Changing the Sampling Rate改變取樣率標本化レートの変更

7.1 Rate Conversion by Discrete-Time Processing7.1 用離散時間處理做取樣率轉換7.1 離散時間処理によるレート変換

Suppose a continuous-time signal $x_c(t)$ was sampled with period $T$ to give $x[n] = x_c(nT)$, but we now need the same underlying signal sampled at a different period $T_d$:假設一個連續時間訊號 $x_c(t)$ 已經以週期 $T$ 取樣，得到 $x[n] = x_c(nT)$，但我們現在需要的是同一個原始訊號以另一個週期 $T_d$ 取樣的結果：連続時間信号 $x_c(t)$ を周期 $T$ で標本化して $x[n] = x_c(nT)$ を得たとしよう。ところがいま必要なのは、同じ元の信号を別の周期 $T_d$ で標本化した結果である：

This is needed constantly in practice: audio moves between 48 kHz (studio) and 44.1 kHz (CD), biomedical recorders sample at 2000 Hz but analysis may only need 250 Hz, and a modem may need fractional rate offsets corrected. The question of this chapter: can we obtain $x_d[n]$ from $x[n]$ using only discrete-time operations?這在實務上不斷出現：音訊要在 48 kHz（錄音室）與 44.1 kHz（CD）之間轉換，生醫記錄器以 2000 Hz 取樣但分析可能只需要 250 Hz，數據機則可能需要修正小數倍率的偏移。本章要問的是：能不能只用離散時間的運算，就從 $x[n]$ 得到 $x_d[n]$？これは実務で絶えず必要になる。音声は 48 kHz（スタジオ）と 44.1 kHz（CD）のあいだを行き来し、生体信号レコーダは 2000 Hz で標本化するが解析には 250 Hz しか要らないこともあり、モデムでは小数倍のレート偏差を補正しなければならない。本章の問いはこうである：離散時間の演算だけで $x[n]$ から $x_d[n]$ を得られるか。

7.1.1 The analog detour vs the DSP path7.1.1 繞道類比 vs 純數位路徑7.1.1 アナログ経由の回り道と DSP の経路

One conceptual approach is to go back to the analog world:概念上有一條路是回到類比世界：概念的には、いったんアナログの世界に戻るという道がある：

1. Reconstruct $x_c(t)$ from $x[n]$ with a D/A converter and reconstruction filter;用 D/A 轉換器與重建濾波器，從 $x[n]$ 重建出 $x_c(t)$；D/A 変換器と再構成フィルタを使い、$x[n]$ から $x_c(t)$ を復元する；
2. Resample $x_c(t)$ with an A/D converter at the new period $T_d$.再用 A/D 轉換器以新的週期 $T_d$ 對 $x_c(t)$ 重新取樣。新しい周期 $T_d$ のもとで、A/D 変換器により $x_c(t)$ を再標本化する。

7.2 Downsampling: Rate Reduction by an Integer Factor M7.2 降取樣：以整數因子 M 降低取樣率7.2 ダウンサンプリング：整数因子 M によるレート低減

7.2.1 The compressor in the time domain7.2.1 時域中的壓縮器7.2.1 時間領域における圧縮器

The sampling-rate compressor（取樣率壓縮器）, written $\downarrow M$, keeps every $M$-th sample and discards the rest:取樣率壓縮器（記為 $\downarrow M$）保留每第 $M$ 個樣本，其餘全部丟棄：標本化レート圧縮器（compressor）は $\downarrow M$ と書き、$M$ 個おきの標本だけを残して残りを捨てる：

The output is exactly what we would have obtained by sampling $x_c(t)$ directly with the longer period $T' = MT$ — the sampling rate drops by $M$, the sample period grows by $M$. A decimator adds a protective lowpass filter in front of the compressor (next subsection):輸出結果，恰好等同於一開始就用較長的週期 $T' = MT$ 直接對 $x_c(t)$ 取樣——取樣率降為 $1/M$，取樣週期則變成 $M$ 倍。抽取器（decimator）則是在壓縮器前面再加一個保護用的低通濾波器（下一小節）：この出力は、はじめから長い周期 $T' = MT$ で $x_c(t)$ を直接標本化して得られるものとちょうど一致する——標本化レートは $M$ 分の 1 になり、標本周期は $M$ 倍になる。間引き器（decimator）は、圧縮器の前に保護用の低域通過フィルタを置いたものである（次の小節）：

7.2.2 Spectrum of the downsampled signal7.2.2 降取樣後的頻譜7.2.2 ダウンサンプリング後のスペクトル

To see what downsampling does in frequency, write $x_d[n]$ as a two-step operation: (1) multiply $x[n]$ by the periodic sampling train $c_M[n] = \frac{1}{M}\sum_{i=0}^{M-1} e^{j2\pi i n/M}$, which equals 1 when $n$ is a multiple of $M$ and 0 otherwise; (2) discard the zeros. Step (1) gives $\tilde{x}[n] = x[n]\,c_M[n]$, whose DTFT is an average of $M$ shifted copies of $X(e^{j\omega})$; step (2) rescales the frequency axis by $M$. The result:要看出降取樣在頻域做了什麼，可以把 $x_d[n]$ 拆成兩個步驟：(1) 把 $x[n]$ 乘上週期性的取樣串 $c_M[n] = \frac{1}{M}\sum_{i=0}^{M-1} e^{j2\pi i n/M}$，它在 $n$ 為 $M$ 的倍數時等於 1、其餘為 0；(2) 把那些零丟掉。步驟 (1) 得到 $\tilde{x}[n] = x[n]\,c_M[n]$，其 DTFT 是 $X(e^{j\omega})$ 的 $M$ 個平移複本的平均；步驟 (2) 則把頻率軸縮放 $M$ 倍。結果是：ダウンサンプリングが周波数領域で何をしているかを見るには、$x_d[n]$ を二段階の演算として書けばよい。(1) $x[n]$ に周期的な標本化列 $c_M[n] = \frac{1}{M}\sum_{i=0}^{M-1} e^{j2\pi i n/M}$ を掛ける。これは $n$ が $M$ の倍数のとき 1、それ以外では 0 となる。(2) その零を捨てる。段階 (1) からは $\tilde{x}[n] = x[n]\,c_M[n]$ が得られ、その DTFT は $X(e^{j\omega})$ を平行移動した $M$ 個の複製の平均である。段階 (2) は周波数軸を $M$ 倍に伸縮する。結果は次のとおり：

Equivalently, in terms of the original continuous-time spectrum $X_c(j\Omega)$, the downsampled sequence looks exactly like sampling with period $MT$:等價地，若用原本的連續時間頻譜 $X_c(j\Omega)$ 來看，降取樣後的序列就等同於以週期 $MT$ 取樣：同じことを元の連続時間スペクトル $X_c(j\Omega)$ の言葉で言えば、ダウンサンプリングされた系列は、周期 $MT$ で標本化したものとまったく同じに見える：

Two equivalent descriptions, and how to get from one to the other兩種等價的描述，以及如何從一種推到另一種二つの等価な記述、そして一方から他方へ移る道筋

The two boxes above are the same spectrum written from two different starting points. Knowing how they connect is what makes the $1/M$ and the "only $M$ copies" stop looking arbitrary.上面兩個方框寫的是同一個頻譜，只是出發點不同。把兩者的關係弄清楚之後，那個 $1/M$ 以及「只有 $M$ 份複本」就不再像是憑空冒出來的了。上の二つの枠は、出発点が違うだけで同じスペクトルを書いたものである。両者のつながりを押さえれば、あの $1/M$ と「複製は $M$ 個だけ」という話が、どこからともなく降ってきたものには見えなくなる。

View 1 needs no new derivation: downsampling is sampling $x_c(t)$ directly with period $T_d = MT$, so substitute $T \to T_d$ in the sampling formula and read off three things — the frequency axis is scaled through $\omega = \Omega T_d$, the copies are shifted by integer multiples of $2\pi/T_d$ on the analog axis, and there is an infinite set of them. It is the more intuitive picture, but in practice you hold only $x[n]$ and may have no access to $X_c$ at all. Hence view 2.看法 1 不需要任何新的推導：降取樣就是以週期 $T_d = MT$ 直接對 $x_c(t)$ 取樣，所以只要把取樣公式裡的 $T$ 換成 $T_d$，就能讀出三件事——頻率軸透過 $\omega = \Omega T_d$ 被縮放、各複本在類比軸上平移 $2\pi/T_d$ 的整數倍、而且複本有無限多份。這個畫面比較直觀，但實務上你手上只有 $x[n]$，甚至可能根本拿不到 $X_c$。所以才需要看法 2。見方 1 には新しい導出は要らない。ダウンサンプリングとは、周期 $T_d = MT$ で $x_c(t)$ を直接標本化することそのものだから、標本化の公式で $T \to T_d$ と置き換えれば三つのことが読み取れる——周波数軸は $\omega = \Omega T_d$ を通して伸縮され、複製はアナログ軸上で $2\pi/T_d$ の整数倍だけ平行移動し、しかもその個数は無限である。こちらのほうが直観的な絵だが、実務で手もとにあるのは $x[n]$ だけで、$X_c$ にはまったく手が届かないこともある。だから見方 2 が要る。

Why infinitely many copies collapse to $M$無限多份複本為什麼會收成 $M$ 份無限個の複製がなぜ $M$ 個にまとまるのか

The whole trick is to split the summation index. Every integer $r$ decomposes uniquely as整個訣竅就在於把求和的索引拆開。任何整數 $r$ 都可以唯一地分解成要点は総和の添字を分解することに尽きる。任意の整数 $r$ は一意に次のように分解できる

(For $M = 3$, $r = 7$ is $i = 1$, $k = 2$.) Substituting into view 1 with $T_d = MT$ and grouping the $k$-sum inside the $i$-sum:（當 $M = 3$ 時，$r = 7$ 就是 $i = 1$、$k = 2$。）代入看法 1 並取 $T_d = MT$，再把對 $k$ 的求和收進對 $i$ 的求和裡：（$M = 3$ なら $r = 7$ は $i = 1$、$k = 2$ である。）見方 1 に $T_d = MT$ を代入し、$k$ についての和を $i$ についての和の内側にまとめると：

Put $\omega' = (\omega - 2\pi i)/M$, so that $\dfrac{\omega - 2\pi i}{MT} = \dfrac{\omega'}{T}$. The bracket is then exactly the sampling formula for $X(e^{j\omega'})$ — the spectrum of the sequence before downsampling. Therefore令 $\omega' = (\omega - 2\pi i)/M$，於是 $\dfrac{\omega - 2\pi i}{MT} = \dfrac{\omega'}{T}$。中括號裡的東西就正好是 $X(e^{j\omega'})$ 的取樣公式——也就是降取樣之前那個序列的頻譜。因此$\omega' = (\omega - 2\pi i)/M$ と置くと $\dfrac{\omega - 2\pi i}{MT} = \dfrac{\omega'}{T}$ となる。すると角括弧の中身は、ちょうど $X(e^{j\omega'})$ に対する標本化の公式——すなわちダウンサンプリング前の系列のスペクトル——そのものである。したがって

The three actions in view 2看法 2 的三個動作見方 2 における三つの動作

Actions 1 and 2 have to come as a pair, and the reason is periodicity. $X(e^{j\omega})$ is $2\pi$-periodic; stretching it by $M$ would make it $2\pi M$-periodic, which a DTFT is not allowed to be. The $M-1$ shifted copies drop into exactly those gaps and restore the period to $2\pi$. Take $M = 2$: stretching gives period $4\pi$ with a hole between $\pi$ and $3\pi$, and the single shifted copy ($i=1$) fills it.動作 1 與動作 2 必須成對出現，理由是週期性。$X(e^{j\omega})$ 的週期是 $2\pi$；把它拉寬 $M$ 倍之後週期會變成 $2\pi M$，但 DTFT 不可能是這樣。那 $M-1$ 份平移過的複本，正好落進那些空隙裡，把週期還原成 $2\pi$。以 $M = 2$ 為例：拉寬後週期變成 $4\pi$，在 $\pi$ 與 $3\pi$ 之間留下一個空洞，而唯一那份平移的複本（$i=1$）剛好補上。動作 1 と動作 2 は必ず対で現れる。理由は周期性である。$X(e^{j\omega})$ は $2\pi$ 周期であり、これを $M$ 倍に引き伸ばすと $2\pi M$ 周期になってしまうが、DTFT がそうなることは許されない。$M-1$ 個の平行移動された複製がちょうどその隙間に落ち込み、周期を $2\pi$ に戻す。$M = 2$ で見てみよう：引き伸ばしによって周期は $4\pi$ となり $\pi$ と $3\pi$ のあいだに空白ができるが、ただ一つの平行移動された複製（$i=1$）がそこを埋める。

This also re-derives the no-aliasing condition in one line. After stretching, the band occupies $M\omega_N$, so the copies stay clear of one another exactly when這同時也用一行就重新導出了避免混疊的條件。拉寬之後頻帶占據 $M\omega_N$，所以各複本彼此不相干擾的條件恰好是これは同時に、エイリアシングが起きない条件を一行で導き直してもいる。引き伸ばしたあと帯域は $M\omega_N$ を占めるので、複製どうしが互いに重ならないのは、ちょうど次の場合である

— the condition of §7.2.3. If it fails, lowpass-filter with cutoff $\pi/M$ first; that cascade is decimation.——正是 §7.2.3 的條件。若不滿足，就要先用截止頻率 $\pi/M$ 的低通濾波器處理；這個串接就是抽取（decimation）。——これが §7.2.3 の条件である。満たされない場合は、まず遮断周波数 $\pi/M$ の低域通過フィルタをかける。この縦続接続こそが間引き（decimation）である。

7.2.3 Aliasing and the anti-alias prefilter — the decimator7.2.3 混疊與抗混疊前置濾波器——抽取器7.2.3 エイリアシングとアンチエイリアス前置フィルタ——間引き器

From Fig. 7-3, downsampling is alias-free only when the original spectrum leaves room to be stretched:從圖 7-3 可以看出，只有當原始頻譜留有足夠空間可供拉寬時，降取樣才不會產生混疊：図 7-3 から分かるように、ダウンサンプリングがエイリアシングを免れるのは、元のスペクトルが引き伸ばされるだけの余地を残しているときだけである：

In digital frequency: the highest frequency present in $x[n]$, $\omega_N = \Omega_N T$, must satisfy $\omega_N < \dfrac{\pi}{M}$.換成數位頻率：$x[n]$ 的最高頻率 $\omega_N = \Omega_N T$ 必須滿足 $\omega_N < \dfrac{\pi}{M}$。ディジタル周波数で言えば、$x[n]$ に含まれる最高周波数 $\omega_N = \Omega_N T$ は次を満たさなければならない：$\omega_N < \dfrac{\pi}{M}$.

The boxed condition above writes $\le$ rather than $<$ because at exactly $\omega_N = \pi/M$ the stretched replicas only touch at $\pi$ and do not overlap — the middle panel of Fig. 7-3. The strict $<$ is the design-safe form: it leaves a margin instead of relying on a boundary that any filter roll-off or frequency drift would cross.上面方框內寫的是 $\le$ 而不是 $<$，是因為在 $\omega_N = \pi/M$ 恰好相等時，被拉寬的複本只是在 $\pi$ 處相接而不重疊——就是圖 7-3 中間那一張。嚴格的 $<$ 則是設計上安全的寫法：它留了餘裕，而不是把希望托在一個只要濾波器有滾降、或頻率有漂移就會跨過的邊界上。上の枠内の条件が $<$ ではなく $\le$ と書かれているのは、ちょうど $\omega_N = \pi/M$ のとき、引き伸ばされた複製は $\pi$ で接するだけで重なり合わないからである——図 7-3 の中央の図がそれにあたる。設計上安全な書き方は厳密な $<$ のほうである。フィルタのロールオフや周波数のずれがあればすぐに越えてしまう境界に頼るのではなく、余裕を残しておくという意味である。

If $x[n]$ is not bandlimited to $\pi/M$, we must lowpass-filter first. The cascade of an ideal lowpass filter (gain 1, cutoff $\pi/M$) and the compressor $\downarrow M$ is called a decimator（十中抽一器／降頻器）, and the whole operation decimation（抽取）. The prefilter deliberately throws away the band $|\omega| > \pi/M$ so that the surviving band comes through clean.如果 $x[n]$ 沒有帶限在 $\pi/M$ 以內，就必須先做低通濾波。把一個理想低通濾波器（增益 1、截止頻率 $\pi/M$）與壓縮器 $\downarrow M$ 串接起來，就稱為抽取器（decimator），整個運算則稱為抽取（decimation）。前置濾波器是刻意把 $|\omega| > \pi/M$ 這一段丟掉，好讓留下來的那一段能乾乾淨淨地通過。$x[n]$ が $\pi/M$ に帯域制限されていない場合には、まず低域通過フィルタをかけなければならない。理想低域通過フィルタ（利得 1、遮断周波数 $\pi/M$）と圧縮器 $\downarrow M$ を縦続接続したものを間引き器（decimator）と呼び、この演算全体を間引き（decimation）と呼ぶ。前置フィルタは $|\omega| > \pi/M$ の帯域をあえて捨て、残った帯域がきれいに通るようにする。

7.3 Upsampling: Rate Increase by an Integer Factor L7.3 升取樣：以整數因子 L 提高取樣率7.3 アップサンプリング：整数因子 L によるレート増加

7.3.1 The expander7.3.1 擴張器7.3.1 拡張器

To raise the sampling rate we want $x_i[n] = x_c(nT_i)$ with $T_i = T/L$ — i.e. we must create $L-1$ new samples between every pair of existing ones. The first stage is the sampling-rate expander（取樣率擴張器） $\uparrow L$, which inserts $L-1$ zeros between samples:要提高取樣率，我們想得到 $x_i[n] = x_c(nT_i)$，其中 $T_i = T/L$——也就是必須在每一對既有樣本之間製造出 $L-1$ 個新樣本。第一級是取樣率擴張器 $\uparrow L$，它在樣本之間插入 $L-1$ 個零：標本化レートを上げるには、$T_i = T/L$ として $x_i[n] = x_c(nT_i)$ を得たい——つまり、既存の標本の各対のあいだに $L-1$ 個の新しい標本を作り出さなければならない。その第一段が標本化レート拡張器（expander） $\uparrow L$ であり、標本と標本のあいだに $L-1$ 個の零を挿入する：

7.3.2 Spectrum: compression and images7.3.2 頻譜：壓縮與映像7.3.2 スペクトル：圧縮とイメージ

The DTFT of the zero-stuffed sequence follows directly from the definition:補零後序列的 DTFT 可以直接由定義得出：零詰めされた系列の DTFT は、定義から直ちに得られる：

7.3.3 Ideal bandlimited interpolation7.3.3 理想帶限內插7.3.3 理想帯域制限補間

The ideal anti-imaging filter has gain $L$ and cutoff $\pi/L$:理想的去鏡像濾波器增益為 $L$、截止頻率為 $\pi/L$：理想のアンチイメージングフィルタは、利得 $L$、遮断周波数 $\pi/L$ をもつ：

Panel (d) is a product in frequency, and multiplication in frequency is convolution in time — so the same step written in the time domain is $x_i[n] = x_e[n] * h_i[n]$, with the kernel being the impulse response of the filter in panel (c). That convolution is the discrete-time version of Shannon sinc interpolation (the formula on slide 17):(d) 格在頻域是一個乘法，而頻域相乘就是時域摺積——所以同一個步驟寫在時域就是 $x_i[n] = x_e[n] * h_i[n]$，其中的核正是 (c) 格那個濾波器的脈衝響應。這個摺積就是 Shannon sinc 內插的離散時間版本（投影片第 17 頁的公式）：(d) の段は周波数領域での積であり、周波数領域での掛け算は時間領域での畳み込みである——だから同じ段階を時間領域で書けば $x_i[n] = x_e[n] * h_i[n]$ となり、その核はまさに (c) の段のフィルタのインパルス応答である。この畳み込みこそが、シャノンの sinc 補間の離散時間版（スライド 17 の式）である：

The two lines say the same thing. The first is the convolution sum verbatim, running over every index of the zero-stuffed sequence. But $x_e[k]$ is nonzero only at multiples of $L$, where $x_e[mL] = x[m]$, so all but every $L$-th term vanishes: substituting $k = mL$ and renaming $m \to k$ gives the second line. The first form is written in terms of the sequence that actually enters the filter, the second in terms of the original samples you started from — and both are "delete the shaded image bands", seen in the time domain.這兩行說的是同一件事。第一行就是摺積和的原樣，對補零序列的每一個索引求和。但 $x_e[k]$ 只有在 $L$ 的倍數上才不為零，且 $x_e[mL] = x[m]$，所以除了每第 $L$ 項以外全部消失：代入 $k = mL$ 再把 $m$ 改名為 $k$，就得到第二行。第一種寫法是用「真正進到濾波器裡的那個序列」來表示，第二種則是用「你一開始手上的原樣本」來表示——而兩者都是同一件事：在時域看到的「把塗色的映像頻帶刪掉」。この二行は同じことを言っている。第一行は畳み込み和をそのまま書いたもので、零詰め系列のすべての添字にわたって和をとる。しかし $x_e[k]$ が零でないのは $L$ の倍数のところだけで、そこでは $x_e[mL] = x[m]$ であるから、$L$ 個おきの項を除いてすべて消える。$k = mL$ を代入し $m \to k$ と名前を付け替えれば、第二行が得られる。第一の表現は実際にフィルタへ入る系列の言葉で書かれ、第二の表現は出発点となった元の標本の言葉で書かれている——そしてどちらも、時間領域から見た「色付きのイメージ帯域を消す」という同じ操作である。

Two properties follow immediately, because $h_i[0]=1$ and $h_i[kL]=0$ for $k \ne 0$:由於 $h_i[0]=1$ 且當 $k \ne 0$ 時 $h_i[kL]=0$，立刻可以得到兩個性質：$h_i[0]=1$ であり、$k \ne 0$ のとき $h_i[kL]=0$ であることから、二つの性質が直ちに従う：

• Sample preservation: $x_i[kL] = x[k]$ — the original samples pass through unchanged.樣本保持不變：$x_i[kL] = x[k]$——原本的樣本原封不動地通過。標本の保存：$x_i[kL] = x[k]$——元の標本はそのまま通り抜ける。
• Exact reconstruction: if $x[n]=x_c(nT)$ came from a properly bandlimited $x_c(t)$ (i.e. $X_c(j\Omega)=0$ for $|\Omega| \ge \Omega_N$ and $T \le \pi/\Omega_N$), then $x_i[n] = x_c(nT/L)$ exactly — the interpolator behaves like an ideal C/D converter running $L$ times faster.精確重建：若 $x[n]=x_c(nT)$ 來自一個正確帶限的 $x_c(t)$（即 $|\Omega| \ge \Omega_N$ 時 $X_c(j\Omega)=0$，且 $T \le \pi/\Omega_N$），則 $x_i[n] = x_c(nT/L)$ 完全成立——內插器的行為就像一個跑快 $L$ 倍的理想 C/D 轉換器。厳密な再構成：$x[n]=x_c(nT)$ が正しく帯域制限された $x_c(t)$ から得られたものならば（すなわち $|\Omega| \ge \Omega_N$ で $X_c(j\Omega)=0$ かつ $T \le \pi/\Omega_N$ ならば）、$x_i[n] = x_c(nT/L)$ が厳密に成り立つ——補間器は $L$ 倍の速さで動く理想 C/D 変換器のように振る舞う。

How the interpolation actually happens內插到底是怎麼發生的補間は実際にどのように起きているのか

It is worth reading the second form of the sum once more, because it says something very concrete. Write it as a superposition:值得再讀一次那個和式的第二種寫法，因為它說的事情非常具體。把它寫成疊加的形式：この和の第二の表現をもう一度読む価値がある。きわめて具体的なことを言っているからである。重ね合わせの形に書いてみよう：

Each original sample $x[k]$ plants one sinc pulse, centered at its own new position $kL$ and scaled by its own value. The output at any index $n$ is the sum of all those overlapping pulses read at $n$. The expander does not create any values — it only makes room, moving $x[k]$ to position $kL$ and leaving $L-1$ empty slots between neighbors. The filter is what fills those slots.每一個原始樣本 $x[k]$ 都種下一個 sinc 脈衝，中心落在它自己的新位置 $kL$，高度按它自己的值縮放。任何索引 $n$ 上的輸出，就是所有這些互相重疊的脈衝在 $n$ 處的總和。擴張器並沒有造出任何值——它只是挪出空間，把 $x[k]$ 搬到位置 $kL$，並在相鄰兩者之間留下 $L-1$ 個空格。真正把空格填起來的是濾波器。元の標本 $x[k]$ はそれぞれ、自分の新しい位置 $kL$ を中心とし、自分の値で振幅を決めた sinc パルスを一つ植える。任意の添字 $n$ における出力は、それら重なり合うパルスをすべて $n$ で読んだ値の総和である。拡張器は値を何も作り出さない——ただ場所を空け、$x[k]$ を位置 $kL$ へ移し、隣り合う標本のあいだに $L-1$ 個の空きを残すだけである。その空きを埋めるのがフィルタである。

Why the original samples survive is now visible in one line: $h_i[0]=1$ while $h_i[\pm L] = h_i[\pm 2L] = \dots = 0$. At $n = kL$ exactly one pulse — the one belonging to $x[k]$ — is at its peak, and every other pulse is crossing zero. Hence $x_i[kL] = x[k]$.原始樣本為什麼能原封不動保留下來，現在一行就看得出來：$h_i[0]=1$，而 $h_i[\pm L] = h_i[\pm 2L] = \dots = 0$。在 $n = kL$ 上恰好只有一個脈衝——屬於 $x[k]$ 的那一個——正處於峰值，其他每個脈衝都剛好過零。因此 $x_i[kL] = x[k]$。元の標本がなぜそのまま残るのかは、いまや一行で見える。$h_i[0]=1$ である一方、$h_i[\pm L] = h_i[\pm 2L] = \dots = 0$ である。$n = kL$ ではちょうど一つのパルス——$x[k]$ に属するもの——がピークにあり、他のパルスはすべて零を横切っている。ゆえに $x_i[kL] = x[k]$ となる。

At an in-between index the neighboring sincs are not zero, so the output is a weighted mix of nearby original samples. For $L=3$ and $n=1$, evaluating $h_i$ at the distances $1, 2, 4, 5$ gives但在兩者之間的索引上，鄰近的 sinc 不為零，所以輸出是附近若干原始樣本的加權混合。以 $L=3$、$n=1$ 為例，把 $h_i$ 在距離 $1, 2, 4, 5$ 上求值，得到あいだの添字では隣接する sinc は零でないので、出力は近傍の元の標本の重み付き混合になる。$L=3$、$n=1$ の場合、距離 $1, 2, 4, 5$ で $h_i$ を評価すると

The nearest sample carries the largest weight; samples farther away contribute smaller corrections, sometimes negative. Those alternating-sign tails are exactly what makes the result land on the smooth bandlimited（帶限） curve through the original samples, rather than on the straight chords a linear interpolator would draw.最近的樣本權重最大；比較遠的樣本給出較小的修正，而且有時是負的。正是這些正負交替的尾巴，讓結果落在通過原始樣本的那條平滑帶限曲線上，而不是落在線性內插會畫出的直線弦上。最も近い標本が最大の重みをもち、遠い標本は小さな補正を、ときに負の値で与える。この符号が交互に入れ替わる裾こそが、結果を、元の標本を通る滑らかな帯域制限された曲線の上に乗せるものであって、線形補間器が描くような直線の弦の上には乗せないのである。

The same operation, seen from the two domains:同一個運算，從兩個域分別來看：同じ演算を、二つの領域から見てみよう：

The two are the same statement: smooth in time means no high-frequency images in frequency. That is why a lowpass filter — and nothing more — is the interpolator. The gain $L$ is the bookkeeping that restores the amplitude lost when the same energy was spread over $L$ times as many samples.這兩句話其實是同一句：時域上平滑，就等於頻域上沒有高頻映像。這就是為什麼一個低通濾波器——不多不少——就是內插器。而增益 $L$ 只是把帳算回來：同樣的能量被攤到 $L$ 倍多的樣本上，振幅掉了 $L$ 倍，乘回去就對了。この二つは同じ主張である。時間領域で滑らかだということは、周波数領域に高周波のイメージがないということに等しい。だからこそ低域通過フィルタが——それ以上のものは要らず——補間器そのものである。利得 $L$ は帳尻合わせであり、同じエネルギーが $L$ 倍の個数の標本に広げられたときに失われた振幅を戻している。

7.3.4 Practical interpolators: zero-order hold and linear7.3.4 實用的內插器：零階保持與線性內插7.3.4 実用的な補間器：零次ホールドと線形補間

The ideal sinc filter is infinitely long and non-causal, so practical systems use short approximations. The two classics:理想的 sinc 濾波器是無限長且非因果的，所以實際系統只能用簡短的近似。兩個經典做法：理想の sinc フィルタは無限に長く非因果的なので、実際の系では短い近似を使う。古典的なのは次の二つである：

The ZOH simply repeats each sample $L$ times (a staircase); the linear interpolator draws straight lines between samples (note $h_{\mathrm{lin}} = \tfrac{1}{L}\, h_{\mathrm{zoh}} * h_{\mathrm{zoh}}$, a triangle). Their frequency responses,ZOH 只是把每個樣本重複 $L$ 次（階梯狀）；線性內插器則在樣本之間拉直線（注意 $h_{\mathrm{lin}} = \tfrac{1}{L}\, h_{\mathrm{zoh}} * h_{\mathrm{zoh}}$，是一個三角形）。它們的頻率響應，ZOH は各標本を単に $L$ 回繰り返すだけである（階段状になる）。線形補間器は標本と標本のあいだに直線を引く（$h_{\mathrm{lin}} = \tfrac{1}{L}\, h_{\mathrm{zoh}} * h_{\mathrm{zoh}}$、すなわち三角形であることに注意）。それらの周波数応答は、

only approximate the ideal brick wall: the passband droops slightly and the images around $2\pi i/L$ are attenuated but not eliminated (the linear interpolator at least places spectral zeros exactly at the image centers $\omega = 2\pi i /L$). They work well when the signal is heavily oversampled, i.e. its energy is concentrated at $|\omega| \ll \pi$.只能近似理想的直角截止：通帶會略微下垂，而 $2\pi i/L$ 附近的映像只被衰減、並未消除（線性內插器至少把頻譜的零點剛好放在映像中心 $\omega = 2\pi i /L$ 上）。當訊號被大幅過取樣，也就是能量集中在 $|\omega| \ll \pi$ 時，它們的效果就很好。理想のブリックウォールを近似するにとどまる。通過帯域はわずかに垂れ下がり、$2\pi i/L$ のまわりのイメージは減衰こそするが消えはしない（線形補間器は少なくとも、スペクトルの零点をイメージの中心 $\omega = 2\pi i /L$ にちょうど置いてくれる）。信号が大きく過標本化されているとき、すなわちエネルギーが $|\omega| \ll \pi$ に集中しているときには、これらはよく働く。

7.4 General Rate Change by a Rational Factor L/M7.4 以有理數因子 L/M 做一般性的倍率轉換7.4 有理数因子 L/M による一般のレート変換

7.4.1 Cascade and combined filter7.4.1 串接與合併濾波器7.4.1 縦続接続と合成フィルタ

A noninteger rate change is achieved by interpolating by $L$ first, then decimating by $M$, giving a new sampling period非整數的倍率轉換，做法是先內插 $L$ 倍、再抽取 $M$ 倍，得到新的取樣週期非整数のレート変換は、まず $L$ 倍に補間し、続いて $M$ 倍に間引くことで実現され、新しい標本化周期は次のようになる

In the cascade, the interpolation filter (gain $L$, cutoff $\pi/L$) and the decimation filter (gain 1, cutoff $\pi/M$) operate back-to-back at the same (high) rate, so they collapse into one lowpass filter taking the tighter of the two cutoffs:在這個串接中，內插濾波器（增益 $L$、截止 $\pi/L$）與抽取濾波器（增益 1、截止 $\pi/M$）背靠背地跑在同一個（高）取樣率上，所以兩者可以合併成一個低通濾波器，截止頻率取兩者中較嚴格的那一個：この縦続接続では、補間フィルタ（利得 $L$、遮断 $\pi/L$）と間引きフィルタ（利得 1、遮断 $\pi/M$）が同じ（高い）レートで背中合わせに動くので、両者は遮断周波数の厳しいほうをとった一つの低域通過フィルタにまとまる：

7.4.2 Worked example: 3/2 rate change7.4.2 範例：3/2 倍率轉換7.4.2 例題：3/2 倍のレート変換

7.5 MATLAB Practice: decimate, downsample, resample, rat7.5 MATLAB 實作：decimate、downsample、resample、rat7.5 MATLAB 演習：decimate、downsample、resample、rat

7.5.1 decimate vs downsample（有無抗混疊濾波的差別）7.5.1 decimate vs downsample（有無抗混疊濾波的差別）7.5.1 decimate と downsample（アンチエイリアスフィルタの有無による違い）

The lecture's running example: a signal sampled at 1000 Hz must be reduced to $1000/8 = 125$ Hz. Two one-line options exist, and they are not equivalent:課堂上一路使用的例子：一個以 1000 Hz 取樣的訊號，必須降到 $1000/8 = 125$ Hz。有兩種一行就能寫完的做法，而它們並不等價：講義を通して使われている例。1000 Hz で標本化された信号を $1000/8 = 125$ Hz まで落とさなければならない。一行で書ける方法が二つあるが、両者は等価ではない：

7.5.2 resample and rat（任意倍率重新取樣）7.5.2 resample 與 rat（任意倍率重新取樣）7.5.2 resample と rat（任意倍率の再標本化）

Y = resample(X, P, Q) resamples X at $P/Q$ times the original rate (polyphase implementation; length of Y is $\lceil P/Q \cdot \mathrm{length}(X)\rceil$). It applies an anti-aliasing lowpass FIR filter during the conversion and compensates the filter delay. [N, D] = rat(X, tol) returns integers with $|N/D - X| \le tol$ (continued-fraction truncation; default tolerance $10^{-6}\,\lVert X\rVert_1$) — the standard way to get $P$ and $Q$ from a ratio of sampling rates:Y = resample(X, P, Q) 會把 X 重新取樣成原取樣率的 $P/Q$ 倍（採多相實現；Y 的長度為 $\lceil P/Q \cdot \mathrm{length}(X)\rceil$）。轉換過程中它會施加一個抗混疊低通 FIR 濾波器，並補償濾波器的延遲。[N, D] = rat(X, tol) 則回傳滿足 $|N/D - X| \le tol$ 的整數（以連分數截斷求得；預設容忍度為 $10^{-6}\,\lVert X\rVert_1$）——這是從兩個取樣率的比值求出 $P$ 與 $Q$ 的標準做法：Y = resample(X, P, Q) は X を元のレートの $P/Q$ 倍に再標本化する（多相実現。Y の長さは $\lceil P/Q \cdot \mathrm{length}(X)\rceil$ である）。変換の途中でアンチエイリアス低域通過 FIR フィルタをかけ、そのフィルタ遅延も補償する。[N, D] = rat(X, tol) は $|N/D - X| \le tol$ を満たす整数を返す（連分数の打ち切りによる。既定の許容値は $10^{-6}\,\lVert X\rVert_1$）——標本化レートの比から $P$ と $Q$ を求める標準的な方法である：

org_SR = 2000;                       % original rate (Hz)
new_SR3 = 300;                       % target rate (Hz)
[p, q] = rat(new_SR3/org_SR);        % p = 3, q = 20
new_signal3 = resample(org_signal, p, q);
new_taxis3 = (1:length(new_signal3))'/new_SR3;   % REBUILD the time axis!

7.6 Summary7.6 總結7.6 まとめ

Exercises習題演習

All five problems of ICE503 DSP Homework #7, restated with full worked solutions.ICE503 DSP 作業 #7 的全部五題，重新敘述並附完整解答。ICE503 DSP 宿題 #7 の全 5 題を、完全な解答つきで述べ直したものである。

fs = 1000;  t = 0:1/fs:2-1/fs;
x  = sin(2*pi*20*t) + sin(2*pi*100*t);

for M = [5 8]                          % (a) M = 5, (b) M = 8
    x_down = downsample(x, M);         % bare compressor, no filter
    x_deci = decimate(x, M);           % Chebyshev LPF, then compressor
    t_M    = downsample(t, M);

    figure;
    subplot(2,1,1);
    plot(t, x, 'Color', [.75 .75 .75]); hold on;
    stem(t_M, x_down, '.'); xlim([0 0.25]);
    title(sprintf('downsample, M = %d  (fs'' = %g Hz)', M, fs/M));
    subplot(2,1,2);
    plot(t, x, 'Color', [.75 .75 .75]); hold on;
    stem(t_M, x_deci, '.'); xlim([0 0.25]);
    title(sprintf('decimate, M = %d', M));
    xlabel('time (s)');
end

load('EMG_ICA.mat');
org_signal = fdata(:,1);               % channel 1, fs = 2000 Hz
org_SR = 2000;
t_org  = (1:length(org_signal))'/org_SR;

% ---------- (a) 2000 -> 5000 -> 2000 ----------
[p1, q1] = rat(5000/org_SR);           % p1 = 5,  q1 = 2
up_sig   = resample(org_signal, p1, q1);     % now 5000 Hz
[p2, q2] = rat(org_SR/5000);           % p2 = 2,  q2 = 5
back_a   = resample(up_sig, p2, q2);         % back to 2000 Hz
t_a = (1:length(back_a))'/org_SR;

figure; plot(t_org, org_signal); hold on; plot(t_a, back_a);
legend('original 2000 Hz', 'up 5000 \rightarrow down 2000');

% ---------- (b) 2000 -> 300 -> 2000 ----------
[p3, q3] = rat(300/org_SR);            % p3 = 3,  q3 = 20
low_sig  = resample(org_signal, p3, q3);     % now 300 Hz
[p4, q4] = rat(org_SR/300);            % p4 = 20, q4 = 3
back_b   = resample(low_sig, p4, q4);        % back to 2000 Hz
t_b = (1:length(back_b))'/org_SR;

figure; plot(t_org, org_signal); hold on; plot(t_b, back_b);
legend('original 2000 Hz', 'down 300 \rightarrow up 2000');