Fourier Domain傅立葉域フーリエ領域

4.1 The Fourier Domain4.1 傅立葉域4.1 フーリエ領域

Joseph Fourier (1768–1830) claimed that any function of a variable — continuous or discontinuous — can be expanded in a series of sines of multiples of that variable. The modern statement is more careful about convergence, but the idea survives intact: signals can be represented as sums (or integrals) of sinusoids, and this representation — the Fourier domain（傅立葉域 / 頻域） — is where LTI systems become simple to analyze.

Joseph Fourier（1768–1830）主張：任何一個變數的函數——不論連續或不連續——都可以展開成該變數各倍數的正弦級數。現代的敘述對收斂性講究得多，但核心想法原封不動地保留了下來：訊號可以表示成弦波的和（或積分），而這個表示法——傅立葉域（Fourier domain，又稱頻域）——正是讓 LTI 系統變得容易分析的地方。

Joseph Fourier（1768–1830）は、ある変数の任意の関数は——連続であれ不連続であれ——その変数の整数倍の正弦の級数に展開できる、と主張した。現代の言明は収束について遥かに慎重だが、着想はそのまま生き残っている。すなわち、信号は正弦波の和（あるいは積分）として表現でき、この表現——フーリエ領域（Fourier domain / 周波数領域）——こそが LTI システムの解析を簡単にしてくれる場所である。

4.1.1 Fourier series and Fourier coefficients4.1.1 傅立葉級數與傅立葉係數4.1.1 フーリエ級数とフーリエ係数

A periodic signal $x(t)$ with period $T$ (fundamental frequency $\Omega_0 = 2\pi/T$) can be approximated by a sum of harmonics（諧波） of the fundamental frequency:

週期為 $T$（基頻 $\Omega_0 = 2\pi/T$）的週期訊號 $x(t)$，可以用基頻各諧波（harmonics）的和來逼近：

周期 $T$（基本周波数 $\Omega_0 = 2\pi/T$）をもつ周期信号 $x(t)$ は、基本周波数の高調波（harmonics）の和で近似できる：

Equivalently, each harmonic pair $a_k\cos + b_k\sin$ can be written as a single sinusoid with an amplitude and a phase shift（相位移）: $A_k\cos(k\Omega_0 t + \phi_k)$ with $A_k = \sqrt{a_k^2+b_k^2}$, $\phi_k = -\arctan(b_k/a_k)$. The set $\{c_k\}$ is the signal, viewed in the Fourier domain.

等價地，每一對諧波 $a_k\cos + b_k\sin$ 都可以寫成單一個帶振幅與相位移（phase shift）的弦波：$A_k\cos(k\Omega_0 t + \phi_k)$，其中 $A_k = \sqrt{a_k^2+b_k^2}$、$\phi_k = -\arctan(b_k/a_k)$。集合 $\{c_k\}$ 就是這個訊號，只是從傅立葉域來看它。

同じことだが、各高調波の対 $a_k\cos + b_k\sin$ は、振幅と位相シフト（phase shift）をもつ単一の正弦波として書ける。すなわち $A_k\cos(k\Omega_0 t + \phi_k)$、ただし $A_k = \sqrt{a_k^2+b_k^2}$、$\phi_k = -\arctan(b_k/a_k)$ である。集合 $\{c_k\}$ こそが、フーリエ領域から見た信号そのものである。

From the magnitude–phase form to the complex form從振幅相位式到複數式振幅・位相の形から複素形へ

Lecture slides often write the truncated ($M$-harmonic) series in two ways that look different but are the same sum. The real (cosine) form runs over non-negative harmonics only, while the complex exponential form runs from $-M$ to $+M$:

課堂投影片常把截斷（$M$ 個諧波）的級數寫成兩種看起來不同、其實完全相同的形式。實數（餘弦）形式只跑非負諧波，而複指數形式則從 $-M$ 跑到 $+M$：

講義スライドでは、打ち切った（$M$ 次までの）級数を、見た目は違うが実は同じ和である二通りの形で書くことが多い。実数（余弦）形は非負の高調波だけを走るのに対し、複素指数形は $-M$ から $+M$ まで走る：

Euler's formula is the whole story: it splits each real cosine into two complex exponentials, one at $+k$ and one at $-k$. The negative-frequency half of the second sum is not new content — it is the other half of each cosine.

Euler 公式就是全部的答案：它把每一個實數餘弦劈成兩個複指數，一個在 $+k$、一個在 $-k$。第二個和式裡的負頻率那一半並不是新增的內容——它是每個餘弦的另外一半。

オイラーの公式がすべてを語っている。各実数余弦を二つの複素指数に、一方を $+k$、他方を $-k$ に分割するのである。二番目の和の負周波数側の半分は新しい内容ではない。各余弦のもう半分にすぎない。

Finding the coefficients: inner product with conjugate complex sinusoids求係數：與共軛複弦波做內積係数の求め方：共役複素正弦波との内積

The synthesis equation tells you how to build $x(t)$ once you know the coefficients. The practical question runs the other way: given the signal, how do you find the magnitude $|c_k|$ and the phase $\arg\{c_k\}$ of each harmonic? The answer is a single operation — take the inner product（內積） of $x(t)$ with the conjugate of the complex sinusoid at that frequency:

合成式告訴你，知道係數之後要怎麼組出 $x(t)$。實務上的問題卻是反過來的：給了訊號，怎麼求出每個諧波的振幅 $|c_k|$ 與相位 $\arg\{c_k\}$？答案是單一個運算——把 $x(t)$ 與該頻率複弦波的共軛做內積（inner product）：

合成式は、係数が分かっているときに $x(t)$ をどう組み立てるかを教えてくれる。実際の問題は逆向きである。信号が与えられたとき、各高調波の振幅 $|c_k|$ と位相 $\arg\{c_k\}$ をどう求めるか。答えはただ一つの演算——$x(t)$ と、その周波数の複素正弦波の共役との内積（inner product）をとることである：

This is the same formula as the analysis equation above, with the period written out explicitly as $[-T/2,\,T/2]$. What the words inner product add is the reason the formula looks the way it does.

這與上面的分析式是同一條公式，只是把週期明確寫成 $[-T/2,\,T/2]$。「內積」這個詞多告訴我們的，是這條公式為什麼長成這個樣子。

これは上の分析式と同じ公式であり、周期を $[-T/2,\,T/2]$ と明示的に書き下しただけである。「内積」という言葉が付け加えるのは、この公式がなぜこういう形をしているのかという理由である。

The inner product, and where the conjugate comes from內積，以及共軛是從哪裡來的内積、そして共役はどこから来るのか

For $T$-periodic finite-power signals the natural inner product is a normalized integral of one signal against the conjugate of the other:

對週期為 $T$ 的有限功率訊號而言，自然的內積是把一個訊號對另一個訊號的共軛做正規化積分：

周期 $T$ の有限電力信号に対して自然な内積は、一方の信号を他方の共役に対して積分し正規化したものである：

The conjugate on the second argument is not decoration: it is what makes $\langle x,x\rangle=\frac1T\int_T |x(t)|^2\,dt$ a real, non-negative number — an average power — so that "length" and "angle" mean something in a complex space. Put $y=\varphi_k$ and the conjugation turns $e^{+j2\pi kt/T}$ into $e^{-j2\pi kt/T}$: the minus sign in the analysis exponent is the conjugation in the inner product, nothing more. That is exactly what the parenthesis on the slide is flagging — inner product with (conjugate) complex sinusoids.

第二個引數上的共軛不是裝飾品：正是它使得 $\langle x,x\rangle=\frac1T\int_T |x(t)|^2\,dt$ 成為一個實數、非負的量——平均功率——這樣「長度」與「夾角」在複數空間裡才有意義。代入 $y=\varphi_k$，共軛就把 $e^{+j2\pi kt/T}$ 變成 $e^{-j2\pi kt/T}$：分析式指數上的那個負號，就是內積裡的共軛，如此而已。這正是投影片括號裡要提醒的事——與（共軛）複弦波做內積。

第二引数に付く共役は飾りではない。それこそが $\langle x,x\rangle=\frac1T\int_T |x(t)|^2\,dt$ を実数かつ非負の量——平均電力——にしているものであり、そのおかげで複素空間でも「長さ」と「角度」が意味をもつ。$y=\varphi_k$ と置けば、共役は $e^{+j2\pi kt/T}$ を $e^{-j2\pi kt/T}$ に変える。分析式の指数に付く負号こそが内積の共役であり、それ以上のものではない。スライドの括弧書きが注意を促しているのはまさにこの点である——（共役）複素正弦波との内積、というわけだ。

Why it works: the harmonics are orthonormal為什麼行得通：諧波是正交歸一的なぜうまくいくのか：高調波は正規直交である

Both cases are visible without doing the integral. If $m=k$ the integrand is the constant $1$, the integral is $T$, and the $1/T$ normalizes it to $1$. If $m\neq k$ the integrand is a complex sinusoid that completes a whole number $|m-k|$ of turns around the unit circle during the interval, so its phasor points in every direction equally often and the contributions cancel exactly — the integral is zero. Integer harmonics of a common period are mutually orthogonal, and that single fact is the engine of the entire Fourier series.

不必真的算積分就能看出這兩種情形。若 $m=k$，被積函數是常數 $1$，積分等於 $T$，再乘上 $1/T$ 正規化成 $1$。若 $m\neq k$，被積函數是一個複弦波，它在這段區間內恰好繞單位圓整數圈 $|m-k|$ 次，所以相量指向每個方向的次數一樣多，貢獻完全抵消——積分為零。共同週期的整數諧波彼此正交，光是這一個事實就驅動了整個傅立葉級數。

どちらの場合も、積分を実行しなくても見てとれる。$m=k$ なら被積分関数は定数 $1$、積分は $T$ となり、$1/T$ がそれを $1$ に正規化する。$m\neq k$ なら被積分関数は複素正弦波であり、区間のあいだに単位円をちょうど整数回 $|m-k|$ 周する。したがってフェーザはあらゆる方向を同じ回数だけ指し、寄与はぴたりと打ち消し合う——積分はゼロである。共通の周期をもつ整数次の高調波は互いに直交しており、このただ一つの事実がフーリエ級数全体の原動力になっている。

4.1.2 The Fourier transform and the sinc function4.1.2 傅立葉轉換與 sinc 函數4.1.2 フーリエ変換と sinc 関数

For aperiodic continuous-time signals, the spacing $\Omega_0=2\pi/T$ between harmonics goes to zero as $T\to\infty$ and the sum becomes an integral — the Fourier transform（傅立葉轉換）:

對非週期的連續時間訊號而言，諧波之間的間距 $\Omega_0=2\pi/T$ 隨 $T\to\infty$ 趨近於零，和式就變成積分——也就是傅立葉轉換（Fourier transform）：

非周期の連続時間信号では、高調波の間隔 $\Omega_0=2\pi/T$ が $T\to\infty$ とともにゼロへ向かい、和は積分になる——これがフーリエ変換（Fourier transform）である：

The recurring example from the slides: a rectangular pulse of width $T_p$ transforms to the sinc function,

投影片上反覆出現的例子：寬度 $T_p$ 的矩形脈衝會轉換成 sinc 函數，

スライドで繰り返し現れる例：幅 $T_p$ の矩形パルスは sinc 関数に変換される。

The slides define the function itself as

投影片把這個函數本身定義為

スライドはこの関数自体を次のように定義している

The symbol $\triangleq$ means "is defined as". At $x=0$ the quotient is $0/0$, but $\sin x/x\to1$, so $\operatorname{sinc}0=1$ by convention（$x=0$ 處取極限值 1）. Away from the origin it oscillates like $\sin x$ inside an envelope that decays as $1/|x|$, crossing zero at every nonzero multiple of $\pi$. It is even, its peak is at the origin, and the mainlobe (between the first two zeros) is twice as wide as every sidelobe.

符號 $\triangleq$ 的意思是「定義為」。在 $x=0$ 處這個商是 $0/0$，但 $\sin x/x\to1$，所以依慣例 $\operatorname{sinc}0=1$（在 $x=0$ 處取極限值 1）。離開原點之後，它像 $\sin x$ 一樣振盪，外包絡以 $1/|x|$ 衰減，並在 $\pi$ 的每一個非零倍數處穿過零點。它是偶函數，峰值在原點，主瓣（前兩個零點之間）的寬度是每個旁瓣的兩倍。

記号 $\triangleq$ は「と定義する」という意味である。$x=0$ では商が $0/0$ になるが、$\sin x/x\to1$ であるから、慣例として $\operatorname{sinc}0=1$ とする（$x=0$ では極限値 1 をとる）。原点から離れると $\sin x$ のように振動し、包絡線は $1/|x|$ で減衰し、$\pi$ の非零の整数倍ごとにゼロ交差する。偶関数であり、ピークは原点にあり、メインローブ（最初の二つの零点のあいだ）の幅はどのサイドローブの二倍でもある。

and by duality a sinc in time transforms to a rectangle in frequency — which is exactly why the ideal lowpass filter of §4.3.3 has a sinc impulse response. A pure sine $\sin(\Omega_0 t)$ transforms to a pair of impulses at $\pm\Omega_0$: a single frequency occupies a single point in the Fourier domain.

而由對偶性，時域上的 sinc 會轉換成頻域上的矩形——這正是 §4.3.3 的理想低通濾波器具有 sinc 型脈衝響應的原因。純正弦 $\sin(\Omega_0 t)$ 轉換成 $\pm\Omega_0$ 處的一對脈衝：單一頻率在傅立葉域中只佔單一個點。

そして双対性により、時間領域の sinc は周波数領域の矩形に変換される——§4.3.3 の理想低域通過フィルタのインパルス応答が sinc 型になるのは、まさにこのためである。純粋な正弦 $\sin(\Omega_0 t)$ は $\pm\Omega_0$ にある一対のインパルスに変換される。単一の周波数は、フーリエ領域では単一の点を占めるのである。

4.1.3 Eigenfunctions of LTI systems and frequency response4.1.3 LTI 系統的特徵函數與頻率響應4.1.3 LTI システムの固有関数と周波数応答

Why are complex exponentials the right building blocks? Feed $x[n] = e^{j\omega n}$ (for all $n$) into an LTI system with impulse response $h[n]$:

為什麼複指數是正確的建構元件？把 $x[n] = e^{j\omega n}$（對所有 $n$）送進脈衝響應為 $h[n]$ 的 LTI 系統：

複素指数がなぜ正しい構成要素なのか。インパルス応答 $h[n]$ をもつ LTI システムに $x[n] = e^{j\omega n}$（すべての $n$ について）を入力してみよう：

The output is the same exponential scaled by the complex constant $H(e^{j\omega})$ — the frequency response（頻率響應） of the system, which is precisely the DTFT of $h[n]$. So $e^{j\omega n}$ is an eigenfunction of every LTI system, with eigenvalue $H(e^{j\omega})$.

輸出是同一個指數，只被複數常數 $H(e^{j\omega})$ 縮放——這就是系統的頻率響應（frequency response），而它恰好就是 $h[n]$ 的 DTFT。所以 $e^{j\omega n}$ 是每一個 LTI 系統的特徵函數，對應的特徵值為 $H(e^{j\omega})$。

出力は同じ指数関数を複素定数 $H(e^{j\omega})$ で定数倍したものである——これがシステムの周波数応答（frequency response）であり、ちょうど $h[n]$ の DTFT にほかならない。したがって $e^{j\omega n}$ はあらゆる LTI システムの固有関数であり、その固有値が $H(e^{j\omega})$ である。

4.2 The Discrete-Time Fourier Transform (DTFT) 🔖4.2 離散時間傅立葉轉換（DTFT） 🔖4.2 離散時間フーリエ変換（DTFT） 🔖

4.2.1 Definition4.2.1 定義4.2.1 定義

For a sequence $x[n]$, the discrete-time Fourier transform（離散時間傅立葉轉換） is the continuous, complex-valued function of the normalized angular frequency $\omega$ (rad/sample):

對序列 $x[n]$ 而言，離散時間傅立葉轉換（discrete-time Fourier transform）是正規化角頻率 $\omega$（弳／樣本）的連續複數值函數：

系列 $x[n]$ に対する離散時間フーリエ変換（discrete-time Fourier transform）とは、正規化角周波数 $\omega$（rad/サンプル）の連続な複素数値関数である：

In general $X(e^{j\omega})$ is complex and can be written in rectangular or polar form:

一般而言 $X(e^{j\omega})$ 是複數，可以寫成直角座標式或極座標式：

一般に $X(e^{j\omega})$ は複素数であり、直交形式でも極形式でも書ける：

4.2.2 Periodicity of the DTFT4.2.2 DTFT 的週期性4.2.2 DTFT の周期性

Because $n$ is an integer, $e^{-j(\omega+2\pi)n} = e^{-j\omega n}e^{-j2\pi n} = e^{-j\omega n}$. The periodicity is implicit in the definition:

因為 $n$ 是整數，所以 $e^{-j(\omega+2\pi)n} = e^{-j\omega n}e^{-j2\pi n} = e^{-j\omega n}$。週期性內建在定義裡：

$n$ は整数なので、$e^{-j(\omega+2\pi)n} = e^{-j\omega n}e^{-j2\pi n} = e^{-j\omega n}$ となる。周期性は定義のなかに暗に組み込まれている：

The two lines behind that statement are worth writing out, because they are the whole proof — the integer $n$ is doing all the work:

這句話背後的兩行值得寫出來，因為它們就是完整的證明——整數 $n$ 扛下了全部的工作：

この主張の背後にある二行は書き下しておく価値がある。それが証明のすべてだからである——整数である $n$ が仕事のすべてを引き受けている：

Shifting $\omega$ by $2\pi$ multiplies every term by $e^{-j2\pi n}$, and because $n$ is an integer that factor is exactly $1$ — term by term, nothing changes. Contrast this with the CTFT, where the summation index becomes a continuous $t$, $e^{-j2\pi t}\ne 1$, and no periodicity appears. A periodic spectrum is a signature of discrete time.

把 $\omega$ 平移 $2\pi$，每一項都會乘上 $e^{-j2\pi n}$，而因為 $n$ 是整數，這個因子恰好等於 $1$——逐項來看什麼都沒變。對照 CTFT：那裡的求和指標變成連續的 $t$，$e^{-j2\pi t}\ne 1$，週期性也就不會出現。頻譜具有週期性，是離散時間的標誌。

$\omega$ を $2\pi$ だけずらすと各項に $e^{-j2\pi n}$ が掛かるが、$n$ が整数なのでこの因子はちょうど $1$ である——項ごとに見て何も変わらない。CTFT と対比してほしい。あちらでは和の添字が連続変数 $t$ になり、$e^{-j2\pi t}\ne 1$ となって、周期性は現れない。スペクトルが周期的であることは、時間が離散であることの証である。

4.2.3 Inverse DTFT4.2.3 反 DTFT4.2.3 逆 DTFT

The DTFT can be inverted by integrating over any one period. Multiply $X(e^{j\omega})$ by $e^{j\omega n}$ and integrate:

DTFT 可以藉由在任一個週期上積分來反轉。把 $X(e^{j\omega})$ 乘上 $e^{j\omega n}$ 再積分：

DTFT は、任意の一周期にわたって積分することで逆変換できる。$X(e^{j\omega})$ に $e^{j\omega n}$ を掛けて積分する：

The proof rests on the orthogonality of complex exponentials over one period:這個證明建立在複指數於一個週期上的正交性：この証明は、一周期にわたる複素指数の直交性に立脚している：?

Verify by substituting into the DTFT代回 DTFT 驗證DTFT に代入して確かめる

Rather than take the pair on faith, substitute the analysis equation into the synthesis integral and watch the orthogonality collapse the double sum. Use $l$ as the dummy index inside $X(e^{j\omega})$ so it cannot be confused with the $n$ we are solving for:

與其直接相信這一對式子，不如把分析式代進合成積分裡，看正交性怎麼把雙重和式壓垮。在 $X(e^{j\omega})$ 裡用 $l$ 當啞指標，以免與我們要解的 $n$ 混淆：

この変換対を鵜呑みにするかわりに、分析式を合成の積分に代入し、直交性が二重和をつぶしていく様子を見てみよう。$X(e^{j\omega})$ の中ではダミー添字に $l$ を使い、求めようとしている $n$ と混同しないようにする：

Line 2 inserts $X(e^{j\omega})=\sum_l x[l]e^{-j\omega l}$; line 3 pulls the sum outside the integral; line 4 evaluates the inner integral with orthogonality. The inner integral is the sinc of §4.1.2 evaluated at integer arguments — it is $1$ at $n=l$ and lands exactly on a zero crossing of $\sin\pi(n-l)$ for every other integer, so it is the unit sample $\delta[n-l]$. The final sum then sifts out the single term $l=n$ and returns $x[n]$: the transform pair is consistent.

第 2 行代入 $X(e^{j\omega})=\sum_l x[l]e^{-j\omega l}$；第 3 行把求和號提到積分外面；第 4 行用正交性算出內層積分。這個內層積分正是 §4.1.2 的 sinc 在整數引數上取值——在 $n=l$ 時等於 $1$，而對其他每一個整數都恰好落在 $\sin\pi(n-l)$ 的零點上，所以它就是單位脈衝 $\delta[n-l]$。最後的和式再篩出 $l=n$ 這唯一一項，得回 $x[n]$：這一對轉換是自洽的。

2 行目で $X(e^{j\omega})=\sum_l x[l]e^{-j\omega l}$ を代入し、3 行目で和を積分の外へ出し、4 行目で直交性を使って内側の積分を評価する。この内側の積分は §4.1.2 の sinc を整数の引数で評価したものである——$n=l$ では $1$ であり、それ以外のすべての整数ではちょうど $\sin\pi(n-l)$ の零交差に当たる。だからそれはまさに単位サンプル $\delta[n-l]$ である。最後の和が $l=n$ の一項だけをふるい出して $x[n]$ を返す。この変換対は自己無撞着である。

The pair (analysis, synthesis) says: $x[n]$ is a superposition of exponentials $e^{j\omega n}$ over a continuum of frequencies, weighted by $X(e^{j\omega})\,d\omega/2\pi$.

這一對式子（分析、合成）說的是：$x[n]$ 是指數 $e^{j\omega n}$ 在一段連續頻率上的疊加，權重為 $X(e^{j\omega})\,d\omega/2\pi$。

この対（分析、合成）が述べているのは、$x[n]$ とは連続的に分布した周波数にわたる指数関数 $e^{j\omega n}$ の重ね合わせであり、その重みが $X(e^{j\omega})\,d\omega/2\pi$ だ、ということである。

4.2.4 Convergence4.2.4 收斂性4.2.4 収束性

The DTFT is an infinite sum, so existence is a real question. Three regimes （三種收斂情形）:

DTFT 是一個無窮和，所以「存不存在」是個真問題。共有三種情形：

DTFT は無限和なので、存在するかどうかは本当に問題になる。収束のしかたは三通りある（三種類の収束）：

4.2.5 Comparison with the continuous-time transforms4.2.5 與連續時間轉換的比較4.2.5 連続時間の変換との比較

The DTFT has two close relatives already met in §4.1: the continuous-time Fourier series（傅立葉級數） of §4.1.1, which represents a periodic $x(t)$ by discrete coefficients $c_k$, and the continuous-time Fourier transform (CTFT) of §4.1.2, which represents an aperiodic $x(t)$ by a continuous $X(j\Omega)$. All three resolve a signal into complex exponentials, but they are different objects, and nearly every beginner's error in this chapter comes from treating them as interchangeable. Put the three pairs side by side:

DTFT 有兩個在 §4.1 已經見過的近親：§4.1.1 的連續時間傅立葉級數，它用離散係數 $c_k$ 表示週期的 $x(t)$；以及 §4.1.2 的連續時間傅立葉轉換（CTFT），它用連續的 $X(j\Omega)$ 表示非週期的 $x(t)$。三者都把訊號分解成複指數，但它們是不同的東西，而本章初學者幾乎每一個錯誤，都來自把它們當成可以互換。把三組轉換對並排來看：

DTFT には、§4.1 ですでに出会った二つの近親がある。§4.1.1 の連続時間フーリエ級数（フーリエ級数）は周期的な $x(t)$ を離散的な係数 $c_k$ で表し、§4.1.2 の連続時間フーリエ変換（CTFT）は非周期的な $x(t)$ を連続関数 $X(j\Omega)$ で表す。三つとも信号を複素指数に分解するが、互いに別物である。そして本章で初学者が犯す誤りのほとんどすべては、これらを交換可能なものとして扱うことから生じる。三組の変換対を並べて見よう：

Look at the shapes of the four operations rather than their contents. A sum over an integer index always produces a continuous, periodic function; an integral over one period always produces a discrete sequence; an integral over the whole line produces a continuous, aperiodic function. The Fourier series and the DTFT use the same two operations as each other — just swapped between analysis and synthesis. That is not a coincidence, and §"The DTFT is a Fourier series" below makes it exact.

先看四個運算的形狀，而不是它們的內容。對整數指標求和一定產生連續、週期的函數；在一個週期上積分一定產生離散的序列；在整條實線上積分則產生連續、非週期的函數。傅立葉級數與 DTFT 用的是彼此相同的那兩個運算——只是在分析與合成之間對調了。這並非巧合，下面「DTFT 就是一種傅立葉級數」一節會把它講精確。

四つの演算の中身ではなく、その形に目を向けてほしい。整数の添字にわたる和は必ず連続かつ周期的な関数を生み、一周期にわたる積分は必ず離散的な系列を生み、実軸全体にわたる積分は連続かつ非周期的な関数を生む。フーリエ級数と DTFT は互いに同じ二つの演算を使っている——ただし分析と合成とで入れ替わっているだけである。これは偶然ではなく、下の「DTFT はフーリエ級数である」の節でそれを厳密にする。

Point-by-point逐點對照一点ずつの対応

The bridge to the CTFT: sampling通往 CTFT 的橋樑：取樣CTFT への橋渡し：標本化

The DTFT and the CTFT are joined by sampling. If $x[n]=x_c(nT)$ are samples of a continuous-time signal taken every $T$ seconds ($\Omega_s=2\pi/T$), then discrete-time frequency is continuous-time frequency normalized by the sampling rate,

DTFT 與 CTFT 由取樣連接起來。若 $x[n]=x_c(nT)$ 是每 $T$ 秒取一次的連續時間訊號樣本（$\Omega_s=2\pi/T$），那麼離散時間頻率就是連續時間頻率以取樣率正規化之後的結果，

DTFT と CTFT は標本化によって結びついている。$x[n]=x_c(nT)$ が連続時間信号を $T$ 秒ごとに標本化したものであるとき（$\Omega_s=2\pi/T$）、離散時間の周波数とは連続時間の周波数を標本化レートで正規化したものにほかならない。

and the two spectra are related by scaling and periodic replication:

而兩邊的頻譜之間的關係是縮放加上週期複製：

そして二つのスペクトルはスケーリングと周期的複製によって結ばれている：

Read it as a recipe: take the aperiodic CTFT, scale it by $1/T$, lay down a copy centred on every multiple of $\Omega_s$, and add. The copies are exactly why the DTFT is periodic — and if they overlap, that overlap is aliasing.

可以把它讀成一份食譜：取非週期的 CTFT，乘上 $1/T$ 縮放，然後在 $\Omega_s$ 的每一個倍數處放一份副本，最後全部相加。這些副本正是 DTFT 具有週期性的原因——而如果它們互相重疊，那個重疊就是混疊（aliasing）。

これは調理法だと思って読めばよい。非周期の CTFT をとり、$1/T$ 倍し、$\Omega_s$ の整数倍ごとを中心にその複製を置き、全部を足し合わせる。この複製こそが DTFT が周期的である理由であり——もし複製どうしが重なれば、その重なりがエイリアシングである。

The bridge to the Fourier series: the DTFT is one通往傅立葉級數的橋樑：DTFT 就是一種傅立葉級數フーリエ級数への橋渡し：DTFT はフーリエ級数である

The relationship to the Fourier series is not an analogy — it is an identity. A Fourier series expands a periodic function into a sum over a discrete index. The DTFT $X(e^{j\omega})$ is a periodic function of $\omega$, and the analysis equation $X(e^{j\omega})=\sum_n x[n]e^{-j\omega n}$ is a sum over a discrete index. So read the DTFT pair with the roles of the two domains exchanged:

它與傅立葉級數的關係不是類比，而是一個恆等。傅立葉級數把一個週期函數展開成對離散指標的求和。而 DTFT $X(e^{j\omega})$ 就是 $\omega$ 的週期函數，分析式 $X(e^{j\omega})=\sum_n x[n]e^{-j\omega n}$ 就是對離散指標的求和。所以把 DTFT 這一對式子中兩個域的角色對調過來讀：

フーリエ級数との関係は類比ではなく、同一性である。フーリエ級数は周期的な関数を離散添字にわたる和に展開する。DTFT $X(e^{j\omega})$ は $\omega$ の周期関数であり、分析式 $X(e^{j\omega})=\sum_n x[n]e^{-j\omega n}$ は離散添字にわたる和である。そこで、二つの領域の役割を入れ替えて DTFT の対を読んでみよう：

The last step is just the inverse DTFT evaluated at $n=-k$. In words: the sequence values are the Fourier-series coefficients of its own spectrum (with the index reflected). A period-$T_0$ waveform in time has discrete coefficients $c_k$; a $2\pi$-periodic spectrum in frequency has discrete "coefficients" $x[-k]$. Same mathematics, the two domains swapped — $T_0 \leftrightarrow 2\pi$ and $t \leftrightarrow -\omega$.

最後一步不過就是反 DTFT 在 $n=-k$ 處取值。用白話說：序列的各個值，就是它自己頻譜的傅立葉級數係數（指標要反號）。時域上週期為 $T_0$ 的波形有離散係數 $c_k$；頻域上週期為 $2\pi$ 的頻譜則有離散的「係數」$x[-k]$。同一套數學，只是兩個域互換——$T_0 \leftrightarrow 2\pi$、$t \leftrightarrow -\omega$。

最後の段階は、逆 DTFT を $n=-k$ で評価しただけのものである。言葉にすれば、系列の各値は、その系列自身のスペクトルのフーリエ係数である（添字は反転する）。時間領域で周期 $T_0$ の波形は離散的な係数 $c_k$ をもち、周波数領域で $2\pi$ 周期のスペクトルは離散的な「係数」$x[-k]$ をもつ。数学は同じで、二つの領域が入れ替わっているだけである——$T_0 \leftrightarrow 2\pi$、$t \leftrightarrow -\omega$ という具合に。

4.3 DTFTs of Simple Sequences4.3 簡單序列的 DTFT4.3 簡単な系列の DTFT

4.3.1 Common DTFT pairs4.3.1 常見的 DTFT 轉換對4.3.1 代表的な DTFT 変換対

The geometric series behind almost every DTFT幾乎每個 DTFT 背後的那條等比級數ほとんどすべての DTFT の背後にある等比級数

Every closed form in the table above that is not an impulse comes from one sum. It is worth deriving once, because the same shift-and-subtract trick（平移相減）gives both the infinite and the finite version:

上表中所有不是脈衝的封閉解，全都來自同一個和式。值得推導一次，因為同一招「平移相減」同時給出無窮版與有限版：

上表の閉じた形のうちインパルスでないものは、すべて一つの和から生まれている。一度は導いておく価値がある。同じ「ずらして引く」手口（平行移動して引く）が、無限版と有限版の両方を与えてくれるからである：

Multiplying by $c$ shifts the index by one, so the two sums share every term except $c^0$; subtracting kills the infinite tail and leaves a single number. The restriction $|c|<1$ is what makes the tail vanish — with $|c|\ge 1$ the terms do not go to zero and $S$ does not exist.

乘上 $c$ 會把指標平移一格，於是兩個和式除了 $c^0$ 之外每一項都相同；相減就消掉了無限長的尾巴，只留下一個數。限制 $|c|<1$ 正是讓尾巴消失的條件——若 $|c|\ge 1$，各項不會趨近於零，$S$ 也就不存在。

$c$ を掛けると添字が一つずれるので、二つの和は $c^0$ を除くすべての項を共有する。引き算をすれば無限に続く尾が消え、ただ一つの数が残る。制限 $|c|<1$ こそが尾を消す条件である——$|c|\ge 1$ では各項がゼロに向かわず、$S$ は存在しない。

Truncating the same argument at $n=M-1$ gives the finite sum used in Example 4-B, which needs no condition on $c$ at all (only $c\ne 1$):

把同樣的論證在 $n=M-1$ 處截斷，就得到範例 4-B 要用的有限和，而它對 $c$ 完全不需要任何條件（只要 $c\ne 1$）：

同じ議論を $n=M-1$ で打ち切れば、例題 4-B で使う有限和が得られる。こちらは $c$ に何の条件も要らない（$c\ne 1$ でさえあればよい）：

4.3.2 The rectangular pulse and the Dirichlet kernel4.3.2 矩形脈衝與 Dirichlet 核4.3.2 矩形パルスと Dirichlet 核

4.3.3 The ideal lowpass filter and the sinc sequence4.3.3 理想低通濾波器與 sinc 序列4.3.3 理想低域通過フィルタと sinc 系列

Going the other way — specify a perfect rectangle in frequency and ask what sequence produces it. With cutoff $\omega_c$:

反過來走——直接在頻域指定一個完美的矩形，再問是什麼序列產生了它。取截止頻率 $\omega_c$：

逆向きに進んでみよう——周波数領域で完全な矩形を指定し、それを生む系列は何かと問うのである。遮断周波数を $\omega_c$ とすると：

At $n=0$ the value is $h_{lp}[0]=\omega_c/\pi$ (take the limit). The impulse response is a sampled sinc.

在 $n=0$ 處其值為 $h_{lp}[0]=\omega_c/\pi$（取極限）。這個脈衝響應就是取樣後的 sinc。

$n=0$ での値は $h_{lp}[0]=\omega_c/\pi$ である（極限をとる）。このインパルス応答は標本化された sinc にほかならない。

4.4 DTFT Theorems and Properties4.4 DTFT 定理與性質4.4 DTFT の定理と性質

4.4.1 Property table4.4.1 性質表4.4.1 性質の一覧表

Let $x[n]\leftrightarrow X(e^{j\omega})$, $g[n]\leftrightarrow G(e^{j\omega})$. All transforms below are $2\pi$-periodic, so frequency shifts wrap around.

令 $x[n]\leftrightarrow X(e^{j\omega})$、$g[n]\leftrightarrow G(e^{j\omega})$。以下所有轉換都以 $2\pi$ 為週期，所以頻率平移會繞回來。

$x[n]\leftrightarrow X(e^{j\omega})$、$g[n]\leftrightarrow G(e^{j\omega})$ とする。以下の変換はすべて $2\pi$ 周期なので、周波数シフトは回り込む。

4.4.2 Symmetry relations and real sequences4.4.2 對稱關係與實數序列4.4.2 対称関係と実数系列

Define the conjugate-symmetric / conjugate-antisymmetric parts （共軛對稱／反對稱部分） of a sequence and of a spectrum:

先定義序列與頻譜的共軛對稱／共軛反對稱部分（conjugate-symmetric / conjugate-antisymmetric part）：

系列およびスペクトルの共役対称部分／共役反対称部分（conjugate-symmetric / conjugate-antisymmetric part）を定義する：

Both decompositions are just "average with the reflected conjugate" — in time the reflection is $n\to-n$, in frequency it is $\omega\to-\omega$. Every sequence and every spectrum splits uniquely into the two halves: $x[n]=x_{cs}[n]+x_{ca}[n]$ and $X=X_{cs}+X_{ca}$.

兩個分解都只是「和自己的反射共軛取平均」——在時域反射是 $n\to-n$，在頻域則是 $\omega\to-\omega$。每一條序列、每一個頻譜都唯一地分成這兩半：$x[n]=x_{cs}[n]+x_{ca}[n]$ 與 $X=X_{cs}+X_{ca}$。

どちらの分解も「反転した共役との平均をとる」だけのものである——時間領域での反転は $n\to-n$、周波数領域では $\omega\to-\omega$ である。どの系列もどのスペクトルも、この二つの半分へ一意に分かれる。すなわち $x[n]=x_{cs}[n]+x_{ca}[n]$ および $X=X_{cs}+X_{ca}$ である。

From the table (time reversal + conjugation, proved in Exercise 1) follow the pairings:

由性質表（時間反轉＋共軛，在習題 1 中證明）可以導出下列對應：

性質表（時間反転＋共役、演習 1 で証明する）から、次の対応が導かれる：

Notice the pattern: taking a real/imaginary part in one domain produces a conjugate-symmetric/antisymmetric part in the other, and vice versa. The top three rows are the raw operations; the bottom four are just those three combined with $\mathrm{Re}\{z\}=\tfrac12(z+z^{*})$ and $j\,\mathrm{Im}\{z\}=\tfrac12(z-z^{*})$.

注意這個規律：在一個域取實部／虛部，會在另一個域產生共軛對稱／反對稱的部分，反之亦然。前三列是最原始的運算；後四列只是把那三條與 $\mathrm{Re}\{z\}=\tfrac12(z+z^{*})$、$j\,\mathrm{Im}\{z\}=\tfrac12(z-z^{*})$ 組合起來而已。

この規則性に注目してほしい。一方の領域で実部／虚部をとると、他方の領域に共役対称／反対称の部分が生じる。その逆も成り立つ。上の三行が素の演算であり、下の四行はその三つを $\mathrm{Re}\{z\}=\tfrac12(z+z^{*})$ と $j\,\mathrm{Im}\{z\}=\tfrac12(z-z^{*})$ と組み合わせただけのものである。

Before specializing, it is worth seeing what a general complex sequence actually looks like. A real sequence is a curve in the $(n,\,x)$ plane; a complex one needs a third axis, so it is a curve in the $(n,\,\mathrm{Re},\,\mathrm{Im})$ space, and the two "parts" in the table above are its two projections onto the coordinate planes:

在把情況特殊化之前，值得先看看一般的複數序列到底長什麼樣子。實數序列是 $(n,\,x)$ 平面上的一條曲線；複數序列則需要第三個軸，所以它是 $(n,\,\mathrm{Re},\,\mathrm{Im})$ 空間中的一條曲線，而上表中的那兩個「部分」，就是它投影到兩個座標平面上的結果：

特殊化する前に、一般の複素系列が実際にどんな姿をしているのかを見ておく価値がある。実数系列は $(n,\,x)$ 平面上の一本の曲線であるが、複素系列には第三の軸が要るので $(n,\,\mathrm{Re},\,\mathrm{Im})$ 空間内の曲線になる。そして上の表に出てきた二つの「部分」とは、その曲線を二つの座標平面へ射影したものにほかならない：

The real-sequence special case實數序列的特例実数系列という特別な場合

Everything above holds for complex $x[n]$. The moment $x[n]$ is pure real the conjugates in the definitions collapse and the table simplifies dramatically, because $x^*[n]=x[n]$:

以上所有結論對複數的 $x[n]$ 都成立。而一旦 $x[n]$ 是純實數，定義裡的共軛就塌陷掉，整張表也大幅簡化，因為 $x^*[n]=x[n]$：

ここまでの内容は複素の $x[n]$ についても成り立つ。$x[n]$ が純粋な実数になった瞬間、定義のなかの共役はつぶれ、$x^*[n]=x[n]$ となるために表は劇的に簡単になる：

And since $j\,\mathrm{Im}\{x[n]\}=0$, the row $j\,\mathrm{Im}\{x[n]\}\leftrightarrow X_{ca}(e^{j\omega})$ forces $X_{ca}\equiv 0$: the spectrum of a real sequence has no conjugate-antisymmetric part at all, i.e. $X(e^{j\omega})=X_{cs}(e^{j\omega})=X^{*}(e^{-j\omega})$. Writing $X(e^{j\omega})=X_R(e^{j\omega})+j\,X_I(e^{j\omega})$ with $X_R,X_I$ real, the last two rows of the general table read:

而既然 $j\,\mathrm{Im}\{x[n]\}=0$，$j\,\mathrm{Im}\{x[n]\}\leftrightarrow X_{ca}(e^{j\omega})$ 這一列就強迫 $X_{ca}\equiv 0$：實數序列的頻譜完全沒有共軛反對稱的部分，也就是 $X(e^{j\omega})=X_{cs}(e^{j\omega})=X^{*}(e^{-j\omega})$。把 $X(e^{j\omega})$ 寫成 $X_R(e^{j\omega})+j\,X_I(e^{j\omega})$（$X_R$、$X_I$ 皆為實數），一般表的最後兩列就變成：

さらに $j\,\mathrm{Im}\{x[n]\}=0$ であるから、$j\,\mathrm{Im}\{x[n]\}\leftrightarrow X_{ca}(e^{j\omega})$ の行は $X_{ca}\equiv 0$ を強制する。すなわち実数系列のスペクトルには共役反対称な部分がまったく存在せず、$X(e^{j\omega})=X_{cs}(e^{j\omega})=X^{*}(e^{-j\omega})$ となる。$X_R,X_I$ を実数として $X(e^{j\omega})=X_R(e^{j\omega})+j\,X_I(e^{j\omega})$ と書けば、一般の表の最後の二行は次のようになる：

The even half of the sequence is responsible for the entire real part of the spectrum, and the odd half for the entire imaginary part. Two corollaries follow by simply deleting the half that is missing:

序列的偶半部負責整個頻譜的實部，奇半部則負責整個虛部。把缺席的那一半直接刪掉，就得到兩個推論：

系列の偶の半分がスペクトルの実部全体を受けもち、奇の半分が虚部全体を受けもつ。欠けているほうの半分を消すだけで、二つの系が得られる：

4.4.3 The convolution theorem4.4.3 卷積定理4.4.3 畳み込み定理

Proof sketch. Take the DTFT of the convolution sum and swap the order of summation:

證明概要。對卷積和取 DTFT，再交換求和順序：

証明の概略。畳み込み和の DTFT をとり、和の順序を入れ替える：

Convolution in time becomes multiplication in frequency. This is the practical payoff of the whole chapter: instead of sliding and summing, multiply two spectra pointwise and (if needed) invert. Exercise 3 verifies this numerically in MATLAB — the convolution result and the IDTFT of $X\cdot H$ agree to machine precision.

時域的卷積變成頻域的相乘。這是整章最實用的回報：不必再翻轉平移、逐項相加，只要把兩個頻譜逐點相乘，需要的話再反轉換回去。習題 3 會在 MATLAB 裡用數值驗證這一點 —— 卷積的結果與 $X\cdot H$ 的反 DTFT 一致到機器精度。

時間領域の畳み込みは、周波数領域では乗算になる。これが本章全体の実用的な見返りである。反転して滑らせて足し合わせるかわりに、二つのスペクトルを各点ごとに掛け、必要なら逆変換すればよい。演習 3 ではこれを MATLAB で数値的に検証する——畳み込みの結果と $X\cdot H$ の逆 DTFT は、機械精度まで一致する。

4.4.4 Modulation and windowing4.4.4 調變與加窗4.4.4 変調と窓かけ

The convolution theorem answers "what does an LTI filter do to a spectrum?". But filtering is not the only thing we do to a sequence — we also multiply two sequences sample by sample: truncating with a window, mixing with a carrier, sampling with an impulse train. None of those is a convolution, so §4.4.3 does not cover them. This subsection supplies the missing half of the pair: what multiplication in time does in frequency.

卷積定理回答的是「LTI 濾波器對頻譜做了什麼？」。但濾波並不是我們對序列做的唯一一件事——我們也會把兩條序列逐個樣本相乘：用窗函數截短、與載波混頻、用脈衝串取樣。這些都不是卷積，所以 §4.4.3 管不到。本小節補上這一對關係缺掉的另一半：時域相乘在頻域會造成什麼。

畳み込み定理は「LTI フィルタはスペクトルに何をするのか」に答えるものである。しかし系列に対して行うのはフィルタリングだけではない。二つの系列を標本ごとに掛け合わせることもある。窓で打ち切る、搬送波と混合する、インパルス列で標本化する、といった操作である。どれも畳み込みではないので §4.4.3 の守備範囲外である。本小節は、この対の欠けたもう半分を補う。すなわち、時間領域での乗算が周波数領域で何をするのかである。

Derivation — write one factor as its IDTFT推導 —— 把其中一個因子寫成它的反 DTFT導出 — 一方の因子をその逆 DTFT で書く

Only two things happen here. First, $x[n]$ is replaced by its IDTFT, which turns it into a weighted continuum of exponentials $e^{j\theta n}$. Second — the one step that needs justification — the order of $\sum_n$ and $\int d\theta$ is swapped; this is legal whenever both transforms converge in the sense of §4.2.4. After the swap, everything that depends on $n$ sits inside the bracket, and that bracket is just the DTFT of $g$ evaluated at the shifted frequency $\omega-\theta$. Each $\theta$ therefore contributes one copy of $G$ centred at $\theta$, weighted by $X(e^{j\theta})$ — precisely the superposition the callout above predicted.

這裡只發生了兩件事。第一，$x[n]$ 被換成它的反 DTFT，於是變成一段加權的連續指數 $e^{j\theta n}$。第二——也是唯一需要說明理由的一步——$\sum_n$ 與 $\int d\theta$ 的順序被交換了；只要兩個轉換都在 §4.2.4 的意義下收斂，這麼做就是合法的。交換之後，所有與 $n$ 有關的東西都落在中括號裡，而那個中括號正是 $g$ 的 DTFT 在平移後頻率 $\omega-\theta$ 處的值。因此每一個 $\theta$ 都貢獻一份以 $\theta$ 為中心、權重為 $X(e^{j\theta})$ 的 $G$ 副本 —— 恰恰就是上面那個提示方塊所預告的疊加。

ここで起きていることは二つだけである。第一に、$x[n]$ がその逆 DTFT に置き換えられ、重みつきの連続な指数 $e^{j\theta n}$ の集まりになる。第二に——正当化を要する唯一の段階だが——$\sum_n$ と $\int d\theta$ の順序が交換される。これは両方の変換が §4.2.4 の意味で収束していれば許される。交換の後、$n$ に依存するものはすべて角括弧の中に収まり、その角括弧はずらされた周波数 $\omega-\theta$ で評価した $g$ の DTFT にほかならない。したがって各 $\theta$ は、$\theta$ を中心とし $X(e^{j\theta})$ の重みをもつ $G$ の複製を一つずつ寄与する——上の囲みが予告したとおりの重ね合わせである。

Two standard uses兩個標準用途二つの標準的な用途

Almost every appearance of this theorem in the rest of the course is one of two cases, distinguished only by which factor has the narrow spectrum.

本課程後面幾乎每一次用到這條定理，都屬於下面兩種情形之一，差別只在於哪一個因子的頻譜比較窄。

この講義の残りでこの定理が現れる場面は、ほとんどすべて次の二つの場合のいずれかであり、違いはどちらの因子が狭いスペクトルをもつかだけである。

• Carrier modulation（調變）: the narrow factor is a cosine, whose spectrum is a pair of impulses. Convolving with an impulse is a pure shift, so the baseband spectrum is copied to $\pm\omega_0$ at half height: $$x[n]\cos(\omega_0 n)\;\longleftrightarrow\;\tfrac12 X\bigl(e^{j(\omega-\omega_0)}\bigr)+\tfrac12 X\bigl(e^{j(\omega+\omega_0)}\bigr)$$ This is Fig. 4-9b(a), and it is why a real mixer produces both an upper and a lower sideband.
• Windowing（加窗）: the narrow factor is a finite-length window. Truncating a sequence to $M$ samples multiplies it by a rectangular window, i.e. convolves its spectrum with the Dirichlet kernel of Fig. 4-6. The kernel's mainlobe smears detail (two close frequencies merge into one bump) while its sidelobes leak energy far away — Fig. 4-9b(b). Both effects shrink as $M$ grows, since the mainlobe width is $\approx 4\pi/M$; this trade-off drives window design in the FIR-filter (Ch. 14) and spectral-analysis (Ch. 9) chapters.

• 載波調變（carrier modulation）：窄的那個因子是餘弦，它的頻譜是一對脈衝。與脈衝做卷積就是純粹的平移，所以基頻頻譜被複製到 $\pm\omega_0$ 處，高度減半： $$x[n]\cos(\omega_0 n)\;\longleftrightarrow\;\tfrac12 X\bigl(e^{j(\omega-\omega_0)}\bigr)+\tfrac12 X\bigl(e^{j(\omega+\omega_0)}\bigr)$$ 這就是圖 4-9b(a)，也是實數混頻器為什麼會同時產生上、下兩個旁波帶的原因。
• 加窗（windowing）：窄的那個因子是有限長度的窗函數。把序列截短成 $M$ 個樣本，就等於乘上一個矩形窗，也就是把它的頻譜與圖 4-6 的 Dirichlet 核做卷積。核的主瓣會把細節抹開（兩個相近的頻率合併成一個鼓包），旁瓣則把能量洩漏到很遠的地方 —— 圖 4-9b(b)。兩種效應都隨 $M$ 增大而縮小，因為主瓣寬度約為 $4\pi/M$；這個取捨正是 FIR 濾波器設計（第 14 章）與頻譜分析（第 9 章）兩章中窗函數設計的主軸。

• 搬送波変調（carrier modulation）：狭いほうの因子は余弦であり、そのスペクトルは一対のインパルスである。インパルスとの畳み込みは純粋なシフトなので、ベースバンドのスペクトルが半分の高さで $\pm\omega_0$ へ複製される： $$x[n]\cos(\omega_0 n)\;\longleftrightarrow\;\tfrac12 X\bigl(e^{j(\omega-\omega_0)}\bigr)+\tfrac12 X\bigl(e^{j(\omega+\omega_0)}\bigr)$$ これが図 4-9b(a) であり、実数のミキサが上側波帯と下側波帯の両方を生む理由でもある。
• 窓かけ（windowing）：狭いほうの因子は有限長の窓である。系列を $M$ 標本に打ち切ることは矩形窓を掛けることであり、すなわちそのスペクトルを図 4-6 の Dirichlet 核と畳み込むことにあたる。核のメインローブは細部をにじませ（近接した二つの周波数が一つのこぶに融合する）、サイドローブはエネルギーを遠方へ漏らす——図 4-9b(b)。どちらの効果も $M$ が大きくなるにつれ小さくなる。メインローブ幅が $\approx 4\pi/M$ だからである。このトレードオフが、FIR フィルタ（第 14 章）とスペクトル解析（第 9 章）の章における窓設計を駆動している。

Both factors narrow: two sinusoids of different frequency兩個因子都很窄：兩個不同頻率的弦波両方の因子が狭い場合：周波数の異なる二つの正弦波

The two cases above each had one wide and one narrow factor. The remaining case — both factors narrow — is the sharpest test of the theorem, because the right-hand side can be evaluated in closed form and checked against elementary trigonometry. Take $g[n]=\cos\omega_1 n$ and $h[n]=\cos\omega_2 n$ with $\omega_1\neq\omega_2$. Each spectrum is a pair of impulses, so the periodic convolution pairs every impulse of $G$ with every impulse of $H$ — four combinations, at the sum and difference frequencies:

上面兩種情形各有一個寬因子與一個窄因子。剩下的情形——兩個因子都窄——是對這條定理最嚴格的檢驗，因為右式可以算出封閉解，並拿初等三角恆等式來核對。取 $g[n]=\cos\omega_1 n$、$h[n]=\cos\omega_2 n$，且 $\omega_1\neq\omega_2$。兩個頻譜各是一對脈衝，所以週期卷積會把 $G$ 的每個脈衝與 $H$ 的每個脈衝配對——共四種組合，落在和頻與差頻上：

上の二つの場合は、いずれも一方が広く他方が狭い因子であった。残る場合——両方の因子が狭い場合——は、この定理の最も厳しい試金石である。右辺を閉じた形で評価でき、初等三角法と突き合わせられるからである。$\omega_1\neq\omega_2$ として $g[n]=\cos\omega_1 n$、$h[n]=\cos\omega_2 n$ をとる。どちらのスペクトルも一対のインパルスなので、周期畳み込みは $G$ の各インパルスを $H$ の各インパルスと組み合わせる——四通りの組み合わせが和周波数と差周波数に現れる：

which is just the product-to-sum identity $\cos A\cos B=\tfrac12\cos(A\!-\!B)+\tfrac12\cos(A\!+\!B)$ seen in the frequency domain — the $\pi/2$ comes from $\pi$ (impulse strength of a cosine) times $\pi$, divided by the $2\pi$ of the theorem. This is the heterodyne principle: multiplying two tones produces neither of the originals, only their sum and difference.

這其實就是積化和差恆等式 $\cos A\cos B=\tfrac12\cos(A\!-\!B)+\tfrac12\cos(A\!+\!B)$ 在頻域裡的樣子 —— 那個 $\pi/2$ 來自 $\pi$（餘弦的脈衝強度）乘以 $\pi$，再除以定理裡的 $2\pi$。這就是外差（heterodyne）原理：兩個單音相乘，輸出既不是原本的任一個頻率，只剩下它們的和頻與差頻。

これは積和公式 $\cos A\cos B=\tfrac12\cos(A\!-\!B)+\tfrac12\cos(A\!+\!B)$ を周波数領域で見たものにすぎない——$\pi/2$ は $\pi$（余弦のインパルス強度）に $\pi$ を掛け、定理の $2\pi$ で割ったものである。これがヘテロダインの原理である。二つの単一音を掛け合わせると、元のどちらの周波数も出てこず、その和と差だけが現れる。

Fig. 4-9c evaluates the right-hand side numerically — a genuine Riemann sum of the convolution integral on a 4096-point grid, not the closed form above — and overlays it on the DTFT of the product computed directly. Panels (a)–(c) use $\omega_1=0.2\pi$, $\omega_2=0.5\pi$, giving peaks at $0.3\pi$ and $0.7\pi$; the two curves agree to $3\times10^{-13}$.

圖 4-9c 以數值方式計算右式——在 4096 點的網格上真正做卷積積分的黎曼和，而不是套用上面的封閉解——再把它疊在直接算出的乘積 DTFT 上。(a)–(c) 各圖取 $\omega_1=0.2\pi$、$\omega_2=0.5\pi$，峰值落在 $0.3\pi$ 與 $0.7\pi$；兩條曲線吻合到 $3\times10^{-13}$。

図 4-9c は右辺を数値的に評価したものである——上の閉じた形ではなく、4096 点の格子上で畳み込み積分のリーマン和を実際に計算し、積の DTFT を直接求めたものに重ねている。パネル (a)–(c) では $\omega_1=0.2\pi$、$\omega_2=0.5\pi$ を用い、ピークは $0.3\pi$ と $0.7\pi$ に現れる。二本の曲線は $3\times10^{-13}$ まで一致する。