信號與系統 — Oppenheim, Willsky（第二版）Signals & Systems — Oppenheim, Willsky (2nd Edition)信号とシステム — Oppenheim, Willsky（第2版）

計算 $x(t) = e^{-2t}u(t)$ 的總能量。Compute the total energy of $x(t) = e^{-2t}u(t)$.$x(t) = e^{-2t}u(t)$ の全エネルギーを求めなさい。

已知 $x(t)$ 定義於 $0 \le t \le 2$，請畫出 $x(2t - 3)$。Given $x(t)$ defined for $0 \le t \le 2$, sketch $x(2t - 3)$.$0 \le t \le 2$ で定義された $x(t)$ について、$x(2t - 3)$ を描きなさい。

將 $x(t) = e^{t}u(t)$ 分解成偶部與奇部。Decompose $x(t) = e^{t}u(t)$ into even and odd parts.$x(t) = e^{t}u(t)$ を偶部と奇部に分解しなさい。

判斷 $x[n] = \cos\!\left(\frac{6\pi n}{7}\right)$ 是否為週期信號；若是，求其基本週期。Determine if $x[n] = \cos\!\left(\frac{6\pi n}{7}\right)$ is periodic. If so, find the fundamental period.$x[n] = \cos\!\left(\frac{6\pi n}{7}\right)$ が周期的かどうかを判定し、周期的ならば基本周期を求めなさい。

$x(t) = \cos(2t) + \sin(\pi t)$ 是週期信號嗎？Is $x(t) = \cos(2t) + \sin(\pi t)$ periodic?$x(t) = \cos(2t) + \sin(\pi t)$ は周期的でしょうか。

判斷系統 $y(t) = t\cdot x(t)$ 是否為線性。Determine if the system $y(t) = t\cdot x(t)$ is linear.システム $y(t) = t\cdot x(t)$ が線形かどうかを判定しなさい。

系統 $y[n] = n\cdot x[n]$ 是非時變的嗎？Is the system $y[n] = n\cdot x[n]$ time-invariant?システム $y[n] = n\cdot x[n]$ は時不変でしょうか。

判斷 $y(t) = x(t-2)$ 是否 (a) 因果、(b) 穩定。Determine if $y(t) = x(t-2)$ is (a) causal, (b) stable.$y(t) = x(t-2)$ が (a) 因果的か、(b) 安定かを判定しなさい。

計算 $x(t) = A\cos(\omega_0 t + \phi)$ 的平均功率。Compute the average power of $x(t) = A\cos(\omega_0 t + \phi)$.$x(t) = A\cos(\omega_0 t + \phi)$ の平均電力を求めなさい。

對 $y(t) = \int_{-\infty}^{t} x(\tau)\,d\tau$，判斷其線性、非時變性、因果性與穩定性。For $y(t) = \int_{-\infty}^{t} x(\tau)\,d\tau$, determine linearity, time-invariance, causality, and stability.$y(t) = \int_{-\infty}^{t} x(\tau)\,d\tau$ について、線形性・時不変性・因果性・安定性を判定しなさい。

計算 $y[n] = x[n]*h[n]$，其中 $x[n] = \{1, 2, 1\}$、$h[n] = \{1, 1, 1\}$（兩者皆從 $n=0$ 開始）。Compute $y[n] = x[n]*h[n]$ where $x[n] = \{1, 2, 1\}$ and $h[n] = \{1, 1, 1\}$ (both starting at $n=0$).$x[n] = \{1, 2, 1\}$、$h[n] = \{1, 1, 1\}$（いずれも $n=0$ から始まる）のとき $y[n] = x[n]*h[n]$ を求めなさい。

計算 $y(t) = e^{-t}u(t) * u(t)$。Compute $y(t) = e^{-t}u(t) * u(t)$.$y(t) = e^{-t}u(t) * u(t)$ を求めなさい。

在 $a \ne b$ 的條件下計算 $y(t) = e^{-at}u(t) * e^{-bt}u(t)$。Compute $y(t) = e^{-at}u(t) * e^{-bt}u(t)$ for $a \ne b$.$a \ne b$ のとき $y(t) = e^{-at}u(t) * e^{-bt}u(t)$ を求めなさい。

判斷 $h(t) = e^{2t}u(-t)$ 的系統是否穩定。Determine if the system with $h(t) = e^{2t}u(-t)$ is stable.$h(t) = e^{2t}u(-t)$ をもつシステムが安定かどうかを判定しなさい。

$h[n] = \left(\frac{1}{3}\right)^n u[n] + \left(\frac{1}{2}\right)^n u[n]$ 的系統是否為因果且穩定？Is the system with $h[n] = \left(\frac{1}{3}\right)^n u[n] + \left(\frac{1}{2}\right)^n u[n]$ causal and stable?$h[n] = \left(\frac{1}{3}\right)^n u[n] + \left(\frac{1}{2}\right)^n u[n]$ をもつシステムは因果的かつ安定でしょうか。

兩個線性非時變系統串聯：$h_1(t) = e^{-t}u(t)$ 與 $h_2(t) = e^{-2t}u(t)$。求整體的脈衝響應。Two LTI systems in cascade: $h_1(t) = e^{-t}u(t)$ and $h_2(t) = e^{-2t}u(t)$. Find the overall impulse response.2 つの線形時不変システムの縦続接続：$h_1(t) = e^{-t}u(t)$ と $h_2(t) = e^{-2t}u(t)$。全体のインパルス応答を求めなさい。

假設系統為因果，求 $y[n] - \tfrac{1}{2}y[n-1] = x[n]$ 的脈衝響應。Find the impulse response of $y[n] - \tfrac{1}{2}y[n-1] = x[n]$, assuming causality.因果性を仮定して、$y[n] - \tfrac{1}{2}y[n-1] = x[n]$ のインパルス応答を求めなさい。

已知 $h(t) = e^{-3t}u(t)$，求單位步階響應 $s(t)$。Given $h(t) = e^{-3t}u(t)$, find the unit step response $s(t)$.$h(t) = e^{-3t}u(t)$ が与えられたとき、単位ステップ応答 $s(t)$ を求めなさい。

假設系統為因果，對 $\dfrac{dy}{dt} + 2y(t) = x(t)$ 求 $h(t)$。Find $h(t)$ for $\dfrac{dy}{dt} + 2y(t) = x(t)$, assuming causality.因果性を仮定して、$\dfrac{dy}{dt} + 2y(t) = x(t)$ について $h(t)$ を求めなさい。

計算 $y[n] = x[n] * \bigl(\delta[n] + \delta[n-2]\bigr)$，其中 $x[n] = a^n u[n]$。Compute $y[n] = x[n] * \bigl(\delta[n] + \delta[n-2]\bigr)$ where $x[n] = a^n u[n]$.$x[n] = a^n u[n]$ のとき $y[n] = x[n] * \bigl(\delta[n] + \delta[n-2]\bigr)$ を求めなさい。

求方波的傅立葉級數係數：當 $|t|<T_1$ 時 $x(t)=1$，當 $T_1<|t|<T/2$ 時 $0$。Find the Fourier series coefficients of a square wave: $x(t)=1$ for $|t|<T_1$, $0$ for $T_1<|t|<T/2$.方形波のフーリエ級数係数を求めなさい：$|t|<T_1$ のとき $x(t)=1$、$T_1<|t|<T/2$ のとき $0$。

求 $x(t) = \cos(3t)$ 的傅立葉級數係數。Find the Fourier series coefficients of $x(t) = \cos(3t)$.$x(t) = \cos(3t)$ のフーリエ級数係数を求めなさい。

求週期為 $N=4$ 的 $x[n] = \cos(2\pi n/4)$ 的傅立葉級數。Find the Fourier series of $x[n] = \cos(2\pi n/4)$ with period $N=4$.周期 $N=4$ をもつ $x[n] = \cos(2\pi n/4)$ のフーリエ級数を求めなさい。

以 3.1 的方波、取 $T_1 = T/4$，計算 $\sum|a_k|^2$。Given the square wave from 3.1 with $T_1 = T/4$, compute $\sum|a_k|^2$.3.1 の方形波で $T_1 = T/4$ としたとき、$\sum|a_k|^2$ を求めなさい。

若 $x(t)$ 的係數為 $a_k$，求 $y(t) = x(t - t_0)$ 的係數。If $x(t)$ has coefficients $a_k$, find the coefficients of $y(t) = x(t - t_0)$.$x(t)$ の係数が $a_k$ であるとき、$y(t) = x(t - t_0)$ の係数を求めなさい。

對 $H(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega RC}$，求輸入為 $a_k = \frac{\sin(k\pi/2)}{k\pi}$ 的方波時輸出的傅立葉係數。For $H(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega RC}$, find the output Fourier coefficients for a square wave input with $a_k = \frac{\sin(k\pi/2)}{k\pi}$.$H(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega RC}$ について、$a_k = \frac{\sin(k\pi/2)}{k\pi}$ の方形波を入力したときの出力のフーリエ係数を求めなさい。

求 $x[n] = \sum_r \delta[n-rN]$ 的傅立葉級數（週期為 $N$ 的週期性脈衝串）。Find the Fourier series of $x[n] = \sum_r \delta[n-rN]$ (periodic impulse train, period $N$).$x[n] = \sum_r \delta[n-rN]$（周期 $N$ の周期的インパルス列）のフーリエ級数を求めなさい。

在 $-T/2 < t < T/2$ 上求 $x(t) = t/T$ 的傅立葉級數。Find the Fourier series of $x(t) = t/T$ for $-T/2 < t < T/2$.$-T/2 < t < T/2$ における $x(t) = t/T$ のフーリエ級数を求めなさい。

求以 $N=5$ 為週期的 $x[n]$ 的離散時間傅立葉級數：當 $n=0,1,2$ 時 $x[n]=1$，當 $n=3,4$ 時 $x[n]=0$。Find the DT Fourier series for $x[n]$ periodic with $N=5$: $x[n]=1$ for $n=0,1,2$ and $x[n]=0$ for $n=3,4$.周期 $N=5$ をもつ $x[n]$ の離散時間フーリエ級数を求めなさい：$n=0,1,2$ のとき $x[n]=1$、$n=3,4$ のとき $x[n]=0$。

某系統具有 $H(j\omega) = j\omega$。若輸入的係數為 $a_k$，求輸出的係數。A system has $H(j\omega) = j\omega$. If input has coefficients $a_k$, find output coefficients.あるシステムが $H(j\omega) = j\omega$ をもつとします。入力の係数が $a_k$ のとき、出力の係数を求めなさい。

對 $x(t) = e^{-3t}u(t)$ 求 $X(j\omega)$。Find $X(j\omega)$ for $x(t) = e^{-3t}u(t)$.$x(t) = e^{-3t}u(t)$ のとき $X(j\omega)$ を求めなさい。

對 $x(t) = e^{-|t|}$ 求 $X(j\omega)$。Find $X(j\omega)$ for $x(t) = e^{-|t|}$.$x(t) = e^{-|t|}$ のとき $X(j\omega)$ を求めなさい。

已知 $X(j\omega) = 2\pi\delta(\omega) + \pi\delta(\omega-4) + \pi\delta(\omega+4)$，求 $x(t)$。Find $x(t)$ given $X(j\omega) = 2\pi\delta(\omega) + \pi\delta(\omega-4) + \pi\delta(\omega+4)$.$X(j\omega) = 2\pi\delta(\omega) + \pi\delta(\omega-4) + \pi\delta(\omega+4)$ が与えられたとき $x(t)$ を求めなさい。

利用傅立葉轉換求 $y(t) = e^{-2t}u(t) * e^{-3t}u(t)$。Find $y(t) = e^{-2t}u(t) * e^{-3t}u(t)$ using Fourier transforms.フーリエ変換を用いて $y(t) = e^{-2t}u(t) * e^{-3t}u(t)$ を求めなさい。

求 $y(t) = \frac{dx}{dt}$ 的傅立葉轉換，其中 $x(t) = e^{-t}u(t)$。Find the FT of $y(t) = \frac{dx}{dt}$ where $x(t) = e^{-t}u(t)$.$x(t) = e^{-t}u(t)$ のとき、$y(t) = \frac{dx}{dt}$ のフーリエ変換を求めなさい。

計算 $\int_{-\infty}^{\infty}|X(j\omega)|^2\,d\omega$，其中 $X(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}$。Compute $\int_{-\infty}^{\infty}|X(j\omega)|^2\,d\omega$ where $X(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}$.$X(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}$ のとき $\int_{-\infty}^{\infty}|X(j\omega)|^2\,d\omega$ を求めなさい。

求下列信號的傅立葉轉換：當 $|t| \le T$ 時 $x(t) = 1$，其餘為 $0$。Find the FT of $x(t) = 1$ for $|t| \le T$, $0$ otherwise.$|t| \le T$ のとき $x(t) = 1$、それ以外は $0$ となる信号のフーリエ変換を求めなさい。

以 $X(j\omega)$ 表示 $y(t) = x(t)\cos(\omega_c t)$ 的傅立葉轉換。Find the FT of $y(t) = x(t)\cos(\omega_c t)$ in terms of $X(j\omega)$.$X(j\omega)$ を用いて $y(t) = x(t)\cos(\omega_c t)$ のフーリエ変換を表しなさい。

$H(j\omega) = \frac{1}{2+j\omega}$，輸入為 $x(t) = e^{-t}u(t)$。求 $y(t)$。$H(j\omega) = \frac{1}{2+j\omega}$, input $x(t) = e^{-t}u(t)$. Find $y(t)$.$H(j\omega) = \frac{1}{2+j\omega}$、入力は $x(t) = e^{-t}u(t)$。$y(t)$ を求めなさい。

求 $x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t - nT)$ 的傅立葉轉換。Find the FT of $x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t - nT)$.$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t - nT)$ のフーリエ変換を求めなさい。

對 $x[n] = (0.5)^n u[n]$ 求 $X(e^{j\omega})$。Find $X(e^{j\omega})$ for $x[n] = (0.5)^n u[n]$.$x[n] = (0.5)^n u[n]$ のとき $X(e^{j\omega})$ を求めなさい。

當 $0 \le n \le 4$ 時 $x[n] = 1$，其餘為 $0$；求 $X(e^{j\omega})$。Find $X(e^{j\omega})$ for $x[n] = 1$ for $0 \le n \le 4$, else $0$.$0 \le n \le 4$ のとき $x[n] = 1$、それ以外は $0$ のとき、$X(e^{j\omega})$ を求めなさい。

若當 $|\omega| \le W$ 時 $X(e^{j\omega}) = 1$、當 $W < |\omega| \le \pi$ 時 $0$，求 $x[n]$。Find $x[n]$ if $X(e^{j\omega}) = 1$ for $|\omega| \le W$, $0$ for $W < |\omega| \le \pi$.$|\omega| \le W$ のとき $X(e^{j\omega}) = 1$、$W < |\omega| \le \pi$ のとき $0$ であるとき、$x[n]$ を求めなさい。

求 $y[n] = (0.5)^n u[n] * (0.25)^n u[n]$。Find $y[n] = (0.5)^n u[n] * (0.25)^n u[n]$.$y[n] = (0.5)^n u[n] * (0.25)^n u[n]$ を求めなさい。

若 $X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1-0.5e^{-j\omega}}$，求 $x[n-3]$ 的離散時間傅立葉轉換。If $X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1-0.5e^{-j\omega}}$, find the DTFT of $x[n-3]$.$X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1-0.5e^{-j\omega}}$ のとき、$x[n-3]$ の離散時間フーリエ変換を求めなさい。

求 $\sum_{n=-\infty}^{\infty}|(0.8)^n u[n]|^2$。Find $\sum_{n=-\infty}^{\infty}|(0.8)^n u[n]|^2$.$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|(0.8)^n u[n]|^2$ を求めなさい。

對 $|a|<1$ 求 $x[n] = a^{|n|}$ 的離散時間傅立葉轉換。Find the DTFT of $x[n] = a^{|n|}$ for $|a|<1$.$|a|<1$ のとき、$x[n] = a^{|n|}$ の離散時間フーリエ変換を求めなさい。

對 $y[n] - 0.5y[n-1] = x[n] + x[n-1]$ 求 $H(e^{j\omega})$。Find $H(e^{j\omega})$ for $y[n] - 0.5y[n-1] = x[n] + x[n-1]$.$y[n] - 0.5y[n-1] = x[n] + x[n-1]$ のとき $H(e^{j\omega})$ を求めなさい。

求 $u[n]$ 的離散時間傅立葉轉換。Find the DTFT of $u[n]$.$u[n]$ の離散時間フーリエ変換を求めなさい。

$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]$。求 $H(e^{j\omega})$。$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]$. Find $H(e^{j\omega})$.$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]$。$H(e^{j\omega})$ を求めなさい。

畫出 $H(j\omega) = \dfrac{10(j\omega+1)}{(j\omega+10)(j\omega+100)}$ 的波德大小圖。Sketch the Bode magnitude plot for $H(j\omega) = \dfrac{10(j\omega+1)}{(j\omega+10)(j\omega+100)}$.$H(j\omega) = \dfrac{10(j\omega+1)}{(j\omega+10)(j\omega+100)}$ のボード線図（振幅）を描きなさい。

求截止頻率為 $\omega_c$、增益為 1 的理想低通濾波器的 $h(t)$。Find $h(t)$ for an ideal lowpass filter with cutoff $\omega_c$ and unit gain.遮断周波数 $\omega_c$、ゲイン 1 の理想ローパスフィルタについて $h(t)$ を求めなさい。

RC 濾波器：$R=1\,\text{k}\Omega$、$C=1\,\mu\text{F}$。求 3dB 截止頻率。RC filter: $R=1\,\text{k}\Omega$, $C=1\,\mu\text{F}$. Find the 3dB cutoff.RC フィルタ：$R=1\,\text{k}\Omega$、$C=1\,\mu\text{F}$。3dB 遮断周波数を求めなさい。

$\omega_n = 10$、$\zeta = 0.1$。求共振頻率與峰值增益。$\omega_n = 10$, $\zeta = 0.1$. Find resonant frequency and peak gain.$\omega_n = 10$、$\zeta = 0.1$。共振周波数とピークゲインを求めなさい。

證明當 $|H|=K$ 時，$\angle H(j\omega) = -\alpha\omega$ 不會造成失真。Show that $\angle H(j\omega) = -\alpha\omega$ with $|H|=K$ introduces no distortion.$|H|=K$ をもつ $\angle H(j\omega) = -\alpha\omega$ が歪みを生じないことを示しなさい。

判斷 $H(e^{j\omega}) = \frac{1}{1-0.9e^{-j\omega}}$ 屬於哪一類濾波器。Classify $H(e^{j\omega}) = \frac{1}{1-0.9e^{-j\omega}}$.$H(e^{j\omega}) = \frac{1}{1-0.9e^{-j\omega}}$ を分類しなさい。

證明對 $H(j\omega) = \frac{j\omega - a}{j\omega + a}$、$a>0$ 而言 $|H(j\omega)| = 1$。Show $|H(j\omega)| = 1$ for $H(j\omega) = \frac{j\omega - a}{j\omega + a}$, $a>0$.$H(j\omega) = \frac{j\omega - a}{j\omega + a}$、$a>0$ について $|H(j\omega)| = 1$ を示しなさい。

$y[n] = \frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1} x[n-k]$，其中 $M=4$。求 $H(e^{j\omega})$。$y[n] = \frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1} x[n-k]$ with $M=4$. Find $H(e^{j\omega})$.$M=4$ をもつ $y[n] = \frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1} x[n-k]$。$H(e^{j\omega})$ を求めなさい。

說明過渡帶寬度與時域振鈴之間的取捨關係。Explain the tradeoff between transition bandwidth and time-domain ringing.遷移帯域幅と時間領域のリンギングとのトレードオフを説明しなさい。

一階系統 $H(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega/\omega_c}$。說明上升時間與頻寬之間的關係。First-order system $H(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega/\omega_c}$. Relate rise time to bandwidth.1 次システム $H(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega/\omega_c}$。立ち上がり時間と帯域幅の関係を示しなさい。

求 $x(t) = 3\cos(50\pi t) + 10\sin(300\pi t) - \cos(100\pi t)$ 的奈奎斯特取樣率。Find the Nyquist rate for $x(t) = 3\cos(50\pi t) + 10\sin(300\pi t) - \cos(100\pi t)$.$x(t) = 3\cos(50\pi t) + 10\sin(300\pi t) - \cos(100\pi t)$ のナイキストレートを求めなさい。

$x(t) = \cos(2\pi\cdot 100\,t)$ 以 $f_s = 250$ Hz 取樣。重建後的頻率為何？$x(t) = \cos(2\pi\cdot 100\,t)$ sampled at $f_s = 250$ Hz. Reconstructed frequency?$x(t) = \cos(2\pi\cdot 100\,t)$ を $f_s = 250$ Hz で標本化します。再構成後の周波数は？

$x(t) = \cos(2\pi\cdot 300\,t)$ 以 $f_s = 500$ Hz 取樣。會出現什麼頻率？$x(t) = \cos(2\pi\cdot 300\,t)$ sampled at $f_s = 500$ Hz. What frequency appears?$x(t) = \cos(2\pi\cdot 300\,t)$ を $f_s = 500$ Hz で標本化します。どの周波数が現れますか。

當 $|\omega| > 1000\pi$ 時 $X(j\omega) = 0$。最大的 $T$ 是多少？$X(j\omega) = 0$ for $|\omega| > 1000\pi$. Maximum $T$?$|\omega| > 1000\pi$ のとき $X(j\omega) = 0$。$T$ の最大値は？

取樣值：$x[0]=1,\;x[1]=0,\;x[2]=-1,\;x[3]=0$，其中 $T=1$，理想低通濾波器截止於 $\omega_c=\pi$。Samples: $x[0]=1,\;x[1]=0,\;x[2]=-1,\;x[3]=0$ with $T=1$, ideal lowpass at $\omega_c=\pi$.標本値：$x[0]=1,\;x[1]=0,\;x[2]=-1,\;x[3]=0$（$T=1$）、遮断周波数 $\omega_c=\pi$ の理想ローパスフィルタ。

描述零階保持器的頻率響應及其影響。Describe the frequency response of a ZOH and its effect.ゼロ次ホールドの周波数応答とその影響を説明しなさい。

連續時間信號（$\omega_M=2000\pi$）以 $\omega_s=8000\pi$ 取樣。$|\omega|\le\pi/4$ 對應到哪一個連續時間頻率？CT signal ($\omega_M=2000\pi$) sampled at $\omega_s=8000\pi$. What CT frequency does $|\omega|\le\pi/4$ correspond to?連続時間信号（$\omega_M=2000\pi$）を $\omega_s=8000\pi$ で標本化します。$|\omega|\le\pi/4$ はどの連続時間周波数に対応しますか。

信號頻率最高到 5 kHz，取樣率為 8 kHz。請設計抗混疊濾波器。Signal up to 5 kHz, sampling at 8 kHz. Design anti-aliasing filter.5 kHz までの信号を 8 kHz で標本化します。アンチエイリアシングフィルタを設計しなさい。

當 $\pi/3 < |\omega| \le \pi$ 時 $X(e^{j\omega}) = 0$。以 3 倍降取樣：$y[n] = x[3n]$。$X(e^{j\omega}) = 0$ for $\pi/3 < |\omega| \le \pi$. Downsample by 3: $y[n] = x[3n]$.$\pi/3 < |\omega| \le \pi$ のとき $X(e^{j\omega}) = 0$。3 でダウンサンプリング：$y[n] = x[3n]$。

說明離散時間的 2 倍內插。Describe DT interpolation by factor 2.離散時間における 2 倍補間を説明しなさい。

$x(t)$ 的頻寬為 $W=5$ kHz。$y(t) = x(t)\cos(2\pi\cdot 100\text{k}\cdot t)$ 的頻寬是多少？$x(t)$ has bandwidth $W=5$ kHz. Bandwidth of $y(t) = x(t)\cos(2\pi\cdot 100\text{k}\cdot t)$?$x(t)$ の帯域幅は $W=5$ kHz です。$y(t) = x(t)\cos(2\pi\cdot 100\text{k}\cdot t)$ の帯域幅は？

$y(t) = x(t)\cos(100t)$ 以 $\cos(100t)$ 解調後再經低通濾波。若 $x$ 的頻寬為 10 rad/s，輸出為何？$y(t) = x(t)\cos(100t)$ demodulated by $\cos(100t)$ then lowpass. Output if BW of $x$ is 10 rad/s?$y(t) = x(t)\cos(100t)$ を $\cos(100t)$ で復調し、その後ローパスフィルタを通します。$x$ の帯域幅が 10 rad/s のとき、出力は？

解調用載波存在相位誤差 $\phi$。輸出為何？Demodulating carrier has phase error $\phi$. Output?復調用の搬送波に位相誤差 $\phi$ があります。出力は？

三個 4 kHz 的信號，保護頻帶為 1 kHz。Three 4 kHz signals, 1 kHz guard bands.4 kHz の信号 3 つ、ガードバンドは 1 kHz。

比較基頻為 5 kHz 時所需的頻寬。Compare bandwidth for 5 kHz baseband.5 kHz のベースバンド信号について帯域幅を比較しなさい。

$y(t) = [A+x(t)]\cos(\omega_c t)$、$\max|x(t)|=1$。最小的 $A$ 是多少？$y(t) = [A+x(t)]\cos(\omega_c t)$, $\max|x(t)|=1$. Minimum $A$?$y(t) = [A+x(t)]\cos(\omega_c t)$、$\max|x(t)|=1$。$A$ の最小値は？

以調變指數 $m$ 進行單音調變的傳統 AM。Conventional AM with tone modulation at index $m$.変調指数 $m$ の単一トーン変調による通常の AM。

證明當 $\beta \ll 1$ 時，FM 的頻寬 $\approx$ AM 的頻寬。Show that for $\beta \ll 1$, FM bandwidth $\approx$ AM bandwidth.$\beta \ll 1$ のとき、FM の帯域幅が AM の帯域幅 $\approx$ であることを示しなさい。

$f_m = 15$ kHz、$\Delta f = 75$ kHz。$f_m = 15$ kHz, $\Delta f = 75$ kHz.$f_m = 15$ kHz、$\Delta f = 75$ kHz。

4 個信號，每個頻寬 4 kHz，以分時多工方式合併。4 signals, each 4 kHz bandwidth, TDM multiplexed.帯域幅 4 kHz の信号 4 つを時分割多重します。

求 $x(t) = e^{-2t}u(t) + e^{-3t}u(t)$ 的 $X(s)$ 與收斂區域。Find $X(s)$ and ROC for $x(t) = e^{-2t}u(t) + e^{-3t}u(t)$.$x(t) = e^{-2t}u(t) + e^{-3t}u(t)$ について $X(s)$ と収束領域を求めなさい。

$X(s) = \frac{2s+4}{(s+1)(s+3)}$，收斂區域：Re$\{s\}>-1$。$X(s) = \frac{2s+4}{(s+1)(s+3)}$, ROC: Re$\{s\}>-1$.$X(s) = \frac{2s+4}{(s+1)(s+3)}$、収束領域：Re$\{s\}>-1$。

$H(s) = \frac{s+1}{(s+2)(s+3)}$。此因果系統是否穩定？$H(s) = \frac{s+1}{(s+2)(s+3)}$. Is the causal system stable?$H(s) = \frac{s+1}{(s+2)(s+3)}$。この因果システムは安定でしょうか。

$\frac{dy}{dt}+3y = e^{-t}u(t)$, $y(0^-)=1$.

$y(t) = te^{-t}u(t) * e^{-2t}u(t)$.

$X(s) = \frac{3s+7}{(s+1)(s+2)}$.

$\frac{d^2y}{dt^2} + 5\frac{dy}{dt} + 6y = \frac{dx}{dt} + x$.

(a) $H(s) = \frac{1}{s^2+4}$, (b) $H(s) = \frac{1}{s^2+2s+5}$.

前向路徑 $G(s)=\frac{10}{s+1}$，回授 $H(s)=1$。閉迴路轉移函數為何？Forward path $G(s)=\frac{10}{s+1}$, feedback $H(s)=1$. Closed-loop TF?前向き経路 $G(s)=\frac{10}{s+1}$、フィードバック $H(s)=1$。閉ループ伝達関数は？

$X(s) = \frac{1}{(s+1)(s-2)}$。求所有可能的 $x(t)$。$X(s) = \frac{1}{(s+1)(s-2)}$. Find all possible $x(t)$.$X(s) = \frac{1}{(s+1)(s-2)}$。可能な $x(t)$ をすべて求めなさい。

$x[n] = (0.5)^n u[n]$.

$x[n] = (0.5)^n u[n] + (-\frac{1}{3})^n u[-n-1]$.

$X(z) = \frac{z}{(z-0.5)(z-0.25)}$，收斂區域：$|z|>0.5$。$X(z) = \frac{z}{(z-0.5)(z-0.25)}$, ROC: $|z|>0.5$.$X(z) = \frac{z}{(z-0.5)(z-0.25)}$、収束領域：$|z|>0.5$。

$y[n] - 0.5y[n-1] + 0.06y[n-2] = x[n]$.

$y[n] = x[n] - x[n-2]$.

因果系統：$H(z) = \frac{1}{1-1.5z^{-1}}$。是否穩定？Causal system: $H(z) = \frac{1}{1-1.5z^{-1}}$. Stable?因果システム：$H(z) = \frac{1}{1-1.5z^{-1}}$。安定でしょうか。

$y[n]-0.5y[n-1] = \delta[n]+\delta[n-1]$、$y[-1]=2$。使用單邊 z 轉換。$y[n]-0.5y[n-1] = \delta[n]+\delta[n-1]$, $y[-1]=2$. Unilateral z-transform.$y[n]-0.5y[n-1] = \delta[n]+\delta[n-1]$、$y[-1]=2$。片側 z 変換を用います。

$H(z) = \frac{1+2z^{-1}}{1-0.5z^{-1}}$.

零點在 $z=1$，極點在 $z=0.95$。畫出 $|H(e^{j\omega})|$。Zero at $z=1$, pole at $z=0.95$. Sketch $|H(e^{j\omega})|$.零点は $z=1$、極は $z=0.95$。$|H(e^{j\omega})|$ を描きなさい。

說明 $z = e^{sT}$ 如何把 $z$ 轉換與拉普拉斯轉換連結起來。Show how $z = e^{sT}$ connects $z$-transform to Laplace.$z = e^{sT}$ が $z$ 変換とラプラス変換をどう結びつけるかを示しなさい。

以單位步階函數表示矩形脈波：當 $|t| \le 1$ 時 $p(t) = 1$，其餘為 $0$。Express the rectangular pulse $p(t) = 1$ for $|t| \le 1$, $0$ otherwise, using unit step functions.$|t| \le 1$ のとき $p(t) = 1$、それ以外は $0$ となる矩形パルスを、単位ステップ関数で表しなさい。

計算 $x[n] = \left(\frac{1}{2}\right)^n u[n]$ 的能量。Compute the energy of $x[n] = \left(\frac{1}{2}\right)^n u[n]$.$x[n] = \left(\frac{1}{2}\right)^n u[n]$ のエネルギーを求めなさい。

分類：(a) $y[n] = x[n]^2$，(b) $y[n] = x[n-1]$。Classify: (a) $y[n] = x[n]^2$, (b) $y[n] = x[n-1]$.分類しなさい：(a) $y[n] = x[n]^2$、(b) $y[n] = x[n-1]$。

系統 $y(t) = x^2(t)$ 是否可逆？Is the system $y(t) = x^2(t)$ invertible?システム $y(t) = x^2(t)$ は可逆でしょうか。

證明對所有整數 $n$，$e^{j\omega n} = e^{j(\omega+2\pi)n}$ 都成立。Show that $e^{j\omega n} = e^{j(\omega+2\pi)n}$ for all integer $n$.すべての整数 $n$ について $e^{j\omega n} = e^{j(\omega+2\pi)n}$ が成り立つことを示しなさい。

計算 $x(t) * \delta(t-3)$。Compute $x(t) * \delta(t-3)$.$x(t) * \delta(t-3)$ を求めなさい。

計算 $p(t) = u(t) - u(t-1)$ 與自身的摺積。Compute the convolution of $p(t) = u(t) - u(t-1)$ with itself.$p(t) = u(t) - u(t-1)$ とそれ自身との畳み込みを求めなさい。

$h_1[n] = \left(\frac{1}{2}\right)^n u[n]$ 與 $h_2[n] = -\left(\frac{1}{3}\right)^n u[n]$ 並聯。$h_1[n] = \left(\frac{1}{2}\right)^n u[n]$ and $h_2[n] = -\left(\frac{1}{3}\right)^n u[n]$ in parallel.$h_1[n] = \left(\frac{1}{2}\right)^n u[n]$ と $h_2[n] = -\left(\frac{1}{3}\right)^n u[n]$ を並列接続します。

對 $x[n] = \delta[n] + 2\delta[n-1]$ 與 $h[n] = u[n]-u[n-3]$ 驗證 $x[n]*h[n] = h[n]*x[n]$。Verify $x[n]*h[n] = h[n]*x[n]$ for $x[n] = \delta[n] + 2\delta[n-1]$ and $h[n] = u[n]-u[n-3]$.$x[n] = \delta[n] + 2\delta[n-1]$ と $h[n] = u[n]-u[n-3]$ について $x[n]*h[n] = h[n]*x[n]$ を確かめなさい。

證明 $h(t) = u(t)$ 的系統不是 BIBO 穩定。Show that the system with $h(t) = u(t)$ is not BIBO stable.$h(t) = u(t)$ をもつシステムが BIBO 安定でないことを示しなさい。

證明對實數且偶對稱的週期信號，$a_k$ 為實數且偶對稱。Show that for a real, even periodic signal, $a_k$ is real and even.実かつ偶の周期信号について、$a_k$ が実かつ偶であることを示しなさい。

若 $x(t)$ 的係數為 $a_k$、$y(t)$ 的係數為 $b_k$（週期相同），求 $z(t)=x(t)y(t)$ 的 $c_k$。If $x(t)$ has coefficients $a_k$ and $y(t)$ has $b_k$ (same period), find $c_k$ for $z(t)=x(t)y(t)$.$x(t)$ の係数が $a_k$、$y(t)$ の係数が $b_k$（周期は同じ）のとき、$z(t)=x(t)y(t)$ の $c_k$ を求めなさい。

說明方波傅立葉級數的吉布斯現象。Explain the Gibbs phenomenon for the Fourier series of a square wave.方形波のフーリエ級数におけるギブス現象を説明しなさい。

$y[n] = \frac{1}{2}y[n-1] + x[n]$ 的輸入為週期 4 的週期信號。求輸出的係數。$y[n] = \frac{1}{2}y[n-1] + x[n]$ receives periodic input with period 4. Find output coefficients.$y[n] = \frac{1}{2}y[n-1] + x[n]$ に周期 4 の周期入力を加えます。出力の係数を求めなさい。

$a_0=1$、$a_1=a_{-1}=0.5$、$a_2=a_{-2}=0.2$，其餘皆為 $0$。求平均功率。$a_0=1$, $a_1=a_{-1}=0.5$, $a_2=a_{-2}=0.2$, all others $0$. Find the average power.$a_0=1$、$a_1=a_{-1}=0.5$、$a_2=a_{-2}=0.2$、それ以外はすべて $0$。平均電力を求めなさい。

若 $X(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}$，求 $x(2t)$ 的傅立葉轉換。If $X(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}$, find the FT of $x(2t)$.$X(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}$ のとき、$x(2t)$ のフーリエ変換を求めなさい。

利用對偶性求 $x(t) = \frac{1}{1+t^2}$ 的傅立葉轉換。Use duality to find the FT of $x(t) = \frac{1}{1+t^2}$.双対性を用いて $x(t) = \frac{1}{1+t^2}$ のフーリエ変換を求めなさい。

求 $y(t) = \int_{-\infty}^{t} e^{-\tau}u(\tau)\,d\tau$ 的傅立葉轉換。Find the FT of $y(t) = \int_{-\infty}^{t} e^{-\tau}u(\tau)\,d\tau$.$y(t) = \int_{-\infty}^{t} e^{-\tau}u(\tau)\,d\tau$ のフーリエ変換を求めなさい。

證明在時間上壓縮 $x(t) = e^{-|t|}$ 會使其頻寬變寬。Show that compressing $x(t) = e^{-|t|}$ in time expands its bandwidth.$x(t) = e^{-|t|}$ を時間的に圧縮すると帯域幅が広がることを示しなさい。

證明對實數信號而言，$|X(j\omega)|$ 為偶函數、$\angle X(j\omega)$ 為奇函數。Show that for a real signal, $|X(j\omega)|$ is even and $\angle X(j\omega)$ is odd.実信号について、$|X(j\omega)|$ が偶関数、$\angle X(j\omega)$ が奇関数であることを示しなさい。

求 $y[n] = e^{j\pi n/4}\,x[n]$ 的離散時間傅立葉轉換。Find the DTFT of $y[n] = e^{j\pi n/4}\,x[n]$.$y[n] = e^{j\pi n/4}\,x[n]$ の離散時間フーリエ変換を求めなさい。

對 $y[n] = x[n]\,(-1)^n$ 求 $Y(e^{j\omega})$。Find $Y(e^{j\omega})$ for $y[n] = x[n]\,(-1)^n$.$y[n] = x[n]\,(-1)^n$ のとき $Y(e^{j\omega})$ を求めなさい。

對所有 $n$ 求 $x[n] = 1$ 的離散時間傅立葉轉換。Find the DTFT of $x[n] = 1$ for all $n$.すべての $n$ について $x[n] = 1$ の離散時間フーリエ変換を求めなさい。

若 $x[n] = (0.5)^n u[n]$，且 $x_{(2)}[n]$ 為插入零之後的序列，求其離散時間傅立葉轉換。If $x[n] = (0.5)^n u[n]$ and $x_{(2)}[n]$ inserts zeros, find the DTFT.$x[n] = (0.5)^n u[n]$ とし、$x_{(2)}[n]$ が 0 を挿入した系列であるとき、離散時間フーリエ変換を求めなさい。

求 $y[n] = n\,a^n u[n]$ 的離散時間傅立葉轉換。Find the DTFT of $y[n] = n\,a^n u[n]$.$y[n] = n\,a^n u[n]$ の離散時間フーリエ変換を求めなさい。

對 $H(j\omega) = \frac{e^{-j3\omega}}{1+j\omega}$ 求 $\tau(\omega)$。Find $\tau(\omega)$ for $H(j\omega) = \frac{e^{-j3\omega}}{1+j\omega}$.$H(j\omega) = \frac{e^{-j3\omega}}{1+j\omega}$ のとき $\tau(\omega)$ を求めなさい。

兩個相同的一階低通濾波器（截止頻率 $\omega_c$）串聯。求 3dB 頻寬。Two identical first-order lowpass filters (cutoff $\omega_c$) cascaded. Find 3dB bandwidth.同一の 1 次ローパスフィルタ（遮断周波数 $\omega_c$）を 2 段縦続接続します。3dB 帯域幅を求めなさい。

極點在 $z = 0.9e^{\pm j\pi/4}$。響應的峰值出現在哪裡？Poles at $z = 0.9e^{\pm j\pi/4}$. Where is the peak response?極は $z = 0.9e^{\pm j\pi/4}$。応答のピークはどこですか。

把 $|H| = 0.01,\; 1,\; 100$ 換算成 dB。Convert $|H| = 0.01,\; 1,\; 100$ to dB.$|H| = 0.01,\; 1,\; 100$ を dB に換算しなさい。

由低通濾波器 $H_{lp}(e^{j\omega})$ 設計出離散時間高通濾波器。Design a DT highpass from a lowpass $H_{lp}(e^{j\omega})$.ローパス $H_{lp}(e^{j\omega})$ から離散時間ハイパスフィルタを設計しなさい。

$x(t) = \cos(6000\pi t)$ 以每秒 8000 個取樣點進行取樣。$x(t) = \cos(6000\pi t)$ sampled at 8000 samples/sec.$x(t) = \cos(6000\pi t)$ を毎秒 8000 サンプルで標本化します。

為什麼過取樣在實務上很有用？Why is oversampling practically useful?オーバーサンプリングは実用上なぜ有用なのでしょうか。

以 $1/T$ 取樣的連續時間信號，其離散時間微分器的頻率響應。Frequency response of DT differentiator for CT signals sampled at $1/T$.$1/T$ で標本化した連続時間信号に対する離散時間微分器の周波数応答。

帶通信號：900–1100 Hz。最低取樣率是多少？Bandpass signal: 900–1100 Hz. Minimum sampling rate?バンドパス信号：900–1100 Hz。最小標本化周波数は？

$T=1$ ms 的零階保持器。在 $f=400$ Hz 處的衰減量是多少？ZOH with $T=1$ ms. Attenuation at $f=400$ Hz?$T=1$ ms のゼロ次ホールド。$f=400$ Hz での減衰量は？

4 kHz 的信號，以 8 kHz 進行 PAM。最小傳輸頻寬是多少？4 kHz signal, PAM at 8 kHz. Minimum transmission bandwidth?4 kHz の信号を 8 kHz で PAM します。最小伝送帯域幅は？

$f_c = 1$ MHz、$f_{\text{LO}} = 1.455$ MHz。$f_c = 1$ MHz, $f_{\text{LO}} = 1.455$ MHz.$f_c = 1$ MHz、$f_{\text{LO}} = 1.455$ MHz。

$y[n] = x[n]\cos(\pi n/4)$。頻譜為何？$y[n] = x[n]\cos(\pi n/4)$. Spectrum?$y[n] = x[n]\cos(\pi n/4)$。スペクトルは？

$y(t) = x_1\cos\omega_c t + x_2\sin\omega_c t$。還原出 $x_1, x_2$。$y(t) = x_1\cos\omega_c t + x_2\sin\omega_c t$. Recover $x_1, x_2$.$y(t) = x_1\cos\omega_c t + x_2\sin\omega_c t$。$x_1, x_2$ を復元しなさい。

4 kHz 的語音信號，$f_s = 8$ kHz，每個取樣 8 位元。4 kHz audio, $f_s = 8$ kHz, 8 bits/sample.4 kHz の音声、$f_s = 8$ kHz、1 標本あたり 8 ビット。

$x(t) = e^{-2t}u(t) - e^{3t}u(-t)$.

$X(s) = \frac{1}{s+3}$。求 $t\,x(t)$ 的拉普拉斯轉換。$X(s) = \frac{1}{s+3}$. Laplace transform of $t\,x(t)$.$X(s) = \frac{1}{s+3}$。$t\,x(t)$ のラプラス変換。

求 $\omega_c=1$ 的二階巴特沃斯濾波器的 $H(s)$。Find $H(s)$ for 2nd-order Butterworth with $\omega_c=1$.$\omega_c=1$ をもつ 2 次バターワースの $H(s)$ を求めなさい。

$x(t) \longleftrightarrow X(s)$，收斂區域為 $\mathcal{R}$。求 $x(3t)$ 的拉普拉斯轉換。$x(t) \longleftrightarrow X(s)$ with ROC $\mathcal{R}$. Find Laplace transform of $x(3t)$.$x(t) \longleftrightarrow X(s)$、収束領域は $\mathcal{R}$。$x(3t)$ のラプラス変換を求めなさい。

$H_1(s)=\frac{1}{s+1}$ 與 $H_2(s)=\frac{1}{s+2}$ 並聯。$H_1(s)=\frac{1}{s+1}$, $H_2(s)=\frac{1}{s+2}$ in parallel.$H_1(s)=\frac{1}{s+1}$ と $H_2(s)=\frac{1}{s+2}$ を並列接続します。

$H(z) = \frac{z-1}{z-0.9}$。在 $\omega=0$ 與 $\omega=\pi$ 處計算 $|H(e^{j\omega})|$。$H(z) = \frac{z-1}{z-0.9}$. Evaluate $|H(e^{j\omega})|$ at $\omega=0$ and $\omega=\pi$.$H(z) = \frac{z-1}{z-0.9}$。$\omega=0$ と $\omega=\pi$ で $|H(e^{j\omega})|$ を評価しなさい。

$H(z) = \frac{z-0.5}{(z-0.5)(z-0.8)}$.

$x[n] = n(0.5)^n u[n]$.

$H(z) = \frac{1-0.5z^{-1}}{1-0.8z^{-1}}$。求其逆系統。$H(z) = \frac{1-0.5z^{-1}}{1-0.8z^{-1}}$. Find inverse system.$H(z) = \frac{1-0.5z^{-1}}{1-0.8z^{-1}}$。逆システムを求めなさい。

$H(z) = \frac{1+z^{-1}}{(1-0.5z^{-1})(1+0.3z^{-1})}$.