90° Hybrid 單平衡混頻器方塊圖90° Hybrid Single-Balanced Mixer Block Diagram90° ハイブリッド 単平衡ミキサ ブロック図
slide 26 — 逐元素解析slide 26 — element-by-element explainedslide 26 — 要素ごとの解説

① $a_1 v^2$ 從哪來？① Where does $a_1 v^2$ come from?① $a_1 v^2$ はどこから来るのか？ 單一二極體的 I-V 曲線非線性，把電流對外加電壓做 Taylor 展開： The I–V curve of a single diode is nonlinear; expanding the current as a Taylor series in the applied voltage: 単一ダイオードの I–V 曲線は非線形です。印加電圧について電流を Taylor 展開すると：

⚠ 本課/Pozar 的⚠ The ⚠ 本講義（および Pozar）の編號慣例numbering convention番号付けの慣例是把 in this course (and in Pozar) calls the では、二次項second-order term2 次の項叫 $a_1$（不是 $a_2$）。$a_1$ 是$a_1$ (not $a_2$). So $a_1$ is the を $a_1$（$a_2$ ではなく）と呼びます。したがって $a_1$ は平方律係數square-law coefficient平方則係数，是, and it is であり、整顆混頻器的引擎the engine of the entire mixerミキサ全体のエンジン — 沒有 $v^2$ 項就沒有混頻： — without the $v^2$ term there is no mixing: です — $v^2$ の項がなければミキシングは起こりません：

那個 $\cos(\omega_{RF}-\omega_{LO})t$ 就是我們要的 IF。線性項（$a_0 v$）只是訊號穿過，不會產生新頻率；三次以上的高階項（$a_2 v^3$ 等）會產生 IM3 等失真，但平方項才是混頻的主角。That $\cos(\omega_{RF}-\omega_{LO})t$ is the IF we want. The linear term ($a_0 v$) merely passes the signal through and generates no new frequencies; higher-order terms from the cube upwards ($a_2 v^3$ and so on) produce IM3 and other distortion — but it is the square term that does the mixing.この $\cos(\omega_{RF}-\omega_{LO})t$ こそが欲しい IF です。線形項（$a_0 v$）は信号を通すだけで新しい周波数を生みません。3 次以上の高次項（$a_2 v^3$ など）は IM3 などの歪みを生みますが、ミキシングの主役はあくまで 2 乗項です。

② 「$\pm$」從哪來？② Where does the “$\pm$” come from?②「$\pm$」はどこから来るのか？ 兩個二極體是 The two diodes are connected in series 2 つのダイオードは反向back to back逆向き串接（anti-parallel）。把上面那顆寫成 $+a_1 v^2$，下面那顆因為電流方向定義相反，必須帶(anti-parallel). Writing the upper one as $+a_1 v^2$, the lower one must carry a に直列接続（anti-parallel）されています。上側を $+a_1 v^2$ と書くと、下側は電流の向きの定義が逆になるため負號minus signマイナス符号：:を付けなければなりません：

什麼是 $v_n(t)$？What is $v_n(t)$?$v_n(t)$ とは何か？ 它是 It is the それはLO 上的 AM 噪聲AM noise on the LOLO 上の AM ノイズ（amplitude noise）— 實際的 LO 並非純的 $V_{LO}\cos\omega_{LO}t$，包絡會隨時間微微抖動：(amplitude noise) — a real LO is not a pure $V_{LO}\cos\omega_{LO}t$; its envelope jitters slightly with time:（振幅ノイズ）です — 実際の LO は純粋な $V_{LO}\cos\omega_{LO}t$ ではなく、包絡線が時間とともにわずかに揺らぎます：
$\quad v_{LO,\text{real}}(t) = [V_{LO} + v_n(t)]\cos\omega_{LO}t$
因為 hybrid 是線性被動網路，這個包絡擾動會Because the hybrid is a linear passive network, this envelope perturbation is delivered ハイブリッドは線形受動回路網なので、この包絡線の揺らぎは 2 つのダイオードへ等量equally等量に送到兩顆二極體（共模 common-mode），所以兩顆的小信號模型裡都加同一個 $v_n(t)$。 to both diodes (common mode), so the same $v_n(t)$ appears in the small-signal model of each.届きます（コモンモード）。そのため両方の小信号モデルに同じ $v_n(t)$ が現れます。正是因為它是共模，被反向對的 $v_1^2 - v_2^2$ 對消掉It is precisely because it is common mode that the anti-parallel pair's $v_1^2 - v_2^2$ cancels itコモンモードだからこそ、逆向きペアの $v_1^2 - v_2^2$ によって打ち消される — 這就是「單平衡混頻器抑制 LO AM 噪聲」的數學機制。（PM 噪聲不在這個模型裡，需要另外處理。） — that is the mathematical mechanism by which “a single-balanced mixer suppresses LO AM noise”. (PM noise is not in this model and must be handled separately.) — これが「単平衡ミキサが LO の AM ノイズを抑圧する」ことの数学的な仕組みです。（PM ノイズはこのモデルには含まれておらず、別途扱う必要があります。）

③ 加總後神奇的事情發生：③ And then something magical happens when you sum them:③ そして足し合わせると不思議なことが起こります：

注意是 $v_1^2 \boldsymbol{-} v_2^2$（差，不是和！）。因為 $v_1, v_2$ 中 RF 部分同相、LO 部分反相（或反過來，取決於 hybrid 型號），這個Note that it is $v_1^2 \boldsymbol{-} v_2^2$ (a difference, not a sum!). Because the RF parts of $v_1$ and $v_2$ are in phase while the LO parts are in anti-phase (or vice versa, depending on the hybrid type), this ここが $v_1^2 \boldsymbol{-} v_2^2$（和ではなく差！）である点に注意してください。$v_1$ と $v_2$ の RF 成分は同相、LO 成分は逆相（ハイブリッドの種類によっては逆）なので、この差Poor差把共模東西（LO 二次諧波、LO AM 噪聲）對消， cancels the common-mode content (the LO second harmonic, the LO AM noise) and がコモンモード成分（LO の 2 次高調波、LO の AM ノイズ）を打ち消し、只保留 RF×LO 的交叉乘積keeps only the RF×LO cross productRF×LO の積だけを残します — 也就是想要的 IF。 — which is exactly the IF we want. — これがまさに欲しい IF です。

Step 1 — hybrid 把 RF 送到兩個二極體。Step 1 — the hybrid sends the RF to the two diodes.Step 1 — ハイブリッドが RF を 2 つのダイオードへ送る。 RF 從 port 1 入，依 $[S]$ 矩陣分配到 port 2、3： The RF enters at port 1 and is distributed to ports 2 and 3 by the $[S]$ matrix: RF は port 1 から入り、$[S]$ 行列に従って port 2 と port 3 へ分配されます：

Step 2 — 不匹配的二極體把 $\Gamma$ 倍反射回去。Step 2 — the mismatched diodes reflect $\Gamma$ times as much back.Step 2 — 不整合なダイオードが $\Gamma$ 倍を反射して返す。 二極體在 RF 頻率下是非線性負載，不是純 50 Ω；其電壓反射係數設為 $\Gamma$。所以從二極體端「往回打」進入 hybrid 的電壓是： At RF the diode is a nonlinear load, not a pure 50 Ω; let its voltage reflection coefficient be $\Gamma$. The voltage launched back into the hybrid from the diode end is therefore: RF 周波数においてダイオードは非線形負荷であり、純粋な 50 Ω ではありません。その電圧反射係数を $\Gamma$ とします。したがってダイオード側からハイブリッドへ「打ち返される」電圧は次のようになります：

$V_\Gamma^1, V_\Gamma^2$ 內藏的「$\Gamma$」就是二極體的反射係數本身；「$V_{RF}$」是原始輸入；前面的 $\dfrac{-j}{\sqrt{2}}$ 與 $\dfrac{-1}{\sqrt{2}}$ 是 hybrid 第一趟分配的相位與幅度。The “$\Gamma$” buried inside $V_\Gamma^1, V_\Gamma^2$ is the diode's own reflection coefficient; “$V_{RF}$” is the original input; and the leading $\dfrac{-j}{\sqrt{2}}$ and $\dfrac{-1}{\sqrt{2}}$ are the phase and amplitude of the hybrid's first split.$V_\Gamma^1, V_\Gamma^2$ の中に隠れている「$\Gamma$」がダイオード自身の反射係数、「$V_{RF}$」が元の入力、先頭の $\dfrac{-j}{\sqrt{2}}$ と $\dfrac{-1}{\sqrt{2}}$ がハイブリッドの 1 回目の分配における位相と振幅です。

Step 3 — hybrid 把這兩道反射再分配到 port 1（RF）與 port 4（LO）。Step 3 — the hybrid redistributes these two reflections to port 1 (RF) and port 4 (LO).Step 3 — ハイブリッドがこの 2 つの反射を port 1（RF）と port 4（LO）へ再分配する。 因為 hybrid 是 reciprocal（$S_{12}=S_{21}$）， Because the hybrid is reciprocal ($S_{12}=S_{21}$), the ハイブリッドは可逆（$S_{12}=S_{21}$）なので、來回return trip往復用同一組係數： uses the same set of coefficients:には同じ係数の組が使われます：

$S_{12}V_\Gamma^1$ = 從 diode 1 反射的訊號，經由 hybrid 的 2→1 路徑回到 RF 埠；$S_{13}V_\Gamma^2$ = 從 diode 2 反射的訊號，經由 3→1 路徑回到 RF 埠。兩條疊加得到 RF 埠看到的總反射。$S_{12}V_\Gamma^1$ = the signal reflected from diode 1, returning to the RF port along the hybrid's 2→1 path; $S_{13}V_\Gamma^2$ = the signal reflected from diode 2, returning to the RF port along the 3→1 path. Superposing the two gives the total reflection seen at the RF port.$S_{12}V_\Gamma^1$ = diode 1 から反射した信号がハイブリッドの 2→1 経路で RF ポートへ戻ったもの、$S_{13}V_\Gamma^2$ = diode 2 から反射した信号が 3→1 経路で RF ポートへ戻ったものです。この 2 つを重ね合わせたものが、RF ポートで見える総反射になります。

① $j\Gamma V_{RF}$ 是 $V_\Gamma^{LO}$ 的值① $j\Gamma V_{RF}$ is the value of $V_\Gamma^{LO}$① $j\Gamma V_{RF}$ は $V_\Gamma^{LO}$ の値 — 二極體不匹配時，洩漏到 LO 埠（port 4）的反射電壓。拆解： — the reflected voltage that leaks to the LO port (port 4) when the diodes are mismatched. Broken down: — ダイオードが不整合のときに LO ポート（port 4）へ漏れ出す反射電圧です。分解すると：

所以 LO 埠看到的洩漏訊號振幅 $= |\Gamma|\!\cdot\!|V_{RF}|$、相位比 RF 輸入超前 $90°$。$j$ 是怎麼出現的？兩條反射路徑經 hybrid 走到 LO 埠時剛好So the leakage seen at the LO port has amplitude $= |\Gamma|\!\cdot\!|V_{RF}|$ and leads the RF input by $90°$ in phase. Where does the $j$ come from? When the two reflected paths travel through the hybrid to the LO port they happen to したがって LO ポートで見える漏れ信号は振幅が $= |\Gamma|\!\cdot\!|V_{RF}|$、位相は RF 入力より $90°$ 進んでいます。この $j$ はどこから現れたのでしょうか。2 つの反射経路がハイブリッドを通って LO ポートへ達するとき、ちょうど同相相加add in phase同相で加算され（不像在 RF 埠是相消），疊加後留下殘餘的 $j$ 相位因子。(unlike at the RF port, where they cancel), and their superposition leaves a residual $j$ phase factor.（RF ポートで打ち消し合うのとは対照的に）、その重ね合わせに $j$ の位相因子が残るためです。

② $|V_\Gamma^{LO}/V_{RF}|=|\Gamma|$ 是 RF→LO 的耦合比（= RF-LO 隔離度的倒數）。② $|V_\Gamma^{LO}/V_{RF}|=|\Gamma|$ is the RF→LO coupling ratio (= the reciprocal of the RF-LO isolation).② $|V_\Gamma^{LO}/V_{RF}|=|\Gamma|$ は RF→LO の結合比（＝ RF-LO アイソレーションの逆数）です。

把 $|V_\Gamma^{LO}|=|j\Gamma V_{RF}|=|\Gamma|\!\cdot\!|V_{RF}|$ 兩邊除以 $|V_{RF}|$ 即得：Dividing both sides of $|V_\Gamma^{LO}|=|j\Gamma V_{RF}|=|\Gamma|\!\cdot\!|V_{RF}|$ by $|V_{RF}|$ gives:$|V_\Gamma^{LO}|=|j\Gamma V_{RF}|=|\Gamma|\!\cdot\!|V_{RF}|$ の両辺を $|V_{RF}|$ で割ると、次が得られます：

物理意義：Physical meaning:物理的な意味： 從 RF 輸入「漏」到 LO 埠的比例， the fraction of the RF input that “leaks” to the LO port is RF 入力から LO ポートへ「漏れる」割合は、正好等於二極體反射係數的大小exactly equal to the magnitude of the diode reflection coefficientダイオードの反射係数の大きさにちょうど等しい。.のです。

隔離度（dB）$= -20\log_{10}|\Gamma|$。Isolation (dB) $= -20\log_{10}|\Gamma|$.アイソレーション（dB）$= -20\log_{10}|\Gamma|$。

整體結論：Overall conclusion:全体の結論： 90° hybrid 版本給你兩件事 — RF 埠 the 90° hybrid version gives you two things — the RF port is 90° ハイブリッド版が与えてくれるものは 2 つあります — RF ポートは無條件完美匹配unconditionally and perfectly matched無条件で完全に整合（$V_\Gamma^{RF}=0$）✅；但 RF-LO 隔離度($V_\Gamma^{RF}=0$) ✅; but the RF-LO isolation （$V_\Gamma^{RF}=0$）✅。しかし RF-LO 間のアイソレーションは取決於你能多好地匹配二極體depends on how well you can match the diodesダイオードをどれだけよく整合させられるかに依存します（$|V_\Gamma^{LO}/V_{RF}|=|\Gamma|$）⚠。這就是這顆拓樸的招牌交換。($|V_\Gamma^{LO}/V_{RF}|=|\Gamma|$) ⚠. That is the signature trade of this topology.（$|V_\Gamma^{LO}/V_{RF}|=|\Gamma|$）⚠。これがこの構成の代名詞となるトレードオフです。