SCSIL 混合模式雷達 + FEA 超解析演算法學習指南 — Fu-Kang Wang, Pin-Hsun Juan, De-Ming Chian, Chao-Kai Wen（國立中山大學電機系）。用「頻率–相位關係」抓出解析度失效點，再用迭代式頻率估計演算法 (FEA) 突破 FMCW 的理論距離解析度，在 150 MHz 頻寬下分辨徑向間距 60 cm、方位間距 5° 的兩個人並同時量測呼吸與心跳。A study guide to the SCSIL hybrid mode radar and the FEA superresolution algorithm — Fu-Kang Wang, Pin-Hsun Juan, De-Ming Chian, Chao-Kai Wen (Department of Electrical Engineering, National Sun Yat-sen University). The frequency–phase relationship flags the instant at which range resolution breaks down; the iterative frequency estimation algorithm (FEA) then pushes past the theoretical FMCW range resolution, separating two subjects 60 cm apart in range and 5° apart in azimuth on only 150 MHz of bandwidth while measuring the respiration and heartbeat of each.SCSIL ハイブリッドモードレーダーと FEA 超分解能アルゴリズムの学習ガイド — Fu-Kang Wang, Pin-Hsun Juan, De-Ming Chian, Chao-Kai Wen（国立中山大学 電気工学科）。「周波数–位相関係」で距離分解能が破綻する瞬間を検出し、反復型の周波数推定アルゴリズム (FEA) によって FMCW の理論距離分解能を突破する。わずか 150 MHz の帯域幅で、径方向間隔 60 cm・方位間隔 5° の 2 名を分離し、同時に各人の呼吸と心拍を計測する。
這篇論文要解決一個非常實際的問題：用一台雷達，同時量出好幾個人各自的距離、呼吸率與心率。難點不在「量得到」，而在「兩個人靠得很近時分不開」。This paper attacks a thoroughly practical problem: measuring the range, respiration rate and heart rate of several people at once, with a single radar. The hard part is not detecting them — it is telling two people apart when they sit close together.本論文が取り組むのは極めて実用的な課題である。すなわち 1 台のレーダーで複数人の距離・呼吸数・心拍数を同時に計測することである。難しいのは「検出できるかどうか」ではなく、「2 人が近接したときに分離できるかどうか」である。
傳統 FMCW 雷達的距離解析度被鎖死在 $\Delta R = c/(2 f_B)$。想要 10 cm 解析度就得掃 1.5 GHz 頻寬 — 硬體貴、功耗高、頻譜難拿。作者換了一條路：頻寬不變，改進演算法，並且用一個被忽略的物理量（拍頻訊號的相位）當作「解析度是否已經失效」的偵測器。In a conventional FMCW radar the range resolution is nailed to $\Delta R = c/(2 f_B)$. A 10 cm resolution therefore demands a 1.5 GHz sweep — expensive hardware, high power consumption, and spectrum that is hard to obtain. The authors take a different route: keep the bandwidth, improve the algorithm, and press an overlooked physical quantity — the phase of the beat signal — into service as a detector that tells you when the resolution has already failed.従来の FMCW レーダーでは距離分解能が $\Delta R = c/(2 f_B)$ に固定される。10 cm の分解能を得るには 1.5 GHz の掃引が必要であり、ハードウェアは高価、消費電力は大きく、周波数の確保も難しい。著者らは別の道を選んだ。帯域幅は据え置き、アルゴリズムを改良するのである。さらに、これまで見過ごされてきた物理量、すなわちビート信号の位相を、「分解能がすでに破綻しているか」を判定する検出器として活用する。
作者的三個核心貢獻：The core contributions:本論文の中核となる貢献は次のとおり。
一句話總結：「把 SILO 當成頻率固定的 IF 級以保住鎖定範圍，用拍頻訊號的相位判斷解析度何時失效，再用迭代式減法演算法把重疊的頻率一個一個剝出來 — 於是 150 MHz 頻寬做出了 0.6 倍理論解析度的測距能力。」In one sentence: “Run the SILO as a fixed-frequency IF stage so the locking range is preserved, use the phase of the beat signal to tell when the resolution has failed, then peel the overlapping frequencies off one at a time with an iterative subtraction algorithm — and 150 MHz of bandwidth ends up ranging at 0.6 times the theoretical resolution.”一文でまとめると — 「SILO を固定周波数の IF 段として動かしてロッキングレンジを保ち、ビート信号の位相で分解能の破綻を判定し、反復的な減算アルゴリズムで重なった周波数を一つずつ剥がしていく。その結果、150 MHz の帯域幅で理論分解能の 0.6 倍という測距能力が得られる」ということである。
正規化徑向間距 (normalized radial spacing) $= $ 實際可分辨的徑向間距 $\div$ 理論距離解析度 $\Delta R$。傳統做法必然 $\ge 1$；本文做到 0.6，代表用 150 MHz 的頻寬拿到相當於 250 MHz 的分辨力。Table V 中除本文外最好的是 [21] 的 0.67，但它需要 24 GHz 載波與 MUSIC 演算法，而 MUSIC 在 SIL 架構上不可用（見 §5.5）。Normalized radial spacing $=$ the radial spacing that can actually be resolved $\div$ the theoretical range resolution $\Delta R$. A conventional approach is necessarily $\ge 1$; this work reaches 0.6, meaning 150 MHz of bandwidth delivers the discriminating power of 250 MHz. The best value in Table V other than this work is 0.67 from [21], but that requires a 24 GHz carrier and the MUSIC algorithm — and MUSIC cannot be used on an SIL architecture (see §5.5).正規化径方向間隔とは、実際に分離できる径方向間隔 $\div$ 理論距離分解能 $\Delta R$ である。従来手法では必ず $\ge 1$ となるが、本論文は 0.6 を達成した。すなわち 150 MHz の帯域幅で 250 MHz 相当の分離能力を得たことになる。Table V で本論文以外の最良値は [21] の 0.67 だが、これは 24 GHz キャリアと MUSIC アルゴリズムを要する。しかも MUSIC は SIL 構成では使えない（§5.5 参照）。
| 縮寫Abbrev.略語 | 全名Full name正式名称 | 白話In plain wordsかみ砕くと |
|---|---|---|
| SIL | Self-Injection-Locked | 把雷達回波注回自己的振盪器使其鎖定；等效於一階 delta–sigma 調變器，有 noise shaping 增益The radar echo is injected back into the oscillator to lock it; equivalent to a first-order delta–sigma modulator, with the SNR gain of noise shapingレーダーのエコーを自身の発振器に注入して同期させる方式。一次デルタシグマ変調器と等価で、ノイズシェーピングによる利得が得られる |
| SILO | SIL Oscillator | 本文中固定在 2.4 GHz 自由振盪、被回波注入鎖定的振盪器（自製 PCB，Clapp 架構）Here, the oscillator free-running at a fixed 2.4 GHz and injection-locked by the echo (an in-house PCB, Clapp topology)本論文では 2.4 GHz で自走し、エコーによって注入同期される発振器（自作 PCB、クラップ形） |
| SCSIL | Single-Conversion SIL | 本文架構：SILO 當 IF 級，另加掃頻 VCO 做一次上/下轉換The architecture of this paper: the SILO acts as the IF stage and a swept VCO provides a single up/down conversion本論文の構成。SILO を IF 段とし、掃引 VCO で 1 回のアップ／ダウン変換を行う |
| FMSIL | Frequency-Modulated SIL | 舊架構：直接掃 SILO 自己的頻率 → 鎖定範圍隨頻率變動，產生 FM–AM 失真The older architecture: sweep the SILO's own frequency → the locking range moves with it, producing FM–AM distortion旧構成。SILO 自身の周波数を掃引するため、ロッキングレンジが変動し FM–AM 歪みが生じる |
| SCSFCW | Single-Conversion Stepped-Frequency CW | 作者前作，用步階頻率而非線性掃頻The authors' earlier work, using stepped frequencies instead of a linear sweep著者らの先行研究。リニア掃引ではなくステップ周波数を用いる |
| FEA | Frequency Estimation Algorithm | 本文提出的迭代式超解析頻率估計演算法The iterative superresolution frequency estimator proposed in this paper本論文が提案する反復型の超分解能周波数推定アルゴリズム |
| $\Delta\omega_{LR}$ | Locking Range | 鎖定範圍；正比於注入訊號振幅、反比於槽路 $Q$ 值The locking range; proportional to the injected amplitude and inversely proportional to the tank $Q$ロッキングレンジ。注入信号振幅に比例し、共振回路の $Q$ に反比例する |
| CPI | Coherent Processing Interval | 同調處理區間；本文 CW 模式為 20 s，決定頻率解析度下限 $1/T$The coherent processing interval; 20 s in CW mode here, which sets the frequency resolution floor $1/T$コヒーレント処理区間。本論文の CW モードでは 20 s であり、周波数分解能の下限 $1/T$ を決める |
| RR / HR | Respiration / Heart Rate | 呼吸率 (breaths/min) / 心率 (beats/min)Respiration rate (breaths/min) / heart rate (beats/min)呼吸数 (breaths/min) ／ 心拍数 (beats/min) |
| REE | Range Estimation Error | 距離估計誤差，定義為 $\mathbb{E}\{|R-\hat R|/R\}$The range estimation error, defined as $\mathbb{E}\{|R-\hat R|/R\}$距離推定誤差。$\mathbb{E}\{|R-\hat R|/R\}$ で定義される |
| MUSIC | MUltiple SIgnal Classification | 經典超解析法，靠訊號/白雜訊子空間的正交性；需要白雜訊假設The classic superresolution method, resting on the orthogonality of the signal and white-noise subspaces; it requires a white-noise assumption古典的な超分解能法。信号部分空間と白色雑音部分空間の直交性に依拠する。白色雑音の仮定が必要 |
| CLEAN | — | 經典連續干擾消除法，本文的另一個比較基準The classic successive interference cancellation method, the paper's other baseline古典的な逐次干渉除去法。本論文のもう一つの比較基準 |
| DUT | Device Under Test | 驗證用的假想無線通道：分配器 + 兩條不同長度電纜 + 合成器 + 40 dB 衰減器The artificial wireless channel used for verification: a splitter + two cables of different length + a combiner + a 40 dB attenuator検証用の擬似無線チャネル。分配器 + 長さの異なる 2 本のケーブル + 合成器 + 40 dB 減衰器 |
| HPBW | Half-Power Beamwidth | 半功率波束寬；本文喇叭天線 14 dBi、HPBW 30°Half-power beamwidth; the horn antennas here are 14 dBi with a 30° HPBW半値幅。本論文のホーンアンテナは 14 dBi、HPBW 30° |
FMCW 雷達之所以取代 pulse 雷達成為民生/工業主流，是因為它不需要高峰值功率、不需要高速 ADC 與精密同步機制，卻同時擁有測距與測速能力。但一旦要拿它做多人生理監測，兩個瓶頸馬上浮現。FMCW radar displaced pulse radar as the mainstream choice in consumer and industrial use because it needs no high peak power, no fast ADC and no precise synchronisation, yet still measures both range and velocity. The moment you ask it to perform vital sign monitoring of several people, however, two bottlenecks appear.FMCW レーダーが民生・産業分野でパルスレーダーに取って代わったのは、高いピーク電力も高速 ADC も精密な同期機構も不要でありながら、測距と速度計測の両方が可能だからである。しかし複数人の生体モニタリングに用いようとした途端、二つのボトルネックが立ちはだかる。
胸腔位移造成的目標訊號極其微弱，常被主動元件的 flicker noise（1/f 雜訊）淹沒。直覺的解法是把目標拍頻推到高頻、離開雜訊區，方法有兩種：加大 chirp rate，或加大內部電路延遲。The target signal produced by chest displacement is extremely weak and is routinely buried by the flicker noise (1/f noise) of the active devices. The intuitive fix is to push the target beat frequency up, out of the noisy region, and there are two ways to do it: raise the chirp rate, or lengthen the internal circuit delay.胸郭変位による目標信号は極めて微弱で、能動素子の フリッカ雑音（1/f 雑音）に埋もれてしまうことが多い。直感的な解決策は目標のビート周波数を高域へ押し上げ、雑音領域から遠ざけることであり、その手段はチャープレートを上げるか、内部回路の遅延を大きくするかの 2 通りである。
發射訊號與回波之間的頻差變大之後，range correlation（距離相關性）機制就失效了。range correlation 的原理是：回波是發射訊號延遲後的副本，兩者的相位雜訊高度相關，混頻時會互相抵消 — 但這只在頻差很小時成立。頻差一大，抵消不掉，殘留相位雜訊反而升高，等於白忙一場。Once the frequency difference between the transmitted signal and the echo grows, the range correlation mechanism stops working. Range correlation rests on the fact that the echo is a delayed copy of the transmitted signal, so their phase noise is highly correlated and cancels on mixing — but only while the frequency difference stays small. Widen it and the cancellation fails, so the residual phase noise actually rises, and the effort was wasted.送信信号とエコーの周波数差が広がると、レンジコリレーション（距離相関）の機構は働かなくなる。レンジコリレーションの原理は、エコーが送信信号の遅延コピーであり両者の位相雑音が強く相関しているため、ミキシング時に相殺されるというものである。ただしこれは周波数差が小さい場合に限られる。差が大きくなると相殺できず、残留位相雑音はかえって増大し、努力は無駄になる。
另一條路是 hybrid mode 架構：把 CW 雷達（高 Doppler 靈敏度）與 pulse 或 FMCW 雷達（測距能力）併在一起。但在 CW 模式下，多人生理訊號的分離演算法始終在強健性 (robustness) 與效率 (efficiency) 之間拉扯，所以前人的實驗都得把受測者拉開很大的方位角，並且依賴波束成形 (beamforming) 才能分辨誰是誰 — 適用場景因此被大幅限縮。The other route is a hybrid mode architecture: combine a CW radar (high Doppler sensitivity) with a pulse or FMCW radar (ranging). But in CW mode, algorithms that separate the vital signs of several people are forever torn between robustness and efficiency, so earlier experiments had to place the subjects at wide azimuth separations and lean on beamforming to tell one from another — which narrows the usable scenarios severely.もう一つの道は ハイブリッドモード構成である。CW レーダー（高いドップラー感度）とパルスまたは FMCW レーダー（測距能力）を組み合わせる。しかし CW モードでは、複数人の生体信号を分離するアルゴリズムがロバスト性と効率の間で常に板挟みになる。そのため先行研究の実験では被験者を大きな方位角で離して配置し、ビームフォーミングに頼って誰が誰かを識別せざるを得なかった。適用場面は大きく狭まる。
FMCW 的距離解析度同時被掃頻線性度與頻寬限制。前人的兩類補償手法各有罩門：FMCW range resolution is limited by sweep linearity and by bandwidth at the same time. The two families of compensation used previously each have a weak spot:FMCW の距離分解能は掃引直線性と帯域幅の両方に制限される。先行研究の 2 系統の補償手法には、それぞれ弱点がある。
兩者的補償效果都容易被環境擾動與近似誤差破壞。所以近年主流回到硬體本身：設計低頻率誤差、寬頻寬、短建立時間的 chirp 產生器。但走到毫米波，系統設計複雜度、硬體成本與功耗全都上去了。Both are easily spoiled by environmental disturbance and by approximation error. Recent practice has therefore gone back to the hardware itself: design a chirp generator with low frequency error, wide bandwidth and short settling time. But once you move to millimetre wave, design complexity, hardware cost and power consumption all climb.いずれも環境変動と近似誤差によって効果が損なわれやすい。そのため近年の主流はハードウェアそのものに回帰し、周波数誤差が小さく広帯域で整定時間の短いチャープ発生器を設計する方向にある。しかしミリ波帯へ進めば、システム設計の複雑さ・ハードウェアコスト・消費電力がいずれも増大する。
MUSIC 與 ESPRIT 這類靠特徵值/奇異值分解的超解析法，利用訊號子空間與白雜訊子空間的正交性來突破解析度，在 FMCW 與成像雷達上被廣泛使用。但它們有三個問題：(1) 運算量高；(2) ghost target（假目標）；(3) 效能高度依賴系統 SNR、目標數量、雜訊特徵向量、資料長度等等。效率與強健性依然是未解的難題 — 而在 SIL 架構下還有一個致命問題，見 §5.5。Superresolution methods such as MUSIC and ESPRIT, built on eigenvalue or singular value decomposition, break the resolution limit by exploiting the orthogonality of the signal subspace and the white-noise subspace, and are widely used in FMCW and imaging radar. They carry three problems, though: (1) a heavy computational load; (2) ghost targets; (3) performance that depends strongly on system SNR, the number of targets, the noise eigenvectors, the data length and so on. Efficiency and robustness remain unsolved — and on an SIL architecture there is one further, fatal problem: see §5.5.MUSIC や ESPRIT のように固有値／特異値分解に基づく超分解能法は、信号部分空間と白色雑音部分空間の直交性を利用して分解能の限界を破るもので、FMCW レーダーやイメージングレーダーで広く用いられている。しかし三つの問題がある。(1) 演算量が大きい、(2) ゴーストターゲットが生じる、(3) 性能がシステム SNR・目標数・雑音固有ベクトル・データ長などに強く依存する。効率とロバスト性は依然として未解決である。さらに SIL 構成では致命的な問題がもう一つある（§5.5 参照）。
作者團隊的既有基礎是 SIL（自我注入鎖定）雷達：把回波注回振盪器自己，讓振盪頻率隨目標位移漂移。它的關鍵優勢是 —The authors' existing platform is the SIL (self-injection-locked) radar: the echo is injected back into the oscillator itself, so the oscillation frequency drifts with the target displacement. Its key advantage is this —著者らの既存基盤は SIL（自己注入同期）レーダーである。エコーを発振器自身に戻して注入し、発振周波数を目標変位に追従してドリフトさせる。その決定的な利点は次のとおり。
SIL 雷達的行為等效於一階 delta–sigma 調變器，其 noise shaping 機制提供額外的 SNR 增益，且該增益正比於工作頻率的平方。這也是為什麼把發射頻率從 2.4 GHz 上轉到 5.8 GHz 是「免費的靈敏度」。副作用是相位雜訊被推向高頻，斜率 20 dB/decade — 這個副作用後面會變成排除 MUSIC 的原因。An SIL radar behaves like a first-order delta–sigma modulator, whose noise shaping supplies extra SNR gain, and that gain is proportional to the square of the operating frequency. This is why up-converting the transmit frequency from 2.4 GHz to 5.8 GHz amounts to sensitivity for free. The side effect is that phase noise is pushed towards high frequency at 20 dB/decade — and that side effect later becomes the reason MUSIC has to be ruled out.SIL レーダーの振る舞いは一次デルタシグマ変調器と等価であり、その ノイズシェーピングが追加の SNR 利得をもたらす。しかもこの利得は動作周波数の 2 乗に比例する。送信周波数を 2.4 GHz から 5.8 GHz へアップコンバートすることが「ただで得られる感度」となるのはこのためである。副作用として位相雑音が 20 dB/decade の傾きで高域へ押し上げられる — この副作用が後に MUSIC を排除する理由となる。
作者的演進路線：How the authors' architecture evolved:著者らの構成の変遷。
| 世代Generation世代 | 架構Architecture構成 | 做法Approach手法 | 留下的問題What was left unsolved残された課題 |
|---|---|---|---|
| SIL CW | 單一 SILOA single SILOSILO 単体 | 回波注入鎖定，noise shaping 提供 SNR 增益Injection locking by the echo; noise shaping supplies SNR gainエコーによる注入同期。ノイズシェーピングが SNR 利得をもたらす | 只能測位移，無測距能力Displacement only — no ranging変位しか測れず、測距能力がない |
| FMSIL | 直接掃 SILO 頻率Sweep the SILO frequency directlySILO の周波数を直接掃引 | 用 sum–difference pattern 建構穿牆影像，取得多目標距離與方位Build through-wall images with a sum–difference pattern to obtain the range and azimuth of several targets和–差パターンで壁透過イメージを構成し、複数目標の距離と方位を取得 | 掃頻使鎖定範圍變動 → FM–AM 非線性失真與穩定度問題Sweeping moves the locking range → FM–AM nonlinear distortion and stability problems掃引によりロッキングレンジが変動 → FM–AM 非線形歪みと安定度の問題 |
| SCSFCW | SILO 當 IF + LO 產生步階頻率SILO as IF + an LO generating stepped frequenciesSILO を IF とし、LO でステップ周波数を生成 | 避開穩定度與 flicker noise，靠加長 CPI 提升 Doppler 靈敏度Sidesteps the stability and flicker-noise issues; raises Doppler sensitivity by lengthening the CPI安定度とフリッカ雑音の問題を回避し、CPI を延ばしてドップラー感度を高める | 近距離 + 小方位間距仍分不開Still cannot separate subjects at short range with small azimuth spacing近距離かつ方位間隔が小さい場合は依然として分離できない |
| SCSIL（本文）SCSIL (this work)SCSIL（本論文） | SILO 當固定 IF + 掃頻 VCOSILO as a fixed IF + a swept VCOSILO を固定 IF とし、掃引 VCO を併用 | 單次轉換 + 頻率–相位關係 + FEA 超解析Single conversion + the frequency–phase relationship + FEA superresolution単一変換 + 周波数–位相関係 + FEA 超分解能 | — |
與傳統 SIL 雷達最大的硬體差異，是多了一個由 VCO 放大輸出驅動的頻率轉換器 (frequency converter)。它同時做兩件事：把 SILO 的輸出上轉換成發射訊號，把多目標回波下轉換回 SILO 的注入頻率。The biggest hardware difference from a conventional SIL radar is an added frequency converter driven by the amplified VCO output. It does two jobs at once: it up-converts the SILO output into the transmitted signal, and it down-converts the multi-target echoes back to the SILO injection frequency.従来の SIL レーダーとの最大のハードウェア上の違いは、増幅した VCO 出力で駆動される周波数変換器 (frequency converter)が追加されている点である。これは 2 つの役割を同時に果たす。SILO の出力をアップコンバートして送信信号とし、複数目標からのエコーをダウンコンバートして SILO の注入周波数へ戻す。
發射頻率因此是 SILO 與 VCO 輸出的相加：The transmit frequency is therefore the sum of the SILO and VCO outputs:したがって送信周波数は SILO と VCO の出力の和になる。
FMCW 模式下，週期為 $t_s$ 的鋸齒波調諧電壓 $V_t(t)$ 進入 VCO，使其輸出 FM 訊號：In FMCW mode a sawtooth tuning voltage $V_t(t)$ of period $t_s$ drives the VCO, so that its output is an FM signal:FMCW モードでは、周期 $t_s$ ののこぎり波同調電圧 $V_t(t)$ を VCO に加え、その出力を FM 信号とする。
其中 $\omega_{\rm LO}$ 與 $K_v$ 分別是 VCO 的起始頻率與調諧靈敏度。Here $\omega_{\rm LO}$ and $K_v$ are the starting frequency and the tuning sensitivity of the VCO.ここで $\omega_{\rm LO}$ と $K_v$ はそれぞれ VCO の開始周波数と同調感度である。
傳統 FMSIL 雷達直接掃 SILO 自己的頻率，於是式 (4) 的鎖定範圍 $\Delta\omega_{LR}$ 隨 $\omega_{\rm osc}$ 一起變 → 產生 FM–AM 非線性失真並帶來穩定度問題。SCSIL 把掃頻工作交給外部 VCO，SILO 的自由振盪頻率恆為 2.4 GHz，所以在整個掃頻週期 $t_s$ 內 $\Delta\omega_{LR}$ 是常數 — 這正是後面所有推導能成立的前提。A conventional FMSIL radar sweeps the SILO's own frequency, so the locking range $\Delta\omega_{LR}$ of equation (4) moves together with $\omega_{\rm osc}$ → FM–AM nonlinear distortion plus stability problems. The SCSIL hands the sweeping to an external VCO and holds the SILO free-running frequency at 2.4 GHz, so $\Delta\omega_{LR}$ is constant throughout the sweep period $t_s$ — which is precisely the premise on which every derivation that follows rests.従来の FMSIL レーダーは SILO 自身の周波数を掃引するため、式 (4) のロッキングレンジ $\Delta\omega_{LR}$ が $\omega_{\rm osc}$ とともに変動し、FM–AM 非線形歪みと安定度の問題を招く。SCSIL は掃引を外部 VCO に任せ、SILO の自走周波数を 2.4 GHz に固定する。したがって掃引周期 $t_s$ の全体を通じて $\Delta\omega_{LR}$ は一定である — 以降のすべての導出はこの前提の上に成り立つ。
設 SILO 的自由振盪訊號 $S_{\rm osc}(t)$ 有固定振幅 $E_{\rm osc}$ 與固定頻率 $\omega_{\rm osc}$。第 $i$ 個受測者的回波 $S_{{\rm RX},i}(t)$ 被接收、放大、下轉換後成為注入訊號 $S_{{\rm inj},i}(t)$，振幅 $E_{{\rm inj},i}$。由於注入訊號的中心頻率 $\omega_{\rm inj}$ 等於 $\omega_{\rm osc}$，SIL 路徑得以建立，SILO 的輸出頻率為Let the free-running SILO signal $S_{\rm osc}(t)$ have a fixed amplitude $E_{\rm osc}$ and a fixed frequency $\omega_{\rm osc}$. The echo $S_{{\rm RX},i}(t)$ from the $i$-th subject is received, amplified and down-converted into the injection signal $S_{{\rm inj},i}(t)$ of amplitude $E_{{\rm inj},i}$. Because the centre frequency $\omega_{\rm inj}$ of the injected signal equals $\omega_{\rm osc}$, the SIL path is established and the SILO output frequency becomesSILO の自走信号 $S_{\rm osc}(t)$ が一定振幅 $E_{\rm osc}$ と一定周波数 $\omega_{\rm osc}$ をもつとする。第 $i$ 被験者からのエコー $S_{{\rm RX},i}(t)$ は受信・増幅・ダウンコンバートされ、振幅 $E_{{\rm inj},i}$ の注入信号 $S_{{\rm inj},i}(t)$ となる。注入信号の中心周波数 $\omega_{\rm inj}$ が $\omega_{\rm osc}$ に等しいため SIL 経路が成立し、SILO の出力周波数は次式となる。
$Q$ 是 SILO 槽路的品質因數（本文為 28）。$Q$ is the quality factor of the SILO tank (28 in this work).$Q$ は SILO 共振回路の品質係数である（本論文では 28）。
注意 $\Delta\omega_{{\rm LR},i}$ 只跟第 $i$ 個受測者反射回來的訊號振幅有關。而 FMCW 模式的拍頻 tone 振幅（式 12）與 CW 模式的生理訊號 tone 振幅（式 19）都正比於同一個 $\Delta\omega_{{\rm LR},i}$。所以「距離頻譜裡振幅最大的那個 tone」與「生理頻譜裡振幅最大的那組 RR/HR」必然屬於同一個人 — 這就是本文不需要波束掃描也能配對多人資訊的物理根據。Note that $\Delta\omega_{{\rm LR},i}$ depends only on the amplitude reflected by the $i$-th subject. The beat-tone amplitude in FMCW mode (equation 12) and the vital-sign tone amplitude in CW mode (equation 19) are both proportional to that same $\Delta\omega_{{\rm LR},i}$. So the largest tone in the range spectrum and the largest RR/HR pair in the vital-sign spectrum must belong to the same person — this is the physical basis on which the paper pairs multi-subject information without any beam scanning.$\Delta\omega_{{\rm LR},i}$ は第 $i$ 被験者から反射して戻る信号の振幅のみに依存する点に注意したい。そして FMCW モードのビートトーン振幅（式 12）と CW モードの生体信号トーン振幅（式 19）はいずれも同一の $\Delta\omega_{{\rm LR},i}$ に比例する。したがって「距離スペクトルで最も振幅の大きいトーン」と「生体スペクトルで最も振幅の大きい RR/HR の組」は必ず同一人物のものである — これがビーム走査なしに複数人の情報を対応付けられる物理的根拠である。
在 $E_{{\rm inj},i} \ll E_{\rm osc}$ 的假設下，$\alpha_i(t)$ 是第 $i$ 個注入訊號相對 SILO 自由振盪訊號的相位差：Under the assumption $E_{{\rm inj},i} \ll E_{\rm osc}$, $\alpha_i(t)$ is the phase difference of the $i$-th injected signal relative to the free-running SILO signal:$E_{{\rm inj},i} \ll E_{\rm osc}$ の仮定のもとで、$\alpha_i(t)$ は第 $i$ 注入信号の SILO 自走信号に対する位相差である。
式 (5) 右邊兩項分別是 IF 與 RF 訊號造成的相位延遲。$\tau_{{\rm int},1}$、$\tau_{{\rm int},4}$ 是 SILO 輸出埠到上混頻器、以及下混頻器到 SILO 注入埠的內部電路延遲；起始發射頻率 $\omega_{\rm TX} = \omega_{\rm LO}+\omega_{\rm osc}$。RF 傳播延遲是內部延遲與無線延遲的總和：The two terms on the right of (5) are the phase delays contributed by the IF and the RF signal. $\tau_{{\rm int},1}$ and $\tau_{{\rm int},4}$ are the internal circuit delays from the SILO output port to the up mixer, and from the down mixer to the SILO injection port; the starting transmit frequency is $\omega_{\rm TX} = \omega_{\rm LO}+\omega_{\rm osc}$. The RF propagation delay is the sum of the internal delays and the wireless delay:式 (5) の右辺 2 項は、それぞれ IF 信号と RF 信号による位相遅延である。$\tau_{{\rm int},1}$ と $\tau_{{\rm int},4}$ は SILO 出力ポートからアップミキサまで、およびダウンミキサから SILO 注入ポートまでの内部回路遅延であり、開始送信周波数は $\omega_{\rm TX} = \omega_{\rm LO}+\omega_{\rm osc}$ である。RF 伝搬遅延は内部遅延と無線遅延の和となる。
其中 $R_i$ 是第 $i$ 個受測者的起始距離，$x_i(t)$ 是心肺活動造成的位移擾動，$c$ 為光速。$\tau_{{\rm int},2}$、$\tau_{{\rm int},3}$ 是上混頻器到 TX 天線、RX 天線到下混頻器的內部延遲 — 它們必須先量出來並扣掉，否則測距會有固定偏差（見 §6）。Here $R_i$ is the initial range of the $i$-th subject, $x_i(t)$ is the displacement perturbation caused by cardiopulmonary activity, and $c$ is the speed of light. $\tau_{{\rm int},2}$ and $\tau_{{\rm int},3}$ are the internal delays from the up mixer to the TX antenna and from the RX antenna to the down mixer — they must be measured and subtracted first, or the ranging carries a fixed bias (see §6).ここで $R_i$ は第 $i$ 被験者の初期距離、$x_i(t)$ は心肺活動による変位の揺らぎ、$c$ は光速である。$\tau_{{\rm int},2}$ と $\tau_{{\rm int},3}$ はアップミキサから TX アンテナまで、および RX アンテナからダウンミキサまでの内部遅延であり、あらかじめ測定して差し引いておく必要がある。さもないと測距に固定バイアスが生じる（§6 参照）。
耦合器的另一個輸出送進頻率解調器，它本質上是一個延遲鑑別器 (delay discriminator)：訊號分成兩路，一路經 30 ns 延遲線，兩路在 IQ 混頻器相乘。FMCW 模式下的輸出 IQ 訊號為The other coupler output feeds the frequency demodulator, which is essentially a delay discriminator: the signal is split in two, one branch passes through a 30 ns delay line, and the two branches are multiplied in the IQ mixers. In FMCW mode the output IQ signals areカプラのもう一方の出力は周波数復調器へ送られる。これは本質的に遅延ディスクリミネータ (delay discriminator) である。信号を 2 分岐し、一方を 30 ns 遅延線に通したうえで、IQ ミキサで乗算する。FMCW モードにおける出力 IQ 信号は次式となる。
$E_o$ 與 $\tau_d$ 是延遲線提供的輸出振幅與傳播延遲。$E_o$ and $\tau_d$ are the output amplitude and the propagation delay provided by the delay line.$E_o$ と $\tau_d$ は遅延線がもたらす出力振幅と伝搬遅延である。
$E_I$、$E_Q$ 是元件不匹配、隔離度不足、IQ 混頻器自混頻效應造成的不想要的 DC offset。關鍵在於：頻率解調器的輸入功率保持定值（因為 SILO 振幅固定），所以這兩個 offset 是常數，可以用量測法事先校正。本文原型量到 $-43.8$ mV 與 $-56.5$ mV。$E_I$ and $E_Q$ are unwanted DC offsets produced by component mismatch, insufficient isolation and self-mixing in the IQ mixers. The point is that the input power of the frequency demodulator stays constant (because the SILO amplitude is fixed), so these two offsets are constants and can be calibrated out by measurement beforehand. The prototype here measured $-43.8$ mV and $-56.5$ mV.$E_I$、$E_Q$ は素子のミスマッチ、アイソレーション不足、IQ ミキサのセルフミキシングによって生じる不要な DC オフセットである。要点は、周波数復調器の入力電力が一定に保たれること（SILO の振幅が固定であるため）にある。したがって両オフセットは定数であり、測定によって事前に校正できる。本論文の試作機では $-43.8$ mV と $-56.5$ mV が実測された。
扣掉 DC offset 後做 arctangent 解調：Subtract the DC offsets, then demodulate with the arctangent:DC オフセットを差し引いたうえでアークタンジェント復調を行う。
右邊第一項是固定相位偏移，第二項才是我們要的拍頻訊號：The first term on the right is a fixed phase offset; the second is the beat signal we are after:右辺第 1 項は固定の位相オフセットであり、目的とするビート信号は第 2 項である。
由於 $t_s$（0.01 s）遠短於生理訊號週期，掃頻期間可把 $x_i(t)$、$\tau_{s,i}(t)$、$\alpha_i(t)$ 視為常數。取傅立葉轉換：Because $t_s$ (0.01 s) is far shorter than a vital-sign period, $x_i(t)$, $\tau_{s,i}(t)$ and $\alpha_i(t)$ may be treated as constants during a sweep. Taking the Fourier transform:$t_s$（0.01 s）は生体信号の周期よりはるかに短いため、掃引中は $x_i(t)$、$\tau_{s,i}(t)$、$\alpha_i(t)$ を定数とみなせる。フーリエ変換をとると次式を得る。
$w(t)$ 與 $W(\omega)$ 是窗函數的傅立葉轉換對。每個 tone 的中心頻率是$w(t)$ and $W(\omega)$ are a Fourier transform pair of the window function. The centre frequency of each tone is$w(t)$ と $W(\omega)$ は窓関数のフーリエ変換対である。各トーンの中心周波数は次式で与えられる。
其中 $\omega_B = 2\pi f_B$ 為掃頻頻寬。把 (7)、(8) 代入 (14)，即可解出距離：where $\omega_B = 2\pi f_B$ is the sweep bandwidth. Substituting (7) and (8) into (14) solves for the range:ここで $\omega_B = 2\pi f_B$ は掃引帯域幅である。(7)、(8) を (14) に代入すれば距離が求まる。
在式 (13) 中，兩個相鄰 tone 的最小頻率間距被限制在 $1/t_s$，因此In (13) the minimum frequency spacing of two adjacent tones is limited to $1/t_s$, hence式 (13) では隣接する 2 トーンの最小周波数間隔が $1/t_s$ に制限される。したがって次式が成り立つ。
$f_B = 150$ MHz ⇒ $\Delta\tau_s = 1/(1.5\times10^8) = 6.67$ ns，$\Delta R = 3\times10^8/(2\times1.5\times10^8) = 1$ m。本系統與傳統 FMCW 雷達的理論解析度完全相同 — 想改善只能加大掃頻頻寬。本文全部的貢獻，都是在「不加頻寬」的前提下把實際可分辨間距壓到 0.6 m。$f_B = 150$ MHz ⇒ $\Delta\tau_s = 1/(1.5\times10^8) = 6.67$ ns and $\Delta R = 3\times10^8/(2\times1.5\times10^8) = 1$ m. The theoretical resolution of this system is exactly that of a conventional FMCW radar — the only way to improve it is more sweep bandwidth. Every contribution in this paper is about squeezing the actual resolvable spacing down to 0.6 m without adding any bandwidth.$f_B = 150$ MHz ⇒ $\Delta\tau_s = 1/(1.5\times10^8) = 6.67$ ns、$\Delta R = 3\times10^8/(2\times1.5\times10^8) = 1$ m。本システムの理論分解能は従来の FMCW レーダーとまったく同じであり、改善するには掃引帯域幅を広げるしかない。本論文の貢献はすべて、帯域幅を増やさずに実際に分離できる間隔を 0.6 m まで縮めることにある。
式 (13) 裡的 $\phi_{s,i}$ 是每個成分在拍頻訊號中的起始相位。由 (5) 與 (14) 可導出：In (13), $\phi_{s,i}$ is the initial phase of each component of the beat signal. From (5) and (14) it follows that:式 (13) の $\phi_{s,i}$ は、ビート信号中の各成分の初期位相である。(5) と (14) から次式が導かれる。
在拍頻訊號的頻譜中，每個 tone 的相位由它的頻率唯一決定。這意味著：只要知道峰值頻率，就能算出「若這個峰是一個乾淨的單一目標，它的相位應該是多少」。把它跟實際量到的相位一比 — 不合，就代表有重疊。這是一個不需要額外硬體、不需要額外量測的免費診斷器。In the spectrum of the beat signal, the phase of every tone is uniquely fixed by its frequency. That means: knowing the peak frequency is enough to compute what the phase ought to be if that peak were a single clean target. Compare it with the measured phase — a mismatch means there is an overlap. It is a diagnostic that costs no extra hardware and no extra measurement.ビート信号のスペクトルでは、各トーンの位相はその周波数によって一意に決まる。つまりピーク周波数さえ分かれば、「このピークが単一のきれいな目標なら位相はいくつであるべきか」を計算できる。それを実測位相と比べ、一致しなければ重なりがあるということである。追加のハードウェアも追加の測定も要らない、無料の診断器である。
把式 (17) 對拍頻 $f_s$ 微分。注意 $\dfrac{\omega_{s,i}}{\omega_B}t_s = \tau_{s,i}$，所以相位對延遲的斜率就是 $\omega_{\rm TX}$：Differentiate (17) with respect to the beat frequency $f_s$. Since $\dfrac{\omega_{s,i}}{\omega_B}t_s = \tau_{s,i}$, the slope of phase against delay is simply $\omega_{\rm TX}$:式 (17) をビート周波数 $f_s$ で微分する。$\dfrac{\omega_{s,i}}{\omega_B}t_s = \tau_{s,i}$ であるから、遅延に対する位相の傾きは $\omega_{\rm TX}$ そのものである。
$$\frac{d\phi_s}{d\tau_s} = \omega_{\rm TX} = 2\pi\times 5.725\times10^9\ {\rm rad/s}$$換到頻率軸：$\dfrac{d\tau_s}{df_s} = \dfrac{t_s}{f_B} = \dfrac{0.01}{1.5\times10^8} = 66.7$ ps/Hz，於是Converting to the frequency axis: $\dfrac{d\tau_s}{df_s} = \dfrac{t_s}{f_B} = \dfrac{0.01}{1.5\times10^8} = 66.7$ ps/Hz, so周波数軸に換算すると $\dfrac{d\tau_s}{df_s} = \dfrac{t_s}{f_B} = \dfrac{0.01}{1.5\times10^8} = 66.7$ ps/Hz となり、次式を得る。
$$\frac{d\phi_s}{df_s} = 2\pi\times 0.382\ {\rm rad/Hz}$$也就是每 2.62 Hz 相位就繞完一圈 $360^\circ$。In other words, the phase wraps a full $360^\circ$ every 2.62 Hz.すなわち2.62 Hz ごとに位相は $360^\circ$ 一周する。
相位對頻率極度敏感 — 這既是它作為診斷器好用的原因（一點點重疊造成的頻率偏移就會讓相位大幅偏離），也提醒我們：這個檢查只能用來「判斷有沒有問題」，不能反過來直接當測距工具。Phase is extremely sensitive to frequency — which is exactly why it works so well as a diagnostic (the small frequency shift caused by a little overlap throws the phase a long way off), and equally a reminder that this test can only answer “is something wrong?” It cannot be turned around and used as a precision ranging tool.位相は周波数に対して極めて敏感である。これが診断器として有効な理由（わずかな重なりによる周波数のずれでも位相が大きく外れる）であると同時に、この検査が答えられるのは「異常があるか否か」だけであり、逆に精密な測距ツールとして使うことはできない、という注意でもある。
若只看受測者 A 的距離資訊，單邊頻譜的拍頻訊號可寫成Looking only at the range information of subject A, the beat signal in the one-sided spectrum can be written as被験者 A の距離情報だけに注目すると、片側スペクトルにおけるビート信号は次のように書ける。
情境：兩片 40 × 50 cm² 金屬板放在徑向 2.1 m 與 2.5 m、方位角 90° 與 95°。$f_B=150$ MHz、$t_s=0.01$ s、$\tau_{{\rm int},2}=3.56$ ns、$\tau_{{\rm int},3}=3.24$ ns。Setting: two 40 × 50 cm² metal plates placed at radial distances of 2.1 m and 2.5 m, at azimuths of 90° and 95°. $f_B=150$ MHz, $t_s=0.01$ s, $\tau_{{\rm int},2}=3.56$ ns, $\tau_{{\rm int},3}=3.24$ ns.設定：40 × 50 cm² の金属板 2 枚を径方向 2.1 m と 2.5 m、方位角 90° と 95° に配置する。$f_B=150$ MHz、$t_s=0.01$ s、$\tau_{{\rm int},2}=3.56$ ns、$\tau_{{\rm int},3}=3.24$ ns。
Sanity check（合理性驗証）：tone 頻率正比於距離，振幅正比於反射功率 — 所以較近的目標通常是「頻率較低、振幅較大」的那個 tone。這條經驗法則可以用來檢查估計結果有沒有把兩個人配對顛倒。Sanity check: tone frequency is proportional to range and amplitude is proportional to reflected power — so the nearer target is usually the tone with the lower frequency and the larger amplitude. This rule of thumb is a quick way to check that the estimates have not swapped the two subjects.妥当性の確認：トーンの周波数は距離に比例し、振幅は反射電力に比例する。したがって近い方の目標は通常「周波数が低く振幅が大きい」トーンである。この経験則を使えば、推定結果が 2 名を取り違えていないかを手早く確認できる。
雷達每 $T$ 秒切換到 CW 模式：把調諧電壓 $V_t(t)$ 設為零，VCO 停止掃頻，基頻電壓變成Every $T$ seconds the radar switches into CW mode: the tuning voltage $V_t(t)$ is set to zero, the VCO stops sweeping, and the baseband voltage becomesレーダーは $T$ 秒ごとに CW モードへ切り替わる。同調電圧 $V_t(t)$ をゼロにすると VCO は掃引を止め、ベースバンド電圧は次式となる。
式 (19) 中位移項 $x_i(t)$ 的係數含有 $\omega_{\rm TX}$。因為 SCSIL 的發射頻率被上轉換到 5.8 GHz（而傳統 SIL 雷達停在 SILO 的 2.4 GHz），同樣的胸腔位移在 SCSIL 會產生約 2.4 倍大的基頻擺幅。這就是「單次轉換」除了保住鎖定範圍之外的第二個好處。The coefficient of the displacement term $x_i(t)$ in (19) contains $\omega_{\rm TX}$. Because the SCSIL transmit frequency is up-converted to 5.8 GHz (whereas a conventional SIL radar stays at the SILO's 2.4 GHz), the same chest displacement produces roughly 2.4 times the baseband swing in the SCSIL. This is the second benefit of the single conversion, beyond preserving the locking range.式 (19) の変位項 $x_i(t)$ の係数には $\omega_{\rm TX}$ が含まれる。SCSIL の送信周波数は 5.8 GHz へアップコンバートされている（従来の SIL レーダーは SILO の 2.4 GHz にとどまる）ため、同じ胸郭変位に対して SCSIL では約 2.4 倍のベースバンド振れ幅が得られる。これがロッキングレンジの保持に次ぐ、単一変換の第二の利点である。
在 $S_{\rm BB,CW}(t)$ 的頻譜中，兩個生理訊號頻率的最小可分辨差距必須大於感測週期的倒數 $1/T$。本文 $T = 20$ s ⇒ FFT 極限為 $1/20 = 0.05$ Hz。In the spectrum of $S_{\rm BB,CW}(t)$, the smallest resolvable difference between two vital-sign frequencies must exceed the reciprocal of the sensing period, $1/T$. Here $T = 20$ s ⇒ the FFT limit is $1/20 = 0.05$ Hz.$S_{\rm BB,CW}(t)$ のスペクトルにおいて、2 つの生体信号周波数の分離可能な最小差はセンシング周期の逆数 $1/T$ を上回らなければならない。本論文では $T = 20$ s であるから、FFT の限界は $1/20 = 0.05$ Hz となる。
| 量Quantity量 | FFT 極限 (T = 20 s)FFT limit (T = 20 s)FFT の限界 (T = 20 s) | FEA 實測FEA, measuredFEA の実測 | 換算Conversion換算 |
|---|---|---|---|
| 頻率解析度Frequency resolution周波数分解能 | 0.05 Hz | 0.025–0.03 Hz | — |
| 呼吸率可分辨差Resolvable respiration-rate difference分離できる呼吸数の差 | 3.0 breaths/min | 1.5–1.8 breaths/min | $\times 60$ |
| 心率可分辨差Resolvable heart-rate difference分離できる心拍数の差 | 3.0 beats/min | 1.5–1.8 beats/min | $\times 60$ |
兩個人的呼吸率若只差 2 breaths/min（很常見），在 20 s 的 CPI 下 FFT 根本分不開。想靠拉長 CPI 解決？那就得受測者連續數分鐘不動。所以FMCW 與 CW 兩個模式都受制於同一個解析度問題，也都需要同一套 FEA — 這是本文把演算法設計成「與模式無關」的原因。If two people's respiration rates differ by only 2 breaths/min — which is common — an FFT over a 20 s CPI simply cannot separate them. Lengthen the CPI instead? Then the subjects must hold still for several minutes. So both the FMCW and the CW mode are hostage to the same resolution problem and both need the same FEA — which is why the algorithm is designed to be mode-independent.2 名の呼吸数の差がわずか 2 breaths/min（よくあることだ）であれば、20 s の CPI での FFT では到底分離できない。CPI を延ばして解決するか？それには被験者が数分間じっとしていなければならない。すなわちFMCW モードと CW モードは同じ分解能の問題に縛られており、どちらにも同じ FEA が必要となる。アルゴリズムをモード非依存に設計した理由がここにある。
呼吸的諧波（$2f_{\rm RR}$、$3f_{\rm RR}$…）會落進心跳的頻帶，干擾心率判讀。本文的處理流程是分段限定處理範圍：The harmonics of respiration ($2f_{\rm RR}$, $3f_{\rm RR}$…) fall inside the heartbeat band and disturb the heart-rate reading. The paper's remedy is to limit the processing range in stages:呼吸の高調波（$2f_{\rm RR}$、$3f_{\rm RR}$…）は心拍の帯域に入り込み、心拍数の読み取りを乱す。本論文の対処は処理範囲を段階的に限定することである。
作者的論點是：FEA 把頻率解析度做到約 0.025 Hz，而呼吸諧波與心率的頻差在長期監測中不太可能一直維持得這麼小，所以兩者終究會分開 — 心肺活動可以被清楚識別。The authors' argument: the FEA reaches a frequency resolution of about 0.025 Hz, and over a long monitoring session the gap between a respiration harmonic and the heart rate is unlikely to stay that small, so the two will separate sooner or later — cardiopulmonary activity can be identified clearly.著者らの論拠はこうである。FEA は約 0.025 Hz の周波数分解能を実現しており、長時間のモニタリングにおいて呼吸高調波と心拍の周波数差がそこまで小さいまま保たれ続けることは考えにくい。したがって両者はいずれ分離し、心肺活動は明確に識別できる。
輸入可以是 FMCW 模式的拍頻訊號，也可以是 CW 模式的基頻訊號 — 對演算法來說沒差別。依式 (12) 與 (19)，訊號都是 $K$ 個不同頻率成分的組合。以取樣週期 $T_s$ 取樣後，第 $n$ 點（$n=1,\dots,N$）為The input may be the FMCW beat signal or the CW baseband signal — it makes no difference to the algorithm. By (12) and (19), either signal is a combination of $K$ components at different frequencies. Sampled with period $T_s$, the $n$-th point ($n=1,\dots,N$) is入力は FMCW モードのビート信号でも、CW モードのベースバンド信号でもよい — アルゴリズムにとって違いはない。式 (12) と (19) により、いずれの信号も異なる周波数をもつ $K$ 個の成分の合成である。サンプリング周期 $T_s$ で標本化したとき、第 $n$ 点（$n=1,\dots,N$）は次式となる。
其中 $\mathbf{y}=[y_1,\dots,y_N]^{\rm T}$、$\boldsymbol{\varepsilon}=[\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_N]^{\rm T}$、$\mathbf{e}(\omega)=[1,e^{j\omega},\dots,e^{j\omega(N-1)}]^{\rm T}$，$g_i$ 是複數係數，$\varepsilon_n$ 是雜訊。最小平方 (LS) 估計為where $\mathbf{y}=[y_1,\dots,y_N]^{\rm T}$, $\boldsymbol{\varepsilon}=[\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_N]^{\rm T}$, $\mathbf{e}(\omega)=[1,e^{j\omega},\dots,e^{j\omega(N-1)}]^{\rm T}$, $g_i$ are complex coefficients and $\varepsilon_n$ is noise. The least-squares (LS) estimate isここで $\mathbf{y}=[y_1,\dots,y_N]^{\rm T}$、$\boldsymbol{\varepsilon}=[\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_N]^{\rm T}$、$\mathbf{e}(\omega)=[1,e^{j\omega},\dots,e^{j\omega(N-1)}]^{\rm T}$ であり、$g_i$ は複素係数、$\varepsilon_n$ は雑音である。最小二乗 (LS) 推定は次式で与えられる。
同時解出所有 $\{\omega_k\}$ 與 $\{g_k\}$ 非常困難，所以作者改用連續位移法 (successive displacement method)：一次只解一個，解完就減掉。Solving for all $\{\omega_k\}$ and $\{g_k\}$ jointly is very hard, so the authors turn to the successive displacement method: solve for one at a time, and subtract each one as soon as it is solved.すべての $\{\omega_k\}$ と $\{g_k\}$ を同時に解くのは非常に難しい。そこで著者らは逐次変位法 (successive displacement method) を用いる。一度に 1 つだけ解き、解けた分をその都度差し引くのである。
$K=1$ 時式 (23) 退化成 $\arg\min_{g,\omega}\|\mathbf{y}-g\,\mathbf{e}(\omega)\|^2$，等價於最小化成本函數For $K=1$, (23) degenerates to $\arg\min_{g,\omega}\|\mathbf{y}-g\,\mathbf{e}(\omega)\|^2$, which is equivalent to minimising the cost function$K=1$ のとき式 (23) は $\arg\min_{g,\omega}\|\mathbf{y}-g\,\mathbf{e}(\omega)\|^2$ に退化し、次のコスト関数の最小化と等価になる。
對 $g$ 偏微分令為零，得Setting the partial derivative with respect to $g$ to zero gives$g$ に関する偏微分をゼロと置けば次式を得る。
$|\mathbf{y}^H\mathbf{e}(\omega)|^2$ 是把訊號投影到頻率 $\omega$ 的複指數上 — 也就是 DFT，但 $\omega$ 可以取任意實數而不限於 FFT 的離散 bin。所以「最小化 $J(\omega)$」等於「在連續頻率軸上找週期圖的峰」。FFT 只負責提供一個好的起點，真正的解析度來自這一步的連續搜尋。$|\mathbf{y}^H\mathbf{e}(\omega)|^2$ projects the signal onto the complex exponential at frequency $\omega$ — that is a DFT, except that $\omega$ may take any real value instead of being confined to the discrete FFT bins. So “minimise $J(\omega)$” means “find the periodogram peak on the continuous frequency axis”. The FFT only supplies a good starting point; the real resolution comes from this continuous search.$|\mathbf{y}^H\mathbf{e}(\omega)|^2$ は信号を周波数 $\omega$ の複素指数へ射影したものであり、これは DFT にほかならない。ただし $\omega$ は FFT の離散ビンに縛られず任意の実数をとれる。したがって「$J(\omega)$ を最小化する」とは「連続周波数軸上でペリオドグラムのピークを探す」ことである。FFT は良い出発点を与えるだけで、真の分解能はこの連続探索から生まれる。
$J(\omega)$ 在處理範圍內可微分，因此用 Newton 法迭代求解：$J(\omega)$ is differentiable within the processing range, so Newton's method is used to iterate towards the solution:$J(\omega)$ は処理範囲内で微分可能なので、ニュートン法により反復的に解く。
$J'$、$J''$ 是一階與二階導數。由於處理範圍已被限定（見 §3.4），ghost target 問題自然被排除。$J'$ and $J''$ are the first and second derivatives. Because the processing range has already been limited (see §3.4), the ghost target problem is excluded automatically.$J'$、$J''$ は一階および二階導関数である。処理範囲があらかじめ限定されているため（§3.4 参照）、ゴーストターゲットの問題は自動的に排除される。
當 $K \gt 1$，採用檢測–估計法 (detection–estimation method)，粗估與細估交替：When $K \gt 1$, the detection–estimation method is used, alternating coarse and fine estimation:$K \gt 1$ の場合は検出–推定法 (detection–estimation method) を用い、粗推定と精推定を交互に行う。
每次移除前，先用 LS 估計器精算振幅係數：Before each removal, the amplitude coefficients are refined with the LS estimator:除去のたびに、まず LS 推定器で振幅係数を精算する。
這一步確保能量在目前已估到的頻率集合下最大程度集中在 $\hat{\mathbf{g}}$ 上，使殘餘能量最小。This step ensures that, given the set of frequencies estimated so far, as much energy as possible is concentrated in $\hat{\mathbf{g}}$, minimising the residual energy.この一手により、これまでに推定された周波数の集合のもとでエネルギーを最大限 $\hat{\mathbf{g}}$ に集中させ、残差エネルギーを最小化する。
整個演算法的效能取決於每次迭代能不能精確地移除最強訊號。所以在檢測下一個成分之前，要重跑一遍細估計：若目前要精煉的是 $\hat\omega_i$，就把除了第 $i$ 個之外的所有正弦波都先從訊號中移除，再重新細估 $\hat\omega_i$ 並更新它。這個程序對所有已估頻率跑一輪，並重複 3–5 次。The performance of the whole algorithm hinges on whether each iteration removes the strongest signal accurately. So before detecting the next component, the fine estimation is run again: to refine $\hat\omega_i$, first remove every sinusoid except the $i$-th from the signal, then re-estimate $\hat\omega_i$ and update it. This procedure is applied once to every frequency already estimated, and repeated 3 to 5 times.アルゴリズム全体の性能は、各反復で最強信号を正確に除去できるかにかかっている。そこで次の成分を検出する前に、精推定をもう一度走らせる。$\hat\omega_i$ を精緻化するときは、第 $i$ 以外のすべての正弦波を先に信号から除去し、そのうえで $\hat\omega_i$ を再推定して更新する。この手続きを推定済みのすべての周波数について一巡させ、3–5 回繰り返す。
推導鏈很短，但結論很硬：The chain of reasoning is short, but the conclusion is firm:推論の鎖は短いが、結論は揺るがない。
MUSIC 的整個運作機制建立在「訊號子空間與白雜訊子空間正交」之上。既然 SIL 解調訊號的雜訊不是白的，MUSIC 無法正確建構訊號與雜訊子空間 — 即使模擬顯示它的精度與 FEA 相當（見 §7），它也不能用在這個架構上。這也回頭解釋了為什麼 Table V 中用 MUSIC 的 [20]、[21] 走的是完全不同的硬體路線。The entire mechanism of MUSIC rests on the signal subspace being orthogonal to the white noise subspace. Since the noise in an SIL demodulated signal is not white, MUSIC cannot construct the signal and noise subspaces correctly — even though simulation shows its accuracy to be comparable to the FEA (see §7), it cannot be used on this architecture. This also explains, in retrospect, why [20] and [21] in Table V, which use MUSIC, take a completely different hardware route.MUSIC の動作機構全体は、信号部分空間が白色雑音部分空間と直交することに立脚している。SIL 復調信号の雑音は白色でないため、MUSIC は信号部分空間と雑音部分空間を正しく構成できない。シミュレーション上の精度が FEA と同等であっても（§7 参照）、この構成では使えないのである。Table V で MUSIC を用いる [20]、[21] がまったく異なるハードウェア路線をとっている理由も、これで説明がつく。
SIL 系列雷達在生理訊號偵測上的 Doppler 靈敏度，前人已多次驗證，所以本文只驗證 FMCW 模式的測距能力。做法很聰明：既然系統是靠傳播延遲算距離，那就把無線通道換成已知延遲的電纜。The Doppler sensitivity of the SIL family of radars for vital-sign detection has been verified repeatedly by earlier work, so this paper verifies only the ranging capability of the FMCW mode. The approach is neat: since the system computes range from propagation delay, replace the wireless channel with cables of known delay.生体信号検出における SIL 系レーダーのドップラー感度は先行研究で繰り返し検証されている。そこで本論文が検証するのは FMCW モードの測距能力のみである。その手法は巧みだ。システムは伝搬遅延から距離を算出するのだから、無線チャネルを既知の遅延をもつケーブルに置き換えればよい。
把 LNA 1 的輸出直接接到 LNA 2 的輸入，中間串一個 DUT：分配器 + 兩條不同傳播延遲的電纜組 + 合成器 + 40 dB 衰減器（模擬無線路徑損耗）。假設分配器與合成器無損耗、無延遲，則 $\tau_{p,i}$ 與各注入訊號的振幅只由兩條電纜決定 — 於是「真值」完全已知。The output of LNA 1 is wired straight to the input of LNA 2, with a DUT in between: a splitter + two cables of different propagation delay + a combiner + a 40 dB attenuator (to emulate the wireless path loss). Assuming the splitter and combiner are lossless and delay-free, $\tau_{p,i}$ and the amplitude of each injected signal are determined by the two cables alone — so the ground truth is fully known.LNA 1 の出力を LNA 2 の入力に直結し、その間に DUT を挿入する。DUT は分配器 + 伝搬遅延の異なる 2 本のケーブル + 合成器 + 40 dB 減衰器（無線経路損失の模擬）からなる。分配器と合成器を無損失・無遅延と仮定すれば、$\tau_{p,i}$ と各注入信号の振幅は2 本のケーブルだけで決まる。したがって真値が完全に既知となる。
| 參數Parameterパラメータ | 值Value値 | 備註Notes備考 |
|---|---|---|
| SILO | 2.4 GHz, 6 dBm, Q = 28 | 自製 PCB，Clapp 架構，注入埠接在電晶體閘極In-house PCB, Clapp topology, injection port at the transistor gate自作 PCB、クラップ形、注入ポートはトランジスタのゲートに接続 |
| VCO 掃頻VCO sweepVCO 掃引 | 3.325 → 3.475 GHz / 0.01 s | $t_s = 0.01$ s, $f_B = 150$ MHz |
| 取樣Samplingサンプリング | 20 kHz，窗長 200 點20 kHz, 200-point window20 kHz、窓長 200 点 | FFT；用矩形窗與 Kaiser 窗 ($\beta = 7.865$)FFT; rectangular and Kaiser windows ($\beta = 7.865$)FFT。矩形窓とカイザー窓 ($\beta = 7.865$) を使用 |
| 延遲線Delay line遅延線 | 30 ns | 頻率解調器的鑑別器延遲 $\tau_d$The discriminator delay $\tau_d$ of the frequency demodulator周波数復調器のディスクリミネータ遅延 $\tau_d$ |
| 內部延遲（電纜實驗）Internal delays (cable experiment)内部遅延（ケーブル実験） | $\tau_{{\rm int},1..4}$ = 1.03, 2.24, 2.24, 8.76 ns | 用 Keysight 向量網路分析儀量測Measured with a Keysight vector network analyserキーサイト製ベクトルネットワークアナライザで測定 |
| DC offset | $-43.8$ mV, $-56.5$ mV | arctangent 解調前必須校正Must be calibrated out before the arctangent demodulationアークタンジェント復調の前に必ず校正する |
| Cable A（固定）Cable A (fixed)Cable A（固定） | 14.3 ns 延遲, 3.7 dB 損耗14.3 ns delay, 3.7 dB loss遅延 14.3 ns、損失 3.7 dB | 對應 281.63 Hz / 理論相位 84.87°Corresponds to 281.63 Hz / a theoretical phase of 84.87°281.63 Hz／理論位相 84.87° に対応 |
| Cable B（四種）Cable B (four of them)Cable B（4 種類） | 27.02 / 21.2 / 17.2 / 15.85 ns | 損耗 11.6 / 8.8 / 6.8 / 5.64 dBLosses of 11.6 / 8.8 / 6.8 / 5.64 dB損失は 11.6 / 8.8 / 6.8 / 5.64 dB |
| 元件Component部品 | 頻率 (GHz)Frequency (GHz)周波数 (GHz) | 規格Specification仕様 |
|---|---|---|
| SILO | 2.4 | Output power 6 dBm; tank Q-factor 28 |
| Coupler | 0.7 – 2.5 | Coupling 6 dB |
| LNA 1 | 0.5 – 6 | Gain 20.7 dB; NF 1.6 dB |
| LNA 2 | 0.05 – 6 | Gain 14.4 dB; P1dB 12 dBm |
| Frequency converter | ||
| VCO | 3.3 – 3.605 | Output power 8.5 dBm |
| Attenuator | 0 – 12.4 | Attenuation 10 dB |
| LNA 3 | 3.3 – 3.8 | Gain 20 dB; NF 0.9 dB; P1dB 18 dBm |
| Splitter 1 | 0.5 – 5 | IL 0.8 dB; isolation 24 dB |
| Up mixer | RF 2.3 – 7.4; IF 0.0001 – 3.3 | Conversion loss 8.3 dB; IP3 20 dBm |
| Down mixer | RF 3.2 – 15; IF 0 – 4 | Conversion loss 6.2 dB; LO–IF isolation 17 dB |
| Frequency demodulator | ||
| Splitter 2 | 0.5 – 3 | IL 0.6 dB; isolation 22 dB |
| Delay line | 0 – 20 | Delay 30 ns; attenuation 8 dB |
| IQ mixers | RF 0.4 – 3; IF 0 – 0.25 | Voltage conversion gain 1 dB; NF 16 dB; P1dB 13 dBm |
四組電纜實驗的結果：Fig. 5(a) 中兩個 tone 清楚分離；(b)–(d) 因為兩條電纜的延遲差小於或等於延遲解析度 6.67 ns，兩個主瓣重疊。Results of the four cable experiments: in Fig. 5(a) the two tones are cleanly separated; in (b)–(d) the delay difference between the cables is at or below the 6.67 ns delay resolution, so the two main lobes overlap.4 組のケーブル実験の結果は次のとおり。Fig. 5(a) では 2 つのトーンが明確に分離している。(b)–(d) では 2 本のケーブルの遅延差が遅延分解能 6.67 ns 以下であるため、2 つのメインローブが重なる。
| Case | Cable B | Simulated FFT | Measured FFT | Ideal phase at the measured peak, from (17) |
|---|---|---|---|---|
| Fig. 5(a) | 27.02 ns | 82.63° @ 281 Hz; 22.36° @ 477 Hz | 86.19° @ 281 Hz; 21.26° @ 479 Hz | 357.96° @ 281 Hz; 203.16° @ 479 Hz |
| Fig. 5(b) | 21.2 ns | 39.63° @ 308 Hz | 29.95° @ 313 Hz | 74.76° @ 313 Hz |
| Fig. 5(c) | 17.2 ns | 51.63° @ 291 Hz | 48.47° @ 292 Hz | 69.36° @ 292 Hz |
| Fig. 5(d) | 15.85 ns | 72.39° @ 288 Hz | 76.60° @ 285 Hz | 187.56° @ 285 Hz |
作者的結論：即使多個 tone 在振幅頻譜中合併成一個，相位依然可以用來判斷距離解析度問題是否發生。The authors' conclusion: even when several tones merge into one in the magnitude spectrum, the phase can still tell you whether a range resolution problem has occurred.著者らの結論はこうである。複数のトーンが振幅スペクトル上でひとつに融合しても、位相を見れば距離分解能の問題が生じているかどうかを判定できる。
Table II 最後一欄的理論相位，是在量測到的（已被 FFT bin 量化的）整數峰值頻率上代入式 (17) 算出來的。因為 $d\phi_s/df_s \approx 137^\circ$/Hz（見 §3.3 的展開），不到 1 Hz 的頻率量化誤差就足以讓理論相位轉好幾十度。The theoretical phase in the last column of Table II is obtained by substituting into (17) the measured integer peak frequency, already quantised by the FFT bins. Since $d\phi_s/df_s \approx 137^\circ$/Hz (see the expandable note in §3.3), a quantisation error of well under 1 Hz is enough to rotate the theoretical phase by tens of degrees.Table II 最終列の理論位相は、FFT ビンによって量子化された実測の整数ピーク周波数を式 (17) に代入して求めたものである。$d\phi_s/df_s \approx 137^\circ$/Hz であるため（§3.3 の展開部を参照）、1 Hz にも満たない量子化誤差で理論位相は数十度も回ってしまう。
這解釋了為什麼連「已分離」的 Fig. 5(a) 也顯示大幅落差（86.19° vs 357.96° @ 281 Hz）：真值頻率其實是 281.63 Hz，而論文 §II 自己算出該頻率的理論相位是 84.87° — 與量測值 86.19° 吻合得很好。This explains why even the cleanly separated Fig. 5(a) shows a large discrepancy (86.19° vs 357.96° @ 281 Hz): the true frequency is in fact 281.63 Hz, and §II of the paper itself computes the theoretical phase at that frequency as 84.87° — in excellent agreement with the measured 86.19°.これにより、明確に分離しているはずの Fig. 5(a) でさえ大きな食い違い（86.19° 対 357.96° @ 281 Hz）を示す理由が説明できる。真の周波数は実は 281.63 Hz であり、論文 §II 自身がその周波数における理論位相を 84.87° と算出している — 実測値 86.19° とよく一致する。
所以正確的讀法是：這個相位檢查在實務上是一個二元警報器（吻合 / 嚴重不吻合），使用時峰值頻率必須精確到 sub-Hz — 而這正好是 FEA 細估計步驟提供的東西。把它當成一個可以線性內插的精密量測工具，會踩坑。So the correct reading is this: in practice the phase test is a binary alarm (agrees / badly disagrees), and using it requires the peak frequency to sub-Hz accuracy — which is exactly what the FEA fine-estimation step supplies. Treating it as a precision instrument you can interpolate linearly is a trap.したがって正しい読み方はこうである。実務上、この位相検査は二値の警報器（一致／大きく不一致）であり、使用にはピーク周波数のサブ Hz 精度が必要となる — そしてそれこそ FEA の精推定ステップが供給するものである。線形補間できる精密計測ツールとして扱うと落とし穴にはまる。
| 實際延遲Actual delay実際の遅延 | FFT 估計FFT estimateFFT 推定値 | FFT 誤差FFT errorFFT 誤差 | FEA 估計FEA estimateFEA 推定値 | FEA 誤差FEA errorFEA 誤差 |
|---|---|---|---|---|
| A: 14.3 ns B: 27.02 ns | 14.26 ns; 27.46 ns | 0.28%; 1.63% | 14.2 ns; 26.91 ns | 0.7%; 0.41% |
| A: 14.3 ns B: 21.2 ns | 16.39 ns （僅一個峰）(one peak only)（ピークは 1 つのみ） | 14.62%; 22.69% | 14.7 ns; 20.72 ns | 2.8%; 2.26% |
| A: 14.3 ns B: 17.2 ns | 14.99 ns （僅一個峰）(one peak only)（ピークは 1 つのみ） | 4.83%; 12.85% | 14.72 ns; 17.06 ns | 2.94%; 0.81% |
| A: 14.3 ns B: 15.85 ns | 14.52 ns （僅一個峰）(one peak only)（ピークは 1 つのみ） | 1.54%; 8.39% | 14.24 ns; 20.28 ns | 0.42%; 27.95% |
作者的總結：FEA 能把有效解析度改善 40%–70%（取決於系統 SNR），誤差小於 3%；但當延遲差小於0.25 倍理論解析度時誤差會急遽上升。這是一個誠實而有用的邊界宣告。The authors' summary: the FEA improves the effective resolution by 40%–70% (depending on the system SNR) with errors below 3%; but once the delay difference drops below 0.25 times the theoretical resolution, the error rises sharply. It is an honest and useful statement of the boundary.著者らのまとめはこうである。FEA は実効分解能を 40%–70% 改善し（システム SNR に依存）、誤差は 3% 未満に収まる。ただし遅延差が理論分解能の 0.25 倍を下回ると誤差は急激に増大する。誠実かつ有用な境界の宣言である。
為了摸清 FEA 的效能極限，作者用電腦模擬與兩個基準法比較：超解析類的 MUSIC（MATLAB 的 pmusic），與連續干擾消除類的 CLEAN。To map out the performance limits of the FEA, the authors compare it in simulation against two baselines: MUSIC from the superresolution family (MATLAB's pmusic), and CLEAN from the successive-interference-cancellation family.FEA の性能限界を見極めるため、著者らは計算機シミュレーションで 2 つの基準手法と比較している。超分解能系の MUSIC（MATLAB の pmusic）と、逐次干渉除去系の CLEAN である。
固定 Subject A 的 SNR 為 30 dB，讓 Subject B 的 SNR 在 20 / 25 / 30 dB 之間變動（論文 Fig. 9）：Fix Subject A's SNR at 30 dB and vary Subject B's between 20, 25 and 30 dB (Fig. 9 of the paper):Subject A の SNR を 30 dB に固定し、Subject B の SNR を 20 / 25 / 30 dB の間で変化させる（論文 Fig. 9）。
| 觀察Observation観察 | 原因Reason理由 |
|---|---|
| B 的 SNR 上升 → B 的 REE 下降B's SNR rises → B's REE fallsB の SNR が上がる → B の REE が下がる | 訊號能量越大，估計越準（直覺）More signal energy gives a better estimate (as one would expect)信号エネルギーが大きいほど推定は正確になる（直感どおり） |
| B 的 SNR 上升到接近 A → A 的 REE 反而上升B's SNR climbs close to A's → A's REE rises insteadB の SNR が A に近づく → A の REE はかえって上がる | 功率差本身就是一種可分辨性。兩人能量接近時，演算法失去「誰是最強成分」這個線索The power difference is itself a form of distinguishability. When the two energies are close, the algorithm loses the cue of which component is the strongest電力差そのものが一種の識別可能性である。2 名のエネルギーが近づくと、アルゴリズムは「どれが最強成分か」という手がかりを失う |
| 即使兩人 SNR 完全相同，FEA 仍維持高精度Even with identical SNRs, the FEA stays accurate2 名の SNR が完全に同じでも、FEA は高精度を保つ | $|R_A-R_B| = 0.6$ m 時 REE $\lt 14\%$（$R_A=1.5$ m 時約 20 cm）At $|R_A-R_B| = 0.6$ m, REE $\lt 14\%$ (about 20 cm when $R_A=1.5$ m)$|R_A-R_B| = 0.6$ m のとき REE $\lt 14\%$（$R_A=1.5$ m で約 20 cm） |
在 §8 的兩人實驗中，兩人在距離與方位上都靠得很近，大部分反射功率來自前面那個人。從演算法的角度看，這反而是好事 — 兩人的 SNR 差距很大，FEA 的表現因此格外突出。這是一個看似不利、實際有利的場景。In the two-person experiment of §8 the subjects sit close together in both range and azimuth, so most of the reflected power comes from the person in front. From the algorithm's point of view that is good news — the SNRs of the two are far apart, and the FEA therefore performs especially well. A scenario that looks unfavourable is in fact favourable.§8 の 2 名実験では、被験者は距離でも方位でも近接して座っており、反射電力の大部分は前方の人物に由来する。アルゴリズムから見れば、これはむしろ好都合である — 2 名の SNR に大きな差がつき、FEA の性能がとりわけ際立つ。一見不利に見える状況が、実は有利なのである。
接下來的實驗把 DUT 旁通，LNA 1 的輸入與 LNA 2 的輸出直接接到 RX / TX 天線。兩支都是 14 dBi 喇叭天線（5.8 GHz ISM 頻段），所有目標都落在 30° HPBW 內。因為多接了電纜組，內部延遲改為 $\tau_{{\rm int},2}=3.56$ ns、$\tau_{{\rm int},3}=3.24$ ns。The experiments that follow bypass the DUT and wire the input of LNA 1 and the output of LNA 2 straight to the RX and TX antennas. Both are 14 dBi horn antennas (5.8 GHz ISM band), and every target sits inside the 30° HPBW. Because extra cabling has been added, the internal delays become $\tau_{{\rm int},2}=3.56$ ns and $\tau_{{\rm int},3}=3.24$ ns.以降の実験では DUT をバイパスし、LNA 1 の入力と LNA 2 の出力をそれぞれ RX / TX アンテナに直結する。いずれも 14 dBi ホーンアンテナ（5.8 GHz ISM 帯）であり、すべての目標は 30° HPBW の内側に収まる。ケーブルが追加されたため、内部遅延は $\tau_{{\rm int},2}=3.56$ ns、$\tau_{{\rm int},3}=3.24$ ns に変わる。
| 項目Item項目 | Plate A | Plate B |
|---|---|---|
| 尺寸Size寸法 | 40 × 50 cm² | 40 × 50 cm² |
| 實際徑向距離Actual radial distance実際の径方向距離 | 2.1 m | 2.5 m |
| 方位角Azimuth方位角 | 90° | 95° |
| FFT 結果FFT resultFFT の結果 | 合併成一個峰：313 Hz，相位 0.66°（理論應為 74.76°）Merged into one peak: 313 Hz, phase 0.66° (theory says 74.76°)ひとつのピークに融合：313 Hz、位相 0.66°（理論値は 74.76°） | |
| FEA 處理範圍FEA processing rangeFEA の処理範囲 | 213 – 413 Hz | |
| FEA 估計FEA estimateFEA の推定値 | 2.1 m | 2.55 m |
| 誤差Error誤差 | 兩者均 $\lt 2\%$Both $\lt 2\%$いずれも $\lt 2\%$ | |
徑向間距 0.4 m 遠小於 1 m 的理論解析度，FFT 完全分不開；FEA 分開了，而且誤差 $\lt 2\%$。A radial spacing of 0.4 m is far below the 1 m theoretical resolution, and the FFT cannot separate the two at all; the FEA does, with errors $\lt 2\%$.径方向間隔 0.4 m は理論分解能 1 m をはるかに下回り、FFT ではまったく分離できない。FEA は分離に成功し、誤差は $\lt 2\%$ である。
把 Plate A 換成一位坐著的受測者，手指戴上 Rossmax SB100 血氧計，取感測期間的平均值作為心率參考。Plate A is replaced by a seated subject wearing a Rossmax SB100 pulse oximeter on a finger; its average over the sensing period is taken as the heart-rate reference.Plate A を着座した被験者に置き換え、指に Rossmax SB100 パルスオキシメータを装着する。センシング期間の平均値を心拍数の基準値とする。
受測者的身體造成嚴重干擾，最小徑向間距必須放大。受測者置於 2 m、方位角 90°。FFT 峰值 325 Hz 的相位為 333.83°，偏離理論值 283.56° ⇒ 啟動 FEA（處理範圍 225–425 Hz），估得 2.1 m 與 2.61 m。The subject's body causes severe interference, so the minimum radial spacing has to be increased. The subject sits at 2 m, azimuth 90°. The FFT peak at 325 Hz has a phase of 333.83°, departing from the theoretical 283.56° ⇒ the FEA is triggered (processing range 225–425 Hz) and returns 2.1 m and 2.61 m.被験者の身体が大きな干渉を生じるため、最小径方向間隔を広げる必要がある。被験者は 2 m、方位角 90° に着座。FFT のピーク 325 Hz における位相は 333.83° で、理論値 283.56° から外れる ⇒ FEA を起動し（処理範囲 225–425 Hz）、2.1 m と 2.61 m を推定した。
切到 CW 模式量生理訊號，兩段式處理範圍（呼吸 0.1–0.4 Hz、心跳 1–2 Hz）：Switching to CW mode to measure the vital signs, with a two-stage processing range (respiration 0.1–0.4 Hz, heartbeat 1–2 Hz):CW モードに切り替えて生体信号を計測する。処理範囲は 2 段階（呼吸 0.1–0.4 Hz、心拍 1–2 Hz）とする。
| 量Quantity量 | 參考值（血氧計 / 人工計數）Reference (oximeter / manual count)基準値（オキシメータ／目視計数） | FFT | FEA |
|---|---|---|---|
| 呼吸率 RRRespiration rate RR呼吸数 RR | 12.18 breaths/min | 12.3 | 12 |
| 心率 HRHeart rate HR心拍数 HR | 79.68 beats/min | 80.6 | 79 |
只有一個人時 FFT 也夠用 — 這一步的價值在於證明整條處理鏈（測距 + 生理）走得通，並取得 FEA 在 20 s 內約 0.025 Hz 的頻率解析度。With only one person an FFT would do — the value of this step is that it proves the whole processing chain (ranging + vital signs) works end to end, and establishes the FEA's frequency resolution of about 0.025 Hz within 20 s.1 名だけであれば FFT でも足りる。この段階の価値は、測距から生体信号までの処理系全体が通しで機能することを示す点と、20 s で約 0.025 Hz という FEA の周波数分解能を確認する点にある。
| 項目Item項目 | Subject A | Subject B |
|---|---|---|
| 實際徑向距離Actual radial distance実際の径方向距離 | 1.9 m | 2.5 m |
| 方位角Azimuth方位角 | 90° | 95° |
| 實際 RRActual RR実際の RR | 16 breaths/min | 18 breaths/min |
| 實際 HRActual HR実際の HR | 65 beats/min | 90 beats/min |
| FEA 估得距離FEA range estimateFEA の距離推定値 | 1.91 m | 2.55 m |
| FEA 估得 RRFEA RR estimateFEA の RR 推定値 | 16.9 breaths/min | 18.8 breaths/min |
| FEA 估得 HRFEA HR estimateFEA の HR 推定値 | 67.2 beats/min | 90.6 beats/min |
Subject B 幾乎被 Subject A 遮住。頻率–相位關係檢查失敗 ⇒ FEA（處理範圍 194–394 Hz）估得 1.91 與 2.55 m，與實際值吻合。生理訊號誤差 $\lt 0.04$ Hz，20 s 內頻率解析度降到 0.03 Hz。Subject B is almost entirely shadowed by Subject A. The frequency–phase test fails ⇒ the FEA (processing range 194–394 Hz) returns 1.91 m and 2.55 m, in agreement with the true values. The vital-sign error is $\lt 0.04$ Hz, and within 20 s the frequency resolution comes down to 0.03 Hz.Subject B は Subject A にほぼ遮られている。周波数–位相関係の検査が不合格となり ⇒ FEA（処理範囲 194–394 Hz）は 1.91 m と 2.55 m を推定し、実際の値とよく一致した。生体信号の誤差は $\lt 0.04$ Hz、20 s 以内で周波数分解能は 0.03 Hz に達する。
由式 (12) 與 (19)，FMCW 與 CW 兩個模式的 tone 振幅都正比於同一個 $\Delta\omega_{{\rm LR},i}$，而由式 (4)，$\Delta\omega_{{\rm LR},i}$ 由第 $i$ 個受測者的反射訊號決定。實測中 Subject A 的 tone 明顯大於 Subject B，CW 波形也由 Subject A 主導 — 所以「距離頻譜中較大的 tone」與「生理頻譜中較大的 tone」同屬 Subject A。不需要波束掃描，振幅就是身分標籤。By (12) and (19), the tone amplitudes in both the FMCW and the CW mode are proportional to the same $\Delta\omega_{{\rm LR},i}$, and by (4) that $\Delta\omega_{{\rm LR},i}$ is set by the signal reflected from the $i$-th subject. In the measurement Subject A's tone is clearly larger than Subject B's, and the CW waveform is likewise dominated by Subject A — so the larger tone in the range spectrum and the larger tone in the vital-sign spectrum both belong to Subject A. No beam scanning is needed: amplitude is the identity tag.式 (12) と (19) より、FMCW モードと CW モードのトーン振幅はいずれも同一の $\Delta\omega_{{\rm LR},i}$ に比例する。そして式 (4) より、その $\Delta\omega_{{\rm LR},i}$ は第 $i$ 被験者からの反射信号によって決まる。実測では Subject A のトーンが Subject B より明らかに大きく、CW 波形も Subject A が支配的である — したがって「距離スペクトルで大きい方のトーン」と「生体スペクトルで大きい方のトーン」はともに Subject A のものである。ビーム走査は不要であり、振幅こそが身元のタグとなる。
方位間距固定 5°，Subject B 固定在 2.5 m，Subject A 依序坐在 1.9 / 1.8 / 1.7 / 1.6 / 1.5 m。每個情境跑五次（Exp. I–V）。受測者 RR 在 10–16 breaths/min、HR 在 60–90 beats/min 之間。The azimuth spacing is fixed at 5°, Subject B stays at 2.5 m, and Subject A sits in turn at 1.9, 1.8, 1.7, 1.6 and 1.5 m. Each scenario is run five times (Exp. I–V). The subjects' RR lies between 10 and 16 breaths/min and their HR between 60 and 90 beats/min.方位間隔は 5° に固定し、Subject B は 2.5 m に据え置き、Subject A は順に 1.9 / 1.8 / 1.7 / 1.6 / 1.5 m に着座する。各条件で 5 回ずつ実施した（Exp. I–V）。被験者の RR は 10–16 breaths/min、HR は 60–90 beats/min の範囲にある。
| Exp. | I | II | III | IV | V |
|---|---|---|---|---|---|
| Subject A: 1.9 m · Subject B: 2.5 m | |||||
| Ranging error (m) | A 0.03 B 0.06 | A 0.02 B 0.04 | A 0.03 B 0.07 | A 0.02 B 0.06 | A 0.03 B 0.08 |
| RR error (breaths/min) | A 0.34 B 0.37 | A 0.49 B 0.29 | A 0.45 B 0.45 | A 1.18 B 0.47 | A 0.63 B 1.74 |
| HR error (beats/min) | A 0.43 B 0.18 | A 2.38 B 0.19 | A 2.90 B 0.36 | A 0.66 B 2.26 | A 0.59 B 0.63 |
| Subject A: 1.8 m · Subject B: 2.5 m | |||||
| Ranging error (m) | A 0.03 B 0.03 | A 0.02 B 0.03 | A 0.02 B 0.05 | A 0.04 B 0.03 | A 0.02 B 0.04 |
| RR error (breaths/min) | A 1.70 B 0.26 | A 0.99 B 0.92 | A 0.74 B 0.22 | A 1.26 B 0.95 | A 1.14 B 0.43 |
| HR error (beats/min) | A 2.22 B 2.04 | A 2.74 B 1.24 | A 0.10 B 2.03 | A 1.40 B 1.86 | A 0.41 B 1.47 |
| Subject A: 1.7 m · Subject B: 2.5 m | |||||
| Ranging error (m) | A 0.02 B 0.04 | A 0.02 B 0.03 | A 0.04 B 0.03 | A 0.01 B 0.02 | A 0.02 B 0.03 |
| RR error (breaths/min) | A 1.49 B 1.93 | A 0.72 B 0.26 | A 1.24 B 0.63 | A 1.83 B 1.70 | A 1.38 B 0.50 |
| HR error (beats/min) | A 2.15 B 2.71 | A 2.95 B 2.56 | A 1.87 B 0.25 | A 1.42 B 1.01 | A 2.84 B 0.60 |
| Subject A: 1.6 m · Subject B: 2.5 m | |||||
| Ranging error (m) | A 0.01 B 0.04 | A 0.02 B 0.01 | A 0.00 B 0.02 | A 0.01 B 0.03 | A 0.03 B 0.04 |
| RR error (breaths/min) | A 1.61 B 1.76 | A 1.27 B 1.68 | A 0.43 B 0.49 | A 1.85 B 0.94 | A 0.71 B 0.28 |
| HR error (beats/min) | A 1.01 B 1.31 | A 0.67 B 0.83 | A 2.56 B 1.72 | A 0.69 B 0.65 | A 0.72 B 1.04 |
| Subject A: 1.5 m · Subject B: 2.5 m — 正規化徑向間距 = 1.0 m / 1 mnormalized radial spacing = 1.0 m / 1 m正規化径方向間隔 = 1.0 m / 1 m | |||||
| Ranging error (m) | A 0.02 B 0.03 | A 0.02 B 0.03 | A 0.00 B 0.03 | A 0.00 B 0.02 | A 0.00 B 0.03 |
| RR error (breaths/min) | A 0.52 B 1.39 | A 0.75 B 1.36 | A 0.75 B 1.99 | A 0.27 B 0.26 | A 0.24 B 0.06 |
| HR error (beats/min) | A 1.78 B 2.08 | A 0.85 B 0.55 | A 0.42 B 0.32 | A 0.72 B 1.96 | A 2.19 B 0.57 |
「正規化徑向間距」定義為實際徑向間距 ÷ 理論距離解析度。數字越小代表越接近（甚至突破）解析度極限。“Normalized radial spacing” is defined as the actual radial spacing ÷ the theoretical range resolution. The smaller the number, the closer the system comes to — or the further it pushes past — the resolution limit.「正規化径方向間隔」は実際の径方向間隔 ÷ 理論距離分解能と定義される。値が小さいほど分解能の限界に近い（あるいはそれを突破している）ことを意味する。
| Ref. | 架構Architecture構成 | 頻率 (GHz)Frequency (GHz)周波数 (GHz) | Pout (dBm) | 技術Technique技術 | 感測資訊Sensed information取得情報 | 受測者距離與方位Subject range and azimuth被験者の距離と方位 | 正規化 徑向間距Normalized radial spacing正規化 径方向間隔 | 最小 方位間距Minimum azimuth spacing最小 方位間隔 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [34] | Pulse | 0.5–5.5 | −28 | 1. Antenna array 2. Logarithmic method | RR, HR, range | A: 0.4 m, 135° B: 0.7 m, 70° | 10 | 65° |
| [35] | Pulse | 0.5–2.5 | −50 | 1. UWB linear array (1T8R) 2. New B-scan method | RR, range | A: 2.5 m, 60° B: 3 m, 90° C: 1.6 m, 125° | 6.67 | 30° |
| [5] | Pulse/CW | 2.25–3.75 | 25 (peak) | 1. Superheterodyne receiver 2. Equivalent time sampling | RR, range | A: 3.3 m, 86.53° B: 2 m, 63.44° | 13 | 13.09° |
| [6] | FMCW/CW | 5.72–5.88 | > 25 | 1. 90° beam scanning 2. Coherent transmitted chirp | RR, HR, range | A: 1.5 m, 90° B: 3.82 m, 30° | 2.475 | 60° |
| [36] | FMCW | 24.05–24.25 | N/A | Range corrected spectra | RR, HR, range | A: 1 m, N/A B: 1.8 m, N/A | 1.07 | N/A |
| [20] | FMCW | 24.05–24.25 | N/A | Joint extrapolation-MUSIC-based 2-D parameter estimator | RR, HR, range | A: 2.9 m, 94.4° B: 3.9 m, 86.7° | 1.33 | 7.7° |
| [21] | FMCW | 24–24.25 | 0 | 1. MUSIC algorithm 2. Range integration 3. Auto-regressive algorithm | RR, HR, range | A: 1.32 m, 101° B: 1.72 m, 81.6° | 0.67 | 19.4° |
| [37] | SFCW | 2–3 | 8 | EM modeling with MLFMA | RR, range | A: 0.95 m, 71.5° B: 1.14 m, 105° | 1.28 | 33.5° |
| [24] | FMSIL | 2.4–2.7 | 8 | 1. 1T2R antenna array 2. Time-domain correction | RR, HR, range | A: 1.86 m, 65° B: 5.28 m, 95° | 6.85 | 30° |
| [26] | SCSFCW | 8.5–9.5 | 0 | 1. Subharmonic up/down mixer 2. Low PRF and high CPI | RR, HR, range | A: 1.35 m, 60° B: 2.85 m, 90° C: 2.1 m, 110° | 5 | 20° |
| This work | SC FMCW/CW SIL | 5.725–5.875 | 10 | 1. Frequency–phase relationship 2. Frequency estimation method | RR, HR, range | A: 1.9 m, 90° B: 2.5 m, 95° | 0.6 | 5° |
在徑向（0.6，全表最小）與方位（5°，全表最小）同時取得最佳值，而且發射頻率只有 5.8 GHz、頻寬只有 150 MHz、輸出功率 10 dBm — 硬體成本遠低於 24 GHz 那一組。測距誤差 $\lt 10$ cm，生理頻率誤差 $\lt 0.05$ Hz。It reaches the best value in the table for range (0.6) and for azimuth (5°) at the same time, and it does so with a transmit frequency of only 5.8 GHz, a bandwidth of only 150 MHz and an output power of 10 dBm — hardware far cheaper than the 24 GHz group. The ranging error is $\lt 10$ cm and the vital-sign frequency error $\lt 0.05$ Hz.径方向（0.6、表中最小）と方位方向（5°、表中最小）で同時に最良値を達成している。しかも送信周波数はわずか 5.8 GHz、帯域幅は 150 MHz、出力電力は 10 dBm であり、24 GHz 群よりはるかに安価なハードウェアで実現している。測距誤差は $\lt 10$ cm、生体信号の周波数誤差は $\lt 0.05$ Hz である。
| # | 式子Equation式 | 用途 / 讀法What it is for / how to read it用途／読み方 |
|---|---|---|
| (1) | $\omega_{\rm TX} = \omega_{\rm LO} + \omega_{\rm out}$ | 單次上轉換；2.4 + (3.325…3.475) = 5.725…5.875 GHzA single up-conversion; 2.4 + (3.325…3.475) = 5.725…5.875 GHz単一のアップ変換。2.4 + (3.325…3.475) = 5.725…5.875 GHz |
| (2) | $\omega_{\rm LO}(t)=\omega_{\rm LO}+2\pi K_v V_t(t)$ | 鋸齒波 $V_t$ 掃 VCO；$V_t = 0$ 時退回 CW 模式The sawtooth $V_t$ sweeps the VCO; $V_t = 0$ falls back to CW modeのこぎり波 $V_t$ が VCO を掃引する。$V_t = 0$ で CW モードに戻る |
| (3) | $\omega_{\rm out}=\omega_{\rm osc}-\sum_i\Delta\omega_{{\rm LR},i}\sin\alpha_i$ | 多目標注入下 SILO 的輸出頻率The SILO output frequency under multi-target injection複数目標が注入されたときの SILO 出力周波数 |
| (4) | $\Delta\omega_{{\rm LR},i}=\dfrac{\omega_{\rm osc}E_{{\rm inj},i}}{2QE_{\rm osc}}$ | 鎖定範圍；SCSIL 中為常數；也是多人資訊配對的依據The locking range; constant in the SCSIL; also the basis for pairing multi-subject informationロッキングレンジ。SCSIL では定数であり、複数人の情報を対応付ける根拠でもある |
| (5) | $\alpha_i \approx \alpha_{\rm IF}+(\omega_{\rm TX}+2\pi K_vV_t)\tau_{s,i}$ | 注入相位差 = IF 項 + RF 項Injection phase difference = the IF term + the RF term注入位相差 = IF 項 + RF 項 |
| (7)(8) | $\tau_{s,i}=\tau_{{\rm int},2}+\tau_{{\rm int},3}+\dfrac{2(R_i+x_i)}{c}$ | 內部延遲必須先量出來扣掉The internal delays must be measured and subtracted first内部遅延はあらかじめ測定して差し引く必要がある |
| (11) | $S_{\rm BB,FM}=\pi{\rm Mod}(\omega_{\rm osc}\tau_d,\pi)+S_b(t)$ | arctangent 解調後的基頻訊號The baseband signal after arctangent demodulationアークタンジェント復調後のベースバンド信号 |
| (12) | $S_b(t)=-\sum_i\Delta\omega_{{\rm LR},i}\tau_d\sin\alpha_i$ | 拍頻訊號；振幅 $\propto \Delta\omega_{{\rm LR},i}$The beat signal; amplitude $\propto \Delta\omega_{{\rm LR},i}$ビート信号。振幅は $\propto \Delta\omega_{{\rm LR},i}$ |
| (14) | $\omega_{s,i}=\dfrac{\omega_B}{t_s}\tau_{s,i}$ | tone 頻率正比於延遲Tone frequency is proportional to delayトーン周波数は遅延に比例する |
| (15) | $R_i=\dfrac{c}{2}\left[\dfrac{\omega_{s,i}}{\omega_B}t_s-\tau_{{\rm int},2}-\tau_{{\rm int},3}\right]$ | 測距主公式The main ranging formula測距の主要式 |
| (16) | $\Delta\tau_s = 1/f_B,\quad \Delta R = c/(2f_B)$ | 理論解析度；150 MHz ⇒ 6.67 ns / 1 mThe theoretical resolution; 150 MHz ⇒ 6.67 ns / 1 m理論分解能。150 MHz ⇒ 6.67 ns / 1 m |
| (17) | $\phi_{s,i}=2\pi{\rm Mod}\!\left(\alpha_{\rm IF}+\omega_{\rm TX}\frac{\omega_{s,i}}{\omega_B}t_s+\frac{\pi}{2},2\pi\right)$ | 頻率–相位關係；解析度失效的偵測器The frequency–phase relationship; the detector for resolution failure周波数–位相関係。分解能破綻の検出器 |
| (18) | $S_b(\omega_{s,A})=$ 理想 tone $+$ 其他人的互相干擾$S_b(\omega_{s,A})=$ the ideal tone $+$ mutual interference from the others$S_b(\omega_{s,A})=$ 理想トーン $+$ 他の被験者からの相互干渉 | 說明重疊為何扭曲振幅與相位Explains why overlap distorts both amplitude and phase重なりが振幅と位相の双方を歪める理由を説明する |
| (19) | $S_{\rm BB,CW}\ni \Delta\omega_{{\rm LR},i}\tau_d\cos\alpha_{0,i}\dfrac{2\omega_{\rm TX}x_i(t)}{c}$ | CW 模式生理訊號；靈敏度 $\propto \omega_{\rm TX}$The CW-mode vital-sign signal; sensitivity $\propto \omega_{\rm TX}$CW モードの生体信号。感度は $\propto \omega_{\rm TX}$ |
| (21) | $y_n=\sum_{i=1}^{K}g_ie^{j\omega_in}+\varepsilon_n$ | FEA 的訊號模型（兩個模式共用）The FEA signal model (shared by both modes)FEA の信号モデル（両モード共通） |
| (26) | $\hat g = \dfrac{\mathbf{y}^H\mathbf{e}(\omega)}{\mathbf{e}(\omega)^H\mathbf{e}(\omega)}$ | 消去 $g$，把問題降成單變數Eliminate $g$ and reduce the problem to a single variable$g$ を消去し、問題を 1 変数に落とす |
| (28) | $J(\omega)=-\dfrac{|\mathbf{y}^H\mathbf{e}(\omega)|^2}{\mathbf{e}(\omega)^H\mathbf{e}(\omega)}$ | 連續頻率軸上的週期圖；要最小化的成本函數A periodogram on the continuous frequency axis; the cost function to minimise連続周波数軸上のペリオドグラム。最小化すべきコスト関数 |
| (29) | $\hat\omega^{(l+1)}=\hat\omega^{(l)}-J'/J''$ | Newton 法細估計Fine estimation by Newton's methodニュートン法による精推定 |
| (30) | $\hat{\mathbf{g}}=[\mathbf{E}^H\mathbf{E}]^{-1}\mathbf{E}^H\mathbf{y}$ | 移除前的 LS 振幅精算The LS amplitude refinement before removal除去前の LS による振幅精算 |
作者自己開的兩個題目：(1) 二維 FEA，用於 range–Doppler mapping 的強健化；(2) 降低運算誤差、提升效率，以即時取得胸腔位移波形。第 (2) 項若成功，FMCW 與 CW 兩個模式就能合併，不必再切換。The authors leave two problems open: (1) a two-dimensional FEA, to make range–Doppler mapping robust; (2) lower computational error and higher efficiency, so that the chest displacement waveform can be obtained in real time. If (2) succeeds, the FMCW and CW modes could be merged and the switching dropped altogether.著者らが残した課題は二つある。(1) range–Doppler マッピングをロバスト化するための 2 次元 FEA。(2) 演算誤差の低減と効率の向上により、胸郭変位波形をリアルタイムで取得すること。(2) が実現すれば FMCW モードと CW モードを統合でき、切り替えそのものが不要になる。
Problem: 本文原型 $f_B = 150$ MHz、$t_s = 0.01$ s。求 (a) 延遲解析度 $\Delta\tau_s$；(b) 距離解析度 $\Delta R$；(c) 拍頻頻譜中兩個相鄰 tone 的最小頻率間距；(d) 若要把 $\Delta R$ 壓到 10 cm，需要多少頻寬？The prototype has $f_B = 150$ MHz and $t_s = 0.01$ s. Find (a) the delay resolution $\Delta\tau_s$; (b) the range resolution $\Delta R$; (c) the minimum frequency spacing of two adjacent tones in the beat spectrum; (d) the bandwidth needed to bring $\Delta R$ down to 10 cm.本論文の試作機は $f_B = 150$ MHz、$t_s = 0.01$ s である。(a) 遅延分解能 $\Delta\tau_s$、(b) 距離分解能 $\Delta R$、(c) ビートスペクトルにおける隣接 2 トーンの最小周波数間隔、(d) $\Delta R$ を 10 cm まで縮めるのに必要な帯域幅を求めよ。
(a) $\Delta\tau_s = 1/f_B = 1/(1.5\times10^8) = \mathbf{6.67\ ns}$
(b) $\Delta R = c/(2f_B) = 3\times10^8/(3\times10^8) = \mathbf{1\ m}$
(c) 由式 (13)：From (13):式 (13) より： $1/t_s = 1/0.01 = \mathbf{100\ Hz}$
(d) $f_B = c/(2\Delta R) = 3\times10^8/(2\times0.1) = \mathbf{1.5\ GHz}$ — 是本文的 10 倍。這就是為什麼「改演算法」比「加頻寬」划算。ten times what this paper uses. That is why improving the algorithm pays better than adding bandwidth.本論文の 10 倍である。アルゴリズムを改良する方が帯域幅を広げるより割に合う理由がここにある。
Problem: 電纜實驗中量到拍頻峰值 $f_s = 281.63$ Hz。已知 $f_B = 150$ MHz、$t_s = 0.01$ s、$\tau_{{\rm int},2}=\tau_{{\rm int},3}=2.24$ ns。求 (a) $\tau_{s}$；(b) 無線（電纜）傳播延遲 $\tau_p$；(c) 等效距離 $R$。In the cable experiment the beat peak is measured at $f_s = 281.63$ Hz, with $f_B = 150$ MHz, $t_s = 0.01$ s and $\tau_{{\rm int},2}=\tau_{{\rm int},3}=2.24$ ns. Find (a) $\tau_{s}$; (b) the wireless (cable) propagation delay $\tau_p$; (c) the equivalent range $R$.ケーブル実験でビートのピークが $f_s = 281.63$ Hz と測定された。$f_B = 150$ MHz、$t_s = 0.01$ s、$\tau_{{\rm int},2}=\tau_{{\rm int},3}=2.24$ ns とする。(a) $\tau_{s}$、(b) 無線（ケーブル）伝搬遅延 $\tau_p$、(c) 等価距離 $R$ を求めよ。
(a) 由式 (14)，From (14),式 (14) より、$\tau_s = \dfrac{f_s}{f_B}t_s = \dfrac{281.63}{1.5\times10^8}\times0.01 = 1.878\times10^{-8} = \mathbf{18.78\ ns}$
(b) $\tau_p = \tau_s - \tau_{{\rm int},2}-\tau_{{\rm int},3} = 18.78 - 2.24 - 2.24 = \mathbf{14.30\ ns}$ — 正是 Cable A 的標定延遲。exactly the nominal delay of Cable A.これはまさに Cable A の公称遅延である。
(c) 由式 (15)，From (15),式 (15) より、$R = \dfrac{c}{2}\tau_p = 1.5\times10^8\times14.30\times10^{-9} = \mathbf{2.145\ m}$
Problem: 從式 (4) 出發，解釋為什麼 FMSIL 雷達（直接掃 SILO 頻率）會出現 FM–AM 非線性失真，而 SCSIL 不會。Starting from (4), explain why an FMSIL radar (which sweeps the SILO frequency directly) suffers FM–AM nonlinear distortion while the SCSIL does not.式 (4) を出発点として、FMSIL レーダー（SILO の周波数を直接掃引する）に FM–AM 非線形歪みが生じ、SCSIL には生じない理由を説明せよ。
式 (4)：$\Delta\omega_{\rm LR} = \dfrac{\omega_{\rm osc}E_{\rm inj}}{2QE_{\rm osc}}$ — 鎖定範圍正比於 $\omega_{\rm osc}$。Equation (4): $\Delta\omega_{\rm LR} = \dfrac{\omega_{\rm osc}E_{\rm inj}}{2QE_{\rm osc}}$ — the locking range is proportional to $\omega_{\rm osc}$.式 (4)：$\Delta\omega_{\rm LR} = \dfrac{\omega_{\rm osc}E_{\rm inj}}{2QE_{\rm osc}}$ — ロッキングレンジは $\omega_{\rm osc}$ に比例する。
FMSIL：掃頻時 $\omega_{\rm osc}$ 本身在變（例如 2.4 → 2.7 GHz），所以 $\Delta\omega_{\rm LR}$ 在掃頻週期內跟著變。而由式 (3)，SILO 輸出頻率的擺幅正比於 $\Delta\omega_{\rm LR}$ — 於是頻率調變的深度隨掃頻位置變化，這就是 FM–AM 轉換：本該是純頻率資訊的東西，混進了振幅變化。此外 $Q$ 與 $E_{\rm osc}$ 也隨頻率變，加劇非線性並影響穩定度。FMSIL: during the sweep $\omega_{\rm osc}$ itself moves (say 2.4 → 2.7 GHz), so $\Delta\omega_{\rm LR}$ moves with it over the sweep period. By (3), the swing of the SILO output frequency is proportional to $\Delta\omega_{\rm LR}$ — hence the depth of the frequency modulation varies with position in the sweep, which is the FM–AM conversion: what ought to be pure frequency information has amplitude variation mixed into it. On top of that $Q$ and $E_{\rm osc}$ also vary with frequency, aggravating the nonlinearity and hurting stability.FMSIL：掃引中は $\omega_{\rm osc}$ 自体が動く（たとえば 2.4 → 2.7 GHz）ため、掃引周期内で $\Delta\omega_{\rm LR}$ もそれに追随して変動する。式 (3) より SILO 出力周波数の振れ幅は $\Delta\omega_{\rm LR}$ に比例するので、周波数変調の深さが掃引位置によって変わる。これが FM–AM 変換であり、純粋な周波数情報であるべきものに振幅変動が混入する。さらに $Q$ と $E_{\rm osc}$ も周波数とともに変わり、非線形性を悪化させ安定度にも影響する。
SCSIL：$\omega_{\rm osc}$ 恆為 2.4 GHz，掃頻完全發生在外部 VCO 上。因此 $\Delta\omega_{\rm LR}$ 在整個 $t_s$ 內是常數，式 (13) 中每個 tone 的振幅才有明確意義（正比於該目標的反射功率），也才能拿來做 §8.3 的振幅配對。SCSIL: $\omega_{\rm osc}$ stays at 2.4 GHz and the sweeping happens entirely in the external VCO. $\Delta\omega_{\rm LR}$ is therefore constant over the whole of $t_s$, which is what gives each tone amplitude in (13) a definite meaning (proportional to that target's reflected power) and makes the amplitude pairing of §8.3 possible.SCSIL：$\omega_{\rm osc}$ は 2.4 GHz のまま動かず、掃引はすべて外部 VCO で行われる。したがって $\Delta\omega_{\rm LR}$ は $t_s$ 全体で定数となり、式 (13) の各トーン振幅に明確な意味（当該目標の反射電力に比例）が生まれ、§8.3 の振幅による対応付けが可能になる。
Problem: 感測週期 $T = 20$ s。求 (a) FFT 的頻率解析度；(b) 換算成 breaths/min 與 beats/min；(c) FEA 做到 0.03 Hz 時對應多少 beats/min；(d) 若兩人心率差 2 beats/min，FFT 分得開嗎？FEA 呢？The sensing period is $T = 20$ s. Find (a) the FFT frequency resolution; (b) its equivalent in breaths/min and beats/min; (c) what 0.03 Hz from the FEA corresponds to in beats/min; (d) if two people's heart rates differ by 2 beats/min, can the FFT separate them? Can the FEA?センシング周期は $T = 20$ s である。(a) FFT の周波数分解能、(b) それを breaths/min と beats/min に換算した値、(c) FEA の 0.03 Hz が何 beats/min に相当するか、(d) 2 名の心拍数の差が 2 beats/min のとき FFT で分離できるか、FEA ではどうか、を求めよ。
(a) $\Delta f = 1/T = 1/20 = \mathbf{0.05\ Hz}$
(b) $0.05\ {\rm Hz}\times 60 = \mathbf{3.0}$ breaths/min（或 beats/min）breaths/min (or beats/min)breaths/min（あるいは beats/min）
(c) $0.03\times60 = \mathbf{1.8}$ beats/min
(d) FFT：2 < 3.0 ⇒ 分不開。FEA：2 > 1.8 ⇒ 剛好分得開。這 1.2 beats/min 的差距就是 FEA 在 CW 模式的價值。FFT: 2 < 3.0 ⇒ cannot separate them. FEA: 2 > 1.8 ⇒ just barely separates them. That 1.2 beats/min margin is what the FEA is worth in CW mode.FFT：2 < 3.0 ⇒ 分離できない。FEA：2 > 1.8 ⇒ ぎりぎり分離できる。この 1.2 beats/min の差こそが CW モードにおける FEA の価値である。
Problem: 完整寫出「SIL 架構不能用 MUSIC」的推理鏈，並說明為什麼「模擬顯示 MUSIC 精度與 FEA 相當」這件事不構成反駁。Write out in full the chain of reasoning for “MUSIC cannot be used on an SIL architecture”, and explain why the fact that simulation shows MUSIC to be as accurate as the FEA is not a counter-argument.「SIL 構成では MUSIC が使えない」という推論の鎖を余さず書き出し、「シミュレーションでは MUSIC の精度が FEA と同等である」という事実が反論にならない理由を説明せよ。
為什麼模擬結果不構成反駁：論文的模擬是加白高斯雜訊 (AWGN) 的理想情境 — 在那裡 MUSIC 的前提剛好成立，所以表現當然好。但真實 SIL 硬體的雜訊是 −10 dB/decade 的有色雜訊。模擬證明的是「FEA 在 MUSIC 的主場也不輸」，而不是「MUSIC 可以搬到 SIL 上」。Why the simulation is not a counter-argument: the paper's simulation is an idealised setting with additive white Gaussian noise (AWGN) — there MUSIC's premise happens to hold, so of course it performs well. But the noise of real SIL hardware is coloured, at −10 dB/decade. The simulation proves that the FEA holds its own on MUSIC's home ground; it does not prove that MUSIC can be moved onto an SIL system.シミュレーション結果が反論にならない理由：論文のシミュレーションは加法性白色ガウス雑音 (AWGN) を仮定した理想条件である。そこでは MUSIC の前提がたまたま成立するため、性能が良いのは当然である。しかし実際の SIL ハードウェアの雑音は −10 dB/decade の有色雑音である。シミュレーションが示したのは「MUSIC の土俵でも FEA は引けを取らない」ことであって、「MUSIC を SIL に移植できる」ことではない。
Problem: 用 $\omega_{\rm TX}=2\pi\times5.725$ GHz、$f_B=150$ MHz、$t_s=0.01$ s，求 (a) $d\phi_s/d\tau_s$；(b) $d\phi_s/df_s$（度/Hz）；(c) 相位繞完一圈需要多少 Hz 的頻率變化；(d) 由此說明為什麼這個檢查只能當「二元警報器」。With $\omega_{\rm TX}=2\pi\times5.725$ GHz, $f_B=150$ MHz and $t_s=0.01$ s, find (a) $d\phi_s/d\tau_s$; (b) $d\phi_s/df_s$ in degrees per Hz; (c) the frequency change needed for the phase to wrap once; (d) hence explain why this test can only serve as a binary alarm.$\omega_{\rm TX}=2\pi\times5.725$ GHz、$f_B=150$ MHz、$t_s=0.01$ s として、(a) $d\phi_s/d\tau_s$、(b) $d\phi_s/df_s$（度/Hz）、(c) 位相が 1 周するのに必要な周波数変化、を求め、(d) そこからこの検査が「二値の警報器」にしかなり得ない理由を説明せよ。
(a) 由式 (17)，$\dfrac{\omega_{s,i}}{\omega_B}t_s = \tau_{s,i}$，所以 $\dfrac{d\phi_s}{d\tau_s} = \omega_{\rm TX} = 2\pi\times5.725\times10^9$ rad/s。From (17), $\dfrac{\omega_{s,i}}{\omega_B}t_s = \tau_{s,i}$, so $\dfrac{d\phi_s}{d\tau_s} = \omega_{\rm TX} = 2\pi\times5.725\times10^9$ rad/s.式 (17) より $\dfrac{\omega_{s,i}}{\omega_B}t_s = \tau_{s,i}$ であるから、$\dfrac{d\phi_s}{d\tau_s} = \omega_{\rm TX} = 2\pi\times5.725\times10^9$ rad/s。
(b) $\dfrac{d\tau_s}{df_s}=\dfrac{t_s}{f_B}=\dfrac{0.01}{1.5\times10^8}=66.7$ ps/Hz。故 , hence 。したがって $\dfrac{d\phi_s}{df_s}=2\pi\times5.725\times10^9\times66.7\times10^{-12}=2.40$ rad/Hz $= \mathbf{137^\circ/Hz}$
(c) $360/137 = \mathbf{2.62\ Hz}$
(d) FFT 的 bin 間距是 100 Hz，量測峰值又只讀到整數 Hz — 而 1 Hz 的誤差就讓理論相位轉 137°。所以「量測相位」與「理論相位」的差值沒有可線性內插的物理意義；它只能回答「吻合 / 嚴重不吻合」。這也是 Table II 中連已分離的 Fig. 5(a) 都顯示大落差的原因（見 §6.3 的閱讀注意）。The FFT bin spacing is 100 Hz and the measured peak is read only to the nearest Hz — yet a 1 Hz error rotates the theoretical phase by 137°. So the difference between the measured and the theoretical phase has no physical meaning that can be interpolated linearly; it can only answer “agrees / badly disagrees”. This is also why, in Table II, even the already-separated Fig. 5(a) shows a large discrepancy (see the reading note in §6.3).FFT のビン間隔は 100 Hz であり、しかも実測ピークは整数 Hz までしか読めない — ところが 1 Hz の誤差で理論位相は 137° 回ってしまう。したがって「実測位相」と「理論位相」の差には線形補間できる物理的意味はない。答えられるのは「一致／大きく不一致」だけである。Table II で、すでに分離しているはずの Fig. 5(a) にさえ大きな食い違いが現れる理由もこれである（§6.3 の読解上の注意を参照）。
Problem: Table III 第 4 列（Cable A 14.3 ns、Cable B 15.85 ns）中 FEA 對 B 的誤差達 27.95%。用式 (16) 說明為什麼，並算出「FEA 可用」的最小延遲差與對應的最小距離間距。In row 4 of Table III (Cable A 14.3 ns, Cable B 15.85 ns) the FEA error for B reaches 27.95%. Use (16) to explain why, and compute the minimum delay difference — and the corresponding minimum range spacing — for which the FEA is usable.Table III の第 4 行（Cable A 14.3 ns、Cable B 15.85 ns）では B に対する FEA の誤差が 27.95% に達する。式 (16) を用いてその理由を説明し、「FEA が使える」最小遅延差と、それに対応する最小距離間隔を求めよ。
延遲差 $= 15.85 - 14.3 = 1.55$ ns。理論延遲解析度 $\Delta\tau_s = 1/f_B = 6.67$ ns。比值 $= 1.55/6.67 = \mathbf{0.23}$。The delay difference is $15.85 - 14.3 = 1.55$ ns. The theoretical delay resolution is $\Delta\tau_s = 1/f_B = 6.67$ ns. The ratio is $1.55/6.67 = \mathbf{0.23}$.遅延差は $15.85 - 14.3 = 1.55$ ns。理論遅延分解能は $\Delta\tau_s = 1/f_B = 6.67$ ns。比は $1.55/6.67 = \mathbf{0.23}$ である。
論文明確指出：當延遲差小於 0.25 倍理論解析度時，FEA 的估計誤差會急遽上升。 0.23 $\lt$ 0.25 ⇒ 已越界，所以 27.95% 的誤差是可預期的，不是實作錯誤。The paper states explicitly that once the delay difference falls below 0.25 times the theoretical resolution, the FEA estimation error rises sharply. Here 0.23 $\lt$ 0.25 ⇒ the boundary has been crossed, so the 27.95% error is to be expected, not an implementation mistake.論文は明言している — 遅延差が理論分解能の 0.25 倍を下回ると、FEA の推定誤差は急激に増大する。ここでは 0.23 $\lt$ 0.25 ⇒ 境界を越えており、27.95% の誤差は想定内であって実装の誤りではない。
可用邊界：$\Delta\tau_{\min} = 0.25\times6.67 = \mathbf{1.67\ ns}$，對應距離間距 $\Delta R_{\min} = \dfrac{c}{2}\times1.67\ {\rm ns} = \mathbf{25\ cm}$。The usable boundary: $\Delta\tau_{\min} = 0.25\times6.67 = \mathbf{1.67\ ns}$, corresponding to a range spacing of $\Delta R_{\min} = \dfrac{c}{2}\times1.67\ {\rm ns} = \mathbf{25\ cm}$.使用可能な境界：$\Delta\tau_{\min} = 0.25\times6.67 = \mathbf{1.67\ ns}$、対応する距離間隔は $\Delta R_{\min} = \dfrac{c}{2}\times1.67\ {\rm ns} = \mathbf{25\ cm}$ である。
對照：Table III 第 2、3 列的比值分別是 $6.9/6.67 = 1.03$ 與 $2.9/6.67 = 0.43$，都在邊界之上，FEA 誤差 $\lt 3\%$ — 一致。而 §8 的人體實驗最小間距 0.6 m（比值 0.6），也在安全區內。Cross-check: rows 2 and 3 of Table III give ratios of $6.9/6.67 = 1.03$ and $2.9/6.67 = 0.43$, both above the boundary, with FEA errors $\lt 3\%$ — consistent. And the smallest spacing in the human experiments of §8 is 0.6 m (a ratio of 0.6), also inside the safe region.照合：Table III の第 2・3 行の比はそれぞれ $6.9/6.67 = 1.03$ と $2.9/6.67 = 0.43$ で、いずれも境界より上にあり、FEA 誤差は $\lt 3\%$ — 整合する。§8 の人体実験における最小間隔 0.6 m（比 0.6）も安全領域の内側である。
Problem: 客戶要求「兩人徑向間距 30 cm 也能分辨」。假設沿用本文的 FEA（可把有效解析度改善到 0.6 倍理論值，且延遲差不得小於 0.25 倍理論解析度）。求 (a) 所需的理論 $\Delta R$ 與頻寬 $f_B$；(b) 若 SILO 固定 2.4 GHz，VCO 需要多大掃頻範圍；(c) 檢查 0.25 倍邊界是否被違反；(d) 指出一個此設計會遇到的新問題。A customer asks for two people 30 cm apart in range to be resolved. Assume the paper's FEA is reused (effective resolution improved to 0.6 times the theoretical value, and the delay difference must not fall below 0.25 times the theoretical resolution). Find (a) the required theoretical $\Delta R$ and bandwidth $f_B$; (b) the VCO sweep range needed if the SILO stays at 2.4 GHz; (c) whether the 0.25 boundary is violated; (d) one new problem this design will run into.顧客から「径方向間隔 30 cm の 2 名を分離したい」との要求があった。本論文の FEA をそのまま用いる（実効分解能は理論値の 0.6 倍まで改善でき、遅延差は理論分解能の 0.25 倍を下回ってはならない）と仮定する。(a) 必要な理論 $\Delta R$ と帯域幅 $f_B$、(b) SILO を 2.4 GHz に固定した場合に VCO が必要とする掃引範囲、(c) 0.25 倍の境界を侵していないかの確認、(d) この設計で新たに生じる問題を一つ挙げよ。
(a) 要在 0.6 倍理論解析度處可用 ⇒ $\Delta R = 0.30/0.6 = \mathbf{0.5\ m}$。故 $f_B = c/(2\Delta R) = 3\times10^8/1 = \mathbf{300\ MHz}$（本文的 2 倍）。Usable at 0.6 times the theoretical resolution ⇒ $\Delta R = 0.30/0.6 = \mathbf{0.5\ m}$. Hence $f_B = c/(2\Delta R) = 3\times10^8/1 = \mathbf{300\ MHz}$, twice what the paper uses.理論分解能の 0.6 倍で使えるとすると ⇒ $\Delta R = 0.30/0.6 = \mathbf{0.5\ m}$。よって $f_B = c/(2\Delta R) = 3\times10^8/1 = \mathbf{300\ MHz}$、本論文の 2 倍である。
(b) VCO 需掃 300 MHz，例如 3.325 → 3.625 GHz；發射頻段變成 5.725 → 6.025 GHz。注意這已超出 5.725–5.875 GHz 的 ISM 頻段上限 — 實務上得改用其他頻段或改變頻率規劃（例如把 SILO 移到較低頻）。The VCO must sweep 300 MHz, e.g. 3.325 → 3.625 GHz, putting the transmit band at 5.725 → 6.025 GHz. Note that this already exceeds the 5.725–5.875 GHz ISM band — in practice one would have to use a different band or rework the frequency plan (for instance move the SILO lower).VCO は 300 MHz を掃引する必要がある。たとえば 3.325 → 3.625 GHz とすれば、送信帯域は 5.725 → 6.025 GHz となる。これはすでに 5.725–5.875 GHz の ISM 帯上限を超えている点に注意 — 実務上は別の周波数帯を使うか、周波数プランを見直す（たとえば SILO をより低い周波数へ移す）必要がある。
(c) $\Delta\tau_s = 1/(3\times10^8) = 3.33$ ns；0.25 倍邊界 $= 0.83$ ns，對應距離間距 $12.5$ cm。目標 30 cm 對應延遲差 $2\times0.30/c = 2$ ns $\gt 0.83$ ns ⇒ 沒有違反，安全。$\Delta\tau_s = 1/(3\times10^8) = 3.33$ ns; the 0.25 boundary is $0.83$ ns, corresponding to a range spacing of $12.5$ cm. The 30 cm target corresponds to a delay difference of $2\times0.30/c = 2$ ns $\gt 0.83$ ns ⇒ no violation; it is safe.$\Delta\tau_s = 1/(3\times10^8) = 3.33$ ns。0.25 倍の境界は $0.83$ ns で、距離間隔にして $12.5$ cm に相当する。目標の 30 cm に対応する遅延差は $2\times0.30/c = 2$ ns $\gt 0.83$ ns ⇒ 違反していない。安全である。
(d) 可能的新問題（任一即可）：
• 頻譜合規：300 MHz 頻寬放不進 5.8 GHz ISM 頻段（見 (b)）。
• 混頻器與 LNA 的頻寬/平坦度：Table I 的元件（例如 coupler 0.7–2.5 GHz、splitter 1 為 0.5–5 GHz）需重新選型。
• VCO 線性度：掃頻範圍加倍後 $K_v$ 的非線性更明顯，而本架構刻意避開了預失真校正 — 得重新評估。
• SNR：由 §7 的模擬，REE 對 SNR 敏感；頻寬加倍使每個 bin 的雜訊功率上升，須以天線增益或發射功率補回。Any one of the following:
• Spectrum compliance: 300 MHz does not fit inside the 5.8 GHz ISM band (see (b)).
• Mixer and LNA bandwidth / flatness: the components of Table I (the coupler at 0.7–2.5 GHz, splitter 1 at 0.5–5 GHz) would have to be reselected.
• VCO linearity: doubling the sweep range makes the nonlinearity of $K_v$ more pronounced, and this architecture deliberately avoids predistortion calibration — it would need re-evaluating.
• SNR: from the simulation in §7, the REE is sensitive to SNR; doubling the bandwidth raises the noise power per bin, which must be made up with antenna gain or transmit power.次のいずれか一つでよい。
• 周波数コンプライアンス：300 MHz の帯域幅は 5.8 GHz ISM 帯に収まらない（(b) 参照）。
• ミキサと LNA の帯域幅／平坦度：Table I の部品（カプラ 0.7–2.5 GHz、splitter 1 は 0.5–5 GHz など）を選定し直す必要がある。
• VCO の直線性：掃引範囲が倍になると $K_v$ の非線形性がより顕著になる。本構成はプリディストーション校正を意図的に避けているため、再評価が必要となる。
• SNR：§7 のシミュレーションが示すとおり REE は SNR に敏感である。帯域幅を倍にすると 1 ビンあたりの雑音電力が増えるため、アンテナ利得か送信電力で補う必要がある。