Chapter 1 — The Electromagnetic Model

Key Theory — Chapter 1

Condensed from Cheng, Field and Wave Electromagnetics, §1-1 through §1-3. Read this before attempting the problems below.

濃縮自 Cheng《Field and Wave Electromagnetics》§1-1 至 §1-3。請先讀完本節，再嘗試下方的習題。

Cheng『Field and Wave Electromagnetics』§1-1 〜 §1-3 の要約です。以下の問題に取り組む前に読んでください。

1-1   What is Electromagnetics?

Electromagnetics is the study of the effects of electric charges at rest and in motion. There are two kinds of charges — positive and negative — and both are sources of an electric field. Moving charges constitute a current, which gives rise to a magnetic field.

Electromagnetics（電磁學）研究的是靜止與運動中的電荷所產生的效應。電荷有兩種 — 正電荷與負電荷 — 兩者都是 electric field（電場）的來源。運動中的電荷構成電流（current），而電流則產生 magnetic field（磁場）。

電磁気学（Electromagnetics）は、静止および運動している電荷が及ぼす効果を研究する学問です。電荷には正と負の 2 種類があり、どちらも電場（electric field）の源となります。運動する電荷は電流を構成し、電流は磁場（magnetic field）を生じさせます。

A field is a spatial distribution of a quantity, which may or may not be a function of time. A time-varying electric field is always accompanied by a magnetic field, and vice versa — the two are coupled, forming an electromagnetic field. Under certain conditions, time-dependent electromagnetic fields produce waves that radiate from the source.

Field（場）是某個物理量在空間中的分布，可以隨時間變化，也可以不隨時間變化。隨時間變化的 electric field 必定伴隨 magnetic field，反之亦然 — 兩者彼此耦合（coupled），共同構成 electromagnetic field（電磁場）。在特定條件下，隨時間變化的電磁場會產生從源向外輻射的 waves（波）。

場（field）とは、ある量の空間的な分布のことで、時間の関数である場合もそうでない場合もあります。時間変化する電場には必ず磁場が伴い、その逆も成り立ちます。すなわち両者は結合（coupled）しており、合わせて電磁場（electromagnetic field）を形成します。一定の条件のもとでは、時間に依存する電磁場は波源から放射される波（waves）を生み出します。

Why fields, not just circuits? Circuit theory is a restricted special case of electromagnetic theory, valid only when the dimensions of a network are much smaller than the wavelength (quasi-static regime). Two situations where circuit theory fails:

為什麼需要場，而不只是電路？Circuit theory（電路理論）只是電磁理論的一個受限特例，僅在網路尺寸遠小於波長時（quasi-static 準靜態範圍）才成立。以下兩種情況是 circuit theory 失效的例子：

なぜ回路だけでなく場が必要なのか。回路理論（circuit theory）は電磁気理論の限定された特殊な場合にすぎず、回路網の寸法が波長よりはるかに小さいとき（準静的領域）にのみ成り立ちます。回路理論が破綻する状況を 2 つ挙げます：

1. A monopole antenna on a walkie-talkie appears as an open circuit to circuit theory, yet it clearly radiates — only a non-uniform current flowing along the open-ended conductor (predicted by field theory) explains transmission.
2. An electromagnetic wave incident on a conducting wall with a small aperture produces fields on the far side, even at points not directly behind the hole — a diffraction/shielding problem circuit theory cannot describe.

1. 對講機上的 monopole antenna（單極天線）在 circuit theory 看來是一個開路，但它顯然會輻射 — 只有場論所預測、沿著開路端導體流動的非均勻電流，才能解釋訊號的發射。
2. 電磁波入射到一面開有小孔的導電牆時，會在牆的另一側產生場，甚至在不正對小孔的位置也有場 — 這是 circuit theory 無法描述的 diffraction（繞射）／shielding（屏蔽）問題。

1. トランシーバーのモノポールアンテナ（monopole antenna）は、回路理論から見ると開放回路にすぎませんが、明らかに電波を放射します。開放端をもつ導体に沿って流れる不均一な電流（場の理論が予測するもの）だけが、送信を説明できます。
2. 小さな開口のある導体壁に電磁波が入射すると、壁の反対側、しかも開口の真裏ではない点にも場が生じます。これは回折・遮蔽の問題であり、回路理論では記述できません。

1-2.1   Deductive vs. Inductive Approach

Two approaches exist in developing a scientific subject:

發展一門科學學科有兩種途徑：

科学的な学問分野を構築するには、2 つのアプローチがあります：

• Inductive: follow the historical path — observe experiments, infer laws and theorems. Reasoning moves from particular phenomena to general principles.
• Deductive (axiomatic): postulate a few fundamental relations as axioms, then derive particular laws as consequences. The model's validity is verified by predictions that agree with experiment.

• Inductive（歸納法）：沿著歷史發展的路徑 — 觀察實驗，再歸納出定律與定理。推理方向是由個別現象推向一般原理。
• Deductive（演繹法／公理法）：先將少數幾個基本關係式設為公理（axioms），再由此推導出各個特定定律。模型的正確性由其預測與實驗相符來驗證。

• 帰納的（inductive）：歴史的な道筋をたどり、実験を観察して法則や定理を導きます。推論は個々の現象から一般的な原理へと進みます。
• 演繹的（deductive、公理的）：いくつかの基本的な関係式を公理として仮定し、そこから個々の法則を帰結として導きます。モデルの妥当性は、予測が実験と一致することによって検証されます。

Cheng uses the deductive approach because it is more elegant and develops the subject in an orderly way.

Cheng 採用 deductive 途徑，因為它更簡潔優雅，而且能有條理地逐步建立整個學科。

Cheng は演繹的アプローチを採用しています。そのほうがより簡潔で、学問を秩序立てて展開できるからです。

Three steps to build any theory on an idealized model

1. Define the basic quantities germane to the subject.
2. Specify the rules of operation (the mathematics) for those quantities.
3. Postulate the fundamental relations (axioms/laws), based on experimental observation.

1. 定義（define）與該學科相關的基本量。
2. 指定（specify）這些量的運算規則（即所需的數學）。
3. 設定（postulate）基本關係式（公理／定律），其依據為實驗觀察。

1. その学問に関わる基本量を定義する。
2. それらの量に対する演算規則（数学）を指定する。
3. 実験的観察に基づいて、基本的な関係式（公理・法則）を仮定する。

Familiar example — circuit theory: basic quantities are \(V, I, R, L, C\); rules of operation are algebra, ODEs, and Laplace transforms; fundamental postulates are Kirchhoff's voltage and current laws.

熟悉的例子 — circuit theory：基本量是 \(V, I, R, L, C\)；運算規則是代數、常微分方程 (ODE) 與 Laplace transform；基本設定則是 Kirchhoff 的電壓定律與電流定律。

身近な例として回路理論を考えましょう。基本量は \(V, I, R, L, C\)、演算規則は代数・常微分方程式・ラプラス変換であり、基本的な仮定はキルヒホッフの電圧則と電流則です。

For electromagnetics: Chapter 1 covers step 1; Chapter 2 covers step 2 (vector algebra & calculus); step 3 is introduced in three substeps — Chapters 3 (electrostatics), 6 (magnetostatics), and 7 (time-varying fields/Maxwell's equations).

對電磁學而言：第 1 章完成步驟 1；第 2 章完成步驟 2（vector algebra & calculus，向量代數與向量微積分）；步驟 3 則分三個子步驟引入 — 第 3 章（electrostatics，靜電學）、第 6 章（magnetostatics，靜磁學）與第 7 章（time-varying fields／Maxwell's equations）。

電磁気学では、第 1 章がステップ 1、第 2 章がステップ 2（ベクトル代数 & ベクトル解析）に対応します。ステップ 3 は 3 つの小ステップに分けて導入されます。第 3 章（静電気学）、第 6 章（静磁気学）、第 7 章（時間変化する場・マクスウェルの方程式）です。

1-2.2   Source Quantities

Quantities in the electromagnetic model fall into two categories: source quantities (the charges and currents that produce fields) and field quantities (the fields themselves).

電磁模型中的物理量分為兩類：source quantities（源量，即產生場的電荷與電流）與 field quantities（場量，即場本身）。

電磁モデルに現れる量は 2 つに分類されます。源量（source quantities：場を生み出す電荷と電流）と場量（field quantities：場そのもの）です。

Electric charge and the charge of an electron

Electric charge is a fundamental property of matter and exists only in positive or negative integer multiples of the elementary charge \(e\):

Electric charge（電荷）是物質的基本性質，其值只能是基本電荷 \(e\) 的正整數倍或負整數倍：

電荷（electric charge）は物質の基本的な性質であり、素電荷 \(e\) の正または負の整数倍としてのみ存在します：

Principle of conservation of charge — like conservation of momentum, this is a fundamental postulate of physics: charge can neither be created nor destroyed. The algebraic sum of positive and negative charges in an isolated system remains unchanged. This principle is expressed mathematically by the equation of continuity (§5-4), and Kirchhoff's current law is simply an assertion of it applied to a junction.

電荷守恆原理（principle of conservation of charge）— 如同動量守恆，這是物理學的一條基本設定：電荷既不能被創造，也不能被消滅。孤立系統中正、負電荷的代數和保持不變。此原理在數學上以 equation of continuity（連續方程式，§5-4）表示；Kirchhoff's current law 其實就是這個原理在電路節點上的直接陳述。

電荷保存則（principle of conservation of charge） — 運動量保存則と同様に、これは物理学の基本的な仮定です。電荷は生成も消滅もしません。孤立系の中にある正負の電荷の代数和は不変です。この原理を数学的に表したものが連続の方程式（§5-4）であり、キルヒホッフの電流則は、これを接続点に適用して述べたものにほかなりません。

Volume, surface, and line charge densities

Although charge is discrete microscopically, electromagnetic effects of large aggregates are well described by smoothed-out density functions defined as point functions of space coordinates:

雖然電荷在微觀上是離散的，但大量電荷集合所產生的電磁效應，可以用平滑化的密度函數來精確描述；這些函數被定義為空間座標的點函數（point functions）：

電荷は微視的には離散的ですが、多数の電荷の集まりが及ぼす電磁的効果は、空間座標の点関数（point function）として定義された平滑化された密度関数でよく記述できます：

"Small enough" to give accurate variation yet "large enough" to contain many discrete charges — e.g. a cube of side 1 μm has volume \(10^{-18}\ \text{m}^3\) and still contains about \(10^{11}\) atoms.

所謂「夠小」是指能準確反映密度的變化，「夠大」則是指內部仍含有大量離散電荷 — 例如邊長 1 μm 的立方體，體積為 \(10^{-18}\ \text{m}^3\)，卻仍含有約 \(10^{11}\) 個原子。

「十分に小さい」とは密度の変化を正確に表せる大きさ、「十分に大きい」とは多数の離散的な電荷を含む大きさという意味です。たとえば一辺 1 μm の立方体の体積は \(10^{-18}\ \text{m}^3\) ですが、それでもおよそ \(10^{11}\) 個の原子を含んでいます。

Current and current density

Current is the rate of change of charge with respect to time:

Current（電流）是電荷對時間的變化率：

電流（current）は、電荷の時間に対する変化率です：

Current flows through a finite area, so it is not a point function. Two vector point functions are defined to describe current density:

電流流經的是一個有限面積，因此它不是點函數。為了描述 current density（電流密度），定義了兩個向量點函數：

電流は有限の面積を流れるので、点関数ではありません。電流密度（current density）を記述するために、2 つのベクトル点関数が定義されます：

• Volume current density \(\mathbf{J}\) — current per unit area normal to flow direction, units A/m²; direction is the direction of current flow.
• Surface current density \(\mathbf{J}_s\) — used for currents confined to a thin surface layer (e.g. high-frequency currents on good conductors); units A/m.

• Volume current density（體電流密度）\(\mathbf{J}\) — 垂直於電流方向之單位面積上的電流，單位為 A/m²；方向即電流流動的方向。
• Surface current density（面電流密度）\(\mathbf{J}_s\) — 用於侷限在薄表面層內的電流（例如良導體上的高頻電流）；單位為 A/m。

• 体積電流密度（volume current density） \(\mathbf{J}\) — 電流の向きに垂直な単位面積あたりの電流で、単位は A/m² です。向きは電流が流れる方向です。
• 面電流密度（surface current density） \(\mathbf{J}_s\) — 薄い表面層に閉じ込められた電流（たとえば良導体上の高周波電流）に用います。単位は A/m です。

1-2.3   The Four Fundamental Field Quantities

Electromagnetics has four fundamental vector field quantities, all point functions of space (and time, in the dynamic case):

電磁學有 四個 基本的向量場量（vector field quantities），它們都是空間的點函數（在動態情況下也是時間的函數）：

電磁気学には 4 つの基本的なベクトル場量があり、いずれも空間の点関数（動的な場合には時間の関数でもあります）です：

Which field do you need, and when?

何時需要哪一個場？

どの場がいつ必要になるか。

• \(\mathbf{E}\) — the only vector needed for electrostatics in free space; defined as the electric force on a unit test charge.
• \(\mathbf{D}\) — useful when a material medium is present (Ch. 3).
• \(\mathbf{B}\) — the only vector needed for magnetostatics in free space; related to the magnetic force on a moving charge.
• \(\mathbf{H}\) — useful when a magnetic medium is present (Ch. 6).

• \(\mathbf{E}\) — 自由空間中的 electrostatics（靜電學）唯一需要的向量；定義為作用在單位測試電荷上的電力。
• \(\mathbf{D}\) — 當存在物質介質時才需要（第 3 章）。
• \(\mathbf{B}\) — 自由空間中的 magnetostatics（靜磁學）唯一需要的向量；與作用在運動電荷上的磁力有關。
• \(\mathbf{H}\) — 當存在磁性介質時才需要（第 6 章）。

• \(\mathbf{E}\) — 自由空間の静電気学で必要となる唯一のベクトルで、単位試験電荷に働く電気力として定義されます。
• \(\mathbf{D}\) — 物質媒質が存在するときに役立ちます（第 3 章）。
• \(\mathbf{B}\) — 自由空間の静磁気学で必要となる唯一のベクトルで、運動する電荷に働く磁気力と関係します。
• \(\mathbf{H}\) — 磁性媒質が存在するときに役立ちます（第 6 章）。

Static vs. dynamic coupling: under static, steady, or stationary conditions the two pairs \(\{\mathbf{E},\mathbf{D}\}\) and \(\{\mathbf{B},\mathbf{H}\}\) are independent. In time-dependent cases they are coupled — a time-varying \(\mathbf{E}\)/\(\mathbf{D}\) produces \(\mathbf{B}\)/\(\mathbf{H}\), and vice versa.

靜態與動態下的耦合：在靜態、穩態或定常（stationary）條件下，\(\{\mathbf{E},\mathbf{D}\}\) 與 \(\{\mathbf{B},\mathbf{H}\}\) 這兩組是彼此獨立的。在隨時間變化的情況下，它們則是耦合的 — 隨時間變化的 \(\mathbf{E}\)/\(\mathbf{D}\) 會產生 \(\mathbf{B}\)/\(\mathbf{H}\)，反之亦然。

静的な場合と動的な場合の結合：静的・定常の条件では、2 つの組 \(\{\mathbf{E},\mathbf{D}\}\) と \(\{\mathbf{B},\mathbf{H}\}\) は互いに独立です。時間に依存する場合には両者は結合します。すなわち時間変化する \(\mathbf{E}\)/\(\mathbf{D}\) は \(\mathbf{B}\)/\(\mathbf{H}\) を生み、その逆も成り立ちます。

Constitutive relations

Material (medium) properties determine the relations between \(\mathbf{E}\) and \(\mathbf{D}\), and between \(\mathbf{B}\) and \(\mathbf{H}\). These relations are called the constitutive relations of the medium. In free space (see §1-3):

物質（介質）的性質決定了 \(\mathbf{E}\) 與 \(\mathbf{D}\) 之間、以及 \(\mathbf{B}\) 與 \(\mathbf{H}\) 之間的關係。這些關係稱為該介質的 constitutive relations（組成關係式）。在自由空間中（見 §1-3）：

物質（媒質）の性質が、\(\mathbf{E}\) と \(\mathbf{D}\) の関係、および \(\mathbf{B}\) と \(\mathbf{H}\) の関係を決めます。これらの関係を媒質の構成関係式（constitutive relations）と呼びます。自由空間では（§1-3 参照）：

1-3.1   The SI System

SI (Système International d'Unités) is a rationalized MKSA system — four base units, from which every other unit in electromagnetics is derived:

SI（Système International d'Unités，國際單位制）是一套有理化的 MKSA 系統 — 由四個基本單位出發，電磁學中的其他所有單位都可由此導出：

SI（Système International d'Unités、国際単位系）は有理化された MKSA 系であり、4 つの基本単位から電磁気学のほかのすべての単位が導かれます：

All units in Table 1-1 are derived:

Table 1-1 中的所有單位都是導出單位：

Table 1-1 の単位はすべて組立単位（導出単位）です：

• Coulomb (C) = A·s
• Volt per meter (V/m) = kg·m/(A·s³)
• Tesla (T) = kg/(A·s²) = V·s/m² = Wb/m²

• Coulomb（庫侖，C）= A·s
• Volt per meter（伏特／公尺，V/m）= kg·m/(A·s³)
• Tesla（特斯拉，T）= kg/(A·s²) = V·s/m² = Wb/m²

• クーロン（C）= A·s
• ボルト毎メートル（V/m）= kg·m/(A·s³)
• テスラ（T）= kg/(A·s²) = V·s/m² = Wb/m²

"Rationalized" means the factor \(4\pi\) has been absorbed into the constitutive constants so that it does not appear in Maxwell's equations themselves (though it does appear in many derived relations such as Coulomb's law).

「Rationalized」（有理化）的意思是：因子 \(4\pi\) 已被吸收到組成常數之中，因此它不會出現在 Maxwell's equations 本身（但仍會出現在許多導出關係式中，例如 Coulomb's law）。

「有理化（rationalized）」とは、係数 \(4\pi\) を構成定数の中に吸収してあるため、マクスウェルの方程式そのものにはこの係数が現れないということです（ただし、クーロンの法則など多くの導出された関係式には現れます）。

1-3.2   The Three Universal Constants

Free space (vacuum) is characterized by three universal constants, which are not independent of one another:

自由空間（真空）由 三個 普適常數（universal constants）來描述，而這三者並非彼此獨立：

自由空間（真空）は 3 つの普遍定数（universal constants）で特徴づけられますが、これらは互いに独立ではありません：

In SI, \(\mu_0\) is defined exactly as \(4\pi\times 10^{-7}\) H/m (a choice of the unit system, not an experimentally measured quantity). The speed of light is fixed by the modern definition of the meter. The permittivity \(\epsilon_0\) is then derived from the master identity

在 SI 中，\(\mu_0\) 被定義為精確的 \(4\pi\times 10^{-7}\) H/m（這是單位制的選擇，而非實驗測得的量）。光速則由公尺的現代定義所固定。於是 permittivity（介電常數）\(\epsilon_0\) 就由下面這條主要恆等式導出：

SI では、\(\mu_0\) は正確に \(4\pi\times 10^{-7}\) H/m と定義されています（これは単位系の取り決めであって、実験で測定された量ではありません）。光速はメートルの現代的な定義によって固定されています。したがって誘電率（permittivity）\(\epsilon_0\) は、次の基本的な恒等式から導かれる量です：

which links electromagnetism to optics — the velocity of light is a consequence of the electric and magnetic properties of vacuum.

這條式子將電磁學與光學連結起來 — 光速正是真空之電性與磁性性質的必然結果。

この式は電磁気学と光学を結びつけています。光の速度は、真空の電気的・磁気的性質から導かれる帰結なのです。

Chapter 1 at a Glance

• Source quantities: \(\rho,\ \rho_s,\ \rho_\ell\) (charge densities), \(I,\ \mathbf{J},\ \mathbf{J}_s\) (current and current densities).
• Field quantities: \(\mathbf{E},\ \mathbf{D}\) (electric) and \(\mathbf{B},\ \mathbf{H}\) (magnetic); 4 vectors total.
• Constitutive relations (free space): \(\mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}\), \(\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}\).
• Universal constants: \(c\), \(\mu_0\), \(\epsilon_0\), with \(c = 1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\).
• Approach: deductive/axiomatic — define quantities, specify rules, postulate fundamental relations; postulates introduced in Chapters 3, 6, and 7.
• Why not just circuit theory: circuit theory is a quasi-static special case; radiation, diffraction and wave phenomena require the full electromagnetic model.

• Source quantities（源量）：\(\rho,\ \rho_s,\ \rho_\ell\)（電荷密度）、\(I,\ \mathbf{J},\ \mathbf{J}_s\)（電流與電流密度）。
• Field quantities（場量）：\(\mathbf{E},\ \mathbf{D}\)（電性）與 \(\mathbf{B},\ \mathbf{H}\)（磁性）；共四個向量。
• Constitutive relations（自由空間）：\(\mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}\)、\(\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}\)。
• Universal constants（普適常數）：\(c\)、\(\mu_0\)、\(\epsilon_0\)，且 \(c = 1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\)。
• 研究途徑：deductive／axiomatic — 定義物理量、指定運算規則、設定基本關係式；基本設定分別在第 3、6、7 章引入。
• 為什麼不能只用 circuit theory：circuit theory 只是準靜態的特例；radiation（輻射）、diffraction（繞射）與波動現象需要完整的電磁模型。

• 源量（source quantities）：\(\rho,\ \rho_s,\ \rho_\ell\)（電荷密度）、\(I,\ \mathbf{J},\ \mathbf{J}_s\)（電流と電流密度）。
• 場量（field quantities）：\(\mathbf{E},\ \mathbf{D}\)（電気）と \(\mathbf{B},\ \mathbf{H}\)（磁気）、合わせて 4 つのベクトル。
• 構成関係式（constitutive relations）（自由空間）：\(\mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}\)、\(\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}\)。
• 普遍定数（universal constants）：\(c\)、\(\mu_0\)、\(\epsilon_0\)、および \(c = 1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\)。
• アプローチ：演繹的・公理的 — 量を定義し、演算規則を指定し、基本的な関係式を仮定する。基本的な仮定は第 3、6、7 章で導入されます。
• 回路理論だけでは足りない理由：回路理論は準静的な特殊な場合にすぎず、放射・回折・波動現象を扱うには完全な電磁モデルが必要です。

Problems and Solutions

Review Questions (Tier 1)

Chapter 2 — Vector Analysis

Key Theory — Chapter 2

Condensed from Cheng, Field and Wave Electromagnetics, §2-1 through §2-12. Read this before attempting the problems below.

摘錄自 Cheng，Field and Wave Electromagnetics，§2-1 至 §2-12。請先閱讀本節，再嘗試下方的習題。

Cheng 著Field and Wave Electromagnetics、§2-1 〜 §2-12 の要約です。下の問題に取り組む前に読んでください。

2-1   Introduction — Why Vector Analysis?

Electromagnetic quantities are either scalars (charge, energy, potential) or vectors (\(\mathbf{E}\), \(\mathbf{B}\), current density). In three-dimensional space a vector relation is three scalar relations, so an efficient vector calculus is essential.

電磁量不是 scalars（純量：電荷、能量、電位）就是 vectors（向量：\(\mathbf{E}\)、\(\mathbf{B}\)、current density）。在三維空間中，一個向量關係式等於三個純量關係式，因此一套有效率的 vector calculus 是不可或缺的。

電磁気学の諸量はスカラー（scalars）（電荷、エネルギー、電位）かベクトル（vectors）（\(\mathbf{E}\)、\(\mathbf{B}\)、電流密度）のいずれかです。三次元空間では 1 つのベクトル関係式は3 つのスカラー関係式に相当するため、効率的なベクトル解析（vector calculus）が不可欠です。

Three pillars of this chapter:

本章的三大支柱：

本章の 3 つの柱：

1. Vector algebra — addition, dot and cross products.
2. Orthogonal coordinate systems — Cartesian, cylindrical, spherical.
3. Vector calculus — gradient, divergence, curl, and the integral theorems that tie them together.

1. Vector algebra — 向量加法、dot product 與 cross product。
2. Orthogonal coordinate systems — Cartesian、cylindrical、spherical 三種正交座標系。
3. Vector calculus — gradient、divergence、curl，以及將它們串連起來的積分定理。

1. ベクトル代数（Vector algebra） — 加法、内積と外積。
2. 直交座標系（Orthogonal coordinate systems） — 直角座標、円筒座標、球座標。
3. ベクトル解析（Vector calculus） — 勾配、発散、回転、およびそれらを結び付ける積分定理。

The physical laws themselves are invariant under choice of coordinates; coordinates are chosen only to match the geometry of a given problem.

物理定律本身不隨座標系的選擇而改變；選擇座標系只是為了配合特定問題的幾何形狀。

物理法則そのものは座標系の選び方に依存しません。座標系は、与えられた問題の幾何学的形状に合わせるためにのみ選ばれます。

2-2   Vector Addition and Subtraction

A vector has magnitude and direction; a unit vector points without magnitude:

向量具有大小與方向；unit vector 只指示方向而不帶大小：

ベクトルは大きさと方向を持ちます。単位ベクトル（unit vector）は大きさを持たず方向だけを示します：

Addition is commutative and associative; subtraction is \(\mathbf{A}-\mathbf{B} = \mathbf{A}+(-\mathbf{B})\).

向量加法滿足交換律與結合律；減法定義為 \(\mathbf{A}-\mathbf{B} = \mathbf{A}+(-\mathbf{B})\)。

加法は交換法則と結合法則を満たします。減法は \(\mathbf{A}-\mathbf{B} = \mathbf{A}+(-\mathbf{B})\) と定義されます。

2-3   Products of Vectors

Dot (scalar) product — yields a scalar:

Dot (scalar) product — 結果為一純量：

内積（Dot product、スカラー積） — 結果はスカラーになります：

Zero iff vectors are orthogonal; equals the projection of one onto the other times the other's magnitude. Commutative and distributive; not associative (triple dot is meaningless).

兩向量正交時（且僅當此時）內積為零；其值等於一向量在另一向量上的投影乘以後者的大小。滿足交換律與分配律；但不滿足結合律（三重 dot product 沒有意義）。

内積が零になるのは、2 つのベクトルが直交するとき、かつそのときに限ります。その値は、一方のベクトルを他方へ射影した長さに他方の大きさを掛けたものに等しくなります。交換法則と分配法則を満たしますが、結合法則は満たしません（三重の内積には意味がありません）。

Cross (vector) product — yields a vector perpendicular to the plane of the operands, magnitude equals the area of their parallelogram:

Cross (vector) product — 結果為一向量，垂直於兩運算元所在的平面，大小等於兩者所張成的平行四邊形面積：

外積（Cross product、ベクトル積） — 結果は 2 つのベクトルが張る平面に垂直なベクトルで、その大きさは両者がつくる平行四辺形の面積に等しくなります：

Direction \(\mathbf{a}_n\) by right-hand rule. Cross product is anti-commutative, distributive, and not associative.

方向 \(\mathbf{a}_n\) 由 right-hand rule 決定。Cross product 滿足反交換律與分配律，但不滿足結合律。

方向 \(\mathbf{a}_n\) は右手の法則（right-hand rule）で決まります。外積は反交換的であり、分配法則を満たしますが、結合法則は満たしません。

Scalar triple product — cyclic permutation leaves it unchanged (geometrically, volume of the parallelepiped):

Scalar triple product — 循環置換不改變其值（幾何意義為平行六面體的體積）：

スカラー三重積（Scalar triple product） — 巡回置換をしても値は変わりません（幾何学的には平行六面体の体積です）：

Vector triple product — the BAC-CAB rule:

Vector triple product — 即 BAC-CAB 法則：

ベクトル三重積（Vector triple product） — いわゆる BAC-CAB の規則です：

Parentheses matter — \((\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times\mathbf{C}\) is a different vector. Division by a vector is undefined.

括號的位置很重要 — \((\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times\mathbf{C}\) 是另一個不同的向量。向量的除法是沒有定義的。

括弧の位置は重要です — \((\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times\mathbf{C}\) は別のベクトルになります。ベクトルによる除算は定義されていません。

2-4   Orthogonal Coordinate Systems

A right-handed orthogonal system has base vectors \(\mathbf{a}_{u_1},\mathbf{a}_{u_2},\mathbf{a}_{u_3}\) satisfying:

右手正交座標系的 base vectors \(\mathbf{a}_{u_1},\mathbf{a}_{u_2},\mathbf{a}_{u_3}\) 滿足：

右手系の直交座標系の基底ベクトル（base vectors）\(\mathbf{a}_{u_1},\mathbf{a}_{u_2},\mathbf{a}_{u_3}\) は次を満たします：

Coordinates \(u_i\) may not themselves be lengths (angles, for instance). The metric coefficient \(h_i\) converts a coordinate change to a length:

座標 \(u_i\) 本身不一定是長度（例如角度）。Metric coefficient \(h_i\) 將座標的變化量換算為長度：

座標 \(u_i\) 自体は長さとは限りません（例えば角度）。計量係数（metric coefficient） \(h_i\) は座標の変化量を長さに換算します：

Cartesian (§2-4.1):

Cartesian（直角座標，§2-4.1）：

直角座標（Cartesian、§2-4.1）：

Cylindrical (§2-4.2): \((r,\phi,z)\). Useful for line charges, long wires, coax. \(\mathbf{a}_r\times\mathbf{a}_\phi=\mathbf{a}_z\).

Cylindrical（圓柱座標，§2-4.2）： \((r,\phi,z)\)。適用於 line charges、長導線、coax。\(\mathbf{a}_r\times\mathbf{a}_\phi=\mathbf{a}_z\)。

円筒座標（Cylindrical、§2-4.2）： \((r,\phi,z)\)。線電荷、長い導線、同軸線に有用です。\(\mathbf{a}_r\times\mathbf{a}_\phi=\mathbf{a}_z\)。

Spherical (§2-4.3): \((R,\theta,\phi)\). \(R\) is distance from origin, \(\theta\) is polar angle from \(+z\), \(\phi\) is azimuth. Ideal for point sources and far-field antenna problems. \(\mathbf{a}_R\times\mathbf{a}_\theta=\mathbf{a}_\phi\).

Spherical（球座標，§2-4.3）： \((R,\theta,\phi)\)。\(R\) 為到原點的距離，\(\theta\) 為自 \(+z\) 軸量起的 polar angle，\(\phi\) 為 azimuth。最適合點源與 far-field 天線問題。\(\mathbf{a}_R\times\mathbf{a}_\theta=\mathbf{a}_\phi\)。

球座標（Spherical、§2-4.3）： \((R,\theta,\phi)\)。\(R\) は原点からの距離、\(\theta\) は \(+z\) 軸から測った極角、\(\phi\) は方位角です。点源や遠方界（far-field）のアンテナ問題に最適です。\(\mathbf{a}_R\times\mathbf{a}_\theta=\mathbf{a}_\phi\)。

Caution: in curvilinear systems the base vectors depend on position (\(\partial\mathbf{a}_r/\partial\phi = \mathbf{a}_\phi\), \(\partial\mathbf{a}_\phi/\partial\phi = -\mathbf{a}_r\)). Differentiation of a vector in such systems must account for this.

注意：在曲線座標系中，base vectors 會隨位置而變（\(\partial\mathbf{a}_r/\partial\phi = \mathbf{a}_\phi\)，\(\partial\mathbf{a}_\phi/\partial\phi = -\mathbf{a}_r\)）。在這類座標系中對向量微分時，必須將此納入考量。

注意：曲線座標系では基底ベクトルが位置に依存します（\(\partial\mathbf{a}_r/\partial\phi = \mathbf{a}_\phi\)、\(\partial\mathbf{a}_\phi/\partial\phi = -\mathbf{a}_r\)）。このような座標系でベクトルを微分する際には、この点を考慮しなければなりません。

2-5   Line, Surface, Volume Integrals

The differential area is treated as a vector \(d\mathbf{s} = \mathbf{a}_n\,ds\) (outward normal for a closed surface, right-hand-rule normal for an open surface bounded by a contour).

微分面積視為向量 \(d\mathbf{s} = \mathbf{a}_n\,ds\)（封閉曲面取外法線；由輪廓所圍的開放曲面則取 right-hand-rule 法線）。

微小面積はベクトル \(d\mathbf{s} = \mathbf{a}_n\,ds\) として扱います（閉曲面では外向き法線、閉曲線で囲まれた開曲面では右手の法則による法線をとります）。

2-6   Gradient of a Scalar Field

The gradient is the vector pointing in the direction of the maximum spatial rate of increase of a scalar \(V\), with magnitude equal to that rate:

Gradient 是一向量，指向純量 \(V\) 在空間中增加率最大的方向，其大小等於該增加率：

勾配（gradient）は、スカラー \(V\) の空間的な増加率が最大となる方向を向き、その大きさがその増加率に等しいベクトルです：

General orthogonal curvilinear form:

一般正交曲線座標形式：

一般の直交曲線座標における形：

Cartesian form — also defines the del operator:

Cartesian 形式 — 同時定義了 del operator：

直角座標における形 — ナブラ演算子（del operator）の定義でもあります：

\(\nabla V\) is always perpendicular to surfaces of constant \(V\). In electrostatics we use \(\mathbf{E}=-\nabla V\) — the minus sign makes \(V\) increase opposite to \(\mathbf{E}\).

\(\nabla V\) 永遠垂直於 \(V\) 的等值面。在 electrostatics 中我們使用 \(\mathbf{E}=-\nabla V\) — 負號使 \(V\) 沿著 \(\mathbf{E}\) 的反方向增加。

\(\nabla V\) は常に \(V\) の等値面に垂直です。静電気学では \(\mathbf{E}=-\nabla V\) を用います — 負号により、\(V\) は \(\mathbf{E}\) と逆向きに増加します。

2-7   Divergence of a Vector Field

Divergence measures the net outward flux of \(\mathbf{A}\) per unit volume — the flow source density:

Divergence 度量 \(\mathbf{A}\) 每單位體積的淨向外通量 — 即 flow source density（流源密度）：

発散（divergence）は、単位体積あたりの \(\mathbf{A}\) の正味の外向き流束を表します — すなわち湧き出し源の密度（flow source density）です：

Coordinate forms:

各座標系形式：

各座標系における形：

A field with \(\nabla\cdot\mathbf{A}=0\) everywhere is solenoidal — flux lines close on themselves, no sources or sinks (e.g., magnetic flux density \(\mathbf{B}\)).

處處滿足 \(\nabla\cdot\mathbf{A}=0\) 的場稱為 solenoidal（螺線場） — 通量線自我閉合，沒有源或匯（例如 magnetic flux density \(\mathbf{B}\)）。

至るところで \(\nabla\cdot\mathbf{A}=0\) となる場はソレノイダル（solenoidal）です — 流束線は閉じており、湧き出しも吸い込みもありません（例：磁束密度 \(\mathbf{B}\)）。

2-8   Divergence Theorem

Also known as Gauss's theorem:

又稱 Gauss's theorem：

ガウスの定理（Gauss's theorem）とも呼ばれます：

Converts volume integral of a divergence into a closed surface integral of the vector — the workhorse behind integral forms of Gauss's law and charge conservation.

將 divergence 的體積分轉換為該向量的封閉曲面積分 — 是 Gauss's law 與電荷守恆積分形式背後的主力工具。

発散の体積積分を、そのベクトルの閉曲面積分に変換します — ガウスの法則や電荷保存則の積分形を導く際の中心的な道具です。

2-9   Curl of a Vector Field

Circulation is the line integral of \(\mathbf{A}\) around a closed contour. Curl is the vortex-source density:

Circulation（環流）是 \(\mathbf{A}\) 沿封閉輪廓的線積分。Curl 則是 vortex-source density（渦源密度）：

循環（circulation）は閉曲線に沿った \(\mathbf{A}\) の線積分です。回転（curl）は渦源密度（vortex-source density）です：

The direction of \(\mathbf{a}_n\) is that which maximizes the circulation per unit area (right-hand rule relative to \(d\mathbf{\ell}\)).

\(\mathbf{a}_n\) 的方向是使單位面積環流達到最大的方向（相對於 \(d\mathbf{\ell}\) 的 right-hand rule）。

\(\mathbf{a}_n\) の方向は、単位面積あたりの循環を最大にする方向です（\(d\mathbf{\ell}\) に対する右手の法則）。

Determinant form in Cartesian coordinates:

Cartesian 座標下的行列式形式：

直角座標における行列式の形：

General orthogonal curvilinear form:

一般正交曲線座標形式：

一般の直交曲線座標における形：

A field with \(\nabla\times\mathbf{A}=0\) everywhere is irrotational (or conservative). A static electrostatic field is always irrotational.

處處滿足 \(\nabla\times\mathbf{A}=0\) 的場稱為 irrotational（無旋場，或稱 conservative 保守場）。靜電場永遠是 irrotational。

至るところで \(\nabla\times\mathbf{A}=0\) となる場は非回転（irrotational）（または保存的（conservative））です。静電場は常に非回転です。

2-10   Stokes's Theorem

Converts surface integral of a curl into a closed line integral around the bounding contour. The directions of \(d\mathbf{\ell}\) and \(d\mathbf{s}=\mathbf{a}_n\,ds\) obey the right-hand rule.

將 curl 的曲面積分轉換為沿邊界輪廓的封閉線積分。\(d\mathbf{\ell}\) 與 \(d\mathbf{s}=\mathbf{a}_n\,ds\) 的方向遵循 right-hand rule。

回転の面積分を、境界となる閉曲線に沿った線積分に変換します。\(d\mathbf{\ell}\) と \(d\mathbf{s}=\mathbf{a}_n\,ds\) の向きは右手の法則に従います。

Dictionary. The two integral theorems convert dimensionality:

對照表。這兩個積分定理改變的是積分的維度：

対応表。2 つの積分定理は積分の次元を変換します：

2-11   Two Null Identities

Repeated del operations give two identities of deep importance for potential theory:

重複施加 del 運算可得兩個對 potential theory 極為重要的恆等式：

ナブラ演算を繰り返し施すと、ポテンシャル論にとってきわめて重要な 2 つの恒等式が得られます：

Converse statements (crucial for EM):

逆命題（對 EM 至關重要）：

逆の命題（電磁気学にとって決定的に重要）：

• If \(\nabla\times\mathbf{E}=0\), then \(\mathbf{E}\) can be written as the gradient of a scalar: \(\mathbf{E} = -\nabla V\) (2-148). This is why electric potential exists in electrostatics.
• If \(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\), then \(\mathbf{B}\) can be written as the curl of a vector: \(\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}\) (2-152). This is why magnetic vector potential exists.

• 若 \(\nabla\times\mathbf{E}=0\)，則 \(\mathbf{E}\) 可寫成某純量的 gradient：\(\mathbf{E} = -\nabla V\) (2-148)。這就是 electrostatics 中 electric potential 得以存在的原因。
• 若 \(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\)，則 \(\mathbf{B}\) 可寫成某向量的 curl：\(\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}\) (2-152)。這就是 magnetic vector potential 得以存在的原因。

• \(\nabla\times\mathbf{E}=0\) ならば、\(\mathbf{E}\) はスカラーの勾配として \(\mathbf{E} = -\nabla V\) (2-148) と書けます。静電気学で電位（electric potential）が存在するのはこのためです。
• \(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\) ならば、\(\mathbf{B}\) はベクトルの回転として \(\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}\) (2-152) と書けます。磁気ベクトルポテンシャル（magnetic vector potential）が存在するのはこのためです。

2-12   Helmholtz's Theorem

A vector field is determined — to within an additive constant — if both its divergence and its curl are specified everywhere, and the field vanishes at infinity.

若一向量場的 divergence 與 curl 在空間中處處給定，且該場在無窮遠處為零，則此向量場即被唯一決定 — 至多相差一個加法常數。

ベクトル場は、その発散と回転が至るところで指定され、かつ無限遠で零になるならば — 加法定数を除いて — 一意に決まります。

Classification of vector fields:

向量場的分類：

ベクトル場の分類：

Any such field decomposes into an irrotational part and a solenoidal part:

任何這樣的場都可分解為一個 irrotational 部分與一個 solenoidal 部分：

そのような場はいずれも、非回転部分とソレノイダル部分に分解できます：

This is the axiomatic foundation for all of Cheng's subsequent chapters — specifying both div and curl of \(\mathbf{E}\) (Chapter 3) or of \(\mathbf{B}\) (Chapter 6) fixes the entire field. That is why Cheng postulates div and curl rather than starting from Coulomb's law.

這正是 Cheng 後續各章的公理基礎 — 只要同時指定 \(\mathbf{E}\)（第 3 章）或 \(\mathbf{B}\)（第 6 章）的 div 與 curl，整個場便隨之確定。這就是 Cheng 選擇以 div 與 curl 作為 postulates，而非從 Coulomb's law 出發的原因。

これが Cheng の以降の全章の公理的な基礎です — \(\mathbf{E}\)（第 3 章）あるいは \(\mathbf{B}\)（第 6 章）の発散と回転の両方を指定すれば、場全体が決まります。Cheng がクーロンの法則から出発するのではなく、発散と回転を公理（postulates）として置くのはこのためです。

Chapter 2 at a Glance

• Algebra: \(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=AB\cos\theta\); \(\mathbf{A}\times\mathbf{B}=\mathbf{a}_n AB\sin\theta\) (right-hand rule). Cyclic scalar triple product; BAC-CAB rule.
• Three coordinate systems: Cartesian \((x,y,z)\), cylindrical \((r,\phi,z)\), spherical \((R,\theta,\phi)\); Table 2-1 has their base vectors, \(h_i\), and \(dv\).
• Del operator \(\nabla\) in Cartesian: \(\mathbf{a}_x\partial_x + \mathbf{a}_y\partial_y + \mathbf{a}_z\partial_z\).
• Gradient \(\nabla V\) — maximum rate of increase; \(dV=\nabla V\cdot d\mathbf{\ell}\); perpendicular to level surfaces.
• Divergence \(\nabla\cdot\mathbf{A}\) — flow-source density; zero \(\Rightarrow\) solenoidal.
• Curl \(\nabla\times\mathbf{A}\) — vortex-source density; zero \(\Rightarrow\) irrotational/conservative.
• Divergence theorem: \(\int_V \nabla\cdot\mathbf{A}\,dv = \oint_S \mathbf{A}\cdot d\mathbf{s}\).
• Stokes's theorem: \(\int_S (\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\mathbf{s} = \oint_C \mathbf{A}\cdot d\mathbf{\ell}\).
• Null identities: \(\nabla\times(\nabla V)=0\), \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0\) — allow definition of scalar potential \(V\) and vector potential \(\mathbf{A}\).
• Helmholtz: \(\mathbf{F}=-\nabla V+\nabla\times\mathbf{A}\); divergence + curl uniquely determine a well-behaved field.

• 向量代數：\(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=AB\cos\theta\)；\(\mathbf{A}\times\mathbf{B}=\mathbf{a}_n AB\sin\theta\)（right-hand rule）。Scalar triple product 可循環置換；BAC-CAB 法則。
• 三種座標系：Cartesian \((x,y,z)\)、cylindrical \((r,\phi,z)\)、spherical \((R,\theta,\phi)\)；Table 2-1 列出各自的 base vectors、\(h_i\) 與 \(dv\)。
• Del operator \(\nabla\) 在 Cartesian 座標下為：\(\mathbf{a}_x\partial_x + \mathbf{a}_y\partial_y + \mathbf{a}_z\partial_z\)。
• Gradient \(\nabla V\) — 最大增加率；\(dV=\nabla V\cdot d\mathbf{\ell}\)；垂直於等值面。
• Divergence \(\nabla\cdot\mathbf{A}\) — 流源密度；為零 \(\Rightarrow\) solenoidal。
• Curl \(\nabla\times\mathbf{A}\) — 渦源密度；為零 \(\Rightarrow\) irrotational／conservative。
• Divergence theorem：\(\int_V \nabla\cdot\mathbf{A}\,dv = \oint_S \mathbf{A}\cdot d\mathbf{s}\)。
• Stokes's theorem：\(\int_S (\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\mathbf{s} = \oint_C \mathbf{A}\cdot d\mathbf{\ell}\)。
• Null identities：\(\nabla\times(\nabla V)=0\)、\(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0\) — 使得 scalar potential \(V\) 與 vector potential \(\mathbf{A}\) 得以定義。
• Helmholtz：\(\mathbf{F}=-\nabla V+\nabla\times\mathbf{A}\)；divergence 加上 curl 即可唯一決定一個行為良好的場。

• 代数：\(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=AB\cos\theta\)、\(\mathbf{A}\times\mathbf{B}=\mathbf{a}_n AB\sin\theta\)（右手の法則）。スカラー三重積は巡回置換で不変、BAC-CAB の規則。
• 3 つの座標系：直角座標 \((x,y,z)\)、円筒座標 \((r,\phi,z)\)、球座標 \((R,\theta,\phi)\)。Table 2-1 にそれぞれの基底ベクトル、\(h_i\)、\(dv\) がまとめられています。
• ナブラ演算子（del operator） \(\nabla\) の直角座標表示：\(\mathbf{a}_x\partial_x + \mathbf{a}_y\partial_y + \mathbf{a}_z\partial_z\)。
• 勾配（gradient） \(\nabla V\) — 最大増加率。\(dV=\nabla V\cdot d\mathbf{\ell}\)。等値面に垂直。
• 発散（divergence） \(\nabla\cdot\mathbf{A}\) — 湧き出し源の密度。零 \(\Rightarrow\) ソレノイダル。
• 回転（curl） \(\nabla\times\mathbf{A}\) — 渦源密度。零 \(\Rightarrow\) 非回転／保存的。
• 発散定理（divergence theorem）：\(\int_V \nabla\cdot\mathbf{A}\,dv = \oint_S \mathbf{A}\cdot d\mathbf{s}\)。
• ストークスの定理（Stokes's theorem）：\(\int_S (\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\mathbf{s} = \oint_C \mathbf{A}\cdot d\mathbf{\ell}\)。
• 零恒等式（null identities）：\(\nabla\times(\nabla V)=0\)、\(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0\) — これによりスカラーポテンシャル \(V\) とベクトルポテンシャル \(\mathbf{A}\) が定義できます。
• ヘルムホルツの定理（Helmholtz）：\(\mathbf{F}=-\nabla V+\nabla\times\mathbf{A}\)。発散と回転の両方を与えれば、素性のよい場は一意に決まります。

Problems and Solutions

Review Questions (Tier 1)

Textbook Practice Problems

Textbook Practice — Approach Hints

Chapter 3 — Static Electric Fields

Key Theory — Chapter 3

Condensed from Cheng, Field and Wave Electromagnetics, §3-1 through §3-11. Read this before attempting the problems below.

濃縮自 Cheng，Field and Wave Electromagnetics，§3-1 至 §3-11。請先讀完本節，再嘗試下方的習題。

Cheng『Field and Wave Electromagnetics』§3-1〜§3-11 の要約です。下の問題に取り組む前にお読みください。

3-1   Introduction — Why Postulate, Not Derive?

Elementary texts start from Coulomb's experimental law and build upward. Cheng instead postulates the divergence and curl of \(\mathbf{E}\) in free space, then derives Coulomb's and Gauss's laws from them. Justification:

初等教材多由 Coulomb's law 這條實驗定律出發，逐步往上建構。Cheng 則反其道而行：先假設（postulate）自由空間中 \(\mathbf{E}\) 的 divergence 與 curl，再由此推導出 Coulomb's law 與 Gauss's law。理由如下：

初等的な教科書はクーロンの実験法則（Coulomb's law）から出発して理論を積み上げます。これに対して Cheng は、自由空間における \(\mathbf{E}\) の発散（divergence）と回転（curl）を公理として置き、そこからクーロンの法則とガウスの法則を導きます。その根拠は次のとおりです：

• Coulomb measured the inverse-square power to limited accuracy; assuming it is exactly 2 is already a postulate.
• By Helmholtz's theorem (§2-12) a vector field in a bounded region is uniquely determined by its divergence and curl. Specifying both of \(\mathbf{E}\) therefore fixes the entire electrostatic theory.
• Coulomb's law, Gauss's law, and scalar potential then follow as consequences, not independent postulates — the axiomatic approach.

• Coulomb 量測 inverse-square 指數時的精度有限；假設它恰好等於 2，本身就已經是一條 postulate。
• 依據 Helmholtz's theorem（§2-12），有界區域內的 vector field 由其 divergence 與 curl 唯一決定。因此只要給定 \(\mathbf{E}\) 的這兩者，整套 electrostatic theory 便已確定。
• Coulomb's law、Gauss's law 與 scalar potential 於是成為推論結果，而非彼此獨立的 postulates — 這就是公理化 (axiomatic) 的做法。

• クーロンが測定した逆 2 乗の指数の精度には限りがあります。それがちょうど 2 であると仮定すること自体、すでに一つの公理（postulate）です。
• ヘルムホルツの定理（Helmholtz's theorem）（§2-12）により、有界領域内のベクトル場はその発散と回転によって一意に定まります。したがって \(\mathbf{E}\) の両者を指定すれば、静電気学の理論全体が確定します。
• クーロンの法則、ガウスの法則、スカラーポテンシャルは、独立した公理ではなく帰結として導かれます — これが公理論的アプローチです。

In electrostatics, charges are at rest, fields do not change with time, and no magnetic field is present. Only one of the four field quantities — \(\mathbf{E}\) — and one of the three universal constants — \(\epsilon_0\) — are needed in free space.

在 electrostatics 中，電荷靜止不動，場不隨時間變化，也沒有 magnetic field。因此在自由空間裡，四個 field quantities 只需要一個 — \(\mathbf{E}\) — 三個 universal constants 也只需要一個 — \(\epsilon_0\)。

静電気学（electrostatics）では電荷は静止し、場は時間的に変化せず、磁場も存在しません。したがって自由空間では、4 つの場の量のうち \(\mathbf{E}\) だけ、3 つの普遍定数のうち \(\epsilon_0\) だけがあれば十分です。

3-2   Fundamental Postulates of Electrostatics in Free Space

Electric field intensity is defined as the force per unit charge on a stationary test charge:

Electric field intensity（電場強度）定義為作用於靜止 test charge 上、每單位電荷所受的力：

電界強度（electric field intensity）は、静止した試験電荷に働く単位電荷あたりの力として定義されます：

The entire theory of electrostatics in free space rests on two postulates — the divergence and the curl of \(\mathbf{E}\):

自由空間中整套 electrostatics 理論建立在兩條 postulates 之上 — 即 \(\mathbf{E}\) 的 divergence 與 curl：

自由空間における静電気学の理論全体は、2 つの公理 — \(\mathbf{E}\) の発散と回転 — の上に成り立っています：

Integral forms follow by the divergence theorem and Stokes's theorem respectively:

分別套用 divergence theorem 與 Stokes's theorem，即得積分形式：

それぞれ発散定理（divergence theorem）とストークスの定理（Stokes's theorem）を適用すると、積分形が得られます：

Physical reading:

物理意義：

物理的な読み方：

• (3-4) — a static \(\mathbf{E}\) field is not solenoidal unless \(\rho=0\); it has sources (positive charge) and sinks (negative charge).
• (3-5) — a static \(\mathbf{E}\) field is irrotational; its line integral around any closed path is zero. Kirchhoff's voltage law is an assertion of (3-8).

• (3-4) — 除非 \(\rho=0\)，否則靜態 \(\mathbf{E}\) 場不是 solenoidal（無散）的；它有 sources（正電荷）與 sinks（負電荷）。
• (3-5) — 靜態 \(\mathbf{E}\) 場是 irrotational（無旋）的；沿任何封閉路徑的線積分為零。Kirchhoff's voltage law 正是 (3-8) 的一種陳述。

• (3-4) — 静的な \(\mathbf{E}\) 場は \(\rho=0\) でない限りソレノイダルではなく、湧き出し（正電荷）と吸い込み（負電荷）をもちます。
• (3-5) — 静的な \(\mathbf{E}\) 場は非回転（irrotational）であり、任意の閉路に沿った線積分はゼロです。キルヒホッフの電圧則は (3-8) の言い換えにほかなりません。

3-3   Coulomb's Law (Derived)

Apply (3-7) to a spherical Gaussian surface of radius \(R\) centered on a point charge \(q\) in free space. Symmetry forces \(\mathbf{E}=\mathbf{a}_R E_R\), giving \(E_R(4\pi R^2)=q/\epsilon_0\), hence:

對自由空間中的一個 point charge \(q\)，取以其為中心、半徑 \(R\) 的球形 Gaussian surface 並套用 (3-7)。由對稱性可知 \(\mathbf{E}=\mathbf{a}_R E_R\)，得 \(E_R(4\pi R^2)=q/\epsilon_0\)，因此：

自由空間中の点電荷 \(q\) を中心とする半径 \(R\) の球面をガウス面（Gaussian surface）として (3-7) を適用します。対称性から \(\mathbf{E}=\mathbf{a}_R E_R\) となり、\(E_R(4\pi R^2)=q/\epsilon_0\) が得られるので：

For a system of discrete charges, superposition gives \(\mathbf{E}=\sum_k \mathbf{E}_k\). For a continuous distribution of volume charge density \(\rho(\mathbf{R}')\):

對於離散電荷系統，由 superposition 得 \(\mathbf{E}=\sum_k \mathbf{E}_k\)。對於 volume charge density 為 \(\rho(\mathbf{R}')\) 的連續分佈：

離散的な電荷の系では、重ね合わせの原理により \(\mathbf{E}=\sum_k \mathbf{E}_k\) となります。体積電荷密度 \(\rho(\mathbf{R}')\) の連続分布に対しては：

3-4   Gauss's Law — Strategy

Gauss's law (3-7) is most powerful when a Gaussian surface can be constructed over which \(\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s}\) is constant. Three symmetry classes permit this:

當能建構一個 Gaussian surface，使其上的 \(\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s}\) 為常數時，Gauss's law (3-7) 的威力最大。有三類對稱性允許這麼做：

ガウスの法則 (3-7) が最も威力を発揮するのは、\(\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s}\) が一定となるガウス面を構成できるときです。これが可能な対称性は次の 3 種類です：

• Spherical: sphere of radius \(R\) for a point charge, charged ball, or shell.
• Cylindrical (line): coaxial cylinder for an infinite line charge or cylindrical charge column.
• Planar: pillbox straddling an infinite sheet of surface charge.

• 球對稱 (spherical)：對 point charge、帶電球體或球殼，取半徑 \(R\) 的球面。
• 柱對稱 (cylindrical, line)：對無限長 line charge 或圓柱形電荷柱，取同軸圓柱面。
• 平面對稱 (planar)：對無限大的 surface charge 薄片，取跨越薄片的 pillbox（扁盒）。

• 球対称：点電荷、帯電した球、球殻に対しては半径 \(R\) の球面。
• 円筒対称（線対称）：無限長の線電荷や円柱状の電荷分布に対しては同軸の円筒面。
• 平面対称：無限に広がる面電荷に対しては、それをまたぐピルボックス（薄い円筒）。

Moral: if symmetry fits, use (3-7) directly. Otherwise find \(V\) first by integration, then \(\mathbf{E}=-\nabla V\).

要訣：若對稱性符合，直接用 (3-7)。否則先以積分求出 \(V\)，再由 \(\mathbf{E}=-\nabla V\) 求場。

教訓：対称性が合うなら (3-7) を直接使います。そうでなければ、まず積分で \(V\) を求め、次に \(\mathbf{E}=-\nabla V\) とします。

3-5   Electric Potential

Because \(\nabla\times\mathbf{E}=0\), by the null identity \(\nabla\times(\nabla V)\equiv 0\) we can write \(\mathbf{E}\) as the gradient of a scalar:

由於 \(\nabla\times\mathbf{E}=0\)，依據 null identity \(\nabla\times(\nabla V)\equiv 0\)，可將 \(\mathbf{E}\) 寫成某個 scalar 的 gradient：

\(\nabla\times\mathbf{E}=0\) であることと、恒等式 \(\nabla\times(\nabla V)\equiv 0\) から、\(\mathbf{E}\) をスカラーの勾配（gradient）として書くことができます：

The negative sign makes \(V\) increase in the direction opposite \(\mathbf{E}\), consistent with potential energy per unit charge. The potential difference between two points is path-independent:

負號使 \(V\) 沿著與 \(\mathbf{E}\) 相反的方向遞增，與「單位電荷的位能」這個意義一致。兩點之間的 potential difference 與路徑無關：

負号があるために、\(V\) は \(\mathbf{E}\) と逆向きに増加し、単位電荷あたりの位置エネルギーという意味と整合します。2 点間の電位差（potential difference）は経路によりません：

Taking the reference at infinity, the potentials of standard charge distributions are:

以無窮遠為參考點，幾種標準電荷分佈的 potential 為：

無限遠を基準にとると、代表的な電荷分布のポテンシャルは次のようになります：

Field lines and equipotentials are perpendicular — \(\nabla V\) is normal to surfaces of constant \(V\).

Field lines 與 equipotentials 互相垂直 — \(\nabla V\) 與 \(V\) 為常數的曲面正交。

電気力線と等電位面は直交します — \(\nabla V\) は \(V\) 一定の面に垂直です。

3-6   Conductors in Static Electric Field

A conductor has loosely bound electrons that redistribute freely under any interior field. Equilibrium (static) is reached very quickly — for copper the relaxation time is \(\sim 10^{-19}\) s. In equilibrium:

Conductor 內有束縛鬆散的電子，只要內部存在電場，它們就會自由重新分佈。靜態平衡建立得極快 — 以銅為例，relaxation time 約為 \(\sim 10^{-19}\) s。平衡時：

導体（conductor）には束縛の弱い電子があり、内部に場が存在すれば自由に再分布します。静的な平衡はきわめて速く達成されます — 銅の場合、緩和時間は \(\sim 10^{-19}\) s 程度です。平衡状態では：

At the conductor / free-space boundary, applying (3-8) to a narrow rectangular contour and (3-7) to a shallow pillbox:

在 conductor / free-space boundary，對狹長矩形迴路套用 (3-8)、對扁平 pillbox 套用 (3-7)，得：

導体と自由空間の境界において、細長い長方形の閉路に (3-8) を、薄いピルボックスに (3-7) を適用すると：

Consequences:

推論：

その帰結：

• A conductor's surface is an equipotential.
• All net charge resides on the surface; none in the bulk.
• Field lines meet the surface normally.
• Surface charge concentrates where curvature is highest — basis of the lightning rod.

• Conductor 表面是一個 equipotential（等位面）。
• 所有淨電荷都分佈在表面；內部沒有電荷。
• Field lines 以垂直方向抵達表面。
• Surface charge 集中在曲率最大之處 — 這是避雷針的原理。

• 導体表面は等電位面です。
• 正味の電荷はすべて表面に分布し、内部には存在しません。
• 電気力線は表面に垂直に入射します。
• 面電荷は曲率が最も大きい所に集中します — これが避雷針の原理です。

3-7   Dielectrics — Polarization

In a dielectric, electrons are bound. An applied \(\mathbf{E}\) displaces them slightly, creating induced dipoles. The macroscopic measure is the polarization vector \(\mathbf{P}\) — electric dipole moment per unit volume (C/m²).

在 dielectric 中，電子是受束縛的。外加 \(\mathbf{E}\) 會使它們稍微位移，形成 induced dipoles。巨觀上的量度是 polarization vector（極化向量）\(\mathbf{P}\) — 單位體積的 electric dipole moment (C/m²)。

誘電体（dielectric）では電子は束縛されています。外部から \(\mathbf{E}\) を加えると電子はわずかに変位し、誘起双極子が生じます。これを巨視的に表す量が分極ベクトル（polarization vector）\(\mathbf{P}\) — 単位体積あたりの電気双極子モーメント (C/m²) — です。

Polarized matter behaves as if it carried equivalent bound charges:

極化後的物質，其行為就像帶有等效的 bound charges：

分極した物質は、等価な束縛電荷（bound charges）を帯びているかのように振る舞います：

The total bound charge on any isolated dielectric body is zero.

任何孤立 dielectric 物體上的總 bound charge 為零。

孤立した誘電体の束縛電荷の総量はゼロです。

3-8   Electric Flux Density \(\mathbf{D}\) and Dielectric Constant

In a material medium the divergence postulate (3-4) must account for bound charge: \(\nabla\cdot\mathbf{E}=(\rho+\rho_p)/\epsilon_0\). Defining the electric flux density

在物質介質中，divergence postulate (3-4) 必須把 bound charge 納入：\(\nabla\cdot\mathbf{E}=(\rho+\rho_p)/\epsilon_0\)。定義 electric flux density（電通量密度）

物質中では、発散の公理 (3-4) に束縛電荷を含めなければなりません：\(\nabla\cdot\mathbf{E}=(\rho+\rho_p)/\epsilon_0\)。ここで電束密度（electric flux density）を

absorbs the bound charge and leaves only free charge on the right:

便可將 bound charge 吸收進去，右邊只剩下 free charge：

と定義すると、束縛電荷が吸収され、右辺には自由電荷だけが残ります：

For a linear, isotropic medium \(\mathbf{P}=\epsilon_0\chi_e\mathbf{E}\), so

對於線性、等向性（linear, isotropic）介質，\(\mathbf{P}=\epsilon_0\chi_e\mathbf{E}\)，故

線形で等方的な媒質では \(\mathbf{P}=\epsilon_0\chi_e\mathbf{E}\) なので、

where \(\epsilon_r\) is the dimensionless dielectric constant (relative permittivity), \(\chi_e\) the electric susceptibility, and \(\epsilon\) the absolute permittivity (F/m).

其中 \(\epsilon_r\) 是無因次的 dielectric constant（相對介電常數，relative permittivity），\(\chi_e\) 是 electric susceptibility，\(\epsilon\) 是 absolute permittivity (F/m)。

ここで \(\epsilon_r\) は無次元の比誘電率（dielectric constant、relative permittivity）、\(\chi_e\) は電気感受率、\(\epsilon\) は絶対誘電率 (F/m) です。

Dielectric strength (§3-8.1) is the maximum \(E\) a material withstands before breakdown. Not to be confused with \(\epsilon_r\):

Dielectric strength（介電強度，§3-8.1）是材料在 breakdown 之前所能承受的最大 \(E\)。切勿與 \(\epsilon_r\) 混淆：

絶縁耐力（dielectric strength）（§3-8.1）は、材料が絶縁破壊を起こさずに耐えられる最大の \(E\) です。\(\epsilon_r\) と混同しないでください：

3-9   Boundary Conditions for Electrostatic Fields

Applying the integral forms (3-8) to a narrow contour and (3-100) to a shallow pillbox straddling the interface:

將積分形式 (3-8) 套用於跨越界面的狹長迴路、(3-100) 套用於扁平 pillbox，得：

積分形 (3-8) を境界をまたぐ細長い閉路に、(3-100) を薄いピルボックスに適用すると：

For a charge-free dielectric–dielectric interface (\(\rho_s=0\)):

對於不帶電的 dielectric–dielectric interface（\(\rho_s=0\)）：

電荷のない誘電体－誘電体界面（\(\rho_s=0\)）では：

For a conductor–dielectric interface (medium 2 is a conductor, \(\mathbf{D}_2=0\)): \(E_{1t}=0\) and \(D_{1n}=\rho_s\) — the special case (3-71), (3-72) generalized to \(\mathbf{D}\).

對於 conductor–dielectric interface（介質 2 為 conductor，\(\mathbf{D}_2=0\)）：\(E_{1t}=0\) 且 \(D_{1n}=\rho_s\) — 即特例 (3-71)、(3-72) 推廣到 \(\mathbf{D}\) 的結果。

導体－誘電体界面（媒質 2 が導体、\(\mathbf{D}_2=0\)）では \(E_{1t}=0\) かつ \(D_{1n}=\rho_s\) — 特別な場合 (3-71)、(3-72) を \(\mathbf{D}\) に一般化したものです。

3-10   Capacitance and Capacitors

Because \(\rho_s\), \(\mathbf{E}\), and \(V\) all scale linearly with \(Q\) in a static conductor system, the ratio \(Q/V\) depends only on geometry and the medium:

在靜態 conductor 系統中，\(\rho_s\)、\(\mathbf{E}\) 與 \(V\) 都與 \(Q\) 成線性比例，因此比值 \(Q/V\) 只取決於幾何形狀與介質：

静的な導体系では \(\rho_s\)、\(\mathbf{E}\)、\(V\) はいずれも \(Q\) に比例するので、比 \(Q/V\) は形状と媒質だけで決まります：

Procedure to find \(C\) for a two-conductor capacitor: (1) choose coordinates; (2) assume \(\pm Q\) on the conductors; (3) find \(\mathbf{E}\) from Gauss's law or from \(\rho_s\); (4) integrate \(V_{12}=-\int_{2}^{1}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}\); (5) take \(C=Q/V_{12}\).

求雙導體 capacitor 之 \(C\) 的步驟：(1) 選擇座標系；(2) 假設兩導體上分別帶 \(\pm Q\)；(3) 由 Gauss's law 或 \(\rho_s\) 求 \(\mathbf{E}\)；(4) 積分 \(V_{12}=-\int_{2}^{1}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}\)；(5) 取 \(C=Q/V_{12}\)。

2 導体コンデンサの \(C\) を求める手順：(1) 座標系を選ぶ；(2) 導体に \(\pm Q\) を仮定する；(3) ガウスの法則または \(\rho_s\) から \(\mathbf{E}\) を求める；(4) \(V_{12}=-\int_{2}^{1}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}\) を積分する；(5) \(C=Q/V_{12}\) とする。

Series / parallel: capacitors in parallel add (\(C_\text{par}=\sum C_k\)); capacitors in series combine as reciprocals (\(1/C_\text{ser}=\sum 1/C_k\)) — the opposite of resistors, because charge is shared in series and voltage in parallel.

串聯／並聯：並聯的 capacitors 直接相加（\(C_\text{par}=\sum C_k\)）；串聯的 capacitors 以倒數相加（\(1/C_\text{ser}=\sum 1/C_k\)）— 與 resistors 相反，因為串聯時各電容共用同一電荷，並聯時共用同一電壓。

直列／並列：並列のコンデンサは単純に加算され（\(C_\text{par}=\sum C_k\)）、直列のコンデンサは逆数の和で合成されます（\(1/C_\text{ser}=\sum 1/C_k\)）— 抵抗とは逆です。直列では電荷が共通、並列では電圧が共通だからです。

Electrostatic shielding (§3-10.3): a grounded conducting shell enclosing a body decouples it from external charges — the coupling capacitance vanishes. This is why sensitive electronics live inside grounded metal enclosures.

Electrostatic shielding（靜電屏蔽，§3-10.3）：以接地的導體殼包住物體，可使其與外部電荷去耦合 — 耦合電容歸零。這就是敏感電子電路要放在接地金屬機殼內的原因。

静電遮蔽（electrostatic shielding）（§3-10.3）：接地した導体殻で物体を囲むと、外部の電荷との結合が断たれ、結合容量はゼロになります。敏感な電子機器が接地された金属筐体に収められるのはこのためです。

3-11   Electrostatic Energy and Forces

In terms of charges and potentials — the work to assemble \(N\) point charges:

以電荷與電位表示 — 組裝 \(N\) 個 point charges 所需的功：

電荷と電位による表現 — \(N\) 個の点電荷を集めるのに要する仕事：

The factor \(\tfrac{1}{2}\) avoids double-counting pair interactions. \(V_k\) is the potential at \(Q_k\) due to all other charges.

因子 \(\tfrac{1}{2}\) 是為了避免把成對交互作用重複計算。\(V_k\) 是其他所有電荷在 \(Q_k\) 處產生的電位。

係数 \(\tfrac{1}{2}\) は、電荷対の相互作用を二重に数えないためのものです。\(V_k\) は他のすべての電荷が \(Q_k\) の位置につくる電位です。

In terms of field quantities — substituting \(\rho=\nabla\cdot\mathbf{D}\) and applying a vector identity:

以場量表示 — 代入 \(\rho=\nabla\cdot\mathbf{D}\) 並套用一個 vector identity：

場の量による表現 — \(\rho=\nabla\cdot\mathbf{D}\) を代入し、ベクトル恒等式を適用すると：

Energy density:

能量密度 (energy density)：

エネルギー密度：

Note: (3-165) gives the interaction (mutual) energy only — self-energies of ideal point charges diverge. (3-170) and (3-176) do include self-energy, which is why they agree with each other but can exceed (3-165) for the same system.

注意：(3-165) 只給出交互作用（mutual）能量 — 理想 point charges 的 self-energy 是發散的。(3-170) 與 (3-176) 則包含 self-energy，所以兩者彼此一致，但對同一系統可能大於 (3-165)。

注意：(3-165) が与えるのは相互作用エネルギーだけです — 理想的な点電荷の自己エネルギーは発散します。(3-170) と (3-176) は自己エネルギーを含んでおり、そのため両者は互いに一致しますが、同じ系に対して (3-165) より大きくなることがあります。

Stored energy in a capacitor (equivalent forms):

Capacitor 中儲存的能量（等價形式）：

コンデンサに蓄えられるエネルギー（等価な表現）：

Force by virtual displacement. For an isolated system (constant charges), work done by the field equals the decrease in stored energy, giving:

由 virtual displacement 求力。對於孤立系統（電荷固定），場所做的功等於儲存能量的減少量，因此：

仮想変位（virtual displacement）による力。孤立した系（電荷一定）では、場のする仕事は蓄積エネルギーの減少量に等しいので：

The sign flip is not a contradiction — in the constant-\(V\) case the battery supplies additional energy equal to twice the mechanical work.

符號反轉並不矛盾 — 在 \(V\) 固定的情況下，電池額外供給的能量等於機械功的兩倍。

符号が反転するのは矛盾ではありません — \(V\) 一定の場合、電池が機械的仕事の 2 倍に等しい追加のエネルギーを供給するからです。

Chapter 3 at a Glance

• Two postulates fix everything: \(\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0\), \(\nabla\times\mathbf{E}=0\).
• Integral forms: \(\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s}=Q/\epsilon_0\) (Gauss), \(\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}=0\) (conservative).
• Scalar potential: \(\mathbf{E}=-\nabla V\); \(V=q/(4\pi\epsilon_0 R)\) for a point charge, referenced at infinity.
• Conductor (static): \(\mathbf{E}=0\) inside, surface equipotential, \(E_t=0\), \(E_n=\rho_s/\epsilon_0\).
• Dielectric: \(\mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}=\epsilon\mathbf{E}\); \(\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_\text{free}\).
• BCs: \(E_{1t}=E_{2t}\); \(D_{1n}-D_{2n}=\rho_s\). Dielectric–dielectric: \(\tan\alpha_2/\tan\alpha_1=\epsilon_2/\epsilon_1\).
• Capacitance: \(C=Q/V\); parallel-plate \(\epsilon S/d\); coax \(2\pi\epsilon L/\ln(b/a)\); sphere \(4\pi\epsilon/(1/R_i-1/R_o)\).
• Energy: \(W_e=\tfrac{1}{2}\int\epsilon E^2\,dv=\tfrac{1}{2}CV^2\); force \(\mathbf{F}_Q=-\nabla W_e\) at constant charge.

• 兩條 postulates 決定一切：\(\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0\)，\(\nabla\times\mathbf{E}=0\)。
• 積分形式：\(\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s}=Q/\epsilon_0\)（Gauss），\(\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}=0\)（conservative，保守場）。
• Scalar potential：\(\mathbf{E}=-\nabla V\)；point charge 以無窮遠為參考時 \(V=q/(4\pi\epsilon_0 R)\)。
• Conductor（靜態）：內部 \(\mathbf{E}=0\)，表面為 equipotential，\(E_t=0\)，\(E_n=\rho_s/\epsilon_0\)。
• Dielectric：\(\mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}=\epsilon\mathbf{E}\)；\(\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_\text{free}\)。
• BCs（boundary conditions）：\(E_{1t}=E_{2t}\)；\(D_{1n}-D_{2n}=\rho_s\)。Dielectric–dielectric：\(\tan\alpha_2/\tan\alpha_1=\epsilon_2/\epsilon_1\)。
• Capacitance：\(C=Q/V\)；平行板 \(\epsilon S/d\)；同軸 \(2\pi\epsilon L/\ln(b/a)\)；球形 \(4\pi\epsilon/(1/R_i-1/R_o)\)。
• Energy：\(W_e=\tfrac{1}{2}\int\epsilon E^2\,dv=\tfrac{1}{2}CV^2\)；電荷固定時的力 \(\mathbf{F}_Q=-\nabla W_e\)。

• 2 つの公理がすべてを決めます：\(\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0\)、\(\nabla\times\mathbf{E}=0\)。
• 積分形：\(\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s}=Q/\epsilon_0\)（ガウス）、\(\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}=0\)（保存場）。
• スカラーポテンシャル：\(\mathbf{E}=-\nabla V\)；点電荷では無限遠を基準として \(V=q/(4\pi\epsilon_0 R)\)。
• 導体（静的）：内部で \(\mathbf{E}=0\)、表面は等電位、\(E_t=0\)、\(E_n=\rho_s/\epsilon_0\)。
• 誘電体：\(\mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}=\epsilon\mathbf{E}\)；\(\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_\text{free}\)。
• 境界条件：\(E_{1t}=E_{2t}\)；\(D_{1n}-D_{2n}=\rho_s\)。誘電体－誘電体：\(\tan\alpha_2/\tan\alpha_1=\epsilon_2/\epsilon_1\)。
• 静電容量：\(C=Q/V\)；平行平板 \(\epsilon S/d\)；同軸 \(2\pi\epsilon L/\ln(b/a)\)；球 \(4\pi\epsilon/(1/R_i-1/R_o)\)。
• エネルギー：\(W_e=\tfrac{1}{2}\int\epsilon E^2\,dv=\tfrac{1}{2}CV^2\)；電荷一定のときの力 \(\mathbf{F}_Q=-\nabla W_e\)。

Problems and Solutions

Review Questions (Tier 1)

Textbook Practice Problems

Textbook Practice — Approach Hints

Textbook Practice Problems

Textbook Practice — Approach Hints

Textbook Practice Problems

Textbook Practice — Approach Hints

Chapter 6 — Static Magnetic Fields

Key Theory — Chapter 6

Condensed from Cheng, Field and Wave Electromagnetics, §6-1 through §6-13. Read this before attempting the problems below.

摘錄自 Cheng, Field and Wave Electromagnetics，§6-1 至 §6-13。請先閱讀本節，再嘗試下方的習題。

Cheng, Field and Wave Electromagnetics の §6-1 〜 §6-13 を要約したものです。下の問題に取り組む前に、まずこの節を読んでください。

6-1   The Magnetic Force and the Definition of B

A charge \(q\) at rest in an electric field experiences \(\mathbf{F}_e = q\mathbf{E}\). When the charge moves with velocity \(\mathbf{u}\), experiment shows a second force appears: one perpendicular to both \(\mathbf{u}\) and a fixed direction at each point, with magnitude proportional to \(q\), to \(|\mathbf{u}|\), and to the component of \(\mathbf{u}\) perpendicular to that fixed direction. This magnetic force is expressed as

靜止於 electric field 中的電荷 \(q\) 受到 \(\mathbf{F}_e = q\mathbf{E}\) 的作用。當電荷以速度 \(\mathbf{u}\) 運動時，實驗顯示會出現第二種力：它同時垂直於 \(\mathbf{u}\) 與空間中每一點的某個固定方向，其大小正比於 \(q\)、正比於 \(|\mathbf{u}|\)，也正比於 \(\mathbf{u}\) 垂直於該固定方向的分量。這個 magnetic force 可表示為

電場の中に静止している電荷 \(q\) には \(\mathbf{F}_e = q\mathbf{E}\) の力が働きます。電荷が速度 \(\mathbf{u}\) で運動すると、実験によれば第二の力が現れます。それは \(\mathbf{u}\) と、各点で定まるある固定した方向の両方に垂直で、大きさは \(q\)、\(|\mathbf{u}|\)、および \(\mathbf{u}\) のその固定方向に垂直な成分に比例します。この磁気力（magnetic force）は次式で表されます。

and the new vector field \(\mathbf{B}\) (webers per square meter, or teslas) is the magnetic flux density. Combining electric and magnetic effects gives Lorentz's force equation:

而新的向量場 \(\mathbf{B}\)（單位為 webers per square meter，即 teslas）稱為 magnetic flux density（磁通密度）。將電與磁的效應合併，即得 Lorentz's force equation：

ここで新たに現れたベクトル場 \(\mathbf{B}\)（単位はウェーバ毎平方メートル、すなわちテスラ）が磁束密度（magnetic flux density）です。電気的効果と磁気的効果を合わせると、ローレンツの力の式（Lorentz's force equation）が得られます：

Lorentz's equation can itself be taken as a fundamental postulate of the electromagnetic model — it defines both \(\mathbf{E}\) (via the force on a stationary charge) and \(\mathbf{B}\) (via the force on a moving one). It cannot be derived from other postulates.

Lorentz's equation 本身即可視為電磁模型的一條 fundamental postulate — 它同時定義了 \(\mathbf{E}\)（透過靜止電荷所受的力）與 \(\mathbf{B}\)（透過運動電荷所受的力）。它無法由其他 postulates 推導出來。

ローレンツの式そのものを、電磁気モデルの基本公理（fundamental postulate）とみなすこともできます。この式は \(\mathbf{E}\)（静止した電荷に働く力を通して）と \(\mathbf{B}\)（運動する電荷に働く力を通して）の両方を定義しており、他の公理から導くことはできません。

6-2   Fundamental Postulates of Magnetostatics in Free Space

In free space, magnetostatics is built on exactly two postulates specifying the divergence and curl of \(\mathbf{B}\):

在自由空間中，magnetostatics 恰好建立在兩條 postulates 之上，分別指定 \(\mathbf{B}\) 的 divergence 與 curl：

自由空間における静磁気学（magnetostatics）は、\(\mathbf{B}\) の発散（divergence）と回転（curl）を指定する、ちょうど 2 つの公理の上に構築されます：

No magnetic monopoles. Because \(\nabla\cdot\mathbf{B} = 0\), magnetic flux lines always close on themselves — there is no magnetic analog of electric charge density. Cutting a bar magnet doesn't produce an isolated N or S pole; it produces two smaller magnets, and this continues down to atomic dimensions. Equation (6-9) is the law of conservation of magnetic flux.

不存在 magnetic monopoles。由於 \(\nabla\cdot\mathbf{B} = 0\)，磁力線必定自我封閉 — 不存在與 electric charge density 對應的磁荷。把一根棒狀磁鐵切開並不會得到孤立的 N 極或 S 極，而是得到兩根較小的磁鐵，如此一直分割到原子尺度仍然成立。式 (6-9) 即為 law of conservation of magnetic flux（磁通守恆定律）。

磁気単極子（magnetic monopole）は存在しない。\(\nabla\cdot\mathbf{B} = 0\) であるため、磁束線は必ず閉じた曲線になります。電荷密度に相当する磁気的な量は存在しません。棒磁石を切断しても孤立した N 極や S 極は得られず、2 本の小さな磁石ができるだけで、これは原子の寸法まで分割しても変わりません。式 (6-9) は磁束保存の法則（law of conservation of magnetic flux）です。

Ampère's circuital law says the circulation of \(\mathbf{B}\) around any closed path equals \(\mu_0\) times the total current through the enclosed surface. Taking \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B}) = 0\) in (6-7) immediately gives \(\nabla\cdot\mathbf{J} = 0\), consistent with steady-current continuity (5-45).

Ampère's circuital law 指出：\(\mathbf{B}\) 沿任一封閉路徑的 circulation，等於 \(\mu_0\) 乘以穿過該路徑所圍曲面的總電流。對 (6-7) 取 \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B}) = 0\)，立即得到 \(\nabla\cdot\mathbf{J} = 0\)，與穩態電流的連續方程式 (5-45) 一致。

アンペールの周回積分の法則（Ampère's circuital law）は、任意の閉路に沿った \(\mathbf{B}\) の循環が、その閉路で囲まれた面を貫く全電流の \(\mu_0\) 倍に等しいことを述べています。(6-7) に \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B}) = 0\) を適用すると直ちに \(\nabla\cdot\mathbf{J} = 0\) が得られ、定常電流の連続の式 (5-45) と整合します。

6-3   Vector Magnetic Potential A

Because \(\mathbf{B}\) is solenoidal, it can be expressed as the curl of another vector field:

由於 \(\mathbf{B}\) 是 solenoidal（無散）的，它可以表示為另一個向量場的 curl：

\(\mathbf{B}\) はソレノイダル（発散がゼロ）であるため、別のベクトル場の回転として表すことができます：

\(\mathbf{A}\) is called the vector magnetic potential, measured in Wb/m. Defining a vector requires specifying both its curl (done by (6-15)) and its divergence — we are free to choose the latter. Substituting (6-15) into the curl postulate and expanding \(\nabla\times\nabla\times\mathbf{A} = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A}\) gives

\(\mathbf{A}\) 稱為 vector magnetic potential（向量磁位），單位為 Wb/m。要完整定義一個向量，必須同時指定其 curl（已由 (6-15) 給定）與其 divergence — 後者我們可以自由選擇。將 (6-15) 代入 curl postulate，並展開 \(\nabla\times\nabla\times\mathbf{A} = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A}\)，得到

\(\mathbf{A}\) をベクトル磁位（vector magnetic potential）と呼び、単位は Wb/m です。ベクトルを定めるには、その回転（(6-15) で指定済み）と発散の両方を指定する必要がありますが、後者は自由に選ぶことができます。(6-15) を回転の公理に代入し、\(\nabla\times\nabla\times\mathbf{A} = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A}\) と展開すると、次式が得られます。

Choosing the Coulomb gauge

選取 Coulomb gauge

クーロンゲージ（Coulomb gauge）を選ぶと、すなわち

reduces this to a vector Poisson equation:

即可將其化簡為 vector Poisson equation：

これはベクトルのポアソン方程式（vector Poisson equation）に帰着します：

Each Cartesian component is a scalar Poisson equation identical in form to \(\nabla^2 V = -\rho/\epsilon_0\) from electrostatics. The solution is therefore

它的每個 Cartesian 分量都是一個 scalar Poisson equation，形式與靜電學中的 \(\nabla^2 V = -\rho/\epsilon_0\) 完全相同。因此其解為

その直交座標成分のそれぞれは、静電気学の \(\nabla^2 V = -\rho/\epsilon_0\) と同じ形のスカラーのポアソン方程式です。したがって解は次のようになります。

Physical meaning of A: the line integral of \(\mathbf{A}\) around a closed contour equals the magnetic flux through the enclosed surface:

A 的物理意義：\(\mathbf{A}\) 沿封閉迴路的線積分，等於穿過該迴路所圍曲面的 magnetic flux：

A の物理的意味：閉じた経路に沿った \(\mathbf{A}\) の線積分は、その経路で囲まれた面を貫く磁束に等しくなります：

6-4   Biot–Savart Law

For a thin wire, \(\mathbf{J}\,dv' = I\,d\ell'\). Equation (6-23) becomes

對細導線而言，\(\mathbf{J}\,dv' = I\,d\ell'\)。式 (6-23) 變為

細い導線では \(\mathbf{J}\,dv' = I\,d\ell'\) となります。式 (6-23) は次のようになります。

Taking the curl and doing the \(\nabla(1/R) = -\mathbf{a}_R/R^2\) bookkeeping yields Biot–Savart law:

取 curl 並處理 \(\nabla(1/R) = -\mathbf{a}_R/R^2\) 的運算細節後，即得 Biot–Savart law：

回転をとり、\(\nabla(1/R) = -\mathbf{a}_R/R^2\) の計算を整理すると、ビオ・サバールの法則（Biot–Savart law）が得られます：

where \(\mathbf{a}_R\) is the unit vector from source element to field point. Biot–Savart computes \(\mathbf{B}\) directly from a current-carrying circuit; it is the magnetic analogue of Coulomb's law for \(\mathbf{E}\). Ampère's law is more convenient when symmetry (cylindrical, planar, toroidal) provides a path over which \(|\mathbf{B}|\) is constant; Biot–Savart is the tool when it doesn't.

其中 \(\mathbf{a}_R\) 是由電流源元素指向場點的單位向量。Biot–Savart 直接由載流電路計算 \(\mathbf{B}\)；它是 Coulomb's law 求 \(\mathbf{E}\) 的磁學對應。當對稱性（圓柱、平面、環形）提供一條 \(|\mathbf{B}|\) 為常數的路徑時，Ampère's law 較為方便；若沒有這種對稱性，Biot–Savart 就是該用的工具。

ここで \(\mathbf{a}_R\) は電流素片から観測点へ向かう単位ベクトルです。ビオ・サバールの法則は電流の流れる回路から \(\mathbf{B}\) を直接計算するもので、\(\mathbf{E}\) に対するクーロンの法則の磁気版にあたります。対称性（円筒、平面、トロイダル）によって \(|\mathbf{B}|\) が一定となる経路がとれる場合はアンペールの法則が便利ですが、そうでない場合はビオ・サバールの法則が用いられます。

6-5   The Magnetic Dipole

A small current loop of area \(S\) carrying current \(I\) behaves as a magnetic dipole with moment

面積為 \(S\)、載有電流 \(I\) 的小電流迴路，其行為如同一個 magnetic dipole（磁偶極），其矩為

面積 \(S\) の小さな電流ループに電流 \(I\) が流れているとき、それは次のモーメントをもつ磁気双極子（magnetic dipole）として振る舞います。

where \(\mathbf{a}_n\) follows the right-hand rule from the current direction. At distances \(R \gg\) loop size, the vector potential is

其中 \(\mathbf{a}_n\) 由電流方向依右手定則決定。在距離 \(R \gg\) 迴路尺寸處，vector potential 為

ここで \(\mathbf{a}_n\) は電流の向きから右手の法則で定まります。距離 \(R \gg\) ループの寸法 となる位置では、ベクトル磁位は

and the magnetic flux density is

而 magnetic flux density 為

となり、磁束密度は

which is exactly analogous to the field of an electric dipole \((\mathbf{p}, V)\) — with \(\mathbf{A}\) playing the role of \(V\), and the same angular dependence.

這與 electric dipole 的場 \((\mathbf{p}, V)\) 完全類比 — \(\mathbf{A}\) 扮演 \(V\) 的角色，且角度相依性相同。

となります。これは電気双極子の場 \((\mathbf{p}, V)\) と完全に対応しており、\(\mathbf{A}\) が \(V\) の役割を果たし、角度依存性も同じです。

6-6   Magnetization and Equivalent Current Densities

In a material, orbital and spin motions of electrons create microscopic magnetic dipoles. An applied field partially aligns them, yielding a macroscopic magnetization vector \(\mathbf{M}\) (A/m) — magnetic moment per unit volume. A magnetized body can be replaced, as far as its external field is concerned, by an equivalent volume current density and surface current density:

在物質中，電子的軌道運動與自旋形成微觀的磁偶極。外加磁場使它們部分排列整齊，產生巨觀的 magnetization vector \(\mathbf{M}\)（A/m）— 即單位體積的磁矩。就外部磁場而言，一個被磁化的物體可用等效的體電流密度與面電流密度取代：

物質中では、電子の軌道運動とスピンが微視的な磁気双極子をつくります。外部から磁場を加えるとそれらが部分的に整列し、巨視的な磁化ベクトル（magnetization vector）\(\mathbf{M}\)（A/m）、すなわち単位体積あたりの磁気モーメントが生じます。磁化された物体は、外部につくる磁場に関する限り、等価な体積電流密度と表面電流密度で置き換えることができます：

Uniformly magnetized bar magnets have no volume current (\(\nabla\times\mathbf{M} = 0\) for constant \(\mathbf{M}\)) but carry a surface current \(\mathbf{M}\times\mathbf{a}_n\) that effectively turns them into solenoids of lineal current density \(|\mathbf{M}|\).

均勻磁化的棒狀磁鐵沒有體電流（\(\mathbf{M}\) 為常數時 \(\nabla\times\mathbf{M} = 0\)），但帶有面電流 \(\mathbf{M}\times\mathbf{a}_n\)，實際上使它成為線電流密度為 \(|\mathbf{M}|\) 的 solenoid。

一様に磁化された棒磁石には体積電流はありません（\(\mathbf{M}\) が一定なら \(\nabla\times\mathbf{M} = 0\)）が、表面電流 \(\mathbf{M}\times\mathbf{a}_n\) をもち、実質的に線電流密度 \(|\mathbf{M}|\) のソレノイドと等価になります。

6-7   Magnetic Field Intensity H and the Constitutive Relation

In matter, Ampère's law must account for both free current \(\mathbf{J}\) and bound (magnetization) current \(\mathbf{J}_m\): \((1/\mu_0)\nabla\times\mathbf{B} = \mathbf{J} + \nabla\times\mathbf{M}\). Rearranging motivates the definition of a new fundamental field:

在物質中，Ampère's law 必須同時計入 free current \(\mathbf{J}\) 與 bound（magnetization）current \(\mathbf{J}_m\)：\((1/\mu_0)\nabla\times\mathbf{B} = \mathbf{J} + \nabla\times\mathbf{M}\)。重新整理後，自然引出一個新的基本場量的定義：

物質中では、アンペールの法則は自由電流 \(\mathbf{J}\) と束縛（磁化）電流 \(\mathbf{J}_m\) の両方を考慮しなければなりません：\((1/\mu_0)\nabla\times\mathbf{B} = \mathbf{J} + \nabla\times\mathbf{M}\)。これを整理すると、新しい基本的な場の量を定義する動機が得られます：

called the magnetic field intensity. Its governing equation involves only free current:

稱為 magnetic field intensity（磁場強度）。其支配方程式只涉及 free current：

これを磁界の強さ（magnetic field intensity）と呼びます。その支配方程式には自由電流だけが現れます：

For linear, isotropic media, \(\mathbf{M} = \chi_m\mathbf{H}\) with magnetic susceptibility \(\chi_m\) (dimensionless). Substituting into (6-75) yields the constitutive relation

對 linear, isotropic 介質，\(\mathbf{M} = \chi_m\mathbf{H}\)，其中 \(\chi_m\) 為 magnetic susceptibility（磁化率，無因次）。代入 (6-75) 得到 constitutive relation

線形・等方性の媒質では \(\mathbf{M} = \chi_m\mathbf{H}\) が成り立ち、\(\chi_m\) を磁化率（magnetic susceptibility）（無次元）といいます。これを (6-75) に代入すると、構成関係式が得られます。

6-8   Magnetic Circuits

For a toroidal ferromagnetic core with \(N\) turns carrying current \(I\), Ampère's law gives \(H = NI/\ell\) and \(B = \mu H\), so the flux is \(\Phi = BA = NI/\mathcal{R}\), where the reluctance is

對於繞有 \(N\) 匝、載有電流 \(I\) 的環形鐵磁芯，由 Ampère's law 得 \(H = NI/\ell\) 及 \(B = \mu H\)，故磁通為 \(\Phi = BA = NI/\mathcal{R}\)，其中 reluctance（磁阻）為

\(N\) 回巻きで電流 \(I\) が流れるトロイダル強磁性コアでは、アンペールの法則から \(H = NI/\ell\) と \(B = \mu H\) が得られ、磁束は \(\Phi = BA = NI/\mathcal{R}\) となります。ここで磁気抵抗（reluctance）は

and \(NI\) is the magnetomotive force (mmf, in ampere-turns). Magnetic circuits obey KVL/KCL analogues:

而 \(NI\) 稱為 magnetomotive force（磁動勢，mmf，單位為 ampere-turns）。Magnetic circuits 遵循與 KVL/KCL 類比的定律：

であり、\(NI\) は起磁力（magnetomotive force、mmf、単位はアンペア回数）です。磁気回路は KVL/KCL に対応する法則に従います：

The analogy: \(\mathscr{V}\leftrightarrow NI\), \(I\leftrightarrow\Phi\), \(R\leftrightarrow\mathcal{R}\), \(\sigma\leftrightarrow\mu\).

其類比關係為：\(\mathscr{V}\leftrightarrow NI\)、\(I\leftrightarrow\Phi\)、\(R\leftrightarrow\mathcal{R}\)、\(\sigma\leftrightarrow\mu\)。

対応関係は \(\mathscr{V}\leftrightarrow NI\)、\(I\leftrightarrow\Phi\)、\(R\leftrightarrow\mathcal{R}\)、\(\sigma\leftrightarrow\mu\) です。

6-9   Behavior of Magnetic Materials

Three classes are distinguished by the sign and magnitude of \(\chi_m\):

依 \(\chi_m\) 的正負與大小，可區分為三類：

\(\chi_m\) の符号と大きさによって、3 つの種類に分けられます：

• Diamagnetic (\(\chi_m \sim -10^{-5}\), \(\mu_r \lesssim 1\)) — induced moments oppose the applied field (Lenz's law at the atomic scale). Bismuth, copper, silver, gold, water. No permanent magnetism; effect vanishes when field is removed.
• Paramagnetic (\(\chi_m \sim +10^{-5}\), \(\mu_r \gtrsim 1\)) — existing molecular dipoles partially align with the field but are disrupted by thermal agitation. Aluminium, magnesium, titanium, tungsten. Temperature-dependent.
• Ferromagnetic (\(\mu_r\) from 50 to over \(10^6\)) — strong coupling between atoms forms aligned domains. Iron, nickel, cobalt, and alloys. Nonlinear B–H relation and hysteresis: as H cycles, B traces a loop. Important parameters: remanence \(B_r\) (B at H=0, enables permanent magnets), coercivity \(H_c\) (H needed to drive B back to zero), and the Curie temperature above which coupling collapses and the material becomes paramagnetic. "Soft" magnetic materials have narrow loops (low loss — transformers); "hard" materials have wide loops (large \(H_c\) — permanent magnets).

• Diamagnetic（反磁性，\(\chi_m \sim -10^{-5}\)，\(\mu_r \lesssim 1\)）— 感應磁矩反抗外加磁場（原子尺度的 Lenz's law）。鉍、銅、銀、金、水。無永久磁性；磁場移除後效應即消失。
• Paramagnetic（順磁性，\(\chi_m \sim +10^{-5}\)，\(\mu_r \gtrsim 1\)）— 既有的分子磁偶極部分順著磁場排列，但受熱擾動干擾。鋁、鎂、鈦、鎢。與溫度有關。
• Ferromagnetic（鐵磁性，\(\mu_r\) 從 50 到超過 \(10^6\)）— 原子間的強耦合形成排列一致的 domains（磁域）。鐵、鎳、鈷及其合金。B–H 關係為非線性並具 hysteresis（磁滯）：當 H 循環變化時，B 描繪出一個迴線。重要參數包括：remanence \(B_r\)（H=0 時的 B，使永久磁鐵成為可能）、coercivity \(H_c\)（使 B 回到零所需的 H），以及 Curie temperature，高於此溫度耦合瓦解，材料變為順磁性。「軟」磁性材料的迴線窄（損耗低 — 用於變壓器）；「硬」磁性材料的迴線寬（\(H_c\) 大 — 用於永久磁鐵）。

• 反磁性（Diamagnetic）（\(\chi_m \sim -10^{-5}\)、\(\mu_r \lesssim 1\)）— 誘起された磁気モーメントが外部磁場に逆らう向きになります（原子スケールでのレンツの法則）。ビスマス、銅、銀、金、水など。永久磁性はなく、磁場を取り去ると効果は消えます。
• 常磁性（Paramagnetic）（\(\chi_m \sim +10^{-5}\)、\(\mu_r \gtrsim 1\)）— もともと存在する分子の磁気双極子が磁場の向きに部分的に整列しますが、熱運動によって乱されます。アルミニウム、マグネシウム、チタン、タングステンなど。温度に依存します。
• 強磁性（Ferromagnetic）（\(\mu_r\) は 50 から \(10^6\) 以上）— 原子間の強い結合により、向きのそろった磁区（domain）が形成されます。鉄、ニッケル、コバルトとその合金など。B–H 関係は非線形でヒステリシス（hysteresis）を示し、H を周期的に変化させると B はループを描きます。重要なパラメータは、残留磁束密度（remanence）\(B_r\)（H=0 のときの B で、永久磁石を可能にする）、保磁力（coercivity）\(H_c\)（B をゼロに戻すのに必要な H）、およびこれを超えると結合が崩れて常磁性になるキュリー温度（Curie temperature）です。「軟」磁性材料はループが細く（損失が小さい — 変圧器用）、「硬」磁性材料はループが太い（\(H_c\) が大きい — 永久磁石用）です。

6-10   Boundary Conditions for Magnetostatic Fields

From \(\nabla\cdot\mathbf{B} = 0\) applied to a pillbox at the interface, and \(\oint\mathbf{H}\cdot d\ell = I_{\text{free}}\) applied to a flat contour straddling the interface:

將 \(\nabla\cdot\mathbf{B} = 0\) 應用於界面上的 pillbox，並將 \(\oint\mathbf{H}\cdot d\ell = I_{\text{free}}\) 應用於跨越界面的扁平迴路，可得：

\(\nabla\cdot\mathbf{B} = 0\) を境界面上の小さな円筒（ピルボックス）に、\(\oint\mathbf{H}\cdot d\ell = I_{\text{free}}\) を境界面をまたぐ扁平な閉路に適用すると、次が得られます：

For two linear media, the normal condition becomes \(\mu_1 H_{1n} = \mu_2 H_{2n}\). The tangential \(\mathbf{H}\) is continuous at any interface between physical media (\(\mathbf{J}_s = 0\)); it is discontinuous only at the surface of an idealised perfect conductor or superconductor. Compare with electrostatics: \(\mathbf{D}\) normal jumps by \(\rho_s\), \(\mathbf{E}\) tangential is continuous.

對兩種線性介質，法向條件變為 \(\mu_1 H_{1n} = \mu_2 H_{2n}\)。在任何實際物質之間的界面上（\(\mathbf{J}_s = 0\)），切向 \(\mathbf{H}\) 是連續的；只有在理想化的 perfect conductor 或 superconductor 表面上才會不連續。與靜電學比較：\(\mathbf{D}\) 的法向分量跳變 \(\rho_s\)，\(\mathbf{E}\) 的切向分量連續。

2 つの線形媒質の場合、法線方向の条件は \(\mu_1 H_{1n} = \mu_2 H_{2n}\) となります。物理的な媒質どうしの境界面（\(\mathbf{J}_s = 0\)）では接線方向の \(\mathbf{H}\) は連続であり、不連続になるのは理想化された完全導体や超伝導体の表面だけです。静電気学と比較すると、\(\mathbf{D}\) の法線成分は \(\rho_s\) だけ跳び、\(\mathbf{E}\) の接線成分は連続です。

6-11   Inductance

Mutual flux from loop \(C_1\) linking \(C_2\) is \(\Phi_{12} = \int_{S_2}\mathbf{B}_1\cdot d\mathbf{s}_2\). By Biot–Savart, \(\mathbf{B}_1 \propto I_1\), so

迴路 \(C_1\) 產生、並鏈結迴路 \(C_2\) 的互磁通為 \(\Phi_{12} = \int_{S_2}\mathbf{B}_1\cdot d\mathbf{s}_2\)。由 Biot–Savart 可知 \(\mathbf{B}_1 \propto I_1\)，故

ループ \(C_1\) がつくり、ループ \(C_2\) と鎖交する相互磁束は \(\Phi_{12} = \int_{S_2}\mathbf{B}_1\cdot d\mathbf{s}_2\) です。ビオ・サバールの法則より \(\mathbf{B}_1 \propto I_1\) なので、

where \(\Lambda_{12} = N_2\Phi_{12}\) is the flux linkage. Carrying the algebra through for two multi-turn circuits yields Neumann's formula:

其中 \(\Lambda_{12} = N_2\Phi_{12}\) 為 flux linkage（磁通鏈）。對兩個多匝電路完整推導後，可得 Neumann's formula：

ここで \(\Lambda_{12} = N_2\Phi_{12}\) は鎖交磁束（flux linkage）です。2 つの多巻き回路について計算を進めると、ノイマンの公式（Neumann's formula）が得られます：

Reciprocity gives \(L_{12} = L_{21}\). Self-inductance \(L\) is defined analogously by setting both loops equal. Inductance is a purely geometrical quantity (for a linear medium), independent of the current magnitude. For a solenoid, \(L \propto N^2\).

由互易性可得 \(L_{12} = L_{21}\)。Self-inductance（自感）\(L\) 的定義方式類似，只需令兩個迴路為同一迴路。對線性介質而言，inductance 純粹是幾何量，與電流大小無關。對 solenoid，\(L \propto N^2\)。

相反性より \(L_{12} = L_{21}\) が成り立ちます。自己インダクタンス（self-inductance）\(L\) も、2 つのループを同一のものとおくことで同様に定義されます。インダクタンスは（線形媒質では）純粋に幾何学的な量で、電流の大きさには依存しません。ソレノイドでは \(L \propto N^2\) です。

6-12   Magnetic Energy

The work done against induced emf to build up current \(I_1\) in an inductor of self-inductance \(L_1\) is stored as magnetic energy:

在自感為 \(L_1\) 的 inductor 中建立電流 \(I_1\) 時，克服感應 emf 所做的功，以 magnetic energy 的形式儲存：

自己インダクタンス \(L_1\) のインダクタに電流 \(I_1\) を立ち上げる際に誘導起電力に逆らってなされる仕事は、磁気エネルギーとして蓄えられます：

For a system of N coupled loops:

對 N 個耦合迴路所組成的系統：

N 個の結合したループからなる系では：

Expressed in terms of field quantities:

以場量表示：

場の量で表すと：

with magnetic energy density

其中 magnetic energy density（磁能密度）為

ここで磁気エネルギー密度は

These forms are exact analogues of \(w_e = \tfrac{1}{2}\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}\) in electrostatics. Computing \(W_m\) from the field integral and equating to \(\tfrac{1}{2}LI^2\) is often an easier route to inductance than counting flux linkages.

這些形式與靜電學中的 \(w_e = \tfrac{1}{2}\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}\) 完全類比。由場的積分計算 \(W_m\)，再令其等於 \(\tfrac{1}{2}LI^2\)，往往是求 inductance 比計算磁通鏈更容易的途徑。

です。これらは静電気学の \(w_e = \tfrac{1}{2}\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}\) とちょうど対応する形です。場の積分から \(W_m\) を計算して \(\tfrac{1}{2}LI^2\) と等置する方法は、鎖交磁束を数えるよりもインダクタンスを求めやすいことがよくあります。

6-13   Magnetic Forces and Torques

Force on a current-carrying element:

載流元素所受的力：

電流素片に働く力：

Two parallel wires carrying currents \(I_1, I_2\) separated by distance \(d\) experience

兩條平行導線分別載有電流 \(I_1, I_2\)，相距 \(d\)，所受的力為

電流 \(I_1, I_2\) が流れ、距離 \(d\) だけ離れた2 本の平行導線には、次の力が働きます。

Same direction → attraction; opposite directions → repulsion. (Opposite sense to Coulomb's law for charges — a subtle point.)

電流同向 → 相吸；反向 → 相斥。（與電荷的 Coulomb's law 恰好相反 — 這是一個容易忽略的細節。）

同じ向き → 引力、逆向き → 斥力です。（電荷に対するクーロンの法則とは逆の関係になる点に注意してください。）

Torque on a current loop of dipole moment \(\mathbf{m}\) in a uniform \(\mathbf{B}\):

電流迴路所受的力矩：偶極矩為 \(\mathbf{m}\) 的迴路置於均勻 \(\mathbf{B}\) 中時，

電流ループに働くトルク：双極子モーメント \(\mathbf{m}\) のループを一様な \(\mathbf{B}\) の中に置くと、

This is the operating principle of the d-c motor: a split-ring commutator reverses the loop current every half turn to keep \(\mathbf{T}\) aligned and the rotor spinning.

這正是 d-c motor 的運作原理：split-ring commutator 每半圈反轉一次迴路電流，使 \(\mathbf{T}\) 維持同一方向，轉子得以持續旋轉。

これが直流モータの動作原理です。分割リング整流子が半回転ごとにループ電流の向きを反転させ、\(\mathbf{T}\) の向きを保って回転子を回し続けます。

Hall effect: a current \(\mathbf{J}\) flowing in a magnetic field \(\mathbf{B}\) develops a transverse voltage \(V_h\) across the conductor. The sign of \(V_h\) reveals whether carriers are electrons or holes — an essential diagnostic for distinguishing n- and p-type semiconductors.

Hall effect：在磁場 \(\mathbf{B}\) 中流動的電流 \(\mathbf{J}\)，會在導體兩側產生橫向電壓 \(V_h\)。\(V_h\) 的正負號可以判別載子是電子還是電洞 — 這是區分 n 型與 p 型半導體的重要診斷方法。

ホール効果（Hall effect）：磁場 \(\mathbf{B}\) の中を流れる電流 \(\mathbf{J}\) は、導体の横方向に電圧 \(V_h\) を生じさせます。\(V_h\) の符号からキャリアが電子か正孔かが分かり、n 形と p 形の半導体を区別する重要な診断手段になります。

Chapter 6 at a Glance

• Defining equation: Lorentz force \(\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{u}\times\mathbf{B})\).
• Postulates (free space): \(\nabla\cdot\mathbf{B} = 0\), \(\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}\); integral form gives flux conservation and Ampère's circuital law.
• In matter: \(\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0 - \mathbf{M}\); Ampère's law becomes \(\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}\); constitutive relation \(\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}\).
• Vector potential: \(\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}\), Coulomb gauge \(\nabla\cdot\mathbf{A}=0\), \(\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}\); \(\Phi = \oint\mathbf{A}\cdot d\ell\).
• Biot–Savart: \(\mathbf{B} = (\mu_0 I/4\pi)\oint d\ell'\times\mathbf{a}_R/R^2\).
• Magnetic dipole: \(\mathbf{m}=IS\mathbf{a}_n\); \(\mathbf{B}\) falls off as \(1/R^3\) with the same angular pattern as an electric dipole.
• Boundary conditions: \(B_n\) continuous; \(H_t\) jumps by \(J_s\) (zero for ordinary media).
• Inductance: \(L = \Lambda/I\) — geometry only; Neumann formula for mutual inductance.
• Energy: \(W_m = \tfrac{1}{2}LI^2 = \tfrac{1}{2}\int\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}\,dv\); density \(w_m = B^2/(2\mu)\).
• Forces: \(\mathbf{F} = I\int d\ell\times\mathbf{B}\), torque \(\mathbf{T}=\mathbf{m}\times\mathbf{B}\); parallel wires attract if currents are codirectional.
• Materials: diamagnetic, paramagnetic, ferromagnetic; hysteresis with remanence \(B_r\) and coercivity \(H_c\); Curie temperature; Hall effect.

• 定義方程式：Lorentz force \(\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{u}\times\mathbf{B})\)。
• Postulates（自由空間）：\(\nabla\cdot\mathbf{B} = 0\)、\(\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}\)；積分形式給出磁通守恆與 Ampère's circuital law。
• 在物質中：\(\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0 - \mathbf{M}\)；Ampère's law 變為 \(\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}\)；constitutive relation 為 \(\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}\)。
• Vector potential：\(\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}\)，Coulomb gauge \(\nabla\cdot\mathbf{A}=0\)，\(\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}\)；\(\Phi = \oint\mathbf{A}\cdot d\ell\)。
• Biot–Savart：\(\mathbf{B} = (\mu_0 I/4\pi)\oint d\ell'\times\mathbf{a}_R/R^2\)。
• Magnetic dipole：\(\mathbf{m}=IS\mathbf{a}_n\)；\(\mathbf{B}\) 以 \(1/R^3\) 衰減，角度分布與 electric dipole 相同。
• Boundary conditions：\(B_n\) 連續；\(H_t\) 跳變 \(J_s\)（一般介質為零）。
• Inductance：\(L = \Lambda/I\) — 只與幾何有關；互感用 Neumann formula。
• Energy：\(W_m = \tfrac{1}{2}LI^2 = \tfrac{1}{2}\int\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}\,dv\)；密度 \(w_m = B^2/(2\mu)\)。
• Forces：\(\mathbf{F} = I\int d\ell\times\mathbf{B}\)，力矩 \(\mathbf{T}=\mathbf{m}\times\mathbf{B}\)；平行導線電流同向時相吸。
• Materials：diamagnetic、paramagnetic、ferromagnetic；hysteresis 及其 remanence \(B_r\) 與 coercivity \(H_c\)；Curie temperature；Hall effect。

• 定義式：ローレンツ力 \(\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{u}\times\mathbf{B})\)。
• 公理（自由空間）：\(\nabla\cdot\mathbf{B} = 0\)、\(\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}\)。積分形から磁束の保存とアンペールの周回積分の法則が得られます。
• 物質中：\(\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0 - \mathbf{M}\)。アンペールの法則は \(\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}\) となり、構成関係式は \(\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}\) です。
• ベクトル磁位：\(\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}\)、クーロンゲージ \(\nabla\cdot\mathbf{A}=0\)、\(\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}\)、\(\Phi = \oint\mathbf{A}\cdot d\ell\)。
• ビオ・サバール：\(\mathbf{B} = (\mu_0 I/4\pi)\oint d\ell'\times\mathbf{a}_R/R^2\)。
• 磁気双極子：\(\mathbf{m}=IS\mathbf{a}_n\)。\(\mathbf{B}\) は \(1/R^3\) で減衰し、角度分布は電気双極子と同じです。
• 境界条件：\(B_n\) は連続、\(H_t\) は \(J_s\) だけ跳びます（通常の媒質ではゼロ）。
• インダクタンス：\(L = \Lambda/I\) — 幾何学だけで決まります。相互インダクタンスにはノイマンの公式。
• エネルギー：\(W_m = \tfrac{1}{2}LI^2 = \tfrac{1}{2}\int\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}\,dv\)、密度 \(w_m = B^2/(2\mu)\)。
• 力：\(\mathbf{F} = I\int d\ell\times\mathbf{B}\)、トルク \(\mathbf{T}=\mathbf{m}\times\mathbf{B}\)。平行導線は電流が同じ向きなら引き合います。
• 材料：反磁性、常磁性、強磁性。残留磁束密度 \(B_r\) と保磁力 \(H_c\) をもつヒステリシス、キュリー温度、ホール効果。

Problems and Solutions

Part A — Biot-Savart, Ampère's Law, Magnetostatics (Sections 6-1 to 6-7)

Part B — Magnetic Circuits, Inductance, Energy, Forces (Sections 6-8 to 6-13)

Textbook Practice Problems