OFDM

01 總覽Overview概要

OFDM 是一種多載波調變技術，把一個寬頻通道切成許多窄頻的正交子載波。每個子載波各自承載一路低速資料 (例如一個 QAM 符碼)，整體吞吐量與單載波系統相當甚至更高——但等化的複雜度卻大幅降低。OFDM is a multi-carrier modulation technique that divides a wideband channel into many narrowband orthogonal subcarriers. Each subcarrier carries a low-rate data stream (e.g. QAM symbol), and the aggregate throughput equals or exceeds that of a single-carrier system — but with dramatically simpler equalization.OFDM は、広帯域チャネルを多数の狭帯域直交サブキャリアに分割するマルチキャリア変調方式です。各サブキャリアは低レートのデータ列 (例えば QAM シンボル) を運び、全体のスループットはシングルキャリア方式と同等かそれ以上でありながら、等化処理は劇的に簡単になります。

由於每個子載波都夠窄，只會經歷平坦衰落，等化就簡化成每個子載波乘上一個複數——相較於寬頻單載波系統所需的時域等化器，這是極大的簡化。Because each subcarrier is narrow enough to experience flat fading, equalization reduces to one complex multiplication per subcarrier — a massive simplification compared to time-domain equalizers for wideband single-carrier systems.各サブキャリアは十分に狭くフラットフェージングしか受けないため、等化はサブキャリアごとに複素数 1 回の乗算で済みます。広帯域シングルキャリア方式の時間領域等化器と比べれば、圧倒的な単純化です。

02 數學基礎Mathematical Foundation数学的基礎

一個符碼週期內的 OFDM 基頻發射訊號為：The baseband OFDM transmit signal for one symbol period is:1 シンボル期間のベースバンド OFDM 送信信号は次式で表されます：

其中 \(X_k\) 是第 \(k\) 個子載波上的 QAM 符碼，且 \(\Delta f = 1/T_{\text{sym}}\)。where \(X_k\) is the QAM symbol on the \(k\)-th subcarrier and \(\Delta f = 1/T_{\text{sym}}\).ここで \(X_k\) は第 \(k\) サブキャリア上の QAM シンボル、\(\Delta f = 1/T_{\text{sym}}\) です。

在 \(t = nT_s = n\,T_{\text{sym}}/N\) 取樣，即可得到 IDFT 關係式：Sampling at \(t = nT_s = n\,T_{\text{sym}}/N\) yields the IDFT relationship:\(t = nT_s = n\,T_{\text{sym}}/N\) でサンプリングすると IDFT の関係が得られます：

在接收端，移除 CP 並做 FFT 之後：At the receiver, after CP removal and FFT:受信側で CP を除去し FFT を行うと：

其中 \(H_k\) 是第 \(k\) 個子載波處的通道頻率響應，\(W_k\) 為 AWGN。等化只需 \(\hat{X}_k = Y_k / H_k\)——通道在頻域中被對角化了。where \(H_k\) is the channel frequency response at the \(k\)-th subcarrier and \(W_k\) is AWGN. Equalization is simply \(\hat{X}_k = Y_k / H_k\) — the channel is diagonalized in the frequency domain.ここで \(H_k\) は第 \(k\) サブキャリアにおけるチャネル周波数応答、\(W_k\) は AWGN です。等化は \(\hat{X}_k = Y_k / H_k\) だけで済みます。チャネルが周波数領域で対角化されるからです。

03 子載波正交性Subcarrier Orthogonalityサブキャリアの直交性

每個子載波的頻譜都是一個 sinc 函數。所謂正交，就是每個 sinc 的峰值恰好落在其他所有 sinc 的零點上——因此即使頻譜大幅重疊，在取樣時刻仍然沒有任何載波間干擾。Each subcarrier's spectrum is a sinc function. Orthogonality means the peak of each sinc falls at the nulls of all other sincs — so despite heavy spectral overlap, there is zero inter-carrier interference at the sampling instants.各サブキャリアのスペクトルは sinc 関数です。直交とは、各 sinc のピークが他のすべての sinc のヌル点に一致することを意味します。そのためスペクトルが大きく重なっていても、サンプリング時点でのキャリア間干渉はゼロになります。

04 發射機／接收機鏈路Transmitter / Receiver Chain送信機・受信機チェーン

IFFT／FFT 這一對運算，用一個有效率的 \(O(N \log N)\) 演算法取代了 \(N\) 個獨立的振盪器。循環字首則把通道的線性摺積轉換成循環摺積，讓 DFT 得以將通道矩陣對角化。The IFFT/FFT pair replaces \(N\) separate oscillators with an efficient \(O(N \log N)\) algorithm. The cyclic prefix converts the channel's linear convolution into circular convolution, enabling the DFT to diagonalize the channel matrix.IFFT／FFT の対は、\(N\) 個の独立した発振器を効率的な \(O(N \log N)\) アルゴリズムに置き換えます。サイクリックプレフィックスはチャネルの線形畳み込みを巡回畳み込みに変換し、DFT によるチャネル行列の対角化を可能にします。

05 循環字首Cyclic Prefixサイクリックプレフィックス

CP 把 OFDM 符碼最後 \(N_{\text{CP}}\) 個樣本複製到最前面。只要 \(N_{\text{CP}} \ge L-1\) (其中 \(L\) 為通道長度)，CP 就能吸收所有 ISI，並保證循環性。The CP copies the last \(N_{\text{CP}}\) samples of the OFDM symbol to the front. As long as \(N_{\text{CP}} \ge L-1\) (where \(L\) is the channel length), the CP absorbs all ISI and guarantees circularity.CP は OFDM シンボルの末尾 \(N_{\text{CP}}\) サンプルを先頭にコピーします。\(N_{\text{CP}} \ge L-1\) (\(L\) はチャネル長) である限り、CP はすべての ISI を吸収し、巡回性を保証します。

典型的 CP 額外開銷：LTE 一般 CP 約 7%，LTE 延長 CP 則約 25%。Typical CP overhead: ~7% in LTE (normal CP) and ~25% in LTE extended CP.典型的な CP オーバーヘッドは、LTE のノーマル CP で約 7%、LTE の拡張 CP で約 25% です。

06 星座圖Constellation Diagramコンスタレーション図

每個子載波承載一個 M-QAM 符碼。點擊隨機產生可產生一組新的符碼，觀察它的星座圖。Each subcarrier carries an M-QAM symbol. Click Randomize to generate a new set of symbols and observe the constellation.各サブキャリアは M-QAM シンボルを 1 つ運びます。ランダム生成をクリックすると新しいシンボル群が生成され、コンスタレーションを観察できます。

07 PAPR 問題PAPR ProblemPAPR の問題

時域的 OFDM 訊號是 \(N\) 個複數指數訊號的疊加。當各子載波的相位剛好同相疊加時，瞬時功率會遠高於平均功率——形成很高的峰均功率比 (PAPR)。The time-domain OFDM signal is a superposition of \(N\) complex exponentials. When subcarrier phases align constructively, the instantaneous power can be much larger than the average — yielding a high peak-to-average power ratio (PAPR).時間領域の OFDM 信号は \(N\) 個の複素指数関数の重ね合わせです。サブキャリアの位相が同相で足し合わさると、瞬時電力は平均をはるかに上回り、高いピーク対平均電力比 (PAPR) が生じます。

最壞情況的 PAPR 會隨 \(N\) 線性增加。實務上 \(N\) 很大時，PAPR 常落在 10–12 dB，這迫使功率放大器必須遠離飽和點工作 (back-off)，效率因而下降。The worst-case PAPR grows linearly with \(N\). In practice, PAPR of 10–12 dB is common for large \(N\), requiring the power amplifier to operate well below saturation (back-off), reducing efficiency.最悪ケースの PAPR は \(N\) に比例して増加します。実際には \(N\) が大きいと PAPR は 10–12 dB になることが多く、電力増幅器を飽和よりかなり低い点で動作させる (バックオフ) 必要があり、効率が低下します。

08 應用與比較Applications & Comparison応用と比較