Low-Noise and Power Amplifiers — Self-Study Guide

3.1 指定增益設計3.1 Design for Specified Gain3.1 指定利得設計

在許多情況下，刻意設計成低於最大可用增益反而較佳，以改善雜訊指數、輸出功率與頻寬。阻抗匹配的選擇，正是用來最佳化增益、雜訊指數、輸出功率或頻寬。In many cases it is preferable to design for less than the maximum available gain to improve noise figure, output power, and bandwidth. Impedance matches are chosen to optimize gain, noise figure, output power, or bandwidth.多くの場合、雑音指数・出力電力・帯域幅を改善するために、あえて最大有能利得より低い利得で設計するほうが望ましい。インピーダンス整合は、利得・雑音指数・出力電力・帯域幅のいずれかを最適化するように選ばれる。

為什麼不總是追求最大增益？Why not always maximum gain?なぜ常に最大利得を狙わないのか？

最大增益要求兩埠同時共軛匹配（$\Gamma_s = S_{11}^*$、$\Gamma_l = S_{22}^*$），這使得雜訊指數、頻寬或輸出功率毫無最佳化的餘地。刻意接受較低的增益，就能把匹配網路釋放出來去追求其他目標。Maximum gain requires conjugate matching at both ports ($\Gamma_s = S_{11}^*$, $\Gamma_l = S_{22}^*$). This leaves no room to optimize noise figure, bandwidth, or output power. By deliberately accepting less gain, you free up the matching network to pursue other objectives.最大利得は両ポートでの共役整合（$\Gamma_s = S_{11}^*$、$\Gamma_l = S_{22}^*$）を要求するため、雑音指数・帯域幅・出力電力を最適化する余地が残らない。あえて利得を下げれば、整合回路を他の目的に振り向けられる。

常見混淆：$Z_L = Z_S$ 與 $Z_L = Z_S^*$Common confusion: $Z_L = Z_S$ vs $Z_L = Z_S^*$よくある混同：$Z_L = Z_S$ と $Z_L = Z_S^*$

$Z_S$ 是自參考面往訊號源方向看進去的戴維寧內阻抗；$Z_L$ 則是自同一參考面往負載看進去的阻抗。最大功率傳輸要求共軛匹配 $Z_L = Z_S^{\,*}$，亦即 $R_L = R_S$ 且 $X_L = -X_S$。$Z_S$ is the Thévenin internal impedance seen looking back into the source from the reference plane; $Z_L$ is the impedance seen looking into the load from the same plane. Max power transfer requires the conjugate match $Z_L = Z_S^{\,*}$, i.e. $R_L = R_S$ and $X_L = -X_S$.$Z_S$ は基準面から電源側を見たときのテブナン内部インピーダンス、$Z_L$ は同じ基準面から負荷側を見たインピーダンスである。最大電力伝送には共役整合 $Z_L = Z_S^{\,*}$、すなわち $R_L = R_S$ かつ $X_L = -X_S$ が必要となる。

最大功率傳輸（因此也是單一埠上的最大放大器增益）要求的是共軛匹配，而非相等：Max power transfer (and hence max amplifier gain at one port) requires the conjugate match, not equality:最大電力伝送（したがって片ポートでの最大増幅利得）に必要なのは、等値ではなく共役整合である：

$$Z_L = Z_S^{\,*} \quad\text{(共軛匹配 — 最大增益)} \;\;\neq\;\; Z_L = Z_S \quad\text{(對 }Z_0\text{ 無反射)}$$

$$Z_L = Z_S^{\,*} \quad\text{(conjugate match — max gain)} \;\;\neq\;\; Z_L = Z_S \quad\text{(reflection-free into }Z_0\text{)}$$

$$Z_L = Z_S^{\,*} \quad\text{(共役整合 — 最大利得)} \;\;\neq\;\; Z_L = Z_S \quad\text{(}Z_0\text{ に対して無反射)}$$

若 $Z_S$ 為純實數（$X_S = 0$），則 $Z_S^* = Z_S$，兩個條件一致。If $Z_S$ is purely real ($X_S = 0$), then $Z_S^* = Z_S$ and the two conditions coincide.$Z_S$ が純実数（$X_S = 0$）であれば $Z_S^* = Z_S$ となり、両条件は一致する。
若 $Z_S$ 帶電抗（$X_S \neq 0$），共軛會抵消該電抗：$Z_L = R_S - jX_S$。若設成 $Z_L = Z_S$，反而會增加電抗而非抵消，功率因此損失。If $Z_S$ is reactive ($X_S \neq 0$), the conjugate cancels the reactance: $Z_L = R_S - jX_S$. Setting $Z_L = Z_S$ would add reactance instead of canceling it, and you'd lose power.$Z_S$ がリアクタンスを持つ場合（$X_S \neq 0$）、共役はそのリアクタンスを打ち消す：$Z_L = R_S - jX_S$。$Z_L = Z_S$ とすると打ち消すどころかリアクタンスを加えることになり、電力を失う。

對於二埠放大器，此條件必須在兩個埠同時成立：For a two-port amplifier, this must hold at both ports simultaneously:2ポート増幅器では、この条件が両方のポートで同時に成り立たなければならない：

$$\Gamma_s = \Gamma_{in}^{\,*}, \qquad \Gamma_l = \Gamma_{out}^{\,*}$$

這種同時共軛匹配只有在元件為絕對穩定（$K > 1$、$|\Delta| < 1$）時才存在。否則就得透過等增益圓，以增益換取穩定度。This simultaneous conjugate match exists only when the device is unconditionally stable ($K > 1$, $|\Delta| < 1$). Otherwise you trade gain for stability via constant-gain circles.この同時共役整合は、素子が無条件安定（$K > 1$、$|\Delta| < 1$）のときにのみ存在する。そうでなければ、等利得円を用いて利得と安定性を引き換えにする。

為什麼同時匹配需要絕對穩定？Why does the simultaneous match require unconditional stability?なぜ同時整合には無条件安定が必要なのか？

首先，二埠放大器的 S 參數。每個 $S_{ij}$ 都是埠 $i$ 的出射波與埠 $j$ 的入射波之比，其餘各埠均以 $Z_0$ 終端（無反射回來）：First, the S-parameters of a two-port amplifier. Each $S_{ij}$ is a ratio of an outgoing wave at port $i$ to an incoming wave at port $j$, with all other ports terminated in $Z_0$ (no reflection back):まず、2ポート増幅器の S パラメータについて。各 $S_{ij}$ は、他のすべてのポートを $Z_0$ で終端した（反射が戻らない）状態での、ポート $i$ の出射波とポート $j$ の入射波の比である：

$$\begin{aligned} S_{11} &= \tfrac{b_1}{a_1}\bigg|_{a_2=0} \quad\text{輸入反射係數（輸出以 $Z_0$ 終端）} \\[2pt] S_{21} &= \tfrac{b_2}{a_1}\bigg|_{a_2=0} \quad\text{順向傳輸 — 小訊號增益波} \\[2pt] S_{12} &= \tfrac{b_1}{a_2}\bigg|_{a_1=0} \quad\text{逆向傳輸 — 由輸出漏回輸入} \\[2pt] S_{22} &= \tfrac{b_2}{a_2}\bigg|_{a_1=0} \quad\text{輸出反射係數（輸入以 $Z_0$ 終端）} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} S_{11} &= \tfrac{b_1}{a_1}\bigg|_{a_2=0} \quad\text{input reflection coefficient (output $Z_0$-terminated)} \\[2pt] S_{21} &= \tfrac{b_2}{a_1}\bigg|_{a_2=0} \quad\text{forward transmission — the small-signal gain wave} \\[2pt] S_{12} &= \tfrac{b_1}{a_2}\bigg|_{a_1=0} \quad\text{reverse transmission — leakage from output back to input} \\[2pt] S_{22} &= \tfrac{b_2}{a_2}\bigg|_{a_1=0} \quad\text{output reflection coefficient (input $Z_0$-terminated)} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} S_{11} &= \tfrac{b_1}{a_1}\bigg|_{a_2=0} \quad\text{入力反射係数（出力は $Z_0$ 終端）} \\[2pt] S_{21} &= \tfrac{b_2}{a_1}\bigg|_{a_2=0} \quad\text{順方向伝送 — 小信号利得の波} \\[2pt] S_{12} &= \tfrac{b_1}{a_2}\bigg|_{a_1=0} \quad\text{逆方向伝送 — 出力から入力への漏れ} \\[2pt] S_{22} &= \tfrac{b_2}{a_2}\bigg|_{a_1=0} \quad\text{出力反射係数（入力は $Z_0$ 終端）} \end{aligned}$$

$S_{11}$ 的物理意義（點擊展開）Physical meaning of $S_{11}$ (click to expand)$S_{11}$ の物理的意味（クリックで展開）

$S_{11}$ 是在埠 2 以參考阻抗 $Z_0$（通常為 50 Ω）終端的條件下，於埠 1 量測到的輸入反射係數。$S_{11}$ is the input reflection coefficient measured at port 1 with port 2 terminated in the reference impedance $Z_0$ (typically 50 Ω).$S_{11}$ は、ポート 2 を基準インピーダンス $Z_0$（通常 50 Ω）で終端した状態で、ポート 1 において測定される入力反射係数である。

你將行進波 $a_1$ 送入埠 1，$S_{11}$ 就是自埠 1 反彈回來的波 $b_1$ 與入射波之比：You send a travelling wave $a_1$ into port 1. $S_{11}$ is the ratio of the wave $b_1$ that bounces back out of port 1 to the wave you put in:ポート 1 に進行波 $a_1$ を入射すると、$S_{11}$ はポート 1 から跳ね返ってくる波 $b_1$ と入射波との比になる：

$$S_{11} = \frac{b_1}{a_1}\bigg|_{a_2=0}$$

條件 $a_2 = 0$ 表示埠 2 已匹配 — 沒有波從負載側傳來。這正是標準的向量網路分析儀 (VNA) 量測設定。The condition $a_2 = 0$ means port 2 is matched — no wave arriving from the load side. This is the standard VNA measurement setup.条件 $a_2 = 0$ は、ポート 2 が整合されており負荷側から入射波が来ないことを意味する。これは VNA（ベクトルネットワークアナライザ）の標準的な測定条件である。

量Quantity量	意義Meaning意味
$\|S_{11}\|$	入射功率被反射的比例。0 = 完全匹配，1 = 開路／短路fraction of incident power reflected. 0 = perfect match, 1 = open/short入射電力のうち反射される割合。0 = 完全整合、1 = 開放／短絡
$\angle S_{11}$	反射的相位 — 說明失配是電容性、電感性還是電阻性（亦即輸入阻抗落在史密斯圖上的何處）phase of reflection — tells whether mismatch is capacitive, inductive, or resistive (where on Smith chart the input impedance sits)反射の位相 — 不整合が容量性・誘導性・抵抗性のいずれかを示す（入力インピーダンスがスミスチャート上のどこに位置するか）
$-20\log\|S_{11}\|$ dB	回波損耗。匹配良好的低雜訊放大器輸入約為 ${\approx}{-15}$ dB（$\|S_{11}\|\approx 0.18$）return loss. A well-matched LNA input: ${\approx}{-15}$ dB ($\|S_{11}\|\approx 0.18$)リターンロス。よく整合した LNA の入力では ${\approx}{-15}$ dB（$\|S_{11}\|\approx 0.18$）程度

注意：只有在埠 2 以 $Z_0$ 終端時，$S_{11}$ 才等於輸入反射係數 $\Gamma_{in}$。當接上實際負載 $\Gamma_l \neq 0$ 且 $S_{12}\neq 0$ 時，真正的 $\Gamma_{in}$ 與 $S_{11}$ 不同 — 見式 (3.1-1)。Note: $S_{11}$ equals the input reflection coefficient $\Gamma_{in}$ only when port 2 is terminated in $Z_0$. When a real load $\Gamma_l \neq 0$ is connected and $S_{12}\neq 0$, the actual $\Gamma_{in}$ differs from $S_{11}$ — see eq. (3.1-1).注意：$S_{11}$ が入力反射係数 $\Gamma_{in}$ に等しくなるのは、ポート 2 を $Z_0$ で終端した場合だけである。実際の負荷 $\Gamma_l \neq 0$ が接続され $S_{12}\neq 0$ であれば、実際の $\Gamma_{in}$ は $S_{11}$ と異なる — 式 (3.1-1) を参照。

此處 $a_i$ 為埠 $i$ 的入射波，$b_i$ 為反射／傳輸波，兩者皆已正規化，使 $|a_i|^2$ 與 $|b_i|^2$ 即為功率。由此再導出兩個量：Here $a_i$ is the incident wave and $b_i$ the reflected/transmitted wave at port $i$, both normalized so $|a_i|^2$ and $|b_i|^2$ are powers. Two more quantities derived from them:ここで $a_i$ はポート $i$ の入射波、$b_i$ は反射・透過波であり、$|a_i|^2$ と $|b_i|^2$ が電力となるよう正規化されている。これらから導かれる量がさらに 2 つある：

$\Gamma_{in}$、$\Gamma_{out}$ — 當另一側接上實際（而非 $Z_0$）終端 $\Gamma_l$、$\Gamma_s$ 時，往放大器輸入／輸出看進去的實際反射係數。只要 $S_{12} \ne 0$，它們就與 $S_{11}$、$S_{22}$ 不同。$\Gamma_{in}$, $\Gamma_{out}$ — actual reflection coefficients looking into the amplifier's input/output when real (not $Z_0$) terminations $\Gamma_l$, $\Gamma_s$ are connected on the other side. These differ from $S_{11}$, $S_{22}$ whenever $S_{12} \ne 0$.$\Gamma_{in}$、$\Gamma_{out}$ — 反対側に実際の（$Z_0$ ではない）終端 $\Gamma_l$、$\Gamma_s$ を接続したときに増幅器の入力／出力を見込んだ実際の反射係数。$S_{12} \ne 0$ である限り $S_{11}$、$S_{22}$ とは異なる。
$\Delta = S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}$ — S 矩陣的行列式；出現在穩定因數 $K$ 與同時匹配公式之中。$\Delta = S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}$ — the determinant of the S-matrix; appears in the stability factor $K$ and the simultaneous-match formulas.$\Delta = S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}$ — S 行列の行列式。安定係数 $K$ や同時整合の公式に現れる。

當 $S_{12} \approx 0$（無反向洩漏）時，元件稱為單向的。實際的電晶體從來不是真正單向的 — 那個微小的 $S_{12}$ 正是使輸入與輸出耦合的原因，也是以下所有問題的根源。A device is unilateral when $S_{12} \approx 0$ (no reverse leakage). Real transistors are never truly unilateral — that small $S_{12}$ is exactly what makes input and output coupled, and is the root cause of everything below.$S_{12} \approx 0$（逆方向の漏れがない）のとき、素子は単向性であるという。実際のトランジスタが真に単向性であることは決してなく、この小さな $S_{12}$ こそが入力と出力を結合させ、以下すべての問題の根本原因となる。

耦合問題。透過 $S_{12}$，負載阻抗會回饋到輸入端：改變 $\Gamma_l$ 會改變 $\Gamma_{in}$，改變 $\Gamma_s$ 也會改變 $\Gamma_{out}$。The coupling problem. Through $S_{12}$, the load impedance feeds back into the input: changing $\Gamma_l$ changes $\Gamma_{in}$, and changing $\Gamma_s$ changes $\Gamma_{out}$.結合の問題。$S_{12}$ を通じて負荷インピーダンスが入力側に帰還する。$\Gamma_l$ を変えれば $\Gamma_{in}$ が変わり、$\Gamma_s$ を変えれば $\Gamma_{out}$ が変わる。

$$\Gamma_{in} = S_{11} + \frac{S_{12}S_{21}\,\Gamma_l}{1 - S_{22}\Gamma_l}, \qquad \Gamma_{out} = S_{22} + \frac{S_{12}S_{21}\,\Gamma_s}{1 - S_{11}\Gamma_s} \tag{3.1-1}$$

$\Gamma_{out}$ 與 $\Gamma_l$ — 差別在哪裡？（點擊展開）$\Gamma_{out}$ vs $\Gamma_l$ — what is the difference? (click to expand)$\Gamma_{out}$ と $\Gamma_l$ — 何が違うのか？（クリックで展開）

兩者描述的是同一個實體節點（埠 2）上相反的方向：They describe opposite directions at the same physical node (port 2):両者は同じ物理ノード（ポート 2）における逆向きを表している：

	方向Direction向き	由誰決定Who sets it誰が決めるか
$\Gamma_{out}$	自負載側看進電晶體的埠 2looking into port 2 of the transistor from the load side負荷側からトランジスタのポート 2 を見込んだもの	一旦選定 $\Gamma_s$ 就固定 — 屬於元件本身的性質fixed once you choose $\Gamma_s$ — device property$\Gamma_s$ を選んだ時点で決まる — 素子側の性質
$\Gamma_l$	自埠 2 看進負載網路looking into the load network from port 2ポート 2 から負荷回路を見込んだもの	由你決定 — 取決於輸出匹配網路your choice — set by the output matching network設計者が選ぶ — 出力整合回路で決まる

類比：$\Gamma_{out}$ 相當於電晶體輸出埠的戴維寧阻抗，$\Gamma_l$ 則是你接上去的負載阻抗。兩者隔著同一個參考面彼此相對。Analogy: $\Gamma_{out}$ is the Thévenin impedance of the transistor's output port. $\Gamma_l$ is the impedance of the load you connect to it. They face each other across the same reference plane.たとえ：$\Gamma_{out}$ はトランジスタ出力ポートのテブナンインピーダンスに相当し、$\Gamma_l$ はそこに接続する負荷のインピーダンスである。両者は同じ基準面を挟んで向かい合っている。

當 $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ 時：即共軛匹配 — 負載等於電晶體輸出阻抗的複數共軛。此時功率傳輸最大，$G_T = G_A$。When $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$: conjugate match — load = complex conjugate of the transistor's output impedance. Maximum power transfer, $G_T = G_A$.$\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ のとき：共役整合となり、負荷はトランジスタ出力インピーダンスの複素共役に等しい。電力伝送は最大で $G_T = G_A$。

當 $\Gamma_l \neq \Gamma_{out}^*$ 時：埠 2 出現反射功率，$G_T < G_A$。When $\Gamma_l \neq \Gamma_{out}^*$: reflected power at port 2, $G_T < G_A$.$\Gamma_l \neq \Gamma_{out}^*$ のとき：ポート 2 で電力が反射され、$G_T < G_A$ となる。

因此 $\Gamma_s = \Gamma_{in}^{\,*}$ 與 $\Gamma_l = \Gamma_{out}^{\,*}$ 構成兩個未知數、兩條方程式的耦合系統。聯立求解可得閉合形式的 $\Gamma_{Ms}$ 與 $\Gamma_{Ml}$：So $\Gamma_s = \Gamma_{in}^{\,*}$ and $\Gamma_l = \Gamma_{out}^{\,*}$ form a coupled system of two equations in two unknowns. Solving simultaneously gives the closed-form $\Gamma_{Ms}$, $\Gamma_{Ml}$:したがって $\Gamma_s = \Gamma_{in}^{\,*}$ と $\Gamma_l = \Gamma_{out}^{\,*}$ は、2 未知数・2 式の連立系をなす。同時に解くと閉じた形の $\Gamma_{Ms}$、$\Gamma_{Ml}$ が得られる：

$$\Gamma_{Ms} = \frac{B_1 \pm \sqrt{B_1^2 - 4|C_1|^2}}{2C_1}, \qquad \Gamma_{Ml} = \frac{B_2 \pm \sqrt{B_2^2 - 4|C_2|^2}}{2C_2}$$

其中 $B_1 = 1 + |S_{11}|^2 - |S_{22}|^2 - |\Delta|^2$、$\ C_1 = S_{11} - \Delta S_{22}^{\,*}$，以及 $\Delta = S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}$。with $B_1 = 1 + |S_{11}|^2 - |S_{22}|^2 - |\Delta|^2$, $\ C_1 = S_{11} - \Delta S_{22}^{\,*}$, and $\Delta = S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}$.ここで $B_1 = 1 + |S_{11}|^2 - |S_{22}|^2 - |\Delta|^2$、$\ C_1 = S_{11} - \Delta S_{22}^{\,*}$、$\Delta = S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}$ である。

穩定度在此登場。物理上可實現的解要求 $|\Gamma_{Ms}| < 1$ 且 $|\Gamma_{Ml}| < 1$ — 兩個反射係數都必須落在史密斯圖之內（被動終端）。其條件即為 Rollett 穩定因數：Where stability comes in. A physically realizable solution requires $|\Gamma_{Ms}| < 1$ and $|\Gamma_{Ml}| < 1$ — both reflection coefficients must live inside the Smith chart (passive terminations). The condition for this is the Rollett stability factor:ここで安定性が効いてくる。物理的に実現可能な解には $|\Gamma_{Ms}| < 1$ かつ $|\Gamma_{Ml}| < 1$ が必要で、両反射係数はスミスチャートの内側（受動終端）になければならない。その条件が Rollett の安定係数である：

$$K = \frac{1 - |S_{11}|^2 - |S_{22}|^2 + |\Delta|^2}{2\,|S_{12}S_{21}|} > 1, \qquad |\Delta| < 1$$

等價地說 $B_1^2 - 4|C_1|^2 > 0$，因此平方根項為實數，解不會跑到單位圓之外。Equivalently $B_1^2 - 4|C_1|^2 > 0$, so the square-root term is real and the solution doesn't escape the unit disk.同値な条件として $B_1^2 - 4|C_1|^2 > 0$ であり、平方根項が実数となって解が単位円の外へ出ない。

當 $K \le 1$（潛在不穩定）時會出什麼問題。What goes wrong when $K \le 1$ (potentially unstable).$K \le 1$（潜在的に不安定）のとき何が起きるか。

判別式 $B_1^2 - 4|C_1|^2$ 可能為負 ⇒ $\Gamma_{Ms}$ 變成複數且 $|\Gamma_{Ms}| = 1$ 落在一個圓上，或兩個根都落在單位圓之外 ⇒ 不存在被動匹配。The discriminant $B_1^2 - 4|C_1|^2$ can be negative ⇒ $\Gamma_{Ms}$ becomes complex with $|\Gamma_{Ms}| = 1$ on a circle, or both roots fall outside the unit circle ⇒ no passive match exists.判別式 $B_1^2 - 4|C_1|^2$ が負になり得る ⇒ $\Gamma_{Ms}$ は複素数となって $|\Gamma_{Ms}| = 1$ の円上に乗るか、2 つの根がともに単位円の外に出る ⇒ 受動的な整合は存在しない。
即使形式解落在單位圓內，共軛匹配的終端也會把 $|\Gamma_{in}|$ 或 $|\Gamma_{out}|$ 推向 1，此時極微小的失配就會觸發振盪。想從潛在不穩定的元件榨出最大增益，只會讓它振盪。Even if a formal solution sits inside the unit circle, the conjugate-match terminations push $|\Gamma_{in}|$ or $|\Gamma_{out}|$ toward 1, where infinitesimal mismatches trigger oscillation. Trying to extract maximum gain from a potentially unstable device makes it oscillate.形式的な解が単位円の内側にあっても、共役整合終端は $|\Gamma_{in}|$ や $|\Gamma_{out}|$ を 1 に近づけ、わずかな不整合でも発振を引き起こす。潜在的に不安定な素子から最大利得を引き出そうとすれば、発振する。
史密斯圖上的「穩定圓」界定了使 $|\Gamma_{out}| < 1$（或 $|\Gamma_{in}| < 1$）的 $\Gamma_s$（或 $\Gamma_l$）區域。當 $K \le 1$ 時，這些圓會切入單位圓內，而同時匹配點就落在安全區域之外。The "stability circles" on the Smith chart bound the region of $\Gamma_s$ (or $\Gamma_l$) that keeps $|\Gamma_{out}| < 1$ (or $|\Gamma_{in}| < 1$). When $K \le 1$, those circles cut into the unit disk and the simultaneous-match point lies outside the safe region.スミスチャート上の「安定円」は、$|\Gamma_{out}| < 1$（あるいは $|\Gamma_{in}| < 1$）を保つ $\Gamma_s$（あるいは $\Gamma_l$）の領域を区切る。$K \le 1$ では、これらの円が単位円内に食い込み、同時整合点は安全領域の外に位置する。

$K \le 1$ 時的因應做法。不要追求最大增益。在穩定區域內側充分留有餘裕之處，沿等增益圓選取 $\Gamma_s$、$\Gamma_l$ — 以犧牲部分增益換取有裕度的 $|\Gamma_{in}|, |\Gamma_{out}| < 1$。或者加入電阻性負載／源極退化，把 $K$ 推到 1 以上，再對已成為絕對穩定的元件做共軛匹配。Workaround when $K \le 1$. Don't aim for max gain. Pick $\Gamma_s$, $\Gamma_l$ on constant-gain circles well inside the stable region — accepting some gain reduction in exchange for $|\Gamma_{in}|, |\Gamma_{out}| < 1$ with margin. Or apply resistive loading / source degeneration to push $K$ above 1, then conjugate-match the now-unconditionally-stable device.$K \le 1$ のときの対処法。最大利得を狙わないこと。安定領域の十分内側で等利得円上に $\Gamma_s$、$\Gamma_l$ を選び、利得の低下と引き換えに余裕をもって $|\Gamma_{in}|, |\Gamma_{out}| < 1$ を確保する。あるいは抵抗性負荷やソース縮退を加えて $K$ を 1 以上に押し上げ、無条件安定になった素子を共役整合する。

一句話總結：絕對穩定保證共軛匹配方程式有被動解；缺少它，同一組方程式不是無有效解，就是落在會讓放大器振盪的終端上。One-line summary: unconditional stability ensures the conjugate-match equations have a passive solution; without it, the same equations either have no valid solution or land on terminations that make the amplifier oscillate.一言でまとめると：無条件安定は共役整合方程式が受動的な解をもつことを保証する。これがなければ、同じ方程式は有効な解をもたないか、増幅器を発振させる終端に行き着く。

證明：為何 $Z_L = Z_S^*$ 能使功率傳輸最大Proof: why $Z_L = Z_S^*$ maximizes power transfer証明：なぜ $Z_L = Z_S^*$ で電力伝送が最大になるのか

電動勢為 $V_s$、內阻抗為 $Z_S = R_S + jX_S$ 的訊號源驅動負載 $Z_L = R_L + jX_L$，迴路電流為Source EMF $V_s$ with internal impedance $Z_S = R_S + jX_S$ drives a load $Z_L = R_L + jX_L$. The loop current is起電力 $V_s$、内部インピーダンス $Z_S = R_S + jX_S$ の電源が負荷 $Z_L = R_L + jX_L$ を駆動するとき、ループ電流は

$$I = \frac{V_s}{Z_S + Z_L}, \qquad |I|^2 = \frac{|V_s|^2}{(R_S+R_L)^2 + (X_S+X_L)^2}$$

只有負載的電阻部分會消耗實功率：Only the resistive part of the load dissipates real power:実電力を消費するのは負荷の抵抗成分だけである：

$$P_L = \tfrac{1}{2}|I|^2 R_L = \frac{|V_s|^2}{2}\cdot\frac{R_L}{(R_S+R_L)^2 + (X_S+X_L)^2}$$

步驟 1 — 選擇 $X_L$。$X_L$ 只以 $(X_S+X_L)^2 \ge 0$ 的形式出現在分母。要使分母最小（即 $P_L$ 最大）：Step 1 — choose $X_L$. $X_L$ appears only in the denominator as $(X_S+X_L)^2 \ge 0$. To minimize the denominator (= maximize $P_L$):ステップ 1 — $X_L$ を選ぶ。$X_L$ は分母に $(X_S+X_L)^2 \ge 0$ の形でしか現れない。分母を最小化する（= $P_L$ を最大化する）には：

$$X_L = -X_S \quad\text{(抵消訊號源電抗 — 串聯諧振)}$$

$$X_L = -X_S \quad\text{(cancel the source reactance — series resonance)}$$

$$X_L = -X_S \quad\text{(電源側リアクタンスを打ち消す — 直列共振)}$$

步驟 2 — 選擇 $R_L$。Step 2 — choose $R_L$.ステップ 2 — $R_L$ を選ぶ。 在 $X_L = -X_S$ 之下： With $X_L = -X_S$: $X_L = -X_S$ のとき：

$$P_L = \frac{|V_s|^2}{2}\cdot\frac{R_L}{(R_S+R_L)^2}$$

對 $R_L$ 微分並令其為零：Differentiate w.r.t. $R_L$ and set to zero:$R_L$ について微分してゼロと置くと：

$$\frac{dP_L}{dR_L} = \frac{|V_s|^2}{2}\cdot\frac{(R_S+R_L)^2 - 2R_L(R_S+R_L)}{(R_S+R_L)^4} = \frac{|V_s|^2}{2}\cdot\frac{R_S - R_L}{(R_S+R_L)^3} = 0$$

$$R_L = R_S$$

合併兩個步驟：Combine both steps:両ステップをまとめると：

$$Z_L = R_S - jX_S = (R_S + jX_S)^* = Z_S^{\,*}$$

可傳送的最大功率（即訊號源的可用功率）：Maximum deliverable power (the available power of the source):伝送できる最大電力（電源の有能電力）：

$$P_{L,\max} = \frac{|V_s|^2}{8\,R_S}$$

直觀理解。$X_L = -X_S$ 調掉了電抗性的能量儲存，使迴路變成純電阻性（諧振）。接著 $R_L = R_S$ 讓電阻分壓達到平衡 — 訊號源電壓有一半落在 $R_L$ 上 — 因而在給定 $R_S$ 下傳送出最多的實功率。Intuition. $X_L = -X_S$ tunes out reactive energy storage so the loop becomes purely resistive (resonance). $R_L = R_S$ then balances the resistive divider — half the source voltage drops across $R_L$ — delivering the most real power for a given $R_S$.直感的な理解。$X_L = -X_S$ はリアクタンスによるエネルギー蓄積を打ち消し、ループを純抵抗性（共振状態）にする。さらに $R_L = R_S$ が抵抗分圧をつり合わせ、電源電圧の半分が $R_L$ に加わることで、与えられた $R_S$ に対して最大の実電力が供給される。

3.1.1 互動教學：史密斯圖的判讀與使用3.1.1 Interactive Tutorial: Reading & Using the Smith Chart3.1.1 インタラクティブ教材：スミスチャートの読み方と使い方

史密斯圖是把阻抗平面透過 $\Gamma = (Z-Z_0)/(Z+Z_0)$ 映射到單位圓盤的座標變換。請用下方的分頁逐一學習各個概念。在圖上任意位置點擊即可放置／移動標記 — 讀數會即時更新。The Smith chart is a coordinate transform of the impedance plane onto the unit disk via $\Gamma = (Z-Z_0)/(Z+Z_0)$. Use the tabs below to learn one concept at a time. Click anywhere on the chart to drop / move a marker — the readout updates in real time.スミスチャートは、$\Gamma = (Z-Z_0)/(Z+Z_0)$ によってインピーダンス平面を単位円板へ写す座標変換である。下のタブで概念を一つずつ学べる。チャート上の任意の位置をクリックするとマーカーを置いたり動かしたりでき、読み値がリアルタイムで更新される。

什麼是 VSWR？What is VSWR?VSWR とは何か？

VSWR — 電壓駐波比。負載未匹配時，入射波有一部分會反射回來。前進波與反射波沿傳輸線干涉，形成具有波峰 $|V|_{\max}$ 與波節 $|V|_{\min}$ 的駐波圖樣。VSWR — Voltage Standing Wave Ratio. When the load isn't matched, part of the incident wave reflects back. Forward + reflected waves interfere along the line, producing a standing-wave pattern with peaks $|V|_{\max}$ and nulls $|V|_{\min}$.VSWR — 電圧定在波比。負荷が整合していないと、入射波の一部が反射して戻る。進行波と反射波が線路上で干渉し、腹 $|V|_{\max}$ と節 $|V|_{\min}$ をもつ定在波パターンを生じる。

$$\text{VSWR} = \frac{|V|_{\max}}{|V|_{\min}} = \frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$$

$\|\Gamma\|$	VSWRVSWRVSWR	回波損耗Return lossリターンロス	意義Meaning意味
0	1.0	$\infty$ dB	完全匹配perfect match完全整合
0.2	1.5	14 dB	非常好very good非常に良好
0.33	2.0	9.5 dB	可接受acceptable許容範囲
0.5	3.0	6 dB	不佳poor不良
1	$\infty$	0 dB	全反射（短路／開路）total reflection (short / open)全反射（短絡／開放）

為 $\geq 1$ 的實數 — 只取決於 $|\Gamma|$，與其相位無關。Real number $\geq 1$ — depends only on $|\Gamma|$, not its phase.$\geq 1$ の実数 — $|\Gamma|$ のみで決まり、その位相にはよらない。
沿無損耗傳輸線為定值（移動參考面只會讓 $\Gamma$ 在其等 $|\Gamma|$ 圓上旋轉）。Constant along a lossless line (sliding the reference plane just rotates $\Gamma$ on its constant-$|\Gamma|$ circle).無損失線路に沿って一定（基準面をずらしても $\Gamma$ が等 $|\Gamma|$ 円上を回転するだけ）。
VSWR $=1$ $\Leftrightarrow$ 匹配 $\Leftrightarrow$ 無駐波，只有行進波。VSWR $=1$ $\Leftrightarrow$ matched $\Leftrightarrow$ no standing wave, just a traveling wave.VSWR $=1$ $\Leftrightarrow$ 整合 $\Leftrightarrow$ 定在波がなく、進行波のみ。

什麼是回波損耗？What is return loss?リターンロスとは何か？

回波損耗 (RL) — 入射功率中沒有被反射回來的比例，以 dB 表示，是匹配品質的度量。Return loss (RL) — how much of the incident power is not reflected back, expressed in dB. A measure of match quality.リターンロス (RL) — 入射電力のうち反射して戻らない割合を dB で表したもので、整合の良さを示す指標である。

$$\text{RL} = -20\log_{10}|\Gamma|\;\;[\text{dB}] \;=\; -10\log_{10}\!\frac{P_{\text{ref}}}{P_{\text{inc}}}$$

$\|\Gamma\|$	反射功率Reflected power反射電力	RL
0	0%	$\infty$ dB（完全匹配）$\infty$ dB (perfect match)$\infty$ dB（完全整合）
0.1	1%	20 dB
0.2	4%	14 dB
0.316	10%	10 dB
0.5	25%	6 dB
1.0	100%	0 dB（短路／開路）0 dB (short/open)0 dB（短絡／開放）

物理意義 — 所謂的「損耗」是什麼？Physical meaning — what is the "loss"?物理的な意味 — この「損失」とは何か？

若你將 1 W 的入射功率送入某一埠：If you send 1 W of incident power into a port:あるポートに 1 W の入射電力を送り込んだ場合：

RL = 10 dB → 0.1 W 反射回來，實際進入元件的是 0.9 WRL = 10 dB → 0.1 W reflects back, 0.9 W actually enters the deviceRL = 10 dB → 0.1 W が反射し、実際に素子へ入るのは 0.9 W
RL = 20 dB → 0.01 W 反射，0.99 W 進入RL = 20 dB → 0.01 W reflects, 0.99 W entersRL = 20 dB → 0.01 W が反射し、0.99 W が入る
RL = 5 dB → 0.32 W 反射，只有 0.68 W 進入（約 32% 因反射而浪費）RL = 5 dB → 0.32 W reflects, only 0.68 W enters (≈ 32% wasted as reflection)RL = 5 dB → 0.32 W が反射し、入るのは 0.68 W のみ（約 32% が反射で無駄になる）

從訊號源的角度看，反射掉的功率從未對負載做出有用的功 — 即使它並未化為熱能消散，對系統而言仍是「損失」。這正是它被稱為回波損耗的原因：訊號功率沒有穿過去，而是彈回來白白浪費掉。From the source's perspective, the reflected power never delivered useful work to the load — it is "lost" to the system, even though it isn't dissipated as heat. That's why it's called return loss: signal power wasted by bouncing back instead of going through.電源から見れば、反射した電力は負荷で有効な仕事をしていない。熱として消費されていなくても、システムにとっては「失われた」電力である。だからこそリターンロスと呼ばれる：通り抜けずに跳ね返って無駄になった信号電力である。

下面的放大器設計正是如此 — 為了從 $G_{S,\max}/G_{L,\max}$ 退回到較低的目標增益而刻意失配，RL 因此降到約 5 dB，意即該埠上約有三分之一的入射功率被反射掉，而非被放大。This is exactly what is happening in the amplifier design below — by deliberately mismatching to back off from $G_{S,\max}/G_{L,\max}$ to hit a lower target gain, RL drops to ~5 dB, meaning about a third of the incident power is reflected at the port instead of being amplified.以下の増幅器設計で起きているのはまさにこれである。$G_{S,\max}/G_{L,\max}$ から目標利得まで下げるためにあえて不整合にすると、RL は約 5 dB まで下がり、入射電力のおよそ 3 分の 1 が増幅されずにポートで反射することになる。

與 VSWR 或 $|\Gamma|$ 是同一組資訊 — 只是單位不同。工程師偏好 dB，因為匹配規格通常就是這麼寫的（例如「全頻段 RL $>$ 15 dB」）。Same information as VSWR or $|\Gamma|$ — just a different unit. Engineers prefer dB because matching specs are usually written that way (e.g. "RL $>$ 15 dB across the band").VSWR や $|\Gamma|$ と同じ情報を、単位を変えて表しただけである。整合仕様は通常この形で書かれる（例：「帯域全体で RL $>$ 15 dB」）ため、技術者は dB を好む。
「回波損耗 10 dB」是常見的最低規格；對多數射頻設計而言 15–20 dB 算是良好。"10 dB return loss" is a common minimum spec; 15–20 dB is good for most RF designs.「リターンロス 10 dB」は最低仕様としてよく用いられ、多くの RF 設計では 15〜20 dB あれば良好とされる。
不要與插入損耗混淆（那是訊號穿過元件時損失的功率，包含反射與消耗兩部分）。Not the same as insertion loss (power lost going through a component, including reflection + dissipation).挿入損失とは別物である（挿入損失は信号が素子を通過する際に失われる電力で、反射分と消費分の両方を含む）。

什麼是電導與電納？（導納史密斯圖）What are conductance & susceptance? (admittance Smith chart)コンダクタンスとサセプタンスとは？（アドミタンススミスチャート）

導納是阻抗的倒數：$Y = 1/Z$。拆成實部與虛部：Admittance is the reciprocal of impedance: $Y = 1/Z$. Splitting into real and imaginary parts:アドミタンスはインピーダンスの逆数である：$Y = 1/Z$。実部と虚部に分けると：

$$Y = G + jB \;\;[\text{S, siemens}] \qquad y = Y\cdot Z_0 = g + jb \;\;\text{(normalized)}$$

$G$ — 電導：$Y$ 的實部，表示與電壓同相流動的電流量（負載的電阻性部分）。只有在 $X=0$ 時才有 $G = 1/R$；一般情況下 $G = R/(R^2+X^2)$。$G$ — conductance: real part of $Y$. How much current flows in phase with the voltage (resistive part of the load). $G = 1/R$ only when $X=0$; in general $G = R/(R^2+X^2)$.$G$ — コンダクタンス：$Y$ の実部で、電圧と同相に流れる電流の大きさ（負荷の抵抗成分）を表す。$G = 1/R$ が成り立つのは $X=0$ のときだけで、一般には $G = R/(R^2+X^2)$ である。
$B$ — 電納：$Y$ 的虛部，表示與電壓相差 $90°$ 流動的電流量（電抗性部分）。$B = -X/(R^2+X^2)$。$B$ — susceptance: imaginary part of $Y$. How much current flows $90°$ out of phase with the voltage (reactive part). $B = -X/(R^2+X^2)$.$B$ — サセプタンス：$Y$ の虚部で、電圧に対して $90°$ ずれて流れる電流（リアクタンス成分）を表す。$B = -X/(R^2+X^2)$。

正負號的慣例與電抗相反（因為取了 $1/Z$）：Sign convention is opposite to reactance (because of the $1/Z$ flip):符号の約束はリアクタンスと逆になる（$1/Z$ をとるため）：

元件Element素子	電抗 $X$Reactance $X$リアクタンス $X$	電納 $B$Susceptance $B$サセプタンス $B$
電感 $L$Inductor $L$インダクタ $L$	$+\omega L$（正值）$+\omega L$ (positive)$+\omega L$（正）	$-1/(\omega L)$ (負negative負)
電容 $C$Capacitor $C$キャパシタ $C$	$-1/(\omega C)$（負值）$-1/(\omega C)$ (negative)$-1/(\omega C)$（負）	$+\omega C$ (正positive正)

為什麼要用導納？元件串聯時阻抗相加：$Z_{tot} = Z_1 + Z_2$；元件並聯（分路）時導納相加：$Y_{tot} = Y_1 + Y_2$。因此在匹配網路中加上並聯的 L 或 C 時，用導納運算最乾淨 — 在史密斯圖上這個動作就是沿著等 $g$ 圓移動（與電阻對應：串聯相加時等 $r$ 圓不變，並聯相加時等 $g$ 圓不變）。Why use admittance? For elements in series, impedances add: $Z_{tot} = Z_1 + Z_2$. For elements in parallel (shunt), admittances add: $Y_{tot} = Y_1 + Y_2$. So when you tack on a shunt L or C in a matching network, the math is clean in admittance — and on the Smith chart the move is along a constant-$g$ circle (resistance‑equivalent: constant-$r$ stays put under series additions; constant-$g$ stays put under shunt additions).なぜアドミタンスを使うのか。直列素子ではインピーダンスが加算され $Z_{tot} = Z_1 + Z_2$、並列（シャント）素子ではアドミタンスが加算されて $Y_{tot} = Y_1 + Y_2$ となる。したがって整合回路にシャントの L や C を付け足すときは、アドミタンスで計算するのが最も見通しがよい。スミスチャート上ではこの操作が等 $g$ 円に沿った移動になる（対応関係として、直列付加では等 $r$ 円が、シャント付加では等 $g$ 円が保たれる）。

導納史密斯圖就是阻抗圖旋轉 $180°$（等價於 $\Gamma \to -\Gamma$）。等 $g$ 圓現在通過左緣（$\Gamma=-1$，$y=\infty$ = 短路），上下半平面的電抗性質也對調：The admittance Smith chart is the impedance chart rotated $180°$ (equivalently, $\Gamma \to -\Gamma$). Constant-$g$ circles now pass through the left edge ($\Gamma=-1$, $y=\infty$ = short), and the upper/lower halves swap reactive sense:アドミタンススミスチャートは、インピーダンスチャートを $180°$ 回転したもの（$\Gamma \to -\Gamma$ と同値）である。等 $g$ 円は左端（$\Gamma=-1$、$y=\infty$ = 短絡）を通るようになり、上半面と下半面のリアクタンスの意味が入れ替わる：

● 藍色圓 = 等 $g$（電導） · ● 橘色弧 = 等 $b$（電納） · 中心 = $y=1$（完全匹配）。● blue circles = constant $g$ (conductance) · ● orange arcs = constant $b$ (susceptance) · centre = $y=1$ (perfect match).● 青い円 = 等 $g$（コンダクタンス） · ● オレンジの弧 = 等 $b$（サセプタンス） · 中心 = $y=1$（完全整合）。

與阻抗圖相比：Compared with the impedance chart:インピーダンスチャートとの比較：

	Z 史密斯圖Z-Smith chartZ スミスチャート	Y 史密斯圖Y-Smith chartY スミスチャート
右緣（$\Gamma=+1$）Right edge ($\Gamma=+1$)右端（$\Gamma=+1$）	$z=\infty$（開路）$z=\infty$ (open)$z=\infty$（開放）	$y=0$（開路）$y=0$ (open)$y=0$（開放）
左緣（$\Gamma=-1$）Left edge ($\Gamma=-1$)左端（$\Gamma=-1$）	$z=0$（短路）$z=0$ (short)$z=0$（短絡）	$y=\infty$（短路）$y=\infty$ (short)$y=\infty$（短絡）
上半平面Upper half上半面	$x>0$ 電感性$x>0$ inductive$x>0$ 誘導性	$b<0$ 電感性$b<0$ inductive$b<0$ 誘導性
下半平面Lower half下半面	$x<0$ 電容性$x<0$ capacitive$x<0$ 容量性	$b>0$ 電容性$b>0$ capacitive$b>0$ 容量性
串聯元件的移動軌跡Series element moves along直列素子が動く軌跡	等 $r$ 圓constant-$r$ circle等 $r$ 円	—（請用 Z 視圖）— (use Z view)—（Z 表示を使う）
並聯元件的移動軌跡Shunt element moves alongシャント素子が動く軌跡	—（請用 Y 視圖）— (use Y view)—（Y 表示を使う）	等 $g$ 圓constant-$g$ circle等 $g$ 円

3.1.2 等增益圓 — 單向化情形3.1.2 Constant Gain Circles — Unilateral Case3.1.2 等利得円 — 単向化の場合

當 $S_{12} \approx 0$（單向化假設）時，轉換增益可分解為三個彼此獨立的因子：When $S_{12} \approx 0$ (unilateral assumption), the transducer gain factors into three independent pieces:$S_{12} \approx 0$（単向化の仮定）のとき、変換利得は互いに独立な 3 つの因子に分解できる：

單向化轉換增益Unilateral Transducer Gain単向化変換利得 $$\bbox[#ffcccc,3px]{G_{TU}(\Gamma_s, \Gamma_l) = G_S(\Gamma_s) \cdot |S_{21}|^2 \cdot G_L(\Gamma_l)}$$

其中whereここで

$$G_S(\Gamma_s) = \frac{1-|\Gamma_s|^2}{|1-S_{11}\Gamma_s|^2}, \qquad G_L(\Gamma_l) = \frac{1-|\Gamma_l|^2}{|1-S_{22}\Gamma_l|^2}$$

關鍵觀念Key Insight重要なポイント

$G_S$ 只取決於 $\Gamma_s$，$G_L$ 只取決於 $\Gamma_l$。這表示輸入與輸出匹配網路可以各自獨立設計。$G_S$ depends only on $\Gamma_s$ and $G_L$ depends only on $\Gamma_l$. This means input and output matching networks can be designed independently.$G_S$ は $\Gamma_s$ のみに、$G_L$ は $\Gamma_l$ のみに依存する。したがって入力側と出力側の整合回路は独立に設計できる。

最大值Maximum values最大値

$$G_{S,\max} = G_S(\Gamma_s = S_{11}^*) = \frac{1}{1-|S_{11}|^2}, \qquad G_{L,\max} = G_L(\Gamma_l = S_{22}^*) = \frac{1}{1-|S_{22}|^2} \tag{3.1.2-1}$$

$$G_{TU,\max} = G_{S,\max} \cdot |S_{21}|^2 \cdot G_{L,\max} \tag{3.1.2-2}$$

正規化增益因子Normalized gain factors正規化した利得係数

定義 $g_S = G_S / G_{S,\max}$ 與 $g_L = G_L / G_{L,\max}$，故 $0 \le g_S \le 1$ 且 $0 \le g_L \le 1$。Define $g_S = G_S / G_{S,\max}$ and $g_L = G_L / G_{L,\max}$, so $0 \le g_S \le 1$ and $0 \le g_L \le 1$.$g_S = G_S / G_{S,\max}$、$g_L = G_L / G_{L,\max}$ と定義すると、$0 \le g_S \le 1$ かつ $0 \le g_L \le 1$ となる。

$$g_S = \frac{(1-|\Gamma_s|^2)(1-|S_{11}|^2)}{|1-S_{11}\Gamma_s|^2}, \qquad g_L = \frac{(1-|\Gamma_l|^2)(1-|S_{22}|^2)}{|1-S_{22}\Gamma_l|^2}$$

史密斯圖上的等增益圓Constant gain circles on the Smith chartスミスチャート上の等利得円

令 $g_S = \text{const}$，會在 $\Gamma_s$ 平面上描出一個圓：Setting $g_S = \text{const}$ traces a circle on the $\Gamma_s$ plane:$g_S = \text{const}$ とおくと、$\Gamma_s$ 平面上に円が描かれる：

輸入等增益圓（單向化）Input Constant Gain Circle (Unilateral)入力側の等利得円（単向化） $$C_S = \frac{g_S\, S_{11}^*}{1-(1-g_S)|S_{11}|^2}, \qquad R_S = \frac{\sqrt{1-g_S}\,(1-|S_{11}|^2)}{1-(1-g_S)|S_{11}|^2}$$

輸出端也是同理：Similarly for the output:出力側も同様である：

輸出等增益圓（單向化）Output Constant Gain Circle (Unilateral)出力側の等利得円（単向化） $$C_L = \frac{g_L\, S_{22}^*}{1-(1-g_L)|S_{22}|^2}, \qquad R_L = \frac{\sqrt{1-g_L}\,(1-|S_{22}|^2)}{1-(1-g_L)|S_{22}|^2}$$

等增益圓的性質Properties of Constant Gain Circles等利得円の性質

在最大增益處（$g_S=1$）：$C_S = S_{11}^*$、$R_S = 0$ — 圓退化成共軛匹配點上的一個點。At maximum gain ($g_S=1$): $C_S = S_{11}^*$, $R_S = 0$ — the circle collapses to a point at the conjugate match.最大利得のとき（$g_S=1$）：$C_S = S_{11}^*$、$R_S = 0$ となり、円は共役整合点の 1 点に縮退する。
在 0 dB 增益處（$G_S=1$，即 $\Gamma_s=0$）：該圓必定通過史密斯圖的圓心。At 0 dB gain ($G_S=1$, i.e. $\Gamma_s=0$): the circle always passes through the center of the Smith chart.利得 0 dB のとき（$G_S=1$、すなわち $\Gamma_s=0$）：円は必ずスミスチャートの中心を通る。
各圓的圓心都落在同一直線上：由史密斯圖原點指向 $S_{11}^*$（或 $S_{22}^*$）的射線。Centers lie along a line from the origin toward $S_{11}^*$ (or $S_{22}^*$) on the Smith chart.各円の中心は一直線上に並ぶ：スミスチャートの原点から $S_{11}^*$（あるいは $S_{22}^*$）へ向かう直線上である。

互動 — 為什麼所有圓心都落在通過 $S_{11}^*$ 的直線上Interactive — Why all centers lie on the line through $S_{11}^*$インタラクティブ — なぜすべての中心が $S_{11}^*$ を通る直線上に乗るのか

在史密斯圖上拖曳 $S_{11}$（或使用滑桿）並掃描 $g_S$。從原點穿過 $S_{11}^*$ 的橘色虛線射線就是所有 $C_S$ 的軌跡。當 $g_S$ 由 $0$ 變到 $1$，被標示的圓會沿著這條線滑動，從單位圓的極限一路縮到 $S_{11}^*$ 這個單點。Drag $S_{11}$ on the Smith chart (or use the sliders) and sweep $g_S$. The dashed orange ray from origin through $S_{11}^*$ is the locus of every $C_S$. As $g_S$ runs from $0$ to $1$, the highlighted circle slides along that line from the unit-circle limit down to the single point $S_{11}^*$.スミスチャート上で $S_{11}$ をドラッグ（またはスライダーを操作）しながら $g_S$ を掃引してみよう。原点から $S_{11}^*$ を通るオレンジの破線が、すべての $C_S$ の軌跡である。$g_S$ が $0$ から $1$ へ変化すると、強調表示された円はその直線に沿って滑り、単位円の極限から $S_{11}^*$ という 1 点まで縮んでいく。

為什麼？ $C_S = \dfrac{g_S\,S_{11}^{\,*}}{1-(1-g_S)|S_{11}|^2}$。當 $0 \le g_S \le 1$ 時分母為正實數，而 $g_S$ 亦為實數，因此 $C_S$ 與 $S_{11}^{\,*}$ 同相位 — 只有大小會隨 $g_S$ 改變。Why? $C_S = \dfrac{g_S\,S_{11}^{\,*}}{1-(1-g_S)|S_{11}|^2}$. The denominator is a positive real number for $0 \le g_S \le 1$, and $g_S$ is real, so $C_S$ has the same phase as $S_{11}^{\,*}$ — only its magnitude changes with $g_S$.理由は $C_S = \dfrac{g_S\,S_{11}^{\,*}}{1-(1-g_S)|S_{11}|^2}$ にある。$0 \le g_S \le 1$ では分母が正の実数で、$g_S$ も実数なので、$C_S$ は $S_{11}^{\,*}$ と同じ位相をもち、$g_S$ に応じて大きさだけが変わる。

|S₁₁| = 0.60

∠S₁₁ = 130°

g_S = 0.50 （標示中的圓）(highlighted circle)（強調表示された円）

      S11   = 

      S11*  = 

      GS,max=  dB

      GS   =  dB

      CS   = 

      RS   =

試試幾個極限情形：
• $g_S \to 1$ → 紅圓縮成 $S_{11}^*$ 上的一點（最大增益）。
• $g_S$ 很小 → 紅圓向外脹大並通過圖心（0 dB 增益）。
• 拖曳 $S_{11}$ → 虛線射線隨之轉動，圓心永遠落在其上。Try the limits:
• $g_S \to 1$ → red circle shrinks to a point at $S_{11}^*$ (max gain).
• $g_S$ small → red circle bulges out and passes through the chart origin (0 dB gain).
• Drag $S_{11}$ around → the dashed ray pivots; centers always live on it.極限を試してみよう：
• $g_S \to 1$ → 赤い円は $S_{11}^*$ の 1 点に縮む（最大利得）。
• $g_S$ が小さい → 赤い円は膨らみ、チャートの原点を通る（利得 0 dB）。
• $S_{11}$ をドラッグ → 破線が回転し、中心は常にその上に乗る。

展開等增益圓公式的推導Show derivation of the constant gain circle formula等利得円の公式の導出を表示

從 $g_S|1-S_{11}\Gamma_s|^2 = (1-|\Gamma_s|^2)(1-|S_{11}|^2)$ 出發。Start from $g_S|1-S_{11}\Gamma_s|^2 = (1-|\Gamma_s|^2)(1-|S_{11}|^2)$.$g_S|1-S_{11}\Gamma_s|^2 = (1-|\Gamma_s|^2)(1-|S_{11}|^2)$ から出発する。

將兩邊展開：Expand both sides:両辺を展開する：

$$g_S(1 - S_{11}\Gamma_s - S_{11}^*\Gamma_s^* + |S_{11}|^2|\Gamma_s|^2) = (1-|S_{11}|^2) - (1-|S_{11}|^2)|\Gamma_s|^2$$

$$\left|\Gamma_s - \frac{g_S S_{11}^*}{1-(1-g_S)|S_{11}|^2}\right|^2 = \left[\frac{\sqrt{1-g_S}(1-|S_{11}|^2)}{1-(1-g_S)|S_{11}|^2}\right]^2$$

這就是圓心為 $C_S$、半徑為 $R_S$ 的圓。This is a circle with center $C_S$ and radius $R_S$.これは中心 $C_S$、半径 $R_S$ の円である。

📝 作業 — 指定增益的放大器設計📝 Homework — Amplifier Design for Specified Gain📝 演習 — 指定利得の増幅器設計

砷化鎵 MESFET：$S_{11}=0.75\angle{-120°}$、$S_{21}=2.5\angle{80°}$、$S_{12}\approx 0$、$S_{22}=0.6\angle{-70°}$。GaAs MESFET: $S_{11}=0.75\angle{-120°}$, $S_{21}=2.5\angle{80°}$, $S_{12}\approx 0$, $S_{22}=0.6\angle{-70°}$.GaAs MESFET：$S_{11}=0.75\angle{-120°}$、$S_{21}=2.5\angle{80°}$、$S_{12}\approx 0$、$S_{22}=0.6\angle{-70°}$。

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步驟 1：計算各項最大增益

$$G_0 = |S_{21}|^2 = 6.25 = 8.0\text{ dB}$$ $$G_{S,\max} = \frac{1}{1-0.75^2} = 2.286 = 3.6\text{ dB}$$ $$G_{L,\max} = \frac{1}{1-0.6^2} = 1.563 = 1.9\text{ dB}$$ $$G_{TU,\max} = 3.6+8.0+1.9 = 13.5\text{ dB}$$

Step 1: Compute maximum gains

ステップ 1：各最大利得を求める

步驟 2：為總計 11 dB 分配增益Step 2: Choose gain allocation for 11 dB totalステップ 2：合計 11 dB になるよう利得を配分する

$G_S = 2$ dB、$G_L = 1$ dB、$G_0 = 8$ dB → 總計 $= 11$ dB。$G_S = 2$ dB, $G_L = 1$ dB, $G_0 = 8$ dB → total $= 11$ dB.$G_S = 2$ dB、$G_L = 1$ dB、$G_0 = 8$ dB → 合計 $= 11$ dB。

步驟 3：計算圓的參數Step 3: Compute circle parametersステップ 3：円のパラメータを計算する

$G_S = 2$ dB: $g_S = 2/2.286 = 0.691$ → $C_S = 0.627\angle{120°}$, $R_S = 0.294$

由 $g_S = 0.691$ 如何得到 $C_S = 0.627\angle 120°$、$R_S = 0.294$？How is $C_S = 0.627\angle 120°$, $R_S = 0.294$ obtained from $g_S = 0.691$?$g_S = 0.691$ からどうやって $C_S = 0.627\angle 120°$、$R_S = 0.294$ を得るのか？

使用單向化等增益圓公式：Use the unilateral constant-gain circle formulas:単向化の等利得円の公式を用いる：

$$C_S = \frac{g_S\, S_{11}^{\,*}}{1 - (1-g_S)|S_{11}|^2}, \qquad R_S = \frac{\sqrt{1-g_S}\,(1-|S_{11}|^2)}{1 - (1-g_S)|S_{11}|^2}.$$

以 $S_{11} = 0.75\angle{-120°}$ ⇒ $|S_{11}| = 0.75$、$|S_{11}|^2 = 0.5625$、$S_{11}^{\,*} = 0.75\angle{+120°}$，並取 $g_S = 0.691$、$1-g_S = 0.309$：With $S_{11} = 0.75\angle{-120°}$ ⇒ $|S_{11}| = 0.75$, $|S_{11}|^2 = 0.5625$, $S_{11}^{\,*} = 0.75\angle{+120°}$, and $g_S = 0.691$, $1-g_S = 0.309$:$S_{11} = 0.75\angle{-120°}$ より $|S_{11}| = 0.75$、$|S_{11}|^2 = 0.5625$、$S_{11}^{\,*} = 0.75\angle{+120°}$、そして $g_S = 0.691$、$1-g_S = 0.309$ として：

共同分母Common denominator共通の分母 $D = 1 - (1-g_S)|S_{11}|^2$:

$$D = 1 - 0.309 \times 0.5625 = 1 - 0.1738 = 0.8262.$$

圓心（分母為正實數，故相位承襲自 $S_{11}^{\,*}$）：Center (phase inherited from $S_{11}^{\,*}$ since denominator is real positive):中心（分母が正の実数なので位相は $S_{11}^{\,*}$ をそのまま引き継ぐ）：

$$C_S = \frac{0.691 \times 0.75\angle{120°}}{0.8262} = \frac{0.518\angle{120°}}{0.8262} = 0.627\angle{120°}.$$

半徑：Radius:半径：

$$\sqrt{1-g_S} = \sqrt{0.309} = 0.556, \quad 1-|S_{11}|^2 = 0.4375$$ $$R_S = \frac{0.556 \times 0.4375}{0.8262} = \frac{0.2432}{0.8262} = 0.294.$$

圓心落在自原點通過 $S_{11}^{\,*}$ 的徑向線上；圓的遠端（距離 $C_S + R_S = 0.921 \approx |S_{11}|$）會在 $g_S \to 1$ 時趨近共軛匹配點。The center sits on the radial line from origin through $S_{11}^{\,*}$; the far edge of the circle (distance $C_S + R_S = 0.921 \approx |S_{11}|$) approaches the conjugate-match point as $g_S \to 1$.中心は原点から $S_{11}^{\,*}$ を通る半径方向の直線上にあり、円の遠い側の端（距離 $C_S + R_S = 0.921 \approx |S_{11}|$）は $g_S \to 1$ で共役整合点に近づく。

$G_L = 1$ dB: $g_L = 1.259/1.563 = 0.806$ → $C_L = 0.520\angle{70°}$, $R_L = 0.303$

由 $g_L = 0.806$ 如何得到 $C_L = 0.520\angle 70°$、$R_L = 0.303$？How is $C_L = 0.520\angle 70°$, $R_L = 0.303$ obtained from $g_L = 0.806$?$g_L = 0.806$ からどうやって $C_L = 0.520\angle 70°$、$R_L = 0.303$ を得るのか？

把 $S_{11}$ 換成 $S_{22}$，公式完全相同：Same formulas with $S_{22}$ instead of $S_{11}$:$S_{11}$ を $S_{22}$ に置き換えるだけで、同じ公式が使える：

$$C_L = \frac{g_L\, S_{22}^{\,*}}{1 - (1-g_L)|S_{22}|^2}, \qquad R_L = \frac{\sqrt{1-g_L}\,(1-|S_{22}|^2)}{1 - (1-g_L)|S_{22}|^2}.$$

以 $S_{22} = 0.6\angle{-70°}$ ⇒ $|S_{22}| = 0.6$、$|S_{22}|^2 = 0.36$、$S_{22}^{\,*} = 0.6\angle{+70°}$，並取 $g_L = 0.806$、$1-g_L = 0.194$：With $S_{22} = 0.6\angle{-70°}$ ⇒ $|S_{22}| = 0.6$, $|S_{22}|^2 = 0.36$, $S_{22}^{\,*} = 0.6\angle{+70°}$, and $g_L = 0.806$, $1-g_L = 0.194$:$S_{22} = 0.6\angle{-70°}$ より $|S_{22}| = 0.6$、$|S_{22}|^2 = 0.36$、$S_{22}^{\,*} = 0.6\angle{+70°}$、そして $g_L = 0.806$、$1-g_L = 0.194$ として：

共同分母Common denominator共通の分母 $D = 1 - (1-g_L)|S_{22}|^2$:

$$D = 1 - 0.194 \times 0.36 = 1 - 0.0698 = 0.9302.$$

圓心：Center:中心：

$$C_L = \frac{0.806 \times 0.6\angle{70°}}{0.9302} = \frac{0.4836\angle{70°}}{0.9302} = 0.520\angle{70°}.$$

半徑：Radius:半径：

$$\sqrt{1-g_L} = \sqrt{0.194} = 0.440, \quad 1-|S_{22}|^2 = 0.64$$ $$R_L = \frac{0.440 \times 0.64}{0.9302} = \frac{0.2816}{0.9302} = 0.303.$$

步驟 4：選擇 $\Gamma_s$、$\Gamma_l$Step 4: Choose $\Gamma_s$, $\Gamma_l$ステップ 4：$\Gamma_s$、$\Gamma_l$ を選ぶ

在增益圓上挑選最靠近史密斯圖中心的點（匹配元件較小、頻寬較寬）：Pick points on the gain circles closest to the Smith chart center (smaller matching elements, wider bandwidth):利得円上でスミスチャート中心に最も近い点を選ぶ（整合素子が小さく、帯域幅が広い）：

為什麼是「匹配元件較小、頻寬較寬」？Why "smaller matching elements, wider bandwidth"?なぜ「整合素子が小さく、帯域幅が広い」のか？

兩者都源自更接近史密斯圖中心（$\Gamma = 0$，即 $Z = Z_0$）這件事：Both follow from being closer to the Smith chart center ($\Gamma = 0$, i.e. $Z = Z_0$):どちらもスミスチャートの中心（$\Gamma = 0$、すなわち $Z = Z_0$）に近いことから導かれる：

1. 匹配元件較小。匹配網路必須把 $Z_0$ 轉換成你所選 $\Gamma$ 對應的阻抗。$|\Gamma|$ 離中心愈遠，網路就必須加入愈多電抗：1. Smaller matching elements. The matching network has to transform $Z_0$ into the impedance corresponding to your chosen $\Gamma$. The further $|\Gamma|$ is from the center, the more reactance the network must add:1. 整合素子が小さくなる。整合回路は $Z_0$ を、選んだ $\Gamma$ に対応するインピーダンスへ変換しなければならない。$|\Gamma|$ が中心から離れるほど、回路が付け加えるべきリアクタンスは大きくなる：

$\|\Gamma\|$	正規化 $z$Normalized $z$正規化 $z$	網路負擔Network burden回路の負担 (stub = 短截線)(stub = a short length of line)（stub = 短い線路）
0	1（匹配）1 (matched)1（整合）	不需要任何元件no element needed素子は不要
0.33	$\sim 2$ or $\sim 0.5$	中等大小的 L/C，短截線modest L/C, short stub中程度の L/C、短いスタブ
0.7	$\sim 5$ or $\sim 0.2$	大電抗，長截線large reactance, long stub大きなリアクタンス、長いスタブ
$\to 1$	電抗性極強highly reactiveきわめてリアクティブ	截線長度 $\to \lambda/4$，L/C 值極高stub length $\to \lambda/4$, very high L/Cスタブ長 $\to \lambda/4$、L/C は非常に大きい

2. 頻寬較寬。L 型網路（或任何電抗性匹配網路）的負載 $Q$ 由阻抗變換比決定：2. Wider bandwidth. The loaded $Q$ of an L-section (or any reactive matching network) is set by the impedance transformation ratio:2. 帯域幅が広くなる。L 型（あるいは任意のリアクタンス整合）回路の負荷 $Q$ は、インピーダンス変換比で決まる：

$$Q = \sqrt{\frac{R_{\text{high}}}{R_{\text{low}}} - 1}$$

如何由選定的 $\Gamma$ 求出 $R_{\text{high}}$ 與 $R_{\text{low}}$How to get $R_{\text{high}}$ and $R_{\text{low}}$ from a chosen $\Gamma$選んだ $\Gamma$ から $R_{\text{high}}$ と $R_{\text{low}}$ を求める方法

對於把 $Z_0$（50 Ω 參考阻抗）匹配到你所選 $\Gamma$ 處阻抗的 L 型網路：For an L-section matching $Z_0$ (the 50 Ω reference) to the impedance at your chosen $\Gamma$:$Z_0$（50 Ω の基準インピーダンス）を、選んだ $\Gamma$ のインピーダンスへ整合する L 型回路の場合：

$$R_{\text{high}} = \max(Z_0,\; R_\Gamma), \qquad R_{\text{low}} = \min(Z_0,\; R_\Gamma)$$

其中 $R_\Gamma = \mathrm{Re}(Z_\Gamma)$ 是 $\Gamma$ 點阻抗的實部：where $R_\Gamma = \mathrm{Re}(Z_\Gamma)$ is the real part of the impedance at point $\Gamma$:ここで $R_\Gamma = \mathrm{Re}(Z_\Gamma)$ は点 $\Gamma$ におけるインピーダンスの実部である：

$$Z_\Gamma = Z_0\,\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}, \qquad R_\Gamma = Z_0\,\frac{1-|\Gamma|^2}{|1-\Gamma|^2}.$$

電抗部分 $X_\Gamma$ 由 L 型網路吸收，不會進入電阻比。The reactive part $X_\Gamma$ is absorbed by the L-section and does not enter the resistance ratio.リアクタンス成分 $X_\Gamma$ は L 型回路が吸収するので、抵抗比には入らない。

以本題為例。取 $\Gamma_s = 0.333\angle 120°$（$Z_0 = 50\,\Omega$）：Example with this homework. With $\Gamma_s = 0.333\angle 120°$ ($Z_0 = 50\,\Omega$):この演習を例に。$\Gamma_s = 0.333\angle 120°$（$Z_0 = 50\,\Omega$）とすると：

$z_s = (1+\Gamma_s)/(1-\Gamma_s) \approx 0.616 + j\,0.399$
$R_\Gamma = 0.616 \times 50 = 30.8\,\Omega$
$R_{\text{high}}/R_{\text{low}} = 50/30.8 = 1.62$
$Q = \sqrt{1.62 - 1} \approx 0.79$ → 頻寬寬$Q = \sqrt{1.62 - 1} \approx 0.79$ → wide bandwidth$Q = \sqrt{1.62 - 1} \approx 0.79$ → 帯域幅は広い

與同一增益圓外緣上的共軛匹配點 $\Gamma_s = S_{11}^* = 0.75\angle 120°$ 相比：Compare with the conjugate-match point $\Gamma_s = S_{11}^* = 0.75\angle 120°$ on the outer edge of the same gain circle:同じ利得円の外側の端にある共役整合点 $\Gamma_s = S_{11}^* = 0.75\angle 120°$ と比べてみる：

$z_s \approx 0.189 + j\,0.562$, $R_\Gamma = 9.46\,\Omega$
$Q = \sqrt{50/9.46 - 1} \approx 2.07$ → 頻寬約窄 2.6×$Q = \sqrt{50/9.46 - 1} \approx 2.07$ → ~2.6× narrower bandwidth$Q = \sqrt{50/9.46 - 1} \approx 2.07$ → 帯域幅は約 2.6× 狭い

增益相同（兩點都在 $G_S = 2$ dB 的圓上），但靠中心那一點的 $Q$ 低得多。這正是要選最靠近中心之選項的全部理由。Same gain (both points lie on the $G_S = 2$ dB circle), but the center-side point has a much lower $Q$. That is the entire reason you pick the closest-to-center option.利得は同じ（どちらの点も $G_S = 2$ dB の円上にある）だが、中心寄りの点は $Q$ がはるかに低い。中心に最も近い点を選ぶ理由はまさにこれである。

$|\Gamma|$ 接近 $0$ → $R_{\text{high}}/R_{\text{low}} \approx 1$ → $Q \approx 0$ → 頻寬寬。$|\Gamma|$ close to $0$ → $R_{\text{high}}/R_{\text{low}} \approx 1$ → $Q \approx 0$ → wide bandwidth.$|\Gamma|$ が $0$ に近い → $R_{\text{high}}/R_{\text{low}} \approx 1$ → $Q \approx 0$ → 帯域幅は広い。
$|\Gamma|$ 接近 $1$ → 電阻比極大 → $Q$ 高 → 頻寬窄。$|\Gamma|$ close to $1$ → huge resistance ratio → high $Q$ → narrow bandwidth.$|\Gamma|$ が $1$ に近い → 抵抗比が非常に大きい → $Q$ が高い → 帯域幅は狭い。

由於頻寬 $\sim f_0/Q$，低 $Q$ 的網路能在較寬的頻率範圍內通過訊號，而不致出現明顯的增益下垂或回波損耗惡化。Since bandwidth $\sim f_0/Q$, low-$Q$ networks pass a wider frequency range without significant gain droop or return-loss degradation.帯域幅は $\sim f_0/Q$ なので、低 $Q$ の回路は利得の落ち込みやリターンロスの劣化を目立たせずに、より広い周波数範囲を通す。

權衡取捨：唯一的硬性限制是「必須待在增益圓上」。圓上任一點都能達成目標增益，因此在這個自由度之內，就挑最靠近中心的點，以得到最小的網路與最佳的頻寬。其他離開中心的理由（例如要達成雜訊指數目標）只有在與增益限制衝突時才需要考慮。The trade-off: the only hard constraint is "stay on the gain circle." Anywhere on it gives the target gain, so within that freedom you pick the point closest to the center for the smallest network and best bandwidth. Other reasons to leave the center (e.g. hitting a noise-figure target) only matter when they conflict with the gain constraint.トレードオフ：絶対に外せない制約は「利得円上に留まること」だけである。円上のどこを選んでも目標利得は得られるので、その自由度の中で中心に最も近い点を選び、回路を最小に、帯域幅を最良にする。中心から離れる他の理由（雑音指数の目標を満たすなど）は、利得の制約と衝突するときにのみ問題になる。

中文摘要：In brief:要点：越靠近 Smith 圖中心 ($\Gamma=0$ 即 $Z=Z_0$)，匹配網路需要做的阻抗轉換越小：所需電感、電容或短截線長度都較小，且網路 $Q$ 值低 ($Q=\sqrt{R_{\text{high}}/R_{\text{low}}-1}$)，因此頻寬較寬。增益圓上任何點都能達到目標增益，因此在圓上挑最靠近中心的點，是免費換來最小元件與最寬頻寬的選擇。 The closer to the centre of the Smith chart ($\Gamma=0$, i.e. $Z=Z_0$), the smaller the impedance transformation the matching network has to perform: the required inductance, capacitance or stub length is smaller, and the network $Q$ is low ($Q=\sqrt{R_{\text{high}}/R_{\text{low}}-1}$), so the bandwidth is wider. Any point on the gain circle achieves the target gain, so choosing the point on the circle nearest the centre buys you the smallest components and the widest bandwidth for free. スミスチャートの中心（$\Gamma=0$、すなわち $Z=Z_0$）に近いほど、整合回路が行うべきインピーダンス変換は小さくなる。必要なインダクタンス・キャパシタンス・スタブ長がいずれも小さくなり、回路の $Q$ も低い（$Q=\sqrt{R_{\text{high}}/R_{\text{low}}-1}$）ため、帯域幅が広くなる。利得円上のどの点でも目標利得は得られるので、円上で中心に最も近い点を選べば、最小の素子と最広の帯域幅がただで手に入る。

術語：Terminology:用語：「stub」中文為 A “stub” is 「stub」とは短截線a short length of transmission line短い伝送線路（亦稱支線、短路線）。常見組合： used as a matching element. Common combinations: のことで、整合素子として用いる。よく使う組み合わせ：開路截線open stub開放スタブ＝開路短截線，= open-circuit stub, ＝開放スタブ、短路截線shorted stub短絡スタブ＝短路短截線，= short-circuit stub, ＝短絡スタブ、四分之一波長截線quarter-wave stub4分の1波長スタブ＝四分之一波長短截線（$\lambda/4$ 短截線）；single / double-stub matching 即單／雙短截線匹配。= quarter-wave stub ($\lambda/4$ stub); single- / double-stub matching uses one or two such stubs.＝4分の1波長スタブ（$\lambda/4$ スタブ）。single- / double-stub matching は、こうしたスタブを 1 本または 2 本使う整合法である。

$$\Gamma_s = (0.627 - 0.294)\angle{120°} = 0.333\angle{120°}$$ $$\Gamma_l = (0.520 - 0.303)\angle{70°} = 0.217\angle{70°}$$

步驟 5 — 實現匹配網路。在 $\Gamma_s = 0.333\angle{120°}$ 與 $\Gamma_l = 0.217\angle{70°}$ 之下，於兩側各設計一組開路單截線匹配。完成的電路圖如下（線長以 $\lambda$ 表示，所有 $Z_0 = 50\,\Omega$）：Step 5 — Realize the matching networks. With $\Gamma_s = 0.333\angle{120°}$ and $\Gamma_l = 0.217\angle{70°}$, design open-circuited single-stub matching on each side. The completed schematic (line lengths in $\lambda$, all $Z_0 = 50\,\Omega$):ステップ 5 — 整合回路を実現する。$\Gamma_s = 0.333\angle{120°}$、$\Gamma_l = 0.217\angle{70°}$ に対し、両側に開放単一スタブ整合を設計する。完成した回路図は次のとおり（線路長は $\lambda$ 単位、すべて $Z_0 = 50\,\Omega$）：

$Completed amplifier schematic with single open-circuited stub matching networks on input and output, showing transmission-line lengths in fractions of wavelength$

輸入網路：Input network: 入力回路：0.179 λ — 串聯傳輸線長度 (ℓ₁)0.179 λ — series LINE length (ℓ₁)0.179 λ — 直列線路の長さ (ℓ₁) + 0.100 λ — 並聯開路截線長度 (ℓₛ)0.100 λ — shunt open STUB length (ℓₛ)0.100 λ — シャント開放スタブの長さ (ℓₛ)。輸出網路：. Output network: 。出力回路：0.045 λ — 串聯傳輸線 (ℓ₁)0.045 λ — series LINE (ℓ₁)0.045 λ — 直列線路 (ℓ₁) + 0.432 λ — 並聯開路截線 (ℓₛ)0.432 λ — shunt open STUB (ℓₛ)0.432 λ — シャント開放スタブ (ℓₛ).

如何判讀電路圖 — 傳輸線與截線的分別：How to read the schematic — line vs stub:回路図の読み方 — 線路とスタブの違い：

方塊之間的水平線段（沿訊號路徑）＝長度為 ℓ₁ 的串聯傳輸線 — 提供在史密斯圖上沿等 |Γ| 圓的旋轉。Horizontal segments between blocks (along the signal path) = series LINE of length ℓ₁ — provides the rotation along the constant-|Γ| circle on the Smith chart.ブロック間の水平な線分（信号経路に沿った部分）＝長さ ℓ₁ の直列線路であり、スミスチャート上で等 |Γ| 円に沿った回転を与える。
向接地分支的垂直線段＝長度為 ℓₛ 的並聯開路截線 — 提供純電納以抵消殘餘的 b，完成匹配。Vertical pieces branching to ground = shunt open STUB of length ℓₛ — provides the pure susceptance that cancels the residual b, finishing the match.接地へ分岐する垂直な部分＝長さ ℓₛ のシャント開放スタブであり、残ったサセプタンス b を打ち消す純サセプタンスを与えて整合を完成させる。

看懂電路圖：各元件如何實現選定的 $\Gamma_s$／$\Gamma_l$Reading the schematic: how each element realizes the chosen $\Gamma_s$ / $\Gamma_l$回路図の読み方：各素子が選んだ $\Gamma_s$／$\Gamma_l$ をどう実現するか

拓樸（由左至右）。Topology (left → right).トポロジー（左から右へ）。

區塊Blockブロック	元件Components構成部品	作用Purpose役割
訊號源Source電源	50 Ω 訊號源＋接地50 Ω generator + ground50 Ω 電源＋接地	提供入射波provides the incident wave入射波を供給する
輸入匹配Input match入力整合	0.179 λ 串聯線 (50 Ω) ＋ 0.100 λ 並聯開路截線 (50 Ω)0.179 λ series line (50 Ω) + 0.100 λ shunt open stub (50 Ω)0.179 λ 直列線路 (50 Ω) ＋ 0.100 λ シャント開放スタブ (50 Ω)	把 $Z_0$ 轉換成元件輸入端所見的 $\Gamma_s = 0.333\angle 120°$transforms $Z_0$ into $\Gamma_s = 0.333\angle 120°$ seen at the device input$Z_0$ を、素子の入力端で見た $\Gamma_s = 0.333\angle 120°$ へ変換する
主動元件Active device能動素子	FET（採用題目給定的 S 參數）FET (uses the given S-parameters)FET（与えられた S パラメータを使用）	提供 $G_T = 11$ dB 的增益provides the gain $G_T = 11$ dB$G_T = 11$ dB の利得を与える
輸出匹配Output match出力整合	0.045 λ 串聯線 (50 Ω) ＋ 0.432 λ 並聯開路截線 (50 Ω)0.045 λ series line (50 Ω) + 0.432 λ shunt open stub (50 Ω)0.045 λ 直列線路 (50 Ω) ＋ 0.432 λ シャント開放スタブ (50 Ω)	對元件輸出端呈現 $\Gamma_l = 0.217\angle 70°$，再匹配到 50 Ω 負載presents $\Gamma_l = 0.217\angle 70°$ to the device output, then matches to 50 Ω load素子の出力端に $\Gamma_l = 0.217\angle 70°$ を提示し、さらに 50 Ω 負荷へ整合する
負載Load負荷	50 Ω	吸收放大後的訊號sinks the amplified signal増幅された信号を受け取る

每個部分為何有效。Why each piece works.各部がなぜ効くのか。

所有傳輸線都是 50 Ω。特性阻抗固定為 $Z_0$；阻抗變換來自傳輸線的電氣長度 $\beta\ell$，而不是改變 $Z_0$。All lines are 50 Ω. The characteristic impedance is fixed at $Z_0$. Impedance transformation comes from the line's electrical length $\beta\ell$, not from changing $Z_0$.線路はすべて 50 Ω である。特性インピーダンスは $Z_0$ に固定されており、インピーダンス変換は $Z_0$ を変えることではなく、線路の電気長 $\beta\ell$ によって生じる。
串聯傳輸線（例如 0.179 λ）：在史密斯圖上沿等 $|\Gamma|$ 圓將阻抗點順時針旋轉 $2\beta\ell$（0.179 λ 對應約 129° 的來回相位）。Series line (e.g. 0.179 λ): rotates the impedance point clockwise on the Smith chart along a constant-$|\Gamma|$ circle by $2\beta\ell$ (0.179 λ ≈ 129° round-trip phase).直列線路（例：0.179 λ）：スミスチャート上で等 $|\Gamma|$ 円に沿い、インピーダンス点を $2\beta\ell$ だけ時計回りに回転させる（0.179 λ は往復位相で約 129°）。
並聯開路截線（例如 0.100 λ）：從主線看去等同於純電納 $jB = jY_0\tan(\beta\ell)$ — 遠端開路，因此只要選 $\ell \in (0, \lambda/4)$ 就能得到任意 $B$。它會使工作點沿 Y 史密斯圖上的等電導（$g$）圓滑動。Shunt open stub (e.g. 0.100 λ): looks like a pure susceptance $jB = jY_0\tan(\beta\ell)$ from the main line — open at the far end, so any $B$ is reachable by choosing $\ell \in (0, \lambda/4)$. It slides the operating point along a constant-conductance ($g$) circle on the Y-Smith chart.シャント開放スタブ（例：0.100 λ）：主線路から見ると純サセプタンス $jB = jY_0\tan(\beta\ell)$ に等しい。先端が開放なので、$\ell \in (0, \lambda/4)$ を選べば任意の $B$ が得られる。これにより動作点は Y スミスチャート上の等コンダクタンス（$g$）円に沿って移動する。
用「開路」而非短路：在微波頻率下，開路終端在印刷電路板上比短路容易實現 — 短路截線需要鍍通孔接地。"Open" rather than shorted: at microwave frequencies an open termination is easier on a PCB than a shorted one — a shorted stub would need a plated-through via to ground.「短絡」ではなく「開放」にする理由：マイクロ波帯では、開放終端のほうがプリント基板上で作りやすい。短絡スタブにはグランドへのスルーホールが必要になる。

實現 $\Gamma_s = 0.333\angle 120°$ 的做法（輸入側）：Recipe (input side) to realize $\Gamma_s = 0.333\angle 120°$:$\Gamma_s = 0.333\angle 120°$ を実現する手順（入力側）：

從圖心出發（$Z_0 = 50\,\Omega$、$\Gamma = 0$，由訊號源側進入）。Start at the chart center ($Z_0 = 50\,\Omega$, $\Gamma = 0$, coming from the source).チャート中心から出発する（$Z_0 = 50\,\Omega$、$\Gamma = 0$、電源側から入る）。
在訊號源側的接點加上 0.100 λ 並聯開路截線 — 由圖心跳到 $g=1$ 圓上（$g$ 為正規化電導，$g = G/Y_0 = G\cdot Z_0$）。截線的電納 $b=\tan(\beta\ell_s)\approx 0.727$ 把工作點送到 $\Gamma \approx 0.333\angle{-110°}$。Add the 0.100 λ shunt open stub at the source-side junction — jumps from the center onto the $g=1$ circle ($g$ = normalized conductance, $g = G/Y_0 = G\cdot Z_0$). The stub's susceptance $b=\tan(\beta\ell_s)\approx 0.727$ sends the operating point to $\Gamma \approx 0.333\angle{-110°}$.電源側の接続点に 0.100 λ のシャント開放スタブを加える — 中心から $g=1$ の円へ移る（$g$ は正規化コンダクタンスで $g = G/Y_0 = G\cdot Z_0$）。スタブのサセプタンス $b=\tan(\beta\ell_s)\approx 0.727$ により、動作点は $\Gamma \approx 0.333\angle{-110°}$ へ移る。
沿 0.179 λ 串聯線走向元件 — 在等 $|\Gamma|=0.333$ 圓上順時針（依回看慣例即朝訊號源方向）旋轉 $2\beta\ell_1 \approx 129°$，落在元件輸入端的 $\Gamma_s = 0.333\angle 120°$。Walk through the 0.179 λ series line toward the device — rotates clockwise (toward generator, in the look-back convention) along the constant-$|\Gamma|=0.333$ circle by $2\beta\ell_1 \approx 129°$, landing on $\Gamma_s = 0.333\angle 120°$ at the device input.0.179 λ の直列線路を素子へ向かって進む — 等 $|\Gamma|=0.333$ 円に沿って時計回り（見返しの約束では電源方向）に $2\beta\ell_1 \approx 129°$ 回転し、素子入力の $\Gamma_s = 0.333\angle 120°$ に到達する。

輸出端採用同樣的兩元件流程：0.432 λ 截線＋ 0.045 λ 串聯線 → $\Gamma_l = 0.217\angle 70°$。Same two-element procedure on the output side: 0.432 λ stub + 0.045 λ series → $\Gamma_l = 0.217\angle 70°$.出力側も同じ 2 素子の手順による：0.432 λ のスタブ＋ 0.045 λ の直列線路 → $\Gamma_l = 0.217\angle 70°$。

▸ 為什麼需要兩個元件（串聯＋並聯）？（點擊展開）▸ Why two elements (series + shunt)? (click to expand)▸ なぜ 2 素子（直列＋シャント）が必要なのか？（クリックで展開）

$\Gamma_s$ 是複數 — 有大小與相位，也就是兩個實數參數 — 因此匹配網路需要兩個可獨立調整的旋鈕，才能命中任意目標。串聯線與並聯截線正好提供這兩個自由度：$\Gamma_s$ is a complex number — magnitude and phase, i.e. two real parameters — so the matching network needs two independently adjustable knobs to hit an arbitrary target. The series line and the shunt stub provide exactly those two degrees of freedom:$\Gamma_s$ は複素数であり、大きさと位相、すなわち 2 つの実パラメータをもつ。したがって任意の目標に到達するには、整合回路に独立に調整できるつまみが 2 つ必要になる。直列線路とシャントスタブが、まさにその 2 自由度を与える：

元件Element素子	在史密斯圖上的效果Effect on the Smith chartスミスチャート上での効果	調整的對象Adjusts調整する量
並聯開路截線Shunt open stubシャント開放スタブ ($\ell_s$)	並聯加入 $jb = j\tan(\beta\ell_s)$ — 沿等 $g$ 圓滑動Adds $jb = j\tan(\beta\ell_s)$ in parallel — slides along a constant-$g$ circle並列に $jb = j\tan(\beta\ell_s)$ を加える — 等 $g$ 円に沿って移動する	把點自圖心抬到 $g=1$ 圓上（設定電納）Lifts the point off the center onto the $g=1$ circle (sets susceptance)点を中心から $g=1$ の円へ持ち上げる（サセプタンスを決める）
串聯 50 Ω 傳輸線Series 50 Ω line直列 50 Ω 線路 ($\ell_1$)	沿等 $\|\Gamma\|$ 圓順時針旋轉 $2\beta\ell_1$Rotates CW along constant-$\|\Gamma\|$ circle by $2\beta\ell_1$等 $\|\Gamma\|$ 円に沿って $2\beta\ell_1$ だけ時計回りに回転する	決定 $\Gamma_s$ 在圖上的角度Sets the angle of $\Gamma_s$ on the chartチャート上での $\Gamma_s$ の角度を決める

兩個未知數 $(\ell_s,\ell_1)$ ↔ 兩條實數限制 $(|\Gamma_s|,\;\angle\Gamma_s)$ ⇒ 解唯一（不計兩支解與週期性的選擇）。其他同樣提供 ≥ 2 個可調參數的拓樸，也能用不同長度達到相同的 $\Gamma_s$：Two unknowns $(\ell_s,\ell_1)$ ↔ two real constraints $(|\Gamma_s|,\;\angle\Gamma_s)$ ⇒ unique solution (modulo the two-branch / periodicity choice). Other topologies that also provide ≥ 2 adjustable parameters reach the same $\Gamma_s$ with different lengths:2 つの未知数 $(\ell_s,\ell_1)$ ↔ 2 つの実数条件 $(|\Gamma_s|,\;\angle\Gamma_s)$ ⇒ 解は一意に定まる（2 分岐と周期性の選び方を除く）。調整パラメータを 2 つ以上もつ他のトポロジーでも、長さは違っても同じ $\Gamma_s$ に到達できる：

短路並聯截線＋串聯線 — 想法相同，但截線需要接地通孔（微波頻段的印刷電路板上較難處理）。Shorted shunt stub + series line — same idea, but the stub needs a via to ground (harder on PCB at microwave).短絡シャントスタブ＋直列線路 — 考え方は同じだが、スタブにグランドへのビアが必要（マイクロ波帯のプリント基板では扱いにくい）。
串聯截線＋並聯線 — 印刷電路板上少見，但在同軸或波導中可行。Series stub + shunt line — uncommon on PCB but possible in coax / waveguide.直列スタブ＋シャント線路 — プリント基板ではまれだが、同軸や導波管では実現できる。
集總 L 型網路（L ＋ C） — 適用於低頻、窄頻帶，不需要傳輸線。Lumped L-network (L + C) — low frequency, narrowband, no transmission line needed.集中定数 L 型回路（L ＋ C） — 低周波・狭帯域向けで、伝送線路を必要としない。
雙截線／三截線調諧器 — 多出的自由度可換取更寬的頻寬或固定的線長。Two-stub / three-stub tuner — extra DOF for broader bandwidth or fixed line lengths.2 スタブ／3 スタブチューナー — 余分な自由度により、広い帯域幅や固定長の線路が得られる。

這些做法都能達到同一個 $\Gamma_s$，因為限制條件是最終的複數值，而不是拓樸本身。All of them hit the same $\Gamma_s$ because the constraint is on the final complex value, not on the topology.いずれも同じ $\Gamma_s$ に到達する。制約は最終的な複素数の値に課されるのであって、トポロジーに課されるわけではないからである。

互動 — 逐步走過匹配網路：圖心 → g=1 圓（截線）→ $\Gamma_s$（傳輸線）Interactive — walk through the matching network: center → g=1 circle (stub) → $\Gamma_s$ (line)インタラクティブ — 整合回路を順にたどる：中心 → g=1 円（スタブ）→ $\Gamma_s$（線路）

步驟 ①：由圖心出發Step ①: start at the chart centerステップ ①：チャート中心から出発

訊號源為 $Z_0 = 50\,\Omega$，故 $\Gamma = 0$（圖心的藍點）。此步驟無可拖曳之物 — 這是加入任何匹配元件之前的起始狀態。Source is $Z_0 = 50\,\Omega$, so $\Gamma = 0$ (blue dot at center). Nothing to drag — this is the starting condition before any matching element is added.電源は $Z_0 = 50\,\Omega$ なので $\Gamma = 0$（中心の青い点）。ドラッグするものはなく、これは整合素子を加える前の初期状態である。

步驟 ②：截線長度 ℓ_s = Step ②: stub length ℓ_s = ステップ ②：スタブ長 ℓ_s = 0.000 λ

並聯開路截線加入 $jb = j\tan(\beta\ell_s)$ — 使 Γ 沿 g=1 圓移動。Shunt open stub adds $jb = j\tan(\beta\ell_s)$ — moves Γ along the g=1 circle.シャント開放スタブが $jb = j\tan(\beta\ell_s)$ を加え、Γ を g=1 円に沿って動かす。

步驟 ③：傳輸線長度 ℓ₁ = Step ③: line length ℓ₁ = ステップ ③：線路長 ℓ₁ = 0.000 λ

串聯 50 Ω 傳輸線使 Γ 沿等 |Γ| 圓順時針旋轉 $2\beta\ell_1$。Series 50 Ω line rotates Γ clockwise on the |Γ|-constant circle by $2\beta\ell_1$.直列 50 Ω 線路が Γ を等 |Γ| 円に沿って $2\beta\ell_1$ だけ時計回りに回す。

經截線後 (Γ)after stub (Γ)スタブ通過後 (Γ)	0.000 ∠ 0.0°
接點處的 y y at junction接続点での y	1 + j0.000
經傳輸線後 (Γ)after line (Γ)線路通過後 (Γ)	0.000 ∠ 0.0°
到 Γ_s 的距離distance to Γ_sΓ_s までの距離	0.333

請拖曳兩支滑桿。Drag both sliders.両方のスライダーを動かしてください。

▸ 如何由目標 $\Gamma_s$ 設計出 $\ell_s$ 與 $\ell_1$（點擊展開）▸ How to design $\ell_s$ and $\ell_1$ from a target $\Gamma_s$ (click to expand)▸ 目標 $\Gamma_s$ から $\ell_s$ と $\ell_1$ を設計する方法（クリックで展開）

步驟 A — 把目標 $\Gamma_s$ 換算成目標阻抗，再對 $Z_0$ 正規化。史密斯圖一律使用正規化值 — 圖上畫的是 $z = Z/Z_0$，不是原始的歐姆值：Step A — Convert the target $\Gamma_s$ into a target impedance, then normalize to $Z_0$. The Smith chart is always normalized — you plot $z = Z/Z_0$, not raw ohms:ステップ A — 目標 $\Gamma_s$ を目標インピーダンスに換算し、$Z_0$ で正規化する。スミスチャートは常に正規化されており、プロットするのは生のオームではなく $z = Z/Z_0$ である：

$$Z_s \;=\; Z_0 \cdot \frac{1+\Gamma_s}{1-\Gamma_s} \;=\; 50 \cdot \frac{1 + 0.333\angle 120°}{1 - 0.333\angle 120°} \;\approx\; 30.8 \;+\; j\,20.0\;\;\Omega$$

$$\Longrightarrow\;\; z_s \;=\; \frac{Z_s}{Z_0} \;=\; 0.616 \;+\; j\,0.400 \quad\text{(這就是要標在圖上的點)}$$

$$\Longrightarrow\;\; z_s \;=\; \frac{Z_s}{Z_0} \;=\; 0.616 \;+\; j\,0.400 \quad\text{(this is what you mark on the chart).}$$

$$\Longrightarrow\;\; z_s \;=\; \frac{Z_s}{Z_0} \;=\; 0.616 \;+\; j\,0.400 \quad\text{(これがチャート上に印を付ける点)}$$

$z_s$、$\Gamma_s$ 與 $y_s$ 是同一個點的三種等價標示：$z_s$, $\Gamma_s$, and $y_s$ are three equivalent labels for the same point:$z_s$、$\Gamma_s$、$y_s$ は同じ点を表す 3 つの等価なラベルである：

表示法Form表し方	數值Value値	在圖上如何讀取Read off chart byチャート上での読み取り方
正規化阻抗 $z_s$normalized impedance $z_s$正規化インピーダンス $z_s$	0.616 + j0.400	$r=0.616$ 與 $x=+0.400$ 兩圓的交點intersection of $r=0.616$ and $x=+0.400$ circles$r=0.616$ と $x=+0.400$ の円の交点
反射係數 $\Gamma_s$reflection coefficient $\Gamma_s$反射係数 $\Gamma_s$	0.333 ∠ 120°	自圖心量起的極座標polar coords from center中心からの極座標
正規化導納 $y_s$normalized admittance $y_s$正規化アドミタンス $y_s$	1.143 − j0.742	把 $z_s$ 點旋轉 180°rotate the $z_s$ point 180°$z_s$ の点を 180° 回転する

直到最後一步才反正規化：$Z_s = z_s \cdot Z_0 = 50 \cdot (0.616 + j0.400) = 30.8 + j20.0\,\Omega$。You only de-normalize at the very end: $Z_s = z_s \cdot Z_0 = 50 \cdot (0.616 + j0.400) = 30.8 + j20.0\,\Omega$.正規化を戻すのは最後の最後でよい：$Z_s = z_s \cdot Z_0 = 50 \cdot (0.616 + j0.400) = 30.8 + j20.0\,\Omega$。

步驟 B — 調整 $\ell_s$ 與 $\ell_1$，直到網路的正規化輸入阻抗等於 $z_s$。遠端接上 50 Ω 訊號源後，自 FET 往網路看回去的阻抗是這兩個長度的函數：Step B — Adjust $\ell_s$ and $\ell_1$ until the network's normalized input impedance equals $z_s$. With the 50 Ω source attached at the far end, the impedance looking from the FET back into the network is a function of both lengths:ステップ B — 回路の正規化入力インピーダンスが $z_s$ に等しくなるまで $\ell_s$ と $\ell_1$ を調整する。遠端に 50 Ω 電源を接続したとき、FET から回路側を見たインピーダンスは両方の長さの関数になる：

$$z_{\text{in,\,FET}}(\ell_s,\,\ell_1) \;\stackrel{!}{=}\; z_s \;=\; 0.616 + j\,0.400.$$

一條複數方程式 = 兩條實數方程式（實部與虛部），恰好對應兩個未知數 $(\ell_s,\,\ell_1)$。求解可得：One complex equation = two real equations (real and imaginary parts), matched by the two unknowns $(\ell_s,\,\ell_1)$. Solving gives:1 本の複素方程式 = 2 本の実方程式（実部と虚部）であり、2 つの未知数 $(\ell_s,\,\ell_1)$ とちょうど対応する。解くと：

$\ell_s = 0.100\,\lambda\;\Rightarrow\; b = \tan(\beta\ell_s) = \tan 36° \approx 0.727$ — 把工作點自圖心抬到 $g=1$ 圓上。$\ell_s = 0.100\,\lambda\;\Rightarrow\; b = \tan(\beta\ell_s) = \tan 36° \approx 0.727$ — lifts the operating point from the chart center onto the $g=1$ circle.$\ell_s = 0.100\,\lambda\;\Rightarrow\; b = \tan(\beta\ell_s) = \tan 36° \approx 0.727$ — 動作点をチャート中心から $g=1$ の円へ持ち上げる。
$\ell_1 = 0.179\,\lambda\;\Rightarrow\; 2\beta\ell_1 \approx 129°$ — 使該點沿等 $|\Gamma|$ 圓順時針旋轉，直到 $z_{\text{in,\,FET}} \approx 0.616 + j0.400$。✓$\ell_1 = 0.179\,\lambda\;\Rightarrow\; 2\beta\ell_1 \approx 129°$ — rotates that point CW along the constant-$|\Gamma|$ circle until $z_{\text{in,\,FET}} \approx 0.616 + j0.400$. ✓$\ell_1 = 0.179\,\lambda\;\Rightarrow\; 2\beta\ell_1 \approx 129°$ — その点を等 $|\Gamma|$ 円に沿って時計回りに回し、$z_{\text{in,\,FET}} \approx 0.616 + j0.400$ に到達させる。✓

這個互動在做什麼。史密斯圖流程其實是上述方程式在正規化單位下的圖解求解器。滑桿的每一個位置對應一組試探值 $(\ell_s,\ell_1)$；橘色標記顯示由此得到的 $\Gamma_{\text{in,\,FET}}$（透過圖上的 $r$／$x$ 格線即等價於 $z_{\text{in,\,FET}}$），當橘色標記落在紅色的 $\Gamma_s$／$z_s$ 目標上時，設計就完成了。What the interactive does. The Smith chart procedure is a graphical solver for the above equation in normalized units. Each slider position corresponds to one trial $(\ell_s,\ell_1)$; the orange marker shows the resulting $\Gamma_{\text{in,\,FET}}$ (equivalent to $z_{\text{in,\,FET}}$ via the chart's $r$/$x$ grid), and the design is finished when the orange marker lands on the red $\Gamma_s$ / $z_s$ target.このインタラクティブが行っていること。スミスチャートの手順は、上の方程式を正規化単位で解く図式ソルバーにほかならない。スライダーの各位置が 1 組の試行値 $(\ell_s,\ell_1)$ に対応し、オレンジのマーカーがその結果の $\Gamma_{\text{in,\,FET}}$（チャートの $r$／$x$ グリッドを介して $z_{\text{in,\,FET}}$ と等価）を示す。オレンジのマーカーが赤い $\Gamma_s$／$z_s$ の目標に重なれば設計完了である。

以下說法完全等價：「在 FET 輸入端呈現 $\Gamma_s$」⇔「使 $z_{\text{in,\,FET}} = 0.616 + j0.400$」⇔「使 $Z_{\text{in,\,FET}} = 30.8 + j20.0\,\Omega$」⇔「橘色標記落在史密斯圖上的紅色目標」。四者描述的是同一個條件。Equivalent statements: "present $\Gamma_s$ at the FET input" ⇔ "make $z_{\text{in,\,FET}} = 0.616 + j0.400$" ⇔ "make $Z_{\text{in,\,FET}} = 30.8 + j20.0\,\Omega$" ⇔ "the orange marker lands on the red target on the Smith chart". All four describe the same condition.次の言い換えはすべて同じ意味である：「FET 入力に $\Gamma_s$ を提示する」⇔「$z_{\text{in,\,FET}} = 0.616 + j0.400$ にする」⇔「$Z_{\text{in,\,FET}} = 30.8 + j20.0\,\Omega$ にする」⇔「オレンジのマーカーをスミスチャート上の赤い目標に重ねる」。4 つとも同一の条件を述べている。

為什麼是這些特定長度？它們是從史密斯圖上讀出來的 — 取等 $|\Gamma|$ 圓與適當等 $g$ 圓的交點，再把角度位置以 $\lambda$ 換算成電氣線長。其他實現方式（短路截線、串聯截線、雙截線網路等）會得到不同的長度，但最終的 $\Gamma_s, \Gamma_l$ 相同。Why these specific lengths? They are read off the Smith chart — choose the intersection of the constant-$|\Gamma|$ circle with the appropriate constant-$g$ circle, then convert angular positions to electrical line length using $\lambda$. Alternative realizations (shorted stub, series stub, two-stub network, etc.) yield different lengths but the same final $\Gamma_s, \Gamma_l$.なぜこの長さになるのか。これらはスミスチャートから読み取った値である。等 $|\Gamma|$ 円と適切な等 $g$ 円との交点を選び、その角度位置を $\lambda$ 単位の電気長に換算する。別の実現法（短絡スタブ、直列スタブ、2 スタブ回路など）では長さは異なるが、最終的な $\Gamma_s, \Gamma_l$ は同じである。

中文摘要：In brief:要点：本電路用「 This circuit realises the chosen $\Gamma_s, \Gamma_l$ with a この回路は「串聯傳輸線 + 並聯開路短截線series transmission line plus a shunt open-circuit stub直列伝送線路＋シャント開放スタブ」實現所選的 $\Gamma_s, \Gamma_l$。所有線都是 50 Ω 特性阻抗，只靠長度（單位 $\lambda$）做阻抗轉換：串聯線把運作點沿等 $|\Gamma|$ 圓旋轉，開路短截線提供純電納（susceptance $B$），沿等 $g$ 圓移動。「開路」短截線在 PCB 上比短路（要打 via 接地）容易實作，因此微波電路常用。輸入端 0.179 λ + 0.100 λ、輸出端 0.045 λ + 0.432 λ 是從 Smith 圖讀出 $|\Gamma|$ 圓與 $g$ 圓的交點所得到的長度；換成短路短截線或其他拓樸雖長度不同，但最終 $\Gamma$ 值仍然一致。. Every line has a 50 Ω characteristic impedance, so the impedance transformation comes purely from the lengths (in units of $\lambda$): the series line rotates the operating point along a constant-$|\Gamma|$ circle, while the open stub supplies a pure susceptance $B$, moving it along a constant-$g$ circle. An open stub is easier to fabricate on a PCB than a short-circuit one (which needs a via to ground), which is why microwave circuits favour it. The input-side 0.179 λ + 0.100 λ and output-side 0.045 λ + 0.432 λ are the lengths read off the Smith chart at the intersection of the $|\Gamma|$ circle and the $g$ circle; swapping to short-circuit stubs or another topology gives different lengths but the same final $\Gamma$.」によって、選んだ $\Gamma_s, \Gamma_l$ を実現している。線路の特性インピーダンスはすべて 50 Ω なので、インピーダンス変換はもっぱら長さ（$\lambda$ 単位）によって生じる。直列線路は動作点を等 $|\Gamma|$ 円に沿って回転させ、開放スタブは純サセプタンス $B$ を与えて等 $g$ 円に沿って移動させる。開放スタブは短絡スタブ（グランドへのビアが必要）よりプリント基板上で作りやすいため、マイクロ波回路で好まれる。入力側の 0.179 λ + 0.100 λ、出力側の 0.045 λ + 0.432 λ は、$|\Gamma|$ 円と $g$ 円の交点としてスミスチャートから読み取った長さである。短絡スタブや別のトポロジーに替えれば長さは変わるが、最終的な $\Gamma$ は同じになる。

步驟 6 — 模擬結果。在 3 – 5 GHz 範圍掃描轉換增益 $G_T$ 與回波損耗 $R_L$：Step 6 — Simulation results. Sweep transducer gain $G_T$ and return loss $R_L$ across 3 – 5 GHz:ステップ 6 — シミュレーション結果。3 – 5 GHz にわたって変換利得 $G_T$ とリターンロス $R_L$ を掃引する：

可以看到，在 4 GHz 處達成了目標的 11 dB 增益。然而回波損耗並不理想 — 在設計頻率處只有約 5 dB。這是因為為了從 $G_{S,\max}$ 與 $G_{L,\max}$ 退回到指定的（較低）增益，刻意在匹配段中引入了失配。It can be seen that the desired gain of 11 dB is achieved at 4 GHz. The return loss, however, is not very good — only about 5 dB at the design frequency. This is due to the deliberate mismatch introduced into the matching sections to back off from $G_{S,\max}$ and $G_{L,\max}$ in order to achieve the specified (lower) gain.4 GHz において目標の 11 dB の利得が得られていることがわかる。一方でリターンロスはあまり良くなく、設計周波数で 5 dB 程度しかない。これは、$G_{S,\max}$ と $G_{L,\max}$ から指定の（より低い）利得まで下げるために、整合部へ意図的に不整合を導入したためである。

可以看到設計頻率 You can see that at the design frequency 設計周波数 4 GHz 處達到了目標增益 the target gain において目標利得 11 dB。但回波損失並不理想 — 在設計頻率僅約 is achieved. The return loss, however, is not good — only about が達成されていることがわかる。ただしリターンロスは良好とはいえず、設計周波数で約 5 dB。這是因為匹配網路at the design frequency. That is because the matching network しかない。これは整合回路が刻意引入失配deliberately introduces a mismatch意図的に不整合を導入し（mismatch），從 $G_{S,\max}$ 與 $G_{L,\max}$ 後退（back off），以換取指定的（較低的）增益。, backing off from $G_{S,\max}$ and $G_{L,\max}$ to trade for the specified (lower) gain.、$G_{S,\max}$ と $G_{L,\max}$ から後退させることで、指定された（より低い）利得と引き換えているためである。

3.1.3 單向化品質因數3.1.3 Unilateral Figure of Merit3.1.3 単向化性能指数（單向化品質因數 $U$）(the unilateral figure of merit $U$)（単向化性能指数 $U$）

用來判斷將雙向 (bilateral) 放大器近似為單向 (unilateral, $S_{12}\approx 0$) 時所引入的誤差大小。當 $U$ 很小時，可以放心使用單向公式設計；若 $U$ 顯著，必須改用雙向 (bilateral) 方法。gauges the size of the error introduced by approximating a bilateral amplifier as unilateral ($S_{12}\approx 0$). When $U$ is small you can safely design with the unilateral formulas; when $U$ is significant you must switch to the bilateral method.は、双方向 (bilateral) の増幅器を単向化 (unilateral, $S_{12}\approx 0$) で近似したときに生じる誤差の大きさを見積もるための指標である。$U$ が小さければ単向化の公式で安心して設計でき、$U$ が無視できない大きさであれば双方向 (bilateral) の手法に切り替えなければならない。

單向化假設（$S_{12}=0$）會引入誤差。實際的雙向增益 $G_T$ 的界限為：The unilateral assumption ($S_{12}=0$) introduces error. The actual bilateral gain $G_T$ is bounded by:単向化の仮定（$S_{12}=0$）は誤差をもたらす。実際の双方向利得 $G_T$ は次の範囲に収まる：

$$\frac{1}{(1+|X|)^2} \le \frac{G_T}{G_{TU}} \le \frac{1}{(1-|X|)^2}$$

此界限的推導（點擊展開）Derivation of the bound (click to expand)この範囲の導出（クリックで展開）

步驟 1 — 寫出兩種增益。精確的（雙向）轉換增益為Step 1 — Write out both gains. The exact (bilateral) transducer gain isステップ 1 — 両方の利得を書き下す。厳密な（双方向の）変換利得は

$$G_T = \frac{(1-|\Gamma_s|^2)\,|S_{21}|^2\,(1-|\Gamma_l|^2)}{\bigl|(1-S_{11}\Gamma_s)(1-S_{22}\Gamma_l) - S_{12}S_{21}\Gamma_s\Gamma_l\bigr|^2}. \tag{3.1.3-1}$$

令 $S_{12} = 0$ 即得單向化增益Setting $S_{12} = 0$ gives the unilateral gain$S_{12} = 0$ とおくと単向化利得が得られる

$$G_{TU} = \frac{(1-|\Gamma_s|^2)\,|S_{21}|^2\,(1-|\Gamma_l|^2)}{|1-S_{11}\Gamma_s|^2\,|1-S_{22}\Gamma_l|^2}.$$

步驟 2 — 取比值。兩者的分子相同，可以消去：Step 2 — Take the ratio. Numerators are identical, so they cancel:ステップ 2 — 比をとる。分子は同一なので打ち消し合う：

$$\frac{G_T}{G_{TU}} \;=\; \frac{|1-S_{11}\Gamma_s|^2\,|1-S_{22}\Gamma_l|^2}{\bigl|(1-S_{11}\Gamma_s)(1-S_{22}\Gamma_l) - S_{12}S_{21}\Gamma_s\Gamma_l\bigr|^2}.$$

步驟 3 — 提出單向化的乘積因子。Step 3 — Factor out the unilateral product.ステップ 3 — 単向化の積を括り出す。 令 Let ここで次のようにおく

$$A \;=\; (1-S_{11}\Gamma_s)(1-S_{22}\Gamma_l), \qquad B \;=\; S_{12}S_{21}\Gamma_s\Gamma_l.$$

於是 $G_T/G_{TU} = |A|^2/|A-B|^2 = 1/|1 - B/A|^2$。定義 $X$ 參數：Then $G_T/G_{TU} = |A|^2/|A-B|^2 = 1/|1 - B/A|^2$. Define the $X$ parameter:よって $G_T/G_{TU} = |A|^2/|A-B|^2 = 1/|1 - B/A|^2$ となる。ここで $X$ パラメータを定義する：

$$X \;\equiv\; \frac{B}{A} \;=\; \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_s\Gamma_l}{(1-S_{11}\Gamma_s)(1-S_{22}\Gamma_l)} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{G_T}{G_{TU}} = \frac{1}{|1-X|^2}.$$

步驟 4 — 套用三角不等式。對任意複數 $X$：Step 4 — Apply the triangle inequality. For any complex $X$:ステップ 4 — 三角不等式を適用する。任意の複素数 $X$ に対して：

$$\bigl|\,1 - |X|\,\bigr| \;\le\; |1 - X| \;\le\; 1 + |X|.$$

取平方（$|X|<1$ 時各量皆非負）再取倒數（不等號方向反轉）：Squaring (all quantities non-negative when $|X|<1$) and inverting (flips the inequalities):両辺を平方し（$|X|<1$ ならすべての量は非負）、逆数をとる（不等号の向きが反転する）：

$$\frac{1}{(1+|X|)^2} \;\le\; \frac{1}{|1-X|^2} \;\le\; \frac{1}{(1-|X|)^2}.$$

步驟 5 — 代回原式。由於 $G_T/G_{TU} = 1/|1-X|^2$，這正是所宣稱的界限：Step 5 — Substitute back. Since $G_T/G_{TU} = 1/|1-X|^2$, this is exactly the claimed bound:ステップ 5 — 元に戻す。$G_T/G_{TU} = 1/|1-X|^2$ なので、これはまさに主張した範囲そのものである：

$$\boxed{\;\frac{1}{(1+|X|)^2} \;\le\; \frac{G_T}{G_{TU}} \;\le\; \frac{1}{(1-|X|)^2}\;}$$

步驟 6 — 最壞情況的 $|X|$。在單向化共軛匹配 $\Gamma_s = S_{11}^*$、$\Gamma_l = S_{22}^*$ 處：Step 6 — Worst-case $|X|$. At the unilateral conjugate match $\Gamma_s = S_{11}^*$, $\Gamma_l = S_{22}^*$:ステップ 6 — 最悪ケースの $|X|$。単向化の共役整合 $\Gamma_s = S_{11}^*$、$\Gamma_l = S_{22}^*$ において：

$|\Gamma_s| = |S_{11}|$ 且 $S_{11}\Gamma_s = |S_{11}|^2$（正實數），故 $|1-S_{11}\Gamma_s| = 1 - |S_{11}|^2$。$|\Gamma_s| = |S_{11}|$ and $S_{11}\Gamma_s = |S_{11}|^2$ (real positive), so $|1-S_{11}\Gamma_s| = 1 - |S_{11}|^2$.$|\Gamma_s| = |S_{11}|$ かつ $S_{11}\Gamma_s = |S_{11}|^2$（正の実数）なので、$|1-S_{11}\Gamma_s| = 1 - |S_{11}|^2$ となる。
同理 $|1-S_{22}\Gamma_l| = 1 - |S_{22}|^2$。Similarly $|1-S_{22}\Gamma_l| = 1 - |S_{22}|^2$.同様に $|1-S_{22}\Gamma_l| = 1 - |S_{22}|^2$。
$|S_{12}S_{21}\Gamma_s\Gamma_l| = |S_{12}||S_{21}||S_{11}||S_{22}|$.

整合起來即得單向化品質因數：Putting it together gives the unilateral figure of merit:まとめると単向化性能指数が得られる：

$$U \;=\; |X|_{\max} \;=\; \frac{|S_{11}||S_{12}||S_{21}||S_{22}|}{(1-|S_{11}|^2)(1-|S_{22}|^2)}.$$

把 $|X|$ 換成 $U$，即得實務上採用的保守形式：Replacing $|X|$ by $U$ gives the conservative form used in practice:$|X|$ を $U$ で置き換えると、実務で使われる保守的な形になる：

$$\frac{1}{(1+U)^2} \;\le\; \frac{G_T}{G_{TU}} \;\le\; \frac{1}{(1-U)^2}.$$

中文摘要：In brief:要点：誤差比 $G_T/G_{TU} = 1/|1-X|^2$，其中 $X = S_{12}S_{21}\Gamma_s\Gamma_l / [(1-S_{11}\Gamma_s)(1-S_{22}\Gamma_l)]$。對 $|1-X|$ 套用三角不等式 $1-|X| \le |1-X| \le 1+|X|$，再倒數平方即得上下界。當 $\Gamma_s, \Gamma_l$ 取共軛匹配時，$|X|$ 達到最大值 $U$（單向化品質因數）。 The error ratio is $G_T/G_{TU} = 1/|1-X|^2$, where $X = S_{12}S_{21}\Gamma_s\Gamma_l / [(1-S_{11}\Gamma_s)(1-S_{22}\Gamma_l)]$. Applying the triangle inequality $1-|X| \le |1-X| \le 1+|X|$ and taking the reciprocal squared gives the upper and lower bounds. When $\Gamma_s, \Gamma_l$ are conjugately matched, $|X|$ reaches its maximum value $U$ (the unilateral figure of merit). 誤差比は $G_T/G_{TU} = 1/|1-X|^2$ で、$X = S_{12}S_{21}\Gamma_s\Gamma_l / [(1-S_{11}\Gamma_s)(1-S_{22}\Gamma_l)]$ である。$|1-X|$ に三角不等式 $1-|X| \le |1-X| \le 1+|X|$ を適用し、逆数の 2 乗をとれば上下界が得られる。$\Gamma_s, \Gamma_l$ が共役整合のとき $|X|$ は最大値 $U$（単向化性能指数）に達する。

其中在共軛匹配（$\Gamma_s = S_{11}^*$、$\Gamma_l = S_{22}^*$）處：where at conjugate match ($\Gamma_s = S_{11}^*$, $\Gamma_l = S_{22}^*$):ここで共役整合（$\Gamma_s = S_{11}^*$、$\Gamma_l = S_{22}^*$）のとき：

$$U = |X|_{\max} = \frac{|S_{12}||S_{21}||S_{11}||S_{22}|}{(1-|S_{11}|^2)(1-|S_{22}|^2)}$$

單向化假設何時成立？When is unilateral valid?単向化の仮定はいつ有効か？

$U$ 就是單向化品質因數。當 $U$ 很小（例如 $U < 0.1$）時，誤差界限很緊，單向化近似相當準確。以 dB 表示的誤差約為 $\pm 20\log_{10}\frac{1}{1 \mp U}$。$U$ is the unilateral figure of merit. When $U$ is small (say $U < 0.1$), the error bound is tight and the unilateral approximation is accurate. The error in dB is approximately $\pm 20\log_{10}\frac{1}{1 \mp U}$.$U$ が単向化性能指数である。$U$ が小さい（たとえば $U < 0.1$）ほど誤差範囲は狭く、単向化近似は精度よく成り立つ。dB で表した誤差はおよそ $\pm 20\log_{10}\frac{1}{1 \mp U}$ である。

3.1.4 等增益圓 — 雙向情形3.1.4 Constant Gain Circles — Bilateral Case3.1.4 等利得円 — 双方向の場合

當 $S_{12} \neq 0$ 時，增益圓會變得較複雜。定義：When $S_{12} \neq 0$, gain circles become more complex. Define:$S_{12} \neq 0$ のとき、利得円はより複雑になる。次のように定義する：

$$\Delta = S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}$$ $$C_2 = S_{22} - \Delta S_{11}^*, \qquad C_1 = S_{11} - \Delta S_{22}^*$$ $$k = \text{stability factor}$$

等操作功率增益圓（$G_P$ = 定值，位於 $\Gamma_l$ 平面）Constant operating power gain circles ($G_P$ = const, on $\Gamma_l$ plane)等動作電力利得円（$G_P$ = 一定、$\Gamma_l$ 平面上）

正規化：$g_P = G_P / |S_{21}|^2$Normalize: $g_P = G_P / |S_{21}|^2$正規化：$g_P = G_P / |S_{21}|^2$

輸出增益圓（雙向）Output Gain Circle (Bilateral)出力側の利得円（双方向） $$C_L = \frac{g_P\, C_2^*}{1+g_P(|S_{22}|^2-|\Delta|^2)}, \qquad R_L = \frac{\sqrt{1-2k|S_{12}S_{21}|g_P + |S_{12}S_{21}|^2 g_P^2}}{|1+g_P(|S_{22}|^2-|\Delta|^2)|}$$

雙向輸出增益圓的推導（點擊展開）Derivation of the bilateral output gain circle (click to expand)双方向の出力側利得円の導出（クリックで展開）

步驟 1 — 由操作功率增益出發。在 $\Gamma_{in} = S_{11} + \dfrac{S_{12}S_{21}\Gamma_l}{1-S_{22}\Gamma_l}$ 之下，操作功率增益為Step 1 — Start from the operating power gain. With $\Gamma_{in} = S_{11} + \dfrac{S_{12}S_{21}\Gamma_l}{1-S_{22}\Gamma_l}$, the operating power gain isステップ 1 — 動作電力利得から出発する。$\Gamma_{in} = S_{11} + \dfrac{S_{12}S_{21}\Gamma_l}{1-S_{22}\Gamma_l}$ のとき、動作電力利得は

$$G_P \;=\; \frac{|S_{21}|^2\,(1-|\Gamma_l|^2)}{(1-|\Gamma_{in}|^2)\,|1-S_{22}\Gamma_l|^2}.$$

稍作代數運算（利用 $\Delta = S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}$）可把 $1 - |\Gamma_{in}|^2$ 化簡為A bit of algebra (using $\Delta = S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}$) simplifies $1 - |\Gamma_{in}|^2$ to少し代数計算をすると（$\Delta = S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}$ を用いる）、$1 - |\Gamma_{in}|^2$ は次のように簡単になる

$$1 - |\Gamma_{in}|^2 \;=\; \frac{|1 - S_{22}\Gamma_l|^2 - |S_{11} - \Delta\Gamma_l|^2}{|1 - S_{22}\Gamma_l|^2}.$$

代回原式：Substituting back:元の式に代入すると：

$$G_P \;=\; \frac{|S_{21}|^2\,(1-|\Gamma_l|^2)}{|1 - S_{22}\Gamma_l|^2 - |S_{11} - \Delta\Gamma_l|^2}.$$

步驟 2 — 正規化。定義 $g_P = G_P / |S_{21}|^2$，方程式化為Step 2 — Normalize. Define $g_P = G_P / |S_{21}|^2$. The equation becomesステップ 2 — 正規化する。$g_P = G_P / |S_{21}|^2$ と定義すると、式は次のようになる

$$g_P \;=\; \frac{1-|\Gamma_l|^2}{|1 - S_{22}\Gamma_l|^2 - |S_{11} - \Delta\Gamma_l|^2}.$$

步驟 3 — 展開分母。利用 $|a|^2 = a a^{\,*}$ 並整理 $\Gamma_l$ 的各項。展開後得：Step 3 — Expand the denominator. Use $|a|^2 = a a^{\,*}$ and collect $\Gamma_l$ terms. After expansion:ステップ 3 — 分母を展開する。$|a|^2 = a a^{\,*}$ を使い、$\Gamma_l$ の項をまとめる。展開すると：

$$|1-S_{22}\Gamma_l|^2 - |S_{11}-\Delta\Gamma_l|^2 \;=\; 1 - |S_{11}|^2 - (|S_{22}|^2 - |\Delta|^2)|\Gamma_l|^2 - 2\,\mathrm{Re}\{C_2\,\Gamma_l\},$$

其中whereここで

$$\boxed{\;C_2 \;\equiv\; S_{22} - \Delta\,S_{11}^{\,*}\;}$$

即雙向圓的係數。同時利用恆等式 $1 - |S_{11}|^2 - |S_{22}|^2 + |\Delta|^2 = 2k\,|S_{12}S_{21}|$，其中 $k$ 為穩定因數。is the bilateral-circle coefficient. Also use the identity $1 - |S_{11}|^2 - |S_{22}|^2 + |\Delta|^2 = 2k\,|S_{12}S_{21}|$ where $k$ is the stability factor.が双方向円の係数である。あわせて恒等式 $1 - |S_{11}|^2 - |S_{22}|^2 + |\Delta|^2 = 2k\,|S_{12}S_{21}|$ を用いる。$k$ は安定係数である。

$$\bigl[1 + g_P(|S_{22}|^2 - |\Delta|^2)\bigr]\,|\Gamma_l|^2 \;-\; 2\,g_P\,\mathrm{Re}\{C_2\,\Gamma_l\} \;+\; \bigl[g_P(1-|S_{11}|^2) - 1\bigr]\cdot(-1) \;=\; 0.$$

這就是 $\Gamma_l$ 平面上的圓方程式。配方後可得This is the equation of a circle in the $\Gamma_l$ plane. Completing the square producesこれが $\Gamma_l$ 平面における円の方程式である。平方完成すると

$$\Bigl|\,\Gamma_l - C_L\,\Bigr|^2 \;=\; R_L^{\,2}.$$

步驟 5 — 讀出圓心。一次項直接給出圓心：Step 5 — Read off the center. The linear term gives the center directly:ステップ 5 — 中心を読み取る。一次の項から中心が直ちに得られる：

$$C_L \;=\; \frac{g_P\, C_2^{\,*}}{1 + g_P\,(|S_{22}|^2 - |\Delta|^2)}.$$

之所以出現共軛，是因為交叉項 $\mathrm{Re}\{C_2\Gamma_l\} = \tfrac{1}{2}(C_2\Gamma_l + C_2^*\Gamma_l^*)$ 把 $\Gamma_l$ 與 $C_2^*$ 配成一對。The conjugate appears because the cross term $\mathrm{Re}\{C_2\Gamma_l\} = \tfrac{1}{2}(C_2\Gamma_l + C_2^*\Gamma_l^*)$ pairs $\Gamma_l$ with $C_2^*$.共役が現れるのは、交差項 $\mathrm{Re}\{C_2\Gamma_l\} = \tfrac{1}{2}(C_2\Gamma_l + C_2^*\Gamma_l^*)$ が $\Gamma_l$ と $C_2^*$ を組にするためである。

步驟 6 — 計算半徑。配方後收集常數項，並以 $1 - |S_{11}|^2 - |S_{22}|^2 + |\Delta|^2 = 2k|S_{12}S_{21}|$ 與 $|C_2|^2 = (|S_{22}|^2 - |\Delta|^2)(1-|S_{11}|^2) + |S_{12}S_{21}|^2$ 化簡，判別式收斂為Step 6 — Compute the radius. Collecting the constant terms after completing the square and simplifying with $1 - |S_{11}|^2 - |S_{22}|^2 + |\Delta|^2 = 2k|S_{12}S_{21}|$ and $|C_2|^2 = (|S_{22}|^2 - |\Delta|^2)(1-|S_{11}|^2) + |S_{12}S_{21}|^2$, the discriminant collapses toステップ 6 — 半径を求める。平方完成後に定数項を集め、$1 - |S_{11}|^2 - |S_{22}|^2 + |\Delta|^2 = 2k|S_{12}S_{21}|$ と $|C_2|^2 = (|S_{22}|^2 - |\Delta|^2)(1-|S_{11}|^2) + |S_{12}S_{21}|^2$ を用いて整理すると、判別式は次の形にまとまる

$$R_L^{\,2}\!\bigl[1 + g_P(|S_{22}|^2 - |\Delta|^2)\bigr]^2 \;=\; 1 - 2k\,|S_{12}S_{21}|\,g_P + |S_{12}S_{21}|^2\,g_P^{\,2}.$$

取正根：Taking the positive root:正の平方根をとると：

$$R_L \;=\; \frac{\sqrt{1 - 2k\,|S_{12}S_{21}|\,g_P \;+\; |S_{12}S_{21}|^2\,g_P^{\,2}}}{\bigl|\,1 + g_P\,(|S_{22}|^2 - |\Delta|^2)\,\bigr|}.$$

合理性檢查。Sanity checks.妥当性の確認。

單向化極限 $S_{12} \to 0$：$|S_{12}S_{21}| \to 0$、$\Delta \to S_{11}S_{22}$。根號內的分子 $\to 1$，$C_2 \to S_{22}(1-|S_{11}|^2)$。此圓退化為以 $S_{22}^*$ 為中心的單向化 $G_L$ 圓。Unilateral limit $S_{12} \to 0$: $|S_{12}S_{21}| \to 0$, $\Delta \to S_{11}S_{22}$. Numerator under the root $\to 1$, $C_2 \to S_{22}(1-|S_{11}|^2)$. The circle reduces to the unilateral $G_L$ circle around $S_{22}^*$.単向化の極限 $S_{12} \to 0$：$|S_{12}S_{21}| \to 0$、$\Delta \to S_{11}S_{22}$ となる。根号内の分子は $\to 1$、$C_2 \to S_{22}(1-|S_{11}|^2)$ となり、円は $S_{22}^*$ を中心とする単向化 $G_L$ 円に帰着する。
最大增益 $G_P = G_{T,\max}$：被開方數 $1 - 2k|S_{12}S_{21}|g_P + |S_{12}S_{21}|^2 g_P^2$ 觸及零，$R_L \to 0$ — 圓退化成 $\Gamma_{Ml}$（同時共軛匹配負載）上的一個點。Maximum gain $G_P = G_{T,\max}$: the radicand $1 - 2k|S_{12}S_{21}|g_P + |S_{12}S_{21}|^2 g_P^2$ touches zero, $R_L \to 0$ — the circle collapses to a point at $\Gamma_{Ml}$ (simultaneous-conjugate-match load).最大利得 $G_P = G_{T,\max}$：根号内の $1 - 2k|S_{12}S_{21}|g_P + |S_{12}S_{21}|^2 g_P^2$ がゼロに接し、$R_L \to 0$ となる。円は $\Gamma_{Ml}$（同時共役整合の負荷）の 1 点に縮退する。
$G_P = 0$：$g_P = 0$、$R_L = 1$、$C_L = 0$ — 圓變成整個單位圓的邊界（任何 $\Gamma_l$ 都給出零增益，這是顯然的）。$G_P = 0$: $g_P = 0$, $R_L = 1$, $C_L = 0$ — the circle becomes the entire unit disk boundary (every $\Gamma_l$ gives zero gain, trivially).$G_P = 0$：$g_P = 0$、$R_L = 1$、$C_L = 0$ となり、円は単位円の境界そのものになる（どの $\Gamma_l$ でも利得はゼロという自明な場合）。

中文摘要：In brief:要点：從操作功率增益 $G_P$ 出發，將 $\Gamma_{in}$ 對 $\Gamma_l$ 的依賴帶入，化簡分母為關於 $|\Gamma_l|^2$ 與 $\mathrm{Re}\{C_2\Gamma_l\}$ 的線性式（其中 $C_2 = S_{22} - \Delta S_{11}^*$），即為圓的標準式。配方後可讀出圓心 $C_L = g_P C_2^*/[1+g_P(|S_{22}|^2-|\Delta|^2)]$ 與半徑 $R_L$；判別式中出現穩定因子 $k$ 與 $|S_{12}S_{21}|$，因此圓的大小與穩定性息息相關。輸入端的 $G_A$ 圓推導完全對稱（$1\leftrightarrow 2$）。 Starting from the operating power gain $G_P$, substitute the dependence of $\Gamma_{in}$ on $\Gamma_l$ and reduce the denominator to an expression linear in $|\Gamma_l|^2$ and $\mathrm{Re}\{C_2\Gamma_l\}$ (where $C_2 = S_{22} - \Delta S_{11}^*$) — which is the standard form of a circle. Completing the square gives the centre $C_L = g_P C_2^*/[1+g_P(|S_{22}|^2-|\Delta|^2)]$ and the radius $R_L$; the stability factor $k$ and $|S_{12}S_{21}|$ appear inside the discriminant, so the size of the circle is intimately tied to stability. The derivation of the $G_A$ circles at the input is exactly symmetric ($1\leftrightarrow 2$). 動作電力利得 $G_P$ から出発し、$\Gamma_{in}$ の $\Gamma_l$ 依存性を代入して、分母を $|\Gamma_l|^2$ と $\mathrm{Re}\{C_2\Gamma_l\}$ について一次の式（$C_2 = S_{22} - \Delta S_{11}^*$）に整理すると、円の標準形になる。平方完成すれば中心 $C_L = g_P C_2^*/[1+g_P(|S_{22}|^2-|\Delta|^2)]$ と半径 $R_L$ が読み取れる。判別式には安定係数 $k$ と $|S_{12}S_{21}|$ が現れるため、円の大きさは安定性と密接に結びついている。入力側の $G_A$ 円の導出は完全に対称である（$1\leftrightarrow 2$）。

等可用功率增益圓（$G_A$ = 定值，位於 $\Gamma_s$ 平面）Constant available power gain circles ($G_A$ = const, on $\Gamma_s$ plane)等有能電力利得円（$G_A$ = 一定、$\Gamma_s$ 平面上）

正規化：$g_A = G_A / |S_{21}|^2$Normalize: $g_A = G_A / |S_{21}|^2$正規化：$g_A = G_A / |S_{21}|^2$

輸入增益圓（雙向）Input Gain Circle (Bilateral)入力側の利得円（双方向） $$C_S = \frac{g_A\, C_1^*}{1+g_A(|S_{11}|^2-|\Delta|^2)}, \qquad R_S = \frac{\sqrt{1-2k|S_{12}S_{21}|g_A + |S_{12}S_{21}|^2 g_A^2}}{|1+g_A(|S_{11}|^2-|\Delta|^2)|}$$

雙向輸入增益圓的推導（點擊展開）Derivation of the bilateral input gain circle (click to expand)双方向の入力側利得円の導出（クリックで展開）

輸入側的推導與輸出側完全對稱 — 把下標 $1\leftrightarrow 2$ 對調，並以可用增益 $G_A$ 取代操作增益 $G_P$。整個論證都在 $\Gamma_s$ 平面上進行。The input-side derivation is the mirror image of the output side — swap subscripts $1\leftrightarrow 2$ and use the available gain $G_A$ in place of the operating gain $G_P$. The whole argument runs in the $\Gamma_s$ plane.入力側の導出は出力側の鏡像である — 添字 $1\leftrightarrow 2$ を入れ替え、動作利得 $G_P$ の代わりに有能利得 $G_A$ を用いる。議論はすべて $\Gamma_s$ 平面上で進む。

步驟 1 — 由可用功率增益出發。在 $\Gamma_{out} = S_{22} + \dfrac{S_{12}S_{21}\Gamma_s}{1-S_{11}\Gamma_s}$ 之下，可用增益為Step 1 — Start from the available power gain. With $\Gamma_{out} = S_{22} + \dfrac{S_{12}S_{21}\Gamma_s}{1-S_{11}\Gamma_s}$, the available gain isステップ 1 — 有能電力利得から出発する。$\Gamma_{out} = S_{22} + \dfrac{S_{12}S_{21}\Gamma_s}{1-S_{11}\Gamma_s}$ のとき、有能利得は

$$G_A \;=\; \frac{|S_{21}|^2\,(1-|\Gamma_s|^2)}{(1-|\Gamma_{out}|^2)\,|1-S_{11}\Gamma_s|^2}. \tag{3.1.4-1}$$

為什麼 $G_T \xrightarrow{\,\Gamma_l=\Gamma_{out}^*\,} G_A$ — 分母的化簡（點擊展開）Why $G_T \xrightarrow{\,\Gamma_l=\Gamma_{out}^*\,} G_A$ — denominator simplification (click to expand)なぜ $G_T \xrightarrow{\,\Gamma_l=\Gamma_{out}^*\,} G_A$ となるのか — 分母の簡約（クリックで展開）

起點。精確的雙向轉換增益（式 (3.1.3-1)）為Start. The exact bilateral transducer gain (eq. (3.1.3-1)) is出発点。厳密な双方向変換利得（式 (3.1.3-1)）は

$$G_T \;=\; \frac{(1-|\Gamma_s|^2)\,|S_{21}|^2\,(1-|\Gamma_l|^2)}{\bigl|(1-S_{11}\Gamma_s)(1-S_{22}\Gamma_l) - S_{12}S_{21}\Gamma_s\Gamma_l\bigr|^2}.$$

代入 $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$。令 $D \equiv 1 - S_{11}\Gamma_s$。依定義Substitute $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$. Let $D \equiv 1 - S_{11}\Gamma_s$. By definition$\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ を代入する。$D \equiv 1 - S_{11}\Gamma_s$ とおく。定義より

$$\Gamma_{out} \;=\; S_{22} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_s}{D} \;=\; \frac{D\,S_{22} + S_{12}S_{21}\Gamma_s}{D},$$

$$D\,\Gamma_{out} \;=\; D\,S_{22} + S_{12}S_{21}\Gamma_s. \tag{$*$}$$

化簡分母的因子。Simplify the denominator factor.分母の因子を簡約する。

$$\underbrace{(1-S_{11}\Gamma_s)}_{D}(1-S_{22}\Gamma_{out}^*) - S_{12}S_{21}\Gamma_s\cdot\Gamma_{out}^*$$ $$= D - \Gamma_{out}^*\!\underbrace{\bigl(D\,S_{22} + S_{12}S_{21}\Gamma_s\bigr)}_{\displaystyle= D\,\Gamma_{out}\;\text{by }(*)}$$ $$= D - \Gamma_{out}^*\cdot D\,\Gamma_{out} \;=\; D\bigl(1 - |\Gamma_{out}|^2\bigr).$$

因此Thereforeしたがって

$$\bigl|\cdots\bigr|^2 \;=\; |D|^2\,(1-|\Gamma_{out}|^2)^2 \;=\; |1-S_{11}\Gamma_s|^2\,(1-|\Gamma_{out}|^2)^2.$$

此外：$|\Gamma_l| = |\Gamma_{out}^*| = |\Gamma_{out}|$，故 $1-|\Gamma_l|^2 = 1-|\Gamma_{out}|^2$。全部代入後：Also: $|\Gamma_l| = |\Gamma_{out}^*| = |\Gamma_{out}|$, so $1-|\Gamma_l|^2 = 1-|\Gamma_{out}|^2$. Substituting everything:さらに：$|\Gamma_l| = |\Gamma_{out}^*| = |\Gamma_{out}|$ なので $1-|\Gamma_l|^2 = 1-|\Gamma_{out}|^2$ である。すべて代入すると：

$$G_T \;=\; \frac{(1-|\Gamma_s|^2)\,|S_{21}|^2\,\cancel{(1-|\Gamma_{out}|^2)}}{|1-S_{11}\Gamma_s|^2\,(1-|\Gamma_{out}|^2)^{\cancel{2}}} \;=\; \frac{|S_{21}|^2\,(1-|\Gamma_s|^2)}{|1-S_{11}\Gamma_s|^2\,(1-|\Gamma_{out}|^2)} \;=\; G_A.\;\checkmark$$

關鍵在 $(*)$ 這一步：分母中的兩項 $D\,S_{22} + S_{12}S_{21}\Gamma_s$ 恰好併成 $D\,\Gamma_{out}$，因為 $\Gamma_{out}$ 本來就是這樣定義的。分子與分母各消去一個 $(1-|\Gamma_{out}|^2)$ 因子，剩下的正是 $G_A$ 的公式。The key step is $(*)$: the two terms $D\,S_{22} + S_{12}S_{21}\Gamma_s$ in the denominator bundle into $D\,\Gamma_{out}$ exactly because that is how $\Gamma_{out}$ is defined. One factor of $(1-|\Gamma_{out}|^2)$ cancels between numerator and denominator, leaving the $G_A$ formula.要となるのは $(*)$ の段階である。分母の 2 項 $D\,S_{22} + S_{12}S_{21}\Gamma_s$ がちょうど $D\,\Gamma_{out}$ にまとまるのは、$\Gamma_{out}$ がそのように定義されているからにほかならない。分子と分母から $(1-|\Gamma_{out}|^2)$ が 1 つ約分され、残るのが $G_A$ の式である。

利用 $\Delta = S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}$，同一組代數恆等式可把 $1 - |\Gamma_{out}|^2$ 化簡為Using $\Delta = S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}$, the same algebraic identity simplifies $1 - |\Gamma_{out}|^2$ to$\Delta = S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}$ を用いると、同じ代数的恒等式により $1 - |\Gamma_{out}|^2$ は次のように簡単になる

$$1 - |\Gamma_{out}|^2 \;=\; \frac{|1 - S_{11}\Gamma_s|^2 - |S_{22} - \Delta\Gamma_s|^2}{|1 - S_{11}\Gamma_s|^2}.$$

代入後：Substituting:代入すると：

$$G_A \;=\; \frac{|S_{21}|^2\,(1-|\Gamma_s|^2)}{|1 - S_{11}\Gamma_s|^2 - |S_{22} - \Delta\Gamma_s|^2}.$$

步驟 2 — 正規化。Step 2 — Normalize.ステップ 2 — 正規化する。 定義 $g_A = G_A / |S_{21}|^2$： Define $g_A = G_A / |S_{21}|^2$: $g_A = G_A / |S_{21}|^2$ と定義する：

$$g_A \;=\; \frac{1-|\Gamma_s|^2}{|1 - S_{11}\Gamma_s|^2 - |S_{22} - \Delta\Gamma_s|^2}.$$

步驟 3 — 展開分母。同樣的展開（把 $1\!\leftrightarrow\! 2$ 對調）給出Step 3 — Expand the denominator. The same expansion (with $1\!\leftrightarrow\! 2$) yieldsステップ 3 — 分母を展開する。同じ展開（$1\!\leftrightarrow\! 2$ を入れ替える）により

$$|1-S_{11}\Gamma_s|^2 - |S_{22}-\Delta\Gamma_s|^2 \;=\; 1 - |S_{22}|^2 - (|S_{11}|^2 - |\Delta|^2)|\Gamma_s|^2 - 2\,\mathrm{Re}\{C_1\,\Gamma_s\},$$

其中withここで

$$\boxed{\;C_1 \;\equiv\; S_{11} - \Delta\,S_{22}^{\,*}\;}$$

即輸入側的係數。穩定性恆等式 $1 - |S_{11}|^2 - |S_{22}|^2 + |\Delta|^2 = 2k\,|S_{12}S_{21}|$ 完全相同。the input-side coefficient. The stability identity $1 - |S_{11}|^2 - |S_{22}|^2 + |\Delta|^2 = 2k\,|S_{12}S_{21}|$ is the same.が入力側の係数である。安定性の恒等式 $1 - |S_{11}|^2 - |S_{22}|^2 + |\Delta|^2 = 2k\,|S_{12}S_{21}|$ はまったく同じである。

步驟 4 — 整理成圓方程式。交叉相乘後，依 $\Gamma_s$ 的冪次歸類：Step 4 — Rearrange to a circle equation. Cross-multiplying and grouping powers of $\Gamma_s$:ステップ 4 — 円の方程式に整理する。両辺を掛け合わせ、$\Gamma_s$ の次数ごとにまとめる：

$$\bigl[1 + g_A(|S_{11}|^2 - |\Delta|^2)\bigr]\,|\Gamma_s|^2 \;-\; 2\,g_A\,\mathrm{Re}\{C_1\,\Gamma_s\} \;-\; \bigl[g_A(1-|S_{22}|^2) - 1\bigr] \;=\; 0.$$

配方後可得 $|\,\Gamma_s - C_S\,|^2 = R_S^{\,2}$。Completing the square gives $|\,\Gamma_s - C_S\,|^2 = R_S^{\,2}$.平方完成すると $|\,\Gamma_s - C_S\,|^2 = R_S^{\,2}$ が得られる。

步驟 5 — 讀出圓心。一次項把 $\Gamma_s$ 與 $C_1^*$ 配成一對：Step 5 — Read off the center. The linear term pairs $\Gamma_s$ with $C_1^*$:ステップ 5 — 中心を読み取る。一次の項が $\Gamma_s$ と $C_1^*$ を組にする：

$$C_S \;=\; \frac{g_A\, C_1^{\,*}}{1 + g_A\,(|S_{11}|^2 - |\Delta|^2)}.$$

步驟 6 — 計算半徑。利用 $|C_1|^2 = (|S_{11}|^2 - |\Delta|^2)(1-|S_{22}|^2) + |S_{12}S_{21}|^2$ 與穩定性恆等式，判別式可（如同輸出側一般）化簡為Step 6 — Compute the radius. Using $|C_1|^2 = (|S_{11}|^2 - |\Delta|^2)(1-|S_{22}|^2) + |S_{12}S_{21}|^2$ and the stability identity, the discriminant simplifies (just as on the output side) toステップ 6 — 半径を求める。$|C_1|^2 = (|S_{11}|^2 - |\Delta|^2)(1-|S_{22}|^2) + |S_{12}S_{21}|^2$ と安定性の恒等式を用いると、判別式は（出力側とまったく同様に）次のように簡単になる

$$R_S^{\,2}\!\bigl[1 + g_A(|S_{11}|^2 - |\Delta|^2)\bigr]^2 \;=\; 1 - 2k\,|S_{12}S_{21}|\,g_A + |S_{12}S_{21}|^2\,g_A^{\,2}.$$

取正根：Taking the positive root:正の平方根をとると：

$$R_S \;=\; \frac{\sqrt{1 - 2k\,|S_{12}S_{21}|\,g_A \;+\; |S_{12}S_{21}|^2\,g_A^{\,2}}}{\bigl|\,1 + g_A\,(|S_{11}|^2 - |\Delta|^2)\,\bigr|}.$$

合理性檢查。Sanity checks.妥当性の確認。

單向化極限 $S_{12} \to 0$：$|S_{12}S_{21}| \to 0$、$\Delta \to S_{11}S_{22}$、$C_1 \to S_{11}(1-|S_{22}|^2)$。此圓退化為以 $S_{11}^*$ 為中心的單向化 $G_S$ 圓。Unilateral limit $S_{12} \to 0$: $|S_{12}S_{21}| \to 0$, $\Delta \to S_{11}S_{22}$, $C_1 \to S_{11}(1-|S_{22}|^2)$. The circle reduces to the unilateral $G_S$ circle around $S_{11}^*$.単向化の極限 $S_{12} \to 0$：$|S_{12}S_{21}| \to 0$、$\Delta \to S_{11}S_{22}$、$C_1 \to S_{11}(1-|S_{22}|^2)$ となり、円は $S_{11}^*$ を中心とする単向化 $G_S$ 円に帰着する。
最大增益 $G_A = G_{T,\max}$：被開方數歸零，$R_S \to 0$ — 圓退化成同時共軛匹配的訊號源點 $\Gamma_{Ms}$。Maximum gain $G_A = G_{T,\max}$: the radicand zeroes out, $R_S \to 0$ — the circle collapses to the simultaneous-conjugate-match source point $\Gamma_{Ms}$.最大利得 $G_A = G_{T,\max}$：根号内がゼロになり $R_S \to 0$、円は同時共役整合の電源側の点 $\Gamma_{Ms}$ に縮退する。
$G_A = 0$：$g_A = 0$、$R_S = 1$、$C_S = 0$ — 軌跡就是整個單位圓的邊界。$G_A = 0$: $g_A = 0$, $R_S = 1$, $C_S = 0$ — the locus is the whole unit-circle boundary.$G_A = 0$：$g_A = 0$、$R_S = 1$、$C_S = 0$ となり、軌跡は単位円の境界全体になる。
與輸出側的鏡像對稱：所有公式都可由 $C_L$、$R_L$ 的推導經替換 $\{S_{11}, S_{22}, \Gamma_l, g_P, G_P, C_2\} \leftrightarrow \{S_{22}, S_{11}, \Gamma_s, g_A, G_A, C_1\}$ 得到。Mirror symmetry with output: every formula is obtained from the $C_L$, $R_L$ derivation by the swap $\{S_{11}, S_{22}, \Gamma_l, g_P, G_P, C_2\} \leftrightarrow \{S_{22}, S_{11}, \Gamma_s, g_A, G_A, C_1\}$.出力側との鏡像対称：すべての式は、$C_L$、$R_L$ の導出において $\{S_{11}, S_{22}, \Gamma_l, g_P, G_P, C_2\} \leftrightarrow \{S_{22}, S_{11}, \Gamma_s, g_A, G_A, C_1\}$ と置き換えれば得られる。

中文摘要：In brief:要点：從可用增益 $G_A$ 出發，將 $\Gamma_{out}$ 對 $\Gamma_s$ 的依賴代入，再以 $C_1 = S_{11} - \Delta S_{22}^*$ 對分母化簡，得到 $\Gamma_s$ 平面上的圓方程。配方後讀出圓心與半徑，分子根號內含穩定因子 $k$ 與 $|S_{12}S_{21}|$。本式只需把輸出端推導中的 $1\leftrightarrow 2$ 對換即得，結構完全對稱。 Starting from the available gain $G_A$, substitute the dependence of $\Gamma_{out}$ on $\Gamma_s$ and simplify the denominator using $C_1 = S_{11} - \Delta S_{22}^*$ to obtain the equation of a circle in the $\Gamma_s$ plane. Completing the square gives the centre and the radius, with the stability factor $k$ and $|S_{12}S_{21}|$ under the square root in the numerator. This expression follows from the output-side derivation simply by swapping $1\leftrightarrow 2$ — the structure is perfectly symmetric. 有能利得 $G_A$ から出発し、$\Gamma_{out}$ の $\Gamma_s$ 依存性を代入したうえで、$C_1 = S_{11} - \Delta S_{22}^*$ を用いて分母を整理すると、$\Gamma_s$ 平面上の円の方程式が得られる。平方完成すれば中心と半径が読み取れ、分子の根号内には安定係数 $k$ と $|S_{12}S_{21}|$ が現れる。この式は出力側の導出で $1\leftrightarrow 2$ を入れ替えるだけで得られ、構造は完全に対称である。

最大增益（雙向）Maximum gain (bilateral)最大利得（双方向）

當半徑 = 0 時：When the radius = 0:半径 = 0 のとき：

$$G_{\max} = \frac{|S_{21}|}{|S_{12}|}(k - \sqrt{k^2-1})$$

雙向與單向化的對照Bilateral vs Unilateral双方向と単向化の比較

在雙向情形下，選擇 $\Gamma_s$ 會透過下式影響 $\Gamma_{out}$（反之亦然）：In the bilateral case, choosing $\Gamma_s$ affects $\Gamma_{out}$ (and vice versa) through:双方向の場合、$\Gamma_s$ の選び方は次式を通じて $\Gamma_{out}$ に影響する（逆もまた同様である）：

$$\Gamma_{out} = S_{22} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_s}{1-S_{11}\Gamma_s}, \qquad \Gamma_{in} = S_{11} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_l}{1-S_{22}\Gamma_l}$$

輸入與輸出匹配是耦合的。從增益圓或雜訊圓選定 $\Gamma_s$ 之後，須計算 $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ 以達成輸出共軛匹配。Input and output matching are coupled. After choosing $\Gamma_s$ from a gain/noise circle, compute $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ for conjugate output match.入力側と出力側の整合は結合している。利得円や雑音円から $\Gamma_s$ を選んだあと、出力を共役整合させるために $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ を計算する。

為什麼是 $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$？（點擊展開）Why $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$? (click to expand)なぜ $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ なのか？（クリックで展開）

前提。一旦選定 $\Gamma_s$（來自增益圓、雜訊圓或穩定性限制），往埠 2 看進去的輸出反射就變成The setup. Once you pick $\Gamma_s$ (from a gain circle, noise circle, or stability constraint), the output reflection looking into port 2 becomes前提。いったん $\Gamma_s$ を（利得円・雑音円・安定性の制約から）選ぶと、ポート 2 を見込んだ出力反射は次のようになる

$$\Gamma_{out} = S_{22} + \frac{S_{12}\,S_{21}\,\Gamma_s}{1 - S_{11}\,\Gamma_s}.$$

它會透過內部回授 $S_{12}$ 依賴於 $\Gamma_s$ — 除非電晶體是單向的，否則不只是 $S_{22}$。It depends on $\Gamma_s$ through the internal feedback $S_{12}$ — not just $S_{22}$ unless the transistor is unilateral.これは内部帰還 $S_{12}$ を介して $\Gamma_s$ に依存する。トランジスタが単向性でない限り、単なる $S_{22}$ ではない。

為什麼輸出端要共軛匹配。要把電晶體輸出埠的功率最大限度地送進負載，負載就必須吸收全部可用功率 — 在埠 2 與負載的介面上不能有反射：Why conjugate match at the output. To deliver maximum power from the transistor's output port into the load, the load must absorb all the available power — no reflection at the port-2/load interface:なぜ出力側を共役整合するのか。トランジスタ出力ポートから負荷へ最大の電力を送るには、負荷が有能電力をすべて吸収し、ポート 2 と負荷の境界で反射が生じないようにしなければならない：

$$\Gamma_l = \Gamma_{out}^{\,*}.$$

這正是以反射係數形式重述的標準最大功率傳輸條件：負載阻抗 = 埠 2 所見戴維寧阻抗的複數共軛。This is the standard maximum-power-transfer condition restated in reflection-coefficient form: load impedance = complex conjugate of the Thevenin impedance seen at port 2.これは標準的な最大電力伝送条件を反射係数の形で言い換えたものである：負荷インピーダンス = ポート 2 で見たテブナンインピーダンスの複素共役。

為什麼要按這個順序做。Why we do it in this order.なぜこの順序で行うのか。

$\Gamma_s$ 先被設計目標鎖定 — 最小雜訊（$\Gamma_s = \Gamma_{opt}$）、目標可用增益 $G_A$，或穩定裕度。為了這些目標，你犧牲了輸入匹配。$\Gamma_s$ is constrained first by the design goal — minimum noise ($\Gamma_s = \Gamma_{opt}$), a target available gain $G_A$, or a stability margin. You sacrifice input match to get those.$\Gamma_s$ は設計目標によって先に固定される — 最小雑音（$\Gamma_s = \Gamma_{opt}$）、目標有能利得 $G_A$、あるいは安定余裕である。これらを得るために入力整合を犠牲にする。
$\Gamma_l$ 於是仍自由，因此可用它做輸出匹配，把還能取得的增益拿回來。輸出共軛匹配可在已選定 $\Gamma_s$ 的前提下使轉換增益最大（這正是 $G_A$），同時使輸出 VSWR 最小，而且它是僅剩的自由度。$\Gamma_l$ is then free, so you spend it on output match to recover the gain you can still get. Conjugate-matching the output maximizes the transducer gain given the chosen $\Gamma_s$ (this is exactly $G_A$), minimizes output VSWR, and is the only remaining degree of freedom.$\Gamma_l$ はまだ自由に使えるので、これを出力整合に充てて、なお得られる利得を回収する。出力を共役整合すると、選んだ $\Gamma_s$ のもとで変換利得が最大となり（これがまさに $G_A$ である）、出力 VSWR も最小になる。しかもこれが残された唯一の自由度である。

你放棄了什麼。由於一般而言 $\Gamma_s \neq \Gamma_{in}^*$，輸入端是失配的。這正是低雜訊放大器設計（低雜訊）或受限增益設計（指定 $G_A$）所付出的代價。輸入失配可由輸入匹配網路的拓樸吸收，或視為雜訊／增益取捨的一部分而接受。What you give up. Because $\Gamma_s \neq \Gamma_{in}^*$ in general, the input is mismatched. That is the price of LNA design (low noise) or constrained-gain design (specified $G_A$). The input mismatch is absorbed by the input matching network's topology, or accepted as part of the noise/gain trade.その代償。一般に $\Gamma_s \neq \Gamma_{in}^*$ であるため、入力側は不整合になる。これが LNA 設計（低雑音）や利得指定設計（指定 $G_A$）で支払う代価である。入力の不整合は入力整合回路のトポロジーで吸収するか、雑音と利得のトレードオフの一部として受け入れる。

穩定性的注意事項。在確定採用 $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ 之前，須確認 $|\Gamma_{out}| < 1$。若元件僅為條件穩定，而你的 $\Gamma_s$ 又落在不穩定區域，$\Gamma_{out}$ 可能超過 1，此時並不存在被動的共軛負載 — 你必須移動 $\Gamma_s$ 或加入損耗。Stability caveat. Before committing to $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$, check that $|\Gamma_{out}| < 1$. If the device is only conditionally stable and your $\Gamma_s$ sits in an unstable region, $\Gamma_{out}$ can exceed 1 and a passive conjugate load won't exist — you have to move $\Gamma_s$ or add loss.安定性に関する注意。$\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ を採用すると決める前に、$|\Gamma_{out}| < 1$ を確認すること。素子が条件付き安定にすぎず、選んだ $\Gamma_s$ が不安定領域にある場合、$\Gamma_{out}$ は 1 を超え得る。そのときは受動的な共役負荷が存在しないので、$\Gamma_s$ を移すか損失を加える必要がある。

3.1.5 增益圓公式總整理3.1.5 Summary of Gain Circle Formulas3.1.5 利得円の公式まとめ

	單向化（$S_{12}=0$）Unilateral ($S_{12}=0$)単向化（$S_{12}=0$）	雙向（$S_{12}\neq 0$）Bilateral ($S_{12}\neq 0$)双方向（$S_{12}\neq 0$）
輸入圓的圓心Input circle center入力側の円の中心	$\frac{g_S S_{11}^*}{1-(1-g_S)\|S_{11}\|^2}$	$\frac{g_A C_1^*}{1+g_A(\|S_{11}\|^2-\|\Delta\|^2)}$
輸入圓的半徑Input circle radius入力側の円の半径	$\frac{\sqrt{1-g_S}(1-\|S_{11}\|^2)}{1-(1-g_S)\|S_{11}\|^2}$	$\frac{\sqrt{1-2k\|S_{12}S_{21}\|g_A+\|S_{12}S_{21}\|^2g_A^2}}{\|1+g_A(\|S_{11}\|^2-\|\Delta\|^2)\|}$
輸出圓的圓心Output circle center出力側の円の中心	$\frac{g_L S_{22}^*}{1-(1-g_L)\|S_{22}\|^2}$	$\frac{g_P C_2^*}{1+g_P(\|S_{22}\|^2-\|\Delta\|^2)}$
輸出圓的半徑Output circle radius出力側の円の半径	$\frac{\sqrt{1-g_L}(1-\|S_{22}\|^2)}{1-(1-g_L)\|S_{22}\|^2}$	$\frac{\sqrt{1-2k\|S_{12}S_{21}\|g_P+\|S_{12}S_{21}\|^2g_P^2}}{\|1+g_P(\|S_{22}\|^2-\|\Delta\|^2)\|}$
最大增益Max gain最大利得	$G_{S,\max}\cdot\|S_{21}\|^2\cdot G_{L,\max}$	$\frac{\|S_{21}\|}{\|S_{12}\|}(k-\sqrt{k^2-1})$
$C_1$	—	$S_{11} - \Delta\,S_{22}^*$
$C_2$	—	$S_{22} - \Delta\,S_{11}^*$
$\Delta$	$S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}$
這些圓的公式是怎麼推導出來的？（點擊展開）How are these circle formulas derived? (click to expand)これらの円の公式はどう導かれるのか？（クリックで展開）一般原理。增益公式是 $\Gamma$ 的雙線性（Möbius）函數。雙線性變換把圓映射成圓，因此任何等增益等高線在史密斯圖上自然都是圓。General principle. The gain formula is a bilinear (Möbius) function of $\Gamma$. Bilinear transforms map circles to circles, so any constant-gain contour is automatically a circle on the Smith chart.一般原理。利得の式は $\Gamma$ の双一次（メビウス）関数である。双一次変換は円を円に写すので、等利得の等高線はスミスチャート上で自動的に円になる。單向化 — $G_S$ 圓的推導。由下式出發：Unilateral — $G_S$ circle derivation. Start from:単向化 — $G_S$ 円の導出。次の式から出発する： $$G_S = \frac{1-\|\Gamma_s\|^2}{\|1-S_{11}\Gamma_s\|^2}$$ 正規化 $g_S = G_S(1-\|S_{11}\|^2)$，令 $g_S = \text{const}$：Normalize $g_S = G_S(1-\|S_{11}\|^2)$, set $g_S = \text{const}$:$g_S = G_S(1-\|S_{11}\|^2)$ と正規化し、$g_S = \text{const}$ とおく： $$g_S\,\|1-S_{11}\Gamma_s\|^2 \;=\; (1-\|\Gamma_s\|^2)(1-\|S_{11}\|^2)$$ 展開後整理 $\|\Gamma_s\|^2$ 與 $\mathrm{Re}\{S_{11}\Gamma_s\}$ 的項，同除以 $[1-(1-g_S)\|S_{11}\|^2]$ 再配方 $\Rightarrow$ 即可直接讀出 $C_S$ 與 $R_S$。$R_S^2$ 的分子可因式分解為 $(1-g_S)(1-\|S_{11}\|^2)^2$，於是 $R_S = \sqrt{1-g_S}(1-\|S_{11}\|^2)\,/\,[1-(1-g_S)\|S_{11}\|^2]$。Expand, collect $\|\Gamma_s\|^2$ and $\mathrm{Re}\{S_{11}\Gamma_s\}$ terms, divide through by $[1-(1-g_S)\|S_{11}\|^2]$, complete the square $\Rightarrow$ reads off $C_S$ and $R_S$ directly. The numerator of $R_S^2$ factors as $(1-g_S)(1-\|S_{11}\|^2)^2$, giving $R_S = \sqrt{1-g_S}(1-\|S_{11}\|^2)\,/\,[1-(1-g_S)\|S_{11}\|^2]$.展開して $\|\Gamma_s\|^2$ と $\mathrm{Re}\{S_{11}\Gamma_s\}$ の項をまとめ、$[1-(1-g_S)\|S_{11}\|^2]$ で割ってから平方完成すると $\Rightarrow$ $C_S$ と $R_S$ がそのまま読み取れる。$R_S^2$ の分子は $(1-g_S)(1-\|S_{11}\|^2)^2$ と因数分解でき、$R_S = \sqrt{1-g_S}(1-\|S_{11}\|^2)\,/\,[1-(1-g_S)\|S_{11}\|^2]$ となる。雙向 — $G_P$ 圓的推導。由操作功率增益出發並代入 $\Gamma_{in}$。關鍵恆等式為：Bilateral — $G_P$ circle derivation. Start from the operating power gain and substitute $\Gamma_{in}$. The key identity:双方向 — $G_P$ 円の導出。動作電力利得から出発し、$\Gamma_{in}$ を代入する。鍵となる恒等式は： $$1-\|\Gamma_{in}\|^2 = \frac{\|1-S_{22}\Gamma_l\|^2 - \|S_{11}-\Delta\Gamma_l\|^2}{\|1-S_{22}\Gamma_l\|^2}$$ 可消去 $\|1-S_{22}\Gamma_l\|^2$，把 $G_P$ 化簡為：cancels $\|1-S_{22}\Gamma_l\|^2$, simplifying $G_P$ to:これにより $\|1-S_{22}\Gamma_l\|^2$ が約分され、$G_P$ は次のように簡単になる： $$G_P = \frac{\|S_{21}\|^2(1-\|\Gamma_l\|^2)}{\|1-S_{22}\Gamma_l\|^2 - \|S_{11}-\Delta\Gamma_l\|^2}$$ 正規化 $g_P = G_P/\|S_{21}\|^2$，令 $g_P = \text{const}$，展開整理 $\Rightarrow$ 得到 $\Gamma_l$ 平面上圓心 $C_L$、半徑 $R_L$ 的圓。$R_L$ 中會出現穩定因數 $k$，是因為判別式可用 $1-\|S_{11}\|^2-\|S_{22}\|^2+\|\Delta\|^2 = 2k\|S_{12}S_{21}\|$ 化簡。雙向輸入（$G_A$）圓的形式完全相同，只需把 $1\leftrightarrow 2$ 對調。Normalize $g_P = G_P/\|S_{21}\|^2$, set $g_P = \text{const}$, expand and collect $\Rightarrow$ circle in $\Gamma_l$ plane with center $C_L$ and radius $R_L$. The stability factor $k$ appears in $R_L$ because the discriminant simplifies using $1-\|S_{11}\|^2-\|S_{22}\|^2+\|\Delta\|^2 = 2k\|S_{12}S_{21}\|$. The bilateral input ($G_A$) circle is identical with $1\leftrightarrow 2$.$g_P = G_P/\|S_{21}\|^2$ と正規化し、$g_P = \text{const}$ とおいて展開・整理すると $\Rightarrow$ $\Gamma_l$ 平面上に中心 $C_L$、半径 $R_L$ の円が得られる。$R_L$ に安定係数 $k$ が現れるのは、判別式が $1-\|S_{11}\|^2-\|S_{22}\|^2+\|\Delta\|^2 = 2k\|S_{12}S_{21}\|$ で簡単になるからである。双方向の入力側（$G_A$）の円も、$1\leftrightarrow 2$ を入れ替えるだけで同じ形になる。

3.1.6 互動：史密斯圖上的等增益圓3.1.6 Interactive: Constant Gain Circles on Smith Chart3.1.6 インタラクティブ：スミスチャート上の等利得円

版本 1 — 單向化（$S_{12} \approx 0$）：彼此獨立的 $G_S$ 與 $G_L$ 圓Version 1 — Unilateral ($S_{12} \approx 0$): independent $G_S$ and $G_L$ circlesバージョン 1 — 単向化（$S_{12} \approx 0$）：独立した $G_S$ 円と $G_L$ 円

假設元件的反向增益為零，因此兩埠彼此解耦。訊號源側增益 $G_S$ 只取決於 $S_{11}$ 與所選的 $\Gamma_s$；負載側增益 $G_L$ 只取決於 $S_{22}$ 與 $\Gamma_l$。各圓心都落在自原點通過 $S_{11}^*$（或 $S_{22}^*$）的射線上。Assumes the device has zero reverse gain so the two ports decouple. The source-side gain $G_S$ depends only on $S_{11}$ and the chosen $\Gamma_s$; the load-side gain $G_L$ depends only on $S_{22}$ and $\Gamma_l$. Centers sit on the ray from origin through $S_{11}^*$ (or $S_{22}^*$).素子の逆方向利得がゼロで、両ポートが分離されていると仮定する。電源側の利得 $G_S$ は $S_{11}$ と選んだ $\Gamma_s$ だけで決まり、負荷側の利得 $G_L$ は $S_{22}$ と $\Gamma_l$ だけで決まる。中心はいずれも原点から $S_{11}^*$（あるいは $S_{22}^*$）へ向かう半直線上に並ぶ。

$|S_{11}|$: 0.75

$\angle S_{11}$ (°): -120

$|S_{22}|$: 0.60

$\angle S_{22}$ (°): -70

$|S_{21}|$: 2.50

$G_S$ 目標 (dB)：$G_S$ target (dB):$G_S$ 目標 (dB)： 2.0

$G_L$ 目標 (dB)：$G_L$ target (dB):$G_L$ 目標 (dB)： 1.0

$\Gamma_s$ 平面（紅） / $\Gamma_l$ 平面（藍）$\Gamma_s$ plane (red) / $\Gamma_l$ plane (blue)$\Gamma_s$ 平面（赤） / $\Gamma_l$ 平面（青）

版本 2 — 雙向，完整雙平面檢視（$\Gamma_s$ 平面上的 $G_A$ & $\Gamma_l$ 平面上的 $G_P$）Version 2 — Bilateral, full dual-plane view ($G_A$ in $\Gamma_s$ plane & $G_P$ in $\Gamma_l$ plane)バージョン 2 — 双方向、2 平面同時表示（$\Gamma_s$ 平面の $G_A$ & $\Gamma_l$ 平面の $G_P$）

並排的兩張史密斯圖同時顯示兩組雙向增益圓。左：$\Gamma_s$ 平面上的等可用功率增益 $G_A$，圓心為 $C_S$、半徑為 $R_S$。右：$\Gamma_l$ 平面上的等操作功率增益 $G_P$，圓心為 $C_L$、半徑為 $R_L$。當 $K > 1$ 時，會標出同時共軛匹配點 $\Gamma_{Ms}$ 與 $\Gamma_{Ml}$（兩圓在 $G_{T,\max}$ 處各自退化成一點之處）。穩定圓以灰色虛線表示。

Side-by-side Smith charts show both bilateral gain circles simultaneously. Left: constant available power gain $G_A$ in the $\Gamma_s$ plane, centered around $C_S$ with radius $R_S$. Right: constant operating power gain $G_P$ in the $\Gamma_l$ plane, centered around $C_L$ with radius $R_L$. The simultaneous-conjugate-match points $\Gamma_{Ms}$ and $\Gamma_{Ml}$ (where both circles collapse to a point at $G_{T,\max}$) are marked when $K > 1$. Stability circles are shown as gray dashed.

2 つのスミスチャートを並べ、双方向の利得円を同時に表示する。左：$\Gamma_s$ 平面における等有能電力利得 $G_A$（中心 $C_S$、半径 $R_S$）。右：$\Gamma_l$ 平面における等動作電力利得 $G_P$（中心 $C_L$、半径 $R_L$）。$K > 1$ のときは、同時共役整合点 $\Gamma_{Ms}$ と $\Gamma_{Ml}$（$G_{T,\max}$ で両方の円が 1 点に縮退する位置）が示される。安定円は灰色の破線で表示される。

$|S_{11}|$: 0.75

$\angle S_{11}$ (°): -120

$|S_{22}|$: 0.60

$\angle S_{22}$ (°): -70

$|S_{21}|$: 2.50

$\angle S_{21}$ (°): 60

$|S_{12}|$: 0.050

$\angle S_{12}$ (°): 90

$G_A$ 目標 (dB)：$G_A$ target (dB):$G_A$ 目標 (dB)： 8.0

$G_P$ 目標 (dB)：$G_P$ target (dB):$G_P$ 目標 (dB)： 8.0

$\Gamma_s$ 平面 — $G_A$ 圓$\Gamma_s$ plane — $G_A$ circle$\Gamma_s$ 平面 — $G_A$ 円

$\Gamma_l$ 平面 — $G_P$ 圓$\Gamma_l$ plane — $G_P$ circle$\Gamma_l$ 平面 — $G_P$ 円

快速比較 — 單向化 vs 雙向Quick comparison — unilateral vs bilateral早見比較 — 単向化と双方向

項目Aspect項目	單向化（$S_{12}\!=\!0$）Unilateral ($S_{12}\!=\!0$)単向化（$S_{12}\!=\!0$）	雙向（$S_{12}\!\ne\!0$）Bilateral ($S_{12}\!\ne\!0$)双方向（$S_{12}\!\ne\!0$）
兩埠耦合Port couplingポート間の結合	獨立 — $\Gamma_{in}=S_{11}$Independent — $\Gamma_{in}=S_{11}$独立 — $\Gamma_{in}=S_{11}$	耦合 — $\Gamma_{in}=S_{11}+\dfrac{S_{12}S_{21}\Gamma_l}{1-S_{22}\Gamma_l}$Coupled — $\Gamma_{in}=S_{11}+\dfrac{S_{12}S_{21}\Gamma_l}{1-S_{22}\Gamma_l}$結合あり — $\Gamma_{in}=S_{11}+\dfrac{S_{12}S_{21}\Gamma_l}{1-S_{22}\Gamma_l}$
設計策略Design strategy設計方針	分別以 $\Gamma_s$ 對 $S_{11}^$、$\Gamma_l$ 對 $S_{22}^$ 各自匹配Match $\Gamma_s$ vs $S_{11}^$ and $\Gamma_l$ vs $S_{22}^$ separately$\Gamma_s$ を $S_{11}^$ に、$\Gamma_l$ を $S_{22}^$ に別々に整合する	聯立求解 $\Gamma_{Ms}$、$\Gamma_{Ml}$Solve simultaneously for $\Gamma_{Ms}$, $\Gamma_{Ml}$$\Gamma_{Ms}$、$\Gamma_{Ml}$ を連立して解く
增益圓（輸入）Gain circle (input)利得円（入力側）	以 $S_{11}^$ 為中心的等 $G_S$ 圓Constant $G_S$ around $S_{11}^$$S_{11}^*$ を中心とする等 $G_S$ 円	以 $C_1^* / D_1$ 形式為中心的等可用增益 $G_A$ 圓Constant available gain $G_A$ around $C_1^* / D_1$-style center$C_1^* / D_1$ 形の中心をもつ等有能利得 $G_A$ 円
增益圓（輸出）Gain circle (output)利得円（出力側）	以 $S_{22}^$ 為中心的等 $G_L$ 圓Constant $G_L$ around $S_{22}^$$S_{22}^*$ を中心とする等 $G_L$ 円	以 $C_2^$ 形式為中心的等操作增益 $G_P$ 圓（本互動元件）Constant operating gain $G_P$ around $C_2^$-style center (this widget)$C_2^*$ 形の中心をもつ等動作利得 $G_P$ 円（このウィジェット）
最大增益（線性值）Max gain (linear)最大利得（真数）	$G_{TU,\max}=\dfrac{\|S_{21}\|^2}{(1-\|S_{11}\|^2)(1-\|S_{22}\|^2)}$	$G_{T,\max}=\dfrac{\|S_{21}\|}{\|S_{12}\|}\!\bigl(K-\sqrt{K^2-1}\bigr)$
適用時機When valid有効となる条件	$\|S_{12}\| \to 0$，或單向化品質因數 $U \ll 1$$\|S_{12}\| \to 0$ or Unilateral Figure of Merit $U \ll 1$$\|S_{12}\| \to 0$、または単向化性能指数 $U \ll 1$	永遠適用（$S_{12}$ 不可忽略時必須採用）Always (must use this when $S_{12}$ is significant)常に有効（$S_{12}$ が無視できないときは必ずこちら）
穩定性考量Stability concern安定性への配慮	無（只要 $\|S_{11}\|, \|S_{22}\| < 1$ 便本質穩定）None (inherently stable if $\|S_{11}\|, \|S_{22}\| < 1$)不要（$\|S_{11}\|, \|S_{22}\| < 1$ なら本質的に安定）	同時匹配需要 $K>1$、$\|\Delta\|<1$Requires $K>1$, $\|\Delta\|<1$ for simultaneous match同時整合には $K>1$、$\|\Delta\|<1$ が必要

3.1.7 互動：如何在史密斯圖上選擇 $\Gamma_s$3.1.7 Interactive: How to choose $\Gamma_s$ on the Smith chart3.1.7 インタラクティブ：スミスチャート上での $\Gamma_s$ の選び方

教科書上 $\Gamma_s$ 的三種選法Three textbook choices for $\Gamma_s$教科書的な $\Gamma_s$ の 3 つの選び方

共軛匹配Conjugate match共役整合 — $\Gamma_s = S_{11}^*$ ⇒ 最大增益（$G_{S,\max}$）。代價：雜訊指數落在哪就是哪，且頻寬最窄。 — $\Gamma_s = S_{11}^*$ ⇒ maximum gain ($G_{S,\max}$). Trade-off: the noise figure is whatever it happens to land on; bandwidth is narrowest. — $\Gamma_s = S_{11}^*$ ⇒ 最大利得（$G_{S,\max}$）。トレードオフ：雑音指数は成り行き任せになり、帯域幅は最も狭くなる。
雜訊匹配 — $\Gamma_s = \Gamma_{opt}$ ⇒ 雜訊指數最小 $F_{\min}$。代價：增益降到 $G_{S,\max}$ 以下。Noise match — $\Gamma_s = \Gamma_{opt}$ ⇒ minimum noise figure $F_{\min}$. Trade-off: gain drops below $G_{S,\max}$.雑音整合 — $\Gamma_s = \Gamma_{opt}$ ⇒ 雑音指数は最小の $F_{\min}$ になる。代償として利得は $G_{S,\max}$ を下回る。
在圓上折衷 — 選一個同時落在可接受的等 $G_S$ 圓與可接受的等 $F$ 圓上的 $\Gamma_s$。愈靠近圖心，頻寬愈寬、匹配網路也愈容易做。Compromise on a circle — pick a $\Gamma_s$ that sits on both an acceptable constant-$G_S$ circle and an acceptable constant-$F$ circle. The closer to the chart center, the more bandwidth and the easier the matching network.円上での妥協点 — 許容できる等 $G_S$ 円と等 $F$ 円の両方に乗る $\Gamma_s$ を選ぶ。チャート中心に近いほど帯域幅は広く、整合回路も作りやすい。

請使用下方的互動元件：在圖上拖曳橘色的 $\Gamma_s$ 標記，或點擊預設按鈕跳到某個策略。讀數會顯示 $G_S$、$F$、正規化阻抗 $z_s$，以及 $Z_0=50\,\Omega$ 下反正規化的 $Z_s$。Use the widget below: drag the orange $\Gamma_s$ marker around the chart, or click the preset buttons to jump to a strategy. The readouts show $G_S$, $F$, the normalized impedance $z_s$, and the un-normalized $Z_s$ at $Z_0=50\,\Omega$.下のウィジェットを使ってみよう：チャート上でオレンジの $\Gamma_s$ マーカーをドラッグするか、プリセットボタンで各戦略に飛べる。読み値には $G_S$、$F$、正規化インピーダンス $z_s$、および $Z_0=50\,\Omega$ で正規化を戻した $Z_s$ が表示される。

$\Gamma_s = (Z_s - Z_0)/(Z_s + Z_0)$ — 但要看清楚是哪一個 $Z$$\Gamma_s = (Z_s - Z_0)/(Z_s + Z_0)$ — but watch which $Z$$\Gamma_s = (Z_s - Z_0)/(Z_s + Z_0)$ — ただしどの $Z$ なのかに注意

公式形式相同，$Z$ 卻不同 — 這正是每一頁放大器設計中都會遇到的兩個反射係數之間唯一的區別：Same formula shape, different $Z$ — that's the only thing that distinguishes the two reflection coefficients you'll see on every amplifier-design page:式の形は同じで $Z$ だけが違う — 増幅器設計のどのページにも出てくる 2 つの反射係数を分けるのは、その一点だけである：

符號Symbol記号	公式Formula式	$Z$ 指的是什麼What $Z$ is$Z$ が何を指すか
$\Gamma_s$ — 訊號源側$\Gamma_s$ — source-side$\Gamma_s$ — 電源側	$\dfrac{Z_s - Z_0}{Z_s + Z_0}$	訊號源阻抗，自電晶體輸入面往輸入匹配網路回看Source impedance, looking back into the input matching network from the transistor input plane電源側インピーダンス。トランジスタ入力面から入力整合回路を見返したもの
$\Gamma_{in}$ — 看進元件$\Gamma_{in}$ — into the device$\Gamma_{in}$ — 素子を見込んだ側	$\dfrac{Z_{in} - Z_0}{Z_{in} + Z_0}$	電晶體本身的輸入阻抗Input impedance of the transistor itselfトランジスタ自身の入力インピーダンス

兩者各自的位置。它們位於同一個平面 — 電晶體輸入埠 — 的兩側：Where each lives. They sit on opposite sides of the same plane — the transistor's input port:それぞれの位置。両者は同じ面、すなわちトランジスタの入力ポートを挟んで向かい合っている：


   訊號源      [輸入匹配            電晶體           [輸出匹配             負載
              網路]                (S 參數)         網路]
                              ←── Γ_s 在此              Γ_L 在此 ──→
                              (往訊號源側              (往負載側
                               看回去)                  看過去)

                              Γ_in 在此 ──→            ←── Γ_out 在此
                              (看進電晶體               (看進電晶體
                               輸入端)                   輸出端)

   Source     [Input matching      Transistor       [Output matching      Load
              network]              (S-params)       network]
                              ←── Γ_s here              Γ_L here ──→
                              (looking back            (looking forward
                              into source side)        into load side)

                              Γ_in here ──→            ←── Γ_out here
                              (looking into            (looking into
                              transistor input)        transistor output)

   電源        [入力整合            トランジスタ     [出力整合             負荷
              回路]                (S パラメータ)   回路]
                              ←── ここが Γ_s            ここが Γ_L ──→
                              (電源側を                (負荷側を
                               見返す)                  見込む)

                              ここが Γ_in ──→          ←── ここが Γ_out
                              (トランジスタ            (トランジスタ
                               入力を見込む)            出力を見込む)

對非單向的電晶體而言，$\Gamma_{in}$ 取決於你在輸出端接了什麼：For a non-unilateral transistor, $\Gamma_{in}$ depends on what you put on the output:単向性でないトランジスタでは、$\Gamma_{in}$ は出力側に何を接続するかに依存する：

$$\Gamma_{in} = S_{11} + \frac{S_{12}\,S_{21}\,\Gamma_L}{1 - S_{22}\,\Gamma_L}$$

對單向元件（$S_{12}\approx 0$）而言：$\Gamma_{in} \approx S_{11}$。For unilateral devices ($S_{12}\approx 0$): $\Gamma_{in} \approx S_{11}$.単向性の素子（$S_{12}\approx 0$）では $\Gamma_{in} \approx S_{11}$ となる。

輸入面上的共軛匹配條件（最大功率傳輸）：Conjugate-match condition at the input plane (max power transfer):入力面における共役整合条件（最大電力伝送）：

$$\boxed{\;\Gamma_{in} = \Gamma_s^{*}\;}$$

因此，一旦由元件求得 $\Gamma_{in}$，就把 $\Gamma_s$ 設為它的複數共軛。輸出端同理：$\Gamma_{out} = \Gamma_L^{*}$。so once you know $\Gamma_{in}$ from the device, you set $\Gamma_s$ to its complex conjugate. Same logic on the output: $\Gamma_{out} = \Gamma_L^{*}$.したがって素子から $\Gamma_{in}$ が分かれば、$\Gamma_s$ をその複素共役に設定すればよい。出力側も同様に $\Gamma_{out} = \Gamma_L^{*}$ である。

元件參數Device parameters素子パラメータ

$|S_{11}|$: 0.60 $\angle S_{11}$ (°): -60

雜訊參數Noise parameters雑音パラメータ

$|\Gamma_{opt}|$: 0.62 $\angle \Gamma_{opt}$ (°): 100 $F_{\min}$ (dB): 1.6 $R_n / Z_0$: 0.40

各項參數的意義What each parameter means各パラメータの意味

$|S_{11}|$ — 在輸出端以 $Z_0$ 終端的條件下量測到的輸入反射係數大小。$|S_{11}|$ — magnitude of the input reflection coefficient measured with the output terminated in $Z_0$.$|S_{11}|$ — 出力を $Z_0$ で終端して測定した入力反射係数の大きさ。

範圍 $0$ – $1$。$0$ = 元件輸入完全匹配（$Z_{in}=Z_0$）；$1$ = 全反射。Range $0$ – $1$. $0$ = device input is perfectly matched ($Z_{in}=Z_0$); $1$ = total reflection.範囲は $0$ – $1$。$0$ = 素子入力が完全に整合している（$Z_{in}=Z_0$）、$1$ = 全反射。
低雜訊放大器在設計頻率下的典型值：$0.4$ – $0.8$。Typical LNA at its design frequency: $0.4$ – $0.8$.LNA の設計周波数における典型値：$0.4$ – $0.8$。
例：砷化鎵 MESFET 於 4 GHz，$|S_{11}| = 0.60$。Example: GaAs MESFET at 4 GHz, $|S_{11}| = 0.60$.例：GaAs MESFET、4 GHz において $|S_{11}| = 0.60$。

$\angle S_{11}$ (°) — 輸入反射的相位。$\angle S_{11}$ (°) — phase of the input reflection.$\angle S_{11}$ (°) — 入力反射の位相。

範圍 $-180°$ 到 $+180°$。與 $|S_{11}|$ 一起決定 $S_{11}$ 在史密斯圖上的位置。Range $-180°$ to $+180°$. Together with $|S_{11}|$ it locates $S_{11}$ on the Smith chart.範囲は $-180°$ から $+180°$。$|S_{11}|$ と合わせて $S_{11}$ のスミスチャート上の位置が決まる。
共軛匹配點 $S_{11}^*$ 的大小相同，但相位符號相反。The conjugate-match point $S_{11}^*$ has the same magnitude but the opposite-sign phase.共役整合点 $S_{11}^*$ は大きさが同じで、位相の符号が逆になる。
例：$S_{11} = 0.60\angle{-60°}$ ⇒ $S_{11}^* = 0.60\angle{+60°}$（對實軸鏡射）。Example: $S_{11} = 0.60\angle{-60°}$ ⇒ $S_{11}^* = 0.60\angle{+60°}$ (mirror across the real axis).例：$S_{11} = 0.60\angle{-60°}$ ⇒ $S_{11}^* = 0.60\angle{+60°}$（実軸に関する鏡像）。

$|\Gamma_{opt}|$ — 使雜訊指數最小的訊號源反射係數大小。$|\Gamma_{opt}|$ — magnitude of the source reflection that minimizes the noise figure.$|\Gamma_{opt}|$ — 雑音指数を最小にする電源側反射係数の大きさ。

為規格書上的數值。一般而言 $\Gamma_{opt} \neq S_{11}^*$，因此雜訊匹配點與增益匹配點並不相同 — 這正是增益與雜訊指數取捨存在的全部原因。Datasheet value. Generally $\Gamma_{opt} \neq S_{11}^*$, so the noise-match point and the gain-match point are different — that is the whole reason gain–NF trade-offs exist.データシートに記載される値。一般に $\Gamma_{opt} \neq S_{11}^*$ なので、雑音整合点と利得整合点は一致しない。利得と雑音指数のトレードオフが生じる理由はまさにここにある。
例：同一顆 MESFET 的 $|\Gamma_{opt}| = 0.62$ — 此處大小與 $|S_{11}|$ 相近，但相位不同。Example: The same MESFET has $|\Gamma_{opt}| = 0.62$ — close in magnitude to $|S_{11}|$ here, but different in phase.例：同じ MESFET では $|\Gamma_{opt}| = 0.62$ — ここでは大きさは $|S_{11}|$ に近いが、位相が異なる。

$\angle \Gamma_{opt}$ (°) — $\Gamma_{opt}$ 的相位。$\angle \Gamma_{opt}$ (°) — phase of $\Gamma_{opt}$.$\angle \Gamma_{opt}$ (°) — $\Gamma_{opt}$ の位相。

決定綠點（$\Gamma_{opt}$）在史密斯圖上的位置。Locates the green dot ($\Gamma_{opt}$) on the Smith chart.緑の点（$\Gamma_{opt}$）のスミスチャート上の位置を決める。
例：$\Gamma_{opt} = 0.62\angle{+100°}$ — 位於圖的左上方，與 $S_{11}^* = 0.60\angle{+60°}$ 明顯分開。Example: $\Gamma_{opt} = 0.62\angle{+100°}$ — sits in the upper-left of the chart, well separated from $S_{11}^* = 0.60\angle{+60°}$.例：$\Gamma_{opt} = 0.62\angle{+100°}$ — チャート左上に位置し、$S_{11}^* = 0.60\angle{+60°}$ とははっきり離れている。

$F_{\min}$ (dB) — 元件所能達到的最小雜訊指數，在 $\Gamma_s = \Gamma_{opt}$ 時取得。$F_{\min}$ (dB) — the minimum noise figure the device can achieve, attained when $\Gamma_s = \Gamma_{opt}$.$F_{\min}$ (dB) — 素子が達成しうる最小の雑音指数。$\Gamma_s = \Gamma_{opt}$ のときに得られる。

為規格書上的數值。決定本互動元件中藍色 $F$ 讀數的下限。Datasheet value. Sets the floor of the blue $F$ readout in this widget.データシートの値。このウィジェットの青い $F$ の読み値の下限を決める。
例：$F_{\min} = 1.6$ dB 表示此元件最好的雜訊指數為 1.6 dB；任何其他 $\Gamma_s$ 都會得到 $F > 1.6$ dB。Example: $F_{\min} = 1.6$ dB means the best possible NF of this device is 1.6 dB; any other $\Gamma_s$ gives $F > 1.6$ dB.例：$F_{\min} = 1.6$ dB は、この素子で得られる最良の NF が 1.6 dB であることを意味する。他のどの $\Gamma_s$ でも $F > 1.6$ dB となる。

$R_n / Z_0$ — 正規化雜訊電阻，代表雜訊指數對 $\Gamma_s$ 之關係的「陡峭程度」。$R_n / Z_0$ — normalized noise resistance, the "stiffness" of the noise-figure vs. $\Gamma_s$ relationship.$R_n / Z_0$ — 正規化した雑音抵抗で、雑音指数が $\Gamma_s$ にどれだけ敏感かを表す。

回顧 $F = F_{\min} + \dfrac{4\,r_n\,|\Gamma_s - \Gamma_{opt}|^2}{(1-|\Gamma_s|^2)\,|1+\Gamma_{opt}|^2}$，其中 $r_n = R_n/Z_0$。Recall $F = F_{\min} + \dfrac{4\,r_n\,|\Gamma_s - \Gamma_{opt}|^2}{(1-|\Gamma_s|^2)\,|1+\Gamma_{opt}|^2}$ with $r_n = R_n/Z_0$.$F = F_{\min} + \dfrac{4\,r_n\,|\Gamma_s - \Gamma_{opt}|^2}{(1-|\Gamma_s|^2)\,|1+\Gamma_{opt}|^2}$（$r_n = R_n/Z_0$）を思い出そう。
$r_n$ 大（≳ 0.5）→ $\Gamma_s$ 一離開 $\Gamma_{opt}$，雜訊指數就迅速上升。互動元件中的等 $F$ 圓會急遽縮小。這種元件對雜訊匹配「很挑剔」。Large $r_n$ (≳ 0.5) → noise figure rises quickly as $\Gamma_s$ moves away from $\Gamma_{opt}$. The constant-$F$ circles in the widget shrink rapidly. Device is "fussy" about noise matching.$r_n$ が大きい（≳ 0.5）→ $\Gamma_s$ が $\Gamma_{opt}$ から離れると雑音指数が急激に悪化する。ウィジェット中の等 $F$ 円は急速に縮む。雑音整合に「うるさい」素子である。
$r_n$ 小（≲ 0.1）→ 雜訊指數對失配不敏感。等 $F$ 圓會脹得很大。即使匹配草率，也很容易接近 $F_{\min}$。Small $r_n$ (≲ 0.1) → noise figure is insensitive to mismatch. Constant-$F$ circles balloon out. Easy to get near $F_{\min}$ with a sloppy match.$r_n$ が小さい（≲ 0.1）→ 雑音指数は不整合に鈍感である。等 $F$ 円は大きく膨らみ、粗い整合でも $F_{\min}$ に近づけられる。
例：$R_n/Z_0 = 0.40$ 表示 $R_n = 0.40 \times 50 = 20\,\Omega$。試著在互動元件中把它拉到 $0.05$ 與 $1.0$ 比較看看 — 觀察藍圓如何劇烈脹大或縮小。Example: $R_n/Z_0 = 0.40$ means $R_n = 0.40 \times 50 = 20\,\Omega$. Try sliding it to $0.05$ vs $1.0$ in the widget — watch the blue circle expand or shrink dramatically.例：$R_n/Z_0 = 0.40$ なら $R_n = 0.40 \times 50 = 20\,\Omega$ である。ウィジェットで $0.05$ と $1.0$ に動かして比べてみよう — 青い円が劇的に広がったり縮んだりするのが分かる。

具體的計算範例。Pozar／Misra 的低雜訊放大器設計例採用一顆砷化鎵 MESFET，於 $f=4$ GHz，參數如下：Concrete worked example. The Pozar/Misra LNA-design example uses a single GaAs MESFET at $f=4$ GHz with:具体的な計算例。Pozar／Misra の LNA 設計例では、$f=4$ GHz の GaAs MESFET を 1 個用い、パラメータは次のとおりである：

$S_{11} = 0.60\angle{-60°}, \quad \Gamma_{opt} = 0.62\angle{+100°}, \quad F_{\min}=1.6\text{ dB}, \quad R_n = 20\,\Omega \;(R_n/Z_0=0.40)$

本互動元件中可比較的三個落點：Three landings to compare in this widget:このウィジェットで比較できる 3 つの着地点：

點擊 Click クリック：「共軛匹配」"Conjugate match"「共役整合」 → $\Gamma_s = 0.60\angle{+60°}$、$G_S = G_{S,\max} = 1.94$ dB，但 $F$ 落在哪就是哪（此處常為 $\sim 2.5$ dB 或更差）。 → $\Gamma_s = 0.60\angle{+60°}$, $G_S = G_{S,\max} = 1.94$ dB, but $F$ is whatever it lands on (often $\sim 2.5$ dB or worse here). → $\Gamma_s = 0.60\angle{+60°}$、$G_S = G_{S,\max} = 1.94$ dB。ただし $F$ は成り行き任せで、ここでは $\sim 2.5$ dB 程度かそれ以上に悪化することが多い。
點擊 Click クリック：「雜訊匹配」"Noise match"「雑音整合」 → $\Gamma_s = 0.62\angle{+100°}$、$F = F_{\min} = 1.6$ dB，但 $G_S$ 會低於 $G_{S,\max}$。 → $\Gamma_s = 0.62\angle{+100°}$, $F = F_{\min} = 1.6$ dB, but $G_S$ drops below $G_{S,\max}$. → $\Gamma_s = 0.62\angle{+100°}$、$F = F_{\min} = 1.6$ dB。ただし $G_S$ は $G_{S,\max}$ を下回る。
點擊「$Z_0$ 匹配」 → $\Gamma_s = 0$，不需要輸入匹配網路。實體成本最低；但 $G_S$ 與 $F$ 都不是最佳。Click "$Z_0$ match" → $\Gamma_s = 0$, no input matching network. Cheapest physically; both $G_S$ and $F$ are sub-optimal.「$Z_0$ 整合」をクリック → $\Gamma_s = 0$ となり、入力整合回路が不要になる。物理的には最も安価だが、$G_S$ も $F$ も最適ではない。

如何判讀這張圖。圖心 = $Z_0$（50 Ω，$\Gamma=0$）。橘點是 $S_{11}^*$ — 追求最大增益時 $\Gamma_s$ 應設在此處。綠點是 $\Gamma_{opt}$ — 追求最小雜訊指數時 $\Gamma_s$ 應設在此處。黑圓是通過目前 $\Gamma_s$ 的等 $G_S$ 等高線；藍圓則是等 $F$ 等高線。拖曳黑色的 $\Gamma_s$ 標記，或在圖上任意處點擊，即可移動它。How to read this chart. Center = $Z_0$ (50 Ω, $\Gamma=0$). The orange dot is $S_{11}^*$ — where you'd set $\Gamma_s$ for max gain. The green dot is $\Gamma_{opt}$ — where you'd set $\Gamma_s$ for min noise figure. The black circle is the constant-$G_S$ contour through your current $\Gamma_s$; the blue circle is the constant-$F$ contour. Drag the black $\Gamma_s$ marker, or click anywhere on the chart, to move it.このチャートの読み方。中心 = $Z_0$（50 Ω、$\Gamma=0$）。オレンジの点は $S_{11}^*$ で、最大利得を狙うときに $\Gamma_s$ を置く位置である。緑の点は $\Gamma_{opt}$ で、最小雑音指数を狙うときの $\Gamma_s$ の位置。黒い円は現在の $\Gamma_s$ を通る等 $G_S$ 等高線、青い円は等 $F$ 等高線である。黒い $\Gamma_s$ マーカーをドラッグするか、チャート上の任意の位置をクリックすると動かせる。

3.2 低雜訊放大器設計3.2 Low-Noise Amplifier Design3.2 低雑音増幅器の設計

接收機的第一級主導了整體的雜訊表現（Friis 公式）。一般而言，最小雜訊指數與最大增益無法同時達成 — 必須有所取捨。The first stage of a receiver dominates the overall noise performance (Friis formula). Generally, minimum noise figure and maximum gain cannot be achieved simultaneously — a trade-off is required.受信機の初段が全体の雑音性能を支配する（フリスの公式）。一般に最小雑音指数と最大利得は同時には得られず、トレードオフが必要になる。

3.2.1 二埠放大器的雜訊指數3.2.1 Noise Figure of a Two-Port Amplifier3.2.1 2ポート増幅器の雑音指数

雜訊指數的一般式General Noise Figure Expression雑音指数の一般式 $$F = F_{\min} + \frac{R_n}{G_s}|Y_s - Y_{opt}|^2$$

其中whereここで

參數Parameterパラメータ	意義Meaning意味
$F_{\min}$	最小雜訊指數（在 $Y_s = Y_{opt}$ 時達成）Minimum noise figure (achieved when $Y_s = Y_{opt}$)最小雑音指数（$Y_s = Y_{opt}$ のとき達成される）
$Y_{opt} = G_{opt} + jB_{opt}$	使雜訊指數最小的最佳訊號源導納Optimum source admittance for minimum NF雑音指数を最小にする最適な電源側アドミタンス
$R_n$	等效雜訊電阻（$F$ 對訊號源失配的敏感度）Equivalent noise resistance (sensitivity of $F$ to source mismatch)等価雑音抵抗（電源側の不整合に対する $F$ の感度）
$Y_s = G_s + jB_s$	實際呈現給放大器的訊號源導納Actual source admittance presented to the amplifier実際に増幅器へ提示される電源側アドミタンス

物理意義Physical Meaning物理的な意味

$F_{\min}$ 是所能達到的最佳雜訊指數。$R_n$ 決定當訊號源偏離 $Y_{opt}$ 時 $F$ 惡化的速度。$R_n$ 大 → 對失配極為敏感；$R_n$ 小 → 較為寬容。$F_{\min}$ is the best possible noise figure. $R_n$ controls how fast $F$ degrades as the source deviates from $Y_{opt}$. Large $R_n$ → very sensitive to mismatch. Small $R_n$ → forgiving.$F_{\min}$ は達成しうる最良の雑音指数である。$R_n$ は、電源が $Y_{opt}$ から外れたときに $F$ がどれだけ速く悪化するかを決める。$R_n$ が大きい → 不整合にきわめて敏感。$R_n$ が小さい → 寛容である。

3.2.2 等雜訊指數圓3.2.2 Constant Noise Figure Circles3.2.2 等雑音指数円

改用反射係數的形式。以 $Y_s = \frac{1}{Z_0}\frac{1-\Gamma_s}{1+\Gamma_s}$ 與 $Y_{opt} = \frac{1}{Z_0}\frac{1-\Gamma_{opt}}{1+\Gamma_{opt}}$ 代入：Convert to reflection coefficient form. Using $Y_s = \frac{1}{Z_0}\frac{1-\Gamma_s}{1+\Gamma_s}$ and $Y_{opt} = \frac{1}{Z_0}\frac{1-\Gamma_{opt}}{1+\Gamma_{opt}}$:反射係数の形に書き換える。$Y_s = \frac{1}{Z_0}\frac{1-\Gamma_s}{1+\Gamma_s}$ と $Y_{opt} = \frac{1}{Z_0}\frac{1-\Gamma_{opt}}{1+\Gamma_{opt}}$ を用いると：

$$F(\Gamma_s) = F_{\min} + \frac{4R_n/Z_0 \cdot |\Gamma_s - \Gamma_{opt}|^2}{(1-|\Gamma_s|^2)|1+\Gamma_{opt}|^2}$$

定義雜訊指數參數：Define the noise figure parameter:雑音指数パラメータを定義する：

$$N = \frac{|\Gamma_s - \Gamma_{opt}|^2}{1-|\Gamma_s|^2} = \frac{F - F_{\min}}{4R_n/Z_0}|1+\Gamma_{opt}|^2$$

令 $F = \text{const}$ → $N = \text{const}$ → 在 $\Gamma_s$ 平面上得到一個圓：Setting $F = \text{const}$ → $N = \text{const}$ → circle on $\Gamma_s$ plane:$F = \text{const}$ とおくと $N = \text{const}$ となり、$\Gamma_s$ 平面上に円が得られる：

等雜訊指數圓Constant Noise Figure Circle等雑音指数円 $$\bbox[#ffcccc,3px]{C_F = \frac{\Gamma_{opt}}{N+1}, \qquad R_F = \frac{\sqrt{N(N+1-|\Gamma_{opt}|^2)}}{N+1}}$$

雜訊指數圓的性質Properties of NF Circles雑音指数円の性質

當 $F = F_{\min}$：$N = 0$ → $C_F = \Gamma_{opt}$、$R_F = 0$（退化為 $\Gamma_{opt}$ 上的一點）When $F = F_{\min}$: $N = 0$ → $C_F = \Gamma_{opt}$, $R_F = 0$ (point at $\Gamma_{opt}$)$F = F_{\min}$ のとき：$N = 0$ → $C_F = \Gamma_{opt}$、$R_F = 0$（$\Gamma_{opt}$ の 1 点になる）
$F$ 增大時，圓會繞著 $\Gamma_{opt}$ 逐漸變大As $F$ increases, circles grow larger around $\Gamma_{opt}$$F$ が大きくなるにつれ、円は $\Gamma_{opt}$ を囲んで大きくなる
所有圓的圓心都落在自原點到 $\Gamma_{opt}$ 的直線上All circles are centered along the line from origin to $\Gamma_{opt}$すべての円の中心は、原点から $\Gamma_{opt}$ へ向かう直線上に並ぶ

顯示推導Show derivation導出を表示

由 $|\Gamma_s - \Gamma_{opt}|^2 = N(1-|\Gamma_s|^2)$ 展開：From $|\Gamma_s - \Gamma_{opt}|^2 = N(1-|\Gamma_s|^2)$, expand:$|\Gamma_s - \Gamma_{opt}|^2 = N(1-|\Gamma_s|^2)$ を展開すると：

$$|\Gamma_s|^2 - \Gamma_s\Gamma_{opt}^* - \Gamma_s^*\Gamma_{opt} + |\Gamma_{opt}|^2 = N - N|\Gamma_s|^2$$ $$|\Gamma_s|^2(N+1) - \Gamma_s\Gamma_{opt}^* - \Gamma_s^*\Gamma_{opt} = N - |\Gamma_{opt}|^2$$

同除以 $(N+1)$ 後配方：Divide by $(N+1)$ and complete the square:$(N+1)$ で割ってから平方完成する：

$$\left|\Gamma_s - \frac{\Gamma_{opt}}{N+1}\right|^2 = \frac{N(N+1-|\Gamma_{opt}|^2)}{(N+1)^2}$$

3.2.3 增益與雜訊指數的取捨3.2.3 Gain vs. Noise Figure Trade-off3.2.3 利得と雑音指数のトレードオフ

根本的衝突The Fundamental Conflict根本的な対立

最大增益需要 $\Gamma_s = S_{11}^*$（共軛匹配），最小雜訊需要 $\Gamma_s = \Gamma_{opt}$。一般而言 $S_{11}^* \neq \Gamma_{opt}$，兩者無法兼得。設計策略是：把雜訊指數圓與增益圓一起畫出，找出相切點，在可接受的雜訊指數下取得最大增益。Maximum gain needs $\Gamma_s = S_{11}^*$ (conjugate match). Minimum noise needs $\Gamma_s = \Gamma_{opt}$. In general, $S_{11}^* \neq \Gamma_{opt}$, so you can't have both. The design strategy: plot NF circles and gain circles together, find the tangent point that gives acceptable NF with maximum gain.最大利得には $\Gamma_s = S_{11}^*$（共役整合）が、最小雑音には $\Gamma_s = \Gamma_{opt}$ が必要である。一般に $S_{11}^* \neq \Gamma_{opt}$ なので、両立はできない。設計方針は、雑音指数円と利得円を同じチャートに描き、許容できる NF のもとで利得が最大となる接点を見つけることである。

3.2.4 低雜訊放大器設計流程3.2.4 LNA Design Procedure3.2.4 LNA 設計手順

在 $\Gamma_s$ 史密斯圖上畫出目標 $F$ 的等雜訊指數圓Plot constant NF circles for desired $F$ on the $\Gamma_s$ Smith chart$\Gamma_s$ のスミスチャート上に、目標 $F$ の等雑音指数円を描く
在同一張圖上畫出等增益圓（$G_S$ 或 $G_A$）Plot constant gain circles ($G_S$ or $G_A$) on the same chart同じチャート上に等利得円（$G_S$ または $G_A$）を描く
找出目標雜訊指數圓恰好與某個增益圓相切的切點 — 該點在此雜訊指數下給出最大的 $G_S$Find the tangent point where the desired NF circle just touches a gain circle — this gives maximum $G_S$ for that NF目標の雑音指数円が利得円にちょうど接する接点を求める — その NF のもとで $G_S$ が最大となる点である
由切點讀出 $\Gamma_s$Read $\Gamma_s$ from the tangent point接点から $\Gamma_s$ を読み取る
計算 $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ 以達成輸出共軛匹配： $$\Gamma_l = \left(S_{22} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_s}{1-S_{11}\Gamma_s}\right)^*$$
Compute $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ for conjugate output match: $$\Gamma_l = \left(S_{22} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_s}{1-S_{11}\Gamma_s}\right)^*$$
出力を共役整合させるため $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ を計算する： $$\Gamma_l = \left(S_{22} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_s}{1-S_{11}\Gamma_s}\right)^*$$
計算轉換增益 $G_T$Compute the transducer gain $G_T$変換利得 $G_T$ を求める

3.2.5 互動：雜訊指數圓與增益取捨3.2.5 Interactive: NF Circles & Gain Trade-off3.2.5 インタラクティブ：雑音指数円と利得のトレードオフ

$F_{\min}$ (dB): 1.6 $|\Gamma_{opt}|$: 0.62 $\angle\Gamma_{opt}$ (°): 100 $R_n$ (Ω): 20 $|S_{11}|$: 0.60 $\angle S_{11}$ (°): -60 目標 $F$ (dB)：Target $F$ (dB): 目標 $F$ (dB)：2.0

📝 作業 — 低雜訊放大器設計📝 Homework — Low-Noise Amplifier Design📝 演習 — 低雑音増幅器の設計

砷化鎵 MESFET 於 4 GHz：$S_{11}=0.60\angle{-60°}$、$S_{21}=1.9\angle{81°}$、$S_{12}=0.05\angle{26°}$、$S_{22}=0.5\angle{-60°}$GaAs MESFET at 4 GHz: $S_{11}=0.60\angle{-60°}$, $S_{21}=1.9\angle{81°}$, $S_{12}=0.05\angle{26°}$, $S_{22}=0.5\angle{-60°}$4 GHz における GaAs MESFET：$S_{11}=0.60\angle{-60°}$、$S_{21}=1.9\angle{81°}$、$S_{12}=0.05\angle{26°}$、$S_{22}=0.5\angle{-60°}$

雜訊參數：$F_{\min}=1.6$ dB、$\Gamma_{opt}=0.62\angle{100°}$、$R_n=20\,\Omega$Noise parameters: $F_{\min}=1.6$ dB, $\Gamma_{opt}=0.62\angle{100°}$, $R_n=20\,\Omega$雑音パラメータ：$F_{\min}=1.6$ dB、$\Gamma_{opt}=0.62\angle{100°}$、$R_n=20\,\Omega$

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(a) 最小雜訊指數設計：$\Gamma_s = \Gamma_{opt} = 0.62\angle{100°}$(a) Minimum noise figure design: $\Gamma_s = \Gamma_{opt} = 0.62\angle{100°}$(a) 最小雑音指数の設計：$\Gamma_s = \Gamma_{opt} = 0.62\angle{100°}$

$$\Gamma_l = \Gamma_{out}^* = \left(S_{22}+\frac{S_{12}S_{21}\Gamma_s}{1-S_{11}\Gamma_s}\right)^* = 0.526\angle{68°}$$ $$G_T = 5.4 = 7.3\text{ dB}, \quad F = F_{\min} = 1.6\text{ dB}$$

▸ $G_T = 5.4 = 7.3$ dB 是怎麼算出來的 — 逐步說明▸ How $G_T = 5.4 = 7.3$ dB is computed — step by step▸ $G_T = 5.4 = 7.3$ dB の求め方 — 手順を追って

所用公式。輸出端為共軛匹配（$\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$），故轉換增益等於可用增益（雙向的 $G_A$，式 (3.1.4-1)）：Formula used. Output is conjugate matched ($\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$), so transducer gain equals available gain (bilateral $G_A$, eq. (3.1.4-1)):用いる式。出力は共役整合（$\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$）なので、変換利得は有能利得に等しい（双方向の $G_A$、式 (3.1.4-1)）：

$$G_T \;\stackrel{\text{(out conj matched)}}{=}\; G_A \;=\; \frac{|S_{21}|^2\,(1-|\Gamma_s|^2)}{|1 - S_{11}\Gamma_s|^2\,(1-|\Gamma_{out}|^2)}$$

完整的雙向 $G_T$（式 (3.1.3-1)）帶有輸出因子 $\dfrac{1-|\Gamma_l|^2}{|1-\Gamma_{out}\Gamma_l|^2}$；當 $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ 時，它化簡為 $\dfrac{1}{1-|\Gamma_{out}|^2}$。步驟 3 所用的 $\Gamma_{out}$ 公式即耦合方程式 (3.1-1)。下方合理性驗證所用的單向化 $G_{TU,\max}$ 為式 (3.1.2-2)（其中 $G_{S,\max}$、$G_{L,\max}$ 取自式 (3.1.2-1)）。The full bilateral $G_T$ (eq. (3.1.3-1)) has an output factor $\dfrac{1-|\Gamma_l|^2}{|1-\Gamma_{out}\Gamma_l|^2}$; when $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ it collapses to $\dfrac{1}{1-|\Gamma_{out}|^2}$. The $\Gamma_{out}$ formula used in Step 3 is the coupling equation (3.1-1). The unilateral $G_{TU,\max}$ used in the sanity check below is eq. (3.1.2-2) (with $G_{S,\max}$, $G_{L,\max}$ from eq. (3.1.2-1)).厳密な双方向の $G_T$（式 (3.1.3-1)）には出力側の因子 $\dfrac{1-|\Gamma_l|^2}{|1-\Gamma_{out}\Gamma_l|^2}$ があり、$\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ のとき $\dfrac{1}{1-|\Gamma_{out}|^2}$ に簡約される。ステップ 3 で用いた $\Gamma_{out}$ の式は結合方程式 (3.1-1)である。下の妥当性チェックで使う単向化の $G_{TU,\max}$ は式 (3.1.2-2)（$G_{S,\max}$、$G_{L,\max}$ は式 (3.1.2-1)による）である。

S 參數的直角座標形式（供參考）：S-parameters in rectangular form (for reference):S パラメータの直交形式（参考）：

量Quantity量	極座標Polar極形式	直角座標Rectangular直交形式
$S_{11}$	$0.60\angle{-60°}$	$0.300 - j0.520$
$S_{12}$	$0.05\angle{26°}$	$0.0449 + j0.0219$
$S_{21}$	$1.90\angle{81°}$	$0.297 + j1.876$
$S_{22}$	$0.50\angle{-60°}$	$0.250 - j0.433$
$\Gamma_s$	$0.62\angle{100°}$	$-0.108 + j0.611$

步驟 1 — 分子的各項。Step 1 — numerator pieces.ステップ 1 — 分子の各項。

$$|S_{21}|^2 = 1.9^2 = 3.61, \qquad 1-|\Gamma_s|^2 = 1 - 0.62^2 = 0.6156$$

分子 $= 3.61 \times 0.6156 = 2.222$。Numerator $= 3.61 \times 0.6156 = 2.222$.分子 $= 3.61 \times 0.6156 = 2.222$。

步驟 2 — 分母第 1 項：$|1 - S_{11}\Gamma_s|^2$。Step 2 — denominator piece 1: $|1 - S_{11}\Gamma_s|^2$.ステップ 2 — 分母の第 1 項：$|1 - S_{11}\Gamma_s|^2$。

$$S_{11}\Gamma_s = (0.60)(0.62)\angle(-60°+100°) = 0.372\angle{40°} = 0.285 + j0.239$$ $$1 - S_{11}\Gamma_s = 0.715 - j0.239 = 0.754\angle{-18.5°}$$ $$|1 - S_{11}\Gamma_s|^2 = 0.715^2 + 0.239^2 = 0.5683$$

步驟 3 — 求 $\Gamma_{out}$，再求 $1-|\Gamma_{out}|^2$。Step 3 — find $\Gamma_{out}$, then $1-|\Gamma_{out}|^2$.ステップ 3 — $\Gamma_{out}$ を求め、次に $1-|\Gamma_{out}|^2$ を求める。

$$S_{12}S_{21}\Gamma_s = (0.05)(1.9)(0.62)\angle(26°+81°+100°) = 0.0589\angle{207°}$$ $$\frac{S_{12}S_{21}\Gamma_s}{1-S_{11}\Gamma_s} = \frac{0.0589}{0.754}\angle(207°+18.5°) = 0.0781\angle{225.5°} = -0.055 - j0.056$$ $$\Gamma_{out} = S_{22} + (-0.055 - j0.056) = 0.195 - j0.489 = 0.526\angle{-68.2°}$$

因此 $\Gamma_l = \Gamma_{out}^* = 0.526\angle{+68°}$ ✓ 與書上印出的值相符。So $\Gamma_l = \Gamma_{out}^* = 0.526\angle{+68°}$ ✓ matches the printed value.よって $\Gamma_l = \Gamma_{out}^* = 0.526\angle{+68°}$ ✓ 記載の値と一致する。

$$1-|\Gamma_{out}|^2 = 1 - 0.277 = 0.723$$

步驟 4 — 組合起來。Step 4 — assemble.ステップ 4 — 組み合わせる。

$$G_T = \frac{2.222}{0.5683 \times 0.723} = \frac{2.222}{0.411} = 5.41$$

步驟 5 — 換算成 dB。Step 5 — to dB.ステップ 5 — dB に換算する。

$$G_T(\text{dB}) = 10\log_{10}(5.41) = 7.33\;\text{dB}$$

四捨五入後：$G_T = 5.4 = 7.3$ dB。✓Rounded: $G_T = 5.4 = 7.3$ dB. ✓丸めると $G_T = 5.4 = 7.3$ dB。✓

Sanity check（合理性驗證）— why this is below max.Sanity check — why this is below max.妥当性チェック — なぜこれが最大値を下回るのか。 單向化最大增益估計（式 (3.1.2-2)）： Unilateral max-gain estimate (eq. (3.1.2-2)): 単向化による最大利得の見積もり（式 (3.1.2-2)）：

$$G_{TU,\max} = \frac{|S_{21}|^2}{(1-|S_{11}|^2)(1-|S_{22}|^2)} = \frac{3.61}{0.64 \times 0.75} = 7.52 \approx 8.76\;\text{dB}$$

我們得到的 $7.3$ dB 比增益最佳點低約 $1.5$ dB — 這正是把 $\Gamma_s$ 設為 $\Gamma_{opt}$（雜訊匹配）而非 $S_{11}^*$（增益匹配）所付出的代價。這個犧牲換來了 $F = F_{\min} = 1.6$ dB。Our $7.3$ dB is about $1.5$ dB below the gain-optimal point — exactly the price paid by setting $\Gamma_s = \Gamma_{opt}$ (noise match) instead of $\Gamma_s = S_{11}^*$ (gain match). That sacrifice bought $F = F_{\min} = 1.6$ dB.得られた $7.3$ dB は利得最適点より約 $1.5$ dB 低い。これは $\Gamma_s$ を $S_{11}^*$（利得整合）ではなく $\Gamma_{opt}$（雑音整合）に設定した代償そのものである。その犠牲によって $F = F_{\min} = 1.6$ dB が得られている。

為何 sanity check 可以用單邊（unilateral）公式？Why is it legitimate to use the unilateral formula for the sanity check?なぜ妥当性チェックに単向化 (unilateral) の式を使ってよいのか？

兩個理由——這裡用的是上界，不是精確答案。Two reasons — what we are using here is an upper bound, not an exact answer.理由は 2 つある — ここで使っているのは上界であって、厳密な答えではない。

1. $G_{TU,\max}$ 是增益的上界。1. $G_{TU,\max}$ is an upper bound on the gain.1. $G_{TU,\max}$ は利得の上界である。
單邊公式把 $S_{12}$ 設為零，忽略了輸出→輸入的回授效應，因此高估了可用增益。真實的雙邊最大增益 $G_{MAG}$ 一定 $\le G_{TU,\max}$。用它來檢查「我的答案有沒有超過物理上限」是合理的——如果算出的 $G_T$ 比 $G_{TU,\max}$ 還大，代表哪裡算錯了。 The unilateral formula sets $S_{12}$ to zero, ignoring the output→input feedback, and therefore overestimates the achievable gain. The true bilateral maximum gain $G_{MAG}$ is always $\le G_{TU,\max}$. Using it to check “has my answer exceeded the physical ceiling?” is perfectly sound — if the computed $G_T$ came out larger than $G_{TU,\max}$, something went wrong. 単向化の式は $S_{12}$ をゼロとおき、出力→入力の帰還を無視するので、達成可能な利得を過大に見積もる。真の双方向最大利得 $G_{MAG}$ は常に $\le G_{TU,\max}$ である。したがって「自分の答えが物理的な上限を超えていないか」を確かめる用途には十分に妥当である — 計算した $G_T$ が $G_{TU,\max}$ より大きければ、どこかで間違えている。

2. 本題 $|S_{12}| = 0.05$ 很小，誤差有限。2. Here $|S_{12}| = 0.05$ is small, so the error is bounded.2. 本問では $|S_{12}| = 0.05$ と小さいので、誤差は限られる。
單邊誤差由 unilateral figure of merit $U$ 控制： The unilateral error is governed by the unilateral figure of merit $U$: 単向化による誤差は単向化性能指数 $U$ が支配する：

$$U = \frac{|S_{12}||S_{21}||S_{11}||S_{22}|}{(1-|S_{11}|^2)(1-|S_{22}|^2)}$$

誤差範圍為The error range is誤差の範囲は

$$\frac{1}{(1+U)^2} \;<\; \frac{G_T}{G_{TU}} \;<\; \frac{1}{(1-U)^2}$$

本題 $U \approx 0.05$，對應誤差約 $\pm 0.4$ dB——用作 sanity check 已足夠準確。Here $U \approx 0.05$, corresponding to an error of about $\pm 0.4$ dB — accurate enough for a sanity check.本問では $U \approx 0.05$ で、誤差はおよそ $\pm 0.4$ dB — 妥当性チェックには十分な精度である。

精確的雙邊最大增益The exact bilateral maximum gain厳密な双方向の最大利得應用 $G_{MAG} = \dfrac{|S_{21}|}{|S_{12}|}(k - \sqrt{k^2-1})$，但需要先算 $k$ 和 $\Delta$，計算量較大。$G_{TU,\max}$ 一行就能估出上界，作為方向性確認（我的答案確實在合理範圍內）已足夠。 would use $G_{MAG} = \dfrac{|S_{21}|}{|S_{12}|}(k - \sqrt{k^2-1})$, but that first requires computing $k$ and $\Delta$, which is more work. $G_{TU,\max}$ gives an upper bound in one line, which is enough for a directional check (that the answer really is in the right ballpark).は $G_{MAG} = \dfrac{|S_{21}|}{|S_{12}|}(k - \sqrt{k^2-1})$ で求まるが、そのためにはまず $k$ と $\Delta$ を計算する必要があり手間がかかる。$G_{TU,\max}$ なら 1 行で上界が得られ、方向性の確認（答えが妥当な範囲に収まっているか）にはそれで十分である。

(b) 雜訊指數 2 dB 的設計：(b) 2 dB noise figure design:(b) 雑音指数 2 dB の設計：

$F = 2$ dB $= 1.585$（線性值）。計算：$F = 2$ dB $= 1.585$ (linear). Calculate:$F = 2$ dB $= 1.585$（真数）。次を計算する：

$$N = \frac{1.585-1.445}{4\times20/50}|1+0.62\angle{100°}|^2 = 0.0986$$ $$C_F = \frac{0.62\angle{100°}}{1.0986} = 0.564\angle{100°}, \qquad R_F = 0.242$$

$R_F = 0.242$ 怎麼來的？Where does $R_F = 0.242$ come from?$R_F = 0.242$ はどこから来るのか？

代入 NF 圓半徑公式（$N=0.0986$，$|\Gamma_{opt}|=0.62$）：Substituting into the NF-circle radius formula ($N=0.0986$, $|\Gamma_{opt}|=0.62$):NF 円の半径の公式に代入する（$N=0.0986$、$|\Gamma_{opt}|=0.62$）：

$$R_F = \frac{\sqrt{N\,(N+1-|\Gamma_{opt}|^2)}}{N+1}$$

步驟Step手順	數值Value値
$N+1$	$1.0986$
$\|\Gamma_{opt}\|^2 = 0.62^2$	$0.3844$
$N+1-\|\Gamma_{opt}\|^2$	$1.0986 - 0.3844 = 0.7142$
$N \times 0.7142$	$0.0986 \times 0.7142 = 0.07042$
$\sqrt{0.07042}$	$0.2654$
$\div\,(N+1)$	$0.2654\,/\,1.0986 = \mathbf{0.242}$

當 $F = F_{\min}$ 時 $N=0$，$R_F=0$（圓退化為點 $\Gamma_{opt}$）。此處 $F=2$ dB 略高於 $F_{\min}=1.6$ dB，所以圓有小但非零的半徑 0.242。When $F = F_{\min}$, $N=0$ and $R_F=0$ (the circle degenerates to the single point $\Gamma_{opt}$). Here $F=2$ dB is slightly above $F_{\min}=1.6$ dB, so the circle has a small but non-zero radius of 0.242.$F = F_{\min}$ のとき $N=0$、$R_F=0$ となり、円は 1 点 $\Gamma_{opt}$ に縮退する。ここでは $F=2$ dB が $F_{\min}=1.6$ dB をわずかに上回るので、円は小さいながらゼロでない半径 0.242 をもつ。

與 $G_S = 1.7$ dB 增益圓的切點：$\Gamma_s = 0.53\angle{75°}$Tangent point with $G_S = 1.7$ dB gain circle: $\Gamma_s = 0.53\angle{75°}$$G_S = 1.7$ dB の利得円との接点：$\Gamma_s = 0.53\angle{75°}$

$$\Gamma_l = 0.479\angle{68°}, \qquad G_T = 6.9 = 8.4\text{ dB}$$

▸ $G_T = 6.9 = 8.4$ dB 是怎麼算出來的 — 逐步說明▸ How $G_T = 6.9 = 8.4$ dB is computed — step by step▸ $G_T = 6.9 = 8.4$ dB の求め方 — 手順を追って

公式。輸出端共軛匹配（$\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$），與 (a) 小題相同（式 (3.1.4-1)），但此處改用 $\Gamma_s = 0.53\angle{75°}$（雜訊與增益的折衷）：Formula. Output conjugate matched ($\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$), same as part (a) (eq. (3.1.4-1)), now with $\Gamma_s = 0.53\angle{75°}$ (noise-gain compromise):用いる式。出力は共役整合（$\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$）で (a) と同じ（式 (3.1.4-1)）だが、ここでは $\Gamma_s = 0.53\angle{75°}$（雑音と利得の妥協点）を用いる：

$$G_T = G_A = \frac{|S_{21}|^2\,(1-|\Gamma_s|^2)}{|1-S_{11}\Gamma_s|^2\,(1-|\Gamma_{out}|^2)}$$

步驟 1 — 分子。Step 1 — numerator.ステップ 1 — 分子。

$$|S_{21}|^2(1-|\Gamma_s|^2) = 3.61\times(1-0.53^2) = 3.61\times0.7191 = 2.596$$

步驟 2 — $|1-S_{11}\Gamma_s|^2$。Step 2 — $|1-S_{11}\Gamma_s|^2$.ステップ 2 — $|1-S_{11}\Gamma_s|^2$。

$\Gamma_s = 0.53\angle{75°} = 0.1372+j0.5119$, $\;S_{11} = 0.300-j0.5196$

$$S_{11}\Gamma_s = 0.3071+j0.0823 \;\Rightarrow\; 1-S_{11}\Gamma_s = 0.6929-j0.0823$$ $$|1-S_{11}\Gamma_s|^2 = 0.6929^2+0.0823^2 = 0.4868$$

步驟 3 — $\Gamma_{out}$。Step 3 — $\Gamma_{out}$.ステップ 3 — $\Gamma_{out}$。

$$\frac{S_{12}S_{21}\Gamma_s}{1-S_{11}\Gamma_s} = -0.0713-j0.0110$$ $$\Gamma_{out} = S_{22}+(-0.0713-j0.0110) = 0.1787-j0.4440$$ $$|\Gamma_{out}|^2 = 0.1787^2+0.4440^2 = 0.2291 \;\Rightarrow\; 1-|\Gamma_{out}|^2 = 0.7709$$

步驟 4 — 組合起來。Step 4 — assemble.ステップ 4 — 組み合わせる。

$$G_T = \frac{2.596}{0.4868\times0.7709} = \frac{2.596}{0.3753} = 6.92 \approx 6.9$$

步驟 5 — 換算 dB。Step 5 — dB.ステップ 5 — dB に換算。

$$G_T(\text{dB}) = 10\log_{10}(6.9) = 8.4\text{ dB}$$

增益比 (a) 小題的 7.3 dB 更高，因為 $\Gamma_s = 0.53\angle{75°}$ 比 $\Gamma_{opt} = 0.62\angle{100°}$ 更靠近 $S_{11}^*$ — 以雜訊指數惡化 +0.4 dB 換得 +1.1 dB 的增益。Gain is higher than part (a)'s 7.3 dB because $\Gamma_s = 0.53\angle{75°}$ is closer to $S_{11}^*$ than $\Gamma_{opt} = 0.62\angle{100°}$ — +1.1 dB gain at the cost of +0.4 dB worse noise figure.利得が (a) の 7.3 dB より高いのは、$\Gamma_s = 0.53\angle{75°}$ が $\Gamma_{opt} = 0.62\angle{100°}$ より $S_{11}^*$ に近いためである — 雑音指数の +0.4 dB の悪化と引き換えに +1.1 dB の利得を得ている。

比較：Comparison:比較：

設計Design設計	$F$ (dB)	$G_T$ (dB)	取捨Trade-offトレードオフ
(a) 最小雜訊指數(a) Min NF(a) 最小 NF	1.6	7.3	雜訊最佳，增益較低Best noise, less gain雑音は最良、利得は低め
(b) 2 dB NF	2.0	8.4	雜訊指數 +0.4 dB 換來 +1.1 dB 增益+0.4 dB NF buys +1.1 dB gainNF の +0.4 dB で利得 +1.1 dB を得る

3.3 功率放大器設計3.3 Power Amplifier Design3.3 電力増幅器の設計

功率放大器用於無線發射機的最後幾級。典型輸出功率：0.5–2 W（手持裝置）、10–100 W（基地台）。主要考量：輸出功率、效率、增益與互調失真。Power amplifiers are used in the final stages of wireless transmitters. Typical output: 0.5–2 W (handset), 10–100 W (base station). Key considerations: output power, efficiency, gain, and intermodulation.電力増幅器は無線送信機の最終段に用いられる。典型的な出力は 0.5〜2 W（携帯端末）、10〜100 W（基地局）である。主な検討事項は出力電力・効率・利得・相互変調である。

3.3.1 效率：轉換效率與功率附加效率3.3.1 Efficiency: Conversion & PAE3.3.1 効率：変換効率と電力付加効率

轉換效率Conversion Efficiency変換効率 $$\eta = \frac{P_{out}}{P_{DC}}$$

這並未計入輸入的射頻功率。更好的指標是：This doesn't account for input RF power. A better metric:これは入力 RF 電力を勘定に入れていない。より適切な指標は次のものである：

功率附加效率 (PAE)Power Added Efficiency (PAE)電力付加効率 (PAE) $$\bbox[#ffcccc,3px]{\text{PAE} = \frac{P_{out} - P_{in}}{P_{DC}} = \left(1-\frac{1}{G}\right)\eta}$$

為什麼 PAE 重要Why PAE mattersPAE が重要な理由

轉換效率忽略了輸入功率。對低增益放大器（$G \approx 3$ dB）而言，「輸出」功率中有三分之一其實來自輸入，而非來自直流轉換。PAE 會正確地對低增益加以懲罰。$G$ 通常在 1 dB 壓縮點處評估。Conversion efficiency ignores input power. For a low-gain amplifier ($G \approx 3$ dB), one-third of the "output" power came from the input, not from DC conversion. PAE correctly penalizes low gain. $G$ is typically evaluated at the 1 dB compression point.変換効率は入力電力を無視している。低利得の増幅器（$G \approx 3$ dB）では、「出力」電力の 3 分の 1 は直流からの変換ではなく入力そのものに由来する。PAE は低利得を正しく減点する。$G$ は通常 1 dB 圧縮点で評価する。

3.3.2 功率放大器級別3.3.2 Power Amplifier Classes3.3.2 電力増幅器の級

級別Class級	導通角 $\theta_0$Conduction Angle $\theta_0$導通角 $\theta_0$	線性度Linearity直線性	最大效率Max Efficiency最大効率
A	$2\pi$（整個週期）$2\pi$ (full cycle)$2\pi$（全周期）	最佳Best最良	50%
AB	$\pi < \theta_0 < 2\pi$	良好Good良好	50–78.5%
B	$\pi$（半個週期）$\pi$ (half cycle)$\pi$（半周期）	中等Moderate中程度	78.5%
C	$< \pi$	差Poor不良	Up to 100%

效率的一般公式General efficiency formula効率の一般式

轉換效率作為導通角 $\theta_0$ 的函數：The conversion efficiency as a function of conduction angle $\theta_0$:導通角 $\theta_0$ の関数としての変換効率：

$$\eta = \frac{\theta_0 - \sin\theta_0}{2[\theta_0\cos(\theta_0/2) - 2\sin(\theta_0/2)]} \cdot \frac{1}{2}$$

此處用到關係式 $I_Q = -I_0\cos(\theta_0/2)$（靜態電流取決於導通角）。This uses the relation $I_Q = -I_0\cos(\theta_0/2)$ (quiescent current depends on conduction angle).ここでは関係式 $I_Q = -I_0\cos(\theta_0/2)$（静止電流は導通角で決まる）を用いている。

關鍵取捨Key Trade-off重要なトレードオフ

導通角愈小 → 效率愈高，但線性度愈差。A 類最線性（整個週期都導通），但效率最高只有 50%。C 類的效率可逼近 100%，但高度非線性 — 適用於等包絡訊號（例如 FM、雷達）。Smaller conduction angle → higher efficiency but worse linearity. Class-A is the most linear (active for full cycle) but at most 50% efficient. Class-C can approach 100% efficiency but is highly nonlinear — suitable for constant-envelope signals (e.g., FM, radar).導通角が小さいほど効率は高くなるが、直線性は悪化する。A級は全周期で導通するため最も直線性が良い一方、効率はせいぜい 50% である。C級は効率が 100% に近づき得るが強い非線形性をもち、定包絡線の信号（FM、レーダーなど）に適する。

3.3.3 A 類設計與最佳交流負載線3.3.3 Class-A Design & Optimum AC Load Line3.3.3 A級設計と最適交流負荷線

在 A 類工作模式下，電晶體偏壓於靜態工作點（$V_{CC}$、$I_Q$），並在整個週期都工作於主動區。For Class-A, the transistor is biased at a quiescent point ($V_{CC}$, $I_Q$) and operates in its active region for the entire cycle.A級では、トランジスタを静止動作点（$V_{CC}$、$I_Q$）にバイアスし、全周期にわたって活性領域で動作させる。

最佳交流負載阻抗Optimum AC load impedance最適な交流負荷インピーダンス

$$\bbox[#ffcccc,3px]{R_{opt} = \frac{V_{CC} - V_k}{I_Q}}$$

其中 $V_k$ 為膝點電壓。此值可同時使電壓與電流的擺幅最大。where $V_k$ is the knee voltage. This maximizes voltage and current swing simultaneously.ここで $V_k$ はニー電圧である。この値により電圧振幅と電流振幅が同時に最大となる。

最大線性輸出功率Maximum linear output power最大線形出力電力

$$P_{opt} = \frac{1}{2}(V_{CC}-V_k)\cdot I_Q = \frac{(V_{CC}-V_k)^2}{2R_{opt}}$$

失配的情形Mismatch cases不整合の場合

$R_L < R_{opt}$：負載線較陡 — 電流尚未截波，電壓擺幅就先受限 → 輸出功率下降$R_L < R_{opt}$: load line steeper — voltage swing limited before current clips → less output power$R_L < R_{opt}$：負荷線が急になり、電流がクリップする前に電圧振幅が制限される → 出力電力が下がる
$R_L > R_{opt}$：負載線較平 — 電壓尚未截波，電流擺幅就先受限 → 輸出功率下降$R_L > R_{opt}$: load line shallower — current swing limited before voltage clips → less output power$R_L > R_{opt}$：負荷線が緩やかになり、電圧がクリップする前に電流振幅が制限される → 出力電力が下がる

只有 $R_L = R_{opt}$ 能同時達到最大的電壓與電流擺幅 → 最大線性輸出功率。Only $R_L = R_{opt}$ achieves simultaneous maximum voltage and current swing → maximum linear output power.$R_L = R_{opt}$ のときにのみ電圧・電流の振幅が同時に最大となり → 最大の線形出力電力が得られる。

A 類功率放大器的設計流程Design procedure for Class-A PAA級電力増幅器の設計手順

計算 $R_{opt} = (V_{CC}-V_k)/I_Q$Compute $R_{opt} = (V_{CC}-V_k)/I_Q$$R_{opt} = (V_{CC}-V_k)/I_Q$ を求める
$\Gamma_l = (R_{opt}-Z_0)/(R_{opt}+Z_0)$
由 $\Gamma_l$ 與 S 參數計算 $\Gamma_{in}$Compute $\Gamma_{in}$ from $\Gamma_l$ and S-parameters$\Gamma_l$ と S パラメータから $\Gamma_{in}$ を求める
$\Gamma_s = \Gamma_{in}^*$（輸入共軛匹配以取得最大增益）$\Gamma_s = \Gamma_{in}^*$ (conjugate input match for max gain)$\Gamma_s = \Gamma_{in}^*$（最大利得のための入力側共役整合）

3.3.4 負載牽引 (load-pull) 等高線3.3.4 Load-Pull Contours3.3.4 ロードプル等高線

在大訊號位準下，電晶體是非線性的 — S 參數會隨功率位準而變。負載牽引 (load-pull) 量測會掃描 $\Gamma_L$ 並在每一點量測輸出功率（或 $P_{1dB}$），從而在史密斯圖上畫出等功率的等高線。At large signal levels, transistors are nonlinear — S-parameters depend on power level. Load-pull measurement sweeps $\Gamma_L$ and measures output power (or $P_{1dB}$) at each point, producing contours of constant power on the Smith chart.大信号レベルではトランジスタは非線形になり、S パラメータが電力レベルに依存する。ロードプル測定では $\Gamma_L$ を掃引し、各点で出力電力（あるいは $P_{1dB}$）を測定して、スミスチャート上に等電力の等高線を描く。

為什麼要用負載牽引？Why load-pull?なぜロードプルを使うのか？

小訊號 S 參數對功率放大器設計並不準確。負載牽引等高線給出真正使輸出功率（或效率）最大化的大訊號阻抗。儀器會實際改變呈現給電晶體的負載阻抗並量測結果。Small-signal S-parameters are inaccurate for power amplifier design. Load-pull contours give the actual large-signal impedance that maximizes output power (or efficiency). The equipment physically varies the load impedance presented to the transistor and measures the result.小信号 S パラメータは電力増幅器の設計には不正確である。ロードプル等高線は、出力電力（あるいは効率）を最大にする実際の大信号インピーダンスを与える。測定器はトランジスタに提示する負荷インピーダンスを物理的に変化させ、その結果を測定する。

3.3.5 互動：效率與導通角，以及 A 類設計3.3.5 Interactive: Efficiency vs. Conduction Angle & Class-A Design3.3.5 インタラクティブ：効率と導通角、および A級設計

導通角 $\theta_0$ (°): Conduction angle $\theta_0$ (°): 導通角 $\theta_0$ (°): 360

$V_{CC}$ (V): 5.0

$V_k$ (V): 0.7

$I_Q$ (mA): 200

📝 作業 — 線性功率放大器設計📝 Homework — Linear Power Amplifier Design📝 演習 — 線形電力増幅器の設計

功率 BJT 於 2 GHz，$V_{CC}=5$ V、$I_C=200$ mA、$V_k=0.7$ V。Power BJT at 2 GHz, $V_{CC}=5$ V, $I_C=200$ mA, $V_k=0.7$ V.2 GHz における電力用 BJT、$V_{CC}=5$ V、$I_C=200$ mA、$V_k=0.7$ V。

$S_{11}=0.60\angle{36°}$, $S_{21}=2.3\angle{-80°}$, $S_{12}=0.14\angle{-85°}$, $S_{22}=0.15\angle{45°}$

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(a) 匹配：

$$R_{opt} = \frac{5-0.7}{0.2} = 21.5\,\Omega$$ $$\Gamma_l = \frac{21.5-50}{21.5+50} = -0.4 = 0.4\angle{180°}$$ $$\Gamma_{in} = S_{11}+\frac{S_{12}S_{21}\Gamma_l}{1-S_{22}\Gamma_l} = 0.72\angle{32°}$$ $$\Gamma_s = \Gamma_{in}^* = 0.72\angle{-32°}$$

(a) Matching:

(a) 整合：

(b) 輸出功率：

$$P_{opt} = \frac{1}{2}(5-0.7)(0.2) = 0.43\text{ W} = 26.3\text{ dBm}$$

(b) Output power:

$$P_{opt} = \frac{1}{2}(5-0.7)(0.2) = 0.43\text{ W} = 26.3\text{ dBm}$$

(b) 出力電力：

$$P_{opt} = \frac{1}{2}(5-0.7)(0.2) = 0.43\text{ W} = 26.3\text{ dBm}$$

(c) 操作功率增益：

$$G_P = \frac{|S_{21}|^2(1-|\Gamma_l|^2)}{(1-|\Gamma_{in}|^2)|1-S_{22}\Gamma_l|^2} = 8.4 = 9.2\text{ dB}$$

(c) Operating power gain:

$$G_P = \frac{|S_{21}|^2(1-|\Gamma_l|^2)}{(1-|\Gamma_{in}|^2)|1-S_{22}\Gamma_l|^2} = 8.4 = 9.2\text{ dB}$$

(c) 動作電力利得：

$$G_P = \frac{|S_{21}|^2(1-|\Gamma_l|^2)}{(1-|\Gamma_{in}|^2)|1-S_{22}\Gamma_l|^2} = 8.4 = 9.2\text{ dB}$$

(d) 功率附加效率：

$$\text{PAE} = \frac{P_{out}-P_{in}}{P_{DC}} = \frac{0.43 - 0.43/8.4}{5\times 0.2} = 38\%$$

(d) PAE:

$$\text{PAE} = \frac{P_{out}-P_{in}}{P_{DC}} = \frac{0.43 - 0.43/8.4}{5\times 0.2} = 38\%$$

(d) PAE：

$$\text{PAE} = \frac{P_{out}-P_{in}}{P_{DC}} = \frac{0.43 - 0.43/8.4}{5\times 0.2} = 38\%$$

本章總結Chapter Summary章のまとめ

指定增益設計Specified Gain Design指定利得設計

史密斯圖上的等增益圓讓增益、雜訊指數、頻寬與功率之間得以取捨。單向化情形：$G_{TU} = G_S \cdot |S_{21}|^2 \cdot G_L$。須以單向化品質因數 $U$ 檢查此近似是否成立。Constant gain circles on the Smith chart allow trade-off between gain, NF, bandwidth, and power. Unilateral case: $G_{TU} = G_S \cdot |S_{21}|^2 \cdot G_L$. Check validity with unilateral figure of merit $U$.スミスチャート上の等利得円により、利得・雑音指数・帯域幅・電力の間でトレードオフができる。単向化の場合は $G_{TU} = G_S \cdot |S_{21}|^2 \cdot G_L$。近似の妥当性は単向化性能指数 $U$ で確認する。

低雜訊放大器Low-Noise Amplifier低雑音増幅器

雜訊指數圓以 $\Gamma_{opt}$ 附近為中心。把雜訊指數圓與增益圓一起畫出，找出切點，即可在可接受的雜訊指數下取得最佳增益。輸出端則採共軛匹配 $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$。NF circles centered near $\Gamma_{opt}$. Plot NF and gain circles together, find tangent for best gain at acceptable NF. Output: conjugate match $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$.雑音指数円は $\Gamma_{opt}$ の近くを中心とする。雑音指数円と利得円を重ねて描き、接点を求めれば、許容できる NF のもとで最良の利得が得られる。出力側は共役整合 $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ とする。

功率放大器Power Amplifier電力増幅器

A 類：$R_{opt}=(V_{CC}-V_k)/I_Q$，最大 $\eta = 50\%$。更高的級別以線性度換取效率。大訊號設計則採用負載牽引等高線。Class-A: $R_{opt}=(V_{CC}-V_k)/I_Q$, max $\eta = 50\%$. Higher classes trade linearity for efficiency. Large-signal design uses load-pull contours.A級：$R_{opt}=(V_{CC}-V_k)/I_Q$、最大 $\eta = 50\%$。級が上がるほど直線性と引き換えに効率が高まる。大信号設計にはロードプル等高線を用いる。

關鍵取捨Key Trade-offs主なトレードオフ

增益與雜訊指數（低雜訊放大器）、增益與輸出功率（功率放大器）、效率與線性度（功率放大器級別）。沒有任何單一設計能同時最佳化全部 — 匹配網路就是那根槓桿。Gain vs. NF (LNA), gain vs. output power (PA), efficiency vs. linearity (PA class). No single design optimizes all — matching networks are the lever.利得と雑音指数（LNA）、利得と出力電力（PA）、効率と直線性（PA の級）。すべてを同時に最適化する設計は存在せず、整合回路がその調整の要となる。

3.1 指定增益設計3.1 Design for Specified Gain3.1 指定利得設計

3.1.1 互動教學：史密斯圖的判讀與使用3.1.1 Interactive Tutorial: Reading & Using the Smith Chart3.1.1 インタラクティブ教材：スミスチャートの読み方と使い方

物理意義 — 所謂的「損耗」是什麼？Physical meaning — what is the "loss"?物理的な意味 — この「損失」とは何か？

3.1.2 等增益圓 — 單向化情形3.1.2 Constant Gain Circles — Unilateral Case3.1.2 等利得円 — 単向化の場合

最大值Maximum values最大値

正規化增益因子Normalized gain factors正規化した利得係数

史密斯圖上的等增益圓Constant gain circles on the Smith chartスミスチャート上の等利得円

3.1.3 單向化品質因數3.1.3 Unilateral Figure of Merit3.1.3 単向化性能指数 （單向化品質因數 $U$）(the unilateral figure of merit $U$)（単向化性能指数 $U$）

3.1.4 等增益圓 — 雙向情形3.1.4 Constant Gain Circles — Bilateral Case3.1.4 等利得円 — 双方向の場合

等操作功率增益圓（$G_P$ = 定值，位於 $\Gamma_l$ 平面）Constant operating power gain circles ($G_P$ = const, on $\Gamma_l$ plane)等動作電力利得円（$G_P$ = 一定、$\Gamma_l$ 平面上）

等可用功率增益圓（$G_A$ = 定值，位於 $\Gamma_s$ 平面）Constant available power gain circles ($G_A$ = const, on $\Gamma_s$ plane)等有能電力利得円（$G_A$ = 一定、$\Gamma_s$ 平面上）

最大增益（雙向）Maximum gain (bilateral)最大利得（双方向）

3.1.5 增益圓公式總整理3.1.5 Summary of Gain Circle Formulas3.1.5 利得円の公式まとめ

3.1.6 互動：史密斯圖上的等增益圓3.1.6 Interactive: Constant Gain Circles on Smith Chart3.1.6 インタラクティブ：スミスチャート上の等利得円

版本 1 — 單向化（$S_{12} \approx 0$）：彼此獨立的 $G_S$ 與 $G_L$ 圓Version 1 — Unilateral ($S_{12} \approx 0$): independent $G_S$ and $G_L$ circlesバージョン 1 — 単向化（$S_{12} \approx 0$）：独立した $G_S$ 円と $G_L$ 円

3.1.7 互動：如何在史密斯圖上選擇 $\Gamma_s$3.1.7 Interactive: How to choose $\Gamma_s$ on the Smith chart3.1.7 インタラクティブ：スミスチャート上での $\Gamma_s$ の選び方

3.2 低雜訊放大器設計3.2 Low-Noise Amplifier Design3.2 低雑音増幅器の設計

3.2.1 二埠放大器的雜訊指數3.2.1 Noise Figure of a Two-Port Amplifier3.2.1 2ポート増幅器の雑音指数

3.2.2 等雜訊指數圓3.2.2 Constant Noise Figure Circles3.2.2 等雑音指数円

3.2.3 增益與雜訊指數的取捨3.2.3 Gain vs. Noise Figure Trade-off3.2.3 利得と雑音指数のトレードオフ

3.2.4 低雜訊放大器設計流程3.2.4 LNA Design Procedure3.2.4 LNA 設計手順

3.2.5 互動：雜訊指數圓與增益取捨3.2.5 Interactive: NF Circles & Gain Trade-off3.2.5 インタラクティブ：雑音指数円と利得のトレードオフ

3.3 功率放大器設計3.3 Power Amplifier Design3.3 電力増幅器の設計

3.3.1 效率：轉換效率與功率附加效率3.3.1 Efficiency: Conversion & PAE3.3.1 効率：変換効率と電力付加効率

3.3.2 功率放大器級別3.3.2 Power Amplifier Classes3.3.2 電力増幅器の級

效率的一般公式General efficiency formula効率の一般式

3.3.3 A 類設計與最佳交流負載線3.3.3 Class-A Design & Optimum AC Load Line3.3.3 A級設計と最適交流負荷線

最佳交流負載阻抗Optimum AC load impedance最適な交流負荷インピーダンス

最大線性輸出功率Maximum linear output power最大線形出力電力

A 類功率放大器的設計流程Design procedure for Class-A PAA級電力増幅器の設計手順

3.3.4 負載牽引 (load-pull) 等高線3.3.4 Load-Pull Contours3.3.4 ロードプル等高線

3.3.5 互動：效率與導通角，以及 A 類設計3.3.5 Interactive: Efficiency vs. Conduction Angle & Class-A Design3.3.5 インタラクティブ：効率と導通角、および A級設計

本章總結Chapter Summary章のまとめ

指定增益設計Specified Gain Design指定利得設計

低雜訊放大器Low-Noise Amplifier低雑音増幅器

功率放大器Power Amplifier電力増幅器

關鍵取捨Key Trade-offs主なトレードオフ

3.1.3 單向化品質因數3.1.3 Unilateral Figure of Merit3.1.3 単向化性能指数（單向化品質因數 $U$）(the unilateral figure of merit $U$)（単向化性能指数 $U$）