Smith Chart 上「三種圓」的差異The difference between the “three kinds of circles” on the Smith chartスミスチャート上の「3 種類の円」の違い

要看你說的是哪個「圓」 — Smith 圖上有三種不同的圓，常被混為一談。下面把它們的圓心位置、物理意義、設計用途整理清楚。 It depends which “circle” you mean — the Smith chart carries three different kinds of circle, and they are frequently conflated. Below, their centres, physical meanings and design uses are set out clearly. どの「円」を指しているかによります。スミスチャートには3 種類の異なる円があり、しばしば混同されます。以下では、それぞれの中心・物理的意味・設計上の用途を整理します。

圓 1：constant-$|\Gamma|$ 圓（同心圓）Circle 1: the constant-$|\Gamma|$ circle (concentric circles)円 1：定 $|\Gamma|$ 円（同心円）

▸ 如何得到這個圓？（點開展開）▸ How do you obtain this circle? (click to expand)▸ この円はどうやって求めるのか？（クリックで展開）

只需一個輸入：一個阻抗（或反射係數）。流程如下：It needs only one input: an impedance (or a reflection coefficient). The procedure is:必要な入力は 1 つだけ、インピーダンス（または反射係数）です。手順は次のとおりです。

三步驟Three steps3 つのステップ

步驟 1 — 從阻抗 $Z$ 算出反射係數Step 1 — compute the reflection coefficient from the impedance $Z$ステップ 1 — インピーダンス $Z$ から反射係数を求める

給定任何阻抗 $Z$ 與參考阻抗 $Z_0 = 50\,\Omega$：Given any impedance $Z$ and a reference impedance $Z_0 = 50\,\Omega$:任意のインピーダンス $Z$ と基準インピーダンス $Z_0 = 50\,\Omega$ が与えられたとき：

$$\Gamma = \frac{Z - Z_0}{Z + Z_0}$$

步驟 2 — 取模Step 2 — take the magnitudeステップ 2 — 絶対値をとる

$$|\Gamma| = \left|\frac{Z - Z_0}{Z + Z_0}\right|$$

這個數值就是圓的半徑（範圍 $0 \le |\Gamma| \le 1$）。This value is the circle's Radius(in the range $0 \le |\Gamma| \le 1$).この値が円の半径です（範囲は $0 \le |\Gamma| \le 1$）。

步驟 3 — 畫圓Step 3 — draw the circleステップ 3 — 円を描く

以 Smith 圖中心（$\Gamma = 0$ 點，對應 $Z_0 = 50\,\Omega$）為圓心，畫出半徑 $|\Gamma|$ 的圓。Draw a circle of radius $|\Gamma|$ centred on the middle of the Smith chart (the point $\Gamma = 0$, corresponding to $Z_0 = 50\,\Omega$).スミスチャートの中心（$\Gamma = 0$ の点、$Z_0 = 50\,\Omega$ に対応）を中心として、半径 $|\Gamma|$ の円を描きます。

具體例子A worked example具体例

設 $Z = 100 + j50\,\Omega$：Take $Z = 100 + j50\,\Omega$:$Z = 100 + j50\,\Omega$ とすると：

$$\Gamma = \frac{(100+j50) - 50}{(100+j50) + 50} = \frac{50+j50}{150+j50} \approx 0.4 + j0.2 = 0.447\angle 26.6°$$ $$\Rightarrow\;\; |\Gamma| = 0.447$$

→ 以原點為圓心、半徑 $0.447$ 畫圓，即得 $Z = 100+j50$ 對應的 constant-$|\Gamma|$ 圓。→ draw a circle of radius $0.447$ about the origin, and that is the constant-$|\Gamma|$ circle corresponding to $Z = 100+j50$.→ 原点を中心に半径 $0.447$ の円を描けば、それが $Z = 100+j50$ に対応する定 $|\Gamma|$ 円です。

物理意義 — 為什麼是「圓」而不是別的形狀Physical meaning — why a “circle” and not some other shape物理的意味 — なぜ「円」であって他の形ではないのか

如果你接一段無耗的 50 Ω 傳輸線到負載 $Z$，沿著線走，每一點看到的阻抗都不一樣，但反射係數的大小不變，只有相位變：If you connect a length of lossless 50 Ω transmission line to the load $Z$, then as you move along the line the impedance you see is different at every point, but the magnitude of the reflection coefficient does not change— only its phase changes:負荷 $Z$ に無損失の 50 Ω 伝送線路を接続すると、線路に沿って進むにつれて見えるインピーダンスは点ごとに異なりますが、反射係数の大きさは変わらず、変わるのは位相だけです：

$$\Gamma(\ell) = \Gamma_L \cdot e^{-j2\beta\ell}$$
  • $|\Gamma(\ell)| = |\Gamma_L|$ ← 模不變$|\Gamma(\ell)| = |\Gamma_L|$ ← the magnitude is unchanged$|\Gamma(\ell)| = |\Gamma_L|$ ← 絶対値は不変
  • $\angle\Gamma(\ell) = \angle\Gamma_L - 2\beta\ell$ ← 相位隨距離改變$\angle\Gamma(\ell) = \angle\Gamma_L - 2\beta\ell$ ← the phase changes with distance$\angle\Gamma(\ell) = \angle\Gamma_L - 2\beta\ell$ ← 位相は距離とともに変化

複數座標下「模不變、相位變」的軌跡就是以原點為心的圓 — 這就是 constant-$|\Gamma|$ 圓的物理由來。In the complex plane, the locus of “constant magnitude, varying phase” is precisely a circle centred on the origin — that is the physical origin of the constant-$|\Gamma|$ circle.複素平面において「絶対値一定・位相のみ変化」となる軌跡は、まさに原点を中心とする円です — これが定 $|\Gamma|$ 円の物理的な由来です。

在下方互動圖裡In the interactive figure below下の対話図では

  1. 拉「起始 $|\Gamma_0|$」滑桿 → 改變圓的Drag the “initial $|\Gamma_0|$” slider → changes the circle's 「初期 $|\Gamma_0|$」スライダーを動かす → 円の半徑Radius半径
  2. 拉「起始 $\angle\Gamma_0$」滑桿 → 改變灰色起點在圓上的Drag the “initial $\angle\Gamma_0$” slider → changes the 「初期 $\angle\Gamma_0$」スライダーを動かす → 円上での灰色の開始点の初始位置starting position初期位置
  3. 拉「串聯線長 $\ell$」滑桿 → 藍色點沿圓順時針旋轉（toward generator）of the grey start point on the circle. Drag the “series line length $\ell$” slider → the blue point rotates clockwise around the circle (toward the generator)「直列線路長 $\ell$」スライダーを動かす → 青い点が円に沿って時計回りに回転（toward generator）

不管怎麼拉，藍色點都不會離開那個圓，這就視覺化了「同 $|\Gamma|$ 圓」的存在。However you drag them, the blue point never leaves that circle — which is exactly what makes the “constant-$|\Gamma|$ circle” visible.どうスライダーを動かしても青い点はその円から外れません。これが「定 $|\Gamma|$ 円」の存在を視覚化しています。

互動：串聯線沿 constant-$|\Gamma|$ 圓旋轉Interactive: a series line rotating along the constant-$|\Gamma|$ circleインタラクティブ：直列線路による定 $|\Gamma|$ 円上の回転

藍色軌跡 = 同心圓上的旋轉。注意 $|\Gamma|$、VSWR、回波損失三個量在過程中都不變。The blue locus = rotation on a concentric circle. Note that $|\Gamma|$, the VSWR and the return loss all stay constant.青い軌跡 = 同心円上の回転。$|\Gamma|$、VSWR、リターンロスの 3 つはいずれも変化しないことに注意してください。
▸ 為什麼是 $2\beta\ell$ 而不是 $\beta\ell$？（點開展開）▸ Why $2\beta\ell$ and not $\beta\ell$? (click to expand)▸ なぜ $\beta\ell$ ではなく $2\beta\ell$ なのか？（クリックで展開）

關鍵：$\Gamma$ 是「反射波 / 入射波」的比值 — 反射係數的相位包含往返兩段線的相位累積。The key point: $\Gamma$ is the ratio “reflected wave / incident wave” — its phase accumulates over both legs of the round trip along the line.要点：$\Gamma$ は「反射波 / 入射波」の比であり、その位相には線路を往復する 2 区間ぶんの位相が累積します。

推導Derivation導出

無耗線上電壓由前進波（往負載）與反射波（往源端）疊加：On a lossless line the voltage is the superposition of the forward wave (towards the load) and the reflected wave (towards the source):無損失線路上の電圧は、前進波（負荷方向）と反射波（電源方向）の重ね合わせで表されます：

$$V^+(z) = V_0^+ e^{-j\beta z}, \qquad V^-(z) = V_0^- e^{+j\beta z}$$

在位置 $z$ 的局部反射係數：The local reflection coefficient:位置 $z$ における局部反射係数：

$$\Gamma(z) = \frac{V^-(z)}{V^+(z)} = \frac{V_0^- e^{+j\beta z}}{V_0^+ e^{-j\beta z}} = \underbrace{\frac{V_0^-}{V_0^+}}_{=\,\Gamma_L\text{ 在 }z=0} \cdot e^{+j2\beta z}$$ $$\Gamma(z) = \frac{V^-(z)}{V^+(z)} = \frac{V_0^- e^{+j\beta z}}{V_0^+ e^{-j\beta z}} = \underbrace{\frac{V_0^-}{V_0^+}}_{=\,\Gamma_L\text{ at }z=0} \cdot e^{+j2\beta z}$$ $$\Gamma(z) = \frac{V^-(z)}{V^+(z)} = \frac{V_0^- e^{+j\beta z}}{V_0^+ e^{-j\beta z}} = \underbrace{\frac{V_0^-}{V_0^+}}_{=\,\Gamma_L\ (z=0)} \cdot e^{+j2\beta z}$$

設負載在 $z = 0$，往源端方向走距離 $\ell$（即 $z = -\ell$）：at position $z$. Placing the load at $z = 0$ and moving a distance $\ell$ towards the source (i.e. $z = -\ell$):負荷を $z = 0$ に置き、電源方向へ距離 $\ell$ だけ進んだ位置（すなわち $z = -\ell$）では：

$$\boxed{\;\Gamma(\ell) = \Gamma_L \cdot e^{-j2\beta\ell}\;}$$

物理直覺：往返兩段Physical intuition: two legs, out and back物理的直観：往復の 2 区間

  • 波從輸入端走到負載：累積相位 $\beta\ell$（一段）The wave travels from the input to the load: it accumulates a phase $\beta\ell$ (the first leg)波は入力端から負荷まで進む：位相 $\beta\ell$ を蓄積（第 1 区間）
  • 反射後從負載走回輸入端：再累積 $\beta\ell$（第二段）After reflecting, it travels from the load back to the input: another $\beta\ell$ (the second leg)反射後、負荷から入力端へ戻る：さらに $\beta\ell$（第 2 区間）
  • 合計：$\Gamma$ 相位變化 $= 2\beta\ell$（一個往返）In total: the phase of $\Gamma$ changes by $= 2\beta\ell$ (one round trip)合計：$\Gamma$ の位相変化は $= 2\beta\ell$（1 往復）

對比：阻抗 $Z(\ell)$ 是「電壓 / 電流」的瞬時比，不是往返量，因此公式裡只出現 $\tan(\beta\ell)$、不是 $\tan(2\beta\ell)$。By contrast, the impedance $Z(\ell)$ is the instantaneous ratio “voltage / current”, not a round-trip quantity, which is why its formula contains $\tan(\beta\ell)$ and not $\tan(2\beta\ell)$.対照的に、インピーダンス $Z(\ell)$ は「電圧 / 電流」の瞬時比であって往復量ではありません。そのため式には $\tan(2\beta\ell)$ ではなく $\tan(\beta\ell)$ が現れます。

換算成 $\lambda$ 單位Converting to units of $\lambda$$\lambda$ 単位への換算

$\beta = 2\pi/\lambda$，所以：$\beta = 2\pi/\lambda$, so:$\beta = 2\pi/\lambda$ なので：

$$2\beta\ell = 2 \cdot \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \ell = 4\pi \cdot \frac{\ell}{\lambda} = 4\pi L$$

其中 $L = \ell/\lambda$ 是滑桿的值。對應到程式：where $L = \ell/\lambda$ is the slider value. In the code this becomes:ここで $L = \ell/\lambda$ がスライダーの値です。コードでは次のようになります：

const ang1 = ang0 - 4*Math.PI*L; // 2βℓ = 4π·L

關鍵 $\ell$ 值Key values of $\ell$重要な $\ell$ の値

$\ell$$2\beta\ell$圓上旋轉Rotation on the circle円上の回転
$\lambda/8$$90°$四分之一圈a quarter turn4 分の 1 周
$\lambda/4$$180°$半圈（阻抗反相，inverter）half a turn (impedance inversion, an inverter)半周（インピーダンス反転、インバータ）
$\lambda/2$$360°$整圈回到原位 — 這就是滑桿上限a full turn back to the start — which is the slider's upper limit1 周して元の位置へ — これがスライダーの上限

$\lambda/2$ 整圈循環就是「傳輸線的 $\lambda/2$ 週期性」 — 同一線長加減 $\lambda/2$，阻抗與反射係數完全相同。The full turn every $\lambda/2$ is exactly the “$\lambda/2$ periodicity of a transmission line” — adding or subtracting $\lambda/2$ from the same line length leaves the impedance and reflection coefficient completely unchanged.$\lambda/2$ ごとに 1 周するというのは、まさに「伝送線路の $\lambda/2$ 周期性」です — 同じ線路長に $\lambda/2$ を足しても引いても、インピーダンスと反射係数はまったく変わりません。

那為什麼 stub 公式是 $\tan(\beta\ell_s)$ 而不是 $\tan(2\beta\ell_s)$？So why is the stub formula $\tan(\beta\ell_s)$ and not $\tan(2\beta\ell_s)$?では、なぜスタブの式は $\tan(2\beta\ell_s)$ ではなく $\tan(\beta\ell_s)$ なのか？

這是同一個物理事實，兩種域的表達：This is the same physical fact expressed in two different domains:これは同一の物理的事実を 2 つの領域で表現したもの：

表達方式Expression表現角度Angle角度原因Reason理由
$\Gamma$ 旋轉（反射係數域）$\Gamma$ rotation (reflection-coefficient domain)$\Gamma$ の回転（反射係数領域）$2\beta\ell$$\Gamma = V^-/V^+$ 是兩個反向波的比，移動 $\ell$ 兩個波相位差 $2\beta\ell$$\Gamma = V^-/V^+$ is the ratio of two counter-propagating waves; move by $\ell$ and their phases differ by $2\beta\ell$$\Gamma = V^-/V^+$ は逆向きに進む 2 つの波の比であり、$\ell$ だけ移動すると両者の位相差は $2\beta\ell$ になる
$\tan(\beta\ell)$（阻抗 / 導納域）$\tan(\beta\ell)$ (impedance / admittance domain)$\tan(\beta\ell)$（インピーダンス / アドミタンス領域）$\beta\ell$$Z = V/I$ 是兩個波在同一點的疊加，化簡後因子 2 被三角恆等式吸收$Z = V/I$ is the superposition of the two waves at the same point, and on simplification the factor of 2 is absorbed by a trigonometric identity$Z = V/I$ は 2 つの波の同一点での重ね合わせであり、整理すると係数 2 は三角関数の恒等式に吸収される

驗證：用短路 stub 推一次看看。Verification: work it through once with a short-circuit stub.検証：短絡スタブで一度たどってみましょう。 短路時 $\Gamma_L = -1$，往源端走 $\ell_s$： For a short circuit $\Gamma_L = -1$; moving $\ell_s$ towards the source: 短絡では $\Gamma_L = -1$、電源方向へ $\ell_s$ 進むと：

$$\Gamma_{\text{in}} = -e^{-j2\beta\ell_s}$$

把 $\Gamma_{\text{in}}$ 換成阻抗：Converting $\Gamma_{\text{in}}$ back to an impedance:$\Gamma_{\text{in}}$ をインピーダンスに戻すと：

$$Z_{\text{in}} = Z_0\,\frac{1+\Gamma_{\text{in}}}{1-\Gamma_{\text{in}}} = Z_0\,\frac{1-e^{-j2\beta\ell_s}}{1+e^{-j2\beta\ell_s}}$$

用三角恆等式 $\dfrac{1-e^{-j2x}}{1+e^{-j2x}} = j\tan x$：Using the trigonometric identity $\dfrac{1-e^{-j2x}}{1+e^{-j2x}} = j\tan x$:三角関数の恒等式 $\dfrac{1-e^{-j2x}}{1+e^{-j2x}} = j\tan x$ を使うと：

$$\boxed{\;Z_{\text{in}} = jZ_0\tan(\beta\ell_s)\;}$$

原本指數裡的 $2\beta\ell_s$ 在化簡時被吸收成 $\tan(\beta\ell_s)$ — 因子 2 並沒有消失，只是「藏」在三角恆等式裡。The $2\beta\ell_s$ originally in the exponent is absorbed into $\tan(\beta\ell_s)$ during the simplification — the factor of 2 has not disappeared, it is merely “hidden” inside the trigonometric identity.もともと指数部にあった $2\beta\ell_s$ は、整理の過程で $\tan(\beta\ell_s)$ に吸収されます — 係数 2 は消えたのではなく、三角関数の恒等式の中に「隠れている」だけです。

記憶口訣A mnemonic覚え方

用哪個量Which quantityどの量を使うか用什麼角度Which angleどの角度を使うか
在 Smith 圖上轉圓（$\Gamma$ 域）Rotating around a circle on the Smith chart ($\Gamma$ domain)スミスチャート上で円を回る（$\Gamma$ 領域）$2\beta\ell$（往返）(round trip)（往復）
算 stub 的 $b$、$x$（$Y$ / $Z$ 域）Computing a stub's $b$ or $x$ ($Y$ / $Z$ domain)スタブの $b$ や $x$ を計算する（$Y$ / $Z$ 領域）$\beta\ell$（單程）(one way)（片道）

看到 $\tan$ / $\cot$ 公式就是單程 $\beta\ell$；看到 $e^{-j(\cdot)}$ 旋轉就是往返 $2\beta\ell$。Whenever you see a $\tan$ or $\cot$ formula it is one way $\beta\ell$; whenever you see an $e^{-j(\cdot)}$ rotation it is round trip $2\beta\ell$.$\tan$ / $\cot$ の式が出てきたら片道 の $\beta\ell$、$e^{-j(\cdot)}$ の回転が出てきたら往復 の $2\beta\ell$ です。

一句話總結In one sentence一言でまとめると

$\Gamma$ 是往返量，旋轉角是 $2\beta\ell$。Smith 圖上「toward generator $\lambda/2$」走完整圈，就是這個 2 倍因子的直接結果。Stub 的 $\tan(\beta\ell_s)$ 其實也含這個 2 倍因子，只是被三角恆等式化掉，看起來像單程。$\Gamma$ is a round-trip quantity, so its rotation angle is $2\beta\ell$. A full turn for “toward generator $\lambda/2$” on the Smith chart is a direct consequence of that factor of 2. The stub's $\tan(\beta\ell_s)$ actually contains the same factor of 2; it has simply been absorbed by a trigonometric identity so that it looks like a one-way trip.$\Gamma$ は往復量なので、その回転角は $2\beta\ell$ です。スミスチャート上で「toward generator $\lambda/2$」が 1 周になるのは、この 2 倍の係数の直接的な帰結です。スタブの $\tan(\beta\ell_s)$ にも実は同じ 2 倍の係数が含まれており、三角関数の恒等式に吸収されて片道のように見えているだけです。

圓 2：constant-$G_S$ 圓（增益圓）Circle 2: the constant-$G_S$ circle (gain circle)円 2：定 $G_S$ 円（利得円）

$G_S$ 圓上的點代表什麼？What do the points on the $G_S$ circle represent?$G_S$ 円上の点は何を表すのか？

「$G_S$ 圓上面的點所代表的阻抗值」這個說法是對的 — 因為：The statement “the impedance values represented by points on the $G_S$ circle” is correct — because:「$G_S$ 円上の点が表すインピーダンス値」という言い方は正しいものです — なぜなら：

$G_S$ 圓上的位置Position on the $G_S$ circle$G_S$ 円上の位置$\Gamma_s$ 值$\Gamma_s$ value$\Gamma_s$ の値對應 $z_s$Corresponding $z_s$対応する $z_s$
圓心點（最大增益）The centre point (maximum gain)中心点（最大利得）$S_{11}^*$$z_s = (1+S_{11}^*)/(1-S_{11}^*)$
圓上的其他點Other points on the circle円上のその他の点不同的 $\Gamma_s$A different $\Gamma_s$異なる $\Gamma_s$不同的 $z_s$A different $z_s$異なる $z_s$

所有這些點的 $\Gamma_s$ / $z_s$ 都不同，但給出同一個 $G_S$。All of these points have different $\Gamma_s$ / $z_s$, yet they all give the same $G_S$.これらの点はいずれも $\Gamma_s$ / $z_s$ が異なりますが、同じ $G_S$ を与えます。 設計者可以從圓上挑一個方便實做的阻抗（避開太靠近 short / open、或避開穩定區外）。 The designer can pick whichever impedance on the circle is most convenient to realise (avoiding points too close to a short or open, or points outside the stable region). 設計者は円上から実現しやすいインピーダンスを選べます（short / open に近すぎる点や、安定領域の外にある点を避ける）。

互動：在 constant-$G_S$ 圓上找候選 $\Gamma_s$ / $z_s$Interactive: finding candidate $\Gamma_s$ / $z_s$ on a constant-$G_S$ circleインタラクティブ：定 $G_S$ 円上で $\Gamma_s$ / $z_s$ の候補を探す

紅圓 = 你選的 $G_S$ 圓。在 canvas 上滑鼠移動會 snap 到圓上，顯示該點的 $\Gamma_s$ 與 $z_s$ — 圓上所有點給同一個 $G_S$。The red circle is the $G_S$ circle you selected. Moving the mouse over the canvas snaps to the circle and displays that point's $\Gamma_s$ and $z_s$ — every point on the circle gives the same $G_S$.赤い円 = 選択した $G_S$ 円です。canvas 上でマウスを動かすと円上にスナップし、その点の $\Gamma_s$ と $z_s$ が表示されます — 円上のすべての点が同じ $G_S$ を与えます。

圓 3：constant-$g$ 圓（等電導圓）Circle 3: the constant-$g$ circle (constant-conductance circle)円 3：定 $g$ 円（等コンダクタンス円）

▸ 並聯開路短截線：$b = \tan(\beta\ell_s)$（點開展開）▸ A shunt open-circuit stub: $b = \tan(\beta\ell_s)$ (click to expand)▸ 並列開放スタブ：$b = \tan(\beta\ell_s)$（クリックで展開）

推導Derivation導出

開路短截線的終端 $Z_L \to \infty$（斷路）。代入傳輸線輸入阻抗公式並取極限：An open-circuit stub is terminated in $Z_L \to \infty$ (an open circuit). Substituting into the transmission-line input-impedance formula and taking the limit:開放スタブの終端は $Z_L \to \infty$（開放）です。伝送線路の入力インピーダンス式に代入して極限をとると：

$$Z_{\text{in}} = Z_0 \cdot \frac{Z_L + j Z_0 \tan(\beta\ell_s)}{Z_0 + j Z_L \tan(\beta\ell_s)} \xrightarrow{Z_L\to\infty} \frac{Z_0}{j\tan(\beta\ell_s)} = -j Z_0 \cot(\beta\ell_s)$$
▸ 傳輸線輸入阻抗公式怎麼來的？（點開展開）▸ Where does the transmission-line input-impedance formula come from? (click to expand)▸ 伝送線路の入力インピーダンス式はどこから来るのか？（クリックで展開）

步驟 1 — 線上的電壓電流通解Step 1 — the general solution for voltage and current on the lineステップ 1 — 線路上の電圧・電流の一般解

無耗傳輸線上的電壓電流，由前進波 + 反射波疊加而成：The voltage and current on a lossless transmission line are the superposition of a forward wave + and a reflected wave:無損失伝送線路上の電圧と電流は、前進波 + と反射波の重ね合わせで表されます：

$$V(z) = V^+ e^{-j\beta z} + V^- e^{+j\beta z}$$ $$I(z) = \frac{V^+}{Z_0} e^{-j\beta z} - \frac{V^-}{Z_0} e^{+j\beta z}$$

座標系：設負載在 $z = 0$，輸入端在 $z = -\ell$。Coordinate system: place the load at $z = 0$ and the input at $z = -\ell$.座標系：負荷を $z = 0$、入力端を $z = -\ell$ に置きます。

步驟 2 — 在負載端套邊界條件Step 2 — apply the boundary condition at the loadステップ 2 — 負荷端で境界条件を適用する

在 $z = 0$：At $z = 0$:$z = 0$ では：

$$V(0) = V^+ + V^-, \qquad I(0) = \frac{V^+ - V^-}{Z_0}$$

負載阻抗 $Z_L = V(0)/I(0)$：The load impedance $Z_L = V(0)/I(0)$:負荷インピーダンス $Z_L = V(0)/I(0)$：

$$Z_L = Z_0 \cdot \frac{V^+ + V^-}{V^+ - V^-}$$

直接把 $V(0)$、$I(0)$ 相除就得到這條。分子是兩波電壓的和，分母是差 — 因為反射波往 $-z$ 方向跑，$I = V/Z_0$ 的關係對它要翻一個負號，所以 $I(0)$ 裡 $V^-$ 帶負號。Dividing $V(0)$ by $I(0)$ directly gives this. The numerator is the and of the two wave voltages, and the denominator is their Poor — because the reflected wave travels in the $-z$ direction, the relation $I = V/Z_0$ picks up a minus sign for it, so $V^-$ enters $I(0)$ with a negative sign.$V(0)$ と $I(0)$ をそのまま割ればこの式が得られます。分子は 2 つの波の電圧の和、分母は差 です — 反射波は $-z$ 方向に進むため、$I = V/Z_0$ の関係は反射波に対して符号が反転し、$I(0)$ の中で $V^-$ は負号を伴います。

定義負載反射係數：Definition load reflection coefficient:定義負荷反射係数：

$$\Gamma_L = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}$$

把上面 $Z_L$ 的分子分母都除以 $V^+$，可改寫成反射係數形式（與上式等價）：Dividing both numerator and denominator of $Z_L$ above by $V^+$ rewrites it in reflection-coefficient form(equivalent to the expression above):上の $Z_L$ の分子と分母をともに $V^+$ で割ると、反射係数の形に書き換えられます（上式と等価）：

$$Z_L = Z_0 \cdot \frac{1 + \Gamma_L}{1 - \Gamma_L}$$

步驟 3 — 計算輸入端阻抗Step 3 — compute the input impedanceステップ 3 — 入力端インピーダンスを計算する

在 $z = -\ell$：At $z = -\ell$:$z = -\ell$ では：

$$V(-\ell) = V^+\!\left[e^{+j\beta\ell} + \Gamma_L e^{-j\beta\ell}\right]$$ $$I(-\ell) = \frac{V^+}{Z_0}\!\left[e^{+j\beta\ell} - \Gamma_L e^{-j\beta\ell}\right]$$

兩者相除：Dividing the two:両者を割ると：

$$Z_{\text{in}} = Z_0 \cdot \frac{e^{+j\beta\ell} + \Gamma_L e^{-j\beta\ell}}{e^{+j\beta\ell} - \Gamma_L e^{-j\beta\ell}}$$

步驟 4 — 化簡（套入 $\Gamma_L$ 並用 Euler 公式）Step 4 — simplify (substitute $\Gamma_L$ and use Euler's formula)ステップ 4 — 整理する（$\Gamma_L$ を代入し、オイラーの公式を使う）

代入 $\Gamma_L = (Z_L - Z_0)/(Z_L + Z_0)$，分子分母都乘以 $(Z_L + Z_0)$：Substituting $\Gamma_L = (Z_L - Z_0)/(Z_L + Z_0)$ and multiplying numerator and denominator by $(Z_L + Z_0)$:$\Gamma_L = (Z_L - Z_0)/(Z_L + Z_0)$ を代入し、分子と分母をともに $(Z_L + Z_0)$ 倍すると：

分子：Numerator:分子：

$$(Z_L + Z_0)e^{+j\beta\ell} + (Z_L - Z_0) e^{-j\beta\ell} = 2Z_L \cos(\beta\ell) + 2j Z_0 \sin(\beta\ell)$$

分母（類推）：Denominator (by analogy):分母（同様に）：

$$2Z_0 \cos(\beta\ell) + 2j Z_L \sin(\beta\ell)$$

代回後再把分子分母都除以 $\cos(\beta\ell)$：Substituting back and then dividing numerator and denominator by $\cos(\beta\ell)$:代入し直したうえで、分子と分母をともに $\cos(\beta\ell)$ で割ると：

$$\boxed{\,Z_{\text{in}} = Z_0 \cdot \frac{Z_L + j Z_0 \tan(\beta\ell)}{Z_0 + j Z_L \tan(\beta\ell)}\,}$$

特例驗證Checking the special cases特別な場合の検証

情況Case場合代入Substituting代入結果Result結果
$\ell = 0$$\tan 0 = 0$$Z_{\text{in}} = Z_L$ ✓
$Z_L = Z_0$（匹配）$Z_L = Z_0$ (matched)$Z_L = Z_0$（整合）分子 = $Z_0(1+j\tan)$numerator = $Z_0(1+j\tan)$分子 = $Z_0(1+j\tan)$$Z_{\text{in}} = Z_0$ ✓（線長無關）$Z_{\text{in}} = Z_0$ ✓ (independent of line length)$Z_{\text{in}} = Z_0$ ✓（線路長に依存しない）
$\ell = \lambda/4$$\tan(\pi/2)\to\infty$$Z_{\text{in}} = Z_0^2/Z_L$（impedance inverter）$Z_{\text{in}} = Z_0^2/Z_L$ (an impedance inverter)$Z_{\text{in}} = Z_0^2/Z_L$（インピーダンスインバータ）
$Z_L = 0$（短路）$Z_L = 0$ (short circuit)$Z_L = 0$（短絡）$Z_{\text{in}} = j Z_0 \tan(\beta\ell)$
$Z_L = \infty$（開路）$Z_L = \infty$ (open circuit)$Z_L = \infty$（開放）$Z_{\text{in}} = -j Z_0 \cot(\beta\ell)$

最後兩個就是「短路 / 開路短截線」的特例 — 短截線公式都是這條主公式的子集。The last two are the special cases of the “short- / open-circuit stub” — every stub formula is a subset of this master formula.最後の 2 つが「短絡 / 開放スタブ」の特別な場合です — スタブの公式はすべてこの主公式の部分集合にすぎません。

核心物理The core physics本質的な物理

整條公式背後只有兩個事實：There are only two facts behind the whole formula:この式全体の背後にある事実は 2 つだけです：

  1. 線上的波是前進 + 反射兩個波的疊加the wave on the line is the superposition of a forward and a reflected wave線路上の波は前進波と反射波の重ね合わせである（無耗線假設）(the lossless-line assumption)（無損失線路の仮定）
  2. 負載決定反射係數 $\Gamma_L$the load determines the reflection coefficient $\Gamma_L$負荷が反射係数 $\Gamma_L$ を決める

加上三角恆等式整理出來，就是傳輸線最重要的公式之一。Tidy those up with a trigonometric identity and you have one of the most important formulas in transmission-line theory.これらを三角関数の恒等式で整理すれば、伝送線路理論で最も重要な公式の 1 つが得られます。

純電抗（reactive）。取倒數成導納 (admittance)：purely reactive. Taking the reciprocal to get the admittance:純リアクタンス性 (reactive) です。逆数をとってアドミタンス (admittance) にすると：

$$Y_{\text{in}} = \frac{1}{-j Z_0 \cot(\beta\ell_s)} = j Y_0 \tan(\beta\ell_s)$$

歸一化（除以 $Y_0$）：Normalizing (dividing by $Y_0$):正規化（$Y_0$ で割る）すると：

$$y_{\text{stub}} = j\tan(\beta\ell_s) = jb \;\;\Longrightarrow\;\; \boxed{b = \tan(\beta\ell_s)}$$

$\beta$ 跟 $\ell_s$ 怎麼換成 $\lambda$ 單位How to convert $\beta$ and $\ell_s$ into units of $\lambda$$\beta$ と $\ell_s$ を $\lambda$ 単位に換算する方法

相位常數 $\beta = 2\pi/\lambda$，所以：The phase constant is $\beta = 2\pi/\lambda$, so:位相定数は $\beta = 2\pi/\lambda$ なので：

$$\beta\ell_s = 2\pi \cdot \frac{\ell_s}{\lambda}$$

例如 $\ell_s = 0.100\lambda$：$\beta\ell_s = 36°$，$b = \tan(36°) \approx 0.727$。For example with $\ell_s = 0.100\lambda$: $\beta\ell_s = 36°$ and $b = \tan(36°) \approx 0.727$.たとえば $\ell_s = 0.100\lambda$ なら、$\beta\ell_s = 36°$、$b = \tan(36°) \approx 0.727$ です。

關鍵 $\ell_s$ 值的 $b$$b$ at key values of $\ell_s$代表的な $\ell_s$ での $b$

$\ell_s$$\beta\ell_s$$b = \tan(\beta\ell_s)$物理Physics物理
$0$$0°$$0$無作用（純粹是開路）No effect (it is simply an open circuit)作用なし（単なる開放）
$\lambda/8$$45°$$+1$電容性 susceptanceCapacitive susceptance容量性サセプタンス
$\lambda/4^-$$\to 90°^-$$\to +\infty$等效短路（impedance inverter）Equivalent to a short circuit (an impedance inverter)短絡と等価（インピーダンスインバータ）
$\lambda/4^+$$\to 90°^+$$\to -\infty$從另一邊跳到 $-\infty$Jumps to $-\infty$ from the other side反対側から $-\infty$ に飛ぶ
$3\lambda/8$$135°$$-1$電感性 susceptanceInductive susceptance誘導性サセプタンス
$\lambda/2$$180°$$0$$\lambda/2$ 週期，回到無作用The $\lambda/2$ period brings it back to having no effect$\lambda/2$ の周期で作用なしに戻る

為何用「開路」而不是「短路」Why “open” rather than “short”なぜ「短絡」ではなく「開放」を使うのか

  • PCB 製作容易Easier to fabricate on a PCBPCB 上で作りやすい：開路 = 線到此截止；短路 = 需要打 via 接地，多一道工序也增加寄生電感。: open = the line simply stops there; short = a via to ground is needed, which adds a process step and parasitic inductance.：開放 = 線路をそこで終わらせるだけ。短絡 = グラウンドへのビアが必要で、工程が 1 つ増え寄生インダクタンスも加わる。
  • 覆蓋整段 susceptanceIt covers the whole susceptance rangeサセプタンスの全域をカバーできる：開路短截線從 $\ell_s = 0$ 到 $\lambda/4$ 可以提供 $b \in (0,+\infty)$，再到 $\lambda/2$ 可提供 $b \in (-\infty, 0)$，整個 susceptance 範圍都涵蓋。: an open stub from $\ell_s = 0$ to $\lambda/4$ provides $b \in (0,+\infty)$, and from there to $\lambda/2$ it provides $b \in (-\infty, 0)$, covering the entire susceptance range.：開放スタブは $\ell_s = 0$ から $\lambda/4$ までで $b \in (0,+\infty)$ を、そこから $\lambda/2$ までで $b \in (-\infty, 0)$ を与え、サセプタンスの全範囲を網羅します。
  • 對應的短路短截線只是長度差 $\lambda/4$The corresponding short-circuit stub differs only by $\lambda/4$ in length対応する短絡スタブは長さが $\lambda/4$ 違うだけ：$b_{\text{short}} = -\cot(\beta\ell_s)$，與開路在曲線上互相平移 $\lambda/4$。: $b_{\text{short}} = -\cot(\beta\ell_s)$, which is the open-stub curve translated by $\lambda/4$.：$b_{\text{short}} = -\cot(\beta\ell_s)$ であり、開放スタブの曲線を $\lambda/4$ 平行移動したものです。

Demo 3 程式碼The code for Demo 3Demo 3 のコード

JavaScript 直接寫這個公式：The JavaScript writes this formula directly:JavaScript はこの式をそのまま書いています：

const L = +ls.value;// 短截線長度（單位 λ）// stub length (in units of λ)// スタブ長（単位 λ）
const b = Math.tan(2*Math.PI*L);// b = tan(βℓ_s) = tan(2π·L)

滑桿值 $L = \ell_s/\lambda$，乘以 $2\pi$ 就直接是輻角，不用先算 $\beta$。The slider value $L = \ell_s/\lambda$, multiplied by $2\pi$, is the argument directly — no need to compute $\beta$ first.スライダーの値 $L = \ell_s/\lambda$ に $2\pi$ を掛ければそのまま偏角になるので、先に $\beta$ を計算する必要はありません。

一句話總結In one sentence一言でまとめると

$b_{\text{open}} = \tan(\beta\ell_s)$，由開路傳輸線 $Z_L \to \infty$ 取極限得到。PCB 上幾乎都用開路（不用打 via），因此微波電路設計最常見的就是這個公式。$b_{\text{open}} = \tan(\beta\ell_s)$, obtained by taking the limit $Z_L \to \infty$ for an open-circuited line. PCBs almost always use open stubs (no via needed), which is why this is the formula you meet most often in microwave circuit design.$b_{\text{open}} = \tan(\beta\ell_s)$ は、開放伝送線路で $Z_L \to \infty$ の極限をとって得られます。PCB ではほぼ常に開放スタブが使われる（ビアが不要）ため、マイクロ波回路設計で最もよく目にするのがこの式です。

互動：並聯開路短截線沿 $g=1$ 圓滑動Interactive: a shunt open stub sliding along the $g=1$ circleインタラクティブ：並列開放スタブが $g=1$ 円に沿って移動する

綠色軌跡 = $g=1$ 圓。短截線加入 $jb = j\tan(\beta\ell_s)$，把點從中央沿 $g=1$ 圓拉到外面。$g$ 始終 = 1，只有 $b$ 在變。The green locus is the $g=1$ circle. The stub adds $jb = j\tan(\beta\ell_s)$, dragging the point from the centre outwards along the $g=1$ circle. $g$ stays at 1 throughout; only $b$ changes.緑の軌跡が $g=1$ 円です。スタブは $jb = j\tan(\beta\ell_s)$ を加え、点を中心から $g=1$ 円に沿って外側へ引っ張ります。$g$ は常に 1 のままで、変化するのは $b$ だけです。
▸ 為什麼是 $g=1$？（點開展開）▸ Why $g=1$? (click to expand)▸ なぜ $g=1$ なのか？（クリックで展開）

不是只能用 $g=1$ — 是因為 demo 的起點是 Smith 圖中心（$y = 1$，$g = 1$）。並聯短截線只改變 $b$、不改變 $g$，所以從中心出發必然沿 $g=1$ 圓滑動。It is not that $g=1$ is the only option — it is because the demo's starting point is the centre of the Smith chart($y = 1$, $g = 1$). A shunt stub changes only $b$ and not $g$, so starting from the centre you must slide along the $g=1$ circle.$g=1$ しか使えないわけではありません — このデモでは出発点がスミスチャートの中心（$y = 1$、$g = 1$）だからです。並列スタブは $b$ だけを変え $g$ を変えないので、中心から出発すれば必ず $g=1$ 円に沿って動きます。

物理規則The physical rule物理的な規則

並聯加入一個純電納 $jb_{\text{stub}}$：Adding a pure susceptance $jb_{\text{stub}}$ in shunt:純サセプタンス $jb_{\text{stub}}$ を並列に加えると：

$$y_{\text{new}} = y_{\text{old}} + jb_{\text{stub}}$$

實部不變（$g$ 守恆），只有虛部改變：The real part is unchanged ($g$ is conserved) and only the imaginary part changes:実部は変わらず（$g$ は保存され）、虚部だけが変化します：

$$g_{\text{new}} = g_{\text{old}}, \qquad b_{\text{new}} = b_{\text{old}} + b_{\text{stub}}$$

→ 點沿著「等 $g$ 圓」滑動The point slides along a “constant-$g$ circle”点は「定 $g$ 円」に沿って移動し，$g$ 等於多少由起點決定。, and the value of $g$ is set by the starting point.、$g$ の値は出発点によって決まります。

不同起點對應不同 $g$ 圓Different starting points correspond to different $g$ circles出発点が違えば $g$ 円も違う

起點 $y_0$Starting point $y_0$出発点 $y_0$起點所在的圓The circle the start point lies on出発点が乗っている円加入並聯 stub 後沿哪個圓走Which circle it travels along once the shunt stub is added並列スタブを加えた後にたどる円
$y_0 = 1$（中心）$y_0 = 1$ (the centre)$y_0 = 1$（中心）$g = 1$$g = 1$ ✓（demo 用這個）$g = 1$ ✓ (the one the demo uses)$g = 1$ ✓（デモで使っているもの）
$y_0 = 0.5 + j0.3$$g = 0.5$$g = 0.5$
$y_0 = 2 - j1$$g = 2$$g = 2$
$y_0 = 0.1 + j2$$g = 0.1$$g = 0.1$

為何 demo 選 $g=1$Why the demo chooses $g=1$なぜデモは $g=1$ を選ぶのか

原因Reason理由說明Notes説明
教學最簡單Simplest for teaching教材として最も簡単起點在中心，最直覺，且只需顯示一條 $g$ 圓The start point is at the centre, which is the most intuitive, and only one $g$ circle needs to be drawn出発点が中心にあるので最も直観的で、描く $g$ 円も 1 本で済む
單一短截線匹配中常見Common in single-stub matching単一スタブ整合でよく現れるsingle-stub matching 程序中，串聯線把 $\Gamma$ 旋轉到 $g=1$ 圓上，然後 stub 把虛部消掉回到中心 — $g=1$ 圓就是「停留站」In the single-stub matching procedure, a series line rotates $\Gamma$ onto the $g=1$ circle and the stub then cancels the imaginary part to return to the centre — the $g=1$ circle is the “waypoint”single-stub matching の手順では、直列線路が $\Gamma$ を $g=1$ 円上まで回し、続いてスタブが虚部を打ち消して中心へ戻します — $g=1$ 円はその「中継点」です
歸一化阻抗 $Z_0$Normalized impedance $Z_0$正規化インピーダンス $Z_0$$g=1$ 意指 $G = Y_0 = 1/Z_0$，剛好是 50 Ω 線的特性導納 (admittance)$g=1$ means $G = Y_0 = 1/Z_0$, which is exactly the characteristic admittance of a 50 Ω line$g=1$ は $G = Y_0 = 1/Z_0$ を意味し、これはちょうど 50 Ω 線路の特性アドミタンス (admittance) です

在 demo 互動圖裡In the interactive demo figureデモの対話図では

起點是中心（$\Gamma = 0$，$y = 1$，$g = 1$，$b = 0$）。拉動 $\ell_s$ 滑桿：The starting point is the centre ($\Gamma = 0$, $y = 1$, $g = 1$, $b = 0$). As you drag the $\ell_s$ slider:出発点は中心（$\Gamma = 0$、$y = 1$、$g = 1$、$b = 0$）です。$\ell_s$ スライダーを動かすと：

  • $b$ 從 $0$ 增加到 $\tan(\beta\ell_s)$$b$ increases from $0$ to $\tan(\beta\ell_s)$$b$ が $0$ から $\tan(\beta\ell_s)$ まで増加する
  • 點沿 $g=1$ 圓向下滑（負虛部方向，因為 $b > 0$）the point slides downwards along the $g=1$ circle (towards negative imaginary part, because $b > 0$)点は $g=1$ 円に沿って下へ移動する（$b > 0$ なので虚部が負の方向へ）
  • $g$ 始終 = 1，所以走在 $g=1$ 圓上 — 這是「起點剛好在 $g=1$ 圓上」的特例$g$ stays at 1 throughout, so it travels on the $g=1$ circle — a special case arising because the starting point happens to lie on the $g=1$ circle$g$ は常に 1 なので $g=1$ 円上を進む — これは「出発点がちょうど $g=1$ 円上にある」特別な場合です

如果起點換成 $y = 2 + j0$（即 $\Gamma = 0.333$，最右側），同一根 stub 會讓點沿 $g = 2$ 圓走，而不是 $g=1$。Had the starting point been $y = 2 + j0$ instead (i.e. $\Gamma = 0.333$, at the far right), the same stub would move the point along the $g = 2$ circle rather than $g=1$.もし出発点が $y = 2 + j0$（すなわち $\Gamma = 0.333$、最も右）であれば、同じスタブでも点は $g=1$ ではなく $g = 2$ 円に沿って動きます。

一句話總結In one sentence一言でまとめると

「沿 $g=1$ 圓滑動」是 demo 起點選在 $y=1$ 的結果，不是並聯 stub 的本質。並聯 stub 的本質是「沿等 $g$ 圓滑動」，其中 $g$ 由起點決定。“Sliding along the $g=1$ circle” is a consequence of the demo starting at $y=1$, not something intrinsic to a shunt stub. What is intrinsic to a shunt stub is “sliding along a constant-$g$ circle”, with $g$ set by the starting point.「$g=1$ 円に沿って移動する」のは デモの出発点を $y=1$ に選んだ結果であって、並列スタブの本質ではありません。並列スタブの本質は「定 $g$ 円に沿って移動する」ことであり、その $g$ は出発点によって決まります。

圖 1 和圖 3 是同一個圓嗎？（阻抗 vs 導納 (admittance)視角）Are figures 1 and 3 the same circle? (impedance vs admittance viewpoints)図 1 と図 3 は同じ円なのか？（インピーダンス視点 vs アドミタンス (admittance) 視点）

常見的誤解：「圖 1（constant-$|\Gamma|$ 圓）和圖 3（constant-$g$ 圓）其實是同一個圓，只是一個從阻抗、一個從導納 (admittance)角度看而已。」這個說法不對。 A common misconception: “Figure 1(the constant-$|\Gamma|$ circle) and figure 3(the constant-$g$ circle) are really the same circle, just viewed from the impedance side in one case and the admittance side in the other.” That claim is wrong. よくある誤解：「図 1（定 $|\Gamma|$ 円）と図 3（定 $g$ 円）は実は同じ円で、一方をインピーダンス側から、他方をアドミタンス (admittance) 側から見ているだけだ」。この主張は誤りです。

三個圓對照The three circles side by side3 つの円の対照

圓Circle円中心Centre中心半徑Radius半径圓上每點共通的是What every point on the circle shares円上の各点に共通するもの
圖 1：constant-$\|\Gamma\|$ 圓Figure 1: the constant-$\|\Gamma\|$ circle図 1：定 $\|\Gamma\|$ 円$(0,0)$$\|\Gamma\|$（變數）$\|\Gamma\|$ (variable)$\|\Gamma\|$（可変）$\|\Gamma\|$（也就是 VSWR / RL）$\|\Gamma\|$ (and hence VSWR / RL)$\|\Gamma\|$（したがって VSWR / RL）
阻抗系列：constant-$r$ 圓The impedance family: constant-$r$ circlesインピーダンス系列：定 $r$ 円$\left(\dfrac{r}{r+1},\,0\right)$（偏右）$\left(\dfrac{r}{r+1},\,0\right)$ (towards the right)$\left(\dfrac{r}{r+1},\,0\right)$（右寄り）$\dfrac{1}{r+1}$歸一化電阻 $r$Normalized resistance $r$正規化抵抗 $r$
圖 3：constant-$g$ 圓Figure 3: the constant-$g$ circle図 3：定 $g$ 円$\left(-\dfrac{g}{g+1},\,0\right)$（偏左）$\left(-\dfrac{g}{g+1},\,0\right)$ (towards the left)$\left(-\dfrac{g}{g+1},\,0\right)$（左寄り）$\dfrac{1}{g+1}$歸一化電導 $g$Normalized conductance $g$正規化コンダクタンス $g$

圖 1 和圖 3 的位置、半徑、物理量都不一樣 — 它們是三個不同的圓家族。Figures 1 and 3 differ in position, radius and physical quantity — they are three distinct families of circle.図 1 と図 3 は位置も半径も物理量も異なります — これらは 3 つの異なる円の族です。

你的直覺對應的其實是這個關係What your intuition is actually reaching for is this relationship直観が本当に指しているのはこの関係

同一個阻抗 $z$ 在 Smith 圖上，從阻抗角度和導納 (admittance)角度讀，會落在不同位置（差 180°），因為 $\Gamma_y = -\Gamma_z$。但 constant-$r$ 圓和 constant-$g$ 圓的「形狀結構」是鏡像對稱的：The same impedance $z$ read on the Smith chart from the impedance viewpoint and from the admittance viewpoint lands at different positions(180° apart), because $\Gamma_y = -\Gamma_z$. But the “shape structure” of the constant-$r$ circles and the constant-$g$ circles is mirror-symmetric:同じインピーダンス $z$ をスミスチャート上でインピーダンス視点とアドミタンス (admittance) 視点から読むと、異なる位置（180° 離れた位置）に落ちます。$\Gamma_y = -\Gamma_z$ だからです。ただし、定 $r$ 円と定 $g$ 円の「形の構造」は鏡像対称です：

對應關係Correspondence対応関係Z-Smith 上長相Appearance on the Z-Smith chartZ-スミスチャート上の見え方Y-Smith 上長相Appearance on the Y-Smith chartY-スミスチャート上の見え方
$r=1$ ↔ $g=1$圓心 $(+0.5,0)$，半徑 0.5Centre $(+0.5,0)$, radius 0.5中心 $(+0.5,0)$、半径 0.5圓心 $(-0.5,0)$，半徑 0.5Centre $(-0.5,0)$, radius 0.5中心 $(-0.5,0)$、半径 0.5
$r=2$ ↔ $g=2$圓心 $(+0.67,0)$，半徑 0.33Centre $(+0.67,0)$, radius 0.33中心 $(+0.67,0)$、半径 0.33圓心 $(-0.67,0)$，半徑 0.33Centre $(-0.67,0)$, radius 0.33中心 $(-0.67,0)$、半径 0.33

也就是說 — 把 Z-Smith 圖繞原點旋轉 180°就會變成 Y-Smith 圖。「圖 3 的 $g=1$ 圓」其實就是「Z-Smith 圖上的 $r=1$ 圓」翻過來而已。In other words — take the Z-Smith chart and rotate it 180° about the origin and you get the Y-Smith chart. “The $g=1$ circle of figure 3” is simply “the $r=1$ circle of the Z-Smith chart” flipped over.つまり — Z-スミスチャートを原点まわりに 180° 回転すれば Y-スミスチャートになります。「図 3 の $g=1$ 円」は、要するに「Z-スミスチャート上の $r=1$ 円」を裏返しただけのものです。這個對應只限於阻抗系列圓 ↔ 導納 (admittance)系列圓，跟圖 1（同心圓）無關。This correspondence holds only between the impedance-family and admittance-family circles; it has nothing to do with figure 1 (the concentric circles).この対応はインピーダンス系列の円 ↔ アドミタンス (admittance) 系列の円のあいだだけで成り立ち、図 1（同心円）とは無関係です。

圖 1 跟阻抗 / 導納 (admittance)視角無關Figure 1 has nothing to do with the impedance / admittance viewpoint図 1 はインピーダンス / アドミタンス (admittance) 視点とは無関係

constant-$|\Gamma|$ 圓（圖 1）的存在不需要區分阻抗或導納 (admittance)觀點 — 它就是「離 Smith 圖中心固定距離」的同心圓，定義純粹來自 $\Gamma$ 的模值。The existence of the constant-$|\Gamma|$ circle (figure 1) does not depend on distinguishing an impedance from an admittance viewpoint — it is simply the concentric circle at a fixed distance from the centre of the Smith chart, defined purely by the magnitude of $\Gamma$.定 $|\Gamma|$ 円（図 1）が存在することに、インピーダンス視点かアドミタンス (admittance) 視点かの区別は不要です — これは単に「スミスチャート中心から一定の距離にある」同心円であり、その定義は純粋に $\Gamma$ の絶対値だけから来ます。

不管你把該點解讀成 $z = 0.6 + j0.4$（阻抗）還是 $y = 1.143 - j0.742$（導納 (admittance)），它都在同一個 $\|\Gamma\|$ 圓上。Whether you read that point as $z = 0.6 + j0.4$ (impedance) or $y = 1.143 - j0.742$ (admittance), it lies on the very same $\|\Gamma\|$ circle.その点を $z = 0.6 + j0.4$（インピーダンス）と読もうと $y = 1.143 - j0.742$（アドミタンス (admittance)）と読もうと、まったく同じ $\|\Gamma\|$ 円の上にあります。

結論：Conclusion:結論：

三種圓的一覽表The three circles at a glance3 種類の円の一覧

概念Concept概念 圓心位置Centre position中心の位置 點上同樣的東西What is the same at every point各点で同じになるもの 設計用途Design use設計上の用途
constant-$|\Gamma|$ 圓constant-$|\Gamma|$ circle定 $|\Gamma|$ 円 中央 $(0,0)$the centre $(0,0)$中央 $(0,0)$ VSWR、回波損失VSWR, return lossVSWR、リターンロス 串聯線旋轉軌跡the locus of series-line rotation直列線路による回転の軌跡
constant-$G_S$ 圓constant-$G_S$ circle定 $G_S$ 円 沿 $O$–$S_{11}^*$ 線along the $O$–$S_{11}^*$ line$O$–$S_{11}^*$ の線上 源端增益 $G_S$source gain $G_S$電源側利得 $G_S$ 選擇 $\Gamma_s$ 候選點choosing candidate $\Gamma_s$ points$\Gamma_s$ の候補点を選ぶ
constant-$g$ 圓constant-$g$ circle定 $g$ 円 $(-0.5, 0)$（同心-反轉）$(-0.5, 0)$ (concentric-inverted)$(-0.5, 0)$（同心・反転） 歸一化導納 (admittance)實部 $g$the real part $g$ of the normalized admittance正規化アドミタンス (admittance) の実部 $g$ 並聯短截線軌跡the locus of a shunt stub並列スタブの軌跡

一句話總結In one sentence一言でまとめると

constant-$G_S$ 圓上每一點 = 一個候選 $(\Gamma_s, z_s)$ 組合，全部給同一個 $G_S$ 值。互動圖的 hover 功能就是讓你在這個圓上滑動，看不同位置對應的 $\Gamma_s$ 與 $z_s$ 是什麼。 Every point on a constant-$G_S$ circle = one candidate $(\Gamma_s, z_s)$ pair, and they all give the same value of $G_S$. The hover feature of the interactive figure lets you slide along that circle and see what $\Gamma_s$ and $z_s$ correspond to each position. 定 $G_S$ 円上の各点 = 1 つの候補 $(\Gamma_s, z_s)$ の組であり、そのすべてが同じ $G_S$ の値を与えます。対話図のホバー機能を使えば、この円上を滑らせながら、位置ごとに $\Gamma_s$ と $z_s$ がどうなるかを確かめられます。

常見混淆：A common confusion:よくある混同：「Γ 圓」這個說法有歧義 — 有人指 constant-$|\Gamma|$ 圓（圓心在中央），有人指 constant-$G_S$ 圓（圓心偏在一邊）。看到「Γ 圓」這三個字時，先確認對方說的是哪一個，可以省去很多誤會。 the phrase “Γ circle” is ambiguous — some people mean the constant-$|\Gamma|$ circle (centred in the middle), others the constant-$G_S$ circle (whose centre is off to one side). Whenever you see “Γ circle”, check which one is meant; it saves a great deal of misunderstanding. 「Γ 円」という言い方には曖昧さがあります — 定 $|\Gamma|$ 円（中心が中央）を指す人もいれば、定 $G_S$ 円（中心が片側に寄る）を指す人もいます。「Γ 円」という語を見かけたら、まずどちらを指しているのか確認してください。多くの誤解を防げます。

為什麼「圓的半徑 = 0 時 = 最大可用增益」？Why does “radius = 0” mean maximum available gain?なぜ「円の半径 = 0」が最大有能電力利得を意味するのか？

▸ 最大可用功率增益出現在等輸入（或輸出）功率增益圓的半徑為零時 — 為什麼？▸ Maximum available power gain occurs when the radius of the constant input (or output) power gain circle is zero — why?▸ 最大有能電力利得は、定入力（または定出力）電力利得円の半径がゼロになるときに現れる — なぜか？

幾何直覺Geometric intuition幾何学的な直観

constant-$G_P$（或 $G_A$）圓是所有能產生同一增益值的 $\Gamma_L$ 集合。圓上每一點代表一個不同的負載阻抗，但給出相同的功率增益。A constant-$G_P$ (or $G_A$) circle is the set of all $\Gamma_L$ producing the same gain value. Each point on the circle is a different load impedance, yet they all give the same power gain.定 $G_P$（または $G_A$）円は、同じ利得の値を与える $\Gamma_L$ の全体集合です。円上の各点はそれぞれ異なる負荷インピーダンスですが、いずれも同じ電力利得を与えます。

把 $G_P$ 由小調大，看圓會怎麼變：Turn $G_P$ up from small values and watch what happens to the circle:$G_P$ を小さい値から大きくしていくと、円がどう変わるかを見てみましょう：

$G_P$ 值Value of $G_P$$G_P$ の値圓半徑Circle radius円の半径意義Meaning意味
小small小さい大large大きい$\Gamma_L$ 選項很多 — 容易達成這個增益。Plenty of $\Gamma_L$ options — this gain is easy to achieve.$\Gamma_L$ の選択肢が多い — この利得は容易に達成できる。
較大largerやや大きい較小smallerやや小さい$\Gamma_L$ 選項變少 — 設計空間變窄。Fewer $\Gamma_L$ options — the design space narrows.$\Gamma_L$ の選択肢が減る — 設計の自由度が狭まる。
$G_{P,\max}$0（一點）0 (a single point)0（1 点のみ）只剩唯一Only oneただ 1 つ的 $\Gamma_L$ 能達到這個增益 — 即 simultaneous-conjugate-match $\Gamma_{ML}$。$\Gamma_L$ can still reach this gain — the simultaneous-conjugate-match $\Gamma_{ML}$.の $\Gamma_L$ だけがこの利得に到達できます — すなわち simultaneous-conjugate-match の $\Gamma_{ML}$ です。
超過 $G_{P,\max}$beyond $G_{P,\max}$$G_{P,\max}$ を超える虛數 / 負數imaginary / negative虚数 / 負沒有任何實際 $\Gamma_L$ 能產生這麼大增益 — 物理上不可能。No real $\Gamma_L$ can produce a gain that large — physically impossible.これほど大きな利得を生む実在の $\Gamma_L$ は存在しません — 物理的に不可能です。

所以「半徑 = 0」就是可達與不可達的分界。剛好低於它，有一個很小的圓（很多選項都擠在 $\Gamma_{ML}$ 附近）；剛好等於它，只有一個點；超過它，圓不存在。So “radius = 0” marks the boundary between achievable and unachievable. Just below it there is a very small circle (lots of options crowded around $\Gamma_{ML}$); exactly at it there is a single point; beyond it the circle does not exist.つまり「半径 = 0」は達成可能と達成不可能の境界を示します。そのすぐ下ではごく小さな円になり（多くの選択肢が $\Gamma_{ML}$ の近くに密集）、ちょうどその値では 1 点だけになり、それを超えると円は存在しません。

數學推導The mathematical derivation数学的な導出

operating-gain 圓的半徑公式（$\Gamma_L$ 平面）：The radius formula for the operating-gain circles (in the $\Gamma_L$ plane):operating-gain 円の半径の式（$\Gamma_L$ 平面）：

$$R_P \;=\; \frac{\sqrt{1 - 2K|S_{12}S_{21}|\,g_P + |S_{12}S_{21}|^2 g_P^2}}{\bigl|\,1 + g_P(|S_{22}|^2 - |\Delta|^2)\,\bigr|}, \qquad g_P = \frac{G_P}{|S_{21}|^2}$$

令 $R_P = 0$ — 也就是根號內判別式為零：Set $R_P = 0$ — that is, make the discriminant under the square root vanish:$R_P = 0$ とおきます — つまり平方根の中の判別式をゼロにします：

$$|S_{12}S_{21}|^2 g_P^2 \;-\; 2K|S_{12}S_{21}|\,g_P \;+\; 1 \;=\; 0$$

解這個關於 $g_P$ 的二次方程：Solving this quadratic in $g_P$:$g_P$ についてのこの二次方程式を解くと：

$$g_P \;=\; \frac{K \pm \sqrt{K^2 - 1}}{|S_{12}S_{21}|}$$

取較小的根（較大的根對應「負半徑」非物理區），再乘上 $|S_{21}|^2$：Taking the smaller root (the larger root corresponds to the unphysical “negative radius” region) and multiplying by $|S_{21}|^2$:小さい方の根をとり（大きい方の根は「負の半径」という非物理的な領域に対応します）、$|S_{21}|^2$ を掛けると：

$$\boxed{\;G_{P,\max} \;=\; \frac{|S_{21}|}{|S_{12}|}\Bigl(K - \sqrt{K^2 - 1}\Bigr)\;}$$

這正是 maximum available gain（$G_{MAG}$）。只有 $K > 1$（unconditionally stable）時存在；否則 $\sqrt{K^2-1}$ 為虛數 — 這也是為什麼 conditionally stable 元件沒有定義 MAG。This is exactly the maximum available gain($G_{MAG}$). It exists only when $K > 1$ (unconditionally stable); otherwise $\sqrt{K^2-1}$ is imaginary — which is also why MAG is undefined for a conditionally stable device.これはまさに maximum available gain（$G_{MAG}$）です。$K > 1$（unconditionally stable）のときにのみ存在します。そうでなければ $\sqrt{K^2-1}$ が虚数になります — conditionally stable な素子で MAG が定義されないのも同じ理由です。

一句話直覺The intuition in one sentence一言でいう直観

每個 gain 圓是某個 gain 值對應的「$\Gamma_L$ 菜單」。要的增益越高，菜單越短。到了 max gain，菜單只剩一道菜 — 就是 conjugate-match 點 $\Gamma_{ML}$。再要更多，菜單就空了。 Each gain circle is the “$\Gamma_L$ menu” for one gain value. The higher the gain you want, the shorter the menu. At maximum gain there is only one dish left on it — the conjugate-match point $\Gamma_{ML}$. Ask for any more and the menu is empty. 各利得円は、ある 1 つの利得値に対する「$\Gamma_L$ のメニュー」です。欲しい利得が高いほどメニューは短くなります。最大利得に達すると、メニューに残る料理は 1 つだけ — conjugate-match 点 $\Gamma_{ML}$ です。それ以上を求めると、メニューは空になります。

為什麼 input 與 output 圓同時縮成點？Why do the input and output circles shrink to points at the same time?なぜ入力側と出力側の円が同時に点へ縮むのか？

在 max available gain 時，元件處於 simultaneous conjugate match：$\Gamma_S = \Gamma_{MS}$ 且 $\Gamma_L = \Gamma_{ML}$，同時滿足 $\Gamma_{in} = \Gamma_S^*$ 與 $\Gamma_{out} = \Gamma_L^*$。由於 $S_{12}$ 造成輸入／輸出兩端耦合，你不能只把 output 圓收成點而 input 圓還是有限大 — 它們會在同一個增益值同時達到半徑零。這就是投影片寫「input or output」的原因。At maximum available gain the device is in a state of simultaneous conjugate match: $\Gamma_S = \Gamma_{MS}$ and $\Gamma_L = \Gamma_{ML}$, satisfying $\Gamma_{in} = \Gamma_S^*$ and $\Gamma_{out} = \Gamma_L^*$ simultaneously. Because $S_{12}$ couples the input and output ends together, you cannot shrink the output circle to a point while leaving the input circle finite — they reach zero radius at the same gain value together. That is why the slide says “input or output”.最大有能電力利得のとき、素子は simultaneous conjugate matchの状態にあります：$\Gamma_S = \Gamma_{MS}$ かつ $\Gamma_L = \Gamma_{ML}$ で、$\Gamma_{in} = \Gamma_S^*$ と $\Gamma_{out} = \Gamma_L^*$ を同時に満たします。$S_{12}$ が入力端と出力端を結合させるため、出力側の円だけを点に縮めて入力側の円を有限のまま残すことはできません — 両者は同じ利得値で同時に半径ゼロに達します。スライドが「input or output」と書いているのはこのためです。

▸ MAG 是什麼？（Maximum Available Gain）▸ What is MAG? (Maximum Available Gain)▸ MAG とは何か？（Maximum Available Gain）

定義Definition定義

MAG (Maximum Available Gain) = 一個雙端口元件（通常是電晶體）在同時共軛匹配 (simultaneous conjugate match) 下能達到的最大功率增益。 = the maximum power gain a two-port device (usually a transistor) can achieve under simultaneous conjugate match . = 二端子対素子（通常はトランジスタ）が同時共役整合 (simultaneous conjugate match) のもとで達成できる最大電力利得のことです。

公式：Formula:式：

$$G_{MAG} = \frac{|S_{21}|}{|S_{12}|}\Bigl(K - \sqrt{K^2 - 1}\Bigr) \qquad (\text{只在 } K > 1 \text{ 才有定義})$$

「Available」這個字的意思

Available gain $G_A$ 的定義：

$$G_A = \frac{\text{元件能提供給負載的可用功率}}{\text{訊號源能提供給元件的可用功率}}$$ $$G_{MAG} = \frac{|S_{21}|}{|S_{12}|}\Bigl(K - \sqrt{K^2 - 1}\Bigr) \qquad (\text{defined only for } K > 1)$$

What the word “available” means

The definition of available gain $G_A$:

$$G_A = \frac{\text{power available from the device to the load}}{\text{power available from the source to the device}}$$ $$G_{MAG} = \frac{|S_{21}|}{|S_{12}|}\Bigl(K - \sqrt{K^2 - 1}\Bigr) \qquad (K > 1 \text{ のときのみ定義される})$$

「available」という語の意味

有能電力利得 $G_A$ の定義：

$$G_A = \frac{\text{素子が負荷に供給できる有能電力}}{\text{信号源が素子に供給できる有能電力}}$$

注意「available」意指假設下游已完美共軛匹配取出全部可用功率。所以 $G_A$ 只與 $\Gamma_S$ 有關，與實際 $\Gamma_L$ 無關（因為已假設輸出端取走全部 available power）。Note that “available” presupposes that the downstream end is already perfectly conjugate-matched and extracts all of the available power. Hence $G_A$ depends only on $\Gamma_S$ and not on the actual $\Gamma_L$ (since the output is assumed to take all of the available power).「available」という語は、下流側がすでに完全に共役整合されていることを前提とし、有能電力をすべて取り出すという意味であることに注意してください。したがって $G_A$ は$\Gamma_S$ にのみ依存し、実際の $\Gamma_L$ には依存しません（出力側が有能電力をすべて取り去ると仮定しているため）。

當你把 $\Gamma_S$ 也選到讓 $G_A$ 最大的位置 — 即 $\Gamma_S = \Gamma_{MS}$ — 此時兩端同時共軛匹配，這個最大值就是 MAG。When you also choose $\Gamma_S$ to maximise $G_A$ — that is, $\Gamma_S = \Gamma_{MS}$ — both ends are conjugate-matched at once, and that maximum is MAG.$G_A$ を最大にする位置に $\Gamma_S$ も選んだとき — すなわち $\Gamma_S = \Gamma_{MS}$ — 両端が同時に共役整合され、その最大値が MAGです。

一張表記住三種增益The three gains in one table3 つの利得を 1 つの表で

名稱Name名称符號Symbol記号假設Assumption前提公式（最佳化後）Formula (after optimization)式（最適化後）
Transducer gain$G_T$實際輸入 + 實際輸出（兩端都可能不匹配）Actual input + actual output (both ends may be mismatched)実際の入力 + 実際の出力（両端とも不整合でありうる）視 $\Gamma_S, \Gamma_L$ 而定Depends on $\Gamma_S, \Gamma_L$$\Gamma_S, \Gamma_L$ に依存
Available gain$G_A$實際 $\Gamma_S$，Actual $\Gamma_S$, 実際の $\Gamma_S$、輸出共軛匹配output conjugate-matched出力側は共役整合$\dfrac{|S_{21}|^2 (1-|\Gamma_S|^2)}{|1-S_{11}\Gamma_S|^2 (1-|\Gamma_{out}|^2)}$
MAG$G_{MAG}$輸入與輸出都共軛匹配Both input and output conjugate-matched入力側・出力側とも共役整合（$K>1$）($K>1$)（$K>1$）$\dfrac{|S_{21}|}{|S_{12}|}(K-\sqrt{K^2-1})$

三者關係：$G_T \le G_A \le G_{MAG}$，等號在對應的匹配條件達成時成立。The relationship between the three: $G_T \le G_A \le G_{MAG}$, with equality when the corresponding matching condition is met.三者の関係：$G_T \le G_A \le G_{MAG}$ であり、対応する整合条件が満たされたときに等号が成り立ちます。

為什麼工程上重要Why it matters in practiceなぜ実務で重要なのか

一句話：In one sentence:一言でいうと： MAG = 在「兩端同時做共軛匹配」這個最理想條件下，元件能榨出的最大功率增益。它是元件本身的性質（只看 S 參數 + K），跟你選的 $\Gamma_S, \Gamma_L$ 無關 — 因為它已經假設你選了讓兩端同時共軛匹配的那組最佳值。 MAG = the maximum power gain a device can be squeezed for under the ideal condition of “simultaneous conjugate match at both ends”. It is a property of the device itself (determined by the S-parameters plus K) and has nothing to do with the $\Gamma_S, \Gamma_L$ you choose — because it already presumes you chose the optimal pair that conjugate-matches both ends at once. MAG = 「両端で同時に共役整合する」という理想条件のもとで、素子から絞り出せる最大電力利得。素子そのものの性質（S パラメータと K だけで決まる）であり、選んだ $\Gamma_S, \Gamma_L$ とは無関係です — 両端を同時に共役整合させる最適な組をすでに選んだものと前提しているからです。
▸ 為什麼 conditionally stable（$K<1$）元件沒有定義 MAG？▸ Why is MAG undefined for a conditionally stable device ($K<1$)?▸ なぜ conditionally stable（$K<1$）な素子では MAG が定義されないのか？

數學上的失效The mathematical breakdown数学的な破綻

MAG 公式：The MAG formula:MAG の式：

$$G_{MAG} = \frac{|S_{21}|}{|S_{12}|}\Bigl(K - \sqrt{K^2 - 1}\Bigr)$$

當 $K < 1$（conditionally stable）時：When $K < 1$ (conditionally stable):$K < 1$（conditionally stable）のとき：

物理意義 — 為什麼會這樣The physical meaning — why this happens物理的な意味 — なぜこうなるのか

回到「圓收縮成點」的圖像。當 $K > 1$，把 $G_P$ 一路調高，圓從外往內單調縮小，最後縮到 $\Gamma_{ML}$ 這一點，這時就達到 MAG。Return to the picture of “the circle shrinking to a point”. When $K > 1$, turning $G_P$ up makes the circle shrink monotonically from the outside inwards, finally collapsing onto the single point $\Gamma_{ML}$, at which MAG is reached.「円が点に縮む」という描像に戻りましょう。$K > 1$ のとき、$G_P$ を上げていくと円は外側から内側へ単調に縮み、最後に $\Gamma_{ML}$ という 1 点に collapse します。このとき MAG に達します。

當 $K < 1$ 時，圓不會單調縮小。它會做兩件「壞事」之一：When $K < 1$, the circle does not shrink monotonically. It does one of two “bad” things:$K < 1$ のとき、円は単調には縮みません。次の 2 つの「困った」振る舞いのいずれかを示します：

行為Behaviour振る舞い後果Consequence結果
圓越長越大、甚至The circle grows larger and larger, even 円がどんどん大きくなり、ついには包含或穿過 Smith 圖的單位圓邊界enclosing or crossing the unit-circle boundary of the Smith chartスミスチャートの単位円の境界を含む、あるいは横切る「對應的最佳 $\Gamma_L$」會跑到 $|\Gamma_L| \ge 1$ 的區域 — 不是被動負載，是要主動補功率The “corresponding optimal $\Gamma_L$” ends up in the region $|\Gamma_L| \ge 1$ — not a passive load, but one that would have to supply power actively「対応する最適な $\Gamma_L$」が $|\Gamma_L| \ge 1$ の領域に出てしまう — 受動負荷ではなく、能動的に電力を供給する必要のある負荷になる
圓本身仍在單位圓內，但 The circle itself stays inside the unit circle, but 円自体は単位円の内側にとどまるが、$\Gamma_{out}$ 或 $\Gamma_{in}$ 跑出單位圓$\Gamma_{out}$ or $\Gamma_{in}$ moves outside it$\Gamma_{out}$ または $\Gamma_{in}$ が単位円の外に出る元件變成振盪器，不是放大器The device becomes an oscillator, not an amplifier素子は増幅器ではなく発振器になる

換句話說：simultaneous conjugate match $\Gamma_{MS}, \Gamma_{ML}$ 仍然能「形式上」解出來，但這對解落在不穩定區，不是物理上可實現的被動匹配。In other words: the simultaneous conjugate match $\Gamma_{MS}, \Gamma_{ML}$ can still be solved for “formally”, but that pair of solutions falls in the unstable region and is not a physically realizable passive match.言い換えれば、simultaneous conjugate match の $\Gamma_{MS}, \Gamma_{ML}$ は「形式的には」解けますが、その解の組は不安定領域に落ち、物理的に実現可能な受動整合ではありません。

一句話In one sentence一言でいうと

$K > 1$：增益的上限被「圓縮成點」乾淨地定義 → 那個點就是 MAG。
$K < 1$：增益的上限被「穩定性」打斷 → 你能拿到的增益不再受「圓收縮」限制，而是受「不能讓元件振盪」限制 → MAG 失去意義。 $K > 1$: the gain ceiling is cleanly defined by “the circle shrinking to a point” → that point is MAG.
$K < 1$: the gain ceiling is cut short by stability → the gain you can obtain is no longer limited by the shrinking circle but by “not letting the device oscillate” → MAG loses its meaning. $K > 1$：利得の上限は「円が点に縮む」ことで明確に定義される → その点が MAG です。
$K < 1$：利得の上限は安定性によって断ち切られる → 得られる利得を制限するのはもはや「円の収縮」ではなく「素子を発振させないこと」 → MAG は意味を失います。

替代品 — MSG（Maximum Stable Gain）The substitute — MSG (Maximum Stable Gain)代わりとなるもの — MSG（Maximum Stable Gain）

conditionally stable 時，工程上改用：For a conditionally stable device, engineers use instead:conditionally stable な素子では、実務上こちらを使います：

$$G_{MSG} = \frac{|S_{21}|}{|S_{12}|}$$

這正好是 MAG 公式中令 $K = 1$ 時的值（$\sqrt{K^2-1} = 0$）。意義是：如果你能用外加電阻把元件穩到 $K = 1$ 的邊界，最多就能拿到這麼大的增益。再高就要犧牲穩定性。which is precisely the value of the MAG formula with $K = 1$ ($\sqrt{K^2-1} = 0$). Its meaning: if you can stabilize the device onto the $K = 1$ boundary with an external resistor, this is the most gain you can get. Any more and you must sacrifice stability.これはちょうど MAG の式で $K = 1$ とした値（$\sqrt{K^2-1} = 0$）です。その意味は、外付け抵抗によって素子を $K = 1$ の境界まで安定化できたとすれば、得られる利得はせいぜいこれだけ、ということです。それ以上を狙うなら安定性を犠牲にすることになります。

所以實務上 conditionally stable 元件的設計步驟：So the practical design procedure for a conditionally stable device is:したがって conditionally stable な素子の実務的な設計手順は次のとおりです：

  1. 先加 stabilizing resistor / feedback，把 $K$ 拉到 $> 1$First add a stabilizing resistor or feedback to pull $K$ above 1まず stabilizing resistor やフィードバックを加えて $K$ を 1 より大きくする
  2. 然後對穩定後的元件計算 MAGThen compute MAG for the stabilized device次に、安定化後の素子について MAG を計算する
  3. 或直接接受 MSG 作為設計上限Or simply accept MSG as the design ceilingあるいは MSG をそのまま設計上の上限として受け入れる
▸ 為什麼 $g_A = G_A / |S_{21}|^2 > 1$ typically？▸ Why is $g_A = G_A / |S_{21}|^2 > 1$ typically?▸ なぜ $g_A = G_A / |S_{21}|^2 > 1$ となることが多いのか？

先理解 $|S_{21}|^2$ 的物理意義First, the physical meaning of $|S_{21}|^2$まず $|S_{21}|^2$ の物理的意味から

$|S_{21}|^2$ 是 transducer gain $G_T$ 當兩端都用 $Z_0$ 直接終接（$\Gamma_S = 0,\;\Gamma_L = 0$）時的值：$|S_{21}|^2$ is the value of the transducer gain $G_T$ when both ends are terminated directly in $Z_0$($\Gamma_S = 0,\;\Gamma_L = 0$):$|S_{21}|^2$ は、両端を $Z_0$ で直接終端した（$\Gamma_S = 0,\;\Gamma_L = 0$）ときの transducer gain $G_T$ の値です：

$$G_T \Big|_{\Gamma_S=0,\;\Gamma_L=0} = |S_{21}|^2$$

也就是「完全不做匹配」、訊號源直接 50 Ω 接元件、負載也直接 50 Ω 的最陽春情況。That is, the most rudimentary case of “no matching at all”: the source connected straight to the device through 50 Ω, and the load likewise 50 Ω.つまり「整合をまったく行わない」、信号源を 50 Ω でそのまま素子につなぎ、負荷も 50 Ω のままという最も素朴な場合です。

為什麼 available gain 一定比這個大Why available gain must be larger than thatなぜ available gain が必ずそれより大きくなるのか

$G_A$ 的定義是：實際 $\Gamma_S$、但輸出已被共軛匹配（負載端拿走全部 available power）。所以即使你還沒對輸入做匹配（$\Gamma_S = 0$），$G_A$ 已經包含一個「輸出匹配補償」：$G_A$ is defined with the actual $\Gamma_S$, but with the output already conjugate-matched(the load end takes all of the available power). So even if you have not matched the input yet($\Gamma_S = 0$), $G_A$ already includes an “output-matching bonus”:$G_A$ は、実際の $\Gamma_S$ を用いつつ、出力側はすでに共役整合されている（負荷端が有能電力をすべて取り去る）ものとして定義されます。したがって、たとえ入力側をまだ整合していなくても（$\Gamma_S = 0$）、$G_A$ にはすでに「出力整合ぶんの上乗せ」が含まれています：

$$G_A \Big|_{\Gamma_S = 0} = \frac{|S_{21}|^2}{1 - |S_{22}|^2}$$

因為當 $\Gamma_S = 0$ 時 $\Gamma_{out} = S_{22}$，輸出端的共軛匹配把原本 $\Gamma_L = 0$ 損失的 $(1-|S_{22}|^2)$ 因子還回來。所以：because when $\Gamma_S = 0$ we have $\Gamma_{out} = S_{22}$, and conjugate-matching the output gives back the factor $(1-|S_{22}|^2)$ that was lost with $\Gamma_L = 0$. Hence:$\Gamma_S = 0$ のとき $\Gamma_{out} = S_{22}$ となり、出力側を共役整合すると、$\Gamma_L = 0$ で失われていた $(1-|S_{22}|^2)$ という因子が戻ってくるからです。したがって：

$$g_A \Big|_{\Gamma_S = 0} = \frac{G_A}{|S_{21}|^2} = \frac{1}{1 - |S_{22}|^2} \;>\; 1$$

這已經保證 $g_A > 1$ — 還沒進輸入匹配。which already guarantees $g_A > 1$ — before any input matching at all.これだけで $g_A > 1$ が保証されます — 入力整合をまだ何もしていない段階でです。

一個具體例子A concrete example具体例

設典型 RF 電晶體：$|S_{11}| = 0.6,\; |S_{22}| = 0.5,\; |S_{21}| = 2.5,\; |S_{12}| = 0.1$Take a typical RF transistor: $|S_{11}| = 0.6,\; |S_{22}| = 0.5,\; |S_{21}| = 2.5,\; |S_{12}| = 0.1$典型的な RF トランジスタを考えます：$|S_{11}| = 0.6,\; |S_{22}| = 0.5,\; |S_{21}| = 2.5,\; |S_{12}| = 0.1$

$\Gamma_S$ 選法Choice of $\Gamma_S$$\Gamma_S$ の選び方$g_A$ 大致值Approximate $g_A$$g_A$ のおおよその値
$\Gamma_S = 0$（無輸入匹配）$\Gamma_S = 0$ (no input matching)$\Gamma_S = 0$（入力整合なし）$1/(1-0.5^2) = 1.33$
中間某個 gain circle 上Somewhere on an intermediate gain circle中間的な利得円上のどこか$\sim 2$ – $3$
$\Gamma_S = \Gamma_{MS}$（max available）$\Gamma_S = \Gamma_{MS}$ (max available)$\Gamma_S = \Gamma_{MS}$（max available）可能 $5$ – $10$possibly $5$ – $10$おそらく $5$ – $10$

每個 constant-$G_A$ 圓對應一個 $g_A$ 值；你要畫的圓是讓 $G_A$ 達到某個目標 $G_{Ak}$，所以 $g_A = G_{Ak}/|S_{21}|^2$ 自然 $> 1$。Each constant-$G_A$ circle corresponds to one value of $g_A$; the circle you want to draw is the one that makes $G_A$ reach some target $G_{Ak}$, so $g_A = G_{Ak}/|S_{21}|^2$ is naturally $> 1$.各 定 $G_A$ 円は 1 つの $g_A$ の値に対応します。描きたい円は $G_A$ をある目標値 $G_{Ak}$ にする円なので、$g_A = G_{Ak}/|S_{21}|^2$ は自然に $> 1$ になります。

為什麼這個歸一化有用Why this normalization is usefulなぜこの正規化が有用なのか

直接用 $G_A$（線性比）會跟元件特性混在一起；除以 $|S_{21}|^2$ 後得到的 $g_A$ 是「相對於零匹配基準，多賺多少倍」這個無因次的量。Using $G_A$ (a linear ratio) directly mixes it up with the device's own characteristics; dividing by $|S_{21}|^2$ gives $g_A$, the dimensionless quantity “how many times better than the zero-matching baseline”.$G_A$（線形比）をそのまま使うと素子固有の特性と混ざってしまいます。$|S_{21}|^2$ で割って得られる $g_A$ は「無整合の基準に対して何倍得をしているか」という無次元量です。

圓心、半徑公式（bilateral 情形）：The centre and radius formulas (the bilateral case):中心と半径の式（bilateral の場合）：

$$C_A = \frac{g_A\,C_1^*}{1 + g_A(|S_{11}|^2 - |\Delta|^2)}, \qquad R_A = \frac{\sqrt{1 - 2K|S_{12}S_{21}|g_A + |S_{12}S_{21}|^2 g_A^2}}{\bigl|1 + g_A(|S_{11}|^2 - |\Delta|^2)\bigr|}$$

可以看到所有公式直接吃 $g_A$ 而非 $G_A$ — 把 $|S_{21}|^2$ 抽出來後，剩下的部分只跟匹配狀態相關，公式形式乾淨。Notice that all the formulas take $g_A$ directly rather than $G_A$ — once $|S_{21}|^2$ is factored out, what remains depends only on the matching state, and the formulas take a clean form.どの式も $G_A$ ではなく $g_A$ を直接受け取っていることに注目してください — $|S_{21}|^2$ を括り出すと、残る部分は整合の状態だけに依存し、式の形が簡潔になります。

一句話：In one sentence:一言でいうと： $|S_{21}|^2$ = 完全不做匹配的「裸增益」基準。$g_A$ = 你的目標增益相對這個基準的倍數。只要你的目標比裸接 50 Ω 還好（這幾乎一定成立，因為光是輸出共軛匹配就能擠出 $1/(1-|S_{22}|^2)$ 倍的提升），$g_A$ 就 $> 1$。 $|S_{21}|^2$ = the “bare gain” baseline with no matching whatsoever. $g_A$ = the factor by which your target gain exceeds that baseline. As long as your target is better than plugging it straight into 50 Ω(which is virtually always the case, since conjugate-matching the output alone squeezes out a factor of $1/(1-|S_{22}|^2)$), $g_A$ is $> 1$. $|S_{21}|^2$ = 整合をまったく行わない「素の利得」の基準。$g_A$ = 目標利得がその基準の何倍かを表す係数。目標が50 Ω に直結した場合より良いかぎり（出力側を共役整合するだけで $1/(1-|S_{22}|^2)$ 倍の改善が得られるので、これはほぼ常に成り立ちます）、$g_A$ は $> 1$ になります。

例外（$g_A < 1$ 何時發生）The exception (when $g_A < 1$ does happen)例外（$g_A < 1$ となるのはどんなときか）

只有當你故意選一個比 $|S_{21}|^2$ 還差的目標增益（例如為了極寬頻寬或極好雜訊匹配而犧牲增益），$g_A$ 才會 $< 1$。這種設計在 LNA 中偶爾出現，在一般 amplifier 設計中很少 — 所以投影片才寫「typically」而不是「always」。Only if you deliberately deliberately choose a target gain worse than $|S_{21}|^2$ (sacrificing gain for extremely wide bandwidth or an excellent noise match, say) does $g_A$ fall below 1. Such designs turn up occasionally in LNAs but rarely in general amplifier design — which is why the slide says “typically” rather than “always”.$g_A$ が 1 を下回るのは、意図的に $|S_{21}|^2$ より悪い目標利得を選んだとき（たとえば極端に広い帯域幅や優れた雑音整合のために利得を犠牲にする場合）だけです。この種の設計は LNA でときどき現れますが、一般の増幅器設計ではまれです — スライドが「always」ではなく「typically」と書いているのはそのためです。

四個反射係數 $\Gamma_s,\,\Gamma_l,\,\Gamma_{in},\,\Gamma_{out}$ 的意義與差異The meaning of the four reflection coefficients $\Gamma_s,\,\Gamma_l,\,\Gamma_{in},\,\Gamma_{out}$ and how they differ4 つの反射係数 $\Gamma_s,\,\Gamma_l,\,\Gamma_{in},\,\Gamma_{out}$ の意味と違い
符號Symbol記号 方向Direction向き 由誰決定Set by決めるもの 物理意義Physical meaning物理的意味
$\Gamma_s$ 看向訊號源（port 1 外部）Looking towards the source (outside port 1)信号源側を見る（port 1 の外側） 設計者選定Chosen by the designer設計者が選ぶ（輸入匹配網路）(the input matching network)（入力整合回路） 訊號源阻抗對 $Z_0$ 的反射係數；你拿它來選增益圓或雜訊圓上的工作點The reflection coefficient of the source impedance against $Z_0$; you use it to pick an operating point on a gain circle or a noise circle信号源インピーダンスの $Z_0$ に対する反射係数。利得円や雑音円の上で動作点を選ぶために使います
$\Gamma_l$ 看向負載（port 2 外部）Looking towards the load (outside port 2)負荷側を見る（port 2 の外側） 設計者選定Chosen by the designer設計者が選ぶ（輸出匹配網路）(the output matching network)（出力整合回路） 負載阻抗對 $Z_0$ 的反射係數；通常設為 $\Gamma_{out}^*$ 達成共軛匹配The reflection coefficient of the load impedance against $Z_0$; usually set to $\Gamma_{out}^*$ to achieve a conjugate match負荷インピーダンスの $Z_0$ に対する反射係数。通常は共役整合を得るため $\Gamma_{out}^*$ に設定します
$\Gamma_{in}$ 從 port 1 往電晶體內看Looking into the transistor from port 1port 1 からトランジスタの中を見る 元件 + $\Gamma_l$ 決定Set by the device together with $\Gamma_l$素子と $\Gamma_l$ で決まる 電晶體輸入端的等效反射係數；$S_{12}\neq 0$ 時受 $\Gamma_l$ 影響：$\Gamma_{in} = S_{11} + \dfrac{S_{12}S_{21}\Gamma_l}{1-S_{22}\Gamma_l}$The equivalent reflection coefficient at the transistor input; when $S_{12}\neq 0$ it depends on $\Gamma_l$: $\Gamma_{in} = S_{11} + \dfrac{S_{12}S_{21}\Gamma_l}{1-S_{22}\Gamma_l}$トランジスタ入力端の等価反射係数。$S_{12}\neq 0$ のときは $\Gamma_l$ の影響を受けます：$\Gamma_{in} = S_{11} + \dfrac{S_{12}S_{21}\Gamma_l}{1-S_{22}\Gamma_l}$
$\Gamma_{out}$ 從 port 2 往電晶體內看Looking into the transistor from port 2port 2 からトランジスタの中を見る 元件 + $\Gamma_s$ 決定Set by the device together with $\Gamma_s$素子と $\Gamma_s$ で決まる 電晶體輸出端的等效反射係數；$S_{12}\neq 0$ 時受 $\Gamma_s$ 影響：$\Gamma_{out} = S_{22} + \dfrac{S_{12}S_{21}\Gamma_s}{1-S_{11}\Gamma_s}$The equivalent reflection coefficient at the transistor output; when $S_{12}\neq 0$ it depends on $\Gamma_s$: $\Gamma_{out} = S_{22} + \dfrac{S_{12}S_{21}\Gamma_s}{1-S_{11}\Gamma_s}$トランジスタ出力端の等価反射係数。$S_{12}\neq 0$ のときは $\Gamma_s$ の影響を受けます：$\Gamma_{out} = S_{22} + \dfrac{S_{12}S_{21}\Gamma_s}{1-S_{11}\Gamma_s}$

記憶方式A way to remember it覚え方

單邊（$S_{12}=0$）與雙邊（$S_{12}\neq 0$）的差異The difference between the unilateral ($S_{12}=0$) and bilateral ($S_{12}\neq 0$) cases単方向（$S_{12}=0$）と双方向（$S_{12}\neq 0$）の違い

單邊 $S_{12}=0$Unilateral, $S_{12}=0$単方向 $S_{12}=0$ 雙邊 $S_{12}\neq 0$Bilateral, $S_{12}\neq 0$双方向 $S_{12}\neq 0$
$\Gamma_{in}$ $= S_{11}$（與 $\Gamma_l$ 無關）$= S_{11}$ (independent of $\Gamma_l$)$= S_{11}$（$\Gamma_l$ に依存しない） 隨 $\Gamma_l$ 變動Varies with $\Gamma_l$$\Gamma_l$ とともに変化する
$\Gamma_{out}$ $= S_{22}$（與 $\Gamma_s$ 無關）$= S_{22}$ (independent of $\Gamma_s$)$= S_{22}$（$\Gamma_s$ に依存しない） 隨 $\Gamma_s$ 變動Varies with $\Gamma_s$$\Gamma_s$ とともに変化する
輸入/輸出匹配Input/output matching入力 / 出力の整合 可以獨立設計Can be designed independently独立に設計できる 耦合——先選 $\Gamma_s$，再算 $\Gamma_{out}$，才能定 $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$Coupled — choose $\Gamma_s$ first, compute $\Gamma_{out}$, and only then fix $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$結合している — まず $\Gamma_s$ を選び、$\Gamma_{out}$ を計算し、そのうえで $\Gamma_l = \Gamma_{out}^*$ を決める