振盪器穩定性:從 Phase Margin 到 Van der PolOscillator Stability: From Phase Margin to Van der Pol発振器の安定性：位相余裕から Van der Pol へ

1. Phase Margin 定義1. Definition of Phase Margin1. 位相余裕 (Phase Margin) の定義

Phase Margin (PM, 相位裕度)Phase margin (PM)位相余裕 (PM, Phase Margin) 是控制系統與回授放大器中衡量系統 is the key metric for the は、制御系や帰還増幅器の穩定度stability安定度的關鍵指標。 of a control system or feedback amplifier.を測るための重要な指標です。

數學定義Mathematical definition数学的定義

對開迴路轉移函數 \( L(j\omega) = G(j\omega)H(j\omega) \):For the open-loop transfer function \( L(j\omega) = G(j\omega)H(j\omega) \):開ループ伝達関数 \( L(j\omega) = G(j\omega)H(j\omega) \) に対して：

其中 \( \omega_{gc} \) 為where \( \omega_{gc} \) is the ここで \( \omega_{gc} \) は增益交越頻率 (gain crossover frequency)gain crossover frequency利得交差周波数 (gain crossover frequency),使 \( |L(j\omega_{gc})| = 1 \)(即 0 dB)。, the frequency at which \( |L(j\omega_{gc})| = 1 \) (i.e. 0 dB).であり、\( |L(j\omega_{gc})| = 1 \)（すなわち 0 dB）となる周波数です。

穩定性判讀Reading off stability安定性の読み取り

2. Barkhausen 振盪準則2. The Barkhausen Oscillation Criterion2. バルクハウゼンの発振条件

振盪器設計時,需同時滿足When designing an oscillator you must simultaneously satisfy 発振器の設計では、同時に満たすべき兩個條件two conditions二つの条件:

其中:where:ここで：

• \( A \):放大器增益\( A \): amplifier gain\( A \)：増幅器の利得
• \( H \):回授網路轉移函數\( H \): feedback-network transfer function\( H \)：帰還回路の伝達関数
• \( AH \):迴路增益 (loop gain)loop gainループ利得 (loop gain)
• \( \omega_0 \):振盪頻率\( \omega_0 \): oscillation frequency\( \omega_0 \)：発振周波数

振盪器設計就是 Designing an oscillator means 発振器の設計とは、故意deliberately意図的に讓 \( \angle AH = 0° \)(等效於負回授下相位 = −180°)且 \( |AH| \geq 1 \) → forcing \( \angle AH = 0° \) (equivalently a phase of −180° under negative feedback) with \( |AH| \geq 1 \) → \( \angle AH = 0° \)（負帰還では位相 = −180° に相当）かつ \( |AH| \geq 1 \) となるようにすること → 故意讓 PM = 0deliberately making PM = 0意図的に PM = 0 にする,讓電路振盪。 so that the circuit oscillates. ことで、回路を発振させます。

3. LTI vs. 非線性:兩種穩定性3. LTI vs. Nonlinear: Two Kinds of Stability3. LTI vs. 非線形：二種類の安定性

LTI 觀點:振盪器是「不穩定」的The LTI view: an oscillator is “unstable”LTI の観点：発振器は「不安定」である

從小訊號 LTI 分析(Bode / Nyquist / pole location):From small-signal LTI analysis (Bode / Nyquist / pole location):小信号 LTI 解析（Bode / Nyquist / pole location）から見ると：

• 迴路增益 \( |AH(\omega_0)| \geq 1 \)Loop gain \( |AH(\omega_0)| \geq 1 \)ループ利得 \( |AH(\omega_0)| \geq 1 \)
• 相位 \( \angle AH(\omega_0) = 0° \)Phase \( \angle AH(\omega_0) = 0° \)位相 \( \angle AH(\omega_0) = 0° \)
• 極點位於 \( j\omega \) 軸甚至右半平面 (RHP)the poles sit on the \( j\omega \) axis or even in the right half-plane (RHP)極は \( j\omega \) 軸上、あるいは右半平面 (RHP) にある
• PM ≤ 0、GM ≤ 0PM ≤ 0, GM ≤ 0PM ≤ 0、GM ≤ 0,系統「不穩定」, so the system is “unstable”であり、系は「不安定」

這也是為什麼啟動時 (start-up),熱雜訊或開機暫態會被指數放大 → 振盪建立。This is also why, at start-up, thermal noise or the power-on transient is amplified exponentially → oscillation builds up.これは、起動時 (start-up) に熱雑音や電源投入の過渡が指数関数的に増幅され → 発振が立ち上がる理由でもあります。

非線性觀點:存在穩定的 Limit CycleThe nonlinear view: a stable limit cycle exists非線形の観点：安定なリミットサイクルが存在する

但實際電路But a real circuit しかし実際の回路は不會炸掉does not blow up発散しません,因為:, because:。その理由は：

1. Transistor 進入飽和 / cut-off / triode → 跨導 \( g_m \) The transistor enters saturation / cut-off / triode → the transconductance \( g_m \) トランジスタが飽和 / cut-off / triode に入る → 相互コンダクタンス \( g_m \) が隨振幅下降falls as the amplitude grows振幅の増大とともに低下する
2. 等效迴路增益是The effective loop gain is 等価的なループ利得は振幅相依amplitude-dependent振幅に依存する的:\( |AH| = f(A) \): \( |AH| = f(A) \)：\( |AH| = f(A) \)
3. 系統收斂到一個The system converges to a 系は次のものに収束する：穩定極限環 (stable limit cycle)stable limit cycle安定なリミットサイクル (stable limit cycle)

兩種穩定性對照The two kinds of stability side by side二種類の安定性の対比

4. Van der Pol 方程式4. Van der Pol Equation4. Van der Pol 方程式

關鍵在於阻尼項 \( -\mu(1 - x^2) \):Everything hinges on the damping term \( -\mu(1 - x^2) \):鍵を握るのは減衰項 \( -\mu(1 - x^2) \) です：

相平面 (Phase Plane) 圖像The phase-plane picture相平面 (Phase Plane) での描像

• 原點是 unstable spiralThe origin is an unstable spiral原点は unstable spiral(LTI 看到的)(what LTI sees)（LTI が見るもの）
• 極限環是 stable orbitThe limit cycle is a stable orbitリミットサイクルは stable orbit(非線性看到的)(what the nonlinear view sees)（非線形の観点が見るもの）
• 任何Any どのような非零non-zero非零の初始條件最終都收斂到極限環 → 這就是「振盪器一定會起振且穩定振盪」的數學保證 initial condition eventually converges to the limit cycle → this is the mathematical guarantee that “an oscillator will always start up and settle into steady oscillation”初期条件も最終的にはリミットサイクルへ収束します → これが「発振器は必ず起動し、定常発振に落ち着く」ことの数学的な保証です

5. Describing Function 方法5. The Describing Function Method5. 記述関数 (Describing Function) 法

實務上分析振盪器穩態振幅,常用 In practice, the steady-state amplitude of an oscillator is usually analysed with the 実務では、発振器の定常振幅を解析するのに Describing Function (描述函數)describing function記述関数 (Describing Function) 把非線性元件線性化為 , which linearizes the nonlinear element into an がよく使われます。これは非線形要素を振幅相依增益amplitude-dependent gain振幅依存の利得 \( N(A) \)。 \( N(A) \). \( N(A) \) に線形化する手法です。

穩態振盪條件Steady-state oscillation condition定常発振の条件

極限環穩定性判據Stability criterion for the limit cycleリミットサイクルの安定性判別条件

物理意義:Physical meaning:物理的意味：振幅變大時 loop gain 必須下降,才有負回授機制把振幅拉回 \( A_0 \)。 the loop gain must fall as the amplitude grows, so that a negative-feedback mechanism pulls the amplitude back to \( A_0 \). 振幅が増大するとループ利得が下がる必要があり、そうして初めて負帰還の働きが振幅を \( A_0 \) へ引き戻します。

6. 實際電路中的 \(g_m\) 設計6. Designing \(g_m\) in a Real Circuit6. 実際の回路における \(g_m\) の設計

振幅相依的 \( g_m \) 機制Mechanisms that make \( g_m \) amplitude-dependent\( g_m \) を振幅依存にする仕組み

典型的 \( g_m \) 過設計倍數Typical \( g_m \) over-design factors典型的な \( g_m \) の過剰設計倍率

太小 → 起振失敗;太大 → phase noise 變差、功耗浪費、harmonics 增加。 Too small → start-up fails; too large → worse phase noise, wasted power and more harmonics. 小さすぎる → 起動に失敗。大きすぎる → 位相雑音の悪化、消費電力の無駄、高調波の増加。

7. 與 Radar / RF 系統的關聯7. Connections to Radar / RF Systems7. Radar / RF システムとの関連

1. Phase noise 分析Phase-noise analysis位相雑音の解析:Leeson's model 本質上是極限環受雜訊擾動的 perturbation 分析,屬於: Leeson's model is essentially a perturbation analysis of a limit cycle disturbed by noise — that is, ：Leeson's model は本質的に、雑音で乱されたリミットサイクルの摂動解析であり、すなわち極限環附近的線性化linearization about the limit cycleリミットサイクル近傍での線形化(linearize around the limit cycle, not around the origin)。 the limit cycle, not around the origin). the limit cycle, not around the origin)。
2. Injection locking:外部訊號注入振盪器使其同步,只能用非線性方法分析(Adler's equation),LTI 完全失效。: an external signal injected into the oscillator locks it. This can only be analysed with nonlinear methods (Adler's equation); LTI fails completely.：外部信号を発振器に注入して同期させるもので、非線形手法（Adler's equation）でしか解析できず、LTI はまったく通用しません。
3. PLL 鎖定動態PLL locking dynamicsPLL のロック動特性:小訊號鎖定後可用 LTI loop dynamics 分析,但: once locked, the small-signal behaviour can be analysed with LTI loop dynamics, but ：ロック後の小信号動作は LTI のループ動特性で解析できますが、大訊號 acquisition、cycle sliplarge-signal acquisition and cycle slipping大信号の引き込みやサイクルスリップ 必須回到非線性。 must go back to nonlinear analysis.は非線形解析に戻る必要があります。
4. Mixer / PA 的飽和行為Saturation behaviour of mixers / PAsミキサ / PA の飽和挙動:同樣是 describing function 的應用場景。: another application of the describing function.：これも記述関数の応用場面です。

8. 總結8. Summary8. まとめ

設計流程速查Design-flow quick reference設計フロー早見表

1. 小訊號階段Small-signal stage小信号の段階(start-up):設計 \( |AH| \gg 1 \) 與正確相位 → LTI 角度「不穩定」,讓雜訊指數放大(start-up): design for \( |AH| \gg 1 \) with the correct phase → “unstable” in the LTI sense, so that noise is amplified exponentially（start-up）：\( |AH| \gg 1 \) と正しい位相になるよう設計する → LTI の意味では「不安定」で、雑音が指数関数的に増幅される
2. 大訊號階段Large-signal stage大信号の段階(穩態):非線性使 \( g_m \) 自動下降,\( |NH| = 1 \) → 收斂到穩定極限環(steady state): nonlinearity makes \( g_m \) drop automatically, \( |NH| = 1 \) → convergence to a stable limit cycle（定常状態）：非線形性により \( g_m \) が自動的に低下し、\( |NH| = 1 \) → 安定なリミットサイクルへ収束する
3. 擾動分析Perturbation analysis摂動解析(phase noise):極限環附近線性化,套用 Leeson model(phase noise): linearize about the limit cycle and apply the Leeson model（位相雑音）：リミットサイクル近傍で線形化し、Leeson モデルを適用する