相位消除自我注入鎖定超音波雷達學習指南 — 用「可調延遲線 + PI 回授」把 SIL 雷達的非線性 null-point 釘在 $\theta=\pi$ 線性工作點，於 14 個波長 (~120 mm) 內線性量測呼吸與心跳。A study guide to the phase-canceling self-injection-locked ultrasonic radar — a tunable delay line plus PI feedback pins the radar to the linear operating point $\theta=\pi$, escaping the null points and giving linear measurement of respiration and heartbeat over 14 wavelengths (~120 mm).位相打ち消し型 自己注入同期 (SIL) 超音波レーダーの学習ガイド — 「可変遅延線 + PI フィードバック」で SIL レーダーの非線形なヌル点を $\theta=\pi$ の線形動作点に固定し、14 波長 (~120 mm) の範囲で呼吸と心拍を線形に計測する。
一台 自我注入鎖定 (Self-Injection-Locked, SIL) 雷達靠「讓振盪器的回波注回自己」來偵測目標的微小運動：振盪頻率會隨目標位移而漂移。經典難題是 — 這個關係是非線性的，每 $\lambda/4$ 就出現一個「null point（零點）」，所以任何大於 $\lambda/4$ 的運動都會被嚴重失真。A self-injection-locked (SIL) radar senses tiny target motion by letting the oscillator's own echo be injected back into itself: the oscillation frequency drifts as the target moves. The classic difficulty is that the relationship is nonlinear — a null point appears every $\lambda/4$, so any motion larger than $\lambda/4$ is badly distorted.自己注入同期 (Self-Injection-Locked, SIL) レーダーは、発振器自身の反射エコーを自分自身へ注入させることで対象の微小な動きを検出する。対象が動くと発振周波数がずれるからである。古典的な難点は、この関係が非線形であることだ — $\lambda/4$ ごとにヌル点が現れるため、$\lambda/4$ を超える動きはひどく歪んでしまう。
本論文提出 相位消除回授解調 (phase-canceling feedback demodulation)：用一條電子可調延遲線主動追蹤目標，把雷達永遠釘在單一線性工作點上。成果是一台 40 kHz 超音波 SIL 雷達（史上第一台用超音波的 SIL 雷達），能在 14 個波長 (~120 mm) 內線性感測運動、失真僅 2.3% — 足以乾淨地分離呼吸 (~2.5 mm) 與心跳 (~0.2 mm) 的胸腔位移。The paper proposes phase-canceling feedback demodulation: an electronically tunable delay line actively tracks the target, holding the radar at a single linear operating point at all times. The result is a 40 kHz ultrasonic SIL radar (the first SIL radar to use ultrasound) that senses motion linearly over 14 wavelengths (~120 mm) with only 2.3% distortion — enough to cleanly separate the chest displacement caused by respiration (~2.5 mm) from that caused by heartbeat (~0.2 mm).本論文が提案するのは 位相打ち消しフィードバック復調 (phase-canceling feedback demodulation) である。電子的に可変な遅延線が対象を能動的に追尾し、レーダーを常に単一の線形動作点に保つ。その成果が 40 kHz の超音波 SIL レーダー（超音波を用いた世界初の SIL レーダー）であり、14 波長 (~120 mm) にわたり歪み 2.3% だけで動きを線形に検出できる。呼吸による胸郭変位 (~2.5 mm) と心拍による変位 (~0.2 mm) を明確に分離するのに十分な性能である。
| 術語Term用語 | 英文Full name英語表記 | 白話In plain wordsかみ砕いて言うと |
|---|---|---|
| SIL | Self-Injection-Locked | 振盪器被自己的反射回波注入而鎖定 → 高靈敏度都卜勒The oscillator is locked by injection of its own reflected echo → highly sensitive Doppler sensing発振器が自身の反射エコーの注入によって同期される → 高感度なドップラー検出 |
| Adler 方程Adler's equationAdler の方程式 | Adler's equation | 把注入鎖定振盪器的頻率寫成注入相位的正弦函數Writes the frequency of an injection-locked oscillator as a sine of the injection phase注入同期発振器の周波数を、注入位相の正弦関数として書き表す |
| 反相模式Anti-phase mode逆位相モード | anti-phase mode | 工作在 $\theta=\pi$（反相注入）；負的 plant gain、最大線性度Operation at $\theta=\pi$ (out-of-phase injection); negative plant gain, maximum linearity$\theta=\pi$（逆位相注入）での動作。プラント利得が負になり、線形性が最大になる |
| 相位消除Phase-canceling位相打ち消し | phase-canceling | 用可調延遲抵消運動造成的都卜勒相位移Using a tunable delay to cancel the Doppler phase shift caused by motion可変遅延を使って、運動が生むドップラー位相シフトを打ち消す |
| 頻率鑑別器Frequency discriminator周波数弁別器 | frequency discriminator | $T/4$ 延遲 + FM 解調，量測頻率偏移 $\Delta\omega$$T/4$ delay + FM demodulation; measures the frequency shift $\Delta\omega$$T/4$ 遅延 + FM 復調。周波数偏移 $\Delta\omega$ を測る |
| $\theta$ / $\Delta\omega$ | injection phase / freq. shift | 注入相位（設定點 $=\pi$）；頻率偏移 $=\omega-\omega_n$Injection phase (set-point $=\pi$); frequency shift $=\omega-\omega_n$注入位相（設定値 $=\pi$）／周波数偏移 $=\omega-\omega_n$ |
| $\omega_{BW}$ | control bandwidth | PI 設計唯一自由參數 — 決定追蹤速度 ↔ 穩定裕度The only free parameter in the PI design — trades tracking speed against stability marginPI 設計における唯一の自由パラメータ — 追従速度と安定余裕のトレードオフを決める |
| THD | Total Harmonic Distortion | 諧波對基頻的比，衡量線性度Ratio of harmonics to the fundamental; a measure of linearity高調波と基本波の比。線形性の尺度 |
振盪器產生載波並發射，由運動目標反射的回波被注回同一個振盪器。依 Adler 方程，振盪頻率與振幅都成為注入相位 $\theta$ 的函數。目標運動調變 $\theta$ → 調變頻率 → 由頻率偏移 $\Delta\omega=\omega-\omega_n$ 還原運動。An oscillator generates and transmits the carrier; the echo reflected by a moving target is injected back into the same oscillator. By Adler's equation, both the oscillation frequency and amplitude become functions of the injection phase $\theta$. Target motion modulates $\theta$ → modulates the frequency → the motion is recovered from the frequency shift $\Delta\omega=\omega-\omega_n$.発振器が搬送波を生成して送信し、運動する対象で反射したエコーが同じ発振器へ再注入される。Adler の方程式により、発振周波数も振幅も注入位相 $\theta$ の関数になる。対象の運動が $\theta$ を変調し → 周波数を変調し → 周波数偏移 $\Delta\omega=\omega-\omega_n$ から運動を復元できる。
| 方法Method方式 | 想法Idea考え方 | 弱點Weakness弱点 |
|---|---|---|
| Arctangent demodulation | I/Q 正交檢測 + arctan + 相位解纏I/Q quadrature detection + arctan + phase unwrappingI/Q 直交検波 + アークタンジェント + 位相アンラップ | 對 DC offset 與 I/Q 不匹配極敏感；null point 附近失真Very sensitive to DC offset and I/Q mismatch; distorts near null pointsDC オフセットと I/Q 不整合に極めて敏感。ヌル点付近で歪む |
| Phase-tracking (PLL) | PLL 調 TX 頻率以維持波長計數固定；運動 ∝ 頻率變化A PLL tunes the TX frequency to keep the wavelength count fixed; motion ∝ frequency changePLL で送信周波数を調整し、波長数を一定に保つ。運動 ∝ 周波数変化 | 可測範圍受 PLL 調諧範圍與收發頻寬限制（很少 > 2λ）Range limited by the PLL tuning range and TX/RX bandwidth (rarely > 2λ)測定範囲が PLL の同調範囲と送受信帯域に制限される（> 2λ はまれ） |
| 本論文：phase-cancelingThis paper: phase-canceling本論文：位相打ち消し | 可調延遲抵消都卜勒相位；延遲 = 輸出A tunable delay cancels the Doppler phase; the delay is the output可変遅延がドップラー位相を打ち消す。遅延量そのものが出力 | 寬線性範圍、單通道、對電路非理想性容忍度高Wide linear range, single channel, high tolerance to circuit non-idealities広い線形範囲、単一チャネル、回路の非理想性に強い |
plant gain（頻率對相位的靈敏度）隨 $\theta$ 變化。存在兩個平坦點：The plant gain (sensitivity of frequency to phase) varies with $\theta$. Two flat points exist:プラント利得（位相に対する周波数の感度）は $\theta$ とともに変化する。平坦な点が 2 つ存在する：
注入相位 $\theta$ 追隨往返時間，因此取決於目標距離：The injection phase $\theta$ follows the round-trip time, so it depends on the target distance:注入位相 $\theta$ は往復時間に追随するので、対象までの距離に依存する：
$D$ = 往返延遲；$c$ = 聲速；$R_0$ = 初始距離；$x$ = 位移。$D$ = round-trip delay; $c$ = speed of sound; $R_0$ = initial distance; $x$ = displacement.$D$ = 往復遅延、$c$ = 音速、$R_0$ = 初期距離、$x$ = 変位。
Adler 方程把瞬時振盪頻率寫成相位的正弦：Adler's equation writes the instantaneous oscillation frequency as a sine of the phase:Adler の方程式は、瞬時発振周波数を位相の正弦として書き表す：
$Q$ = 共振器品質因數；$B$ = 注入訊號振幅；$A$ = 振盪振幅。$Q$ = resonator quality factor; $B$ = injection signal amplitude; $A$ = oscillation amplitude.$Q$ = 共振器の Q 値、$B$ = 注入信号の振幅、$A$ = 発振振幅。
Naive workaround（笨方法）：把目標擺在讓 $\theta$ 略偏離 $2\pi$ 整數倍的地方，使 $\Delta\omega$ 在局部近似線性於 $\Delta\theta$（式 3）。但這對初始位置與容許位移施加了嚴苛限制 — 對真實監測而言不可接受。Naive workaround: place the target so that $\theta$ sits slightly away from an integer multiple of $2\pi$, making $\Delta\omega$ locally approximately linear in $\Delta\theta$ (eq. 3). But that imposes severe constraints on the initial position and the allowable displacement — unacceptable for real monitoring.素朴な回避策：$\theta$ が $2\pi$ の整数倍から少しずれる位置に対象を置き、$\Delta\omega$ が局所的に $\Delta\theta$ に対してほぼ線形になるようにする（式 3）。しかしこれは初期位置と許容変位に厳しい制約を課す — 実際のモニタリングには受け入れがたい。
論文第 III 節 — 全篇的心臟。加入一條動態調整的延遲線 $d$，抵消目標運動造成的往返延遲變化，把總相位 $\theta$ 調節到定值 ($\theta=\pi$)。當運動被完美抵消時，被調延遲的波形就複製了目標的運動。
Section III of the paper — the heart of the work. A dynamically adjusted delay line $d$ cancels the change in round-trip delay caused by target motion, regulating the total phase $\theta$ to a constant value ($\theta=\pi$). When the motion is perfectly cancelled, the waveform of the adjusted delay is a replica of the target motion.
論文の第 III 節 — 本論文の心臓部である。動的に調整される遅延線 $d$ を挿入し、対象の運動による往復遅延の変化を打ち消して、位相の総和 $\theta$ を一定値（$\theta=\pi$）に保つ。運動が完全に打ち消されたとき、調整された遅延の波形は対象の運動をそのまま写し取ったものになる。
估計軌跡直接由延遲訊號還原：
The estimated trajectory is recovered directly from the delay signal:
推定軌跡は遅延信号から直接復元される：
設計控制器前，需要一個從控制訊號（延遲 $d$）到解調器輸出 $w$ 的轉移函數：
Before designing the controller we need a transfer function from the control signal (the delay $d$) to the demodulator output $w$:
制御器を設計する前に、制御信号（遅延 $d$）から復調器出力 $w$ までの伝達関数が必要になる：
把 $P(s)$ 拆開看，它其實是三段串接：控制訊號（延遲 $d$）先變相位、再經 Adler 變頻率、最後被 FM 解調成輸出 $w$。每段都是工作點附近的小信號（$\delta$）增益：
Unpacked, $P(s)$ is really a cascade of three stages: the control signal (delay $d$) first becomes phase, then Adler's equation turns phase into frequency, and finally FM demodulation turns that into the output $w$. Each stage is a small-signal ($\delta$) gain around the operating point:
$P(s)$ を分解すると、これは実際には3 段の縦続接続である。制御信号（遅延 $d$）がまず位相になり、次に Adler の方程式によって位相が周波数に変わり、最後に FM 復調によって出力 $w$ になる。各段は動作点まわりの小信号（$\delta$）利得である：
環節 1：可調延遲 → 相位變化Stage 1: tunable delay → phase change第 1 段：可変遅延 → 位相変化
可調延遲 $d$ 的微小變化 $\delta d$ 造成注入相位 $\theta$ 的變化。由 $\theta(t)=\omega(t)(D+d)$ 且 $\omega\approx\omega_n$：
A small change $\delta d$ in the tunable delay $d$ changes the injection phase $\theta$. From $\theta(t)=\omega(t)(D+d)$ with $\omega\approx\omega_n$:
可変遅延 $d$ の微小変化 $\delta d$ は注入位相 $\theta$ を変化させる。$\omega\approx\omega_n$ のもとで $\theta(t)=\omega(t)(D+d)$ より：
環節 2：相位變化 → 頻率偏移（Adler 方程式）Stage 2: phase change → frequency shift (Adler's equation)第 2 段：位相変化 → 周波数偏移（Adler の方程式）
由 Adler 注入鎖定方程式 $\Delta\omega=-\dfrac{\omega_n B}{2QA}\sin\theta$，對 $\theta$ 做小信號微擾 $\theta\to\theta+\delta\theta$：
Starting from the Adler injection-locking equation $\Delta\omega=-\dfrac{\omega_n B}{2QA}\sin\theta$, apply the small-signal perturbation $\theta\to\theta+\delta\theta$:
Adler の注入同期方程式 $\Delta\omega=-\dfrac{\omega_n B}{2QA}\sin\theta$ を出発点として、小信号摂動 $\theta\to\theta+\delta\theta$ を加える：
減去靜態項 $\Delta\omega=-\dfrac{\omega_n B}{2QA}\sin\theta$ 後，得到小信號關係：
Subtracting the static term $\Delta\omega=-\dfrac{\omega_n B}{2QA}\sin\theta$ leaves the small-signal relation:
静的項 $\Delta\omega=-\dfrac{\omega_n B}{2QA}\sin\theta$ を差し引くと、小信号の関係式が残る：
環節 3：頻率偏移 → 解調輸出 即 FM 解調器 $\dfrac{\delta w}{\delta\Delta\omega}=-\dfrac{\pi A^2}{4\omega_n}e^{-sT/8}F(s)$（推導見附錄 B「細看 ② — 解調器的乘積數學」）。環節 1 × 2 × 3 相乘、代入 $B,A$ 化簡，即得圖 3a 的 $P(s)=g(\theta)e^{-sT/8}F(s)$。
Stage 3: frequency shift → demodulator output is the FM demodulator $\dfrac{\delta w}{\delta\Delta\omega}=-\dfrac{\pi A^2}{4\omega_n}e^{-sT/8}F(s)$ (derived in Appendix B, "A closer look at ② — the multiplier maths of the demodulator"). Multiplying stages 1 × 2 × 3 and substituting $B,A$ gives $P(s)=g(\theta)e^{-sT/8}F(s)$ as in Fig. 3a.
第 3 段：周波数偏移 → 復調器出力は FM 復調器 $\dfrac{\delta w}{\delta\Delta\omega}=-\dfrac{\pi A^2}{4\omega_n}e^{-sT/8}F(s)$ である（導出は付録 B「② を詳しく見る — 復調器の乗算の数学」を参照）。第 1 段 × 第 2 段 × 第 3 段を掛け合わせて $B,A$ を代入すると、図 3a の $P(s)=g(\theta)e^{-sT/8}F(s)$ が得られる。
目標：挑一個讓增益 $g$ 幾乎定值 → 最線性的 $\theta$。當 $A_{inj}=0.5$ 時，增益在 $\theta=\pi$ 具有最大平坦性質：
Goal: pick a $\theta$ at which the gain $g$ is nearly constant, i.e. the most linear point. With $A_{inj}=0.5$, the gain is maximally flat at $\theta=\pi$:
目標は、利得 $g$ がほぼ一定になる $\theta$、すなわち最も線形な点を選ぶことである。$A_{inj}=0.5$ のとき、利得は $\theta=\pi$ において最大平坦になる：
原文點出兩個候選點：
The paper names two candidate points:
論文は 2 つの候補点を挙げている：
Consider two candidate points θ=0 and θ=π at which the plant has better linearity with a flat gain. In-phase injection occurs when θ=0 (u_inj and u_out in-phase), resulting in a pronounced maximum in the oscillation amplitude, and the plant gain g is positive. Anti-phase injection occurs when θ=π (out-of-phase), yielding a minimum in oscillation amplitude and a negative plant gain.
$\theta=0$ 與 $\theta=\pi$ 都是增益的極值（$dg/d\theta=0$），也都對應同一 set-point（$\Delta\omega=0$）—— 光看一階兩個都「平坦」。差別在二階。由 $g\propto\cos\theta(1+A_{inj}\cos\theta)$：
Both $\theta=0$ and $\theta=\pi$ are extrema of the gain ($dg/d\theta=0$) and both correspond to the same set-point ($\Delta\omega=0$) — to first order both look "flat". The difference shows up at second order. From $g\propto\cos\theta(1+A_{inj}\cos\theta)$:
$\theta=0$ と $\theta=\pi$ はどちらも利得の極値（$dg/d\theta=0$）であり、同じ設定点（$\Delta\omega=0$）に対応する —— 一次までを見るかぎりどちらも「平坦」である。違いは二次に現れる。$g\propto\cos\theta(1+A_{inj}\cos\theta)$ より：
| 工作點 | Operating point | 動作点 | $g''$ | 平坦度 | Flatness | 平坦度 | 振幅 / 增益 | Amplitude / gain | 振幅 / 利得 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\theta=0$（同相） | $\theta=0$ (in-phase) | $\theta=0$（同相） | $-A_{inj}-2A_{inj}^2\neq0$ | 只一階平坦＝尖峰 | Flat only to first order = a sharp peak | 一次までしか平坦でない＝鋭いピーク | 振幅最大、$g>0$ | Maximum amplitude, $g>0$ | 振幅は最大、$g>0$ |
| $\theta=\pi$（反相） | $\theta=\pi$ (anti-phase) | $\theta=\pi$（逆位相） | $A_{inj}-2A_{inj}^2\xrightarrow{A_{inj}=0.5}0$ | $g'=g''=g'''=0$＝最大平坦（式 8） | $g'=g''=g'''=0$ = maximally flat (eq. 8) | $g'=g''=g'''=0$＝最大平坦（式 8） | 振幅最小、$g<0$ | Minimum amplitude, $g<0$ | 振幅は最小、$g<0$ |
結論：設計刻意選 $A_{inj}=0.5$，讓 $\theta=\pi$ 成為最大平坦點（增益對相位擺動最不敏感）→ 最線性 → 可當常數增益線性 plant。而 $\theta=\pi$ 的負增益反而是好事：配上正增益 PI 控制器，迴路增益為負 = 負回授，正好把相位穩定地鎖在 $\theta=\pi$（這個負號已併入式 9 的 $-k$）。$\theta=0$ 雖也穩定，但只是一階平坦的尖峰，相位一偏離線性度就壞。
Conclusion: the design deliberately picks $A_{inj}=0.5$ so that $\theta=\pi$ becomes the maximally flat point (the gain is least sensitive to phase swing) → most linear → usable as a constant-gain linear plant. The negative gain at $\theta=\pi$ is in fact desirable: combined with a positive-gain PI controller the loop gain is negative, i.e. negative feedback, which is exactly what locks the phase stably at $\theta=\pi$ (this minus sign is absorbed into the $-k$ of eq. 9). $\theta=0$ is stable too, but it is only a first-order-flat peak: linearity degrades as soon as the phase moves away.
結論：この設計はあえて $A_{inj}=0.5$ を選び、$\theta=\pi$ を最大平坦点（利得が位相の振れに対して最も鈍感な点）にしている → 最も線形 → 一定利得の線形プラントとして扱える。しかも $\theta=\pi$ における負の利得はむしろ好都合である。正の利得をもつ PI 制御器と組み合わせるとループ利得が負、すなわち負帰還になり、これがまさに位相を $\theta=\pi$ に安定に固定する（この負号は式 9 の $-k$ に取り込まれている）。$\theta=0$ も安定ではあるが、一次までしか平坦でない鋭いピークであり、位相が少しでもずれると線形性が崩れる。
$\theta=\pi$ 附近增益近乎定值（圖 3），可採用常數增益線性模型：
Since the gain is nearly constant around $\theta=\pi$ (Fig. 3), a constant-gain linear model can be used:
$\theta=\pi$ 付近では利得がほぼ一定なので（図 3）、一定利得の線形モデルを用いることができる：
圖 2 是硬體訊號流，Adler 動態藏在「Oscillator」方塊內，沒被畫成獨立 plant。下圖是控制方塊圖，把 $P(s)$ 明確拉出來：控制器 $C(s)$ 設定延遲 $d$，目標運動以擾動 $D(s)$ 進入，兩者相加經 plant（內含 $d\to\theta$ 的 $\times\omega_n$、Adler $\sin\theta$、$T/4$ 鑑別、解調 LPF）得到解調輸出 $w$，再負回授。
Fig. 2 shows the hardware signal flow, where the Adler dynamics hide inside the "Oscillator" block rather than appearing as a separate plant. The diagram below is the control block diagram, which pulls $P(s)$ out explicitly: the controller $C(s)$ sets the delay $d$, target motion enters as the disturbance $D(s)$, their sum passes through the plant (containing the $\times\omega_n$ of $d\to\theta$, the Adler $\sin\theta$, the $T/4$ discriminator and the demodulation LPF) to give the demodulated output $w$, which is fed back negatively.
図 2 はハードウェアの信号の流れであり、Adler の動特性は「Oscillator」ブロックの中に隠れていて、独立したプラントとしては描かれていない。下図は制御ブロック図で、$P(s)$ を明示的に取り出している。制御器 $C(s)$ が遅延 $d$ を設定し、対象の運動は外乱 $D(s)$ として入り、両者の和がプラント（$d\to\theta$ の $\times\omega_n$、Adler の $\sin\theta$、$T/4$ 弁別、復調 LPF を含む）を通って復調出力 $w$ となり、負帰還される。
本（超音波）論文的 plant/控制框架，被後續的Wu's master's thesis直接搬到 5.8 GHz EM 雷達（DSIL）。最顯眼的差別是載波波形：
The plant/control framework of this (ultrasonic) paper was carried over directly into a 5.8 GHz EM radar (DSIL) in Wu's master's thesis. The most visible difference is the carrier waveform:
本（超音波）論文のプラント／制御の枠組みは、後続の Wu's master's thesis によって 5.8 GHz の電磁波レーダー（DSIL）へそのまま移植された。最も目立つ違いは搬送波の波形である：
| 本論文（超音波） | This paper (ultrasonic) | 本論文（超音波） | DSIL 版（Wu 5.8 GHz） | DSIL version (Wu, 5.8 GHz) | DSIL 版（Wu 5.8 GHz） | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 載波 | Carrier | 搬送波 | 超音波方波Ultrasonic square wave超音波の方形波 | 5.8 GHz EM 弦波5.8 GHz EM sinusoid5.8 GHz 電磁波の正弦波 | ||||
| 振盪器 | Oscillator | 発振器 | relay-feedback（比較器 → 方波） | Relay feedback (comparator → square wave) | relay-feedback（コンパレータ → 方形波） | 類比 RF 振盪器（弦波） | Analog RF oscillator (sinusoid) | アナログ RF 発振器（正弦波） |
| 送到 target | Sent to target | 対象へ送出する波形 | 方波（諧波經窄帶換能器/介質濾掉） | Square wave (harmonics filtered by the narrowband transducer / medium) | 方形波（高調波は狭帯域のトランスデューサ／媒質で除去される） | 弦波 RF | Sinusoidal RF | 正弦波 RF |
| 佐證 | Evidence | 根拠 | $u_{out},u_{inj}$ 皆方波，基頻 $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$ | $u_{out},u_{inj}$ are both square waves, fundamental $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$ | $u_{out},u_{inj}$ はいずれも方形波、基本波は $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$ | 頻譜為單一乾淨載波（5.80004 GHz） | The spectrum is a single clean carrier (5.80004 GHz) | スペクトルは単一のきれいな搬送波（5.80004 GHz） |
但 plant 的「非線性核心」相同。兩者鎖定關係都是同一條廣義 Adler $\Delta\omega=\frac{\omega}{2Q}\frac{\eta\sin\theta}{1+\eta\cos\theta}$。關鍵是方波的 $\tfrac{4}{\pi}$ 會自己消掉：本論文頻率方程 (A14) 是 $\frac{B}{A}$，其中 $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$、$A=\tfrac{4}{\pi}(A_{inj}\cos\theta+1)$，$\tfrac{4}{\pi}$ 上下相消：
But the nonlinear core of the plant is identical. Both lock through the same generalized Adler relation $\Delta\omega=\frac{\omega}{2Q}\frac{\eta\sin\theta}{1+\eta\cos\theta}$. The key point is that the square wave's $\tfrac{4}{\pi}$ cancels itself out: the frequency equation (A14) here contains $\frac{B}{A}$ with $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$ and $A=\tfrac{4}{\pi}(A_{inj}\cos\theta+1)$, so the $\tfrac{4}{\pi}$ cancels between numerator and denominator:
しかしプラントの非線形な核心は同一である。どちらも同じ一般化 Adler 関係 $\Delta\omega=\frac{\omega}{2Q}\frac{\eta\sin\theta}{1+\eta\cos\theta}$ によって同期する。要点は方形波の $\tfrac{4}{\pi}$ が自分自身で相殺されることである。本論文の周波数方程式 (A14) は $\frac{B}{A}$ を含み、$B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$、$A=\tfrac{4}{\pi}(A_{inj}\cos\theta+1)$ であるから、$\tfrac{4}{\pi}$ が分子と分母で打ち消し合う：
→ 方波 vs 弦波並不改變 SIL 的相位非線性本身。兩者工作點 $\theta=\pi$、$Q=25$、$A_{inj}=0.5$、穩定區 $(0.5\pi,1.5\pi)$ 全相同。
→ Square wave vs sinusoid does not change the SIL phase nonlinearity itself. Operating point $\theta=\pi$, $Q=25$, $A_{inj}=0.5$ and the stable region $(0.5\pi,1.5\pi)$ are all the same.
→ 方形波か正弦波かは SIL の位相非線形性そのものを変えない。動作点 $\theta=\pi$、$Q=25$、$A_{inj}=0.5$、安定領域 $(0.5\pi,1.5\pi)$ はいずれも同一である。
真正的差異在 plant 的前後端：The real differences are at the front and back ends of the plant:本当の違いはプラントの前段と後段にある：
| plant 描述 | Plant aspect | プラントの観点 | 本論文（超音波） | This paper (ultrasonic) | 本論文（超音波） | DSIL 版（Wu） | DSIL version (Wu) | DSIL 版（Wu） |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\tfrac{4}{\pi}$ 因子 | $\tfrac{4}{\pi}$ factor | $\tfrac{4}{\pi}$ の因子 | 有（殘留在 $g\propto\frac{\cdots}{\pi Q}$，式 7） | Present (left over in $g\propto\frac{\cdots}{\pi Q}$, eq. 7) | あり（$g\propto\frac{\cdots}{\pi Q}$ に残る、式 7） | 無（直接用 $A_{inj}/A_{osc}$） | Absent (uses $A_{inj}/A_{osc}$ directly) | なし（$A_{inj}/A_{osc}$ を直接用いる） |
| 完整 $P(s)$ | Full $P(s)$ | 完全な $P(s)$ | $P(s)=g(\theta)e^{-sT/8}F(s)$（input=延遲 $d$，output=解調 $w$） | $P(s)=g(\theta)e^{-sT/8}F(s)$ (input = delay $d$, output = demodulated $w$) | $P(s)=g(\theta)e^{-sT/8}F(s)$（入力 = 遅延 $d$、出力 = 復調出力 $w$） | 沿用同一鎖定/工作點框架，未自推方波式 $P(s)$ | Reuses the same locking / operating-point framework; does not re-derive a square-wave $P(s)$ | 同じ同期／動作点の枠組みをそのまま用いており、方形波用の $P(s)$ を独自に導出してはいない |
| 頻率解調 | Frequency demodulation | 周波数復調 | $u(t)\,u(t-T/4)$ 自乘式 FM 鑑別器 | Self-multiplying FM discriminator $u(t)\,u(t-T/4)$ | $u(t)\,u(t-T/4)$ の自己乗算型 FM 弁別器 | I/Q mixer + Low-IF (40 kHz) + Hartley 影像消除 | I/Q mixer + Low-IF (40 kHz) + Hartley image rejection | I/Q ミキサ + Low-IF (40 kHz) + Hartley イメージ除去 |
| 控制 | Control | 制御 | TDL + PI，鎖 $\theta=\pi$ | TDL + PI, locking $\theta=\pi$ | TDL + PI、$\theta=\pi$ に固定 | TDL + PIC，鎖 $\theta=\pi$（相同） | TDL + PIC, locking $\theta=\pi$ (identical) | TDL + PIC、$\theta=\pi$ に固定（同一） |
一句話：載波波形（方波 vs 弦波）只影響「物理實作」與「demod plant 的數值因子（$\tfrac{4}{\pi}$／$\pi$）」；SIL 的相位非線性與工作點 plant 兩者完全相同。Wu是把本論文的 plant/控制框架搬到 5.8 GHz 弦波載波 + I/Q Low-IF Hartley 解調的版本。
In one sentence: the carrier waveform (square vs sinusoidal) only affects the physical implementation and the numeric factor in the demodulation plant ($\tfrac{4}{\pi}$ / $\pi$); the SIL phase nonlinearity and the operating-point plant are identical in both. Wu's work ports this paper's plant/control framework to a 5.8 GHz sinusoidal carrier with I/Q Low-IF Hartley demodulation.
一言でいえば：搬送波の波形（方形波か正弦波か）が左右するのは物理的な実装と、復調プラントの数値因子（$\tfrac{4}{\pi}$ ／ $\pi$）だけである。SIL の位相非線形性と動作点まわりのプラントは両者でまったく同じである。Wu の研究は、本論文のプラント／制御の枠組みを 5.8 GHz 正弦波搬送波と I/Q Low-IF Hartley 復調へ移植したものである。
典型的「設定點調節 + 干擾抑制」問題：都卜勒相位移是干擾，控制器把它抵消並維持 $\theta=\pi$。
A textbook set-point regulation plus disturbance rejection problem: the Doppler phase shift is the disturbance, and the controller cancels it to hold $\theta=\pi$.
教科書どおりの「設定点調節 + 外乱抑制」問題である。ドップラー位相シフトが外乱であり、制御器はそれを打ち消して $\theta=\pi$ を保つ。
① 真實 plant 是「高階 + 延遲」。解調濾波器 $F(s)$ 實作上是兩個串級二階濾波器（截止 13 kHz 與 19 kHz）→ 等效 4 階；再加上 plant 的 $e^{-sT/8}$ 延遲。所以完整 plant（式 9）$P(s)=-k\,e^{-sT/8}F(s)$ 是「high-order-plus-delay」。
① The real plant is high-order plus delay. The demodulation filter $F(s)$ is implemented as two cascaded second-order filters (cutoffs 13 kHz and 19 kHz) → fourth order overall, on top of the plant's $e^{-sT/8}$ delay. So the full plant (eq. 9) $P(s)=-k\,e^{-sT/8}F(s)$ is "high-order-plus-delay".
① 実際のプラントは「高次 + むだ時間」である。復調フィルタ $F(s)$ は2 段縦続の 2 次フィルタ（遮断周波数 13 kHz と 19 kHz）として実装されており → 全体で 4 次、さらにプラントの $e^{-sT/8}$ のむだ時間が加わる。したがって完全なプラント（式 9）$P(s)=-k\,e^{-sT/8}F(s)$ は「高次 + むだ時間」である。
② 用一階低通近似它的低頻響應（式 13）。論文把高階+延遲 plant 近似成單極點一階模型：
② Approximate its low-frequency response by a first-order low-pass (eq. 13). The paper approximates the high-order-plus-delay plant by a single-pole first-order model:
② その低周波応答を一次低域通過で近似する（式 13）。論文は高次 + むだ時間のプラントを単極点の一次モデルで近似する：
原文明言它「approximates the original model (9) well at low frequencies in that it preserves the original DC gain and cutoff frequency」—— 即在低頻保留 DC 增益 $-k$ 與截止頻率 $\omega_c$。此近似只在控制頻寬 $\omega_{BW}\ll\omega_c$（$F(s)$ 高階極點）且 $\ll 1/T$（延遲）時成立。
The paper states that it "approximates the original model (9) well at low frequencies in that it preserves the original DC gain and cutoff frequency" — i.e. it keeps the DC gain $-k$ and the cutoff frequency $\omega_c$ at low frequency. The approximation only holds when the control bandwidth satisfies $\omega_{BW}\ll\omega_c$ (the high-order poles of $F(s)$) and $\ll 1/T$ (the delay).
論文は「approximates the original model (9) well at low frequencies in that it preserves the original DC gain and cutoff frequency」と明記している —— すなわち低周波において DC 利得 $-k$ と遮断周波数 $\omega_c$ を保存するということである。この近似が成り立つのは、制御帯域が $\omega_{BW}\ll\omega_c$（$F(s)$ の高次極）かつ $\ll 1/T$（むだ時間）を満たす場合に限られる。
③ 故意把 PI 的零點放在 $\omega_c$ 去對消 plant 的極點。PI 控制器可寫成
③ Deliberately place the PI zero at $\omega_c$ to cancel the plant pole. The PI controller can be written as
③ PI の零点をあえて $\omega_c$ に置き、プラントの極を相殺する。PI 制御器は次のように書ける
取 $k_p=k_I/\omega_c$（式 12）→ PI 零點落在 $s=-\omega_c$，剛好對消 $\hat{P}(s)$ 在 $s=-\omega_c$ 的極點。
Choosing $k_p=k_I/\omega_c$ (eq. 12) puts the PI zero at $s=-\omega_c$, exactly cancelling the pole of $\hat{P}(s)$ at $s=-\omega_c$.
$k_p=k_I/\omega_c$（式 12）を選ぶと PI の零点が $s=-\omega_c$ に来て、$\hat{P}(s)$ が $s=-\omega_c$ にもつ極をちょうど相殺する。
④ 對消後開迴路化成純積分器（式 14）：④ After cancellation the open loop becomes a pure integrator (eq. 14):④ 相殺後、開ループは純積分器になる（式 14）：
$(s+\omega_c)$ 上下相消，只剩單極點積分器 $-\omega_{BW}/s$。於是整個迴路只剩一個設計參數 $\omega_{BW}$（= 迴路增益降到 1 的頻率），其餘增益由式 12 自動決定。代價：對消依賴一階近似，故 $\omega_{BW}$ 必須遠低於 $\omega_c$ 與 $1/T$，否則被忽略的高階極點與延遲會吃掉相位裕度。
$(s+\omega_c)$ cancels top and bottom, leaving the single-pole integrator $-\omega_{BW}/s$. The whole loop therefore has only one design parameter, $\omega_{BW}$ (the frequency at which the loop gain falls to unity), with the remaining gains fixed by eq. 12. The price: the cancellation relies on the first-order approximation, so $\omega_{BW}$ must stay well below both $\omega_c$ and $1/T$, or the neglected high-order poles and the delay will eat the phase margin.
$(s+\omega_c)$ が分子と分母で相殺され、単極点の積分器 $-\omega_{BW}/s$ だけが残る。したがってループ全体には設計パラメータが $\omega_{BW}$ ひとつしか残らず（ループ利得が 1 に落ちる周波数）、他の利得は式 12 によって自動的に決まる。その代償として、相殺は一次近似に依存するため、$\omega_{BW}$ は $\omega_c$ と $1/T$ のいずれよりも十分に低くなければならない。そうでなければ、無視した高次極とむだ時間が位相余裕を食いつぶしてしまう。
由增益/相位裕度圖（圖 5）依目標裕度（例如 PM ≥ 60°）選 $\omega_{BW}$。
$\omega_{BW}$ is picked from the gain/phase-margin plot (Fig. 5) for a target margin (e.g. PM ≥ 60°).
$\omega_{BW}$ は利得／位相余裕の図（図 5）から、目標とする余裕（例えば PM ≥ 60°）に応じて選ぶ。
若目標移動快過迴路所能追蹤，相位誤差 $e=\theta-\pi$ 會增大；一旦 $|e|>0.5\pi$，plant gain 變號 → 不穩定。穩定區大約是 $\theta\in(0.5\pi,1.5\pi)$。最大可測速度：
If the target moves faster than the loop can track, the phase error $e=\theta-\pi$ grows; once $|e|>0.5\pi$ the plant gain changes sign → instability. The stable region is roughly $\theta\in(0.5\pi,1.5\pi)$. The maximum detectable speed is:
対象がループの追従できる速さを超えて動くと、位相誤差 $e=\theta-\pi$ が増大する。ひとたび $|e|>0.5\pi$ になるとプラント利得の符号が反転し → 不安定になる。安定領域はおおよそ $\theta\in(0.5\pi,1.5\pi)$ である。最大検出速度は：
取決於聲速 $c$、自由振盪頻率 $\omega_n$ 與控制頻寬 $\omega_{BW}$（唯一可調旋鈕）。
Set by the speed of sound $c$, the free-running frequency $\omega_n$, and the control bandwidth $\omega_{BW}$ (the only adjustable knob).
音速 $c$、自走周波数 $\omega_n$、そして制御帯域 $\omega_{BW}$（唯一の調整つまみ）によって決まる。
| 參數 | Parameter | パラメータ | 數值 | Value | 値 |
|---|---|---|---|---|---|
| 換能器 | Transducers | トランスデューサ | 40 kHz 超音波 (TX UTT4016, RX UTR4016) | 40 kHz ultrasonic (TX UTT4016, RX UTR4016) | 40 kHz 超音波 (TX UTT4016, RX UTR4016) |
| 自由振盪頻率 $f_n$ | Free-running frequency $f_n$ | 自走周波数 $f_n$ | 40 kHz | ||
| 共振器品質因數 $Q$ | Resonator quality factor $Q$ | 共振器の品質係数 $Q$ | 25 | ||
| 解調濾波器 $F$ | Demodulation filter $F$ | 復調フィルタ $F$ | 兩級串接 Butterworth LPF (13 kHz + 19 kHz) → 截止 ≈ 11.9 kHz | Two cascaded Butterworth LPFs (13 kHz + 19 kHz) → cutoff ≈ 11.9 kHz | 2 段縦続の Butterworth LPF (13 kHz + 19 kHz) → 遮断 ≈ 11.9 kHz |
| 注入振幅 $A_{inj}$ | Injection amplitude $A_{inj}$ | 注入振幅 $A_{inj}$ | 0.5（在 θ=π 得最大平坦增益） | 0.5 (gives maximally flat gain at θ=π) | 0.5（θ=π で最大平坦な利得が得られる） |
| Plant gain $k$ | $1/(TQ)=1600$ | ||||
| 選定控制頻寬 | Chosen control bandwidth | 選定した制御帯域 | $\omega_{BW}=2\pi\times3820$ rad/s (PM = 61°, GM = 2.5) | ||
| PI 增益 | PI gains | PI 利得 | $k_I=15,\ k_p=2\times10^{-4}$ | ||
| 預測 $v_{max}$ | Predicted $v_{max}$ | 予測される $v_{max}$ | $(\pi\cdot3.82/5\cdot40)\times340\approx$ 20.4 m/s |
作者推導出一個新的超音波雷達距離方程，納入空氣吸收（用到 Lambert W 函數）：
The authors derive a new ultrasonic radar range equation that accounts for absorption in air (using the Lambert W function):
著者らは、空気中の吸収を取り込んだ新しい超音波レーダーの距離方程式を導出している（Lambert W 関数を用いる）：
取決於發射端聲壓位準 SPL、驅動電壓 $V_T$、接收靈敏度 $S$、最小可測訊號 $V_R$、吸收係數 $\alpha$（40 kHz、20°C、50% RH 時為 1.256 dB/m）與目標反射面積 $A_{obj}$。預測距離 = 2.9896 m，實測 = 2.97 m — 準得驚人。
It depends on the transmit sound pressure level SPL, the drive voltage $V_T$, the receive sensitivity $S$, the minimum detectable signal $V_R$, the absorption coefficient $\alpha$ (1.256 dB/m at 40 kHz, 20°C, 50% RH) and the target reflecting area $A_{obj}$. Predicted range = 2.9896 m versus 2.97 m measured — remarkably accurate.
これは送信側の音圧レベル SPL、駆動電圧 $V_T$、受信感度 $S$、最小検出可能信号 $V_R$、吸収係数 $\alpha$（40 kHz、20°C、湿度 50% で 1.256 dB/m）、および対象の反射面積 $A_{obj}$ によって決まる。予測距離 = 2.9896 m に対し実測は 2.97 m — 驚くほどよく合っている。
| 雷達類型 | Radar type | レーダーの方式 | 波 / λ | Wave / λ | 波 / λ | 最大 pk-pk 位移 | Max pk-pk displacement | 最大 pk-pk 変位 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 本論文 phase-canceling SIL | This paper: phase-canceling SIL | 本論文：位相打ち消し SIL | 40 kHz 超音波 / 8.6 mm | 40 kHz ultrasound / 8.6 mm | 40 kHz 超音波 / 8.6 mm | 120 mm = 14 λ | ||
| Phase-tracking Doppler | 40 kHz–900 kHz 超音波 / 5.8 GHz 微波 | 40 kHz–900 kHz ultrasound / 5.8 GHz microwave | 40 kHz–900 kHz 超音波 / 5.8 GHz マイクロ波 | 1 mm / 2.56 λ；2.1 m / 0.04 λ | 1 mm / 2.56 λ; 2.1 m / 0.04 λ | 1 mm / 2.56 λ；2.1 m / 0.04 λ | ||
| Arctangent Doppler | 2.4–20 GHz 微波 | 2.4–20 GHz microwave | 2.4–20 GHz マイクロ波 | 8 λ；0.39 λ；0.8 λ；3.6 λ | 8 λ; 0.39 λ; 0.8 λ; 3.6 λ | 8 λ；0.39 λ；0.8 λ；3.6 λ |
| 式 | Eq. | 式 | 表達式 | Expression | 表式 | 意義 | Meaning | 意味 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (1) | $\theta\approx\omega_n D,\ D=\frac{2}{c}(R_0+x)$ | 注入相位 ∝ 往返延遲 | Injection phase ∝ round-trip delay | 注入位相 ∝ 往復遅延 | ||||
| (2) | $\omega-\omega_n\approx-\frac{\omega_n}{2Q}\frac{B}{A}\sin\theta$ | Adler：頻率偏移 = 相位的正弦（非線性源頭） | Adler: frequency shift = sine of phase (the source of the nonlinearity) | Adler：周波数偏移 = 位相の正弦（非線形性の源） | ||||
| (4) | $\Delta\theta\approx\frac{4\pi}{\lambda}x$ | 單位位移的相位偏差 | Phase deviation per unit displacement | 単位変位あたりの位相偏差 | ||||
| (5) | $\hat{x}=-0.5c(d-a)$ | 雷達輸出：由延遲還原運動 | Radar output: motion recovered from the delay | レーダー出力：遅延から運動を復元する | ||||
| (7) | $g=\frac{2A_{inj}\cos\theta(1+A_{inj}\cos\theta)\omega_n}{\pi Q}$ | 非線性 plant gain 對工作點 | Nonlinear plant gain vs operating point | 動作点に対する非線形なプラント利得 | ||||
| (9-10) | $P(s)=-k\,e^{-(T/8)s}F(s),\ k=\frac{1}{QT}$ | θ=π 線性化常數增益 plant | Constant-gain plant linearized at θ=π | θ=π で線形化した一定利得プラント | ||||
| (12) | $k_I=\frac{\omega_{BW}}{k},\ k_p=\frac{k_I}{\omega_c}$ | 由單一參數 ω_BW 決定 PI 增益 | PI gains fixed by the single parameter ω_BW | 単一パラメータ ω_BW によって決まる PI 利得 | ||||
| (18) | $v_{max}=\frac{\pi\omega_{BW}c}{5\omega_n}$ | 最大可測目標速度 | Maximum detectable target speed | 検出可能な最大の対象速度 | ||||
| (24) | $R=\frac{W(0.115\alpha R_0)}{0.115\alpha}$ | 超音波雷達距離 (Lambert W) | Ultrasonic radar range (Lambert W) | 超音波レーダーの到達距離 (Lambert W) | ||||
| (A14) | $\omega-\omega_n=-\frac{\omega_n B}{2QA}\sin\theta$ | 頻率方程（與 Adler 一致） | Frequency equation (agrees with Adler) | 周波数方程式（Adler と一致する） | ||||
| (A19) | $A'+\frac{\omega_n}{2Q}A=\frac{\omega_n B}{2Q}\cos\theta+\frac{2\omega_n}{\pi Q}$ | 振幅方程（低通，截止 $\omega_n/2Q$） | Amplitude equation (low-pass, cutoff $\omega_n/2Q$) | 振幅方程式（低域通過、遮断 $\omega_n/2Q$） |
A. 慢變頻率/振幅：對 Adler 型方程在一個振盪週期上取平均（假設 $|\theta'|/\omega\ll1$，因目標相對載波移動很慢），作者不需假設弱注入即可導出頻率 (A14) 與振幅 (A19) 方程。這破除了「Adler 小注入假設會限制模型」的疑慮 — 方程在此處用的大 $A_{inj}=0.5$ 仍成立，並由實驗確認。
A. Slowly-varying frequency/amplitude: by averaging the Adler-type equations over one oscillation period (assuming $|\theta'|/\omega\ll1$, since the target moves very slowly relative to the carrier), the authors derive the frequency (A14) and amplitude (A19) equations without assuming weak injection. That removes the worry that "Adler's small-injection assumption limits the model" — the equations still hold at the large $A_{inj}=0.5$ used here, as the experiments confirm.
A. 緩やかに変化する周波数／振幅：Adler 型の方程式を 1 発振周期にわたって平均すると（対象は搬送波に比べて非常にゆっくり動くので $|\theta'|/\omega\ll1$ と仮定する）、著者らは弱注入を仮定せずに周波数方程式 (A14) と振幅方程式 (A19) を導出している。これにより「Adler の小注入仮定がモデルを制限するのではないか」という懸念は解消される — ここで用いている大きな $A_{inj}=0.5$ でも方程式は成り立ち、実験でも確認されている。
B. Plant 模型：$u_{out}$ 與 (D+d) 延遲後的 $u_{inj}$ 之間的相位 $\theta\approx\omega(D+d)$，故 $\partial\theta/\partial d\approx\omega_n$ (A24) — 相位變化追隨延遲變化。把頻率與振幅方程在 $\theta=\pi$ 附近線性化即得圖 4 的方塊圖。
B. Plant model: the phase between $u_{out}$ and the $(D+d)$-delayed $u_{inj}$ is $\theta\approx\omega(D+d)$, so $\partial\theta/\partial d\approx\omega_n$ (A24) — phase change follows delay change. Linearizing the frequency and amplitude equations around $\theta=\pi$ gives the block diagram of Fig. 4.
B. プラントモデル：$u_{out}$ と $(D+d)$ だけ遅延した $u_{inj}$ との間の位相は $\theta\approx\omega(D+d)$ であるから、$\partial\theta/\partial d\approx\omega_n$（A24） — すなわち位相の変化は遅延の変化に追随する。周波数方程式と振幅方程式を $\theta=\pi$ の近傍で線形化すると、図 4 のブロック図が得られる。
Wu's master's thesis（NSYSU，指導教授 Horng）直接沿用本論文的 SIL 相位消除 plant/控制框架（引用為其參考 [24]），把它從超音波搬到 5.8 GHz 電磁波，並加上 Low-IF 接收所需的影像消除、雜波消除與測距功能。下表整理兩篇的全部差異。
Wu's master's thesis (NSYSU, advisor Horng) reuses this paper's SIL phase-canceling plant/control framework directly (cited there as reference [24]), moving it from ultrasound to 5.8 GHz electromagnetic waves and adding the image rejection, clutter cancellation and ranging that a Low-IF receiver needs. The tables below list all the differences.
Wu's master's thesis（NSYSU、指導教員 Horng）は、本論文の SIL 位相打ち消しのプラント／制御の枠組みをそのまま踏襲し（同論文では参考文献 [24] として引用されている）、それを超音波から 5.8 GHz の電磁波へ移すとともに、Low-IF 受信に必要なイメージ除去、クラッタ除去、測距の機能を追加している。以下の表に両者のすべての違いをまとめる。
| 項目 | Item | 項目 | 兩篇皆同 | Same in both works | 両論文で共通 |
|---|---|---|---|---|---|
| 原理 | Principle | 原理 | 自我注入鎖定 (SIL) + 相位消除：可調延遲抵消都卜勒相位 | Self-injection locking (SIL) + phase cancellation: a tunable delay cancels the Doppler phase | 自己注入同期 (SIL) + 位相打ち消し：可変遅延がドップラー位相を打ち消す |
| 鎖定動態 | Locking dynamics | 同期の動特性 | 廣義 Adler $\Delta\omega=\frac{\omega}{2Q}\frac{\eta\sin\theta}{1+\eta\cos\theta}$ | Generalized Adler $\Delta\omega=\frac{\omega}{2Q}\frac{\eta\sin\theta}{1+\eta\cos\theta}$ | 一般化 Adler $\Delta\omega=\frac{\omega}{2Q}\frac{\eta\sin\theta}{1+\eta\cos\theta}$ |
| 工作點 | Operating point | 動作点 | $\theta=\pi$（反相，最大平坦、負增益→負回授） | $\theta=\pi$ (anti-phase; maximally flat, negative gain → negative feedback) | $\theta=\pi$（逆位相。最大平坦かつ負利得 → 負帰還） |
| 參數 | Parameters | パラメータ | $Q=25$、$A_{inj}=0.5$、穩定區 $(0.5\pi,1.5\pi)$ | $Q=25$, $A_{inj}=0.5$, stable region $(0.5\pi,1.5\pi)$ | $Q=25$、$A_{inj}=0.5$、安定領域 $(0.5\pi,1.5\pi)$ |
| 控制 | Control | 制御 | TDL（數位可調延遲線）+ PI 控制器，把 $\theta$ 鎖在 $\pi$ | TDL (digital tunable delay line) + PI controller locking $\theta$ at $\pi$ | TDL（ディジタル可変遅延線）+ PI 制御器により $\theta$ を $\pi$ に固定する |
| 面向 | Aspect | 観点 | 本論文 (Yu, 超音波) | This paper (Yu, ultrasonic) | 本論文 (Yu, 超音波) | DSIL 版 (Wu, 5.8 GHz) | DSIL version (Wu, 5.8 GHz) | DSIL 版 (Wu, 5.8 GHz) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 載波 / 波形 | Carrier / waveform | 搬送波 / 波形 | 超音波方波（relay-feedback，比較器） | Ultrasonic square wave (relay feedback, comparator) | 超音波の方形波（relay-feedback、コンパレータ） | 5.8 GHz EM 弦波（類比 RF 振盪器） | 5.8 GHz EM sinusoid (analog RF oscillator) | 5.8 GHz 電磁波の正弦波（アナログ RF 発振器） |
| $\tfrac{4}{\pi}$ 因子 | $\tfrac{4}{\pi}$ factor | $\tfrac{4}{\pi}$ の因子 | 有（$B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$，殘留在 $g\propto\frac{\cdots}{\pi Q}$） | Present ($B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$, left over in $g\propto\frac{\cdots}{\pi Q}$) | あり（$B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$、$g\propto\frac{\cdots}{\pi Q}$ に残る） | 無（直接用 $A_{inj}/A_{osc}$） | Absent (uses $A_{inj}/A_{osc}$ directly) | なし（$A_{inj}/A_{osc}$ を直接用いる） |
| 注入比 $\eta=\frac{A_{inj}}{A_{osc}}$ 的取得路徑 | How the injection ratio $\eta=\frac{A_{inj}}{A_{osc}}$ is obtained | 注入比 $\eta=\frac{A_{inj}}{A_{osc}}$ の求め方 | 經方波基頻 $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$、振幅 $A=B\cos\theta+\tfrac{4}{\pi}$；$\tfrac{4}{\pi}$ 相消 ⟹ $\eta=A_{inj}$ | Via the square-wave fundamental $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$ and amplitude $A=B\cos\theta+\tfrac{4}{\pi}$; the $\tfrac{4}{\pi}$ cancels ⇒ $\eta=A_{inj}$ | 方形波の基本波 $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$ と振幅 $A=B\cos\theta+\tfrac{4}{\pi}$ を経由する。$\tfrac{4}{\pi}$ が相殺されて ⟹ $\eta=A_{inj}$ | 直接 $\eta=A_{inj}/A_{osc}$（弦波，無 $\tfrac{4}{\pi}$） | Directly $\eta=A_{inj}/A_{osc}$ (sinusoid, no $\tfrac{4}{\pi}$) | 直接 $\eta=A_{inj}/A_{osc}$（正弦波なので $\tfrac{4}{\pi}$ は現れない） |
| 頻率解調 | Frequency demodulation | 周波数復調 | $u(t)\,u(t-T/4)$ 自乘式 FM 鑑別器 | Self-multiplying FM discriminator $u(t)\,u(t-T/4)$ | $u(t)\,u(t-T/4)$ の自己乗算型 FM 弁別器 | I/Q mixer + Low-IF (40 kHz) | ||
| 影像 (image) | Image | イメージ (image) | 無影像問題（不需消除） | No image problem (no rejection needed) | イメージの問題なし（除去は不要） | Low-IF 引入影像 → 數位 Hartley 消除，IRR 116.85 dB | Low-IF introduces an image → digital Hartley rejection, IRR 116.85 dB | Low-IF によりイメージが生じる → ディジタル Hartley 除去、IRR 116.85 dB |
| 雜波 (clutter) | Clutter | クラッタ (clutter) | — | 數位雜波消除（range-correlation） | Digital clutter cancellation (range correlation) | ディジタルクラッタ除去（range-correlation） | ||
| 測距 | Ranging | 測距 | —（只測位移；另有聲波鏈路距離方程） | — (displacement only; a separate acoustic-link range equation is given) | —（変位のみ。別途、音波リンクの距離方程式が示されている） | FSK 絕對測距，誤差 < 3% | FSK absolute ranging, error < 3% | FSK による絶対測距、誤差 < 3% |
| 距離量測法 | Range measurement method | 距離の測定方法 | — | I/Q 圓擬合（LSF）取相位 | I/Q circle fitting (LSF) to extract phase | I/Q の円フィッティング（LSF）により位相を求める | ||
| 實作 | Implementation | 実装 | FPGA（延遲線 + PI） | FPGA (delay line + PI) | FPGA（遅延線 + PI） | 全數位 FPGA（Cyclone V GX） | All-digital FPGA (Cyclone V GX) | 全ディジタル FPGA（Cyclone V GX） |
| 應用 | Application | 応用 | 非接觸呼吸 / 心跳（超音波） | Non-contact respiration / heartbeat (ultrasonic) | 非接触の呼吸／心拍計測（超音波） | 手腕式生理監測 + 距離（5.8 GHz） | Wrist-worn vital-sign monitoring + range (5.8 GHz) | 手首装着型の生体信号モニタリング + 距離計測（5.8 GHz） |
| 線性度 / 靈敏度 | Linearity / sensitivity | 線形性 / 感度 | 0.05–60 mm 內誤差 < 4% | Error < 4% over 0.05–60 mm | 0.05–60 mm の範囲で誤差 < 4% | 等速運動 50 µm（數位）vs 100 µm（類比）、理論極限 20.7 µm | 50 µm (digital) vs 100 µm (analog) for constant-velocity motion; theoretical limit 20.7 µm | 等速運動で 50 µm（ディジタル）対 100 µm（アナログ）、理論限界は 20.7 µm |
上表是 $\eta$ 的取得路徑不同；但代入廣義 Adler $\dfrac{\eta\sin\theta}{1+\eta\cos\theta}$ 的 $\eta$ 兩篇同為 $0.5$。Yu 雖經方波的 $\tfrac{4}{\pi}$ 因子，但把頻率方程 (A14) 的 $\dfrac{B}{A}$ 化簡時，分子 $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$ 與分母 $A=\tfrac{4}{\pi}(A_{inj}\cos\theta+1)$ 的 $\tfrac{4}{\pi}$ 上下相消：
The table above differs only in how $\eta$ is obtained; the $\eta$ substituted into the generalized Adler expression $\dfrac{\eta\sin\theta}{1+\eta\cos\theta}$ is $0.5$ in both works. Yu goes through the square wave's $\tfrac{4}{\pi}$ factor, but when the $\dfrac{B}{A}$ of the frequency equation (A14) is simplified, the $\tfrac{4}{\pi}$ in the numerator $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$ and the denominator $A=\tfrac{4}{\pi}(A_{inj}\cos\theta+1)$ cancel:
上の表で異なるのは$\eta$ の求め方だけである。一般化 Adler の式 $\dfrac{\eta\sin\theta}{1+\eta\cos\theta}$ に代入される $\eta$ は両論文とも $0.5$ である。Yu は方形波の $\tfrac{4}{\pi}$ の因子を経由するが、周波数方程式 (A14) の $\dfrac{B}{A}$ を整理すると、分子 $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$ と分母 $A=\tfrac{4}{\pi}(A_{inj}\cos\theta+1)$ の $\tfrac{4}{\pi}$ が打ち消し合う：
而 $\eta=0.5$ 是刻意選的設計值：它讓 plant 增益 $g\propto\cos\theta\,(1+\eta\cos\theta)$ 在 $\theta=\pi$ 達最大平坦（$g'=g''=g'''=0$）。所以「方波 vs 弦波」只改變 $\eta$ 的取得路徑，不改變它的值（0.5）、也不改變它在 Adler 與最大平坦條件裡的角色 —— 這正是兩篇 plant 非線性核心相同的數學原因。
And $\eta=0.5$ is a deliberate design value: it makes the plant gain $g\propto\cos\theta\,(1+\eta\cos\theta)$ maximally flat at $\theta=\pi$ ($g'=g''=g'''=0$). So square wave versus sinusoid changes only how $\eta$ is obtained, not its value (0.5) nor its role in Adler's equation and the maximal-flatness condition — which is precisely the mathematical reason the nonlinear cores of the two plants are identical.
そして $\eta=0.5$ は意図的に選ばれた設計値である。これによってプラント利得 $g\propto\cos\theta\,(1+\eta\cos\theta)$ が $\theta=\pi$ で最大平坦になる（$g'=g''=g'''=0$）。したがって方形波か正弦波かは $\eta$ の求め方を変えるだけで、その値（0.5）も、Adler の方程式や最大平坦条件における役割も変えない —— これこそが、両論文のプラントの非線形な核心が同一である数学的な理由である。
兩者做的同一件事：把 SIL 振盪器的瞬時頻率偏移 $\Delta\omega$（= 相位 $\theta$ 的偏差）取出來，當作 ① 控制迴路鎖 $\theta=\pi$ 的誤差訊號、② 位移讀出。要從載波取出相位/頻率，數學上必須有一對相差 $90°$ 的正交訊號 —— 兩種方法只差在「怎麼製造這對正交訊號」。
They do the same job: extract the SIL oscillator's instantaneous frequency shift $\Delta\omega$ (= the deviation of the phase $\theta$) to serve as ① the error signal that locks the control loop at $\theta=\pi$ and ② the displacement readout. Mathematically, recovering phase/frequency from a carrier requires a pair of quadrature signals $90°$ apart — the two methods differ only in how that quadrature pair is produced.
両者がやっていることは同じである。SIL 発振器の瞬時周波数偏移 $\Delta\omega$（= 位相 $\theta$ の偏差）を取り出し、① 制御ループを $\theta=\pi$ に固定するための誤差信号として、② 変位の読み出しとして用いる。搬送波から位相／周波数を取り出すには、数学的に$90°$ 位相の異なる直交信号の対が必要であり —— 2 つの方式はその直交対をどう作るかだけが違う。
Yu — 自乘式 $T/4$ 鑑別器（自外差 autodyne）：Yu — self-multiplying $T/4$ discriminator (autodyne):Yu — 自己乗算型 $T/4$ 弁別器（オートダイン autodyne）：
吳 — I/Q mixer + Low-IF + Hartley（外差）：Wu — I/Q mixer + Low-IF + Hartley (heterodyne):Wu — I/Q ミキサ + Low-IF + Hartley（ヘテロダイン）：
「外部 LO」到底是什麼？就是那顆 5.8 GHz 載波本振：FPGA 用 DAC 產生 40 kHz I/Q，經此 LO 升頻成 RF $5.8\text{ GHz}+40\text{ kHz}=5.80004$ GHz（影像邊帶 $5.79996$ GHz 被壓 ≈ 62 dB）；回波再由同一顆 LO 降頻回 40 kHz Low-IF。所以頻譜上 $5.80004/5.79996$ GHz = $5.8\text{ GHz}\pm40\text{ kHz}$（載波 ± IF）。
⚠️ 注意：吳的 SIL/Adler 鎖定其實跑在 40 kHz 的 IF（數位域），5.8 GHz 只是「空中往返的載波」（相位 $\theta=\omega_{RF}D(t)$ 由 5.8 GHz 累積，但鎖相、TDL、PIC 都在 40 kHz IF 上）—— 這就是它能「全數位 FPGA」的原因。
What exactly is the "external LO"? It is the 5.8 GHz carrier local oscillator: the FPGA generates a 40 kHz I/Q pair through a DAC, this LO up-converts it to RF at $5.8\text{ GHz}+40\text{ kHz}=5.80004$ GHz (the image sideband at $5.79996$ GHz is suppressed by ≈ 62 dB), and the same LO down-converts the echo back to the 40 kHz Low-IF. Hence the $5.80004/5.79996$ GHz pair in the spectrum = $5.8\text{ GHz}\pm40\text{ kHz}$ (carrier ± IF).
⚠ Note: Wu's SIL/Adler locking actually runs at the 40 kHz IF, in the digital domain. The 5.8 GHz signal is only the carrier that travels through the air (the phase $\theta=\omega_{RF}D(t)$ accumulates at 5.8 GHz, but the phase locking, TDL and PIC all operate at the 40 kHz IF) — which is what makes the all-digital FPGA implementation possible.
「外部 LO」とは具体的に何か？それは 5.8 GHz 搬送波の局部発振器である。FPGA が DAC を通して 40 kHz の I/Q 対を生成し、この LO がそれを RF の $5.8\text{ GHz}+40\text{ kHz}=5.80004$ GHz へアップコンバートする（イメージ側波帯の $5.79996$ GHz は約 62 dB 抑圧される）。同じ LO がエコーを 40 kHz の Low-IF へダウンコンバートする。したがってスペクトル上の $5.80004/5.79996$ GHz の対 = $5.8\text{ GHz}\pm40\text{ kHz}$（搬送波 ± IF）である。
⚠ 注意：Wu の SIL/Adler 同期は実際には 40 kHz の IF、すなわちディジタル領域で動作している。5.8 GHz の信号は空中を往復する搬送波にすぎない（位相 $\theta=\omega_{RF}D(t)$ は 5.8 GHz で累積するが、位相同期も TDL も PIC もすべて 40 kHz の IF 上で動作する） —— これが全ディジタル FPGA 実装を可能にしている理由である。
類比核心：Yu 的「$T/4$ 時間延遲」 ⟷ 吳的「I/Q LO 的 $90°$ 分相」—— 都是「製造正交對」以解出相位/頻率。所以一個自外差自乘、一個 I/Q 外差，本質都是正交相位/頻率鑑別器，輸出同一個 $\Delta\omega$。差別只在豐富度與代價：Yu 單路自混（簡單、免影像，只給鑑別電壓）；吳雙路 I/Q（可圓擬合/FSK、避 DC offset，但需 Hartley 消影像）。
The analogy in one line: Yu's "$T/4$ time delay" ↔ Wu's "$90°$ split of the I/Q LO" — both manufacture a quadrature pair in order to solve for phase/frequency. One is an autodyne self-multiplier, the other an I/Q heterodyne, but both are quadrature phase/frequency discriminators producing the same $\Delta\omega$. They differ only in richness and cost: Yu's single-path self-mixing is simple and image-free but yields only a discriminator voltage; Wu's dual I/Q path enables circle fitting and FSK and avoids DC offset, at the price of Hartley image rejection.
対応関係を一行でいえば：Yu の「$T/4$ の時間遅延」 ⟷ Wu の「I/Q LO の $90°$ 分相」 —— どちらも位相／周波数を解くために直交対を作り出している。一方は自己乗算のオートダイン、他方は I/Q ヘテロダインであるが、いずれも同じ $\Delta\omega$ を出力する直交位相／周波数弁別器である。違いは情報の豊富さとコストだけである。Yu の単一経路の自己混合は簡単でイメージも生じないが弁別電圧しか得られない。Wu の 2 系統の I/Q は円フィッティングと FSK を可能にし DC オフセットも避けられるが、Hartley によるイメージ除去が必要になる。
論文用兩個附錄把前面用到的方程補齊：附錄 A 不靠弱注入假設、直接從共振腔微分方程導出頻率與振幅方程；附錄 B 由此線性化出小信號 plant 模型 $P(s)$。
Two appendices in the paper fill in the equations used above: Appendix A derives the frequency and amplitude equations straight from the resonator differential equation, without relying on a weak-injection assumption; Appendix B linearizes those to obtain the small-signal plant model $P(s)$.
論文は 2 つの付録でここまでに用いた式を補っている。付録 A は弱注入の仮定に頼らず、共振器の微分方程式から直接に周波数方程式と振幅方程式を導く。付録 B はそれを線形化して小信号プラントモデル $P(s)$ を得る。
目的：證明頻率方程 (A14) 不只是 Adler 的弱注入近似 —— 即使在本設計的大注入 $A_{inj}=0.5$ 下仍成立。手法是對一個振盪週期取平均，而不是假設注入很弱。
Purpose: to show that the frequency equation (A14) is more than Adler's weak-injection approximation — it still holds at the large injection $A_{inj}=0.5$ used in this design. The trick is averaging over one oscillation period instead of assuming weak injection.
目的：周波数方程式 (A14) が Adler の弱注入近似にとどまらないこと —— 本設計で用いる大きな注入 $A_{inj}=0.5$ のもとでも成り立つこと —— を示すことである。その鍵は、弱注入を仮定するのではなく1 発振周期にわたって平均をとるという手法にある。
$u_1$ 是共振腔的輸入（驅動項），即 (A3) 右邊 $\frac{\omega_n}{Q}\dot u_1$ 裡的 $u_1$。它由相加的兩個訊號組成：自身再生的方波驅動 $u_{out}$ ＋ 注回來的注入訊號 $u_{inj}$。
$u_1$ is the input (drive term) of the resonator, i.e. the $u_1$ inside $\frac{\omega_n}{Q}\dot u_1$ on the right-hand side of (A3). It is the sum of two signals: the self-regenerated square-wave drive $u_{out}$ plus the injected signal $u_{inj}$ coming back.
$u_1$ は共振器の入力（駆動項）であり、(A3) の右辺 $\frac{\omega_n}{Q}\dot u_1$ の中の $u_1$ にあたる。これは 2 つの信号の和である：自身で再生される方形波の駆動 $u_{out}$ と、戻ってくる注入信号 $u_{inj}$ である。
第一項 $\tfrac{4}{\pi}\cos[\omega_n t+\psi]$（自身方波驅動）：First term $\tfrac{4}{\pi}\cos[\omega_n t+\psi]$ (the self drive):第 1 項 $\tfrac{4}{\pi}\cos[\omega_n t+\psi]$（自身による駆動）：
第二項 $B\cos[\omega_n t+\psi-\theta]$（注入訊號）：Second term $B\cos[\omega_n t+\psi-\theta]$ (the injected signal):第 2 項 $B\cos[\omega_n t+\psi-\theta]$（注入信号）：
為何只有第一項露出 $\tfrac{4}{\pi}$？其實兩項都有。注入也是方波，它的 $\tfrac{4}{\pi}$ 被收進符號 $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$。展開即可見 $\tfrac{4}{\pi}$ 可整個提出：
Why does only the first term show a $\tfrac{4}{\pi}$? In fact both have one. The injection is a square wave too; its $\tfrac{4}{\pi}$ is absorbed into the symbol $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$. Expanding shows the $\tfrac{4}{\pi}$ factors out entirely:
なぜ第 1 項にだけ $\tfrac{4}{\pi}$ が現れるのか？実際には両方にある。注入側も方形波であり、その $\tfrac{4}{\pi}$ は記号 $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$ の中に取り込まれている。展開すれば $\tfrac{4}{\pi}$ が全体としてくくり出せることが分かる：
| 訊號 | Signal | 信号 | 方波振幅 | Square-wave amplitude | 方形波の振幅 | 基頻振幅 | Fundamental amplitude | 基本波の振幅 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $u_{out}$（自身驅動） | $u_{out}$ (self drive) | $u_{out}$（自身による駆動） | 歸一化 = 1（基準） | Normalized to 1 (the reference) | 1 に正規化（基準） | $\tfrac{4}{\pi}\cdot1=\tfrac{4}{\pi}$ → 直接寫出 | $\tfrac{4}{\pi}\cdot1=\tfrac{4}{\pi}$ → written out explicitly | $\tfrac{4}{\pi}\cdot1=\tfrac{4}{\pi}$ → そのまま明示的に書く |
| $u_{inj}$（注入回波） | $u_{inj}$ (injected echo) | $u_{inj}$（注入されるエコー） | $A_{inj}$（設計變數） | $A_{inj}$ (design variable) | $A_{inj}$（設計変数） | $\tfrac{4}{\pi}A_{inj}\equiv B$ → 包成 $B$ | $\tfrac{4}{\pi}A_{inj}\equiv B$ → folded into $B$ | $\tfrac{4}{\pi}A_{inj}\equiv B$ → $B$ にまとめる |
$u_{out}$ 振幅歸一化成 1 當基準，故 $\tfrac{4}{\pi}$ 是純數字直接顯示；$u_{inj}$ 振幅是注入強度 $A_{inj}$，基頻包成 $B$ 讓式子簡潔。後面 $\frac{B}{A}$ 裡 $\tfrac{4}{\pi}$ 上下相消，只剩 $\eta=\frac{A_{inj}}{A_{osc}}$，所以 plant 增益 $g$ 不會殘留單獨的 $\tfrac{4}{\pi}$。
The amplitude of $u_{out}$ is normalized to 1 as the reference, so its $\tfrac{4}{\pi}$ appears as a bare number; the amplitude of $u_{inj}$ is the injection strength $A_{inj}$, whose fundamental is folded into $B$ to keep the equations compact. Later the $\tfrac{4}{\pi}$ in $\frac{B}{A}$ cancels top and bottom, leaving only $\eta=\frac{A_{inj}}{A_{osc}}$, so no lone $\tfrac{4}{\pi}$ survives in the plant gain $g$.
$u_{out}$ の振幅は基準として 1 に正規化されているので、その $\tfrac{4}{\pi}$ は裸の数値として現れる。$u_{inj}$ の振幅は注入強度 $A_{inj}$ であり、その基本波は式を簡潔に保つため $B$ にまとめてある。後に $\frac{B}{A}$ の中で $\tfrac{4}{\pi}$ が分子と分母で相殺され $\eta=\frac{A_{inj}}{A_{osc}}$ だけが残るので、プラント利得 $g$ に単独の $\tfrac{4}{\pi}$ が残ることはない。
物理意義：注入鎖定的本質就是這個相加驅動 =「自我再生（同相）」+「延遲注入（落後 $\theta$）」。兩相量相加後激發共振腔，合成相量方向取決於 $\theta$ → 被迫的頻率/振幅隨 $\theta$ 改變。把 (A4) 代回 (A3) 取週期平均，就得到 (A14)(A19)。
Physical meaning: injection locking is exactly this summed drive = "self-regeneration (in phase)" + "delayed injection (lagging by $\theta$)". The two phasors add and excite the resonator, and the direction of the resultant phasor depends on $\theta$ → the forced frequency and amplitude vary with $\theta$. Substituting (A4) back into (A3) and averaging over a period yields (A14) and (A19).
物理的な意味：注入同期の本質はまさにこの加算された駆動、すなわち「自己再生（同相）」＋「遅延した注入（$\theta$ だけ遅れる）」である。2 つのフェーザが加算されて共振器を励振し、合成フェーザの向きは $\theta$ に依存する → 強制される周波数と振幅が $\theta$ とともに変化する。(A4) を (A3) に代入して周期平均をとると (A14) と (A19) が得られる。
小註記：原文說 (A4) 的等號「sloppy」—— 因為右邊已丟掉方波高次諧波、只留基頻。高-$Q$ 下合理，但嚴格講是近似，故後續方程皆為近似式。
Side note: the paper calls the equals sign in (A4) "sloppy" — the right-hand side has already dropped the higher harmonics of the square wave and kept only the fundamental. That is reasonable at high $Q$, but strictly speaking it is an approximation, so all the equations that follow are approximate.
補足：論文は (A4) の等号を「sloppy」と呼んでいる —— 右辺はすでに方形波の高次高調波を捨てて基本波だけを残しているからである。高 $Q$ のもとでは妥当だが、厳密には近似であり、したがって以降の方程式もすべて近似式である。
把 (A1)(A2)(A4) 代入 (A3)，並利用目標移動遠慢於載波（$|\dot\theta|/\omega\ll1$，式 A8）對一個週期 $T$ 取平均，得兩條非線性 ODE (A11)(A12)。取其靜態解即得：
Substituting (A1), (A2) and (A4) into (A3), and averaging over one period $T$ using the fact that the target moves far more slowly than the carrier ($|\dot\theta|/\omega\ll1$, eq. A8), gives two nonlinear ODEs (A11)(A12). Their static solutions are:
(A1)(A2)(A4) を (A3) に代入し、対象の移動が搬送波よりはるかに遅いこと（$|\dot\theta|/\omega\ll1$、式 A8）を用いて 1 周期 $T$ にわたり平均すると、2 本の非線形常微分方程式 (A11)(A12) が得られる。その静的解をとれば：
振盪器穩定下來的振幅 $A$ 由兩項撐起：
$$A=\underbrace{\tfrac{4}{\pi}}_{\substack{\text{比較器自我維持}\\\text{（固定底子）}}}+\underbrace{B\cos\theta}_{\substack{\text{注入同相分量}\\\text{（隨 }\theta\text{ 增減）}}}$$① 這個 $\theta$ 是哪個角度？
就是注入訊號與振盪訊號的相位差。看 (A4)：自身項相位 $\psi$、注入項相位 $\psi-\theta$，兩者差 = $\theta$。它不是隨便一個角，而是整篇的主角 —— 來自往返延遲 $\theta=\omega(D+d)$、攜帶位移 $\theta=\frac{4\pi}{\lambda}x+\text{const}$、也是控制器要鎖在 $\pi$ 的那個 $\theta$。(A15) 的 $\cos\theta$、(A14) 的 $\sin\theta$、工作點的 $\theta$ 全部同一個。
② 為什麼振幅裡有常數 $\tfrac{4}{\pi}$？
為什麼注入那項是 $\cos\theta$（相量分解）：
把注入相量 $B$ 與振盪相量夾角 $\theta$ 拆兩個垂直分量 —— 同相分量 $B\cos\theta$ 加進振幅（(A15)）、正交分量 $B\sin\theta$ 轉相量改頻率（(A14)）。所以 (A15) 的 $\cos\theta$ 與 (A14) 的 $\sin\theta$ 是同一個注入相量的兩個垂直投影。
兩個極端：$\theta=0$（同相）→ $A=B+\tfrac{4}{\pi}$ 最大（建設性）；$\theta=\pi$（反相）→ $A=\tfrac{4}{\pi}-B$ 最小（破壞性）。即論文「in-phase 振幅最大、anti-phase 振幅最小」的來源（$A_{inj}<1$ 時 $A$ 仍 $>0$，振盪維持）。
The settled oscillation amplitude $A$ is held up by two terms:
$$A=\underbrace{\tfrac{4}{\pi}}_{\substack{\text{comparator self-sustaining}\\\text{(fixed floor)}}}+\underbrace{B\cos\theta}_{\substack{\text{in-phase injection component}\\\text{(varies with }\theta)}}$$① Which angle is this $\theta$?
It is the phase difference between the injected and the oscillating signal. In (A4) the self term has phase $\psi$ and the injection term has phase $\psi-\theta$, so their difference is $\theta$. It is not just any angle but the protagonist of the whole paper — it comes from the round-trip delay $\theta=\omega(D+d)$, carries the displacement as $\theta=\frac{4\pi}{\lambda}x+\text{const}$, and is the $\theta$ the controller locks at $\pi$. The $\cos\theta$ of (A15), the $\sin\theta$ of (A14) and the operating-point $\theta$ are all the same quantity.
② Why is there a constant $\tfrac{4}{\pi}$ in the amplitude?
Why the injection term carries $\cos\theta$ (phasor decomposition):
Resolve the injection phasor $B$, at angle $\theta$ to the oscillation phasor, into two perpendicular components — the in-phase component $B\cos\theta$ adds to the amplitude ((A15)), while the quadrature component $B\sin\theta$ rotates the phasor and changes the frequency ((A14)). So the $\cos\theta$ of (A15) and the $\sin\theta$ of (A14) are two orthogonal projections of one and the same injection phasor.
Two extremes: $\theta=0$ (in phase) → $A=B+\tfrac{4}{\pi}$, the maximum (constructive); $\theta=\pi$ (anti-phase) → $A=\tfrac{4}{\pi}-B$, the minimum (destructive). This is the origin of the paper's statement that the amplitude peaks in-phase and dips anti-phase (with $A_{inj}<1$, $A$ remains $>0$ and the oscillation is sustained).
定常状態での発振振幅 $A$ は 2 つの項によって支えられている：
$$A=\underbrace{\tfrac{4}{\pi}}_{\substack{\text{コンパレータによる自己維持}\\\text{（固定の下地）}}}+\underbrace{B\cos\theta}_{\substack{\text{注入の同相成分}\\\text{（}\theta\text{ とともに増減）}}}$$① この $\theta$ はどの角度か？
これは注入信号と発振信号の位相差である。(A4) を見ると、自身の項の位相は $\psi$、注入項の位相は $\psi-\theta$ であり、その差が $\theta$ になる。これは任意の角ではなく、本論文全体の主役である —— 往復遅延 $\theta=\omega(D+d)$ から生じ、変位を $\theta=\frac{4\pi}{\lambda}x+\text{const}$ として担い、制御器が $\pi$ に固定しようとしている $\theta$ そのものである。(A15) の $\cos\theta$、(A14) の $\sin\theta$、そして動作点の $\theta$ はすべて同じ量である。
② なぜ振幅に定数 $\tfrac{4}{\pi}$ が現れるのか？
なぜ注入の項が $\cos\theta$ になるのか（フェーザ分解）：
発振フェーザに対して角 $\theta$ をなす注入フェーザ $B$ を、直交する 2 成分に分解する —— 同相成分 $B\cos\theta$ は振幅に加わり（(A15)）、直交成分 $B\sin\theta$ はフェーザを回転させて周波数を変える（(A14)）。したがって (A15) の $\cos\theta$ と (A14) の $\sin\theta$ は、同一の注入フェーザの 2 つの直交射影である。
2 つの極端な場合：$\theta=0$（同相）→ $A=B+\tfrac{4}{\pi}$ で最大（強め合い）、$\theta=\pi$（逆位相）→ $A=\tfrac{4}{\pi}-B$ で最小（打ち消し合い）。これが「同相で振幅が最大、逆位相で最小になる」という論文の記述の根拠である（$A_{inj}<1$ であれば $A$ は $>0$ のままで、発振は維持される）。
目的：求從控制訊號「可調延遲 $d$」到「解調器輸出 $w$」的轉移函數 $P(s)$。
Purpose: to find the transfer function $P(s)$ from the control signal (the tunable delay $d$) to the demodulator output $w$.
目的：制御信号（可変遅延 $d$）から復調器出力 $w$ までの伝達関数 $P(s)$ を求めることである。
$u_{out}$ 與其延遲 $(D+d)$ 版本之間的相位差：
The phase difference between $u_{out}$ and its $(D+d)$-delayed version:
$u_{out}$ と、それを $(D+d)$ だけ遅延させたものとの位相差：
相位變化直接追隨延遲變化（係數 $\omega_n$）—— 這正是「調延遲 = 調相位」的依據。
Phase change follows delay change directly, with coefficient $\omega_n$ — this is what makes "tuning the delay = tuning the phase" valid.
位相の変化は係数 $\omega_n$ で遅延の変化にそのまま追随する —— これが「遅延を調整することは位相を調整することである」という主張の根拠になる。
$\theta$ 是 $u_{out}$ 與其延遲 $(D+d)$ 版本的cosine 內角之差：
$\theta$ is the difference of the cosine arguments of $u_{out}$ and its $(D+d)$-delayed version:
$\theta$ は $u_{out}$ と、それを $(D+d)$ だけ遅延させたものとの余弦の偏角の差である：
把 $\psi(t)-\psi(t-D-d)\approx\dot\psi\,(D+d)$ 併進去，並用 $\omega=\omega_n+\dot\psi$ (A2)：
Folding in $\psi(t)-\psi(t-D-d)\approx\dot\psi\,(D+d)$ and using $\omega=\omega_n+\dot\psi$ (A2):
$\psi(t)-\psi(t-D-d)\approx\dot\psi\,(D+d)$ を取り込み、$\omega=\omega_n+\dot\psi$（A2）を用いると：
(A24)：對 $d$ 取微分。因頻率偏離 $\omega_n$ 極小（$\omega\approx\omega_n$），且 $D$ 在一瞬間視為固定，故 $\delta\theta\approx\omega_n\,\delta d\Rightarrow\dfrac{\partial\theta}{\partial d}\approx\omega_n$。這就是 plant 的輸入耦合：控制旋鈕 $d$ 以增益 $\omega_n$ 進入相位。
(A24): differentiate with respect to $d$. Since the frequency deviates only slightly from $\omega_n$ ($\omega\approx\omega_n$) and $D$ is momentarily fixed, $\delta\theta\approx\omega_n\,\delta d\Rightarrow\dfrac{\partial\theta}{\partial d}\approx\omega_n$. This is the input coupling of the plant: the control knob $d$ enters the phase with gain $\omega_n$.
(A24)：$d$ で微分する。周波数は $\omega_n$ からごくわずかしかずれず（$\omega\approx\omega_n$）、また $D$ は瞬間的には固定とみなせるので、$\delta\theta\approx\omega_n\,\delta d\Rightarrow\dfrac{\partial\theta}{\partial d}\approx\omega_n$ となる。これがプラントの入力結合である。制御つまみ $d$ は利得 $\omega_n$ で位相に入り込む。
解調器計算 $u(t)\,u(t-T/4)$ 再低通。因 $T=2\pi/\omega_n$，延遲 $T/4$ = 載波相位移 $90°$，把 $\cos$ 變成 $\sin$：
The demodulator computes $u(t)\,u(t-T/4)$ and low-passes the result. Since $T=2\pi/\omega_n$, a $T/4$ delay is a $90°$ carrier phase shift, turning $\cos$ into $\sin$:
復調器は $u(t)\,u(t-T/4)$ を計算し、その結果を低域通過させる。$T=2\pi/\omega_n$ であるから、$T/4$ の遅延は搬送波の $90°$ の位相シフトにあたり、$\cos$ を $\sin$ に変える：
括號內相位差正比於瞬時頻率偏移：
The bracketed phase difference is proportional to the instantaneous frequency shift:
括弧内の位相差は瞬時周波数偏移に比例する：
因頻偏極小（<1%），$\sin(\cdot)\approx(\cdot)$，故得小信號轉移：
Because the frequency deviation is tiny (<1%), $\sin(\cdot)\approx(\cdot)$, giving the small-signal transfer:
周波数偏移はごく小さい（<1%）ので $\sin(\cdot)\approx(\cdot)$ となり、小信号の伝達関係が得られる：
(A29) 怎麼變成 $\sin$：兩個訊號相乘，$T/4$ 延遲使第二個落後載波 $90°$（$\cos\to\sin$），用積化和差：
How (A29) becomes a $\sin$: the two signals are multiplied, the $T/4$ delay makes the second lag the carrier by $90°$ ($\cos\to\sin$), and a product-to-sum identity gives:
(A29) がなぜ $\sin$ になるのか：2 つの信号を掛け合わせると、$T/4$ の遅延によって 2 つめが搬送波に対して $90°$ 遅れ（$\cos\to\sin$）、積和の公式を用いると：
低通只留差頻（基頻）項 $\Rightarrow w=-\dfrac{A^2}{2}\sin[\psi(t)-\psi(t-\tfrac{T}{4})]$。這是相移鑑別器（quadrature demod）。
The low-pass keeps only the difference (baseband) term $\Rightarrow w=-\dfrac{A^2}{2}\sin[\psi(t)-\psi(t-\tfrac{T}{4})]$. This is a phase-shift (quadrature) discriminator.
低域通過フィルタは差の（ベースバンドの）項 $\Rightarrow w=-\dfrac{A^2}{2}\sin[\psi(t)-\psi(t-\tfrac{T}{4})]$ だけを残す。これは位相シフト型（直交）弁別器である。
(A30) 括號 ∝ 頻偏：把小區間 $T/4$ 上的相位差寫成中心差分（取中點 $t-T/8$）：$\psi(t)-\psi(t-\tfrac{T}{4})\approx\tfrac{T}{4}\dot\psi(t-\tfrac{T}{8})$。再用 $\dot\psi=\omega-\omega_n=\Delta\omega$ (A2)，且 $\tfrac{T}{4}\omega_n=\tfrac{\pi}{2}$：
Why the bracket in (A30) is ∝ the frequency deviation: write the phase difference over the short interval $T/4$ as a central difference about the midpoint $t-T/8$: $\psi(t)-\psi(t-\tfrac{T}{4})\approx\tfrac{T}{4}\dot\psi(t-\tfrac{T}{8})$. Then use $\dot\psi=\omega-\omega_n=\Delta\omega$ (A2) and $\tfrac{T}{4}\omega_n=\tfrac{\pi}{2}$:
(A30) の括弧がなぜ周波数偏移に比例するのか：短い区間 $T/4$ における位相差を、中点 $t-T/8$ まわりの中心差分として書く：$\psi(t)-\psi(t-\tfrac{T}{4})\approx\tfrac{T}{4}\dot\psi(t-\tfrac{T}{8})$。そのうえで $\dot\psi=\omega-\omega_n=\Delta\omega$（A2）と $\tfrac{T}{4}\omega_n=\tfrac{\pi}{2}$ を用いる：
(A31)(A32)：小角 $\sin\approx$ 角，$w\approx-\tfrac{A^2}{2}\cdot\tfrac{\pi}{2}\tfrac{\Delta\omega}{\omega_n}=-\tfrac{\pi A^2}{4\omega_n}\Delta\omega(t-\tfrac{T}{8})$。那個延遲 $T/8$（中點）在 Laplace 域變成 $e^{-sT/8}$，再串上解調 LPF $F(s)$ 就是 (A32)。解調器 = 把頻偏 $\Delta\omega$ 線性轉成電壓 $w$，外加一個 $T/8$ 群延遲。
(A31)(A32): for small angles $\sin\approx$ the angle, so $w\approx-\tfrac{A^2}{2}\cdot\tfrac{\pi}{2}\tfrac{\Delta\omega}{\omega_n}=-\tfrac{\pi A^2}{4\omega_n}\Delta\omega(t-\tfrac{T}{8})$. That midpoint delay $T/8$ becomes $e^{-sT/8}$ in the Laplace domain, and cascading the demodulation LPF $F(s)$ gives (A32). The demodulator converts the frequency deviation $\Delta\omega$ linearly into a voltage $w$, plus a $T/8$ group delay.
(A31)(A32)：小角では $\sin\approx$ 角そのものなので、$w\approx-\tfrac{A^2}{2}\cdot\tfrac{\pi}{2}\tfrac{\Delta\omega}{\omega_n}=-\tfrac{\pi A^2}{4\omega_n}\Delta\omega(t-\tfrac{T}{8})$ となる。この中点までの遅延 $T/8$ はラプラス領域で $e^{-sT/8}$ になり、復調 LPF $F(s)$ を縦続すると (A32) が得られる。復調器は周波数偏移 $\Delta\omega$ を線形に電圧 $w$ へ変換し、加えて $T/8$ の群遅延をもたらす。
把 (A24)、頻率方程的微擾 (A25–A27)、解調轉移 (A32)，以及線性化振幅 $A=\tfrac{4}{\pi}(A_{inj}\cos\theta+1)$ (A35) 合併：
Combining (A24), the perturbation of the frequency equation (A25–A27), the demodulation transfer (A32) and the linearized amplitude $A=\tfrac{4}{\pi}(A_{inj}\cos\theta+1)$ (A35):
(A24)、周波数方程式の摂動 (A25–A27)、復調の伝達関数 (A32)、および線形化した振幅 $A=\tfrac{4}{\pi}(A_{inj}\cos\theta+1)$（A35）を統合すると：
DC 增益 $\dfrac{dw}{dd}$ 是三段鏈相乘（$F(0)=1$）：
The DC gain $\dfrac{dw}{dd}$ is the product of the three-stage chain (with $F(0)=1$):
DC 利得 $\dfrac{dw}{dd}$ は 3 段の連鎖の積である（$F(0)=1$）：
| 段 | Stage | 段 | 關係 | Relation | 関係 | 增益 | Gain | 利得 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $d\to\theta$ | (A24) | $\dfrac{\partial\theta}{\partial d}=\omega_n$ | ||||||
| $\theta\to\Delta\omega$ | 對頻率方程 (A14) $\Delta\omega=-\frac{\omega_n B}{2QA}\sin\theta$ 取微擾 | Perturbing the frequency equation (A14) $\Delta\omega=-\frac{\omega_n B}{2QA}\sin\theta$ | 周波数方程式 (A14) $\Delta\omega=-\frac{\omega_n B}{2QA}\sin\theta$ に摂動を加える | $\dfrac{d\Delta\omega}{d\theta}=-\dfrac{\omega_n B}{2QA}\cos\theta$ | ||||
| $\Delta\omega\to w$ | (A32) | $\dfrac{dw}{d\Delta\omega}=-\dfrac{\pi A^2}{4\omega_n}$ |
三者相乘（兩個負號相消）：
Multiplying the three (the two minus signs cancel):
3 つを掛け合わせる（2 つの負号は相殺される）：
代入注入基頻 $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$ 與線性化振幅 $A=\tfrac{4}{\pi}(A_{inj}\cos\theta+1)$ (A35)，$BA=\tfrac{16}{\pi^2}A_{inj}(A_{inj}\cos\theta+1)$：
Substituting the injection fundamental $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$ and the linearized amplitude $A=\tfrac{4}{\pi}(A_{inj}\cos\theta+1)$ (A35), so that $BA=\tfrac{16}{\pi^2}A_{inj}(A_{inj}\cos\theta+1)$:
注入の基本波 $B=\tfrac{4}{\pi}A_{inj}$ と線形化した振幅 $A=\tfrac{4}{\pi}(A_{inj}\cos\theta+1)$（A35）を代入すると $BA=\tfrac{16}{\pi^2}A_{inj}(A_{inj}\cos\theta+1)$ となる：
$A$ 自身又含 $\cos\theta$，所以 $g$ 出現 $\cos\theta(1+A_{inj}\cos\theta)$ 的二次結構 —— 這正是讓 $\theta=\pi$、$A_{inj}=0.5$ 能達成「最大平坦」的來源（式 8）。$\theta=\pi$ 時 $\cos\theta=-1\Rightarrow g<0$，故為負增益（反相）。
$A$ itself contains $\cos\theta$, which is why $g$ has the quadratic structure $\cos\theta(1+A_{inj}\cos\theta)$ — exactly what lets $\theta=\pi$ with $A_{inj}=0.5$ achieve maximal flatness (eq. 8). At $\theta=\pi$, $\cos\theta=-1\Rightarrow g<0$, hence the negative (anti-phase) gain.
$A$ 自身が $\cos\theta$ を含むため、$g$ には $\cos\theta(1+A_{inj}\cos\theta)$ という二次の構造が現れる —— これこそが $A_{inj}=0.5$ のもとで $\theta=\pi$ が最大平坦を達成できる理由である（式 8）。$\theta=\pi$ では $\cos\theta=-1\Rightarrow g<0$ となり、したがって負の（逆位相の）利得になる。
正文第 4 節把 plant 線性化成 $P(s)=g(\theta)e^{-sT/8}F(s)$，那是已經鎖定之後的小信號結果。本附錄退一步看整個 SIL 振盪迴路本身：它在 z 域被畫成「帶通濾波器 + 純延遲 $z^{-1}$ + 積分器」三塊，本節說明每一塊從哪裡來、積分器到底在做什麼，以及把 z 域模型換回 s 域時會得到什麼形式。
Section 4 linearizes the plant into $P(s)=g(\theta)e^{-sT/8}F(s)$, which is the small-signal result after lock has been established. This appendix steps back to the SIL oscillator loop itself, which in the z-domain is drawn as three blocks — a bandpass filter, a pure delay $z^{-1}$, and an integrator. Here is where each block comes from, what the integrator is actually for, and what you get when the z-domain model is mapped back to the s-domain.
第 4 節ではプラントを $P(s)=g(\theta)e^{-sT/8}F(s)$ に線形化したが、それは同期が確立した後の小信号の結果である。この付録では一歩下がって SIL 発振ループそのものを見る。z 領域ではこのループは帯域通過フィルタ、純粋なむだ時間 $z^{-1}$、積分器という 3 つのブロックとして描かれる。ここでは各ブロックがどこから来るのか、積分器は実際に何をしているのか、そして z 領域モデルを s 領域に戻すとどうなるのかを説明する。
| 物理元件 | Physical part | 物理要素 | 模型方塊 | Model block | モデル上のブロック | 它負責什麼 | What it is responsible for | 担っている役割 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 諧振腔 / tank | Resonator / tank | 共振器 / tank | 帶通，中心 $\omega_n$，頻寬 $\omega_n/Q$ | Bandpass, centred at $\omega_n$, bandwidth $\omega_n/Q$ | 帯域通過。中心 $\omega_n$、帯域幅 $\omega_n/Q$ | 選出單一振盪模態；其相位斜率 $d\phi/d\omega=-2Q/\omega_n$ 決定鎖定範圍與牽引靈敏度 | Selects a single oscillation mode; its phase slope $d\phi/d\omega=-2Q/\omega_n$ sets the lock range and the pulling sensitivity | 単一の発振モードを選び出す。その位相の傾き $d\phi/d\omega=-2Q/\omega_n$ が同期範囲と引き込み感度を決める |
| 到目標的來回路徑 $\tau=2d/c$ | Round trip to the target, $\tau=2d/c$ | 対象までの往復経路 $\tau=2d/c$ | 純延遲 $\to z^{-1}$ | Pure delay $\to z^{-1}$ | 純粋なむだ時間 $\to z^{-1}$ | 把目標距離寫進迴路相位 $\theta=\omega_n\tau$ | Writes the target range into the loop phase $\theta=\omega_n\tau$ | 対象までの距離をループ位相 $\theta=\omega_n\tau$ に書き込む |
| 振盪器本身 | The oscillator itself | 発振器そのもの | 積分器 $1/s\ \leftrightarrow\ \tau/(1-z^{-1})$ | Integrator $1/s\ \leftrightarrow\ \tau/(1-z^{-1})$ | 積分器 $1/s\ \leftrightarrow\ \tau/(1-z^{-1})$ | 相位累積 $\phi(t)=\int\omega\,dt$；把迴路變成 type-1 | Phase accumulation $\phi(t)=\int\omega\,dt$; makes the loop type-1 | 位相の累積 $\phi(t)=\int\omega\,dt$。ループを type-1 にする |
$e^{-s\tau}$ 是超越函數：特徵方程有無窮多個根，畫不出有限階的根軌跡。而迴路本身就內建一個天然的取樣週期 —— 來回時間 $\tau$。以 $\tau$ 取樣，延遲就變成單純的 $z^{-1}$，整個迴路成為 $z$ 的有理函數，可以用一般的離散控制工具分析。這是 z 域模型存在的唯一理由。
$e^{-s\tau}$ is transcendental: the characteristic equation has infinitely many roots and there is no finite-order root locus. But the loop already contains a natural sampling period — the round-trip time $\tau$ itself. Sample at $\tau$ and the delay collapses to a plain $z^{-1}$, making the loop a rational function of $z$ that ordinary discrete-time control tools can handle. That is the entire reason the z-domain model exists.
$e^{-s\tau}$ は超越関数である。特性方程式は無限個の根をもち、有限次の根軌跡は描けない。しかしループにはもともと自然なサンプリング周期 —— 往復時間 $\tau$ そのもの —— が備わっている。$\tau$ でサンプリングすればむだ時間は単純な $z^{-1}$ に潰れ、ループは $z$ の有理関数になって、通常の離散時間制御の道具で扱えるようになる。これが z 領域モデルが存在する唯一の理由である。
只有「延遲 + 回授」的迴路是一把梳子：Barkhausen 條件 $\omega\tau=2\pi n$ 在每一個間隔 $1/\tau$（延遲線的自由頻譜範圍，FSR）的頻率上都成立，迴路本身完全沒有機制去挑哪一根。
A loop consisting of delay plus feedback alone is a comb: the Barkhausen condition $\omega\tau=2\pi n$ is satisfied at every frequency spaced by $1/\tau$ — the free spectral range of the delay line — and nothing in the loop itself picks which one.
むだ時間と帰還だけからなるループは櫛（コム）である。Barkhausen 条件 $\omega\tau=2\pi n$ は $1/\tau$ 間隔のあらゆる周波数 —— 遅延線の自由スペクトル範囲 —— で成り立ち、ループ自身にはどれを選ぶかを決める仕組みがまったくない。
帶通（就是諧振腔）的作用就是把其中一根留下、其餘壓掉，讓振盪成為單模態。同一個帶通的相位斜率 $d\phi/d\omega=-2Q/\omega_n$ 又決定了鎖定範圍與頻率牽引的靈敏度 —— 所以 $Q$ 同時出現在「選模態」與「靈敏度」兩件事上。
The bandpass — that is, the tank — keeps one tooth and suppresses the rest, so the oscillation is single-mode. The same bandpass has phase slope $d\phi/d\omega=-2Q/\omega_n$, which sets both the lock range and the frequency-pulling sensitivity. This is why $Q$ shows up in mode selection and in sensitivity at the same time.
帯域通過（すなわち共振器）は 1 本だけを残して他を抑え込み、発振を単一モードにする。同じ帯域通過の位相の傾き $d\phi/d\omega=-2Q/\omega_n$ は、同期範囲と周波数引き込みの感度の両方を決める。これが $Q$ が「モード選択」と「感度」の両方に同時に現れる理由である。
積分器不是誰「設計」進去的濾波器，它就是振盪器的定義：相位是頻率對時間的積分。
The integrator is not a filter anyone chose to put there; it is the definition of an oscillator — phase is the time integral of frequency.
積分器は誰かが設計して置いたフィルタではない。それは発振器の定義そのもの —— 位相は周波数の時間積分である。
Adler 方程式是微分形式 $\dfrac{d\Delta\phi}{dt}=\ldots$ —— 那個時間微分就是這個積分器。附錄 A 的 (A14) $\Delta\omega=-\frac{\omega_n B}{2QA}\sin\theta$ 是它積完、穩態後的解。換句話說：(A14) 是靜態律，本附錄講的是產生它的動態。
Adler's equation is written in differential form, $\dfrac{d\Delta\phi}{dt}=\ldots$ — and that time derivative is this integrator. Equation (A14), $\Delta\omega=-\frac{\omega_n B}{2QA}\sin\theta$, is its settled, steady-state solution. In short: (A14) is the static law, and this appendix is the dynamics that produce it.
Adler の方程式は微分形式 $\dfrac{d\Delta\phi}{dt}=\ldots$ で書かれており —— その時間微分こそがこの積分器である。式 (A14)、すなわち $\Delta\omega=-\frac{\omega_n B}{2QA}\sin\theta$ は、それが積分され定常状態に落ち着いた解である。要するに、(A14) は静的な法則であり、この付録はそれを生み出す動特性を扱っている。
$z^{-1}=e^{-s\tau}$ 是精確的（matched-z / 脈衝不變法），但它多對一：z 平面上單一個極點 $r e^{j\theta_0}$ 在 s 平面對應到一整排極點。
$z^{-1}=e^{-s\tau}$ is exact (matched-z / impulse invariance), but it is many-to-one: a single z-plane pole at $r e^{j\theta_0}$ corresponds to a whole ladder of s-plane poles.
$z^{-1}=e^{-s\tau}$ は厳密である（matched-z / インパルス不変法）が、多対一でもある。z 平面上の 1 個の極 $r e^{j\theta_0}$ は、s 平面ではひとそろいの極の列に対応する。
這些像不是數學贗品 —— 它們就是 C.2 的延遲線模態。帶通的工作正是挑出其中一個 $k$。
These images are not a mathematical artefact — they are exactly the delay-line modes of C.2. Selecting one value of $k$ is precisely the bandpass's job.
これらの像は数学上の作り物ではない —— C.2 の遅延線モードそのものである。$k$ の値を 1 つ選び出すことこそが帯域通過の仕事である。
極點半徑 $r$ 直接就是 $Q$：$r\to1$ 表示極點貼上單位圓，即高 $Q$、窄頻寬。累加器則對應回 $\tau/(1-z^{-1})\to 1/s$（用 backward Euler 直接得 $1/(s\tau)$；用雙線性轉換則 $\frac{\tau}{2}\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}\leftrightarrow 1/s$ 精確成立）。
The pole radius $r$ is the $Q$: $r\to1$ pushes the poles onto the unit circle, meaning high $Q$ and narrow bandwidth. The accumulator maps back as $\tau/(1-z^{-1})\to 1/s$ (backward Euler gives $1/(s\tau)$ directly; the bilinear transform makes $\frac{\tau}{2}\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}\leftrightarrow 1/s$ exact).
極の半径 $r$ は $Q$ そのものである。$r\to1$ は極が単位円に貼りつくこと、すなわち高い $Q$ と狭い帯域幅を意味する。累算器は $\tau/(1-z^{-1})\to 1/s$ として戻る（backward Euler なら直ちに $1/(s\tau)$、双一次変換なら $\frac{\tau}{2}\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}\leftrightarrow 1/s$ が厳密に成り立つ）。
帶通分子的那個 $s$ 剛好把積分器的 $1/s$ 消掉，所以「帶通 + 積分器」串起來其實是一個二階低通：阻尼比 $\zeta=1/2Q$、轉角在 $\omega_n$、DC 增益 $K/(Q\omega_n)$。兩塊方塊並不重複，但合起來的行為是低通。
The $s$ in the bandpass numerator cancels the integrator's $1/s$, so the bandpass-plus-integrator cascade is in fact a second-order low-pass: damping $\zeta=1/2Q$, corner at $\omega_n$, DC gain $K/(Q\omega_n)$. The two blocks are not redundant, but together they behave as a low-pass.
帯域通過の分子にある $s$ が積分器の $1/s$ をちょうど打ち消すので、「帯域通過 + 積分器」の縦続は実際には2 次の低域通過である：減衰係数 $\zeta=1/2Q$、コーナーは $\omega_n$、DC 利得は $K/(Q\omega_n)$。2 つのブロックは冗長ではないが、合わせた振る舞いは低域通過になる。
要談呼吸／心跳這種 Hz 等級的頻寬，該用的是把帶通平移到載波後的低通等效 $H_{bp}(s+j\omega_n)$，在 DC 附近退化成單極點：
For respiration/heartbeat bandwidths (a few Hz) the right form is the low-pass equivalent obtained by translating the bandpass to the carrier, $H_{bp}(s+j\omega_n)$, which near DC degenerates to a single pole:
呼吸や心拍のような数 Hz の帯域を論じるときに使うべきなのは、帯域通過を搬送波へ平行移動して得られる低域通過等価 $H_{bp}(s+j\omega_n)$ であり、これは DC 近傍で単極に退化する：
諧振腔在相位域就是一個轉角在 $\omega_h=\omega_n/2Q$（腔體半頻寬）的單極點低通。特徵方程為：
In the phase domain the tank is simply a one-pole low-pass with corner at $\omega_h=\omega_n/2Q$, half the tank bandwidth. The characteristic equation is:
位相領域では共振器は、コーナーが $\omega_h=\omega_n/2Q$（共振器帯域幅の半分）にある単極の低域通過にすぎない。特性方程式は：
外部注入鎖定的誤差項是 $e^{-s\tau}$，因為參考源是獨立的。但 SIL 注入的是自己的延遲輸出，誤差是 $\psi(t)-\psi(t-\tau)$，拉氏轉換後就是 $(1-e^{-s\tau})\Psi(s)$。後果之一：$s=0$ 永遠是特徵方程的根 —— 自主振盪器的絕對相位本來就不被決定。
For externally injection-locked oscillators the error term is just $e^{-s\tau}$, because the reference is independent. In SIL the injected signal is the oscillator's own delayed output, so the error is $\psi(t)-\psi(t-\tau)$, which transforms to $(1-e^{-s\tau})\Psi(s)$. One consequence: $s=0$ is always a root — the absolute phase of an autonomous oscillator is undetermined by construction.
外部から注入同期される発振器では、参照源が独立しているため誤差項は単に $e^{-s\tau}$ である。SIL では注入される信号が発振器自身の遅延出力なので、誤差は $\psi(t)-\psi(t-\tau)$ となり、変換すると $(1-e^{-s\tau})\Psi(s)$ になる。その帰結の一つとして、$s=0$ は常に根になる —— 自律発振器の絶対位相はそもそも決まらないからである。
另一個後果直接關係到本論文：$K\propto\cos\theta$ 的正負號決定 $\theta=n\pi$ 這兩類工作點裡哪一個是穩定鎖定、哪一個是不穩定的。這就是為什麼追蹤迴路必須釘在 $\theta=\pi$（$\cos\theta=-1$）而不是隨便一個 $n\pi$ —— 和第 4 節裡 $g<0$ 是同一件事的兩種說法。
The other consequence bears directly on this paper: the sign of $K\propto\cos\theta$ decides which of the two families of $\theta=n\pi$ operating points is a stable lock and which is unstable. That is why the tracking loop must be pinned at $\theta=\pi$ ($\cos\theta=-1$) rather than at just any $n\pi$ — the same fact that appears in Section 4 as $g<0$.
もう一つの帰結は本論文に直結する。$K\propto\cos\theta$ の符号が、$\theta=n\pi$ という 2 系統の動作点のうちどちらが安定な同期でどちらが不安定かを決める。これこそが、追従ループを任意の $n\pi$ ではなく $\theta=\pi$（$\cos\theta=-1$）に釘づけしなければならない理由であり —— 第 4 節に $g<0$ として現れるのと同じ事実である。
延遲造出一整排間隔 $1/\tau$ 的模態，帶通負責挑一根；$Q$ 同時決定選擇性與牽引靈敏度。
The delay creates a comb of modes spaced by $1/\tau$; the bandpass picks one, and $Q$ sets both the selectivity and the pulling sensitivity.
むだ時間が $1/\tau$ 間隔のモードの列を作り出し、帯域通過がそこから 1 本を選ぶ。$Q$ は選択性と引き込み感度の両方を決める。
它把迴路變 type-1，迫使穩態迴路相位誤差歸零，而唯一能調的變數是頻率 —— 距離轉頻率就是這樣來的。
It makes the loop type-1, forcing steady-state loop-phase error to zero with frequency as the only adjustable variable — which is how range becomes frequency.
ループを type-1 にし、調整できる変数が周波数だけの状態で定常ループ位相誤差を零へ追い込む —— 距離が周波数に変換されるのはこの仕組みによる。
點開解答前先自己想一遍。涵蓋 null-point、Adler、反相工作點、ω_BW、解析度與穩定性。
Try each one yourself before revealing the solution. They cover null points, Adler's equation, the anti-phase operating point, ω_BW, resolution and stability.
解答を開く前に、まず自分で考えてみること。null point、Adler、逆位相動作点、ω_BW、分解能、安定性を扱う。
Problem: 傳統 SIL 雷達為何非線性？症狀是什麼？
Problem: Why is a conventional SIL radar nonlinear, and what is the symptom?
Problem: 従来の SIL レーダーはなぜ非線形なのか。その症状は何か。
因為頻率偏移是注入相位的正弦（Adler，式 2），而相位追隨距離 $\theta\approx\frac{4\pi}{\lambda}x+\text{const}$。每 $\lambda/4$ 出現一個 null point，所以運動 $>\lambda/4$ 就會掃過零點而失真。
Because the frequency shift is a sine of the injection phase (Adler, eq. 2), while the phase follows distance as $\theta\approx\frac{4\pi}{\lambda}x+\text{const}$. A null point occurs every $\lambda/4$, so motion $>\lambda/4$ sweeps through a null and is distorted.
周波数偏移が注入位相の正弦だからである（Adler、式 2）。一方、位相は距離に $\theta\approx\frac{4\pi}{\lambda}x+\text{const}$ として追随する。$\lambda/4$ ごとにヌル点が現れるので、$>\lambda/4$ の運動はヌル点を横切って歪んでしまう。
Problem: 什麼單一機制讓本雷達在 14 個波長內維持線性？
Problem: What single mechanism keeps this radar linear over 14 wavelengths?
Problem: このレーダーが 14 波長にわたって線形性を保てるのは、どの単一の機構によるものか。
PI 控制的可調延遲線抵消都卜勒相位，把工作點釘在 $\theta=\pi$。完成抵消所需的延遲線性正比於位移，所以延遲值即輸出（式 5）：$\hat{x}=-0.5c(d-a)$，無需相位解纏。
A PI-controlled tunable delay line cancels the Doppler phase, pinning the operating point at $\theta=\pi$. The delay required to complete that cancellation is linearly proportional to displacement, so the delay value is the output (eq. 5): $\hat{x}=-0.5c(d-a)$, with no phase unwrapping.
PI 制御された可変遅延線がドップラー位相を打ち消し、動作点を $\theta=\pi$ に釘づけにする。その打ち消しに必要な遅延量は変位に線形比例するので、遅延値そのものが出力になる（式 5）：$\hat{x}=-0.5c(d-a)$。位相アンラップは不要である。
Problem: 為什麼工作在 $\theta=\pi$（反相）而非 $\theta=0$？
Problem: Why operate at $\theta=\pi$ (anti-phase) rather than $\theta=0$?
Problem: なぜ $\theta=0$ ではなく $\theta=\pi$（逆位相）で動作させるのか。
當 $A_{inj}=0.5$ 時，plant gain 在 $\theta=\pi$ 具最大平坦性（前三階導數為零，式 8），即使相位大幅擺動仍維持最佳線性度。
At $A_{inj}=0.5$ the plant gain is maximally flat at $\theta=\pi$ (its first three derivatives vanish, eq. 8), so linearity stays optimal even for a large phase swing.
$A_{inj}=0.5$ のとき、プラント利得は $\theta=\pi$ で最大平坦になる（一次から三次までの導関数が零、式 8）ので、位相が大きく振れても線形性は最良のまま保たれる。
Problem: $\omega_{BW}$ 是什麼？它控制什麼權衡？
Problem: What is $\omega_{BW}$, and what trade-off does it control?
Problem: $\omega_{BW}$ とは何か。それはどのようなトレードオフを支配するか。
控制頻寬 — PI 的唯一設計參數。較高 $\omega_{BW}$ = 更佳干擾抑制與更高最大可測速度（式 18，$v_{max}=\frac{\pi\omega_{BW}c}{5\omega_n}$），但穩定裕度較低。
The control bandwidth — the only design parameter of the PI controller. Higher $\omega_{BW}$ means better disturbance rejection and a higher maximum detectable speed (eq. 18, $v_{max}=\frac{\pi\omega_{BW}c}{5\omega_n}$), but a lower stability margin.
制御帯域であり、PI 制御器の唯一の設計パラメータである。$\omega_{BW}$ を高くすると外乱抑制が向上し、検出可能な最大速度も高くなる（式 18、$v_{max}=\frac{\pi\omega_{BW}c}{5\omega_n}$）が、安定余裕は小さくなる。
Problem: 為什麼直接調節頻率偏移 $\Delta\omega$ 而非相位 $\theta$？
Problem: Why regulate the frequency shift $\Delta\omega$ directly instead of the phase $\theta$?
Problem: なぜ位相 $\theta$ ではなく周波数偏移 $\Delta\omega$ を直接制御するのか。
$\Delta\omega$ 在設定點附近近似線性正比於相位偏差，且易由頻率鑑別器量測，使迴路表現良好；比較器又能把它變方波，利於全數位 FPGA 實作。
Near the set-point $\Delta\omega$ is approximately linearly proportional to the phase error and is easy to measure with a frequency discriminator, so the loop behaves well; a comparator can also square it up, which suits an all-digital FPGA implementation.
$\Delta\omega$ は設定点の近傍で位相偏差にほぼ線形に比例し、しかも周波数弁別器で容易に測定できるため、ループの振る舞いが良好になる。さらにコンパレータで方形波にできるので、全ディジタル FPGA 実装に適している。
Problem: 呼吸與心跳是如何被乾淨分離的？
Problem: How are respiration and heartbeat separated cleanly?
Problem: 呼吸と心拍はどのようにしてきれいに分離されるのか。
雷達高線性度不產生互調失真，因此呼吸 (~14/分, ~2.5 mm) 與心跳 (~83 BPM, ~0.2 mm) 在功率譜上呈現為各自獨立的基頻。
The radar's high linearity produces no intermodulation distortion, so respiration (~14/min, ~2.5 mm) and heartbeat (~83 BPM, ~0.2 mm) appear as separate, independent fundamentals in the power spectrum.
このレーダーは線形性が高く相互変調歪みを生じないため、呼吸（~14 回/分、~2.5 mm）と心拍（~83 BPM、~0.2 mm）がパワースペクトル上でそれぞれ独立した基本波として現れる。
Problem: 硬體中是什麼決定雷達的運動解析度與範圍？
Problem: What in the hardware determines the radar's motion resolution and range?
Problem: ハードウェアの何がこのレーダーの運動分解能と測定範囲を決めているか。
移位暫存器式可調延遲：$d_{min}=20$ ns → 解析度 $0.5c\cdot d_{min}=3.4$ µm；$d_{max}=0.8$ ms → 範圍 $0.5c\cdot d_{max}=136$ mm。
The shift-register tunable delay: $d_{min}=20$ ns → resolution $0.5c\cdot d_{min}=3.4$ µm; $d_{max}=0.8$ ms → range $0.5c\cdot d_{max}=136$ mm.
シフトレジスタによる可変遅延である：$d_{min}=20$ ns → 分解能 $0.5c\cdot d_{min}=3.4$ µm、$d_{max}=0.8$ ms → 範囲 $0.5c\cdot d_{max}=136$ mm。
Problem: 反相模式天生不穩定嗎？為何在此能運作？
Problem: Is the anti-phase mode inherently unstable? Why does it work here?
Problem: 逆位相モードは本質的に不安定なのか。ではなぜここでは成立するのか。
是 — 若延遲固定，$\theta=\pi$ 為不穩定（正回授，A14/A23）。但對延遲做回授調整改變了這個正回授本質，使該模式變得穩定（穩定區約 $\theta\in(0.5\pi,1.5\pi)$；一旦 $|e|>0.5\pi$ plant gain 變號即失穩）。
Yes — with a fixed delay, $\theta=\pi$ is unstable (positive feedback, A14/A23). But feedback adjustment of the delay changes that positive-feedback nature and makes the mode stable (stable region roughly $\theta\in(0.5\pi,1.5\pi)$; once $|e|>0.5\pi$ the plant gain changes sign and stability is lost).
そのとおりである —— 遅延が固定であれば $\theta=\pi$ は不安定である（正帰還、A14/A23）。しかし遅延を帰還によって調整することでこの正帰還の性質が変わり、このモードは安定になる（安定領域はおよそ $\theta\in(0.5\pi,1.5\pi)$。ひとたび $|e|>0.5\pi$ になるとプラント利得の符号が反転して安定性が失われる）。