 3 — 充電器経路 | $-49$ dB | $-49$ dB |
| $|\varepsilon|$ | $0.401\,|H_0|$ | $0.051\,|H_0|$ |
| $\eta = 2\%$ のときの $\Delta\phi_{\min}$ | $0.46^\circ$ | $\mathbf{0.059^\circ}$ |
支配項がクロストークから整流器の不整合へ入れ替わり、感度限界は約 18 dB 改善する。
これは演習 4 の結論を反転させる。あちらでは 10 dB 追加の方向性が下限を 0.07 dB しか動かさなかった — つまり無いに等しかった。 しかしその結果はクロストークが支配的なときにしか成り立たない。コネクタ型の状況では第 2 項が $10^{-D/20}$ でスケールするので、 同じ $D = 25 \rightarrow 35$ dB が $|\varepsilon|$ を $0.051$ から $0.0175$ へ下げる。約 9 dB の実質的な改善である。 どちらの主張も正しい。ただ状況が違うだけであり、そしてどちらも結合器単独の性質ではない。
ロードマップにとって本当に重要な警告。論文が明言している目標は ASIC 統合と完全に手首装着の実装である。 その道のりの一歩ごとに、系は右の列から左の列へ押しやられる。結合器はコネクタ型モジュールではなくなり、同一基板上のパターンになり、 クロストークが再び壁になる。したがって試作機で測った感度は統合版の性能を予測しない — 美化してしまう。 この設計を 1 枚の基板へ移そうとする者は誰でも、どの結合器を選んだかとはまったく無関係の理由で下限が悪化することを覚悟すべきである。
$X \approx 90$ dB はコネクタ型ハードウェアの代表値であって測定値ではない。バジェット全体を確定させる数字が一つある — コイルを外した状態で、PA 端子から LNA 端子までのアイソレーションを測ることである。
演習 2 が問題をあらわにした。1/4 波長の結合線路は 1 GHz で 43 mm、100 MHz では 43 cm になる。 動作周波数がおおよそ 1 GHz を下回る手首装着コイルでは、分布定数構造は単純に大きすぎる。次の三つの実装が全域をカバーする。
| 実装方式 | 実用帯域 | 典型的な方向性 | 備考 |
|---|---|---|---|
| 結合線路（分布定数） | > 1 GHz | 15–25 dB（マイクロストリップ） | PCB 上ではタダだが $\lambda/4$ の長さが要る。1 GHz を下回ると非現実的になる。 |
| トランス／集中定数 | 1 MHz – 3 GHz | 20–35 dB | 小型 SMT パッケージ内のフェライトまたは空芯のバイファイラ・トランス。HF/VHF のコイル系では定番の選択。 |
| 抵抗ブリッジ | DC – 6 GHz | 35–45 dB | きわめて広帯域で方向性も高いが、双方向とも $\ge 6$ dB の損失がある — 雑音指数にも送信電力にも実質的な代償となる。 |
三つとも送信と受信を分離できる。ここで結合器が勝つ理由は具体的である。
| 方向性結合器 | サーキュレータ | T/R スイッチ | |
|---|---|---|---|
| 同時送受信 | 可能 | 可能 | 不可 — 時分割が要る |
| 帯域幅 | 広い（1 オクターブ以上） | 狭い（フェライト共振） | 広い |
| < 1 GHz でのサイズ／コスト | 小さい（トランス型） | 大きく高価で磁性をもつ | 小さい |
| TX→RX 抑圧 | $C + D$、たとえば 45 dB | アイソレーション約 20 dB | オフ時はきわめて高い |
| 主経路の損失 | < 0.1 dB | 0.3–0.5 dB | 0.5–1.5 dB |
| 位相安定度 | 優秀（受動、平面） | フェライトは温度に敏感 | 切り替え過渡がある |
位相を数分の一度以内に守らなければならない連続波コヒーレント・フロントエンドにとって、低損失・広帯域・小型・熱的安定を兼ね備えた結合器は決定的な組み合わせである。 スイッチは同時送受信ができず、サーキュレータはこれらの周波数では基板面積を大量に食い、温度でドリフトする。
受信端子の信号が大きくなり、ADC での SNR が良くなる。しかし主経路の挿入損失は増え（10 dB 結合で 0.46 dB）、 同じ方向性なら送信機の絶対的な漏れ量は増える。
送信経路にはほぼ透明で絶対的な漏れも小さいが、受信系がより多くの利得を用意しなければならず、今度は LNA の雑音指数が制限要因になる。
常に良いことだが、決してタダではない。代償は基板面積（ストリップライン、補償構造）か挿入損失（抵抗ブリッジ）である。 おおよそ 30 dB を超えると、ハードウェアより校正のほうが安くつく。
レイアウトが許すかぎり結合器をコイルの近くに置くこと。結合器とコイルのあいだの線路長 1 mm ごとが基準面の誤差になり、温度と曲げでドリフトする。
| 量 | 式 | 説明 |
|---|---|---|
| 結合度 | $C = -20\log_{10}|S_{31}|$ | 取り出しの大きさ |
| アイソレーション | $I = -20\log_{10}|S_{41}| = C + D$ | TX→RX の総抑圧量 |
| 方向性 | $D = I - C$ | 品質の指標 |
| 挿入損失 | $L = -10\log_{10}(1 - 10^{-C/10})$ | $C=20$ dB なら 0.044 dB |
| 電圧結合係数 | $c = 10^{-C/20}$ | 線形の振幅比 |
| 偶／奇モードインピーダンス | $Z_{0e,0o} = Z_0\sqrt{(1\pm c)/(1\mp c)}$ | $Z_0 = \sqrt{Z_{0e}Z_{0o}}$ |
| 結合区間の長さ | $\ell = \lambda_g/4$、$\lambda_g = c_0/(f\sqrt{\varepsilon_{\text{eff}}})$ | $f_0$ を決める |
| コイルの伝送 | $H = b/a \approx S_{21}^{\text{coil}}$ | この RFFE における測定量 |
| 反射係数 | $\Gamma = (Z_L - Z_0)/(Z_L + Z_0)$ | 単端子反射計での測定量 — 対比のために掲載 |
| 伝送経路バジェット | $P_{\text{RX}} = P_{\text{TX}} - C_1 - IL - C_2$ | 結合器 2 個の縦続 |
| クロストーク誤差項 | $10^{-(X - C_1 - C_2 - IL)/20}$ | 支配項 — $|H|$ に対する比 |
| 縦続の漏れ | $10^{-(D_1 + D_2 + L_{\text{rect}} - IL)/20}$ | 二つの方向性が加算される |
| 分解可能な位相 | $\Delta\phi_{\min} \approx \eta|\varepsilon|/|H_0|$ | $\eta$ は $\varepsilon$ のドリフト率 |
| I/Q からの復元 | $H = (I + jQ)/K$ | コヒーレントな LO が必要 |
1. 結合器が存在する理由は、レーダーが切断を許されないワイヤレス充電線の上でサンプリングでき、 波を進行方向によって仕分けられるようにするためである。
2. それが働くのは容量性結合と誘導性結合がアイソレーション端子で相殺するからであり、 その相殺の良さがそのまま方向性である。
3. 結合器を 2 個縦続にした時点で、方向性はもはや制限要因ではない。下限を決めるのは 2 本の結合線路間の基板クロストークであり — そしてそれがどれだけドリフトするかである。