Feedback & Negative-Resistance Models, Colpitts/Hartley/Pierce/Clapp Topologies, Phase Noise (Leeson), PLLs, Fractional-N, DDS
| Spec | Unit | What it measures |
|---|---|---|
| Tuning range | MHz/V | Sensitivity of output frequency to control voltage |
| Frequency stability | ppm/°C | Drift with temperature |
| Phase noise | dBc/Hz | Spectral purity relative to carrier at offset Δf |
| Harmonics | dBc | Spurious power at $nf_0$ relative to carrier |
An amplifier with voltage gain $A$ produces output $V_o$. This output passes through a feedback network with frequency-dependent transfer function $H(\omega)$, and is added to the input $V_i$:
Phase Margin (PM, 相位裕度)Phase margin (PM)位相余裕 (PM) 是控制系統與回授放大器中衡量系統 is the key metric for the は、制御系や帰還増幅器における穩定度stability安定度的關鍵指標。 of a control system or feedback amplifier.を測るための重要な指標である。
對開迴路轉移函數 $ L(j\omega) = G(j\omega)H(j\omega) $:For the open-loop transfer function $ L(j\omega) = G(j\omega)H(j\omega) $:開ループ伝達関数 $ L(j\omega) = G(j\omega)H(j\omega) $ に対して:
其中 $ \omega_{gc} $ 為where $ \omega_{gc} $ is the ここで $ \omega_{gc} $ は增益交越頻率 (gain crossover frequency)gain crossover frequencyゲイン交差周波数 (gain crossover frequency),使 $ |L(j\omega_{gc})| = 1 $(即 0 dB)。, the frequency at which $ |L(j\omega_{gc})| = 1 $ (i.e. 0 dB).であり、$ |L(j\omega_{gc})| = 1 $(すなわち 0 dB)となる周波数である。
| Phase Margin | 系統行為System behaviourシステムの挙動 |
|---|---|
| PM > 0° | 穩定Stable安定 |
| PM < 0° | 不穩定Unstable不安定 |
| PM ≈ 45°–60° | 良好暫態響應(業界常用設計目標)Well-behaved transient response (the usual industry design target)良好な過渡応答(実務で標準的な設計目標) |
| PM < 30° | 響應震盪嚴重、ringing 明顯Heavily oscillatory response, pronounced ringing応答の振動が大きく、リンギングが顕著 |
| PM → 0° | 接近振盪邊界Close to the oscillation boundary発振の境界に近い |
振盪器設計時,需同時滿足When designing an oscillator you must simultaneously satisfy 発振器の設計では、同時に満たすべき次の兩個條件two conditions2つの条件:
| 條件Condition条件 | 數學式Expression数式 | 物理意義Physical meaning物理的意味 |
|---|---|---|
| Magnitude condition | $ |AH(\omega_0)| = 1 $ | 迴路增益大小為 1,訊號繞一圈不衰減The loop gain magnitude is 1 — the signal is not attenuated on one trip round the loopループ利得の大きさが 1 — 信号はループを一周しても減衰しない |
| Phase condition | $ \angle AH(\omega_0) = 0° \pmod{360°} $ | 訊號繞一圈相位對齊,正回授成立The signal comes back in phase after one trip round the loop, so positive feedback holds信号がループを一周して位相が揃い、正帰還が成立する |
其中:where:ここで:
振盪器設計就是 Designing an oscillator means 発振器の設計とは、故意deliberately意図的に讓 $ \angle AH = 0° $(等效於負回授下相位 = −180°)且 $ |AH| \geq 1 $ → forcing $ \angle AH = 0° $ (equivalently a phase of −180° under negative feedback) with $ |AH| \geq 1 $ → $ \angle AH = 0° $(負帰還における位相 −180° に相当)かつ $ |AH| \geq 1 $ となるように仕向けること →故意讓 PM = 0deliberately making PM = 0意図的に PM = 0 とする,讓電路振盪。 so that the circuit oscillates. ことであり、こうして回路が発振する。
從小訊號 LTI 分析(Bode / Nyquist / pole location):From small-signal LTI analysis (Bode / Nyquist / pole location):小信号 LTI 解析(Bode / Nyquist / 極位置)では:
這也是為什麼啟動時 (start-up),熱雜訊或開機暫態會被指數放大 → 振盪建立。This is also why, at start-up, thermal noise or the power-on transient is amplified exponentially → oscillation builds up.起動時 (start-up) に熱雑音や電源投入過渡が指数関数的に増幅され → 発振が立ち上がるのは、このためである。
但實際電路But a real circuit しかし実際の回路は不會炸掉does not blow up発散しない,因為:, because:。その理由は:
| 觀點Viewpoint観点 | 分析工具Analysis tools解析手法 | 平衡點Equilibrium平衡点 | 振盪器判定Verdict on the oscillator発振器の判定 |
|---|---|---|---|
| LTI / 局部線性化LTI / local linearizationLTI / 局所線形化 | Bode, Nyquist, Routh, 極點Bode, Nyquist, Routh, polesBode, Nyquist, Routh, 極 | 原點 $ x = 0 $The origin $ x = 0 $原点 $ x = 0 $ | 不穩定(極點在 RHP 或 jω 軸)Unstable (poles in the RHP or on the jω axis)不安定(極が RHP または jω 軸上) |
| 非線性 / 全域Nonlinear / global非線形 / 大域 | Lyapunov, Poincaré-Bendixson, describing function | 極限環 $ \Gamma $The limit cycle $ \Gamma $リミットサイクル $ \Gamma $ | 穩定(極限環 orbital stable)Stable (the limit cycle is orbitally stable)安定(リミットサイクルは軌道安定) |
關鍵在於阻尼項 $ -\mu(1 - x^2) $:Everything hinges on the damping term $ -\mu(1 - x^2) $:鍵を握るのは減衰項 $ -\mu(1 - x^2) $ である:
| 振幅狀態Amplitude regime振幅の領域 | $ (1 - x^2) $ | 等效阻尼Effective damping実効減衰 | 行為Behaviour挙動 |
|---|---|---|---|
| 小訊號 $ |x| < 1 $Small signal $ |x| < 1 $小信号 $ |x| < 1 $ | > 0 | 負阻尼Negative damping負の減衰 | 振幅成長(等同 LTI 不穩定)Amplitude grows (equivalent to LTI instability)振幅が増大(LTI の不安定性に相当) |
| 大訊號 $ |x| > 1 $Large signal $ |x| > 1 $大信号 $ |x| > 1 $ | < 0 | 正阻尼Positive damping正の減衰 | 振幅衰減Amplitude decays振幅が減衰 |
| $ |x| = 1 $ 附近Near $ |x| = 1 $$ |x| = 1 $ 近傍 | 0 | 中性Neutral中立 | 穩定極限環Stable limit cycle安定なリミットサイクル |
實務上分析振盪器穩態振幅,常用 In practice, the steady-state amplitude of an oscillator is usually analysed with the 実務では、発振器の定常振幅は通常Describing Function (描述函數)describing function記述関数 (describing function) 把非線性元件線性化為 , which linearizes the nonlinear element into an を用いて解析する。これは非線形素子を振幅相依增益amplitude-dependent gain振幅依存の利得 $ N(A) $。 $ N(A) $.$ N(A) $ に線形化する手法である。
物理意義:Physical meaning:物理的意味:振幅變大時 loop gain 必須下降,才有負回授機制把振幅拉回 $ A_0 $。 the loop gain must fall as the amplitude grows, so that a negative-feedback mechanism pulls the amplitude back to $ A_0 $.振幅が大きくなるとループ利得が下がらなければならず、そうして初めて負帰還機構が振幅を $ A_0 $ に引き戻す。
| 元件 / 機制Device / mechanism素子 / 機構 | 振幅相依行為Amplitude-dependent behaviour振幅依存の挙動 |
|---|---|
| Cross-coupled LC VCO | NMOS 進入 triode → $ g_m \downarrow $The NMOS enters triode → $ g_m \downarrow $NMOS が三極管領域に入る → $ g_m \downarrow $ |
| Colpitts oscillator | BJT 進入 cut-off (class-C 操作) → 平均 $ g_m \downarrow $The BJT enters cut-off (class-C operation) → average $ g_m \downarrow $BJT がカットオフに入る(C 級動作) → 平均 $ g_m \downarrow $ |
| Ring oscillator | Inverter 完全 swing rail-to-rail → 等效增益限制The inverter swings fully rail-to-rail → the effective gain is limitedインバータがレール・ツー・レールでフルスイングする → 実効利得が制限される |
| AGC-based 振盪器AGC-based oscillatorAGC 方式の発振器(Wien bridge) | 外部 AGC 主動調整 $ g_m $An external AGC loop actively adjusts $ g_m $外部 AGC ループが $ g_m $ を能動的に調整する |
| 振盪器類型Oscillator type発振器の種類 | $ g_m \cdot R_p $ 設計值Design value of $ g_m \cdot R_p $$ g_m \cdot R_p $ の設計値 | 理由Rationale根拠 |
|---|---|---|
| LC VCO | 2~3 | 確保 PVT corner 下都能起振Guarantees start-up across every PVT cornerすべての PVT コーナで起動を保証するため |
| Crystal oscillator | 3~5(甚至 10)3–5 (or even 10)3〜5(場合によっては 10) | 晶體 ESR 變動大、startup time 要求The crystal ESR varies widely and start-up time is specified水晶の ESR 変動が大きく、起動時間も規定されるため |
| Ring oscillator | 自然滿足(數位 swing)Naturally satisfied (digital swing)自然に満たされる(ディジタルスイング) | 不需特別設計No special design needed特別な設計は不要 |
太小 → 起振失敗;太大 → phase noise 變差、功耗浪費、harmonics 增加。 Too small → start-up fails; too large → worse phase noise, wasted power and more harmonics. 小さすぎる → 起動しない;大きすぎる → 位相雑音の悪化、消費電力の浪費、高調波の増加。
RF oscillator circuits typically use a BJT/FET in common-emitter/source, common-base/gate, or common-collector/drain configurations, paired with a feedback network. The four classical topologies that result are the Hartley, Colpitts, Clapp, and Pierce oscillators.
For a unilateral（單向性,$S_{12}=0$、無反向傳輸,即輸出不回灌輸入)transistor model with four voltage nodes $V_1$ (input), $V_2$ (common), $V_3$ (feedback), $V_4$ (output) — For a unilateral (i.e. $S_{12}=0$, no reverse transmission, so the output does not feed back into the input) transistor model with four voltage nodes $V_1$ (input), $V_2$ (common), $V_3$ (feedback), $V_4$ (output) — 4 つの電圧ノード $V_1$(入力)、$V_2$(共通)、$V_3$(帰還)、$V_4$(出力)をもつ単方向性(unilateral、すなわち $S_{12}=0$ で逆方向伝送がなく、出力が入力へ戻らない)トランジスタモデルについて —connect node $V_3$ to $V_4$ to provide feedback. Apply KCL at all four nodes to obtain the admittance matrix equation:
For the common emitter/source configuration: ground node $V_2$ ($V_2=0$), connect feedback ($V_4=V_3=V$), and assume negligible output conductance ($G_o\approx 0$). The matrix reduces to a 2×2 system:
For non-trivial solutions, the determinant must vanish. Substituting $Y_k = jB_k$ (purely reactive feedback elements):
節點方程是The nodal equations are 節点方程式は齊次homogeneous同次的(右邊 = 0,沒有外加源):$[Y]\,\mathbf{V}=\mathbf{0}$。(the right-hand side is 0, with no applied source): $[Y]\,\mathbf{V}=\mathbf{0}$.である(右辺 = 0、外部電源なし):$[Y]\,\mathbf{V}=\mathbf{0}$。
所以「要有非零解」$\Leftrightarrow$ 矩陣奇異 $\Leftrightarrow \boxed{\det[Y]=0}$。這就是So “there must be a non-zero solution” $\Leftrightarrow$ the matrix is singular $\Leftrightarrow \boxed{\det[Y]=0}$. That is the したがって「非零解が存在すること」$\Leftrightarrow$ 行列が特異 $\Leftrightarrow \boxed{\det[Y]=0}$。これが振盪條件Oscillation condition発振条件本身,等價於回授形式的 $1-AH=0$(分母歸零 → 零輸入有限輸出)。把複數行列式拆成 $\mathrm{Re}\{\det\}=0$ 與 $\mathrm{Im}\{\det\}=0$,即同時解出 itself, equivalent to $1-AH=0$ in feedback form (a vanishing denominator → a finite output with zero input). Splitting the complex determinant into $\mathrm{Re}\{\det\}=0$ and $\mathrm{Im}\{\det\}=0$ solves simultaneously for そのものであり、帰還形式の $1-AH=0$(分母がゼロ → 入力ゼロで有限出力)と等価である。複素行列式を $\mathrm{Re}\{\det\}=0$ と $\mathrm{Im}\{\det\}=0$ に分ければ、同時に振盪頻率 $\omega_0$the oscillation frequency $\omega_0$発振周波数 $\omega_0$(相位條件)與(the phase condition) and (位相条件)と所需跨導 $g_m$the transconductance $g_m$ required必要な相互コンダクタンス $g_m$(增益條件)—— 正是下面從 2×2 行列式推 Hartley/Colpitts 的依據。(the gain condition) — exactly the basis for deriving Hartley/Colpitts from the 2×2 determinant below.(利得条件)が求まる —— これこそが、以下で 2×2 行列式から Hartley/Colpitts を導く根拠である。
要分清楚You need to keep three things distinct —区別すべきなのは起振 / 振幅 / 相位start-up, amplitude and phase起動 / 振幅 / 位相三件事,跟 IC 的關係各不相同。— because each relates differently to the initial conditions (IC).の 3 つであり、初期条件 (IC) との関係はそれぞれ異なる。
① 起振:需要擾動,但不需要「外加源」.① Start-up: a disturbance is needed, but not an “applied source”.① 起動:擾乱は必要だが「外部電源」は不要。 $\det=0$ 是理想穩態條件(極點在 $j\omega$ 軸);真實振盪器設計成 startup 時 $|AH|>1$(極點在 $\det=0$ is the ideal steady-state condition (poles on the $j\omega$ axis); a real oscillator is designed so that $|AH|>1$ at start-up (poles in the $\det=0$ は理想的な定常条件(極が $j\omega$ 軸上)である。実際の発振器は起動時に $|AH|>1$ となるよう設計する(極はRHP)。熱雜訊 / shot noise / 開機暫態本身就是 IC,RHP 極點把). Thermal noise, shot noise and the power-on transient are themselves the IC, and the RHP poles amplify )。熱雑音・ショット雑音・電源投入過渡そのものが IC であり、RHP の極が任何Anyどんな微小擾動指數放大 $e^{\sigma t}$ → 一定有雜訊,所以一定會起。IC「點火」必要,但內容無所謂。 any tiny disturbance exponentially as $e^{\sigma t}$ → there is always noise, so it always starts. The IC is needed to “light the fire”, but its content does not matter.微小な擾乱も $e^{\sigma t}$ で指数関数的に増幅する → 雑音は必ず存在するので、必ず起動する。IC は「点火」に必要だが、その中身は問わない。
② 振幅:由非線性鎖定,與 IC 無關.② Amplitude: locked by the nonlinearity, independent of the IC.② 振幅:非線形性によって固定され、IC には依存しない。 理想線性(極點剛好在 $j\omega$ 軸,marginal)時像理想 LC,振幅才會「由 IC 決定」並永不增減。真實電路 $g_m$ 隨振幅壓縮 → 收斂到 In the ideal linear case (poles exactly on the $j\omega$ axis, marginal) it behaves like an ideal LC and the amplitude really would be “set by the IC” and never change. In a real circuit $g_m$ compresses with amplitude → convergence to a 理想的な線形の場合(極がちょうど $j\omega$ 軸上、限界安定)は理想 LC と同じで、振幅は本当に「IC で決まり」変化しない。実回路では $g_m$ が振幅とともに圧縮する → 収束先はstable limit cycle:IC 大小都收斂到: whatever the IC, it converges to :IC の大小によらず同一個穩態振幅the same steady-state amplitude同一の定常振幅(即上方 Van der Pol「任何非零起點都收斂到 $\Gamma$」)。(the Van der Pol statement above that “every non-zero starting point converges to $\Gamma$”).に収束する(上の Van der Pol の「非零の出発点はすべて $\Gamma$ に収束する」に相当)。
③ 相位:這才是真正由 IC / 雜訊決定的量.③ Phase: this is the quantity genuinely determined by the IC / noise.③ 位相:これこそ IC / 雑音によって本当に決まる量である。 振盪器是 An oscillator is an 発振器は自治系統 (autonomous)autonomous system自律系 (autonomous),無外部時間參考 → 沒有偏好相位。絕對相位由點火的雜訊決定、任意;limit cycle 在相位方向 with no external time reference → it has no preferred phase. The absolute phase is set by the noise that lit the fire and is arbitrary; the limit cycle is であり、外部の時間基準をもたない → 好ましい位相が存在しない。絶対位相は点火した雑音で決まり任意である。リミットサイクルは位相方向に中性穩定neutrally stable中立安定,雜訊持續推動 → in the phase direction, and noise keeps nudging it → であり、雑音が押し続ける →相位隨機游走 = phase noisethe phase performs a random walk = phase noise位相はランダムウォークする = 位相雑音(Leeson)。(Leeson).(Leeson)。
Separating real and imaginary parts and letting $X_k = 1/B_k$, the oscillation conditions become:
$\det=0$ 是$\det=0$ is $\det=0$ は一個複數方程a single complex equation1 本の複素方程式 → 實部、虛部各自 = 0,給出兩條: → setting the real and imaginary parts each to 0 gives two conditions:→ 実部・虚部をそれぞれ 0 とおくと 2 つの条件が得られる:
$$\text{Re}:\;-(B_1{+}B_3)(B_2{+}B_3)+B_3^2=0\;\xrightarrow{\;\div\,B_1B_2B_3,\ X_k=1/B_k\;}\;X_1+X_2+X_3=0\ \text{(相位)}$$ $$\text{Im}:\;G_i(B_2{+}B_3)-g_mB_3=0\ \text{(增益,原始形)}$$ $$\text{Re}:\;-(B_1{+}B_3)(B_2{+}B_3)+B_3^2=0\;\xrightarrow{\;\div\,B_1B_2B_3,\ X_k=1/B_k\;}\;X_1+X_2+X_3=0\ \text{(phase)}$$ $$\text{Im}:\;G_i(B_2{+}B_3)-g_mB_3=0\ \text{(gain, original form)}$$ $$\text{Re}:\;-(B_1{+}B_3)(B_2{+}B_3)+B_3^2=0\;\xrightarrow{\;\div\,B_1B_2B_3,\ X_k=1/B_k\;}\;X_1+X_2+X_3=0\ \text{(位相)}$$ $$\text{Im}:\;G_i(B_2{+}B_3)-g_mB_3=0\ \text{(利得、原形)}$$增益條件換成 $X$:Recasting the gain condition in terms of $X$:利得条件を $X$ で書き直す: 以 $B_k=1/X_k$ 代入虛部: Substituting $B_k=1/X_k$ into the imaginary part:虚部に $B_k=1/X_k$ を代入すると:
$$G_i\Big(\frac1{X_2}+\frac1{X_3}\Big)=\frac{g_m}{X_3}\;\xrightarrow{\;\times X_3\;}\;G_i\frac{X_2+X_3}{X_2}=g_m$$比值形:Ratio form:比の形: 再代相位條件 $X_1+X_2+X_3=0\Rightarrow X_2+X_3=-X_1$: Then substituting the phase condition $X_1+X_2+X_3=0\Rightarrow X_2+X_3=-X_1$:さらに位相条件 $X_1+X_2+X_3=0\Rightarrow X_2+X_3=-X_1$ を代入すると:
$$G_i\frac{-X_1}{X_2}=g_m\;\Longrightarrow\;\boxed{\frac{X_1}{X_2}=-\frac{g_m}{G_i}}$$$g_m,G_i>0$ ⇒ 比值為負,固定了 $X_1$、$X_2$ 的相對正負號 — 由此判定 Colpitts / Hartley。$g_m,G_i>0$ ⇒ the ratio is negative, which fixes the relative signs of $X_1$ and $X_2$ — and that is what distinguishes Colpitts from Hartley.$g_m,G_i>0$ ⇒ 比は負となり、$X_1$ と $X_2$ の相対的な符号が定まる — これが Colpitts と Hartley を区別するものである。
所有 LC 振盪器的頻率都由 The frequency of every LC oscillator is set by すべての LC 発振器の周波数を決めるのはLC 共振LC resonanceLC 共振 決定。共振 = 電感 $L$ 與電容 $C$ 之間能量來回擺盪。 . Resonance = energy sloshing back and forth between the inductance $L$ and the capacitance $C$.である。共振とは、インダクタンス $L$ とキャパシタンス $C$ の間でエネルギーが行き来することである。
物理圖像：The physical picture:物理的な描像:
共振頻率Resonant frequency共振周波数（當 $\omega L = 1/\omega C$，兩電抗大小相等時）：(when $\omega L = 1/\omega C$, the two reactances being equal in magnitude):($\omega L = 1/\omega C$、すなわち 2 つのリアクタンスの大きさが等しいとき):
兩種 LC 共振電路：Two kinds of LC resonant circuit:LC 共振回路の 2 つの形:
| 串聯 LC (series)Series LC直列 LC (series) | 並聯 LC (parallel / tank)Parallel LC (tank)並列 LC (parallel / tank) | |
|---|---|---|
| 共振時阻抗Impedance at resonance共振時のインピーダンス | 最小minimum最小（$Z\to 0$，理想短路）($Z\to 0$, an ideal short circuit)($Z\to 0$、理想的には短絡) | 最大maximum最大（$Z\to\infty$，理想開路）($Z\to\infty$, an ideal open circuit)($Z\to\infty$、理想的には開放) |
| 典型用途Typical uses代表的な用途 | 串聯陷波、選頻通路series notch, frequency-selective path直列ノッチ、周波数選択経路 series notch / band-pass path | 振盪器 tank、選頻負載oscillator tank, frequency-selective load発振器の tank、周波数選択負荷 oscillator tank / frequency-selective load |
對比:By contrast:対比:串聯共振是「 Series resonance is “直列共振は「電流Current電流的天堂」(低阻、大電流);並聯共振是「 heaven” (low impedance, large current); parallel resonance is “の天国」(低インピーダンス・大電流)であり、並列共振は「電壓Voltage電圧的天堂」(高阻、大跨壓、腔內循環)。動畫速度可用上面四電路那條滑桿一起調($\,$--ac-dur$\,$)。 heaven” (high impedance, large voltage swing, circulating current inside the tank). The animation speed can be adjusted for all four circuits together with the slider above ($\,$--ac-dur$\,$).の天国」(高インピーダンス・大振幅電圧・タンク内循環電流)である。アニメーション速度は上の 4 回路のスライダでまとめて調整できる($\,$--ac-dur$\,$)。
Q 因子（品質因數）The Q factor (quality factor)Q 値(品質係数) — 共振的尖銳度： — the sharpness of the resonance:— 共振の鋭さ:
高 $Q$ → 共振峰窄而尖、損耗低、頻率穩定、相位雜訊低。這正是 Leeson 公式中相位雜訊 $\propto 1/Q^2$ 的由來（見 High $Q$ → a narrow, sharp resonant peak, low loss, stable frequency and low phase noise. This is exactly where the $\propto 1/Q^2$ dependence of phase noise in Leeson's formula comes from (see $Q$ が高い → 共振ピークが狭く鋭い、損失が小さい、周波数が安定、位相雑音が低い。これこそが Leeson の式で位相雑音が $\propto 1/Q^2$ となる理由である(5.1.9）。).を参照)。
與本節的關聯：Relevance to this section:本節との関連:Colpitts 用 $C_\text{eq}=C_1C_2/(C_1+C_2)$ 與 $L_3$ 共振；Hartley 用 $(L_1+L_2)$ 與 $C_3$ 共振；Pierce 把晶體當成等效電感與 $C_1,C_2$ 共振。下面每個拓樸的頻率公式，本質上都是 $\omega_0 = 1/\sqrt{L_\text{eq}C_\text{eq}}$ 的變形。 Colpitts resonates $C_\text{eq}=C_1C_2/(C_1+C_2)$ with $L_3$; Hartley resonates $(L_1+L_2)$ with $C_3$; Pierce treats the crystal as an equivalent inductance resonating with $C_1,C_2$. The frequency formula of every topology below is essentially a variation on $\omega_0 = 1/\sqrt{L_\text{eq}C_\text{eq}}$.Colpitts は $C_\text{eq}=C_1C_2/(C_1+C_2)$ と $L_3$ を共振させ、Hartley は $(L_1+L_2)$ と $C_3$ を共振させ、Pierce は水晶を等価インダクタンスとみなして $C_1,C_2$ と共振させる。以下の各構成の周波数式は、いずれも本質的に $\omega_0 = 1/\sqrt{L_\text{eq}C_\text{eq}}$ の変形である。
Let $X_1 = -1/\omega_0 C_1$, $X_2 = -1/\omega_0 C_2$, $X_3 = \omega_0 L_3$. The phase condition gives the oscillation frequency:
And the magnitude condition gives the required device transconductance:
Let $X_1 = \omega_0 L_1$, $X_2 = \omega_0 L_2$, $X_3 = -1/\omega_0 C_3$:
Based on the common-emitter Colpitts. The inductor $L_3$ is replaced by a crystal operating between its series and parallel resonant frequencies (so it looks inductive). The two capacitors $C_1, C_2$ are connected from the base and collector to ground; the crystal connects between base and collector. The crystal's high $Q$ (10⁴–10⁶) gives outstanding frequency stability (a few ppm).
Based on the common-gate Colpitts. Adds a series capacitor $C_3$ in series with the inductor $L_3$ to reduce the effective inductance value and thus the device's parasitic-capacitance loading on the tuning. Better frequency stability than basic Colpitts when high $Q$ is needed.
| Topology | $X_1$ | $X_2$ | $X_3$ | Freq formula | Notes |
|---|---|---|---|---|---|
| Colpitts | C₁ | C₂ | L₃ | $1/\sqrt{L_3 C_1 C_2/(C_1+C_2)}$ | Most common LC |
| Hartley | L₁ | L₂ | C₃ | $1/\sqrt{(L_1+L_2)C_3}$ | Tapped inductor |
| Pierce | C₁ | C₂ | Crystal (inductive) | Set by crystal | CE-Colpitts with crystal |
| Clapp | C₁ | C₂ | L₃ + C₃ series | $1/\sqrt{L_3 C_\text{tot}}$ | CG-Colpitts, less parasitic effect |
偏壓與接法:Biasing and configurations:バイアスと接地方式: $R_1/R_2$ 先把 B 設在「半開」工作點,讓 $i_C$ 能隨訊號上下擺;$R_E$ 穩定工作點。看「哪隻腳當共同參考」分成三種接法: $R_1/R_2$ first set B at a “half-open” operating point so that $i_C$ can swing up and down with the signal, while $R_E$ stabilizes that operating point. Which leg serves as the common reference gives three configurations: $R_1/R_2$ がまず B を「半開き」の動作点に設定し、$i_C$ が信号に応じて上下に振れるようにする。$R_E$ はその動作点を安定させる。どの足を共通基準とするかで 3 つの接地方式に分かれる:共射 CEcommon-emitter CEエミッタ接地 CE(B 進、C 出,增益最大,最常用)、共基 CB、共集 CC。下面 Colpitts / Hartley / Pierce 都用 (in at B, out at C, the highest gain and by far the most common), common-base (CB) and common-collector (CC). Colpitts, Hartley and Pierce below all use (B から入り C から出る。利得が最大で最も広く使われる)、ベース接地 (CB)、コレクタ接地 (CC)。以下の Colpitts / Hartley / Pierce はいずれもCE;Clapp 用對應的 FET ; Clapp uses the FET equivalent, ;Clapp はこれに対応する FET の共閘the common-gateゲート接地。.を用いる。
白話:In plain terms:かみ砕くと: $L_3$ 和兩顆電容組成鞦韆。電晶體看著基極($C_1$ 上的電壓)決定何時推;推力大小由 $L_3$ and the two capacitors form the swing. The transistor watches the base (the voltage on $C_1$) to decide when to push; the strength of the push is set by $L_3$ と 2 つのコンデンサがブランコを構成する。トランジスタはベース($C_1$ の電圧)を見ていつ押すかを決め、押しの強さは$C_1$ 對 $C_2$ 的比例the ratio of $C_1$ to $C_2$$C_1$ と $C_2$ の比決定(像鞦韆抓在繩子哪一段)。最常見、最好做的 LC 振盪器。(like where along the rope you grab the swing). It is the commonest and easiest LC oscillator to build.で決まる(ブランコのロープのどこを握るかに相当)。最も一般的で作りやすい LC 発振器である。
把含偏壓的完整電路,化簡成只剩「對Reduce the full biased circuit to just the skeleton that matters バイアスを含む完全な回路を、交流to AC交流有意義」的骨架。規則(都對交流訊號而言):. The rules (all with respect to the AC signal):にとって意味のある骨格だけに簡約する。規則は(すべて交流信号に対して):
剩下:電晶體 + $L_3,C_1,C_2$ = 骨架。關鍵是What remains: the transistor plus $L_3,C_1,C_2$ = the skeleton. The key point is that 残るのは:トランジスタ + $L_3,C_1,C_2$ = 骨格。要点は第①步把 $V_{CC}$ rail 變成 AC 地step ① turns the $V_{CC}$ rail into AC ground手順 ① で $V_{CC}$ レールが交流接地になる,和底部地, and it ことであり、それが合併成同一個節點merges with the bottom ground into a single node下側の接地と 1 つの節点に統合される → 原本接 $V_{CC}$ rail 的 $C_2$、$L_3$ 變成接地,跟 $C_1$ 一樣。 → so $C_2$ and $L_3$, originally connected to the $V_{CC}$ rail, become grounded just like $C_1$.→ もともと $V_{CC}$ レールにつながっていた $C_2$ と $L_3$ が、$C_1$ と同じく接地されることになる。
這也解釋動畫:This also explains the animation:これはアニメーションの説明にもなっている:橘點(交流電流)只在 $L_3$–$C_1$–$C_2$ 迴路繞,因為其它東西($V_{CC}$、偏壓)對交流都「不動 / 高阻 / 短路」,真正來回擺的就剩這個 tank。 the orange dots (the AC current) only circulate in the $L_3$–$C_1$–$C_2$ loop, because everything else ($V_{CC}$, the bias) is either “immovable / high impedance / a short circuit” to AC — the only thing genuinely swinging back and forth is this tank.オレンジの点(交流電流)が $L_3$–$C_1$–$C_2$ のループだけを回るのは、それ以外($V_{CC}$、バイアス)が交流にとって「動かない / 高インピーダンス / 短絡」のいずれかだからである。本当に往復して揺れているのは、このタンクだけである。
關鍵:The key point: 要点:$C_1$、$C_2$ 彼此串聯$C_1$ and $C_2$ are in series with each other$C_1$ と $C_2$ は互いに直列,這個串聯電容再跟 , and that series capacitance is then であり、その直列容量がさらに$L_3$ 並聯in parallel with $L_3$$L_3$ と並列。看交流等效就清楚:. The AC equivalent makes it clear:になる。交流等価を見れば明らかである:
為什麼 $C_1$、$C_2$ 是串聯不是並聯:Why $C_1$ and $C_2$ are in series rather than in parallel:なぜ $C_1$、$C_2$ は並列ではなく直列なのか:它們只有 they share 両者が共有するのは底部共用同一點(地)only one point at the bottom (ground)下側の 1 点(接地)だけ,上面各接不同節點($C_2$→集極、$C_1$→基極);電流從一個進、另一個出 → 串聯。地就是它倆中間的, while their tops go to different nodes ($C_2$→collector, $C_1$→base); the current goes in through one and out through the other → in series. Ground is the であり、上側は別々の節点($C_2$→コレクタ、$C_1$→ベース)につながる。電流は一方から入り他方から出る → 直列である。接地は両者の間の抽頭(中點)tap (midpoint)タップ(中点)。(並聯要 between them. (For a parallel connection にあたる。(並列であるためには兩端both ends両端都接同兩點。) would have to meet at the same two points.)が同じ 2 点で結ばれていなければならない。)
兩種等價看法:Two equivalent ways of seeing it:同値な 2 つの見方:
共振時 $L_3$ 看到的電容 = 串聯值:At resonance the capacitance seen by $L_3$ is the series value:共振時に $L_3$ から見える容量は直列値になる:
$$C_s=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2},\qquad f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{L_3\,C_s}}$$白話:In plain terms:かみ砕くと: 把 Colpitts 的「兩電容、一電感」整個對調成「 take Colpitts' “two capacitors, one inductor” and swap the roles entirely to give “Colpitts の「コンデンサ 2 個、コイル 1 個」を丸ごと入れ替えて「兩電感、一電容two inductors, one capacitorコイル 2 個、コンデンサ 1 個」。回授量由 ”. The amount of feedback is set by the ratio of 」にしたもの。帰還量は$L_1$ 對 $L_2$$L_1$ to $L_2$$L_1$ と $L_2$ 的比例決定。常用一顆中間有抽頭的線圈;轉動磁芯就能調頻,做寬調諧很方便。 . A single coil with a centre tap is commonly used; turning the core tunes the frequency, which makes wide tuning ranges very convenient.の比で決まる。中間タップ付きのコイル 1 個を用いるのが一般的で、コアを回せば同調がとれるため広い可変範囲を得やすい。
Hartley 是 Colpitts 的Hartley is the Hartley は Colpitts の對偶dual双対:把「兩電容一電感」對調成「兩電感一電容」。化簡規則($V_{CC}$→地…)與 Colpitts 相同。 of Colpitts: swap “two capacitors, one inductor” for “two inductors, one capacitor”. The reduction rules ($V_{CC}$→ground, etc.) are the same as for Colpitts.である:「コンデンサ 2 個、コイル 1 個」を「コイル 2 個、コンデンサ 1 個」に入れ替える。簡約規則($V_{CC}$→接地 など)は Colpitts と同じである。
白話:In plain terms:かみ砕くと:$L_1$、$L_2$ 底部共用地(中點)→ $L_1$ and $L_2$ share ground at the bottom (the midpoint) → they are $L_1$ と $L_2$ は下側で接地(中点)を共有する →串聯in series直列(就是中間有抽頭的線圈);這串聯電感 $(L_1{+}L_2)$ 再與 $C_3$ (that is, a centre-tapped coil); that series inductance $(L_1{+}L_2)$ is then (すなわち中間タップ付きのコイル);この直列インダクタンス $(L_1{+}L_2)$ がさらに $C_3$ と並聯in parallel with並列成 tank。回授比由 $L_1:L_2$ 決定。 with $C_3$ to form the tank. The feedback ratio is set by $L_1:L_2$.になってタンクを作る。帰還比は $L_1:L_2$ で決まる。
$$f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{(L_1+L_2)\,C_3}}$$白話:In plain terms:かみ砕くと: 石英晶體等效是一個 a quartz crystal is equivalent to an LC with an 水晶振動子は$Q$ 值超高(上萬~百萬)extraordinarily high $Q$ (tens of thousands to millions)$Q$ が桁違いに高い(数万〜数百万)的 LC——像一個幾乎不會停、節奏超穩的鞦韆。所以頻率非常穩(ppm 級、隨溫度幾乎不漂)。你的手錶、電腦/MCU 的時脈幾乎都用它。— like a swing that hardly ever stops and keeps superb time. So the frequency is extremely stable (ppm-level, barely drifting with temperature). Your watch and the clocks in your computer/MCU almost all use one.LC と等価であり、ほとんど止まらず、リズムが極めて安定したブランコのようなものである。そのため周波数はきわめて安定で(ppm 級、温度でもほとんど動かない)、腕時計やパソコン/MCU のクロックはほぼこれを使っている。
跟 Colpitts Exactly the Colpitts と一模一樣same as Colpittsまったく同じ,只是把 $L_3$ 換成, except that $L_3$ is replaced by a であり、違いは $L_3$ を石英晶體quartz crystal水晶振動子。晶體工作在串/並聯共振之間呈. Between its series and parallel resonances the crystal is に置き換えた点だけである。水晶は直列共振と並列共振の間では電感性inductive誘導性,等效一顆超高 $Q$ 的電感。化簡規則同 Colpitts。, equivalent to an inductor of extremely high $Q$. The reduction rules are as for Colpitts.を示し、$Q$ が極めて高いインダクタと等価になる。簡約規則は Colpitts と同じである。
白話:In plain terms:かみ砕くと:$C_1$、$C_2$ 共地(中點)→ $C_1$ and $C_2$ share ground (the midpoint) → they are $C_1$、$C_2$ は接地(中点)を共有する →串聯in series直列,與晶體(電感性), and with the crystal (inductive) they are 、そして誘導性の水晶と並聯in parallel with並列成 tank,跟 Colpitts 同型。差別在晶體 $Q$ 超高(上萬~百萬)→ 頻率被它 to form the tank, the same shape as Colpitts. The difference is the crystal's enormous $Q$ (tens of thousands to millions) → it になってタンクを作る。形は Colpitts と同じである。違いは水晶の $Q$ が桁違いに高いこと(数万〜数百万)で、それが鎖得超穩locks the frequency extremely tightly周波数を極めて強固に固定する(ppm 級),幾乎不隨溫度漂。(to ppm), with almost no drift over temperature.(ppm 級)ため、温度でもほとんど漂わない。
白話:In plain terms:かみ砕くと: 電晶體的寄生電容會隨溫度/工作點亂跑,害 Colpitts 的頻率漂。Clapp 在電感上串一顆 the transistor's parasitic capacitances wander with temperature and operating point, making a Colpitts oscillator's frequency drift. Clapp puts a トランジスタの寄生容量は温度や動作点でふらつき、Colpitts の周波数を漂わせる。Clapp はコイルに很小且很穩的 $C_3$very small, very stable $C_3$きわめて小さく安定な $C_3$ 來「主導」頻率,把電晶體那些不穩電容的影響 in series with the inductor to “dominate” the frequency, thereby を直列に入れて周波数を「支配」させ、トランジスタの不安定な容量の影響を稀釋掉diluting away薄めてしまう → 頻率更穩。 the influence of those unstable transistor capacitances → a more stable frequency.→ 周波数がより安定する。
就是 Colpitts,只是上邊的元件從純 $L_3$ 改成 It is Colpitts, with the top-edge element changed from a plain $L_3$ to これは Colpitts であり、上辺の素子が $L_3$ 単独から$L_3$ 串一顆小 $C_3$$L_3$ in series with a small $C_3$$L_3$ と小さな $C_3$ の直列。化簡規則同 Colpitts。. The reduction rules are as for Colpitts.に変わっただけである。簡約規則は Colpitts と同じである。
白話:In plain terms:かみ砕くと:tank = $(L_3\text{ 串 }C_3)$ 與 $(C_1\text{ 串 }C_2)$ the tank = $(L_3\text{ in series with }C_3)$ and $(C_1\text{ in series with }C_2)$ タンク = $(L_3\text{ と }C_3\text{ の直列})$ と $(C_1\text{ と }C_2\text{ の直列})$並聯in parallel withの並列。因 $C_3 \ll C_1,C_2$,總串聯電容由. Since $C_3 \ll C_1,C_2$, the total series capacitance is 。$C_3 \ll C_1,C_2$ であるため、合成直列容量は很小且很穩的 $C_3$ 主導dominated by the very small, very stable $C_3$きわめて小さく安定な $C_3$ が支配する → 把電晶體寄生電容的影響稀釋掉,頻率更穩。 → this dilutes the influence of the transistor's parasitic capacitances and the frequency is more stable.→ トランジスタの寄生容量の影響が薄まり、周波数がより安定する。
$$f_0\approx\frac{1}{2\pi\sqrt{L_3\,C_\text{tot}}}\quad(C_\text{tot}\text{ 由 }C_3\text{ 主導})$$ $$f_0\approx\frac{1}{2\pi\sqrt{L_3\,C_\text{tot}}}\quad(C_\text{tot}\text{ dominated by }C_3)$$ $$f_0\approx\frac{1}{2\pi\sqrt{L_3\,C_\text{tot}}}\quad(C_\text{tot}\text{ は }C_3\text{ が支配})$$這四種振盪器其實是These four oscillators are really variations on この 4 種類の発振器は実のところ同一個架構one and the same architecture同一の構成的不同變形：一個放大元件（BJT/FET）配上一個由: an amplifying device (BJT/FET) plus a π-shaped feedback network made of の変形にすぎない:増幅素子(BJT/FET)に、三個電抗 $X_1,X_2,X_3$three reactances $X_1,X_2,X_3$3 つのリアクタンス $X_1,X_2,X_3$ 組成的 π 形回授網路。差別只在於「哪幾個位置放電容、哪個放電感（或晶體）」，以及電晶體用哪一種組態（共射 CE／共閘 CG）。 . The only differences are “which positions hold capacitors and which holds the inductor (or crystal)”, and which transistor configuration is used (common-emitter CE / common-gate CG).からなる π 形の帰還回路を組み合わせたものである。違いは「どの位置にコンデンサを置き、どこにコイル(または水晶)を置くか」と、トランジスタをどの接地方式(エミッタ接地 CE / ゲート接地 CG)で使うか、それだけである。
上面這張三電抗模型,其實就是 §5.1.2 那張The three-reactance model above is really the 上の三リアクタンスモデルは、実のところ §5.1.2 の回授方塊圖feedback block diagram帰還ブロック図($V_o=\dfrac{A}{1-AH}V_i$)的 of §5.1.2 ($V_o=\dfrac{A}{1-AH}V_i$) ($V_o=\dfrac{A}{1-AH}V_i$)を電路實現realized as a circuit回路として実現したもの——同一件事,一個抽象、一個具體。— the same thing, one abstract and one concrete.である —— 同じことを、一方は抽象的に、一方は具体的に表している。
| 方塊圖 (§5.1.2)Block diagram (§5.1.2)ブロック図 (§5.1.2) | 三電抗模型 (§5.1.4)Three-reactance model (§5.1.4)三リアクタンスモデル (§5.1.4) | |
|---|---|---|
| 放大器Amplifier増幅器 | $A$(非反相方塊)$A$ (a non-inverting block)$A$(非反転ブロック) | $-A$ 電晶體(CE,180°)$-A$, the transistor (CE, 180°)$-A$、トランジスタ(CE、180°) |
| 回授Feedback帰還 | $H(\omega)$ 黑盒the $H(\omega)$ black box$H(\omega)$ ブラックボックス | $X_1,X_2,X_3$ π 分壓the $X_1,X_2,X_3$ π divider$X_1,X_2,X_3$ による π 分圧 |
| 相加點Summing point加算点 | 加法器 $\oplus$the adder $\oplus$加算器 $\oplus$ | $X_3$ 與 $X_1$ 交會的輸入節點the input node where $X_3$ meets $X_1$$X_3$ と $X_1$ が出会う入力節点 |
| 振盪條件Oscillation condition発振条件 | $1-AH=0$ | $X_1{+}X_2{+}X_3=0$、$X_1/X_2=A_v$$X_1{+}X_2{+}X_3=0$ and $X_1/X_2=A_v$$X_1{+}X_2{+}X_3=0$ かつ $X_1/X_2=A_v$ |
相位怎麼對上:How the phases line up:位相はどう揃うのか:方塊圖用正回授加法器;三電抗用 $-A$(放大器 180°)+ 網路再 180° = 共 360° = 同相,等效正回授。$H$ 是 the block diagram uses a positive-feedback adder; the three-reactance version uses $-A$ (180° from the amplifier) plus another 180° from the network = 360° in total = in phase, equivalent to positive feedback. $H$ is ブロック図は正帰還の加算器を用いる。三リアクタンス版は $-A$(増幅器による 180°)に回路のさらに 180° を加えて合計 360° = 同相となり、正帰還と等価になる。$H$ は頻率相依frequency-dependent周波数依存的 → 只有 $X_1{+}X_2{+}X_3=0$ 的那個頻率相位才滿足 → 決定 $\omega_0$。→ only at the frequency where $X_1{+}X_2{+}X_3=0$ is the phase condition satisfied → and that fixes $\omega_0$.であり → $X_1{+}X_2{+}X_3=0$ となる周波数でのみ位相条件が満たされる → これが $\omega_0$ を決める。
一句話:In one sentence:一言でいえば:$1-AH=0$ 是「為什麼會振盪」的通用判據;三電抗模型是「用一顆電晶體 + 三個電抗把那個 $H$ 兜出來」的電路版。Colpitts/Hartley/Pierce/Clapp 只是 $X_1,X_2,X_3$ 放電容/電感的不同選擇。$1-AH=0$ is the general criterion for “why it oscillates”; the three-reactance model is the circuit version of “building that $H$ out of one transistor and three reactances”. Colpitts/Hartley/Pierce/Clapp are simply different choices of capacitor or inductor for $X_1,X_2,X_3$.$1-AH=0$ は「なぜ発振するか」の一般的な判定条件であり、三リアクタンスモデルは「トランジスタ 1 個と 3 つのリアクタンスでその $H$ を作る」回路版である。Colpitts/Hartley/Pierce/Clapp は、$X_1,X_2,X_3$ にコンデンサとコイルのどちらを選ぶかが違うだけである。
由 Barkhausen 振盪條件（迴路增益 $=1\angle 0°$），對共射放大器（本身提供 $180°$ 相移）可推出兩個條件：From the Barkhausen oscillation condition (loop gain $=1\angle 0°$), a common-emitter amplifier (which itself supplies $180°$ of phase shift) yields two conditions:バルクハウゼンの発振条件(ループ利得 $=1\angle 0°$)から、それ自体が $180°$ の位相シフトを与えるエミッタ接地増幅器について、2 つの条件が導かれる:
組態：Configuration:構成:共射 (CE)。tank 是 $L_3$ 並聯「$C_1$ 串 $C_2$」；$C_1,C_2$ 串聯接點是 common-emitter (CE). The tank is $L_3$ in parallel with “$C_1$ in series with $C_2$”; the junction between $C_1$ and $C_2$ is the エミッタ接地 (CE)。タンクは $L_3$ と「$C_1$ と $C_2$ の直列」の並列である。$C_1$ と $C_2$ の接続点が電容分壓capacitive-divider容量分圧抽頭，把輸出電壓分一部分回授到輸入（base）。 tap, returning part of the output voltage to the input (the base).のタップで、出力電圧の一部を入力(ベース)へ戻す。
特點：Characteristics:特徴:電容分壓器易做、對雜散電感不敏感，是 a capacitive divider is easy to build and insensitive to stray inductance, making this 容量分圧器は作りやすく浮遊インダクタンスに鈍感であるため、最常用的 LC 振盪器the most widely used LC oscillator最も広く使われる LC 発振器，VHF/UHF 到 GHz 都適用，也是 VCO 的基礎（把 $C$ 換成變容二極體即可調頻）。. It works from VHF/UHF up to GHz and is the basis of the VCO (simply replace $C$ with a varactor to make it tunable).となっている。VHF/UHF から GHz まで使え、VCO の基礎でもある($C$ をバラクタに置き換えれば同調できる)。
組態：Configuration:構成:共射 (CE)。tank 是 $C_3$ 並聯「$L_1$ 串 $L_2$」；用 common-emitter (CE). The tank is $C_3$ in parallel with “$L_1$ in series with $L_2$”; a エミッタ接地 (CE)。タンクは $C_3$ と「$L_1$ と $L_2$ の直列」の並列である。抽頭電感（tapped inductor）tapped inductorタップ付きインダクタ做電感分壓回授——這正是與 Colpitts 對偶 (dual) 的地方：把電容、電感互換。 provides inductive-divider feedback — which is exactly where it is the dual of Colpitts: capacitors and inductors are interchanged.がインダクタンス分圧による帰還を与える —— まさにここが Colpitts の双対 (dual) たるゆえんで、コンデンサとコイルが入れ替わっている。
特點：Characteristics:特徴:用單顆可變電容 $C_3$ 即可 a single variable capacitor $C_3$ gives 可変コンデンサ $C_3$ 1 個で寬範圍調頻wide-range tuning広範囲の同調，早期收音機與訊號產生器常用。缺點：抽頭電感體積大、難整合進 IC，且對雜散電容較敏感，頻率通常低於 Colpitts。, which is why it was common in early radios and signal generators. Its drawbacks: a tapped inductor is bulky and hard to integrate on an IC, it is rather sensitive to stray capacitance, and its frequency is usually lower than Colpitts.が得られるため、初期のラジオや信号発生器でよく使われた。欠点は、タップ付きインダクタが大きく IC への集積が難しいこと、浮遊容量に比較的敏感なこと、そして周波数が通常 Colpitts より低いことである。
組態：Configuration:構成:以 based on the 基礎となるのは共射 Colpittscommon-emitter Colpittsエミッタ接地 Colpitts 為基礎，把諧振電感 $L_3$ 換成 , with the resonant inductor $L_3$ replaced by a であり、共振用のコイル $L_3$ を石英晶體 (quartz crystal)quartz crystal水晶振動子 (quartz crystal)。晶體在其. The crystal is inductive に置き換える。水晶は串聯共振 $f_s$ 與並聯共振 $f_p$ 之間between its series resonance $f_s$ and its parallel resonance $f_p$直列共振 $f_s$ と並列共振 $f_p$ の間呈電感性，剛好取代 $L_3$ 的角色；$C_1,C_2$ 仍然做電容分壓回授。, which is exactly the role $L_3$ played; $C_1,C_2$ still provide the capacitive-divider feedback.で誘導性を示し、まさに $L_3$ の役割を果たす。$C_1,C_2$ は引き続き容量分圧による帰還を担う。
特點：Characteristics:特徴:晶體可 the crystal can be 水晶は等效為一個 $Q$ 值極高的 LC 諧振器modelled as an LC resonator of extremely high $Q$$Q$ がきわめて高い LC 共振器としてモデル化できる，因此頻率穩定度可達 , so the frequency stability reaches ため、周波数安定度はfew ppm，遠優於純 LC 型。代價是頻率幾乎, far better than a pure LC type. The price is that the frequency is essentially に達し、純 LC 型よりはるかに優れる。その代償として周波数はほぼ固定fixed固定（只能微調 pulling），且由晶體切割決定。(only slight pulling is possible) and is determined by how the crystal is cut.であり(わずかなプリングしかできない)、水晶のカットによって決まる。
用途：微處理器/MCU 時脈、頻率參考、通訊基準源。由 Leeson 公式 相位雜訊 $\propto 1/Q^2$ 可知，極高 $Q$ 也帶來極低相位雜訊。Uses: microprocessor/MCU clocks, frequency references and communication reference sources. Since Leeson's formula gives phase noise $\propto 1/Q^2$, an extremely high $Q$ also brings extremely low phase noise.用途:マイクロプロセッサ/MCU のクロック、周波数基準、通信用の基準源。Leeson の式より位相雑音 $\propto 1/Q^2$ であるから、$Q$ がきわめて高いことは位相雑音がきわめて低いことも意味する。
組態：Configuration:構成:以 based on the 基礎となるのは共閘 (CG) Colpittscommon-gate (CG) Colpittsゲート接地 (CG) Colpitts 為基礎，在電感 $L_3$ 上 , with a であり、コイル $L_3$ に串聯一顆小電容 $C_3$small capacitor $C_3$ added in series小容量のコンデンサ $C_3$ を直列に追加する。諧振由 $L_3$ 與三電容串聯值決定： with the inductor $L_3$. The resonance is set by $L_3$ together with the series value of the three capacitors:。共振は $L_3$ と 3 つのコンデンサの直列値で決まる:
因為 $C_3\ll C_1,C_2$，所以 $C_\text{tot}\approx C_3$。電晶體的Because $C_3\ll C_1,C_2$, $C_\text{tot}\approx C_3$. The transistor's $C_3\ll C_1,C_2$ であるから $C_\text{tot}\approx C_3$ となる。トランジスタの寄生電容是並接在 $C_1,C_2$ 上parasitic capacitances appear in parallel with $C_1,C_2$寄生容量は $C_1,C_2$ に並列に現れる，而頻率主要由 $L_3,C_3$ 決定 → 寄生電容變化對頻率的影響被大幅, whereas the frequency is set mainly by $L_3$ and $C_3$ → the effect of parasitic variation on the frequency is heavily が、周波数は主に $L_3$ と $C_3$ で決まる → 寄生容量の変動が周波数に及ぼす影響は大きく稀釋diluted薄められる。.。
| 項目Item項目 | Colpitts (CE) | Hartley (CE) | Pierce | Clapp |
|---|---|---|---|---|
| 主動組態Active configuration能動素子の接地方式 | 共射 CEcommon-emitter CEエミッタ接地 CE | 共射 CEcommon-emitter CEエミッタ接地 CE | 共射 CE（Colpitts 衍生）common-emitter CE (derived from Colpitts)エミッタ接地 CE(Colpitts の派生) | 共閘 CG（Colpitts 衍生）common-gate CG (derived from Colpitts)ゲート接地 CG(Colpitts の派生) |
| 回授分壓Feedback divider帰還分圧 | 電容 $C_1,C_2$capacitors $C_1,C_2$コンデンサ $C_1,C_2$ | 電感 $L_1,L_2$（抽頭）inductors $L_1,L_2$ (tapped)コイル $L_1,L_2$(タップ付き) | 電容 $C_1,C_2$capacitors $C_1,C_2$コンデンサ $C_1,C_2$ | 電容 $C_1,C_2$capacitors $C_1,C_2$コンデンサ $C_1,C_2$ |
| $X_1,X_2$ | 容性（−）capacitive (−)容量性(−) | 感性（+）inductive (+)誘導性(+) | 容性（−）capacitive (−)容量性(−) | 容性（−）capacitive (−)容量性(−) |
| $X_3$ 諧振元件$X_3$ resonant element$X_3$ の共振素子 | $L_3$ | $C_3$ | 晶體（呈電感性）crystal (looks inductive)水晶(誘導性を示す) | $L_3$ 串 $C_3$$L_3$ in series with $C_3$$L_3$ と $C_3$ の直列 |
| $\omega_0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{L_3 C_\text{eq}}}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{(L_1{+}L_2)C_3}}$ | 由晶體決定（$f_s\!\sim\!f_p$）set by the crystal ($f_s\!\sim\!f_p$)水晶で決まる($f_s\!\sim\!f_p$) | $\dfrac{1}{\sqrt{L_3 C_\text{tot}}},\,C_\text{tot}\!\approx\!C_3$ |
| 起振條件Start-up condition起動条件 | $C_2/C_1=g_m/G_i$ | $L_1/L_2=g_m/G_i$ | 同 Colpittsas ColpittsColpitts と同じ | 同 Colpittsas ColpittsColpitts と同じ |
| 關鍵差異Key difference決定的な違い | 基準 LC 型the baseline LC type基準となる LC 型 | Colpitts 的對偶（L↔C 互換）the dual of Colpitts (L↔C interchanged)Colpitts の双対(L↔C 入れ替え) | $L_3\to$ 晶體$L_3\to$ a crystal$L_3\to$ 水晶 | $L_3$ 加串聯 $C_3$$L_3$ plus a series $C_3$$L_3$ に直列 $C_3$ を追加 |
| 項目Item項目 | Colpitts | Hartley | Pierce | Clapp |
|---|---|---|---|---|
| 頻率範圍Frequency range周波数範囲 | 數百 MHz～hundreds of MHz to 数百 MHz〜GHz | 數百 kHz～數十 MHzhundreds of kHz to tens of MHz数百 kHz〜数十 MHz | kHz～數百 MHz（依晶體）kHz to hundreds of MHz (depending on the crystal)kHz〜数百 MHz(水晶による) | HF～VHFHF to VHFHF〜VHF |
| 頻率穩定度Frequency stability周波数安定度 | 中等moderate中程度 | 中等偏低moderate to low中程度〜やや低い | 極佳 few ppm ✓excellent, a few ppm ✓きわめて良好、数 ppm ✓ | 佳（優於 Colpitts）good (better than Colpitts)良好(Colpitts より優れる) |
| $Q$ 值$Q$ factor$Q$ 値 | $\sim10^2$ | $\sim10^2$ | $10^4$–$10^6$ ✓ | $\sim10^2$（但頻率受寄生影響小）$\sim10^2$ (but the frequency is little affected by parasitics)$\sim10^2$(ただし周波数は寄生の影響を受けにくい) |
| 可調性Tunability可変性 | 佳（VCO 常用）good (widely used for VCOs)良好(VCO に広く使われる) | 佳：變 $C_3$ 寬調 ✓good: vary $C_3$ for wide tuning ✓良好:$C_3$ を変えれば広く同調できる ✓ | 幾乎固定（僅微調）essentially fixed (fine trim only)ほぼ固定(微調整のみ) | 窄（$C_3$ 主導）narrow ($C_3$ dominates)狭い($C_3$ が支配) |
| IC 整合IC integrationIC への集積 | 容易（全電容）easy (all capacitors)容易(すべてコンデンサ) | 難（抽頭電感大）hard (a tapped inductor is bulky)困難(タップ付きインダクタが大きい) | 晶體外掛the crystal is off-chip水晶は外付け | 容易easy容易 |
| 相位雜訊Phase noise位相雑音 | 中等moderate中程度 | 中等moderate中程度 | 極低（$\propto 1/Q^2$）✓extremely low ($\propto 1/Q^2$) ✓きわめて低い($\propto 1/Q^2$)✓ | 低於 Colpittslower than ColpittsColpitts より低い |
| 典型用途Typical uses代表的な用途 | 通用 LC 振盪器、VCO、RF 前端本振general-purpose LC oscillators, VCOs, RF front-end local oscillators汎用 LC 発振器、VCO、RF フロントエンドの局部発振器 | 早期收音機、可調訊號產生器early radios, tunable signal generators初期のラジオ、可変信号発生器 | MCU 時脈、頻率參考、通訊基準MCU clocks, frequency references, communication referencesMCU クロック、周波数基準、通信用基準 | 需穩定固定頻的 LC 源an LC source needing a stable fixed frequency安定した固定周波数を要する LC 源 |
完整独立版（含頁首、目錄導覽）：The complete standalone version (with header and table-of-contents navigation): 完全な単独版(ヘッダと目次ナビゲーション付き):HW9 Oscillator Topology & Application Comparison →
接下來會看到三種振盪器模型——You are about to meet three oscillator models —これから 3 つの発振器モデルを見ていく ——回授 / π(三電抗)Feedback / π (three-reactance)帰還 / π(三リアクタンス)、 and 、一埠負電阻One-port negative resistance一端子対の負性抵抗、 and 、兩埠Two-port二端子対。它們. They are である。これらは不是三種不同的振盪器not three different oscillators3 種類の異なる発振器ではなく,而是 but 、同一個振盪器的三副眼鏡three pairs of spectacles for looking at the same oscillator同じ発振器を見るための 3 つの眼鏡,只是抽象層級與方便的場合不同。三者都在說同一句話:在 $\omega_0$,電路能, differing only in level of abstraction and in which situation each is convenient. All three say the same thing: at $\omega_0$ the circuit can produce であり、抽象度と使いやすい場面が違うだけである。3 つとも同じことを言っている:$\omega_0$ において回路は零輸入卻有有限輸出a finite output with zero input入力ゼロで有限の出力(閉迴路響應的分母歸零)。(the denominator of the closed-loop response vanishes).を生じうる(閉ループ応答の分母がゼロになる)。
| 模型Modelモデル | 起振條件Start-up condition起動条件 | 把振盪器看成Views the oscillator as発振器をどう見るか | 最適合Best suited to最も適した対象 |
|---|---|---|---|
| 回授 / π(三電抗)Feedback / π (three-reactance)帰還 / π(三リアクタンス) §5.1.2 / §5.1.4 | $1-AH=0$(迴路增益 $=1\angle0°$)$1-AH=0$ (loop gain $=1\angle0°$)$1-AH=0$(ループ利得 $=1\angle0°$) | 放大器 + 回授網路(Barkhausen)an amplifier + a feedback network (Barkhausen)増幅器 + 帰還回路(バルクハウゼン) | LC/晶體電晶體振盪器,較低頻LC/crystal transistor oscillators, lower frequenciesLC/水晶トランジスタ発振器、比較的低い周波数 |
| 一埠負電阻One-port negative resistance一端子対の負性抵抗 §5.1.5–5.1.6 | $Z_{in}+Z_L=0$ ($R_{in}=-R_L$、$X_{in}=-X_L$)($R_{in}=-R_L$, $X_{in}=-X_L$)($R_{in}=-R_L$、$X_{in}=-X_L$) | 一個呈現a port exhibiting 次を示す 1 つのポート負電阻negative resistance負性抵抗的埠 + 負載 plus a loadと負荷 | 微波二極體(Gunn/IMPATT/BARITT)microwave diodes (Gunn/IMPATT/BARITT)マイクロ波ダイオード(Gunn/IMPATT/BARITT) |
| 兩埠Two-port二端子対 §5.1.7 | $\Gamma_{in}\Gamma_L=1 \Leftrightarrow \Gamma_{out}\Gamma_T=1$ | 潛在不穩電晶體 + tank(L)/終端(T)網路a potentially unstable transistor + tank (L) / terminating (T) networks潜在的に不安定なトランジスタ + タンク (L) / 終端 (T) 回路 | 微波電晶體,用 S 參數設計(HW10)microwave transistors, designed with S-parameters (HW10)マイクロ波トランジスタ、S パラメータによる設計(HW10) |
An alternative view: the active device acts as a one-port with input impedance
$R_\text{in}$ 是裝置輸入阻抗的$R_\text{in}$ is the $R_\text{in}$ は素子の入力インピーダンスの實部real part実部,寫成同時是 of the device's input impedance, and it is written as a function of both であり、次の両方の関数として書かれる:電流振幅 $I$the current amplitude $I$電流振幅 $I$ 與 and と頻率 $\omega$the frequency $\omega$周波数 $\omega$ 的函數,各自管一件事: , each governing one thing:であり、それぞれが別の役割を担う:
① 振幅 $I$ 相依 → 因為裝置是非線性(大訊號)。① Dependence on the amplitude $I$ → because the device is nonlinear (large-signal).① 振幅 $I$ への依存 → 素子が非線形(大信号)だからである。這是振幅穩定的關鍵: This is the key to amplitude stability:これが振幅安定の鍵である:
這就是負電阻版的「$g_m$ 隨振幅壓縮」。This is the negative-resistance version of “$g_m$ compressing with amplitude”.これは「$g_m$ が振幅とともに圧縮する」ことの負性抵抗版である。
② 頻率 $\omega$ 相依② Dependence on the frequency $\omega$② 周波数 $\omega$ への依存 → 與 $X_\text{in}(I,j\omega)$ 一起,在 $X_\text{in}+X_L=0$ 的頻率定出振盪頻率 $\omega_0$。 → together with $X_\text{in}(I,j\omega)$, it sets the oscillation frequency $\omega_0$ at the frequency where $X_\text{in}+X_L=0$.→ $X_\text{in}(I,j\omega)$ と合わせて、$X_\text{in}+X_L=0$ となる周波数として発振周波数 $\omega_0$ を定める。
重點:The point:要点:線性小訊號模型只看單一工作點, a linear small-signal model looks only at a single operating point and 線形の小信号モデルは単一の動作点しか見ておらず、看不到 $I$ 相依cannot see the $I$ dependence$I$ 依存性を捉えられない → 無法解釋為何振幅會自己穩下來;要寫成 $R_\text{in}(I,j\omega)$ 才抓得到「振幅鎖定 + 定頻」兩件事。 → so it cannot explain why the amplitude settles by itself; only by writing $R_\text{in}(I,j\omega)$ do you capture both “amplitude locking” and “frequency setting”.→ そのため振幅がひとりでに落ち着く理由を説明できない。$R_\text{in}(I,j\omega)$ と書いて初めて「振幅の固定」と「周波数の決定」の両方を捉えられる。
connected to a passive load $Z_L = R_L + jX_L$. Applying KVL:
Equivalent form using reflection coefficients:
Stable oscillation requires that any perturbation in current or frequency decays back to the original state. Starting from $Z_T(I,s)=Z_\text{in}(I,s)+Z_L(s)=0$, expand in Taylor series about $(I_0,s_0)$:
Note that $Z_T(I_0,s_0)=0$, representing the original state of oscillation. Solving for $\delta s$:
① 鏈鎖律(換變數 $s=j\omega$)→ 生出 $j$.① The chain rule (changing variable to $s=j\omega$) → produces the $j$.① 連鎖律($s=j\omega$ への変数変換)→ $j$ が生じる。 沿 $j\omega$ 軸,$s$ 動一格 = $j\,\omega$ 動一格: Along the $j\omega$ axis, one step in $s$ = one step in $j\,\omega$:$j\omega$ 軸に沿って、$s$ の 1 ステップ = $j\,\omega$ の 1 ステップ:
$$\frac{\partial Z_T}{\partial s}=\frac{\partial Z_T}{\partial (j\omega)}=\frac{1}{j}\frac{\partial Z_T}{\partial \omega}=-j\,\frac{\partial Z_T}{\partial \omega}\;\Rightarrow\;\frac{1}{\partial Z_T/\partial s}=\frac{j}{\partial Z_T/\partial \omega}$$② 有理化(分母乘共軛)→ 生出 $Z_T^*$.② Rationalizing (multiplying by the conjugate of the denominator) → produces the $Z_T^*$.② 有理化(分母の共役を掛ける)→ $Z_T^*$ が生じる。 分母 $\partial Z_T/\partial\omega$ 是 The denominator $\partial Z_T/\partial\omega$ is 分母 $\partial Z_T/\partial\omega$ は複數complex複素数,沒辦法直接讀出 $\delta s$ 的實部/虛部。標準手法:分子分母同乘分母的共軛,把分母變成, so you cannot read off the real and imaginary parts of $\delta s$ directly. The standard manoeuvre: multiply numerator and denominator by the conjugate of the denominator, turning the denominator into a であり、$\delta s$ の実部・虚部をそのままでは読み取れない。標準的な手法は、分子分母に分母の共役を掛け、分母を實數real実数模平方: squared modulus:の絶対値の 2 乗にすることである:
$$\frac{j}{\partial Z_T/\partial \omega}\cdot\frac{(\partial Z_T/\partial \omega)^*}{(\partial Z_T/\partial \omega)^*}=\frac{j\,(\partial Z_T^*/\partial \omega)}{|\partial Z_T/\partial \omega|^2}$$為什麼非這樣做不可:Why this is unavoidable:なぜこうするほかないのか:接下來要令 $\delta s=\alpha+j\,\delta\omega$,判斷暫態 $e^{\delta s\,t}$ 會不會衰減(看 $\alpha$ 的正負)。只有把分母弄成實數($|\cdot|^2$),複數性全部集中到分子,才能乾淨地把 $\delta s$ 拆出實部 $\alpha$ —— 取 $\mathrm{Re}\{\}$ 直接得到 Kurokawa 條件。共軛在這裡 next we set $\delta s=\alpha+j\,\delta\omega$ and ask whether the transient $e^{\delta s\,t}$ decays (by the sign of $\alpha$). Only once the denominator is real ($|\cdot|^2$), so that all the complexity is concentrated in the numerator, can the real part $\alpha$ of $\delta s$ be extracted cleanly — take $\mathrm{Re}\{\}$ and the Kurokawa condition follows directly. The conjugate here is 次に $\delta s=\alpha+j\,\delta\omega$ とおき、過渡項 $e^{\delta s\,t}$ が減衰するかどうかを($\alpha$ の符号で)判定する。分母を実数($|\cdot|^2$)にして複素性をすべて分子に集めて初めて、$\delta s$ の実部 $\alpha$ をきれいに取り出せる —— $\mathrm{Re}\{\}$ をとれば黒川の条件が直ちに得られる。ここでの共役は純粹是代數工具purely an algebraic device純粋に代数的な道具(有理化),(rationalization), (有理化)であり、跟 Ch4 功率公式 $\tfrac12\mathrm{Re}\{VI^*\}$ 的「物理上取同相分量」不同來源,但同樣都是「把複數變實數」的手段a different origin from the “take the in-phase component physically” of the Ch4 power formula $\tfrac12\mathrm{Re}\{VI^*\}$, though both are ways of “turning a complex number into a real one”第 4 章の電力の式 $\tfrac12\mathrm{Re}\{VI^*\}$ における「物理的に同相成分をとる」こととは出所が異なるが、どちらも「複素数を実数にする」手段である点は同じである。.。
Let $\delta s = \alpha + j\,\delta\omega$. For the transient $e^{\delta s\,t} = e^{j\,\delta\omega\, t}\,e^{\alpha t}$ to decay, we need $\alpha < 0$. Taking the real part:
令 $Z_T=R_T+jX_T$,縮寫 $A=\dfrac{\partial R_T}{\partial I},\;B=\dfrac{\partial X_T}{\partial I},\;C=\dfrac{\partial R_T}{\partial \omega},\;D=\dfrac{\partial X_T}{\partial \omega}$。Let $Z_T=R_T+jX_T$ and abbreviate $A=\dfrac{\partial R_T}{\partial I},\;B=\dfrac{\partial X_T}{\partial I},\;C=\dfrac{\partial R_T}{\partial \omega},\;D=\dfrac{\partial X_T}{\partial \omega}$.$Z_T=R_T+jX_T$ とおき、$A=\dfrac{\partial R_T}{\partial I},\;B=\dfrac{\partial X_T}{\partial I},\;C=\dfrac{\partial R_T}{\partial \omega},\;D=\dfrac{\partial X_T}{\partial \omega}$ と略記する。
① 展開分子的複數乘積① Expand the complex product in the numerator① 分子の複素積を展開する(注意 $\partial Z_T^*/\partial\omega = C - jD$):(noting that $\partial Z_T^*/\partial\omega = C - jD$):($\partial Z_T^*/\partial\omega = C - jD$ に注意):
$$\frac{\partial Z_T}{\partial I}\cdot\frac{\partial Z_T^*}{\partial \omega}=(A+jB)(C-jD)=(AC+BD)+j(BC-AD)$$② 乘 $j$、代回 $\delta s$、取實部② Multiply by $j$, substitute back into $\delta s$ and take the real part② $j$ を掛け、$\delta s$ に戻して実部をとる($j\times$ 把實虛互換:$(AD-BC)+j(AC+BD)$):(multiplying by $j$ swaps real and imaginary: $(AD-BC)+j(AC+BD)$):($j$ を掛けると実部と虚部が入れ替わる:$(AD-BC)+j(AC+BD)$):
$$\delta s=-\frac{(AD-BC)+j(AC+BD)}{|\partial Z_T/\partial \omega|^2}\,\delta I\quad\Rightarrow\quad \alpha=\mathrm{Re}\{\delta s\}=-\frac{AD-BC}{|\partial Z_T/\partial \omega|^2}\,\delta I$$③ 要求恢復:③ Demand recovery:③ 復元することを要求する:振幅過衝 $\delta I>0$ 時暫態必須衰減($\alpha<0$);分母是正實數,所以 when the amplitude overshoots, $\delta I>0$, the transient must decay ($\alpha<0$); the denominator is a positive real number, so振幅が行きすぎて $\delta I>0$ となったとき、過渡項は減衰しなければならない($\alpha<0$)。分母は正の実数であるから、
$$\alpha<0 \;\Longleftrightarrow\; AD-BC>0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{\partial R_T}{\partial I}\frac{\partial X_T}{\partial \omega}-\frac{\partial X_T}{\partial I}\frac{\partial R_T}{\partial \omega}>0$$(反向也成立:$\delta I<0$ 時 $\alpha>0$ 把振幅推回來——同一個條件,雙向恢復。)(the converse also holds: for $\delta I<0$, $\alpha>0$ pushes the amplitude back up — the same condition, recovering in both directions.)(逆も成り立つ:$\delta I<0$ のときは $\alpha>0$ が振幅を押し戻す —— 同じ条件が双方向の復元を与える。)
For a passive load: $\partial R_L/\partial I = 0$, $\partial X_L/\partial I = 0$, $\partial R_L/\partial\omega = 0$, so the condition reduces to:
簡化步驟.The simplification.簡略化の手順。 $R_T=R_\text{in}+R_L$、$X_T=X_\text{in}+X_L$。負載被動 → 不隨 $R_T=R_\text{in}+R_L$ and $X_T=X_\text{in}+X_L$. The load is passive → it does not vary with the $R_T=R_\text{in}+R_L$、$X_T=X_\text{in}+X_L$ である。負荷は受動なので裝置電流device current素子電流變($\partial R_L/\partial I=\partial X_L/\partial I=0$,只有非線性主動元件才會),且假設 $\partial R_L/\partial\omega=0$(諧振器主要是電抗在動)。於是 $\partial R_T/\partial I=\partial R_\text{in}/\partial I$、$\partial X_T/\partial\omega=\partial(X_L+X_\text{in})/\partial\omega$,Kurokawa 變成:($\partial R_L/\partial I=\partial X_L/\partial I=0$; only a nonlinear active element would), and we assume $\partial R_L/\partial\omega=0$ (in a resonator it is mainly the reactance that moves). Hence $\partial R_T/\partial I=\partial R_\text{in}/\partial I$ and $\partial X_T/\partial\omega=\partial(X_L+X_\text{in})/\partial\omega$, and Kurokawa becomes:によっては変化しない($\partial R_L/\partial I=\partial X_L/\partial I=0$;変化するのは非線形な能動素子だけである)。また $\partial R_L/\partial\omega=0$ と仮定する(共振器では主に動くのはリアクタンスである)。したがって $\partial R_T/\partial I=\partial R_\text{in}/\partial I$、$\partial X_T/\partial\omega=\partial(X_L+X_\text{in})/\partial\omega$ となり、黒川の条件は次の形になる:
$$\underbrace{\frac{\partial R_\text{in}}{\partial I}\cdot\frac{\partial(X_L+X_\text{in})}{\partial\omega}}_{\text{第一項}}\;-\;\underbrace{\frac{\partial X_\text{in}}{\partial I}\cdot\frac{\partial R_\text{in}}{\partial\omega}}_{\text{第二項}}\;>\;0$$ $$\underbrace{\frac{\partial R_\text{in}}{\partial I}\cdot\frac{\partial(X_L+X_\text{in})}{\partial\omega}}_{\text{first term}}\;-\;\underbrace{\frac{\partial X_\text{in}}{\partial I}\cdot\frac{\partial R_\text{in}}{\partial\omega}}_{\text{second term}}\;>\;0$$ $$\underbrace{\frac{\partial R_\text{in}}{\partial I}\cdot\frac{\partial(X_L+X_\text{in})}{\partial\omega}}_{\text{第 1 項}}\;-\;\underbrace{\frac{\partial X_\text{in}}{\partial I}\cdot\frac{\partial R_\text{in}}{\partial\omega}}_{\text{第 2 項}}\;>\;0$$為什麼能丟第二項(高 Q 近似).Why the second term can be dropped (the high-Q approximation).なぜ第 2 項を落とせるのか(高 Q 近似)。 第二項是 The second term is 第 2 項は純裝置項purely a device term純粋に素子だけの項:兩個因子都只跟裝置有關,而裝置的 $R_\text{in},X_\text{in}$ 是寬頻、平滑的函數(本身沒有諧振)→ 斜率小、大小有界、: both factors involve only the device, and the device's $R_\text{in},X_\text{in}$ are broadband, smooth functions (with no resonance of their own) → small slopes, bounded magnitudes, and である:2 つの因子はどちらも素子にしか関係せず、素子の $R_\text{in},X_\text{in}$ は広帯域で滑らかな関数である(それ自体は共振をもたない)→ 傾きが小さく、大きさも有界で、與 $Q$ 無關independent of $Q$$Q$ に依存しない。第一項卻含 $\partial X_L/\partial\omega$,諧振器電抗在 $\omega_0$ 劇烈過零、斜率 $\propto Q$(串聯 RLC:$\partial X/\partial\omega|_{\omega_0}=2L=2QR/\omega_0$)。兩項比值 $\sim\partial X_L/\partial\omega\,/\,$裝置斜率 $\propto Q$ → . The first term, however, contains $\partial X_L/\partial\omega$, and the resonator reactance crosses zero sharply at $\omega_0$ with a slope $\propto Q$ (for a series RLC: $\partial X/\partial\omega|_{\omega_0}=2L=2QR/\omega_0$). The ratio of the two terms is $\sim\partial X_L/\partial\omega\,/\,$the device slope $\propto Q$ → 。一方、第 1 項には $\partial X_L/\partial\omega$ が含まれ、共振器のリアクタンスは $\omega_0$ で急峻にゼロを横切り、その傾きは $\propto Q$ である(直列 RLC では $\partial X/\partial\omega|_{\omega_0}=2L=2QR/\omega_0$)。2 項の比は $\sim\partial X_L/\partial\omega\,/\,$素子の傾き $\propto Q$ となり →高 Q 時第一項 ≫ 第二項at high Q the first term ≫ the secondQ が高いとき第 1 項 ≫ 第 2 項,丟第二項是高 Q 近似、不是恆等(低 Q 負載得用完整 Kurokawa)。, so dropping the second term is a high-Q approximation and not an identity (a low-Q load requires the full Kurokawa condition).であるから、第 2 項を落とすのは高 Q 近似であって恒等式ではない(低 Q 負荷では完全な黒川の条件が必要である)。
① $\partial R_\text{in}/\partial I\big|_{I_0}>0$ — 振幅自穩.① $\partial R_\text{in}/\partial I\big|_{I_0}>0$ — the amplitude is self-stabilizing.① $\partial R_\text{in}/\partial I\big|_{I_0}>0$ — 振幅が自己安定する。 $R_\text{in}$ 隨電流增大變得 $R_\text{in}$ becomes $R_\text{in}$ は電流の増大とともに沒那麼負less negativeそれほど負でなくなる(增益壓縮)。振幅過衝 → 淨電阻 $R_\text{in}+R_L$ 由 0 轉正 → 阻尼拉回 $I_0$;振幅掉了 → 淨電阻轉負 → 補回來(limit cycle)。 as the current grows (gain compression). If the amplitude overshoots → the net resistance $R_\text{in}+R_L$ turns from 0 to positive → damping pulls it back to $I_0$; if the amplitude falls → the net resistance turns negative → it is topped back up (a limit cycle).(利得圧縮)。振幅が行きすぎる → 正味の抵抗 $R_\text{in}+R_L$ が 0 から正に転じる → 減衰が $I_0$ へ引き戻す;振幅が落ちる → 正味の抵抗が負に転じる → 補われる(リミットサイクル)。
② $\partial(X_L+X_\text{in})/\partial\omega\big|_{\omega_0}>0$ — 頻率自穩.② $\partial(X_L+X_\text{in})/\partial\omega\big|_{\omega_0}>0$ — the frequency is self-stabilizing.② $\partial(X_L+X_\text{in})/\partial\omega\big|_{\omega_0}>0$ — 周波数が自己安定する。 總電抗在 $\omega_0$ 過零且 The total reactance crosses zero at $\omega_0$ with a 全リアクタンスは $\omega_0$ でゼロを横切り、その斜率為正positive slope傾きは正:頻率漂走 → 總電抗 ≠ 0 → 相位條件破壞 → 把頻率推回 $\omega_0$。斜率越陡,頻率釘得越死。: if the frequency drifts → the total reactance ≠ 0 → the phase condition is violated → the frequency is pushed back to $\omega_0$. The steeper the slope, the more firmly the frequency is pinned.である:周波数がずれる → 全リアクタンス ≠ 0 → 位相条件が破れる → 周波数が $\omega_0$ へ押し戻される。傾きが急なほど、周波数はしっかり固定される。
Effective oscillator design also requires considerations of: operating point for max power and stability, frequency pulling (load impedance sensitivity), large-signal device effects, and noise.
A practical transistor oscillator is a potentially-unstable two-port terminated so that the input port presents a negative resistance. The input is connected to a load (tank) network L for tuning, and the output to a terminating network T for power delivery.
Γ = 回音倍率.Γ = the echo factor.Γ = こだまの倍率。 對著一面牆喊「1」,牆回你一聲;$\Gamma$ 就是回來的聲音是你喊的幾倍(含時機=相位)。對 tank(左牆)喊 → 回 $\Gamma_L$ 倍;對電晶體喊 → 回 $\Gamma_\text{in}$ 倍。 Shout “1” at a wall and it echoes back; $\Gamma$ is how many times your shout comes back (including the timing = phase). Shout at the tank (the left wall) → it returns $\Gamma_L$ times; shout at the transistor → it returns $\Gamma_\text{in}$ times.壁に向かって「1」と叫ぶと、壁がこだまを返す。$\Gamma$ とは、返ってくる声が叫んだ声の何倍かである(タイミング = 位相も含む)。タンク(左の壁)に叫ぶ → $\Gamma_L$ 倍で返る;トランジスタに叫ぶ → $\Gamma_\text{in}$ 倍で返る。
牆和電晶體面對面The wall and the transistor face each other壁とトランジスタが向かい合っており,聲音在中間來回彈:每繞一圈,聲音變成 $\Gamma_\text{in}\times\Gamma_L$ 倍。, and the sound bounces back and forth between them: on every round trip it is multiplied by $\Gamma_\text{in}\times\Gamma_L$.、音はその間を行き来する:1 往復ごとに音は $\Gamma_\text{in}\times\Gamma_L$ 倍になる。
| 每圈倍率Factor per lap1 周あたりの倍率 | 會發生什麼What happens何が起きるか |
|---|---|
| $<1$ | 每圈變小聲 → 回音漸漸Quieter each lap → the echo gradually 1 周ごとに小さくなる → こだまは次第に消失dies away消えていく(放大器要的)(what you want in an amplifier)(増幅器で望まれること) |
| $>1$ | 每圈變大聲 → Louder each lap → 1 周ごとに大きくなる →越來越大growing without bound際限なく増大する(起振階段)(the start-up phase)(起動段階) |
| $=1$(時機剛好)$=1$ (timing exactly right)$=1$(タイミングがぴったり) | 每圈Every lap 毎周完全復原restores it exactly完全に復元される → 聲音 → the sound → 音は永遠持續goes on for ever永遠に続く = 振盪! = oscillation!= 発振! |
為何要負電阻:Why a negative resistance is needed:なぜ負性抵抗が必要なのか:牆是死物,最多全反射($|\Gamma_L|\le1$,通常還吸掉一點)→ 乘積要撐到 1,電晶體必須 a wall is inert and at best reflects everything ($|\Gamma_L|\le1$, usually absorbing a little) → for the product to reach 1, the transistor must 壁は無生物であり、せいぜい全反射するだけである($|\Gamma_L|\le1$、通常は少し吸収する)→ 積を 1 まで持ち上げるには、トランジスタが回得比你喊的還大聲shout back louder than you shouted叫んだ声より大きく返す($|\Gamma_\text{in}|>1$)——會把回音放大 = 在補能量 = 負電阻。($|\Gamma_\text{in}|>1$) — it amplifies the echo = it supplies energy = a negative resistance.($|\Gamma_\text{in}|>1$)必要がある —— こだまを増幅する = エネルギーを補給する = 負性抵抗である。
為何左邊成立右邊自動成立:Why the right-hand condition follows automatically from the left:なぜ左辺が成り立てば右辺も自動的に成り立つのか:$\Gamma_\text{in}$ 不是電晶體自己的性質——你從左邊喊,回音有兩部分:表面直接彈回($S_{11}$)+ $\Gamma_\text{in}$ is not a property of the transistor alone — shout from the left and the echo has two parts: what bounces straight off the surface ($S_{11}$) plus what $\Gamma_\text{in}$ はトランジスタだけの性質ではない —— 左から叫ぶと、こだまは 2 つの部分からなる:表面で直接跳ね返る分($S_{11}$)と、穿過電晶體→打到右牆 T→彈回→再穿出來passes through the transistor → hits the right-hand wall T → bounces back → and emerges againトランジスタを通り抜け → 右の壁 T に当たり → 跳ね返り → また出てくる(即上面 eq-box 中 $\Gamma_\text{in} = S_{11} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_T}{1-S_{22}\Gamma_T}$ 的(that is, the 分である(すなわち上の eq-box にある $\Gamma_\text{in} = S_{11} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_T}{1-S_{22}\Gamma_T}$ の第二項 $\frac{S_{12}S_{21}\Gamma_T}{1-S_{22}\Gamma_T}$second term $\frac{S_{12}S_{21}\Gamma_T}{1-S_{22}\Gamma_T}$第 2 項 $\frac{S_{12}S_{21}\Gamma_T}{1-S_{22}\Gamma_T}$,所以裡面有 $\Gamma_T$:$S_{21}$ 穿進去、$\Gamma_T$ 在右牆反射、$S_{12}$ 穿回來,分母 $1-S_{22}\Gamma_T$ 是在電晶體右側與牆 T 之間多次來回的幾何級數和)。聲音真正活動的是 of $\Gamma_\text{in} = S_{11} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_T}{1-S_{22}\Gamma_T}$ in the eq-box above, which is why $\Gamma_T$ appears inside it: $S_{21}$ goes in, $\Gamma_T$ reflects off the right-hand wall, $S_{12}$ comes back out, and the denominator $1-S_{22}\Gamma_T$ is the geometric series of multiple round trips between the transistor's right side and wall T). What the sound really occupies is であり、そこに $\Gamma_T$ が現れる理由でもある:$S_{21}$ で入り、$\Gamma_T$ で右の壁に反射し、$S_{12}$ で戻ってくる。分母 $1-S_{22}\Gamma_T$ は、トランジスタの右側と壁 T の間の多重往復の等比級数和である)。音が実際に占めているのは整條走廊:牆 L ↔ 電晶體 ↔ 牆 Tthe whole corridor: wall L ↔ transistor ↔ wall T廊下全体:壁 L ↔ トランジスタ ↔ 壁 T。「左門口聽每圈復原」和「右門口聽每圈復原」是. “Listening at the left doorway for the echo to be restored each lap” and “listening at the right doorway” are である。「左の戸口で 1 周ごとの復元を聴く」ことと「右の戸口で聴く」ことは同一場永續回音的兩個聽點two listening positions on the same everlasting echo同じ永続するこだまを 2 つの位置で聴いているだけ——同一場戲,當然同時成立或同時不成立。下面的代數只是形式驗證。— one performance, so of course they hold or fail together. The algebra below is just a formal check.であり —— 同じ一つの出来事であるから、当然、同時に成り立つか同時に成り立たないかのいずれかである。以下の代数は形式的な確認にすぎない。
① $\Gamma_{in}\Gamma_L=1$ — 波在參考面來回彈一圈要復原.① $\Gamma_{in}\Gamma_L=1$ — the wave must be restored after one round trip at the reference plane.① $\Gamma_{in}\Gamma_L=1$ — 波は基準面で 1 往復して復元されなければならない。 在 tank(L 網路)與電晶體輸入埠的參考面上: At the reference plane between the tank (the L network) and the transistor input port:タンク(L 回路)とトランジスタ入力ポートの間の基準面において:
$$a_1 \xrightarrow{\;\text{打進電晶體,反射}\;} b_1=\Gamma_\text{in}a_1 \xrightarrow{\;\text{打進 tank,反射回來}\;} a_1'=\Gamma_L b_1=\Gamma_L\Gamma_\text{in}\,a_1$$ $$a_1 \xrightarrow{\;\text{into the transistor, reflect}\;} b_1=\Gamma_\text{in}a_1 \xrightarrow{\;\text{into the tank, reflect back}\;} a_1'=\Gamma_L b_1=\Gamma_L\Gamma_\text{in}\,a_1$$ $$a_1 \xrightarrow{\;\text{トランジスタへ入射、反射}\;} b_1=\Gamma_\text{in}a_1 \xrightarrow{\;\text{タンクへ入射、反射して戻る}\;} a_1'=\Gamma_L b_1=\Gamma_L\Gamma_\text{in}\,a_1$$沒有外加源With no applied source外部電源がない卻要有穩定的有限波 → 繞一圈必須完全復原 $a_1'=a_1$ ⇒ $\Gamma_\text{in}\Gamma_L=1$。這是 yet a stable finite wave → one round trip must restore it exactly, $a_1'=a_1$ ⇒ $\Gamma_\text{in}\Gamma_L=1$. This is the にもかかわらず安定した有限の波が存在する → 1 往復で完全に復元されねばならず $a_1'=a_1$ ⇒ $\Gamma_\text{in}\Gamma_L=1$ となる。これがBarkhausen 的「波版本」wave version of Barkhausenバルクハウゼン条件の「波動版」:$\Gamma_\text{in}\Gamma_L$ 就是彈跳迴路的迴路增益,條件 $=1\angle 0°$。代入 $\Gamma=\frac{Z-Z_0}{Z+Z_0}$ 整理即得一埠條件 $Z_\text{in}+Z_L=0$(上面紅底那段)。被動 tank $|\Gamma_L|\le 1$ ⇒ 必須 $|\Gamma_\text{in}|\ge 1$ ⇒ : $\Gamma_\text{in}\Gamma_L$ is the loop gain of the bouncing loop, and the condition is $=1\angle 0°$. Substituting $\Gamma=\frac{Z-Z_0}{Z+Z_0}$ and rearranging gives the one-port condition $Z_\text{in}+Z_L=0$ (the red-shaded passage above). A passive tank has $|\Gamma_L|\le 1$ ⇒ we need $|\Gamma_\text{in}|\ge 1$ ⇒ a である:$\Gamma_\text{in}\Gamma_L$ は跳ね返りループのループ利得であり、条件は $=1\angle 0°$ である。$\Gamma=\frac{Z-Z_0}{Z+Z_0}$ を代入して整理すれば一端子対の条件 $Z_\text{in}+Z_L=0$(上の赤地の部分)が得られる。受動タンクは $|\Gamma_L|\le 1$ ⇒ よって $|\Gamma_\text{in}|\ge 1$ が必要 ⇒負電阻negative resistance負性抵抗。.。
② $\Leftrightarrow\;\Gamma_{out}\Gamma_T=1$ — 純代數兩行.② $\Leftrightarrow\;\Gamma_{out}\Gamma_T=1$ — two lines of pure algebra.② $\Leftrightarrow\;\Gamma_{out}\Gamma_T=1$ — 純粋な代数 2 行。 先把 $\Gamma_\text{in}$ 通分成緊湊形(令 $\Delta=S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21}$): First put $\Gamma_\text{in}$ over a common denominator in compact form (with $\Delta=S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21}$):まず $\Gamma_\text{in}$ を通分してコンパクトな形にする($\Delta=S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21}$ とおく):
$$\Gamma_\text{in}=S_{11}+\frac{S_{12}S_{21}\Gamma_T}{1-S_{22}\Gamma_T}=\frac{S_{11}-\Delta\,\Gamma_T}{1-S_{22}\Gamma_T}$$代入 $\Gamma_\text{in}\Gamma_L=1$,交叉相乘、把含 $\Gamma_T$ 的項收到左邊:Substitute into $\Gamma_\text{in}\Gamma_L=1$, cross-multiply and collect the terms containing $\Gamma_T$ on the left:$\Gamma_\text{in}\Gamma_L=1$ に代入し、たすき掛けして $\Gamma_T$ を含む項を左辺に集める:
$$\Gamma_L(S_{11}-\Delta\Gamma_T)=1-S_{22}\Gamma_T\;\Longrightarrow\;\Gamma_T(S_{22}-\Delta\Gamma_L)=1-S_{11}\Gamma_L\;\Longrightarrow\;\Gamma_T\cdot\underbrace{\frac{S_{22}-\Delta\Gamma_L}{1-S_{11}\Gamma_L}}_{=\;\Gamma_\text{out}}=1\;\;\blacksquare$$For an oscillator we want a transistor with a high degree of instability. The common-source or common-gate FET with a series inductor (to increase the feedback) is a standard choice.
Design: Design a 4 GHz transistor oscillator using a GaAs MESFET in common-gate configuration, with a 5 nH inductor in series with the gate to increase instability. Choose a terminating network matched to 50 Ω, and an appropriate tuning network.
Common-source S-parameters (Z₀=50 Ω):
Step 1 — Convert to common-gate w/ 5 nH series gate inductor (via CAD):
可以。Yes.できる。CAD 只是省事,不是必要。整個轉換是四步 2×2 / 3×3 複數矩陣運算: CAD only saves effort; it is not essential. The whole conversion is four steps of 2×2 / 3×3 complex matrix arithmetic:CAD は手間を省くだけで、必須ではない。変換全体は 2×2 / 3×3 の複素行列演算 4 段階である:
手算約半小時的複數運算、極易抄錯,所以 slides 說 "most easily done using a microwave CAD package"(ADS);By hand this is roughly half an hour of complex arithmetic and extremely easy to slip up in, which is why the slides say “most easily done using a microwave CAD package” (ADS); 手計算では約 30 分の複素演算となり写し間違いも起こしやすい。だからこそスライドは "most easily done using a microwave CAD package"(ADS)と述べている;考試會直接給你 $S'$,從 Step 2 開始做in an exam you will simply be given $S'$ and start from Step 2試験では $S'$ が与えられ、Step 2 から始めればよい。概念重點只有一個:同一顆電晶體,換公共端 + 加一個元件,S 參數就完全變一組——而且這裡刻意把它變「壞」($|S'_{11}|>1$)。. There is only one conceptual point: for the same transistor, changing the common terminal and adding one component produces a completely different set of S-parameters — and here it is deliberately made “bad” ($|S'_{11}|>1$).。概念上の要点は 1 つだけである:同じトランジスタでも、共通端子を変えて素子を 1 つ加えるだけで S パラメータはまったく別の組になる —— しかもここでは意図的に「悪く」している($|S'_{11}|>1$)。
Step 2 — Compute output-port stability circle (in the $\Gamma_T$ plane):
$C_T$、$R_T$ 是什麼:What $C_T$ and $R_T$ are:$C_T$ と $R_T$ とは何か:output stability circle 是畫在 $\Gamma_T$ 平面(Smith chart)上的 the output stability circle is output stability circle は $\Gamma_T$ 平面(スミスチャート)上に描かれる一個圓a circle1 つの円。$C_T$ 是這個圓的 drawn in the $\Gamma_T$ plane (the Smith chart). $C_T$ is that circle's である。$C_T$ はこの円の圓心The centre is中心——它是一個複數,代表圖上的一個點($1.08\angle{33°}$ = 距原點 1.08、方位角 33°;注意它在單位圓外);$R_T$ 是— a complex number denoting a point on the chart ($1.08\angle{33°}$ = a distance 1.08 from the origin at a bearing of 33°; note that it lies outside the unit circle); $R_T$ is its であり —— 複素数であってチャート上の 1 点を表す($1.08\angle{33°}$ = 原点から距離 1.08、方位角 33°;単位円の外にあることに注意)。$R_T$ はその半徑Radius半径,純實數 0.665。圓上的每一點都是讓 $|\Gamma_\text{in}|$ 恰好 $= 1$ 的 termination;這個圓因此把 $\Gamma_T$ 平面切成兩區:一側 $|\Gamma_\text{in}| < 1$(穩定),另一側 $|\Gamma_\text{in}| > 1$(負電阻)。, the pure real number 0.665. Every point on the circle is a termination making $|\Gamma_\text{in}|$ exactly $= 1$; the circle therefore cuts the $\Gamma_T$ plane into two regions: $|\Gamma_\text{in}| < 1$ (stable) on one side and $|\Gamma_\text{in}| > 1$ (negative resistance) on the other.であり、純実数 0.665 である。円上の各点は $|\Gamma_\text{in}|$ をちょうど $= 1$ にする終端である。したがってこの円は $\Gamma_T$ 平面を 2 つの領域に分ける:片側が $|\Gamma_\text{in}| < 1$(安定)、反対側が $|\Gamma_\text{in}| > 1$(負性抵抗)である。
推導起點:The starting point of the derivation:導出の出発点:stability circle 就是「$|\Gamma_\text{in}| = 1$」這條邊界在 $\Gamma_T$ 平面上的樣子。用緊湊形($\Delta' = S'_{11}S'_{22} - S'_{12}S'_{21}$): the stability circle is what the boundary “$|\Gamma_\text{in}| = 1$” looks like in the $\Gamma_T$ plane. In compact form (with $\Delta' = S'_{11}S'_{22} - S'_{12}S'_{21}$):安定円とは「$|\Gamma_\text{in}| = 1$」という境界が $\Gamma_T$ 平面でどう見えるかである。コンパクトな形で($\Delta' = S'_{11}S'_{22} - S'_{12}S'_{21}$ とおく):
$$\Gamma_\text{in} = \frac{S'_{11} - \Delta'\,\Gamma_T}{1 - S'_{22}\,\Gamma_T}\,,\qquad |\Gamma_\text{in}| = 1 \;\Longleftrightarrow\; \bigl|S'_{11} - \Delta'\Gamma_T\bigr| = \bigl|1 - S'_{22}\Gamma_T\bigr|$$展開:Expanding:展開する:兩邊平方($|a|^2 = aa^*$),把 $\Gamma_T$ 的項收齊: Square both sides ($|a|^2 = aa^*$) and collect the $\Gamma_T$ terms:両辺を 2 乗し($|a|^2 = aa^*$)、$\Gamma_T$ の項を集める:
$$\bigl(|S'_{22}|^2 - |\Delta'|^2\bigr)\,|\Gamma_T|^2 \;-\; \bigl(S'_{22} - \Delta' S_{11}'^*\bigr)\Gamma_T \;-\; \bigl(S'_{22} - \Delta' S_{11}'^*\bigr)^{\!*}\,\Gamma_T^* \;=\; |S'_{11}|^2 - 1$$配方:Complete the square:平方完成する:除以 $D \equiv |S'_{22}|^2 - |\Delta'|^2$,湊成 $|\Gamma_T - C_T|^2 = R_T^2$。對照 $|\Gamma_T - C_T|^2 = |\Gamma_T|^2 - C_T^*\Gamma_T - C_T\Gamma_T^* + |C_T|^2$,$\Gamma_T$ 的係數對到的是 $C_T^*$—— Divide by $D \equiv |S'_{22}|^2 - |\Delta'|^2$ to obtain the form $|\Gamma_T - C_T|^2 = R_T^2$. Comparing with $|\Gamma_T - C_T|^2 = |\Gamma_T|^2 - C_T^*\Gamma_T - C_T\Gamma_T^* + |C_T|^2$, the coefficient of $\Gamma_T$ matches $C_T^*$ —$D \equiv |S'_{22}|^2 - |\Delta'|^2$ で割って $|\Gamma_T - C_T|^2 = R_T^2$ の形にする。$|\Gamma_T - C_T|^2 = |\Gamma_T|^2 - C_T^*\Gamma_T - C_T\Gamma_T^* + |C_T|^2$ と比べると、$\Gamma_T$ の係数が対応するのは $C_T^*$ である ——這就是公式裡那個共軛的來源and that is where the conjugate in the formula comes fromこれが式に現れる共役の出どころである:
$$C_T = \frac{\bigl(S'_{22} - \Delta' S_{11}'^*\bigr)^*}{D}\,,\qquad R_T^2 = |C_T|^2 + \frac{|S'_{11}|^2 - 1}{D} = \frac{|S'_{12}S'_{21}|^2}{D^2}$$最後一步用了恆等式 $\bigl|S'_{22} - \Delta' S_{11}'^*\bigr|^2 = |S'_{12}S'_{21}|^2 + D\,(1 - |S'_{11}|^2)$(本例可數值驗證:$5.64^2 \approx 3.47^2 + (-5.25)(-3.75)$ ✓),所以 $R_T = |S'_{12}S'_{21}/D|$。The last step uses the identity $\bigl|S'_{22} - \Delta' S_{11}'^*\bigr|^2 = |S'_{12}S'_{21}|^2 + D\,(1 - |S'_{11}|^2)$ (verifiable numerically in this example: $5.64^2 \approx 3.47^2 + (-5.25)(-3.75)$ ✓), so $R_T = |S'_{12}S'_{21}/D|$.最後の段階では恒等式 $\bigl|S'_{22} - \Delta' S_{11}'^*\bigr|^2 = |S'_{12}S'_{21}|^2 + D\,(1 - |S'_{11}|^2)$ を用いている(本例では数値で確認できる:$5.64^2 \approx 3.47^2 + (-5.25)(-3.75)$ ✓)。したがって $R_T = |S'_{12}S'_{21}/D|$ となる。
Since $|S'_{11}|=2.18>1$, the stable region is inside the circle. Choose $\Gamma_T$ on the unstable side, near the circle edge for maximum negative resistance.
Step 3 — Select operating point. Take $\Gamma_T = 0.59\,\angle{-104°}$（slides 註記:用阻抗軌跡法 Esdale & Howes,兩條軌跡的交點就是最佳 $\Gamma_T$）. Take $\Gamma_T = 0.59\,\angle{-104°}$ (slide note: use the impedance-locus method of Esdale & Howes, where the intersection of the two loci is the optimum $\Gamma_T$).$\Gamma_T = 0.59\,\angle{-104°}$ をとる(スライド註記:Esdale & Howes のインピーダンス軌跡法を用いる。2 本の軌跡の交点が最適な $\Gamma_T$ である)。
Step 4 — Compute required $\Gamma_L$: 由振盪條件 $\Gamma_\text{in}\Gamma_L = 1$: From the oscillation condition $\Gamma_\text{in}\Gamma_L = 1$:発振条件 $\Gamma_\text{in}\Gamma_L = 1$ より:
Convert to impedance: $Z_L = Z_0 (1+\Gamma_L)/(1-\Gamma_L) = 84 + j1.9\,\Omega$（等價地 $Z_\text{in} = -84 - j1.9\,\Omega$,而 $Z_L = -Z_\text{in}$;負載是被動的,$R_L > 0$）.Convert to impedance: $Z_L = Z_0 (1+\Gamma_L)/(1-\Gamma_L) = 84 + j1.9\,\Omega$ (equivalently $Z_\text{in} = -84 - j1.9\,\Omega$, with $Z_L = -Z_\text{in}$; the load is passive, so $R_L > 0$).インピーダンスに変換する:$Z_L = Z_0 (1+\Gamma_L)/(1-\Gamma_L) = 84 + j1.9\,\Omega$(等価に $Z_\text{in} = -84 - j1.9\,\Omega$ であり $Z_L = -Z_\text{in}$;負荷は受動なので $R_L > 0$)。
Step 5 — Empirical scaling. $84\,\Omega$ 是「穩態剛好平衡」的值;為了讓振盪器可以起振,實際把 $R_L$ 取為計算值的三分之一(電抗不變): $84\,\Omega$ is the value that exactly balances in steady state; to let the oscillator start up, $R_L$ is actually taken as one third of the computed value (the reactance unchanged):$84\,\Omega$ は定常状態でちょうど釣り合う値である。発振器が起動できるようにするため、実際には $R_L$ を計算値の 3 分の 1 にとる(リアクタンスはそのまま):
這樣小訊號時 $R_\text{in} + R_L = -84 + 28 = -56\,\Omega < 0$,淨負電阻保證振盪建立(5.1.5 的 $R_L = |R_\text{in}|/3$ 規則);振幅增大後 $|R_\text{in}(A)|$ 下降,直到 $|R_\text{in}| = R_L$ 達到穩態(5.1.6)。電路上這個 $28 + j1.9\,\Omega$ 由左側 Then at small signal $R_\text{in} + R_L = -84 + 28 = -56\,\Omega < 0$, and the net negative resistance guarantees that oscillation builds up (the $R_L = |R_\text{in}|/3$ rule of 5.1.5); as the amplitude grows $|R_\text{in}(A)|$ falls until $|R_\text{in}| = R_L$ and steady state is reached (5.1.6). In the circuit this $28 + j1.9\,\Omega$ is realized by the left-hand こうすると小信号時には $R_\text{in} + R_L = -84 + 28 = -56\,\Omega < 0$ となり、正味の負性抵抗が発振の立ち上がりを保証する(5.1.5 の $R_L = |R_\text{in}|/3$ の規則)。振幅が増大すると $|R_\text{in}(A)|$ が下がり、$|R_\text{in}| = R_L$ となって定常状態に達する(5.1.6)。回路上、この $28 + j1.9\,\Omega$ は左側の90 Ω 並聯電阻 + 0.262λ 50 Ω 線段90 Ω shunt resistor plus a 0.262λ 50 Ω line90 Ω 分路抵抗 + 0.262λ の 50 Ω 線路實現——把 90 Ω 沿 0.262λ 傳輸線轉到輸入面即得。— transform the 90 Ω along the 0.262λ line to the input plane and there it is.で実現される —— 90 Ω を 0.262λ の伝送線路に沿って入力面へ変換すればそれが得られる。
這張 Smith chart 畫在 $\Gamma_T$ 平面This Smith chart is drawn in the $\Gamma_T$ planeこのスミスチャートは $\Gamma_T$ 平面に描かれている——圖上每一點代表一個候選的 terminating network。整個設計只做三件事:畫穩定圓 → 在不穩定區挑 $\Gamma_T$ → 用線段 + stub 在圖上「走」到挑好的點。— every point on it represents a candidate terminating network. The whole design does only three things: draw the stability circle → pick $\Gamma_T$ in the unstable region → “walk” to that point on the chart using a line section and a stub.—— チャート上の各点が終端回路の候補を表す。設計全体がやることは 3 つだけである:安定円を描く → 不安定領域で $\Gamma_T$ を選ぶ → 線路とスタブでチャート上をその点まで「歩く」。
① 畫 output stability circle.① Draw the output stability circle.① 出力安定円を描く。 用 $S'$ 參數算 $C_T = 1.08\angle{33°}$、$R_T = 0.665$(Step 2),以 $C_T$ 為圓心、$R_T$ 為半徑畫圓。這個圓是「$|\Gamma_\text{in}| = 1$」的邊界:圓的一側給 $|\Gamma_\text{in}|<1$(穩定),另一側給 $|\Gamma_\text{in}|>1$(負電阻)。 Use the $S'$ parameters to compute $C_T = 1.08\angle{33°}$ and $R_T = 0.665$ (Step 2), then draw the circle of radius $R_T$ about $C_T$. This circle is the boundary “$|\Gamma_\text{in}| = 1$”: one side gives $|\Gamma_\text{in}|<1$ (stable) and the other $|\Gamma_\text{in}|>1$ (negative resistance).$S'$ パラメータから $C_T = 1.08\angle{33°}$、$R_T = 0.665$ を求め(Step 2)、$C_T$ を中心、$R_T$ を半径として円を描く。この円は「$|\Gamma_\text{in}| = 1$」の境界である:片側が $|\Gamma_\text{in}|<1$(安定)、反対側が $|\Gamma_\text{in}|>1$(負性抵抗)となる。
② 判斷哪一側穩定 — 測圖中心.② Decide which side is stable — test the chart centre.② どちら側が安定かを判定する — チャート中心でテストする。 取 $\Gamma_T = 0$(中心 = 50 Ω 終端):此時 $\Gamma_\text{in} = S'_{11}$,$|S'_{11}| = 2.18 > 1$ → 中心是 Take $\Gamma_T = 0$ (the centre = a 50 Ω termination): then $\Gamma_\text{in} = S'_{11}$ and $|S'_{11}| = 2.18 > 1$ → the centre is on the $\Gamma_T = 0$(中心 = 50 Ω 終端)をとる:このとき $\Gamma_\text{in} = S'_{11}$ であり、$|S'_{11}| = 2.18 > 1$ → 中心は不穩定Unstable不安定側。中心到 $C_T$ 的距離 $= 1.08 > R_T = 0.665$ → 中心在圓 side. The distance from the centre to $C_T$ is $= 1.08 > R_T = 0.665$ → the centre lies 側にある。中心から $C_T$ までの距離は $= 1.08 > R_T = 0.665$ → 中心は円の外outside外。結論: the circle. Conclusion: にある。結論:圓外 = 不穩定、圓內 = 穩定outside the circle = unstable, inside = stable円の外 = 不安定、円の内 = 安定(slides:the stable region is inside the circle)。(per the slides: the stable region is inside the circle).(スライド:the stable region is inside the circle)。
③ 在不穩定區挑 $\Gamma_T$.③ Pick $\Gamma_T$ in the unstable region.③ 不安定領域で $\Gamma_T$ を選ぶ。 放大器設計要避開不穩定區;振盪器反過來 Amplifier design avoids the unstable region; oscillator design does the opposite and 増幅器の設計では不安定領域を避けるが、発振器の設計は逆で專挑不穩定區deliberately pick the unstable regionあえて不安定領域を選ぶ,而且離穩定圓越遠 $|\Gamma_\text{in}|$ 越大、負電阻越深。選 $\Gamma_T = 0.59\angle{-104°}$:$|\Gamma_T - C_T| = 1.56 \gg R_T$(深入不穩定區),且 $|\Gamma_T| < 1$ 被動網路做得出來。(挑法的依據即 Esdale & Howes 阻抗軌跡法:在圖上畫出裝置軌跡與負載軌跡,, and the further from the stability circle the larger $|\Gamma_\text{in}|$ and the deeper the negative resistance. Choose $\Gamma_T = 0.59\angle{-104°}$: $|\Gamma_T - C_T| = 1.56 \gg R_T$ (deep in the unstable region), and $|\Gamma_T| < 1$ so a passive network can realize it. (The basis for the choice is the Esdale & Howes impedance-locus method: plot the device locus and the load locus on the chart, and 。しかも安定円から遠いほど $|\Gamma_\text{in}|$ が大きく、負性抵抗も深くなる。$\Gamma_T = 0.59\angle{-104°}$ を選ぶ:$|\Gamma_T - C_T| = 1.56 \gg R_T$(不安定領域の奥深く)であり、かつ $|\Gamma_T| < 1$ なので受動回路で実現できる。(選び方の根拠が Esdale & Howes のインピーダンス軌跡法である:素子の軌跡と負荷の軌跡をチャート上に描き、兩條軌跡的交點就是最佳工作點the intersection of the two loci is the optimum operating point2 本の軌跡の交点が最適動作点となる。).)。)
④ 用 Smith chart 實現 $\Gamma_T$ — terminating network 的由來.④ Realize $\Gamma_T$ on the Smith chart — where the terminating network comes from.④ スミスチャートで $\Gamma_T$ を実現する — 終端回路の由来。 從 50 Ω load(= 圖中心,$\Gamma = 0$)出發往 drain 方向走: Starting from the 50 Ω load (= the chart centre, $\Gamma = 0$) and working towards the drain:50 Ω 負荷(= チャート中心、$\Gamma = 0$)から出発してドレイン方向へ進む:
⑤ $\Gamma_T \to \Gamma_\text{in}$. 代回 Step 4 得 $\Gamma_\text{in} = 3.96\angle{-2.4°}$—— Substituting back into Step 4 gives $\Gamma_\text{in} = 3.96\angle{-2.4°}$ —Step 4 に戻して代入すると $\Gamma_\text{in} = 3.96\angle{-2.4°}$ となり ——落在 Smith chart 外面off the edge of the Smith chartスミスチャートの外に出る($|\Gamma|>1 \Leftrightarrow R<0$),圖上畫不出來,這正是「主動/負電阻」的記號;對應 $Z_\text{in} = -84 - j1.9\,\Omega$。($|\Gamma|>1 \Leftrightarrow R<0$), which cannot be plotted on the chart at all — precisely the signature of an active / negative resistance; it corresponds to $Z_\text{in} = -84 - j1.9\,\Omega$.($|\Gamma|>1 \Leftrightarrow R<0$)。チャート上には描けず、これこそ「能動 / 負性抵抗」の印である。対応するのは $Z_\text{in} = -84 - j1.9\,\Omega$ である。
⑥ Tuning network 用同一招(輸入面).⑥ The tuning network uses the same trick (at the input plane).⑥ 同調回路も同じ手を使う(入力面で)。 目標:用 90 Ω 並聯電阻 + 0.262λ 50 Ω 線,在輸入參考面做出 Step 5 要的 $Z_L \approx 28 + j1.9\,\Omega$。逐步: The goal: use a 90 Ω shunt resistor plus a 0.262λ 50 Ω line to produce the $Z_L \approx 28 + j1.9\,\Omega$ required by Step 5 at the input reference plane. Step by step:目標:90 Ω の分路抵抗と 0.262λ の 50 Ω 線路を用いて、入力基準面で Step 5 が要求する $Z_L \approx 28 + j1.9\,\Omega$ を作ることである。手順を追うと:
在較高頻率(微波 ~ 毫米波,可達 100 GHz),提供負電阻 $-R_{dev}$ 的常是At higher frequencies (microwave to millimetre-wave, up to 100 GHz) the negative resistance $-R_{dev}$ is usually provided by a より高い周波数(マイクロ波 ~ ミリ波、100 GHz まで)で負性抵抗 $-R_{dev}$ を供給するのは、多くの場合負電阻二極體negative-resistance diode負性抵抗ダイオード,搭配 cavity / 傳輸線 / 介質諧振器起振。三者都靠, oscillating against a cavity, transmission line or dielectric resonator. All three rely on であり、空洞共振器 / 伝送線路 / 誘電体共振器と組み合わせて発振させる。三者はいずれも渡時 (transit-time)transit time走行時間 (transit-time) 或 or または體效應 (bulk effect)bulk effectsバルク効果 (bulk effect) 產生負電阻,差別在「載子怎麼生出來」,決定了功率 / 雜訊 / 效率的取捨。 to produce a negative resistance; they differ in “how the carriers are generated”, which sets the trade-off between power, noise and efficiency.によって負性抵抗を生む。違いは「キャリアをどう生成するか」にあり、それが電力 / 雑音 / 効率のトレードオフを決める。
| 器件Deviceデバイス | 負電阻機制Negative-resistance mechanism負性抵抗の機構 | 功率power電力 | 雜訊Noise雑音 | 效率Efficiency効率 | 用途Use用途 |
|---|---|---|---|---|---|
| IMPATT Avalanche Transit-Time |
雪崩游離 (impact ionization) 生載子 + 渡時延遲;雪崩 ~90° + 渡時 ~90° → 電壓電流差 ~180°Impact ionization (avalanche) generates carriers, plus transit-time delay; avalanche ~90° + transit ~90° → voltage and current ~180° apart衝突電離 (impact ionization) によるキャリア生成 + 走行時間遅延;なだれ ~90° + 走行 ~90° → 電圧と電流の位相差 ~180° | 最高highest最高 | 最高 ✗highest ✗最高 ✗ | 最高highest最高 ~10–20% |
毫米波millimetre-wave ミリ波の高功率源high-power sources高出力源、雷達發射, radar transmitters、レーダー送信 |
| Gunn TED, transferred-electron |
無 PN junctionNo PN junctionPN 接合なし;塊材 n-GaAs/InP 體效應:高場下電子轉移到低遷移率能谷 → 漂移速度下降 → 負微分電阻; a bulk effect in n-GaAs/InP: at high field the electrons transfer to a low-mobility valley → the drift velocity falls → negative differential resistance;バルク n-GaAs/InP の体積効果:高電界下で電子が低移動度の谷へ遷移 → ドリフト速度が低下 → 負性微分抵抗 | 中medium中 | 低 ✓low ✓低 ✓ | 低low低 ~2–3% |
低雜訊 low noise 低雑音 LO、都卜勒/測速雷達, Doppler / speed radar、ドップラー/速度測定レーダー |
| BARITT Barrier Injection Transit-Time |
載子越過Carriers are injected over a キャリアが順偏位障forward-biased barrier順バイアス障壁注入 (thermionic emission,非雪崩) + 渡時延遲(thermionic emission, not avalanche) plus transit-time delayを越えて注入される (熱電子放出、なだれではない) + 走行時間遅延 | 最低lowest最低 | 最低 ✓✓lowest ✓✓最低 ✓✓ | 低low低 | 低雜訊 LOlow-noise LO低雑音 LO、偵測器、混波器, detectors and mixers、検波器、ミキサ |
The output of a real oscillator is not a perfect sinusoid but carries small amplitude and phase fluctuations:
Assume small phase modulation: $r(t)\approx 0$、$\theta(t) = \theta_p\sin(\Delta\omega\, t)$($\Delta\omega$ = frequency offset,$\theta_p \ll 1$ rad)。一步一步展開:Assume small phase modulation: $r(t)\approx 0$ and $\theta(t) = \theta_p\sin(\Delta\omega\, t)$ ($\Delta\omega$ = the frequency offset, $\theta_p \ll 1$ rad). Expanding step by step:微小な位相変調を仮定する: $r(t)\approx 0$、$\theta(t) = \theta_p\sin(\Delta\omega\, t)$($\Delta\omega$ = 周波数オフセット、$\theta_p \ll 1$ rad)。順を追って展開すると:
讀出物理:Reading off the physics:物理的な読み取り:載波 $V_0\cos\omega_0 t$ 不動,旁邊長出 the carrier $V_0\cos\omega_0 t$ stays put and beside it grow 搬送波 $V_0\cos\omega_0 t$ はそのままで、その両脇に一對鏡像 sidebandsa pair of mirror-image sidebands一対の鏡像側波帯 $\omega_0\pm\Delta\omega$,振幅都是 $V_0\theta_p/2$——這正是上圖載波兩側對稱掛著的裙擺/雜散(caused from phase noise);$\theta(t)$ 掃過所有 $\Delta\omega$ 時, at $\omega_0\pm\Delta\omega$, each of amplitude $V_0\theta_p/2$ — precisely the skirt and spurs hanging symmetrically about the carrier in the figure above (caused by phase noise); as $\theta(t)$ sweeps over all $\Delta\omega$, が $\omega_0\pm\Delta\omega$ に生じ、振幅はいずれも $V_0\theta_p/2$——これが上図で搬送波の両側に対称にぶら下がるスカートとスプリアス(位相雑音に起因)そのものである;$\theta(t)$ があらゆる $\Delta\omega$ を掃引すると、離散的一對對 sidebands 就糊成連續的 noise skirtthe discrete pairs of sidebands smear into a continuous noise skirt離散的な側波帯の対がにじんで連続的な雑音スカートになる。Each sideband at $\omega_0\pm\Delta\omega$ has power $\left(V_0\theta_p/2\right)^2/2 = V_0^2\theta_p^2/8$. Normalizing to carrier power $V_0^2/2$:. Each sideband at $\omega_0\pm\Delta\omega$ has power $\left(V_0\theta_p/2\right)^2/2 = V_0^2\theta_p^2/8$. Normalizing to carrier power $V_0^2/2$:。$\omega_0\pm\Delta\omega$ の各側波帯の電力は $\left(V_0\theta_p/2\right)^2/2 = V_0^2\theta_p^2/8$。搬送波電力 $V_0^2/2$ で正規化すると:
Expressed in dBc/Hz (decibels relative to carrier per hertz):
Leeson treats the oscillator as a noisy unity-gain feedback amplifier with a high-$Q$ tank as the band-limiting element. The model predicts the offset-frequency behavior of $\mathcal{L}(\Delta\omega)$.
熱雜訊地板是白色的 $kT_0/2$;flicker noise varies as $1/\omega$,其 PSD 一般表示為(slides):The thermal noise floor is white at $kT_0/2$; flicker noise varies as $1/\omega$, and its PSD is generally written (per the slides):熱雑音フロアは白色の $kT_0/2$;フリッカ雑音は $1/\omega$ に比例し、その PSD は一般に次のように表される(スライド):
兩者相加、計入放大器 noise figure $F$、再除以 $P_0$ 正規化成相對載波:Add the two, include the amplifier noise figure $F$, and divide by $P_0$ to normalize relative to the carrier:両者を加え、増幅器の雑音指数 $F$ を織り込み、$P_0$ で割って搬送波比に正規化すると:
Combining these (input phase noise filtered by $1/(1-H)$):
The four terms correspond to:
| Parameter | Effect on $\mathcal{L}$ | Practical action |
|---|---|---|
| $Q$ | −20 dB/decade per ×10 in $Q$ (in 1/$f^2$ region) | Use high-$Q$ tank: crystal, cavity, DR |
| $P_0$ | −10 dB per +10 dB carrier power | Increase output power (until breakdown / efficiency limit) |
| $F$ | +10 dB NF → +10 dB noise floor | Use low-NF active device, optimize bias |
| $\omega_\alpha$ (flicker corner) | Sets the $f^{-3}$/$f^{-2}$ break | Choose devices with low flicker (e.g., HBT > FET for close-in) |
Phase noise on the receiver's local oscillator degrades both SNR/BER and selectivity. The mechanism is called reciprocal mixing:
Let:
Desired 訊號用 LO The desired signal is downconverted by the LO 希望信号は LO の載波carrier搬送波下變頻(轉換增益 $G_{c,c}$);干擾訊號則是搭上 LO 在偏移 $\Delta\omega$ 處的(conversion gain $G_{c,c}$); an interferer, meanwhile, is downconverted by riding on the LO's でダウンコンバートされる(変換利得 $G_{c,c}$);一方、妨害信号はオフセット $\Delta\omega$ にある LO の相位雜訊邊帶phase-noise sideband位相雑音側波帯下變頻(轉換增益 $G_{c,n}$)。IF 端的訊號干擾比: at offset $\Delta\omega$ (conversion gain $G_{c,n}$). The signal-to-interference ratio at IF is:に乗ってダウンコンバートされる(変換利得 $G_{c,n}$)。IF における信号対妨害比は:
In dBc/Hz:
Spec. The GSM cellular standard requires a minimum of 9 dB rejection of interfering signal levels at:
for a carrier of $C=-99\,\text{dBm}$, with channel bandwidth $B=200\,\text{kHz}$. Find the required LO phase noise at each offset.
Apply the spec formula:
| Δf | Interferer $I$ (dBm) | Required $\mathcal{L}(\Delta f)$ (dBc/Hz) |
|---|---|---|
| 3 MHz | −23 | −161 −(−23) = −138 dBc/Hz |
| 1.6 MHz | −33 | −161 −(−33) = −128 dBc/Hz |
| 0.6 MHz | −43 | −161 −(−43) = −118 dBc/Hz |
These three points define the GSM LO phase-noise mask. Typical handset PLL synthesizers achieve roughly −135 dBc/Hz at 3 MHz offset — meets spec with comfortable margin at the wider offsets, but close-in (0.6 MHz) is the binding constraint.
Three basic synthesis methods exist:
Direct frequency synthesis is an analog method using a chain of mixers, frequency multipliers (×N), dividers (÷M), bandpass filters, and switches. The fundamental source is usually a temperature-controlled crystal oscillator (TCXO) for stable output and excellent phase noise.
Pros: excellent phase noise (low-noise multipliers/dividers), no settling time after a switch.
Cons: complex and expensive when wide coverage with fine resolution is needed → mostly reserved for RF/microwave test instruments (signal generators, network analyzers).
A PLL uses a feedback control circuit to make a voltage-controlled oscillator (VCO) precisely track the phase of a stable reference oscillator. Its key feature: the VCO output can be made to run at an integer multiple of the reference, by inserting a digital divider $\div N$ in the feedback path.
When the loop is locked: $f_\text{PFD,1} = f_\text{PFD,2}$, i.e., $f_\text{ref} = f_\text{out}/N$, giving:
A fractional-N PLL provides a non-integer-valued division ratio, so the VCO output can be at an integer-plus-fractional multiple of the reference. This decouples the step size from the reference frequency.
數位除頻器(digital divider)只能除以A digital divider can only divide by an デジタル分周器 (digital divider) は整數integer整数,但介於 $N$ 與 $N+1$ 之間的非整數除數,可以靠, but a non-integer divisor between $N$ and $N+1$ can be approximated by でしか割れないが、$N$ と $N+1$ の間の非整数の分周比は動態切換除頻器switching the divider dynamically分周器を動的に切り替える來近似::ことで近似できる:
The average division ratio is:
So the output frequency is:
Resolution: $\Delta f = f_\text{ref}/R$, which can be made very fine (sub-Hz with large $R$) without reducing $f_\text{ref}$.
The periodic toggling between $N$ and $N+1$ produces a sawtooth phase-error pattern that creates fractional spurs at $f_\text{ref}/R$ and harmonics. Σ-Δ modulation of the divider randomizes the pattern, suppressing these spurs and shaping the residual quantization noise to high offsets where the loop filter rejects it.
DDS uses a digital phase accumulator to step through a sine look-up table at a programmable rate, then converts the digital sine samples to analog via a high-speed DAC and a reconstruction LPF.
The output frequency is set entirely digitally by the Frequency Tuning Word (FTW):
where $M$ is the accumulator width in bits and $f_\text{clk}$ is the clock rate.
Modern DDS chips (e.g., Analog Devices AD9914) can clock at 3.5 GS/s for output up to ~1.4 GHz.
| Method | Resolution | Settling time | Max freq | Phase noise | Typical use |
|---|---|---|---|---|---|
| Direct | Limited (component count) | Instantaneous (switch) | Up to mmWave | Excellent | Test instruments |
| Integer-N PLL | = $f_\text{ref}$ | ~100/loop BW | ~10 GHz | Good (close-in limited by N) | Lower-end synth |
| Fractional-N PLL | Fine (sub-Hz) | Fast (high loop BW) | ~10 GHz | Very good (Σ-Δ shaped) | Cellular, WiFi, GPS |
| DDS | Sub-Hz | Instantaneous | ~1.5 GHz (DAC-limited) | Spurs from DAC | Test, agile hopping, modulation |
Brute-force analog. Excellent noise/spurs but expensive and bulky. Reserved for high-end RF/microwave test gear.
Simplest PLL. Limited by step-size = $f_\text{ref}$ trade-off. Mostly replaced by fractional-N in modern designs.
Workhorse of modern wireless transceivers. Σ-Δ noise-shaping enables both fine resolution and good close-in phase noise.
All-digital agility. Frequency switching between clock cycles. Bandwidth limited by DAC clock rate; spurs are the main concern.
Problem. A common-emitter Colpitts oscillator uses $L_3 = 100\,\text{nH}$, $C_1 = 50\,\text{pF}$, $C_2 = 100\,\text{pF}$. Find the oscillation frequency and the minimum required $g_m/G_i$.
已知/目標:Given / required:与件/目標: CE Colpitts,$L_3 = 100\,\text{nH}$、$C_1 = 50\,\text{pF}$、$C_2 = 100\,\text{pF}$。求 $f_0$ 與最小 $g_m/G_i$。 a CE Colpitts with $L_3 = 100\,\text{nH}$, $C_1 = 50\,\text{pF}$ and $C_2 = 100\,\text{pF}$. Find $f_0$ and the minimum $g_m/G_i$. CE Colpitts、$L_3 = 100\,\text{nH}$、$C_1 = 50\,\text{pF}$、$C_2 = 100\,\text{pF}$。$f_0$ と最小の $g_m/G_i$ を求める。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(三電抗條件,5.1.4):$f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_3 C_\text{eq}}}$,$C_\text{eq} = \dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}$(兩電容由 $L_3$ 看是串聯);增益條件 $g_m/G_i \geq C_2/C_1$(Barkhausen,5.1.2)。(the three-reactance condition, 5.1.4): $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_3 C_\text{eq}}}$ with $C_\text{eq} = \dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}$ (the two capacitors are in series as seen by $L_3$); the gain condition is $g_m/G_i \geq C_2/C_1$ (Barkhausen, 5.1.2).(三リアクタンス条件、5.1.4):$f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_3 C_\text{eq}}}$、$C_\text{eq} = \dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}$($L_3$ から見ると二つのコンデンサは直列);利得条件は $g_m/G_i \geq C_2/C_1$(バルクハウゼン、5.1.2)。
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると:
$C_\text{eq} = \dfrac{50\times 100}{50+100} = \dfrac{5000}{150} = 33.3\,\text{pF} = 3.33\times 10^{-11}\,\text{F}$。$C_\text{eq} = \dfrac{50\times 100}{50+100} = \dfrac{5000}{150} = 33.3\,\text{pF} = 3.33\times 10^{-11}\,\text{F}$.$C_\text{eq} = \dfrac{50\times 100}{50+100} = \dfrac{5000}{150} = 33.3\,\text{pF} = 3.33\times 10^{-11}\,\text{F}$。
$L_3 C_\text{eq} = 100\times 10^{-9}\times 33.3\times 10^{-12} = 3.33\times 10^{-18}\,\text{s}^2$,$\sqrt{\cdot} = 1.826\times 10^{-9}\,\text{s}$。$L_3 C_\text{eq} = 100\times 10^{-9}\times 33.3\times 10^{-12} = 3.33\times 10^{-18}\,\text{s}^2$, so $\sqrt{\cdot} = 1.826\times 10^{-9}\,\text{s}$.$L_3 C_\text{eq} = 100\times 10^{-9}\times 33.3\times 10^{-12} = 3.33\times 10^{-18}\,\text{s}^2$、$\sqrt{\cdot} = 1.826\times 10^{-9}\,\text{s}$。
$$f_0 = \frac{1}{2\pi\times 1.826\times 10^{-9}} = \frac{1}{1.147\times 10^{-8}} = \mathbf{87.2\,MHz}$$
勘誤註:Erratum:正誤註:原解寫 87.6 MHz,那是把 $C_\text{eq}$ 取 33.0 pF 的結果;以正確的 $C_\text{eq} = 100/3 = 33.33\,\text{pF}$ 計算為 the original solution gives 87.6 MHz, which comes from taking $C_\text{eq}$ as 33.0 pF; with the correct $C_\text{eq} = 100/3 = 33.33\,\text{pF}$ the result is 元の解答は 87.6 MHz としているが、これは $C_\text{eq}$ を 33.0 pF としたときの結果である;正しい $C_\text{eq} = 100/3 = 33.33\,\text{pF}$ で計算すると 87.2 MHz。.。
增益條件:$\dfrac{g_m}{G_i} \geq \dfrac{C_2}{C_1} = \dfrac{100}{50} = \mathbf{2}$。The gain condition: $\dfrac{g_m}{G_i} \geq \dfrac{C_2}{C_1} = \dfrac{100}{50} = \mathbf{2}$.利得条件:$\dfrac{g_m}{G_i} \geq \dfrac{C_2}{C_1} = \dfrac{100}{50} = \mathbf{2}$。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: $C_2/C_1 = 2$ 是溫和的要求 — 任何正常偏壓的電晶體都遠超過;實際設計會再乘 2–3 倍 start-up margin(見 P1.1)。頻率主要由 $C_\text{eq}$(被較小的 $C_1$ 主導)與 $L_3$ 決定。 $C_2/C_1 = 2$ is a mild requirement — any properly biased transistor far exceeds it; a real design would multiply it by a further 2–3× of start-up margin (see P1.1). The frequency is set mainly by $C_\text{eq}$ (dominated by the smaller $C_1$) together with $L_3$. $C_2/C_1 = 2$ は緩い要求であり — 正常にバイアスされたトランジスタなら余裕で満たす;実際の設計ではさらに 2〜3 倍の起動マージンを掛ける(P1.1 参照)。周波数は主に $C_\text{eq}$(小さい方の $C_1$ が支配的)と $L_3$ で決まる。
Problem. A 1 GHz oscillator has phase noise $-100\,\text{dBc/Hz}$ at 10 kHz offset in the $1/f^2$ region. If the resonator Q is doubled (everything else equal), what is the new phase noise?
已知/目標:Given / required:与件/目標: 1 GHz 振盪器在 $1/f^2$ 區的 $\mathcal{L}(10\,\text{kHz}) = -100\,\text{dBc/Hz}$;Q 加倍、其餘不變。求新的 phase noise。 a 1 GHz oscillator with $\mathcal{L}(10\,\text{kHz}) = -100\,\text{dBc/Hz}$ in the $1/f^2$ region; Q is doubled with everything else unchanged. Find the new phase noise. 1 GHz 発振器の $1/f^2$ 領域で $\mathcal{L}(10\,\text{kHz}) = -100\,\text{dBc/Hz}$;Q を 2 倍にし他は不変とする。新しい位相雑音を求める。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(Leeson model,5.1.9,$1/f^2$ 區):(the Leeson model, 5.1.9, $1/f^2$ region):(Leeson モデル、5.1.9、$1/f^2$ 領域):
$$\mathcal{L}(f_m) = \frac{FkT_0}{2P_0}\left(\frac{f_0}{2Qf_m}\right)^2 \;\propto\; \frac{1}{Q^2}$$
Q 在括號分母內被平方 — 這是 Leeson 模型最重要的縮放關係。Q is squared inside the bracketed denominator — the most important scaling relation in the Leeson model.Q は括弧内の分母で二乗される — これが Leeson モデルで最も重要なスケーリング関係である。
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると: $Q \to 2Q$:
$$\frac{\mathcal{L}_\text{new}}{\mathcal{L}_\text{old}} = \left(\frac{Q_\text{old}}{2Q_\text{old}}\right)^2 = \frac{1}{4} \;\Rightarrow\; 10\log\frac{1}{4} = -6.0\,\text{dB}$$
$$\mathcal{L}_\text{new} = -100 - 6 = \mathbf{-106\,dBc/Hz}\ @\ 10\,\text{kHz}$$
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 記憶口訣:在 $1/f^2$ 區「Q 加倍 = −6 dB;功率加倍 = −3 dB;offset 加倍 = −6 dB」。注意此縮放只在 $1/f^2$ 區成立 — 到 noise floor 區($f_m > f_0/2Q$)Q 再高也壓不動 $FkT_0/2P_0$;且 Q 加倍同時把 $1/f^2$ 區往低 offset 收 — skirt 整段內移。 A mnemonic: in the $1/f^2$ region, “double Q = −6 dB; double the power = −3 dB; double the offset = −6 dB”. Note that this scaling holds only in the $1/f^2$ region — once you reach the noise floor ($f_m > f_0/2Q$) no amount of Q will push $FkT_0/2P_0$ down; and doubling Q also pulls the $1/f^2$ region in towards lower offsets, so the whole skirt moves inwards. 覚え方:$1/f^2$ 領域では「Q が 2 倍 = −6 dB;電力が 2 倍 = −3 dB;オフセットが 2 倍 = −6 dB」。このスケーリングが成り立つのは $1/f^2$ 領域だけであることに注意 — 雑音フロア領域($f_m > f_0/2Q$)では Q をいくら上げても $FkT_0/2P_0$ は下がらない;また Q を 2 倍にすると $1/f^2$ 領域は低オフセット側へ縮み、スカート全体が内側へ移動する。
Problem. A receiver has $C = -85\,\text{dBm}$ desired signal, $I = -25\,\text{dBm}$ adjacent interferer at 1 MHz offset, requires $S = 12\,\text{dB}$ rejection, with $B = 30\,\text{kHz}$. Find the required LO phase noise at 1 MHz offset.
已知/目標:Given / required:与件/目標: $C = -85\,\text{dBm}$、$I = -25\,\text{dBm}$ @ $\Delta f = 1\,\text{MHz}$、$S = 12\,\text{dB}$、$B = 30\,\text{kHz}$。求 LO 在 1 MHz offset 的 phase-noise 上限。 $C = -85\,\text{dBm}$, $I = -25\,\text{dBm}$ @ $\Delta f = 1\,\text{MHz}$, $S = 12\,\text{dB}$, $B = 30\,\text{kHz}$. Find the upper limit on the LO phase noise at 1 MHz offset. $C = -85\,\text{dBm}$、$I = -25\,\text{dBm}$ @ $\Delta f = 1\,\text{MHz}$、$S = 12\,\text{dB}$、$B = 30\,\text{kHz}$。1 MHz オフセットにおける LO 位相雑音の上限を求める。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(reciprocal mixing,5.1.10):LO skirt 把 interferer 下混成 IF 內雜訊,功率 $= I + \mathcal{L}(\Delta f) + 10\log B$;要求它比期望訊號低 $S$ dB:(reciprocal mixing, 5.1.10): the LO skirt downconverts the interferer into in-band IF noise of power $= I + \mathcal{L}(\Delta f) + 10\log B$; this must be $S$ dB below the desired signal:(相互混変調、5.1.10):LO のスカートが妨害波を帯域内 IF 雑音へダウンコンバートし、その電力は $= I + \mathcal{L}(\Delta f) + 10\log B$;これが希望信号より $S$ dB 低くなければならない:
$$\mathcal{L}(\Delta f) \leq C - S - I - 10\log B$$
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると:頻寬項:$10\log(3\times 10^4) = 10(0.477 + 4) = 44.77\,\text{dB}$。注意 $I$ 是負值,「減 $I$」變成加: The bandwidth term: $10\log(3\times 10^4) = 10(0.477 + 4) = 44.77\,\text{dB}$. Note that $I$ is negative, so “subtracting $I$” becomes an addition: 帯域幅項:$10\log(3\times 10^4) = 10(0.477 + 4) = 44.77\,\text{dB}$。$I$ が負値なので「$I$ を引く」ことは加算になる点に注意:
$$\mathcal{L} \leq -85 - 12 - (-25) - 44.77 = -85 - 12 + 25 - 44.77 = \mathbf{-116.8\,dBc/Hz}\ @\ 1\,\text{MHz}$$
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 物理圖像:interferer 比期望訊號強 $-25-(-85) = 60\,\text{dB}$,還要再壓 12 dB SIR,合計 72 dB 全靠 LO 在 1 MHz 處的 spectral purity 扛,再攤到 30 kHz 頻寬(44.8 dB)→ $-72-44.8 \approx -117$。−117 dBc/Hz @ 1 MHz 對 PLL+LC-VCO 是合理可達的規格(對照 P5.3 的 Leeson 估計)。 The physical picture: the interferer is $-25-(-85) = 60\,\text{dB}$ stronger than the desired signal, and a further 12 dB of SIR is required — a total of 72 dB carried entirely by the LO's spectral purity at 1 MHz, then spread over a 30 kHz bandwidth (44.8 dB) → $-72-44.8 \approx -117$. −117 dBc/Hz @ 1 MHz is a reasonable, achievable specification for a PLL + LC-VCO (compare the Leeson estimate of P5.3). 物理的な描像:妨害波は希望信号より $-25-(-85) = 60\,\text{dB}$ 強く、さらに 12 dB の SIR が必要で、合計 72 dB をすべて 1 MHz における LO のスペクトル純度が負担する。これを 30 kHz 帯域(44.8 dB)に広げて → $-72-44.8 \approx -117$。−117 dBc/Hz @ 1 MHz は PLL + LC-VCO にとって妥当かつ達成可能な仕様である(P5.3 の Leeson 推定と対照せよ)。
Problem. A fractional-N PLL has $f_\text{ref} = 26\,\text{MHz}$ and uses a 20-bit fractional divider. What is the minimum frequency step?
已知/目標:Given / required:与件/目標: fractional-N PLL,$f_\text{ref} = 26\,\text{MHz}$,fractional divider 20-bit。求最小頻率步階。 a fractional-N PLL with $f_\text{ref} = 26\,\text{MHz}$ and a 20-bit fractional divider. Find the minimum frequency step. fractional-N PLL、$f_\text{ref} = 26\,\text{MHz}$、小数分周器は 20 ビット。最小周波数ステップを求める。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(fractional-N,5.2.3):輸出 $f_\text{out} = (N + K/R)f_\text{ref}$,$K$ 每動 1 個 LSB,輸出動(fractional-N, 5.2.3): the output is $f_\text{out} = (N + K/R)f_\text{ref}$, and every 1 LSB change in $K$ moves the output by(fractional-N、5.2.3):出力は $f_\text{out} = (N + K/R)f_\text{ref}$ であり、$K$ が 1 LSB 変わるごとに出力は次のだけ動く
$$\Delta f_\text{min} = \frac{f_\text{ref}}{R},\qquad R = 2^{20}$$
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると:$R = 2^{20} = 1{,}048{,}576 = 1.048576\times 10^6$。$R = 2^{20} = 1{,}048{,}576 = 1.048576\times 10^6$.$R = 2^{20} = 1{,}048{,}576 = 1.048576\times 10^6$。
$$\Delta f = \frac{26\times 10^6\,\text{Hz}}{1.048576\times 10^6} = \mathbf{24.8\,Hz}$$
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 對照 integer-N:同樣 26 MHz reference 的 integer-N 步階就是 26 MHz 本身;fractional accumulator 把解析度縮小 $2^{20} \approx 10^6$ 倍而 phase detector 仍跑在 26 MHz(高 $f_{PD}$ = 低 $20\log N$ 雜訊 + 寬 loop BW)。24.8 Hz @ 2.4 GHz 輸出 ≈ 0.01 ppm,足以補償 crystal 老化與溫漂(AFC)。 Compare integer-N: with the same 26 MHz reference, the integer-N step is 26 MHz itself; the fractional accumulator shrinks the resolution by a factor of $2^{20} \approx 10^6$ while the phase detector still runs at 26 MHz (a high $f_{PD}$ = low $20\log N$ noise plus a wide loop bandwidth). 24.8 Hz at a 2.4 GHz output ≈ 0.01 ppm, ample to compensate crystal ageing and temperature drift (AFC). integer-N と比べてみる:同じ 26 MHz 基準では integer-N のステップは 26 MHz そのものである;小数アキュムレータは分解能を $2^{20} \approx 10^6$ 倍細かくしながら、位相比較器は依然 26 MHz で動作する(高い $f_{PD}$ = 低い $20\log N$ 雑音 + 広いループ帯域)。2.4 GHz 出力での 24.8 Hz ≈ 0.01 ppm であり、水晶の経年変化と温度ドリフトを補償する(AFC)には十分である。
Problem. A 32-bit DDS clocked at 1 GHz needs to generate exactly 123.456789 MHz. Find the FTW.
已知/目標:Given / required:与件/目標: 32-bit DDS,$f_\text{clk} = 1\,\text{GHz}$,目標 $f_\text{out} = 123.456789\,\text{MHz}$。求 FTW。 a 32-bit DDS with $f_\text{clk} = 1\,\text{GHz}$ and a target $f_\text{out} = 123.456789\,\text{MHz}$. Find the FTW. 32 ビット DDS、$f_\text{clk} = 1\,\text{GHz}$、目標 $f_\text{out} = 123.456789\,\text{MHz}$。FTW を求める。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(DDS phase accumulator,5.2.4):
$$\text{FTW} = \frac{f_\text{out}}{f_\text{clk}}\cdot 2^{32},\qquad 2^{32} = 4{,}294{,}967{,}296$$
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると:頻率比:$\dfrac{123.456789\times 10^6}{10^9} = 0.123456789$。 The frequency ratio: $\dfrac{123.456789\times 10^6}{10^9} = 0.123456789$. 周波数比:$\dfrac{123.456789\times 10^6}{10^9} = 0.123456789$。
$$\text{FTW} = 0.123456789\times 4{,}294{,}967{,}296 = 530{,}242{,}871.2 \;\Rightarrow\; \mathbf{530{,}242{,}871} = \mathbf{0\text{x}1F9A\,DD37}$$
勘誤註:Erratum:正誤註:原解的 530,241,910(0x1F9ADDA6)乘法有誤;正確值為 530,242,871 = 0x1F9ADD37(可驗算:$530{,}242{,}871/2^{32}\times 1\,\text{GHz} = 123.45678895\,\text{MHz}$)。 the original solution's 530,241,910 (0x1F9ADDA6) has a multiplication error; the correct value is 530,242,871 = 0x1F9ADD37 (check: $530{,}242{,}871/2^{32}\times 1\,\text{GHz} = 123.45678895\,\text{MHz}$). 元の解答の 530,241,910(0x1F9ADDA6)は乗算に誤りがある;正しい値は 530,242,871 = 0x1F9ADD37 である(検算:$530{,}242{,}871/2^{32}\times 1\,\text{GHz} = 123.45678895\,\text{MHz}$)。
Resolution per LSB:$\dfrac{f_\text{clk}}{2^{32}} = \dfrac{10^9}{4.295\times 10^9} = 0.2328\,\text{Hz}$。Resolution per LSB: $\dfrac{f_\text{clk}}{2^{32}} = \dfrac{10^9}{4.295\times 10^9} = 0.2328\,\text{Hz}$.LSB あたりの分解能:$\dfrac{f_\text{clk}}{2^{32}} = \dfrac{10^9}{4.295\times 10^9} = 0.2328\,\text{Hz}$。
取整誤差:FTW 捨去了 0.2 LSB → 輸出偏差 $\approx 0.2\times 0.233 = 0.05\,\text{Hz}$(對 123 MHz 為 $4\times 10^{-10}$ 相對誤差)— 「exactly」只能到 LSB 精度,真正的精確度由 $f_\text{clk}$ 的 crystal 決定。Rounding error: the FTW discards 0.2 LSB → an output error of $\approx 0.2\times 0.233 = 0.05\,\text{Hz}$ (a relative error of $4\times 10^{-10}$ at 123 MHz) — “exactly” only holds to LSB precision, and the real accuracy is set by the crystal behind $f_\text{clk}$.丸め誤差:FTW は 0.2 LSB を切り捨てている → 出力誤差は $\approx 0.2\times 0.233 = 0.05\,\text{Hz}$(123 MHz に対して $4\times 10^{-10}$ の相対誤差)— 「厳密に」といっても LSB 精度までであり、真の確度は $f_\text{clk}$ を与える水晶で決まる。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 這示範 DDS 的數位本質:任意奇怪的頻率(123.456789 MHz)只是一個 32-bit 整數,改頻 = 改暫存器,瞬間且相位連續 — PLL 要做到同樣解析度需要巨大的 accumulator 與重新鎖定時間。 This illustrates the digital nature of DDS: an arbitrarily awkward frequency (123.456789 MHz) is just a 32-bit integer, and changing frequency = changing a register — instantaneous and phase-continuous. A PLL achieving the same resolution would need a huge accumulator and time to re-lock. これは DDS のデジタルな本質を示している:どんな半端な周波数(123.456789 MHz)も 32 ビット整数にすぎず、周波数変更 = レジスタ書き換えであり、瞬時かつ位相連続である。同じ分解能を PLL で得ようとすれば巨大なアキュムレータと再ロック時間が必要になる。
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Barkhausen criterion, loop gain, start-up margin, key specs (phase noise, harmonics, stability).
A feedback oscillator has a feedback network with $|H(\omega_0)| = 0.05$ at the desired oscillation frequency $\omega_0$ and the loop phase is zero at $\omega_0$.
(a) What is the minimum amplifier voltage gain $A$ for oscillation start-up?
(b) If the design includes 6 dB of margin for component tolerance, what $A$ in dB do you choose?
已知/目標:Given / required:与件/目標: feedback network 在 $\omega_0$ 的增益 $|H(\omega_0)| = 0.05$(即衰減 20 倍),loop phase 在 $\omega_0$ 為零(相位條件已滿足)。求 (a) 起振所需的最小放大器增益 $A$;(b) 加上 6 dB tolerance margin 後的設計值。 the feedback network has a gain of $|H(\omega_0)| = 0.05$ at $\omega_0$ (an attenuation of 20×), and the loop phase at $\omega_0$ is zero (the phase condition is already satisfied). Find (a) the minimum amplifier gain $A$ needed to start up; (b) the design value after adding 6 dB of tolerance margin. 帰還回路の $\omega_0$ における利得が $|H(\omega_0)| = 0.05$(すなわち 20 倍の減衰)、$\omega_0$ でのループ位相は零(位相条件は満たされている)。(a) 起振に必要な最小増幅器利得 $A$、(b) 6 dB の許容マージンを加えた設計値を求める。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(Barkhausen criterion,5.1.2):振盪的兩個必要條件為(the Barkhausen criterion, 5.1.2): the two conditions necessary for oscillation are(バルクハウゼンの条件、5.1.2):発振に必要な二つの条件は
$$|A\,H(\omega_0)| \geq 1, \qquad \angle A H(\omega_0) = 0$$
等號對應穩態(steady-state);起振(start-up)需要 $|AH| > 1$,使振幅由雜訊指數成長。The equality corresponds to steady state; start-up requires $|AH| > 1$, so that the amplitude grows exponentially from noise.等号は定常状態に対応する;起振には $|AH| > 1$ が必要であり、これにより振幅が雑音から指数的に成長する。
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると:
(a) 相位條件題目已給定滿足,只剩振幅條件:(a) The problem states the phase condition is met, leaving only the amplitude condition:(a) 位相条件は問題文で満たされているので、振幅条件だけが残る:
$$A \geq \frac{1}{|H(\omega_0)|} = \frac{1}{0.05} = 20 \text{(linear voltage gain)}$$
換成 dB:$A_\text{dB} = 20\log_{10}(20) = 20\times 1.301 = \mathbf{26.0\,dB}$。In dB: $A_\text{dB} = 20\log_{10}(20) = 20\times 1.301 = \mathbf{26.0\,dB}$.dB に直すと:$A_\text{dB} = 20\log_{10}(20) = 20\times 1.301 = \mathbf{26.0\,dB}$。
(b) 加 6 dB margin(直接以 dB 相加):(b) Adding a 6 dB margin (simply adding in dB):(b) 6 dB のマージンを加える(dB のまま足す):
$$A_\text{dB} = 26 + 6 = 32\,\text{dB} \;\Rightarrow\; A = 10^{32/20} = 10^{1.6} \approx 39.8 \approx 40 \text{(linear)}$$
即小訊號 loop gain $|AH| = 40\times 0.05 = 2$(電壓比 2 倍 = 6 dB 過剩增益)。That is, a small-signal loop gain of $|AH| = 40\times 0.05 = 2$ (a voltage ratio of 2 = 6 dB of excess gain).すなわち小信号ループ利得は $|AH| = 40\times 0.05 = 2$(電圧比 2 倍 = 6 dB の余剰利得)。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 6 dB margin 代表小訊號 loop gain = 2:即使元件公差、溫度使增益掉一半仍能起振。多餘的增益不會留在穩態 — 振幅成長後元件進入非線性,大訊號增益自動壓回 $|AH| = 1$(limit cycle,見 5.1.2 的振幅自穩機制)。 A 6 dB margin means a small-signal loop gain of 2: even if component tolerances and temperature halve the gain, it still starts up. The excess gain does not survive into steady state — as the amplitude grows the device enters its nonlinear region and the large-signal gain is automatically compressed back to $|AH| = 1$ (a limit cycle; see the amplitude self-stabilization mechanism of 5.1.2). 6 dB のマージンは小信号ループ利得 = 2 を意味する:素子のばらつきや温度で利得が半分に落ちても起振できる。余分な利得は定常状態には残らない — 振幅が成長すると素子が非線形領域に入り、大信号利得が自動的に $|AH| = 1$ まで圧縮される(リミットサイクル。5.1.2 の振幅自己安定化機構を参照)。
An oscillator is rated at $f_0 = 1\,\text{GHz}$ with temperature drift of 30 ppm/°C.
(a) Over a $-20$°C to $+70$°C range, what is the worst-case absolute frequency drift?
(b) If channel spacing in the system is 200 kHz, is the unguided drift acceptable?
已知/目標:Given / required:与件/目標: $f_0 = 1\,\text{GHz} = 10^9\,\text{Hz}$,temperature coefficient $= 30\,\text{ppm/°C}$,溫度範圍 $-20$ 到 $+70$ °C,channel spacing $= 200\,\text{kHz}$。求最壞情況頻率漂移與是否可接受。 $f_0 = 1\,\text{GHz} = 10^9\,\text{Hz}$, a temperature coefficient of $30\,\text{ppm/°C}$, a temperature range of $-20$ to $+70$ °C, and a channel spacing of $200\,\text{kHz}$. Find the worst-case frequency drift and whether it is acceptable. $f_0 = 1\,\text{GHz} = 10^9\,\text{Hz}$、温度係数 $= 30\,\text{ppm/°C}$、温度範囲 $-20$ 〜 $+70$ °C、チャネル間隔 $= 200\,\text{kHz}$。最悪条件の周波数ドリフトと、それが許容できるかを求める。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(規格定義,5.1.1 oscillator specs):ppm(parts per million)是相對頻率偏移單位,(specification definitions, 5.1.1 oscillator specs): ppm (parts per million) is a unit of relative frequency offset,(仕様の定義、5.1.1 発振器の諸元):ppm(百万分率)は相対周波数偏差の単位であり、
$$\Delta f = f_0 \times (\text{ppm/°C}) \times \Delta T \times 10^{-6}$$
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると:
(a) 溫度跨距:$\Delta T = 70 - (-20) = 90\,$°C。(a) The temperature span: $\Delta T = 70 - (-20) = 90\,$°C.(a) 温度範囲の幅:$\Delta T = 70 - (-20) = 90\,$°C。
總漂移(ppm):$30\,\text{ppm/°C} \times 90\,\text{°C} = 2700\,\text{ppm}$。Total drift (ppm): $30\,\text{ppm/°C} \times 90\,\text{°C} = 2700\,\text{ppm}$.総ドリフト(ppm):$30\,\text{ppm/°C} \times 90\,\text{°C} = 2700\,\text{ppm}$。
換成絕對頻率:$\Delta f = 2700\times 10^{-6}\times 10^9\,\text{Hz} = 2.7\times 10^6\,\text{Hz} = \mathbf{2.7\,MHz}$。As an absolute frequency: $\Delta f = 2700\times 10^{-6}\times 10^9\,\text{Hz} = 2.7\times 10^6\,\text{Hz} = \mathbf{2.7\,MHz}$.絶対周波数に直すと:$\Delta f = 2700\times 10^{-6}\times 10^9\,\text{Hz} = 2.7\times 10^6\,\text{Hz} = \mathbf{2.7\,MHz}$。
(b) 以 channel 數衡量:$\dfrac{2.7\,\text{MHz}}{200\,\text{kHz}} = \dfrac{2.7\times 10^6}{2\times 10^5} = \mathbf{13.5}$ (b) Measured in channels: $\dfrac{2.7\,\text{MHz}}{200\,\text{kHz}} = \dfrac{2.7\times 10^6}{2\times 10^5} = \mathbf{13.5}$ (b) チャネル数で測ると:$\dfrac{2.7\,\text{MHz}}{200\,\text{kHz}} = \dfrac{2.7\times 10^6}{2\times 10^5} = \mathbf{13.5}$ 個 channel 寬channel widthsチャネル分の幅 — 完全不可接受。訊號會漂出自己的 channel 並干擾鄰近 13 個 channel。 — utterly unacceptable. The signal would drift out of its own channel and interfere with 13 neighbouring channels. — 到底許容できない。信号は自分のチャネルから外れ、隣接する 13 チャネルに干渉してしまう。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 合格的準則大約是漂移 ≪ channel spacing 的一小部分(例如 < 10%,即 ±20 kHz ≈ ±20 ppm 總漂移)。30 ppm/°C 是典型 free-running LC 的等級;crystal 約 10 ppm 總漂移、TCXO 約 ±0.5 ppm — 這正是所有無線系統都鎖在 crystal reference 上的原因(5.2 synthesizers)。 A reasonable acceptance criterion is a drift much smaller than a fraction of the channel spacing (say < 10%, i.e. ±20 kHz ≈ ±20 ppm of total drift). 30 ppm/°C is typical of a free-running LC; a crystal gives about 10 ppm of total drift and a TCXO about ±0.5 ppm — which is precisely why every wireless system is locked to a crystal reference (5.2, synthesizers). 合否の目安は、ドリフトがチャネル間隔のごく一部よりはるかに小さいこと(たとえば < 10%、すなわち ±20 kHz ≈ 総ドリフト ±20 ppm)である。30 ppm/°C はフリーランニング LC の典型値であり、水晶なら総ドリフト約 10 ppm、TCXO なら約 ±0.5 ppm — あらゆる無線システムが水晶基準にロックされているのはまさにこのためである(5.2 シンセサイザ)。
(a) Compute the required temperature stability (ppm/°C).
(b) Recommend an oscillator architecture (free-running LC vs crystal-PLL vs TCXO) and justify.
(c) The phase-noise spec at 100 kHz offset implies what minimum loaded $Q$ if Leeson's $1/f^2$ term dominates? Use $\mathcal{L} = (kT_0F/2P_0)(\omega_0/2Q\omega_m)^2$, with $F = 6\,\text{dB}$, $P_0 = -3\,\text{dBm}$ (oscillator core).
已知/目標:Given / required:与件/目標: $f_0 = 915\,\text{MHz}$,頻率準確度 ±25 kHz over $-40..+85$ °C,phase noise ≤ −95 dBc/Hz @ 100 kHz,$F = 6\,\text{dB}$,$P_0 = -3\,\text{dBm}$。求 (a) 溫度穩定度需求 (b) 架構選擇 (c) Leeson 反推最小 loaded Q。 $f_0 = 915\,\text{MHz}$, a frequency accuracy of ±25 kHz over $-40..+85$ °C, phase noise ≤ −95 dBc/Hz @ 100 kHz, $F = 6\,\text{dB}$ and $P_0 = -3\,\text{dBm}$. Find (a) the temperature-stability requirement, (b) the architecture choice, and (c) the minimum loaded Q from Leeson. $f_0 = 915\,\text{MHz}$、$-40..+85$ °C にわたる周波数確度 ±25 kHz、位相雑音 ≤ −95 dBc/Hz @ 100 kHz、$F = 6\,\text{dB}$、$P_0 = -3\,\text{dBm}$。(a) 温度安定度の要求、(b) 構成の選択、(c) Leeson から逆算した最小の負荷 Q を求める。
(a) 溫度穩定度(a) Temperature stability(a) 温度安定度(規格換算):(unit conversion):(単位換算):
溫度跨距 $\Delta T = 85 - (-40) = 125$ °C。The temperature span is $\Delta T = 85 - (-40) = 125$ °C.温度範囲の幅は $\Delta T = 85 - (-40) = 125$ °C。
允許的相對偏移:$\dfrac{\pm 25\,\text{kHz}}{915\,\text{MHz}} = \dfrac{2.5\times 10^4}{9.15\times 10^8} = 2.73\times 10^{-5} = \pm 27.3\,\text{ppm}$。The permissible relative offset: $\dfrac{\pm 25\,\text{kHz}}{915\,\text{MHz}} = \dfrac{2.5\times 10^4}{9.15\times 10^8} = 2.73\times 10^{-5} = \pm 27.3\,\text{ppm}$.許容される相対偏差:$\dfrac{\pm 25\,\text{kHz}}{915\,\text{MHz}} = \dfrac{2.5\times 10^4}{9.15\times 10^8} = 2.73\times 10^{-5} = \pm 27.3\,\text{ppm}$。
平攤到整個溫度範圍:$\dfrac{27.3\,\text{ppm}}{125\,\text{°C}} \approx \mathbf{0.22\,ppm/°C}$。Spread over the whole temperature range: $\dfrac{27.3\,\text{ppm}}{125\,\text{°C}} \approx \mathbf{0.22\,ppm/°C}$.温度範囲全体に割り振ると:$\dfrac{27.3\,\text{ppm}}{125\,\text{°C}} \approx \mathbf{0.22\,ppm/°C}$。
(b) 架構選擇:(b) Architecture choice:(b) 構成の選択: 0.22 ppm/°C 遠超出 free-running LC(典型 ~100 ppm/°C,差 500 倍),對低價 crystal(~1–10 ppm/°C 等級含老化)也吃緊。建議 0.22 ppm/°C is far beyond a free-running LC (typically ~100 ppm/°C, 500× worse) and is tight even for a cheap crystal (of the order of 1–10 ppm/°C including ageing). The recommendation is a 0.22 ppm/°C はフリーランニング LC(典型 ~100 ppm/°C、500 倍の開き)では到底届かず、安価な水晶(経年変化込みで 1〜10 ppm/°C 程度)にとっても厳しい。推奨は crystal-referenced PLL:26 MHz TCXO reference(±0.5 ppm over temp 是商規標配,對應 915 MHz 上 ±458 Hz ≪ 25 kHz)+ integer-N 或 fractional-N divider(5.2.2/5.2.3)。PLL 把 TCXO 的穩定度乘上去,VCO 本身的漂移被 loop 鎖住;整合度高、電流可低於 3 mA(現代 sub-GHz transceiver SoC 即此架構)。 reference (±0.5 ppm over temperature is standard commercial grade, corresponding to ±458 Hz at 915 MHz ≪ 25 kHz) plus an integer-N or fractional-N divider (5.2.2/5.2.3). The PLL multiplies up the TCXO's stability while the VCO's own drift is held by the loop; integration is high and the current can be under 3 mA (this is exactly the architecture of a modern sub-GHz transceiver SoC). 基準(温度全域で ±0.5 ppm は民生グレードの標準であり、915 MHz では ±458 Hz ≪ 25 kHz に相当)+ integer-N または fractional-N 分周器(5.2.2/5.2.3)である。PLL は TCXO の安定度を逓倍して伝え、VCO 自身のドリフトはループが抑え込む;集積度が高く電流も 3 mA を下回れる(現代の sub-GHz トランシーバ SoC はまさにこの構成)。
(c) Leeson 反推 Q(c) Deriving Q backwards from Leeson(c) Leeson から Q を逆算する(Leeson model 5.1.9,$1/f^2$ 區):(the Leeson model 5.1.9, $1/f^2$ region):(Leeson モデル 5.1.9、$1/f^2$ 領域):
$$\mathcal{L}(f_m) = \frac{kT_0 F}{2P_0}\left(\frac{\omega_0}{2Q\,\omega_m}\right)^2$$
單位換算(dB → linear):Unit conversion (dB → linear):単位換算(dB → 線形):
噪聲前置因子:$\dfrac{kT_0 F}{2P_0} = \dfrac{4\times10^{-21}\times 4}{2\times 5\times 10^{-4}} = \dfrac{1.6\times 10^{-20}}{10^{-3}} = 1.6\times 10^{-17}\,/\text{Hz}$。The noise prefactor: $\dfrac{kT_0 F}{2P_0} = \dfrac{4\times10^{-21}\times 4}{2\times 5\times 10^{-4}} = \dfrac{1.6\times 10^{-20}}{10^{-3}} = 1.6\times 10^{-17}\,/\text{Hz}$.雑音の前置係数:$\dfrac{kT_0 F}{2P_0} = \dfrac{4\times10^{-21}\times 4}{2\times 5\times 10^{-4}} = \dfrac{1.6\times 10^{-20}}{10^{-3}} = 1.6\times 10^{-17}\,/\text{Hz}$。
解出共振放大項:$\left(\dfrac{\omega_0}{2Q\omega_m}\right)^2 \leq \dfrac{\mathcal{L}}{kT_0F/2P_0} = \dfrac{3.16\times 10^{-10}}{1.6\times 10^{-17}} = 1.97\times 10^7$。Solving for the resonant amplification term: $\left(\dfrac{\omega_0}{2Q\omega_m}\right)^2 \leq \dfrac{\mathcal{L}}{kT_0F/2P_0} = \dfrac{3.16\times 10^{-10}}{1.6\times 10^{-17}} = 1.97\times 10^7$.共振増幅項について解くと:$\left(\dfrac{\omega_0}{2Q\omega_m}\right)^2 \leq \dfrac{\mathcal{L}}{kT_0F/2P_0} = \dfrac{3.16\times 10^{-10}}{1.6\times 10^{-17}} = 1.97\times 10^7$。
開根號:$\dfrac{\omega_0}{2Q\omega_m} \leq \sqrt{1.97\times 10^7} = 4441$(注意 $\omega_0/\omega_m = f_0/f_m$,2π 約掉)。Taking the square root: $\dfrac{\omega_0}{2Q\omega_m} \leq \sqrt{1.97\times 10^7} = 4441$ (note that $\omega_0/\omega_m = f_0/f_m$, the 2π cancelling).平方根をとると:$\dfrac{\omega_0}{2Q\omega_m} \leq \sqrt{1.97\times 10^7} = 4441$($\omega_0/\omega_m = f_0/f_m$ で 2π が相殺することに注意)。
$$Q \geq \frac{f_0}{2 f_m \cdot 4441} = \frac{915\times 10^6}{2\times 10^5 \times 4441} = \frac{915\times 10^6}{8.88\times 10^8} = \mathbf{1.03}$$
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 這題顯示 915 MHz 的瓶頸是 This problem shows that the bottleneck at 915 MHz is この問題は、915 MHz における律速要因が頻率準確度frequency accuracy周波数確度(逼出 PLL 架構)而非 phase noise(Q ≈ 1 就夠,輕鬆十幾倍 margin)。−95 dBc/Hz @ 100 kHz 對 sub-GHz ISM 是寬鬆規格;若是 cellular(−118 等級,見 P5.2)Q 需求會立刻上升。(which forces the PLL architecture) rather than phase noise (Q ≈ 1 would do, an easy margin of more than tenfold). −95 dBc/Hz @ 100 kHz is a relaxed specification for sub-GHz ISM; for cellular (of the order of −118, see P5.2) the Q requirement rises immediately.(これが PLL 構成を強いる)であって位相雑音ではないこと(Q ≈ 1 で足り、十数倍の余裕がある)を示している。−95 dBc/Hz @ 100 kHz は sub-GHz ISM にとって緩い仕様である;セルラー(−118 級、P5.2 参照)なら Q への要求は一気に跳ね上がる。
Three-element reactance condition $X_1+X_2+X_3=0$; topology selection, $C_1/C_2$ ratio, crystal-based stability.
A common-emitter Colpitts oscillator uses $L_3 = 1.0\,\mu\text{H}$, $C_1 = 220\,\text{pF}$, $C_2 = 470\,\text{pF}$.
(a) Find $\omega_0$ and $f_0$.
(b) What ratio $g_m/G_i$ is required?
(c) If $G_i = 1/10\,\text{k}\Omega$, find the minimum $g_m$ in mS.
已知/目標:Given / required:与件/目標: CE Colpitts,$L_3 = 1.0\,\mu\text{H} = 10^{-6}\,\text{H}$,$C_1 = 220\,\text{pF}$,$C_2 = 470\,\text{pF}$,$G_i = 1/10\,\text{k}\Omega = 10^{-4}\,\text{S}$。求 $\omega_0$、$f_0$、$g_m/G_i$、最小 $g_m$。 a CE Colpitts with $L_3 = 1.0\,\mu\text{H} = 10^{-6}\,\text{H}$, $C_1 = 220\,\text{pF}$, $C_2 = 470\,\text{pF}$ and $G_i = 1/10\,\text{k}\Omega = 10^{-4}\,\text{S}$. Find $\omega_0$, $f_0$, $g_m/G_i$ and the minimum $g_m$. CE Colpitts、$L_3 = 1.0\,\mu\text{H} = 10^{-6}\,\text{H}$、$C_1 = 220\,\text{pF}$、$C_2 = 470\,\text{pF}$、$G_i = 1/10\,\text{k}\Omega = 10^{-4}\,\text{S}$。$\omega_0$、$f_0$、$g_m/G_i$、最小 $g_m$ を求める。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(三電抗振盪條件 $X_1+X_2+X_3=0$,5.1.4):Colpitts 的兩個電容串聯與 $L_3$ 共振,(the three-reactance oscillation condition $X_1+X_2+X_3=0$, 5.1.4): in Colpitts the two capacitors in series resonate with $L_3$,(三リアクタンス発振条件 $X_1+X_2+X_3=0$、5.1.4):Colpitts では直列になった二つのコンデンサが $L_3$ と共振し、
$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L_3\,C_\text{eq}}},\quad C_\text{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1+C_2},\qquad \frac{g_m}{G_i} \geq \frac{C_2}{C_1}\ \text{(Barkhausen 振幅條件)}$$$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L_3\,C_\text{eq}}},\quad C_\text{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1+C_2},\qquad \frac{g_m}{G_i} \geq \frac{C_2}{C_1}\ \text{(the Barkhausen amplitude condition)}$$$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L_3\,C_\text{eq}}},\quad C_\text{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1+C_2},\qquad \frac{g_m}{G_i} \geq \frac{C_2}{C_1}\ \text{(バルクハウゼンの振幅条件)}$$
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると:
(a) $C_\text{eq} = \dfrac{220\times 470}{220+470} = \dfrac{103400}{690} = 149.9\,\text{pF} = 1.499\times 10^{-10}\,\text{F}$。(a) $C_\text{eq} = \dfrac{220\times 470}{220+470} = \dfrac{103400}{690} = 149.9\,\text{pF} = 1.499\times 10^{-10}\,\text{F}$.(a) $C_\text{eq} = \dfrac{220\times 470}{220+470} = \dfrac{103400}{690} = 149.9\,\text{pF} = 1.499\times 10^{-10}\,\text{F}$。
$L_3 C_\text{eq} = 10^{-6} \times 1.499\times 10^{-10} = 1.499\times 10^{-16}\,\text{s}^2$,$\sqrt{\cdot} = 1.224\times 10^{-8}\,\text{s}$。$L_3 C_\text{eq} = 10^{-6} \times 1.499\times 10^{-10} = 1.499\times 10^{-16}\,\text{s}^2$, so $\sqrt{\cdot} = 1.224\times 10^{-8}\,\text{s}$.$L_3 C_\text{eq} = 10^{-6} \times 1.499\times 10^{-10} = 1.499\times 10^{-16}\,\text{s}^2$、$\sqrt{\cdot} = 1.224\times 10^{-8}\,\text{s}$。
$\omega_0 = \dfrac{1}{1.224\times 10^{-8}} = \mathbf{8.17\times 10^7\ rad/s}$。$\omega_0 = \dfrac{1}{1.224\times 10^{-8}} = \mathbf{8.17\times 10^7\ rad/s}$.$\omega_0 = \dfrac{1}{1.224\times 10^{-8}} = \mathbf{8.17\times 10^7\ rad/s}$。
(b) Colpitts 的增益條件來自回授分壓比:$\dfrac{g_m}{G_i} \geq \dfrac{C_2}{C_1} = \dfrac{470}{220} = \mathbf{2.14}$。(b) The Colpitts gain condition comes from the feedback divider ratio: $\dfrac{g_m}{G_i} \geq \dfrac{C_2}{C_1} = \dfrac{470}{220} = \mathbf{2.14}$.(b) Colpitts の利得条件は帰還分圧比から来る:$\dfrac{g_m}{G_i} \geq \dfrac{C_2}{C_1} = \dfrac{470}{220} = \mathbf{2.14}$。
(c) $g_m \geq 2.14\times G_i = 2.14\times 10^{-4}\,\text{S} = \mathbf{0.214\,mS}$。(c) $g_m \geq 2.14\times G_i = 2.14\times 10^{-4}\,\text{S} = \mathbf{0.214\,mS}$.(c) $g_m \geq 2.14\times G_i = 2.14\times 10^{-4}\,\text{S} = \mathbf{0.214\,mS}$。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 0.214 mS 是非常小的 $g_m$ — BJT 在 $I_C$ 僅約 $5.5\,\mu\text{A}$($g_m = I_C/V_T$)就達標,所以實務上限制起振的不是電晶體,而是 tank 損耗未列入 $G_i$ 的部分。$C_2/C_1$ 不要選太大:比值大雖容易滿足相位,但回授變弱、需要更高 $g_m$,且輸出擺幅分配變差。 0.214 mS is a very small $g_m$ — a BJT meets it at a collector current of only about $5.5\,\mu\text{A}$ ($g_m = I_C/V_T$), so in practice what limits start-up is not the transistor but the part of the tank loss not included in $G_i$. Do not make $C_2/C_1$ too large: a large ratio makes the phase condition easy to satisfy but weakens the feedback, demands a higher $g_m$, and distributes the output swing poorly. 0.214 mS は非常に小さい $g_m$ である — BJT ならコレクタ電流わずか約 $5.5\,\mu\text{A}$($g_m = I_C/V_T$)で満たせるので、実務上起振を制限するのはトランジスタではなく、$G_i$ に含めていないタンク損失の分である。$C_2/C_1$ を大きくしすぎないこと:比を大きくすると位相条件は満たしやすいが帰還が弱くなり、より高い $g_m$ が必要になるうえ出力振幅の配分も悪くなる。
A Hartley oscillator uses a tapped inductor with $L_1 = 4.7\,\mu\text{H}$, $L_2 = 22\,\mu\text{H}$, and $C_3 = 47\,\text{pF}$.
(a) Find $f_0$. (b) What is the required $g_m/G_i$?
已知/目標:Given / required:与件/目標: Hartley oscillator,tapped inductor $L_1 = 4.7\,\mu\text{H}$、$L_2 = 22\,\mu\text{H}$,$C_3 = 47\,\text{pF}$。求 $f_0$ 與 $g_m/G_i$。 a Hartley oscillator with a tapped inductor $L_1 = 4.7\,\mu\text{H}$, $L_2 = 22\,\mu\text{H}$ and $C_3 = 47\,\text{pF}$. Find $f_0$ and $g_m/G_i$. Hartley 発振器、タップ付きインダクタ $L_1 = 4.7\,\mu\text{H}$、$L_2 = 22\,\mu\text{H}$、$C_3 = 47\,\text{pF}$。$f_0$ と $g_m/G_i$ を求める。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(三電抗條件 $X_1+X_2+X_3=0$,5.1.4):Hartley 用兩個電感($X_1, X_2 > 0$)配一個電容($X_3 < 0$),兩電感(the three-reactance condition $X_1+X_2+X_3=0$, 5.1.4): Hartley uses two inductors ($X_1, X_2 > 0$) with one capacitor ($X_3 < 0$), and the two inductances (三リアクタンス条件 $X_1+X_2+X_3=0$、5.1.4):Hartley は二つのインダクタ($X_1, X_2 > 0$)と一つのコンデンサ($X_3 < 0$)を用い、二つのインダクタンスが串聯相加add in series直列に加算されて(忽略互感)與 $C_3$ 共振:(ignoring mutual inductance) to resonate with $C_3$:(相互インダクタンスは無視)$C_3$ と共振する:
$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(L_1+L_2)\,C_3}},\qquad \frac{g_m}{G_i} \geq \frac{L_1}{L_2}$$
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると:
(a) $L_1+L_2 = 4.7 + 22 = 26.7\,\mu\text{H} = 2.67\times 10^{-5}\,\text{H}$。(a) $L_1+L_2 = 4.7 + 22 = 26.7\,\mu\text{H} = 2.67\times 10^{-5}\,\text{H}$.(a) $L_1+L_2 = 4.7 + 22 = 26.7\,\mu\text{H} = 2.67\times 10^{-5}\,\text{H}$。
$(L_1+L_2)C_3 = 2.67\times 10^{-5}\times 47\times 10^{-12} = 1.255\times 10^{-15}\,\text{s}^2$。$(L_1+L_2)C_3 = 2.67\times 10^{-5}\times 47\times 10^{-12} = 1.255\times 10^{-15}\,\text{s}^2$.$(L_1+L_2)C_3 = 2.67\times 10^{-5}\times 47\times 10^{-12} = 1.255\times 10^{-15}\,\text{s}^2$。
$\sqrt{1.255\times 10^{-15}} = 3.54\times 10^{-8}\,\text{s}$,$2\pi\times 3.54\times 10^{-8} = 2.226\times 10^{-7}\,\text{s}$。$\sqrt{1.255\times 10^{-15}} = 3.54\times 10^{-8}\,\text{s}$, and $2\pi\times 3.54\times 10^{-8} = 2.226\times 10^{-7}\,\text{s}$.$\sqrt{1.255\times 10^{-15}} = 3.54\times 10^{-8}\,\text{s}$、$2\pi\times 3.54\times 10^{-8} = 2.226\times 10^{-7}\,\text{s}$。
$$f_0 = \frac{1}{2.226\times 10^{-7}} = 4.49\times 10^6\,\text{Hz} = \mathbf{4.49\,MHz}$$
(b) $\dfrac{g_m}{G_i} = \dfrac{L_1}{L_2} = \dfrac{4.7}{22} = \mathbf{0.214}$。(b) $\dfrac{g_m}{G_i} = \dfrac{L_1}{L_2} = \dfrac{4.7}{22} = \mathbf{0.214}$.(b) $\dfrac{g_m}{G_i} = \dfrac{L_1}{L_2} = \dfrac{4.7}{22} = \mathbf{0.214}$。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 這裡 $L_1/L_2 < 1$,增益條件比 P2.1 的 Colpitts 更寬鬆 — tap 的位置決定回授量。記憶法:兩種拓樸的比值都是「接在輸入端的元件電抗 / 接在輸出端的元件電抗」;Colpitts 中電容電抗 $\propto 1/C$ 所以分子分母反過來變 $C_2/C_1$。Hartley 在 MHz 頻段常見,但兩顆電感體積大、互感難控,GHz 整合電路幾乎都用 Colpitts 系。 Here $L_1/L_2 < 1$, so the gain condition is even more relaxed than the Colpitts of P2.1 — the tap position sets the amount of feedback. A way to remember it: in both topologies the ratio is “the reactance of the component at the input / the reactance of the component at the output”; in Colpitts the capacitive reactance $\propto 1/C$, which inverts numerator and denominator into $C_2/C_1$. Hartley is common in the MHz band, but two inductors are bulky and their mutual coupling is hard to control, so GHz integrated circuits use the Colpitts family almost exclusively. ここでは $L_1/L_2 < 1$ なので、利得条件は P2.1 の Colpitts よりさらに緩い — タップの位置が帰還量を決める。覚え方:どちらのトポロジでも比は「入力側に付く素子のリアクタンス / 出力側に付く素子のリアクタンス」である;Colpitts では容量性リアクタンスが $\propto 1/C$ なので分子分母が入れ替わって $C_2/C_1$ になる。Hartley は MHz 帯でよく使われるが、インダクタ二つは体積が大きく相互結合も制御しにくいため、GHz 帯の集積回路ではほぼ Colpitts 系が使われる。
A 32.768 kHz watch crystal (Q ≈ 50,000) is to be used in either a Colpitts or a Pierce oscillator.
(a) Which topology naturally accepts the crystal as the inductive element ($X_3$)?
(b) The crystal's series resistance is 50 kΩ. If $C_1 = C_2 = 12\,\text{pF}$, estimate the loaded $Q$ of the resonator.
(c) What is the dominant advantage of the crystal over a discrete LC for this application?
已知/目標:Given / required:与件/目標: 32.768 kHz watch crystal,unloaded $Q_u \approx 50{,}000$,series resistance $R_s = 50\,\text{k}\Omega$,$C_1 = C_2 = 12\,\text{pF}$。判斷拓樸、估 loaded Q、說明 crystal 的優勢。 a 32.768 kHz watch crystal with unloaded $Q_u \approx 50{,}000$, series resistance $R_s = 50\,\text{k}\Omega$ and $C_1 = C_2 = 12\,\text{pF}$. Identify the topology, estimate the loaded Q, and explain the crystal's advantages. 32.768 kHz の時計用水晶、無負荷 $Q_u \approx 50{,}000$、直列抵抗 $R_s = 50\,\text{k}\Omega$、$C_1 = C_2 = 12\,\text{pF}$。トポロジを判定し、負荷 Q を見積もり、水晶の利点を説明する。
(a) 拓樸選擇(a) Choice of topology(a) トポロジの選択(5.1.4):Pierce — 它就是 CE-Colpitts 把 $L_3$ 換成 crystal。Crystal 只有在 series resonance $f_s$ 與 parallel resonance $f_p$ 之間的狹窄區間($f_p - f_s \approx f_s\,C_m/2C_0$,通常僅數百 ppm)呈 — it is simply a CE Colpitts with $L_3$ replaced by a crystal. A crystal is — これは CE-Colpitts の $L_3$ を水晶に置き換えたものにほかならない。水晶が感性inductive誘導性,恰好扮演 $X_3 > 0$ 的角色;振盪頻率被釘死在這個窄區間內,這正是 crystal 振盪器穩定的根源。 only in the narrow interval between its series resonance $f_s$ and its parallel resonance $f_p$ ($f_p - f_s \approx f_s\,C_m/2C_0$, usually only a few hundred ppm wide), where it plays exactly the role of $X_3 > 0$; the oscillation frequency is pinned inside that narrow interval, which is the root of the crystal oscillator's stability.を示すのは直列共振 $f_s$ と並列共振 $f_p$ の間の狭い区間($f_p - f_s \approx f_s\,C_m/2C_0$、通常わずか数百 ppm)だけであり、そこでちょうど $X_3 > 0$ の役割を果たす;発振周波数はこの狭い区間に釘付けされ、これこそが水晶発振器の安定性の源である。
(b) Loaded Q 估計:(b) Estimating the loaded Q:(b) 負荷 Q の見積もり: 兩個 divider 電容由 crystal 端看是串聯: Seen from the crystal, the two divider capacitors are in series: 水晶から見ると、二つの分圧コンデンサは直列である:
$$C_L = \frac{C_1 C_2}{C_1+C_2} = \frac{12\times 12}{24} = 6\,\text{pF}$$
以「$C_L$ 的電抗對 $R_s$ 的比值」估 loaded Q:$\omega_0 = 2\pi\times 32768 = 2.06\times 10^5$ rad/s,$X_{C_L} = 1/(\omega_0 C_L) = 1/(2.06\times 10^5 \times 6\times 10^{-12}) = 809\,\text{k}\Omega$。Estimate the loaded Q from “the ratio of $C_L$'s reactance to $R_s$”: $\omega_0 = 2\pi\times 32768 = 2.06\times 10^5$ rad/s and $X_{C_L} = 1/(\omega_0 C_L) = 1/(2.06\times 10^5 \times 6\times 10^{-12}) = 809\,\text{k}\Omega$.「$C_L$ のリアクタンスと $R_s$ の比」から負荷 Q を見積もる:$\omega_0 = 2\pi\times 32768 = 2.06\times 10^5$ rad/s、$X_{C_L} = 1/(\omega_0 C_L) = 1/(2.06\times 10^5 \times 6\times 10^{-12}) = 809\,\text{k}\Omega$。
$$Q_L = \frac{1}{\omega_0 R_\text{eff} C_L} \approx \mathbf{16{,}200}\quad(\text{對應 } R_\text{eff} = 50\,\Omega)$$$$Q_L = \frac{1}{\omega_0 R_\text{eff} C_L} \approx \mathbf{16{,}200}\quad(\text{corresponding to } R_\text{eff} = 50\,\Omega)$$$$Q_L = \frac{1}{\omega_0 R_\text{eff} C_L} \approx \mathbf{16{,}200}\quad(\text{これは } R_\text{eff} = 50\,\Omega \text{ に相当})$$
勘誤註:Erratum:正誤註:若把題目所給 $R_s = 50\,\text{k}\Omega$ 直接代入此式會得到 $809\text{k}/50\text{k} = 16.2$,與原答案 16,200 差 1000 倍 — 原式隱含 $R_\text{eff} = 50\,\Omega$。物理上正確的圖像是:crystal 的 motional inductance 極大($L_m = Q_u R_s/\omega_0 \approx 12{,}000\,\text{H}$!),近乎無損的 $C_L$ 只移頻、幾乎不降 Q,真正的 Q 退化來自放大器的等效電阻負載;典型結果是 loaded Q 落在 $Q_u$ 的 1/3 ~ 1/2,即 substituting the $R_s = 50\,\text{k}\Omega$ given in the problem directly into this expression gives $809\text{k}/50\text{k} = 16.2$, a factor of 1000 away from the original answer of 16,200 — the original expression implicitly assumes $R_\text{eff} = 50\,\Omega$. The physically correct picture is this: the crystal's motional inductance is enormous ($L_m = Q_u R_s/\omega_0 \approx 12{,}000\,\text{H}$!), and the near-lossless $C_L$ only shifts the frequency without appreciably lowering Q; the real Q degradation comes from the amplifier's equivalent resistive loading. Typically the loaded Q ends up between 1/3 and 1/2 of $Q_u$, i.e. of the order of 問題文の $R_s = 50\,\text{k}\Omega$ をこの式にそのまま代入すると $809\text{k}/50\text{k} = 16.2$ となり、元の解答 16,200 と 1000 倍違う — 元の式は暗黙に $R_\text{eff} = 50\,\Omega$ を仮定している。物理的に正しい描像はこうである:水晶の等価直列インダクタンスは極めて大きく($L_m = Q_u R_s/\omega_0 \approx 12{,}000\,\text{H}$!)、ほぼ無損失の $C_L$ は周波数をずらすだけで Q はほとんど下げない;真の Q 劣化は増幅器の等価抵抗負荷から来る。典型的には負荷 Q は $Q_u$ の 1/3 〜 1/2、すなわち ~16,000–25,000 的量級~16,000–25,000~16,000〜25,000 のオーダー,與 16,200 一致。, consistent with 16,200. に落ち着き、16,200 と整合する。
(c) Crystal vs 分立 LC:(c) Crystal vs discrete LC:(c) 水晶 vs ディスクリート LC:
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 高 Q 的代價是 The price of a high Q is that it is 高い Q の代償は不可調not tunable可変できないこと:crystal 只能在 $f_s$–$f_p$ 間被「pull」數百 ppm(用 $C_L$ 微調)。所以系統設計總是「crystal 提供穩定低頻參考 + PLL/VCO 提供可調 RF」(5.2)。: a crystal can only be “pulled” a few hundred ppm between $f_s$ and $f_p$ (trimmed with $C_L$). So system design always pairs “a crystal providing a stable low-frequency reference” with “a PLL/VCO providing the tunable RF” (5.2).である:水晶は $f_s$〜$f_p$ の間で数百 ppm しか「プル」できない($C_L$ で微調整)。したがってシステム設計は常に「水晶が安定な低周波基準を供給し + PLL/VCO が可変の RF を供給する」形になる(5.2)。
(a) Choose initial $C_1, C_2$ to satisfy $g_m/G_i$ with a comfortable margin (2× the minimum).
(b) Compute the inductor $L_3$ required for $f_0 = 100\,\text{MHz}$.
(c) The varactor for tuning needs to swing the resonance by ±5%. If the varactor sits in parallel with $C_1$ (replacing part of it), what varactor capacitance range is needed?
已知/目標:Given / required:与件/目標: $f_0 = 100\,\text{MHz}$,tuning ±5 MHz(±5%),$g_m = 40\,\text{mS}$,$G_i = 0.5\,\text{mS}$,起振 margin ×2。求 $C_1, C_2$、$L_3$、varactor 範圍。 $f_0 = 100\,\text{MHz}$, tuning of ±5 MHz (±5%), $g_m = 40\,\text{mS}$, $G_i = 0.5\,\text{mS}$ and a start-up margin of ×2. Find $C_1, C_2$, $L_3$ and the varactor range. $f_0 = 100\,\text{MHz}$、同調範囲 ±5 MHz(±5%)、$g_m = 40\,\text{mS}$、$G_i = 0.5\,\text{mS}$、起動マージン ×2。$C_1, C_2$、$L_3$、バラクタの範囲を求める。
公式與來源:Formulas and sources:公式と出典: Colpitts 起振條件 $g_m/G_i \geq C_2/C_1$(5.1.4 + Barkhausen 5.1.2);共振 $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{L_3 C_\text{eq}})$,$C_\text{eq} = C_1C_2/(C_1+C_2)$。 the Colpitts start-up condition $g_m/G_i \geq C_2/C_1$ (5.1.4 + Barkhausen 5.1.2); resonance at $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{L_3 C_\text{eq}})$ with $C_\text{eq} = C_1C_2/(C_1+C_2)$. Colpitts の起振条件 $g_m/G_i \geq C_2/C_1$(5.1.4 + バルクハウゼン 5.1.2);共振は $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{L_3 C_\text{eq}})$、$C_\text{eq} = C_1C_2/(C_1+C_2)$。
(a) 選 $C_1, C_2$:(a) Choosing $C_1, C_2$:(a) $C_1, C_2$ の選定: 起振條件是 $g_m \geq G_i\,(C_2/C_1)$,故允許的 The start-up condition is $g_m \geq G_i\,(C_2/C_1)$, so the 起振条件は $g_m \geq G_i\,(C_2/C_1)$ なので、許容される最大maximum最大比值為 permissible ratio isの比は
$$\frac{C_2}{C_1}\Big|_\max = \frac{g_m}{G_i} = \frac{40\,\text{mS}}{0.5\,\text{mS}} = 80$$
勘誤註:Erratum:正誤註:原答案取 $C_2/C_1 = 160$ 當作「2× margin」,方向弄反了 — 比值 160 需要 $g_m = 0.5\,\text{mS}\times 160 = 80\,\text{mS}$,超過可用的 40 mS,反而 the original answer takes $C_2/C_1 = 160$ as a “2× margin”, which has the direction backwards — a ratio of 160 would need $g_m = 0.5\,\text{mS}\times 160 = 80\,\text{mS}$, exceeding the 40 mS available, so it would 元の解答は $C_2/C_1 = 160$ を「2× のマージン」としているが、方向が逆である — 比 160 では $g_m = 0.5\,\text{mS}\times 160 = 80\,\text{mS}$ が必要で、使える 40 mS を超えてしまい、かえって無法起振fail to start up起振できない。margin 應該往小取:$C_2/C_1 = 80/2 = 40$,所需 $g_m = 0.5\times 40 = 20\,\text{mS}$,實際 40 mS = 2× 餘裕 ✓。. The margin should be taken downwards: $C_2/C_1 = 80/2 = 40$, requiring $g_m = 0.5\times 40 = 20\,\text{mS}$, against the 40 mS actually available = a 2× margin ✓.。マージンは小さい側に取るべきである:$C_2/C_1 = 80/2 = 40$ とすれば必要な $g_m = 0.5\times 40 = 20\,\text{mS}$ となり、実際に使える 40 mS に対して 2× の余裕がある ✓。
取 $C_1 = 10\,\text{pF}$、$C_2 = 390\,\text{pF}$(E12 標準值,比值 39):$C_\text{eq} = \dfrac{10\times 390}{400} = 9.75\,\text{pF} \approx 10\,\text{pF}$,仍由 $C_1$ 主導(方便 (c) 的 varactor 分析)。Take $C_1 = 10\,\text{pF}$ and $C_2 = 390\,\text{pF}$ (E12 standard values, a ratio of 39): $C_\text{eq} = \dfrac{10\times 390}{400} = 9.75\,\text{pF} \approx 10\,\text{pF}$, still dominated by $C_1$ (which keeps the varactor analysis of (c) simple).$C_1 = 10\,\text{pF}$、$C_2 = 390\,\text{pF}$(E12 標準値、比 39)とする:$C_\text{eq} = \dfrac{10\times 390}{400} = 9.75\,\text{pF} \approx 10\,\text{pF}$ で、依然として $C_1$ が支配的である((c) のバラクタ解析が簡単になる)。
(b) 電感:(b) The inductor:(b) インダクタ: $\omega_0 = 2\pi\times 10^8 = 6.283\times 10^8$ rad/s,$\omega_0^2 = 3.95\times 10^{17}$。 $\omega_0 = 2\pi\times 10^8 = 6.283\times 10^8$ rad/s, so $\omega_0^2 = 3.95\times 10^{17}$. $\omega_0 = 2\pi\times 10^8 = 6.283\times 10^8$ rad/s、$\omega_0^2 = 3.95\times 10^{17}$。
$$L_3 = \frac{1}{\omega_0^2 C_\text{eq}} = \frac{1}{3.95\times 10^{17}\times 10\times 10^{-12}} = \frac{1}{3.95\times 10^6} = 2.53\times 10^{-7}\,\text{H} = \mathbf{253\,nH}$$
(c) Varactor 範圍:(c) The varactor range:(c) バラクタの範囲: $f \propto 1/\sqrt{C}$ → $\dfrac{\Delta f}{f} = -\dfrac{1}{2}\dfrac{\Delta C}{C}$ → ±5% 的 $f_0$ 需要 ∓10% 的 $C_\text{eq}$。 $f \propto 1/\sqrt{C}$ → $\dfrac{\Delta f}{f} = -\dfrac{1}{2}\dfrac{\Delta C}{C}$ → ±5% in $f_0$ requires ∓10% in $C_\text{eq}$. $f \propto 1/\sqrt{C}$ → $\dfrac{\Delta f}{f} = -\dfrac{1}{2}\dfrac{\Delta C}{C}$ → $f_0$ の ±5% には $C_\text{eq}$ の ∓10% が必要。
$C_\text{eq}$ 需在 $9\,\text{pF} \leftrightarrow 11\,\text{pF}$ 間擺動。因 $C_\text{eq}$ 由 $C_1$ 主導,把 $C_1$ 拆成「固定 9 pF + varactor 0–2 pF」即可:varactor 提供 $C_\text{eq}$ must swing between $9\,\text{pF} \leftrightarrow 11\,\text{pF}$. Since $C_\text{eq}$ is dominated by $C_1$, simply split $C_1$ into “a fixed 9 pF + a varactor of 0–2 pF”: the varactor supplies a $C_\text{eq}$ は $9\,\text{pF} \leftrightarrow 11\,\text{pF}$ の間で振れる必要がある。$C_\text{eq}$ は $C_1$ が支配的なので、$C_1$ を「固定 9 pF + バラクタ 0〜2 pF」に分ければよい:バラクタが 0 到 2 pF 的變化量variation of 0 to 2 pF0 から 2 pF の変化量。實際 varactor(如 MV2104,5–15 pF)變化量太大,用. A real varactor (an MV2104, say, at 5–15 pF) varies far too much, so a を担う。実際のバラクタ(たとえば MV2104、5〜15 pF)は変化量が大きすぎるので、串聯固定電容series fixed capacitor直列固定コンデンサ把等效擺幅壓縮到 2 pF。 is used to compress the effective swing down to 2 pF.で実効的な振れ幅を 2 pF に圧縮する。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 這題的核心 trade-off:$C_2/C_1$ 大 → varactor 分析簡單($C_\text{eq}\approx C_1$)但吃 $g_m$(電流);$C_2/C_1$ 小 → 省電但 varactor 對 $C_\text{eq}$ 的槓桿變複雜。$K_\text{VCO}$ 壓低(2 MHz/V)對 PLL 有利:control line 上的雜訊轉成 FM 的增益小,phase noise 較乾淨。 The central trade-off of this problem: a large $C_2/C_1$ → the varactor analysis is simple ($C_\text{eq}\approx C_1$) but it costs $g_m$ (current); a small $C_2/C_1$ → it saves power but the varactor's leverage on $C_\text{eq}$ becomes more involved. Keeping $K_\text{VCO}$ low (2 MHz/V) helps the PLL: noise on the control line is converted into FM with less gain, giving cleaner phase noise. この問題の核心にあるトレードオフ:$C_2/C_1$ を大きくする → バラクタ解析は簡単になる($C_\text{eq}\approx C_1$)が $g_m$(電流)を食う;$C_2/C_1$ を小さくする → 消費電力は減るがバラクタが $C_\text{eq}$ に効く度合いが複雑になる。$K_\text{VCO}$ を低く(2 MHz/V)抑えるのは PLL に有利である:制御線上の雑音が FM に変換される利得が小さく、位相雑音がきれいになる。
$Z_\text{in}+Z_L = 0$; $\Gamma_L\Gamma_\text{in}=1$; stability circles, terminating network selection.
A negative-resistance device presents $Z_\text{in}(I_0,\omega_0) = -30 + j40\,\Omega$ at the steady-state oscillation point.
(a) What must $Z_L$ be for sustained oscillation?
(b) Is the imaginary part inductive or capacitive?
已知/目標:Given / required:与件/目標: 穩態工作點($I_0, \omega_0$)的 device impedance $Z_\text{in} = -30 + j40\,\Omega$。求維持振盪所需的 $Z_L$ 並判斷其電抗性質。 at the steady-state operating point ($I_0, \omega_0$) the device impedance is $Z_\text{in} = -30 + j40\,\Omega$. Find the $Z_L$ needed to sustain oscillation and identify its reactive character. 定常動作点($I_0, \omega_0$)におけるデバイスインピーダンスが $Z_\text{in} = -30 + j40\,\Omega$。発振を維持するのに必要な $Z_L$ を求め、そのリアクタンスの性質を判定する。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(one-port negative-resistance 振盪條件,5.1.5):迴路總阻抗為零,(the one-port negative-resistance oscillation condition, 5.1.5): the total loop impedance is zero,(1 ポート負性抵抗の発振条件、5.1.5):ループの全インピーダンスが零、すなわち
$$Z_\text{in}(I_0,\omega_0) + Z_L(\omega_0) = 0 \;\Rightarrow\; \begin{cases} R_L = -R_\text{in} \\ X_L = -X_\text{in} \end{cases}$$
實部條件 = 振幅平衡(device 產生的功率恰好被 load 消耗);虛部條件 = 頻率選擇(總電抗為零的頻率就是 $\omega_0$)。The real-part condition = amplitude balance (the power produced by the device is exactly dissipated in the load); the imaginary-part condition = frequency selection (the frequency at which the total reactance vanishes is $\omega_0$).実部の条件 = 振幅の平衡(デバイスが生む電力がちょうど負荷で消費される);虚部の条件 = 周波数の選択(全リアクタンスが零になる周波数が $\omega_0$)。
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると:
(a) $R_L = -(-30) = +30\,\Omega$;$X_L = -(+40) = -40\,\Omega$:
$$Z_L = \mathbf{30 - j40\,\Omega}$$
(b) $X_L = -40\,\Omega < 0$ → capacitive。等效電容 $C = \dfrac{1}{\omega_0 |X_L|} = \dfrac{1}{40\,\omega_0}$(例如 $f_0 = 5\,\text{GHz}$ 時 $C \approx 0.80\,\text{pF}$)。device 的 $+j40$ 是感性,load 用等大的容性電抗抵消 — 兩者合成一個共振器。. The equivalent capacitance is $C = \dfrac{1}{\omega_0 |X_L|} = \dfrac{1}{40\,\omega_0}$ (for example $C \approx 0.80\,\text{pF}$ at $f_0 = 5\,\text{GHz}$). The device's $+j40$ is inductive and the load cancels it with an equal capacitive reactance — together they form a resonator.。等価容量は $C = \dfrac{1}{\omega_0 |X_L|} = \dfrac{1}{40\,\omega_0}$(たとえば $f_0 = 5\,\text{GHz}$ なら $C \approx 0.80\,\text{pF}$)。デバイスの $+j40$ は誘導性であり、負荷が同じ大きさの容量性リアクタンスで打ち消す — 両者が合わさって一つの共振器を成す。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 注意這是 Note that this is the これは穩態steady-state定常状態條件($I_0$ 為大訊號工作點)。起振時要用小訊號 $Z_\text{in}$,且需 $R_L < |R_\text{in}(0)|$(常用 $R_L = |R_\text{in}|/3$,見 P8.2),讓淨電阻為負、振幅成長,$|R_\text{in}(A)|$ 隨振幅縮小,最後停在 $|R_\text{in}(A_0)| = R_L = 30\,\Omega$。 condition ($I_0$ being the large-signal operating point). At start-up you must use the small-signal $Z_\text{in}$ and need $R_L < |R_\text{in}(0)|$ (commonly $R_L = |R_\text{in}|/3$, see P8.2), making the net resistance negative so the amplitude grows; $|R_\text{in}(A)|$ then shrinks with amplitude until it settles at $|R_\text{in}(A_0)| = R_L = 30\,\Omega$.の条件である($I_0$ は大信号動作点)ことに注意。起振時には小信号の $Z_\text{in}$ を使い、$R_L < |R_\text{in}(0)|$ が必要になる(よく $R_L = |R_\text{in}|/3$ とする。P8.2 参照)。こうして正味の抵抗を負にして振幅を成長させると、$|R_\text{in}(A)|$ が振幅とともに小さくなり、最終的に $|R_\text{in}(A_0)| = R_L = 30\,\Omega$ で落ち着く。
For oscillation, $\Gamma_L\,\Gamma_\text{in} = 1$. Given $\Gamma_\text{in} = 2.5\,\angle{-30°}$ (referred to $Z_0=50\,\Omega$):
(a) Find $\Gamma_L$ (magnitude and phase).
(b) Compute $Z_L$.
(c) Is $\Gamma_L$ inside or outside the Smith chart? Comment on what this implies.
已知/目標:Given / required:与件/目標: $\Gamma_\text{in} = 2.5\,\angle{-30°}$($Z_0 = 50\,\Omega$)。求滿足振盪條件的 $\Gamma_L$、對應 $Z_L$,並判斷其位置。 $\Gamma_\text{in} = 2.5\,\angle{-30°}$ (with $Z_0 = 50\,\Omega$). Find the $\Gamma_L$ satisfying the oscillation condition, the corresponding $Z_L$, and identify where it lies. $\Gamma_\text{in} = 2.5\,\angle{-30°}$($Z_0 = 50\,\Omega$)。発振条件を満たす $\Gamma_L$ と対応する $Z_L$ を求め、その位置を判定する。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(振盪條件的反射係數形式,5.1.5/5.1.6):$Z_\text{in}+Z_L = 0$ 等價於(the reflection-coefficient form of the oscillation condition, 5.1.5/5.1.6): $Z_\text{in}+Z_L = 0$ is equivalent to(発振条件の反射係数表現、5.1.5/5.1.6):$Z_\text{in}+Z_L = 0$ は次と等価である
$$\Gamma_L\,\Gamma_\text{in} = 1 \;\Rightarrow\; \Gamma_L = \frac{1}{\Gamma_\text{in}} \;\Rightarrow\; |\Gamma_L| = \frac{1}{|\Gamma_\text{in}|},\quad \angle\Gamma_L = -\angle\Gamma_\text{in}$$
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると:
(a) 大小取倒數、相位變號:(a) Take the reciprocal of the magnitude and negate the phase:(a) 大きさは逆数、位相は符号反転:
$$\Gamma_L = \frac{1}{2.5}\,\angle{+30°} = \mathbf{0.4\,\angle{+30°}}$$
(b) 先化成直角座標:$\Gamma_L = 0.4(\cos 30° + j\sin 30°) = 0.4(0.866 + j0.500) = 0.346 + j0.200$。(b) First convert to rectangular form: $\Gamma_L = 0.4(\cos 30° + j\sin 30°) = 0.4(0.866 + j0.500) = 0.346 + j0.200$.(b) まず直交座標に直す:$\Gamma_L = 0.4(\cos 30° + j\sin 30°) = 0.4(0.866 + j0.500) = 0.346 + j0.200$。
代入 $Z_L = Z_0\dfrac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}$,分子分母同乘分母的共軛:Substitute into $Z_L = Z_0\dfrac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}$, multiplying numerator and denominator by the conjugate of the denominator:$Z_L = Z_0\dfrac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}$ に代入し、分子分母に分母の共役を掛ける:
$Z_L = 50\,\dfrac{1.346+j0.200}{0.654-j0.200} = 50\,\dfrac{(1.346+j0.200)(0.654+j0.200)}{0.654^2+0.200^2}$
分子展開:$1.346\times 0.654 + j\,1.346\times 0.200 + j\,0.200\times 0.654 - 0.200\times 0.200 = 0.880 + j0.269 + j0.131 - 0.040 = 0.840 + j0.400$。Expanding the numerator: $1.346\times 0.654 + j\,1.346\times 0.200 + j\,0.200\times 0.654 - 0.200\times 0.200 = 0.880 + j0.269 + j0.131 - 0.040 = 0.840 + j0.400$.分子を展開すると:$1.346\times 0.654 + j\,1.346\times 0.200 + j\,0.200\times 0.654 - 0.200\times 0.200 = 0.880 + j0.269 + j0.131 - 0.040 = 0.840 + j0.400$。
分母:$0.428 + 0.040 = 0.468$。Denominator: $0.428 + 0.040 = 0.468$.分母:$0.428 + 0.040 = 0.468$。
$$Z_L = 50\,(1.795 + j0.854) = \mathbf{89.7 + j42.7\,\Omega}$$
(c) $|\Gamma_L| = 0.4 < 1$ → inside Smith chart → $R_L = 89.7\,\Omega > 0$,是 Smith chart → $R_L = 89.7\,\Omega > 0$, so it is a スミスチャート → $R_L = 89.7\,\Omega > 0$ なので被動(passive)負載passive load受動 (passive) 負荷 ✓。反過來 $|\Gamma_\text{in}| = 2.5 > 1$ 落在 Smith chart 外,對應 $R_\text{in} < 0$(主動、產生功率)。 ✓. Conversely $|\Gamma_\text{in}| = 2.5 > 1$ falls outside the Smith chart, corresponding to $R_\text{in} < 0$ (active, producing power).である ✓。逆に $|\Gamma_\text{in}| = 2.5 > 1$ はスミスチャートの外に落ち、$R_\text{in} < 0$(能動、電力を生む)に対応する。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 這就是 two-port oscillator 的標準收尾:主動元件「凸出」Smith chart 的量($|\Gamma_\text{in}|>1$,反射比入射大,淨功率流出)由一個普通的被動匹配網路接收。驗算:$Z_\text{in} = Z_0(1+\Gamma_\text{in})/(1-\Gamma_\text{in}) \approx -89.7 - j42.7\,\Omega = -Z_L$ ✓。 This is the standard finish to a two-port oscillator: however far the active device “protrudes” beyond the Smith chart ($|\Gamma_\text{in}|>1$, reflecting more than is incident, with net power flowing out) is taken up by an ordinary passive matching network. Check: $Z_\text{in} = Z_0(1+\Gamma_\text{in})/(1-\Gamma_\text{in}) \approx -89.7 - j42.7\,\Omega = -Z_L$ ✓. これが 2 ポート発振器の標準的な締めくくりである:能動素子がスミスチャートから「はみ出す」量($|\Gamma_\text{in}|>1$、入射より反射が大きく、正味の電力が流れ出る)を、ごく普通の受動整合回路が受け取る。検算:$Z_\text{in} = Z_0(1+\Gamma_\text{in})/(1-\Gamma_\text{in}) \approx -89.7 - j42.7\,\Omega = -Z_L$ ✓。
(a) Verify the transistor is potentially unstable. (Check $|S'_{11}|>1$ or compute K.)
(b) Compute the output-port stability circle parameters $(C_T, R_T)$.
(c) For a chosen $\Gamma_T = 0.59\,\angle{-104°}$, find $\Gamma_L$ and $Z_L$ needed for oscillation.
已知/目標:Given / required:与件/目標: common-gate GaAs MESFET 加 5 nH series gate inductor(故意增強不穩定)後的 4 GHz S 參數如題。流程(Pozar Example 13.5 / 5.1.6 two-port oscillator design):① 驗證 potentially unstable → ② 畫 terminating-port stability circle、把 $\Gamma_T$ 選在 the 4 GHz S-parameters of a common-gate GaAs MESFET with a 5 nH series gate inductor (deliberately enhancing the instability) are as given. The procedure (Pozar Example 13.5 / 5.1.6, two-port oscillator design): ① verify it is potentially unstable → ② draw the terminating-port stability circle and pick $\Gamma_T$ in the ゲートに 5 nH の直列インダクタを付けた(意図的に不安定性を強めた)コモンゲート GaAs MESFET の 4 GHz における S パラメータが与えられている。手順(Pozar 例題 13.5 / 5.1.6 2 ポート発振器設計):① potentially unstable であることを確認 → ② 終端側ポートの安定円を描き、$\Gamma_T$ を不穩定區unstable region不安定領域使 $|\Gamma_\text{in}|>1$ → ③ 用 $\Gamma_L\Gamma_\text{in}=1$ 設計 load network。 so that $|\Gamma_\text{in}|>1$ → ③ design the load network from $\Gamma_L\Gamma_\text{in}=1$.に選んで $|\Gamma_\text{in}|>1$ とする → ③ $\Gamma_L\Gamma_\text{in}=1$ から負荷回路を設計する。
(a) 不穩定性檢查:(a) Instability check:(a) 不安定性の確認:最快的判據:$|S'_{11}| = 2.18 > 1$ — 即使 port 2 接 $Z_0$,輸入端已呈負電阻 → potentially unstable,適合做振盪器 ✓。 The quickest criterion: $|S'_{11}| = 2.18 > 1$ — even with port 2 terminated in $Z_0$, the input already presents a negative resistance → potentially unstable, and suitable for an oscillator ✓. 最も手早い判定:$|S'_{11}| = 2.18 > 1$ — ポート 2 を $Z_0$ で終端しても入力端はすでに負性抵抗を呈する → potentially unstable であり、発振器に向く ✓。
用 K factor 佐證(Rollett):$|\Delta'|$ 見 (b) 為 2.349,Corroborate with the K factor (Rollett): $|\Delta'|$ is 2.349 from (b),K ファクタ(Rollett)でも裏付ける:$|\Delta'|$ は (b) より 2.349 であり、
$$K = \frac{1-|S'_{11}|^2-|S'_{22}|^2+|\Delta'|^2}{2|S'_{12}S'_{21}|} = \frac{1-4.752-0.270+5.518}{2\times 3.47} = \frac{1.496}{6.94} = 0.22 < 1 \;\checkmark$$
(b) Output(terminating)-port stability circle:先算 $\Delta' = S'_{11}S'_{22} - S'_{12}S'_{21}$(極式相乘 = 大小相乘、相位相加): First compute $\Delta' = S'_{11}S'_{22} - S'_{12}S'_{21}$ (multiplying in polar form: multiply the magnitudes, add the phases): まず $\Delta' = S'_{11}S'_{22} - S'_{12}S'_{21}$ を計算する(極形式の積 = 大きさは掛け、位相は足す):
$S'_{11}S'_{22} = 2.18\times 0.52\,\angle{(-35+155)°} = 1.13\,\angle{120°}$
$S'_{12}S'_{21} = 1.26\times 2.75\,\angle{(18+96)°} = 3.47\,\angle{114°}$
相減須轉直角座標:$1.13\angle{120°} = -0.565+j0.978$;$3.47\angle{114°} = -1.412+j3.169$。The subtraction requires rectangular form: $1.13\angle{120°} = -0.565+j0.978$; $3.47\angle{114°} = -1.412+j3.169$.引き算には直交座標が必要である:$1.13\angle{120°} = -0.565+j0.978$;$3.47\angle{114°} = -1.412+j3.169$。
$\Delta' = (-0.565+1.412) + j(0.978-3.169) = 0.847 - j2.191 = 2.349\,\angle{-68.9°}$。$\Delta' = (-0.565+1.412) + j(0.978-3.169) = 0.847 - j2.191 = 2.349\,\angle{-68.9°}$.$\Delta' = (-0.565+1.412) + j(0.978-3.169) = 0.847 - j2.191 = 2.349\,\angle{-68.9°}$。
圓心公式:$C_T = \dfrac{(S'_{22}-\Delta'\,S_{11}'^{\,*})^*}{|S'_{22}|^2-|\Delta'|^2}$The centre formula: $C_T = \dfrac{(S'_{22}-\Delta'\,S_{11}'^{\,*})^*}{|S'_{22}|^2-|\Delta'|^2}$中心の公式:$C_T = \dfrac{(S'_{22}-\Delta'\,S_{11}'^{\,*})^*}{|S'_{22}|^2-|\Delta'|^2}$
分子內部:$S'^*_{11} = 2.18\,\angle{+35°}$,$\Delta'S'^*_{11} = 2.349\times 2.18\,\angle{(-68.9+35)°} = 5.12\,\angle{-33.9°}$。Inside the numerator: $S'^*_{11} = 2.18\,\angle{+35°}$, so $\Delta'S'^*_{11} = 2.349\times 2.18\,\angle{(-68.9+35)°} = 5.12\,\angle{-33.9°}$.分子の内側:$S'^*_{11} = 2.18\,\angle{+35°}$ なので $\Delta'S'^*_{11} = 2.349\times 2.18\,\angle{(-68.9+35)°} = 5.12\,\angle{-33.9°}$。
$S'_{22}-\Delta'S'^*_{11} = 0.52\angle{155°} - 5.12\angle{-33.9°} = (-0.471+j0.220) - (4.250-j2.860) = -4.721+j3.080 = 5.638\,\angle{147°}$;取共軛 → $5.638\,\angle{-147°}$。$S'_{22}-\Delta'S'^*_{11} = 0.52\angle{155°} - 5.12\angle{-33.9°} = (-0.471+j0.220) - (4.250-j2.860) = -4.721+j3.080 = 5.638\,\angle{147°}$; taking the conjugate → $5.638\,\angle{-147°}$.$S'_{22}-\Delta'S'^*_{11} = 0.52\angle{155°} - 5.12\angle{-33.9°} = (-0.471+j0.220) - (4.250-j2.860) = -4.721+j3.080 = 5.638\,\angle{147°}$;共役をとると → $5.638\,\angle{-147°}$。
分母:$|S'_{22}|^2 - |\Delta'|^2 = 0.270 - 5.518 = -5.248$(負號會把相位翻 180°)。Denominator: $|S'_{22}|^2 - |\Delta'|^2 = 0.270 - 5.518 = -5.248$ (the minus sign flips the phase by 180°).分母:$|S'_{22}|^2 - |\Delta'|^2 = 0.270 - 5.518 = -5.248$(負号は位相を 180° 反転させる)。
$$C_T = \frac{5.638\,\angle{-147°}}{-5.248} = 1.074\,\angle{(-147+180)°} = 1.074\,\angle{33°}$$
半徑:$R_T = \dfrac{|S'_{12}S'_{21}|}{\big|\,|S'_{22}|^2-|\Delta'|^2\,\big|} = \dfrac{3.47}{5.248} = 0.661$。Radius: $R_T = \dfrac{|S'_{12}S'_{21}|}{\big|\,|S'_{22}|^2-|\Delta'|^2\,\big|} = \dfrac{3.47}{5.248} = 0.661$.半径:$R_T = \dfrac{|S'_{12}S'_{21}|}{\big|\,|S'_{22}|^2-|\Delta'|^2\,\big|} = \dfrac{3.47}{5.248} = 0.661$。
判斷哪一側是不穩定區:$|S'_{11}| > 1$ 表示 $\Gamma_T = 0$(chart 中心)時 $|\Gamma_\text{in}| > 1$ → Deciding which side is the unstable region: $|S'_{11}| > 1$ means that at $\Gamma_T = 0$ (the chart centre) $|\Gamma_\text{in}| > 1$ → どちら側が不安定領域かの判定:$|S'_{11}| > 1$ は $\Gamma_T = 0$(チャート中心)で $|\Gamma_\text{in}| > 1$ であることを意味する → 中心已在不穩定側the centre is already on the unstable side中心がすでに不安定側にある;選 $\Gamma_T$ 時留在圓外靠近中心仍不穩定,且讓 $|\Gamma_\text{in}|$ 越大越好。; so when choosing $\Gamma_T$, staying outside the circle near the centre keeps it unstable, and the larger $|\Gamma_\text{in}|$ the better.;したがって $\Gamma_T$ は円の外で中心寄りに取れば不安定のままであり、$|\Gamma_\text{in}|$ は大きいほどよい。
(c) 由 $\Gamma_T$ 求 $\Gamma_\text{in}$、$\Gamma_L$、$Z_L$:(c) From $\Gamma_T$ find $\Gamma_\text{in}$, $\Gamma_L$ and $Z_L$:(c) $\Gamma_T$ から $\Gamma_\text{in}$、$\Gamma_L$、$Z_L$ を求める:選 $\Gamma_T = 0.59\,\angle{-104°} = -0.143 - j0.572$(感性區、給出大 $|\Gamma_\text{in}|$)。 Choose $\Gamma_T = 0.59\,\angle{-104°} = -0.143 - j0.572$ (in the inductive region, giving a large $|\Gamma_\text{in}|$). $\Gamma_T = 0.59\,\angle{-104°} = -0.143 - j0.572$ を選ぶ(誘導性の領域で、大きな $|\Gamma_\text{in}|$ が得られる)。
$$\Gamma_\text{in} = S'_{11} + \frac{S'_{12}S'_{21}\Gamma_T}{1-S'_{22}\Gamma_T}$$
分母:$S'_{22}\Gamma_T = 0.52\times 0.59\,\angle{(155-104)°} = 0.307\,\angle{51°} = 0.193 + j0.239$;Denominator: $S'_{22}\Gamma_T = 0.52\times 0.59\,\angle{(155-104)°} = 0.307\,\angle{51°} = 0.193 + j0.239$;分母:$S'_{22}\Gamma_T = 0.52\times 0.59\,\angle{(155-104)°} = 0.307\,\angle{51°} = 0.193 + j0.239$;
$1 - S'_{22}\Gamma_T = 0.807 - j0.239 = 0.842\,\angle{-16.5°}$。$1 - S'_{22}\Gamma_T = 0.807 - j0.239 = 0.842\,\angle{-16.5°}$.$1 - S'_{22}\Gamma_T = 0.807 - j0.239 = 0.842\,\angle{-16.5°}$。
分子第二項:$S'_{12}S'_{21}\Gamma_T = 3.47\times 0.59\,\angle{(114-104)°} = 2.047\,\angle{10°}$。The second term of the numerator: $S'_{12}S'_{21}\Gamma_T = 3.47\times 0.59\,\angle{(114-104)°} = 2.047\,\angle{10°}$.分子の第二項:$S'_{12}S'_{21}\Gamma_T = 3.47\times 0.59\,\angle{(114-104)°} = 2.047\,\angle{10°}$。
相除:$\dfrac{2.047\,\angle{10°}}{0.842\,\angle{-16.5°}} = 2.431\,\angle{26.5°} = 2.175 + j1.085$。Dividing: $\dfrac{2.047\,\angle{10°}}{0.842\,\angle{-16.5°}} = 2.431\,\angle{26.5°} = 2.175 + j1.085$.割り算:$\dfrac{2.047\,\angle{10°}}{0.842\,\angle{-16.5°}} = 2.431\,\angle{26.5°} = 2.175 + j1.085$。
加上 $S'_{11} = 2.18\,\angle{-35°} = 1.786 - j1.250$:Adding $S'_{11} = 2.18\,\angle{-35°} = 1.786 - j1.250$:$S'_{11} = 2.18\,\angle{-35°} = 1.786 - j1.250$ を加えると:
$$\Gamma_\text{in} = (1.786+2.175) + j(-1.250+1.085) = 3.961 - j0.165 = \mathbf{3.96\,\angle{-2.4°}}\ \text{(matches Pozar/slides)}$$
振盪條件 $\Gamma_L\Gamma_\text{in} = 1$:大小取倒數、相位變號:The oscillation condition $\Gamma_L\Gamma_\text{in} = 1$: take the reciprocal of the magnitude and negate the phase:発振条件 $\Gamma_L\Gamma_\text{in} = 1$:大きさは逆数、位相は符号反転:
$$\Gamma_L = \frac{1}{\Gamma_\text{in}} = \frac{1}{3.96}\,\angle{+2.4°} = \mathbf{0.25\,\angle{+2.4°}}$$
換成阻抗:$Z_L = 50\dfrac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L} = \mathbf{84 + j1.9\,\Omega}$ — passive($R_L > 0$),負載本來就必須如此;等價地 $Z_\text{in} = -84 - j1.9\,\Omega$、$Z_L = -Z_\text{in}$。Converting to impedance: $Z_L = 50\dfrac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L} = \mathbf{84 + j1.9\,\Omega}$ — passive ($R_L > 0$), as a load must be; equivalently $Z_\text{in} = -84 - j1.9\,\Omega$ and $Z_L = -Z_\text{in}$.インピーダンスに直すと:$Z_L = 50\dfrac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L} = \mathbf{84 + j1.9\,\Omega}$ — 受動($R_L > 0$)であり、負荷は本来そうでなければならない;等価的に $Z_\text{in} = -84 - j1.9\,\Omega$、$Z_L = -Z_\text{in}$ である。
Start-up(empirical rule):上面的 $84\,\Omega$ 是「恰好平衡」— 大訊號下 $|R_\text{in}|$ 會縮,若一開始就取 84 Ω 可能起不來。經驗法則取 $R_L = |R_\text{in}|/3$、$X_L$ 不變: The $84\,\Omega$ above is the “exactly balanced” value — under large signal $|R_\text{in}|$ shrinks, so taking 84 Ω from the outset might never start. The rule of thumb is to take $R_L = |R_\text{in}|/3$ leaving $X_L$ unchanged: 上の $84\,\Omega$ は「ちょうど釣り合う」値である — 大信号では $|R_\text{in}|$ が縮むので、最初から 84 Ω にすると起振しないおそれがある。経験則としては $X_L$ はそのままに $R_L = |R_\text{in}|/3$ とする:
$$Z_L \approx \frac{84}{3} + j1.9 = \mathbf{28 + j1.9\,\Omega}$$
小訊號淨電阻 $= -84 + 28 = -56\,\Omega < 0$ → 振幅指數成長,直到 $|R_\text{in}(A)|$ 掉到 28 Ω 為止。The small-signal net resistance is $= -84 + 28 = -56\,\Omega < 0$ → the amplitude grows exponentially until $|R_\text{in}(A)|$ falls to 28 Ω.小信号での正味抵抗は $= -84 + 28 = -56\,\Omega < 0$ → 振幅は $|R_\text{in}(A)|$ が 28 Ω まで下がるまで指数的に成長する。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 三個步驟各對應一個物理動作:gate inductor 把元件「推出」穩定區(製造負電阻);$\Gamma_T$ 的選擇決定負電阻多深($|\Gamma_\text{in}| = 3.96$ 相當深,設計穩健);$/3$ 規則用犧牲一點輸出功率換取跨溫度/偏壓的可靠起振。實際振盪頻率會比 4 GHz 略偏(大訊號下 $X_\text{in}$ 也會動),由 Kurokawa 條件(5.1.6)決定穩態點。 Each of the three steps corresponds to a physical action: the gate inductor “pushes” the device out of the stable region (creating negative resistance); the choice of $\Gamma_T$ sets how deep that negative resistance is ($|\Gamma_\text{in}| = 3.96$ is very deep, making the design robust); and the $/3$ rule trades a little output power for reliable start-up across temperature and bias. The actual oscillation frequency will differ slightly from 4 GHz (since $X_\text{in}$ also moves under large signal), with the steady-state point set by the Kurokawa condition (5.1.6). 三つの手順はそれぞれ一つの物理的操作に対応する:ゲートインダクタが素子を安定領域の外へ「押し出す」(負性抵抗を作る);$\Gamma_T$ の選択が負性抵抗の深さを決める($|\Gamma_\text{in}| = 3.96$ はかなり深く、設計は堅牢である);$/3$ の規則は出力電力を少し犠牲にして温度/バイアス変動下でも確実に起振させる。実際の発振周波数は 4 GHz から少しずれる(大信号では $X_\text{in}$ も動くため)。定常点は Kurokawa 条件(5.1.6)で決まる。
Four-region noise spectrum, Q dependence, flicker corner, design trade-offs.
A measured oscillator phase-noise plot shows these slopes vs offset frequency:
| Region (offset) | Slope |
|---|---|
| 1 Hz – 100 Hz | −30 dB/decade |
| 100 Hz – 100 kHz | −20 dB/decade |
| 100 kHz – 10 MHz | 0 dB/decade (floor) |
(a) Identify the dominant noise mechanism in each region.
(b) Estimate the flicker corner and the half-loop bandwidth $\omega_0/2Q$.
已知/目標:Given / required:与件/目標: 量測到三段斜率:−30 dB/dec(1 Hz–100 Hz)、−20 dB/dec(100 Hz–100 kHz)、0 dB/dec(100 kHz 以上)。要對應 Leeson model(5.1.9)的雜訊機制並讀出兩個轉折頻率。 three slopes are measured: −30 dB/dec (1 Hz–100 Hz), −20 dB/dec (100 Hz–100 kHz) and 0 dB/dec (above 100 kHz). Match them to the noise mechanisms of the Leeson model (5.1.9) and read off the two corner frequencies. 三つの傾きが測定された:−30 dB/dec(1 Hz〜100 Hz)、−20 dB/dec(100 Hz〜100 kHz)、0 dB/dec(100 kHz 以上)。これらを Leeson モデル(5.1.9)の雑音機構に対応づけ、二つの折れ点周波数を読み取る。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(Leeson model 5.1.9,完整形式):(the Leeson model 5.1.9, full form):(Leeson モデル 5.1.9、完全形):
$$\mathcal{L}(f_m) = \frac{FkT_0}{2P_0}\left(1+\frac{f_c}{f_m}\right)\left[1+\left(\frac{f_0}{2Q_L f_m}\right)^2\right]$$
兩個括號相乘展開出四段斜率:$f^{-3}$(flicker × resonator)、$f^{-2}$(thermal × resonator)、$f^{-1}$(flicker 直通,常被遮住)、$f^0$(thermal floor)。Multiplying out the two brackets produces four slope regions: $f^{-3}$ (flicker × resonator), $f^{-2}$ (thermal × resonator), $f^{-1}$ (flicker passed straight through, often masked) and $f^0$ (the thermal floor).二つの括弧を展開すると四つの傾き領域が現れる:$f^{-3}$(フリッカ × 共振器)、$f^{-2}$(熱雑音 × 共振器)、$f^{-1}$(フリッカが素通り。多くの場合埋もれる)、$f^0$(熱雑音フロア)。
(a) 機制對應:(a) Matching the mechanisms:(a) 機構の対応づけ:
(b) 轉折點讀取:(b) Reading off the corners:(b) 折れ点の読み取り:
$f^{-3}\to f^{-2}$ 的交界 = flicker corner:The $f^{-3}\to f^{-2}$ boundary = the flicker corner: $f^{-3}\to f^{-2}$ の境界 = フリッカコーナー:$f_c \approx 100\,\text{Hz}$(即 $f_c/f_m = 1$ 之處)。(i.e. where $f_c/f_m = 1$).(すなわち $f_c/f_m = 1$ となる点)。
$f^{-2}\to f^{0}$ 的交界 = resonator 半頻寬(half bandwidth):The $f^{-2}\to f^{0}$ boundary = the resonator half-bandwidth: $f^{-2}\to f^{0}$ の境界 = 共振器の半帯域幅:$\dfrac{f_0}{2Q_L} \approx 100\,\text{kHz}$(即 $f_0/(2Q_Lf_m)=1$ 之處)。(i.e. where $f_0/(2Q_Lf_m)=1$).(すなわち $f_0/(2Q_Lf_m)=1$ となる点)。
反推 Q(假設 $f_0 = 1\,\text{GHz}$):$Q_L = \dfrac{f_0}{2\times 100\,\text{kHz}} = \dfrac{10^9}{2\times 10^5} = 5000$。Working Q backwards (assuming $f_0 = 1\,\text{GHz}$): $Q_L = \dfrac{f_0}{2\times 100\,\text{kHz}} = \dfrac{10^9}{2\times 10^5} = 5000$.Q を逆算する($f_0 = 1\,\text{GHz}$ と仮定):$Q_L = \dfrac{f_0}{2\times 100\,\text{kHz}} = \dfrac{10^9}{2\times 10^5} = 5000$。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 由 phase-noise 量測圖可以「免拆機」診斷振盪器:flicker corner 反映電晶體製程(BJT 約 1–10 kHz、CMOS 可到 MHz),半頻寬轉折直接給出 loaded Q。flicker corner 低到 100 Hz 且 Q = 5000,符合 crystal oscillator 的特徵。 A phase-noise plot lets you diagnose an oscillator without opening it up: the flicker corner reflects the transistor process (about 1–10 kHz for a BJT, up to MHz for CMOS), and the half-bandwidth corner gives the loaded Q directly. A flicker corner as low as 100 Hz together with Q = 5000 is the signature of a crystal oscillator. 位相雑音の測定図があれば発振器を「分解せずに」診断できる:フリッカコーナーはトランジスタのプロセスを反映し(BJT で約 1〜10 kHz、CMOS では MHz に達する)、半帯域の折れ点は負荷 Q を直接与える。フリッカコーナーが 100 Hz と低く、かつ Q = 5000 というのは水晶発振器の特徴である。
An LC oscillator at $f_0 = 2.4\,\text{GHz}$ has loaded $Q = 12$, $F = 6\,\text{dB}$, output power $P_0 = 0\,\text{dBm}$.
(a) Estimate the phase-noise floor in the $1/f^2$ region at 600 kHz offset.
(b) What loaded $Q$ would be needed to drop the noise to −110 dBc/Hz at 600 kHz?
已知/目標:Given / required:与件/目標: $f_0 = 2.4\,\text{GHz}$,$Q = 12$,$F = 6\,\text{dB}$,$P_0 = 0\,\text{dBm}$,offset $f_m = 600\,\text{kHz}$。求 (a) $1/f^2$ 區的 $\mathcal{L}$;(b) 達到 −110 dBc/Hz 所需的 Q。 $f_0 = 2.4\,\text{GHz}$, $Q = 12$, $F = 6\,\text{dB}$, $P_0 = 0\,\text{dBm}$ and an offset $f_m = 600\,\text{kHz}$. Find (a) $\mathcal{L}$ in the $1/f^2$ region; (b) the Q needed to reach −110 dBc/Hz. $f_0 = 2.4\,\text{GHz}$、$Q = 12$、$F = 6\,\text{dB}$、$P_0 = 0\,\text{dBm}$、オフセット $f_m = 600\,\text{kHz}$。(a) $1/f^2$ 領域の $\mathcal{L}$、(b) −110 dBc/Hz を達成するのに必要な Q を求める。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(Leeson model 5.1.9,$1/f^2$ 區):(the Leeson model 5.1.9, $1/f^2$ region):(Leeson モデル 5.1.9、$1/f^2$ 領域):
$$\mathcal{L}(f_m) \approx \frac{kT_0 F}{2P_0}\left(\frac{f_0}{2Q f_m}\right)^2$$
(a) 逐步代入(a) Substituting step by step(a) 順に代入する(先把 dB 轉 linear):(converting dB to linear first):(まず dB を線形に直す):
噪聲底項:$\dfrac{kT_0F}{2P_0} = \dfrac{4\times 10^{-21}\times 4}{2\times 10^{-3}} = 8\times 10^{-18}\,/\text{Hz}$(即 $10\log = -171\,\text{dBc/Hz}$)。The noise-floor term: $\dfrac{kT_0F}{2P_0} = \dfrac{4\times 10^{-21}\times 4}{2\times 10^{-3}} = 8\times 10^{-18}\,/\text{Hz}$ (i.e. $10\log = -171\,\text{dBc/Hz}$).雑音フロア項:$\dfrac{kT_0F}{2P_0} = \dfrac{4\times 10^{-21}\times 4}{2\times 10^{-3}} = 8\times 10^{-18}\,/\text{Hz}$(すなわち $10\log = -171\,\text{dBc/Hz}$)。
共振放大項:$\dfrac{f_0}{2Qf_m} = \dfrac{2.4\times 10^9}{2\times 12\times 6\times 10^5} = \dfrac{2.4\times 10^9}{1.44\times 10^7} = 167$;$20\log(167) = +44.4\,\text{dB}$。The resonant amplification term: $\dfrac{f_0}{2Qf_m} = \dfrac{2.4\times 10^9}{2\times 12\times 6\times 10^5} = \dfrac{2.4\times 10^9}{1.44\times 10^7} = 167$; and $20\log(167) = +44.4\,\text{dB}$.共振増幅項:$\dfrac{f_0}{2Qf_m} = \dfrac{2.4\times 10^9}{2\times 12\times 6\times 10^5} = \dfrac{2.4\times 10^9}{1.44\times 10^7} = 167$;$20\log(167) = +44.4\,\text{dB}$。
$\mathcal{L} = 8\times 10^{-18}\times 167^2 = 8\times 10^{-18}\times 2.78\times 10^4 = 2.22\times 10^{-13}\,/\text{Hz}$。$\mathcal{L} = 8\times 10^{-18}\times 167^2 = 8\times 10^{-18}\times 2.78\times 10^4 = 2.22\times 10^{-13}\,/\text{Hz}$.$\mathcal{L} = 8\times 10^{-18}\times 167^2 = 8\times 10^{-18}\times 2.78\times 10^4 = 2.22\times 10^{-13}\,/\text{Hz}$。
轉 dB:$10\log(2.22\times 10^{-13}) = 10\times(0.346 - 13) = -126.5$;dB 法驗算:$-171 + 44.4 = -126.6$ ✓。In dB: $10\log(2.22\times 10^{-13}) = 10\times(0.346 - 13) = -126.5$; checking in dB: $-171 + 44.4 = -126.6$ ✓.dB に直すと:$10\log(2.22\times 10^{-13}) = 10\times(0.346 - 13) = -126.5$;dB でも検算すると $-171 + 44.4 = -126.6$ ✓。
(b) 目標 $\mathcal{L}_\text{new} = -110\,\text{dBc/Hz} = 10^{-11}\,/\text{Hz}$。在 $1/f^2$ 區 $\mathcal{L} \propto 1/Q^2$,固定其他參數: The target is $\mathcal{L}_\text{new} = -110\,\text{dBc/Hz} = 10^{-11}\,/\text{Hz}$. In the $1/f^2$ region $\mathcal{L} \propto 1/Q^2$, with the other parameters fixed: 目標は $\mathcal{L}_\text{new} = -110\,\text{dBc/Hz} = 10^{-11}\,/\text{Hz}$。$1/f^2$ 領域では $\mathcal{L} \propto 1/Q^2$ であり、他のパラメータを固定すると:
$$Q_\text{new} = Q_\text{old}\sqrt{\frac{\mathcal{L}_\text{old}}{\mathcal{L}_\text{new}}} = 12\sqrt{\frac{2.22\times 10^{-13}}{10^{-11}}} = 12\sqrt{0.0222} = 12\times 0.149 = \mathbf{1.8}$$
因為修正後 (a) 的結果 −126.5 dBc/Hz Because the corrected result of (a), −126.5 dBc/Hz, 修正後の (a) の結果 −126.5 dBc/Hz は已經比 −110 好 16.5 dBis already 16.5 dB better than −110すでに −110 より 16.5 dB 良い,所以「達到 −110」只需要 $Q \geq 1.8$ — 現有 $Q = 12$ 帶有 $20\log(12/1.8) = 16.5\,\text{dB}$ 的餘裕。〔原答案以錯誤的 −96.5 出發,得到「需 Q ≈ 56」;以正確數值,該結論不成立。〕, “reaching −110” requires only $Q \geq 1.8$ — and the existing $Q = 12$ carries $20\log(12/1.8) = 16.5\,\text{dB}$ of margin. [The original answer started from the erroneous −96.5 and concluded “Q ≈ 56 required”; with the correct numbers that conclusion does not hold.]ので、「−110 を達成する」だけなら $Q \geq 1.8$ で足りる — 現状の $Q = 12$ は $20\log(12/1.8) = 16.5\,\text{dB}$ の余裕を持つ。〔元の解答は誤った −96.5 から出発して「Q ≈ 56 が必要」と結論しているが、正しい数値ではその結論は成り立たない。〕
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 合理性檢查:商用 2.4 GHz LC-VCO 實測約 −120 ~ −125 dBc/Hz @ 1 MHz,換算到 600 kHz(+4.4 dB)約 −116 ~ −121 — 比純熱雜訊 Leeson 預測(−126.5)差幾 dB,因為 $F$ 在大訊號振盪下是經驗參數、實際比小訊號 NF 高。Leeson 給的是樂觀下限;設計時通常再留 5–10 dB 餘裕。 A sanity check: a commercial 2.4 GHz LC-VCO measures about −120 to −125 dBc/Hz @ 1 MHz, which scaled to 600 kHz (+4.4 dB) is about −116 to −121 — a few dB worse than the pure-thermal Leeson prediction (−126.5), because under large-signal oscillation $F$ is an empirical parameter and is in practice higher than the small-signal NF. Leeson gives an optimistic lower bound; a design usually leaves a further 5–10 dB of margin. 妥当性の確認:市販の 2.4 GHz LC-VCO の実測はおよそ −120 〜 −125 dBc/Hz @ 1 MHz であり、600 kHz に換算する(+4.4 dB)と約 −116 〜 −121 になる — 純粋な熱雑音による Leeson の予測(−126.5)より数 dB 悪いのは、大信号発振下では $F$ が経験的パラメータであり、実際には小信号 NF より高くなるためである。Leeson が与えるのは楽観的な下限なので、設計ではさらに 5〜10 dB の余裕を見るのが普通である。
(a) Compute the minimum unloaded Q required (assume $F = 10\,\text{dB}$ for the amplifier and that loaded Q ≈ unloaded Q/2 due to coupling).
(b) Suggest a resonator technology that achieves this Q (LC, ceramic, dielectric resonator, sapphire whispering-gallery, …).
已知/目標:Given / required:与件/目標: $f_0 = 10\,\text{GHz}$,$P_0 = +10\,\text{dBm}$,$F = 10\,\text{dB}$,規格 $\mathcal{L}(10\,\text{kHz}) \leq -110\,\text{dBc/Hz}$($1/f^2$ 區),loaded $Q \approx$ unloaded $Q/2$。求最小 unloaded Q 與 resonator 技術。 $f_0 = 10\,\text{GHz}$, $P_0 = +10\,\text{dBm}$, $F = 10\,\text{dB}$, a specification of $\mathcal{L}(10\,\text{kHz}) \leq -110\,\text{dBc/Hz}$ (in the $1/f^2$ region), and loaded $Q \approx$ unloaded $Q/2$. Find the minimum unloaded Q and a suitable resonator technology. $f_0 = 10\,\text{GHz}$、$P_0 = +10\,\text{dBm}$、$F = 10\,\text{dB}$、仕様 $\mathcal{L}(10\,\text{kHz}) \leq -110\,\text{dBc/Hz}$($1/f^2$ 領域)、負荷 $Q \approx$ 無負荷 $Q/2$。必要な最小の無負荷 Q と共振器技術を求める。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(Leeson model 5.1.9,反解 Q):(the Leeson model 5.1.9, solved for Q):(Leeson モデル 5.1.9 を Q について解く):
$$\mathcal{L}(f_m) = \frac{kT_0F}{2P_0}\left(\frac{f_0}{2Q_Lf_m}\right)^2 \;\Rightarrow\; Q_L \geq \frac{f_0}{2f_m}\sqrt{\frac{kT_0F}{2P_0\,\mathcal{L}}}$$
(a) 逐步代入(a) Substituting step by step(a) 順に代入する(dB → linear):
噪聲底項:$\dfrac{kT_0F}{2P_0} = \dfrac{4\times 10^{-21}\times 10}{2\times 10^{-2}} = 2\times 10^{-18}\,/\text{Hz}$(= −177 dBc/Hz)。The noise-floor term: $\dfrac{kT_0F}{2P_0} = \dfrac{4\times 10^{-21}\times 10}{2\times 10^{-2}} = 2\times 10^{-18}\,/\text{Hz}$ (= −177 dBc/Hz).雑音フロア項:$\dfrac{kT_0F}{2P_0} = \dfrac{4\times 10^{-21}\times 10}{2\times 10^{-2}} = 2\times 10^{-18}\,/\text{Hz}$(= −177 dBc/Hz)。
允許的共振放大:$\left(\dfrac{f_0}{2Q_Lf_m}\right)^2 \leq \dfrac{10^{-11}}{2\times 10^{-18}} = 5\times 10^6$,開根號 → $\dfrac{f_0}{2Q_Lf_m} \leq 2236$。The permissible resonant amplification: $\left(\dfrac{f_0}{2Q_Lf_m}\right)^2 \leq \dfrac{10^{-11}}{2\times 10^{-18}} = 5\times 10^6$, and taking the square root → $\dfrac{f_0}{2Q_Lf_m} \leq 2236$.許容される共振増幅:$\left(\dfrac{f_0}{2Q_Lf_m}\right)^2 \leq \dfrac{10^{-11}}{2\times 10^{-18}} = 5\times 10^6$、平方根をとると → $\dfrac{f_0}{2Q_Lf_m} \leq 2236$。
$$Q_L \geq \frac{f_0}{2\times 2236\times f_m} = \frac{10^{10}}{2\times 2236\times 10^4} = \frac{10^{10}}{4.47\times 10^7} = 224$$
耦合修正(loaded ≈ unloaded/2,因為一半能量被外部負載拉走):Coupling correction (loaded ≈ unloaded/2, since half the energy is drawn off by the external load):結合による補正(負荷 ≈ 無負荷/2。エネルギーの半分が外部負荷に取り出されるため):
$$Q_\text{unloaded} \geq 2\times 224 = \mathbf{448}$$
(b) Resonator 技術盤點(b) A survey of resonator technologies(b) 共振器技術の一覧(10 GHz、Q ≥ 450):(10 GHz, Q ≥ 450):(10 GHz、Q ≥ 450):
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 10 kHz 是「close-in」offset,$\left(f_0/2Qf_m\right)$ 這項在 $f_0/f_m = 10^6$ 時極大,所以 Q 需求比 P1.3(100 kHz offset、低 $f_0$)高了兩個數量級以上。同時注意 $P_0$ 已開到 +10 dBm 幫忙壓底:close-in 規格幾乎總是由 Q 主導,功率只能線性換 dB,Q 是平方換 dB。 10 kHz is a “close-in” offset, and the term $\left(f_0/2Qf_m\right)$ is enormous when $f_0/f_m = 10^6$, so the Q requirement is more than two orders of magnitude above that of P1.3 (a 100 kHz offset at a lower $f_0$). Note also that $P_0$ has already been pushed to +10 dBm to help hold the floor down: close-in specifications are almost always dominated by Q, since power buys dB only linearly whereas Q buys them quadratically. 10 kHz は「クローズイン」のオフセットであり、$f_0/f_m = 10^6$ のとき $\left(f_0/2Qf_m\right)$ の項が極めて大きくなるので、Q への要求は P1.3(100 kHz オフセット、より低い $f_0$)より二桁以上高くなる。同時に、フロアを下げるために $P_0$ をすでに +10 dBm まで上げている点にも注意:クローズインの仕様はほぼ常に Q が支配する。電力は dB を線形にしか買えないが、Q は二乗で買えるからである。
Translation of LO phase noise into IF noise; specifying LO from RX selectivity targets.
A receiver needs $S = 15\,\text{dB}$ SIR for a desired signal $C = -90\,\text{dBm}$ with a blocker $I = -30\,\text{dBm}$ at $\Delta f = 200\,\text{kHz}$ offset. IF bandwidth $B = 30\,\text{kHz}$.
Find the required LO phase noise.
已知/目標:Given / required:与件/目標: 期望訊號 $C = -90\,\text{dBm}$,blocker $I = -30\,\text{dBm}$ @ $\Delta f = 200\,\text{kHz}$,需要 SIR $S = 15\,\text{dB}$,IF 頻寬 $B = 30\,\text{kHz}$。求 LO 在 200 kHz offset 的 phase-noise 上限。 a desired signal $C = -90\,\text{dBm}$, a blocker $I = -30\,\text{dBm}$ @ $\Delta f = 200\,\text{kHz}$, a required SIR of $S = 15\,\text{dB}$ and an IF bandwidth $B = 30\,\text{kHz}$. Find the upper limit on the LO phase noise at 200 kHz offset. 希望信号 $C = -90\,\text{dBm}$、ブロッカ $I = -30\,\text{dBm}$ @ $\Delta f = 200\,\text{kHz}$、必要な SIR は $S = 15\,\text{dB}$、IF 帯域幅 $B = 30\,\text{kHz}$。200 kHz オフセットにおける LO 位相雑音の上限を求める。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(reciprocal mixing,5.1.10):LO 的 phase-noise skirt 把 blocker 下混成落在 IF 頻寬內的雜訊,其功率 $= I + \mathcal{L}(\Delta f) + 10\log B$(dB 相加)。要求此雜訊比期望訊號低 $S$:(reciprocal mixing, 5.1.10): the LO's phase-noise skirt downconverts the blocker into noise falling within the IF bandwidth, of power $= I + \mathcal{L}(\Delta f) + 10\log B$ (adding in dB). That noise must be $S$ below the desired signal:(相互混変調、5.1.10):LO の位相雑音スカートがブロッカを IF 帯域内に落ちる雑音へダウンコンバートし、その電力は $= I + \mathcal{L}(\Delta f) + 10\log B$(dB の加算)である。この雑音が希望信号より $S$ だけ低くなければならない:
$$I + \mathcal{L}(\Delta f) + 10\log B \leq C - S \;\Rightarrow\; \mathcal{L}(\Delta f) \leq C - S - I - 10\log B$$
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると:先算頻寬項:$10\log(30{,}000) = 10\log(3\times 10^4) = 10(0.477+4) = 44.77\,\text{dB}$。 First the bandwidth term: $10\log(30{,}000) = 10\log(3\times 10^4) = 10(0.477+4) = 44.77\,\text{dB}$. まず帯域幅項:$10\log(30{,}000) = 10\log(3\times 10^4) = 10(0.477+4) = 44.77\,\text{dB}$。
$$\mathcal{L} \leq -90 - 15 - (-30) - 44.77 = -90 - 15 + 30 - 44.77 = \mathbf{-119.8\,\text{dBc/Hz}}\ @\ 200\,\text{kHz}$$
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 每一項的方向都可以 sanity check:blocker 越強($I\uparrow$)、要求的 SIR 越高($S\uparrow$)、頻寬越寬($B\uparrow$,收進更多 skirt 雜訊)→ phase-noise 上限越嚴;期望訊號越強($C\uparrow$)→ 越寬鬆。−120 dBc/Hz @ 200 kHz 對 free-running LC-VCO 偏緊,通常靠 PLL + 高 Q tank 達成。 The direction of every term can be sanity-checked: the stronger the blocker ($I\uparrow$), the higher the SIR required ($S\uparrow$), and the wider the bandwidth ($B\uparrow$, collecting more skirt noise) → the tighter the phase-noise limit; the stronger the desired signal ($C\uparrow$) → the more relaxed. −120 dBc/Hz @ 200 kHz is rather tight for a free-running LC-VCO and is usually achieved with a PLL plus a high-Q tank. 各項の向きはいずれも妥当性を確認できる:ブロッカが強いほど($I\uparrow$)、要求 SIR が高いほど($S\uparrow$)、帯域が広いほど($B\uparrow$、スカート雑音をより多く拾う)→ 位相雑音の上限は厳しくなる;希望信号が強いほど($C\uparrow$)緩くなる。−120 dBc/Hz @ 200 kHz はフリーランニング LC-VCO にはやや厳しく、通常は PLL と高 Q タンクで達成する。
GSM requires 9 dB rejection of interferers at: $-23\,\text{dBm}@3\,\text{MHz}$, $-33\,\text{dBm}@1.6\,\text{MHz}$, $-43\,\text{dBm}@0.6\,\text{MHz}$, with carrier $C = -99\,\text{dBm}$ and $B = 200\,\text{kHz}$.
Compute the required phase noise at each offset and identify which is the most demanding spec.
已知/目標:Given / required:与件/目標: GSM blocking template:carrier $C = -99\,\text{dBm}$、$B = 200\,\text{kHz}$、各 offset 的 blocker 功率如題、rejection $S = 9\,\text{dB}$。求每個 offset 的 $\mathcal{L}$ 規格並找出最嚴的一條。 the GSM blocking template: carrier $C = -99\,\text{dBm}$, $B = 200\,\text{kHz}$, blocker powers at each offset as given, and a rejection of $S = 9\,\text{dB}$. Find the $\mathcal{L}$ specification at each offset and identify the most demanding one. GSM のブロッキング要件:搬送波 $C = -99\,\text{dBm}$、$B = 200\,\text{kHz}$、各オフセットのブロッカ電力は表のとおり、除去比 $S = 9\,\text{dB}$。各オフセットにおける $\mathcal{L}$ の仕様を求め、最も厳しいものを特定する。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(reciprocal mixing,5.1.10):
$$\mathcal{L}(\Delta f) \leq C - S - I - 10\log B$$
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると:頻寬項 $10\log(200{,}000) = 10\log(2\times 10^5) = 10(0.301+5) = 53.0\,\text{dB}$。三個 offset 共用 $C$、$S$、$B$,先合併常數: The bandwidth term $10\log(200{,}000) = 10\log(2\times 10^5) = 10(0.301+5) = 53.0\,\text{dB}$. The three offsets share $C$, $S$ and $B$, so combine the constants first: 帯域幅項は $10\log(200{,}000) = 10\log(2\times 10^5) = 10(0.301+5) = 53.0\,\text{dB}$。三つのオフセットは $C$、$S$、$B$ を共有するので、まず定数をまとめる:
$$\mathcal{L} = -99 - 9 - I - 53 = -161 - I \quad(I\ \text{以 dBm 代入})$$$$\mathcal{L} = -99 - 9 - I - 53 = -161 - I \quad(I\ \text{substituted in dBm})$$$$\mathcal{L} = -99 - 9 - I - 53 = -161 - I \quad(I\ \text{は dBm で代入})$$
逐列代入:$I = -23 \Rightarrow \mathcal{L} = -161+23 = -138$;$I = -33 \Rightarrow -128$;$I = -43 \Rightarrow -118$:Row by row: $I = -23 \Rightarrow \mathcal{L} = -161+23 = -138$; $I = -33 \Rightarrow -128$; $I = -43 \Rightarrow -118$:行ごとに代入すると:$I = -23 \Rightarrow \mathcal{L} = -161+23 = -138$;$I = -33 \Rightarrow -128$;$I = -43 \Rightarrow -118$:
| Δf | I (dBm) | 𝓛 spec |
|---|---|---|
| 3 MHz | −23 | −138 dBc/Hz |
| 1.6 MHz | −33 | −128 dBc/Hz |
| 0.6 MHz | −43 | −118 dBc/Hz |
哪條最難?Which is the hardest?どれが最も難しいか?數字上 −138(3 MHz)最低,但「難」要對照振盪器天生的 skirt 形狀:Leeson 的 $1/f^2$ 區每十倍頻 offset 下降 20 dB。從 0.6 MHz 到 3 MHz 是 5 倍($20\log 5 = 14\,\text{dB}$),振盪器自然改善 14 dB,而規格只加嚴 20 dB... 比較精確的作法:把三條規格都正規化到同一 offset。以 0.6 MHz 為基準:3 MHz 的 −138 等效於 0.6 MHz 的 $-138 + 14 = -124$;1.6 MHz 的 −128 等效於 $-128 + 20\log(1.6/0.6) = -128+8.5 = -119.5$。比較 {−118, −119.5, −124} → Numerically −138 (at 3 MHz) is the lowest, but “hard” must be judged against the oscillator's natural skirt shape: in Leeson's $1/f^2$ region the noise falls 20 dB per decade of offset. Going from 0.6 MHz to 3 MHz is a factor of 5 ($20\log 5 = 14\,\text{dB}$), so the oscillator naturally improves by 14 dB while the specification tightens by 20 dB… A more precise approach is to normalize all three specifications to the same offset. Taking 0.6 MHz as the reference: the −138 at 3 MHz is equivalent to $-138 + 14 = -124$ at 0.6 MHz; the −128 at 1.6 MHz is equivalent to $-128 + 20\log(1.6/0.6) = -128+8.5 = -119.5$. Comparing {−118, −119.5, −124} → 数値上は −138(3 MHz)が最も低いが、「難しさ」は発振器が本来もつスカートの形と照らして判断しなければならない:Leeson の $1/f^2$ 領域ではオフセットが 10 倍になるごとに 20 dB 下がる。0.6 MHz から 3 MHz は 5 倍($20\log 5 = 14\,\text{dB}$)なので発振器は自然に 14 dB 改善するが、仕様は 20 dB しか厳しくなっていない… より正確には、三つの仕様を同じオフセットに正規化するとよい。0.6 MHz を基準にすると:3 MHz の −138 は 0.6 MHz では $-138 + 14 = -124$ に相当し、1.6 MHz の −128 は $-128 + 20\log(1.6/0.6) = -128+8.5 = -119.5$ に相当する。{−118, −119.5, −124} を比べると → 3 MHz 那條(−138)折算後最嚴the 3 MHz specification (−138) is the tightest once normalized正規化後は 3 MHz の仕様(−138)が最も厳しい,但三條相當接近,0.6 MHz 直讀值 −118 是 close-in 設計的代表值。, though all three are quite close, and the −118 read directly at 0.6 MHz is the representative value for close-in design.。ただし三つはかなり接近しており、0.6 MHz で直読される −118 がクローズイン設計の代表値となる。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: GSM 把 blocker 功率設計成隨 offset 每段抬 10 dB(blocker 越遠可以越強),恰好略快於 $1/f^2$ skirt 的自然下降 — 使設計者無法只顧某一點,必須整段 skirt 達標,這就是 5.1.10 用它當教學例子的原因。 GSM sets the blocker power to rise 10 dB per step of offset (the further away, the stronger it may be), which is just slightly faster than the natural fall of the $1/f^2$ skirt — so a designer cannot attend to a single point but must meet the specification across the whole skirt, which is why 5.1.10 uses it as a teaching example. GSM ではブロッカ電力がオフセットの段ごとに 10 dB 上がるよう定められており(遠いブロッカほど強くてよい)、これは $1/f^2$ スカートの自然な低下よりわずかに速い — 設計者は一点だけを見ていればよいわけではなく、スカート全域で仕様を満たさねばならない。5.1.10 がこれを教材として用いるのはこのためである。
(a) Calculate the required LO phase noise at 22 MHz offset.
(b) Is this achievable with a typical 2.4 GHz LC-VCO ($Q\approx 10$)? Use Leeson with $F=5\,\text{dB}$, $P_0 = -5\,\text{dBm}$.
已知/目標:Given / required:与件/目標: $C = -70\,\text{dBm}$,$S = 21\,\text{dB}$,WiFi blocker $I = +10\,\text{dBm}$ @ $\Delta f = 22\,\text{MHz}$,$B = 1\,\text{MHz}$;VCO 候選:$f_0 = 2.4\,\text{GHz}$、$Q = 10$、$F = 5\,\text{dB}$、$P_0 = -5\,\text{dBm}$。求 (a) phase-noise 需求 (b) 可否達成。 $C = -70\,\text{dBm}$, $S = 21\,\text{dB}$, a WiFi blocker $I = +10\,\text{dBm}$ @ $\Delta f = 22\,\text{MHz}$, $B = 1\,\text{MHz}$; the candidate VCO has $f_0 = 2.4\,\text{GHz}$, $Q = 10$, $F = 5\,\text{dB}$, $P_0 = -5\,\text{dBm}$. Find (a) the phase-noise requirement and (b) whether it can be met. $C = -70\,\text{dBm}$、$S = 21\,\text{dB}$、WiFi ブロッカ $I = +10\,\text{dBm}$ @ $\Delta f = 22\,\text{MHz}$、$B = 1\,\text{MHz}$;VCO 候補は $f_0 = 2.4\,\text{GHz}$、$Q = 10$、$F = 5\,\text{dB}$、$P_0 = -5\,\text{dBm}$。(a) 位相雑音の要求値、(b) それが達成可能かを求める。
(a) Reciprocal mixing(5.1.10):頻寬項 $10\log(10^6) = 60\,\text{dB}$。(5.1.10): the bandwidth term is $10\log(10^6) = 60\,\text{dB}$.(5.1.10):帯域幅項は $10\log(10^6) = 60\,\text{dB}$。
$$\mathcal{L} \leq C - S - I - 10\log B = -70 - 21 - (+10) - 60 = \mathbf{-161\,\text{dBc/Hz}}\ @\ 22\,\text{MHz}$$
注意 $I$ 是Note that $I$ is a $I$ が正的positive正の +10 dBm(隔壁桌的 WiFi),光這項就比 P5.1 的情境嚴 40 dB。 +10 dBm (the WiFi at the next table); that term alone makes this 40 dB harder than the scenario of P5.1. +10 dBm(隣の席の WiFi)である点に注意。この項だけで P5.1 の状況より 40 dB 厳しくなる。
(b) Leeson 檢核(b) Checking against Leeson(b) Leeson による検証(5.1.9,$1/f^2$ 區)。先轉 linear:(5.1.9, $1/f^2$ region). Convert to linear first:(5.1.9、$1/f^2$ 領域)。まず線形に直す:
噪聲底項:$\dfrac{kT_0F}{2P_0} = \dfrac{4\times 10^{-21}\times 3.16}{2\times 3.16\times 10^{-4}} = 2\times 10^{-17}\,/\text{Hz}$(= −167 dBc/Hz)。The noise-floor term: $\dfrac{kT_0F}{2P_0} = \dfrac{4\times 10^{-21}\times 3.16}{2\times 3.16\times 10^{-4}} = 2\times 10^{-17}\,/\text{Hz}$ (= −167 dBc/Hz).雑音フロア項:$\dfrac{kT_0F}{2P_0} = \dfrac{4\times 10^{-21}\times 3.16}{2\times 3.16\times 10^{-4}} = 2\times 10^{-17}\,/\text{Hz}$(= −167 dBc/Hz)。
共振放大項:$\dfrac{f_0}{2Qf_m} = \dfrac{2.4\times 10^9}{2\times 10\times 2.2\times 10^7} = \dfrac{2.4\times 10^9}{4.4\times 10^8} = 5.45$;$20\log(5.45) = +14.7\,\text{dB}$。The resonant amplification term: $\dfrac{f_0}{2Qf_m} = \dfrac{2.4\times 10^9}{2\times 10\times 2.2\times 10^7} = \dfrac{2.4\times 10^9}{4.4\times 10^8} = 5.45$; and $20\log(5.45) = +14.7\,\text{dB}$.共振増幅項:$\dfrac{f_0}{2Qf_m} = \dfrac{2.4\times 10^9}{2\times 10\times 2.2\times 10^7} = \dfrac{2.4\times 10^9}{4.4\times 10^8} = 5.45$;$20\log(5.45) = +14.7\,\text{dB}$。
$$\mathcal{L} = 2\times 10^{-17}\times 5.45^2 = 5.94\times 10^{-16}\,/\text{Hz} \;\Rightarrow\; 10\log = -167 + 14.7 \approx \mathbf{-152\,\text{dBc/Hz}}$$
對照規格:需要 −161,實際 −152 → Against the specification: −161 is required, −152 is achieved → 仕様と照合すると:必要なのは −161、実際は −152 → 差 9 dB,不及格9 dB short, a fail9 dB 不足で不合格。.。
補救選項Remedies対策の選択肢(9 dB ≈ linear ×7.9):
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 22 MHz 已接近 VCO 的 noise floor 區,提高 Q 的回報遞減(skirt 已快貼底);而 blocker 強度是外部給定 — 所以業界的答案幾乎都是「濾掉它」而不是「做出 −161 的 VCO」。far-out 規格靠 filter,close-in 規格靠 Q,是 LO 設計的基本分工。 22 MHz is already close to the VCO's noise-floor region, where raising Q gives diminishing returns (the skirt has nearly bottomed out); and the blocker strength is externally imposed — so the industry answer is almost always “filter it out” rather than “build a −161 VCO”. Far-out specifications are met with filters, close-in specifications with Q: that is the basic division of labour in LO design. 22 MHz はすでに VCO の雑音フロア領域に近く、Q を上げても効果は逓減する(スカートはほぼ底に達している);一方でブロッカの強さは外から与えられる — したがって業界の答えはほぼ常に「−161 の VCO を作る」ではなく「フィルタで落とす」である。遠方離調の仕様はフィルタで、近傍離調の仕様は Q で満たす。これが LO 設計の基本的な役割分担である。
$f_\text{out} = N f_\text{ref}$ for integer-N; step size, settling time, in-band noise scaling; fractional-N principle.
An integer-N PLL uses $f_\text{ref} = 200\,\text{kHz}$ and is tuned across the GSM 900 MHz uplink band (880–915 MHz).
(a) What range of divider values $N$ is needed?
(b) How many discrete channels can it generate?
已知/目標:Given / required:与件/目標: integer-N PLL,$f_\text{ref} = 200\,\text{kHz}$,輸出涵蓋 880–915 MHz。求 divider 範圍與 channel 數。 an integer-N PLL with $f_\text{ref} = 200\,\text{kHz}$ covering an output of 880–915 MHz. Find the divider range and the number of channels. integer-N PLL、$f_\text{ref} = 200\,\text{kHz}$ で出力 880〜915 MHz をカバーする。分周比の範囲とチャネル数を求める。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(integer-N PLL,5.2.2):鎖定時 phase detector 兩輸入同頻,$f_\text{out}/N = f_\text{ref}$,故(the integer-N PLL, 5.2.2): when locked, the two phase-detector inputs are at the same frequency, $f_\text{out}/N = f_\text{ref}$, so(integer-N PLL、5.2.2):ロック時には位相比較器の二入力が同じ周波数になり $f_\text{out}/N = f_\text{ref}$ なので、
$$f_\text{out} = N\,f_\text{ref},\qquad N = \frac{f_\text{out}}{f_\text{ref}}$$
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると:
(a) 下緣:$N = \dfrac{880\times 10^6}{2\times 10^5} = 4400$;上緣:$N = \dfrac{915\times 10^6}{2\times 10^5} = 4575$。兩端都整除 ✓(GSM channel 落在 200 kHz raster 上)。Range: (a) At the lower edge: $N = \dfrac{880\times 10^6}{2\times 10^5} = 4400$; at the upper edge: $N = \dfrac{915\times 10^6}{2\times 10^5} = 4575$. Both divide exactly ✓ (GSM channels lie on a 200 kHz raster). Range: (a) 下端:$N = \dfrac{880\times 10^6}{2\times 10^5} = 4400$;上端:$N = \dfrac{915\times 10^6}{2\times 10^5} = 4575$。両端とも割り切れる ✓(GSM のチャネルは 200 kHz のラスタ上に並ぶ)。範囲は N = 4400..4575。.。
(b) channel 數(含兩端):$4575 - 4400 + 1 = \mathbf{176}$,間距即 $f_\text{ref} = 200\,\text{kHz}$。(對照 GSM-900 規格:ARFCN 0–124 為 P-GSM 125 channels,擴充 E-GSM 共 ~174–176 — 數量級吻合。)(b) The number of channels (inclusive): $4575 - 4400 + 1 = \mathbf{176}$, with a spacing equal to $f_\text{ref} = 200\,\text{kHz}$. (Compare the GSM-900 specification: ARFCN 0–124 are the 125 P-GSM channels, extended E-GSM giving ~174–176 in total — the same order.)(b) チャネル数(両端を含む):$4575 - 4400 + 1 = \mathbf{176}$、間隔は $f_\text{ref} = 200\,\text{kHz}$ そのもの。(GSM-900 の規格と比べると:ARFCN 0〜124 が P-GSM の 125 チャネル、拡張 E-GSM を含めて合計 ~174〜176 — 桁は一致する。)
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 這裡藏著 integer-N 的根本 trade-off:想要細 channel(200 kHz)就得用低 $f_\text{ref}$,於是 (i) loop BW 被限制在約 $f_\text{ref}/10 = 20\,\text{kHz}$ → 切換慢;(ii) $N$ 高達 ~4500 → in-band 雜訊放大 $20\log N = 73\,\text{dB}$(見 P6.2)。這兩個痛點正是 fractional-N(5.2.3)存在的理由。 Hidden here is integer-N's fundamental trade-off: a fine channel raster (200 kHz) forces a low $f_\text{ref}$, whereupon (i) the loop bandwidth is limited to about $f_\text{ref}/10 = 20\,\text{kHz}$ → slow switching; and (ii) $N$ reaches ~4500 → in-band noise amplified by $20\log N = 73\,\text{dB}$ (see P6.2). These two pain points are exactly why fractional-N (5.2.3) exists. ここに integer-N の根本的なトレードオフが潜んでいる:細かいチャネル間隔(200 kHz)を得ようとすれば $f_\text{ref}$ を低くせざるを得ず、その結果 (i) ループ帯域が約 $f_\text{ref}/10 = 20\,\text{kHz}$ に制限される → 切替が遅い;(ii) $N$ が ~4500 に達する → 帯域内雑音が $20\log N = 73\,\text{dB}$ 増幅される(P6.2 参照)。この二つの痛点こそ fractional-N(5.2.3)が存在する理由である。
The reference oscillator has $\mathcal{L}_\text{ref}(1\,\text{kHz}) = -160\,\text{dBc/Hz}$.
(a) What is the in-band PLL output phase noise at $\Delta f = 1\,\text{kHz}$ for $N = 4500$ (GSM example)?
(b) Compare with a fractional-N PLL where $N_\text{frac} = 35$ (using $f_\text{ref} = 26\,\text{MHz}$).
已知/目標:Given / required:与件/目標: reference 的 $\mathcal{L}_\text{ref}(1\,\text{kHz}) = -160\,\text{dBc/Hz}$。求 in-band(loop BW 內)輸出 phase noise:(a) integer-N,$N=4500$;(b) fractional-N,$N_\text{frac}=35$。 the reference has $\mathcal{L}_\text{ref}(1\,\text{kHz}) = -160\,\text{dBc/Hz}$. Find the in-band (within the loop bandwidth) output phase noise for (a) integer-N with $N=4500$ and (b) fractional-N with $N_\text{frac}=35$. 基準源の $\mathcal{L}_\text{ref}(1\,\text{kHz}) = -160\,\text{dBc/Hz}$。帯域内(ループ帯域内)の出力位相雑音を、(a) integer-N、$N=4500$、(b) fractional-N、$N_\text{frac}=35$ について求める。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(PLL in-band noise,5.2.2):loop BW 內 PLL 把輸出鎖成 reference 相位的 $N$ 倍複製品 — 相位被乘 $N$,雜訊(PLL in-band noise, 5.2.2): within the loop bandwidth the PLL locks the output into an $N$-times copy of the reference phase — the phase is multiplied by $N$, so the noise (PLL の帯域内雑音、5.2.2):ループ帯域内では PLL が出力を基準の位相の $N$ 倍の複製にロックする — 位相が $N$ 倍されるので、雑音功率power電力就乘 $N^2$: is multiplied by $N^2$:は $N^2$ 倍になる:
$$\mathcal{L}_\text{out}(f_m) = \mathcal{L}_\text{ref}(f_m) + 20\log N \quad (f_m < f_\text{BW})$$
直觀理由:$\phi_\text{out} = N\,\phi_\text{ref}$(頻率乘 $N$,相位也乘 $N$),功率 $\propto \phi^2$。The intuitive reason: $\phi_\text{out} = N\,\phi_\text{ref}$ (multiply the frequency by $N$ and the phase is multiplied by $N$ too), and power $\propto \phi^2$.直感的な理由:$\phi_\text{out} = N\,\phi_\text{ref}$(周波数を $N$ 倍すれば位相も $N$ 倍)であり、電力は $\propto \phi^2$ だからである。
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると:
(a) $20\log(4500) = 20\times 3.653 = +73.1\,\text{dB}$。(a) $20\log(4500) = 20\times 3.653 = +73.1\,\text{dB}$.(a) $20\log(4500) = 20\times 3.653 = +73.1\,\text{dB}$。
$$\mathcal{L}_\text{out} = -160 + 73 = \mathbf{-87\,\text{dBc/Hz}}\ @\ 1\,\text{kHz}$$
(b) fractional-N 用 $f_\text{ref} = 26\,\text{MHz}$ 直接當 phase-detector 頻率,$N_\text{frac} = 35$(輸出仍約 $35\times 26 = 910\,\text{MHz}$,同一輸出頻率!):(b) Fractional-N uses $f_\text{ref} = 26\,\text{MHz}$ directly as the phase-detector frequency with $N_\text{frac} = 35$ (the output is still about $35\times 26 = 910\,\text{MHz}$ — the same output frequency!):(b) fractional-N では $f_\text{ref} = 26\,\text{MHz}$ をそのまま位相比較器の周波数として使い、$N_\text{frac} = 35$ とする(出力は依然として約 $35\times 26 = 910\,\text{MHz}$、同じ出力周波数である!):
$20\log(35) = 20\times 1.544 = +30.9\,\text{dB}$。$20\log(35) = 20\times 1.544 = +30.9\,\text{dB}$.$20\log(35) = 20\times 1.544 = +30.9\,\text{dB}$。
$$\mathcal{L}_\text{out} = -160 + 31 = \mathbf{-129\,\text{dBc/Hz}}\ @\ 1\,\text{kHz}$$
差距:$-87 - (-129) = 42\,\text{dB} = 20\log(4500/35)$ — 完全來自除數比。The gap: $-87 - (-129) = 42\,\text{dB} = 20\log(4500/35)$ — entirely from the ratio of the divisors.差:$-87 - (-129) = 42\,\text{dB} = 20\log(4500/35)$ — すべて分周比の比から来ている。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 同一顆 reference、同一個輸出頻率,只因 phase-detector 跑在 26 MHz 而不是 200 kHz,close-in 雜訊差了 42 dB。代價是 fractional 除數的量化(ΔΣ)spurs,需要 dithering 與 loop filter 處理(5.2.3、P8.4)— 但這是遠比 42 dB 容易付的代價。 The same reference and the same output frequency, yet simply because the phase detector runs at 26 MHz instead of 200 kHz, the close-in noise differs by 42 dB. The price is the quantization (ΔΣ) spurs of the fractional divisor, which need dithering and loop filtering (5.2.3, P8.4) — but that is a far easier price to pay than 42 dB. 同じ基準源、同じ出力周波数でありながら、位相比較器が 200 kHz ではなく 26 MHz で動くというだけで近傍雑音が 42 dB 違う。代償は小数分周比の量子化(ΔΣ)スプリアスであり、ディザリングとループフィルタで処理する必要がある(5.2.3、P8.4)— しかしそれは 42 dB に比べればはるかに払いやすい代償である。
A fractional-N synthesizer has $f_\text{ref} = 19.2\,\text{MHz}$, integer part $N = 156$, fractional accumulator size $R = 2^{24}$, current fractional value $K = 5\,592\,405$.
(a) Compute $f_\text{out}$.
(b) What is the frequency resolution?
已知/目標:Given / required:与件/目標: $f_\text{ref} = 19.2\,\text{MHz}$,$N = 156$,accumulator $R = 2^{24} = 16{,}777{,}216$,$K = 5{,}592{,}405$。求 $f_\text{out}$ 與頻率解析度。 $f_\text{ref} = 19.2\,\text{MHz}$, $N = 156$, an accumulator of $R = 2^{24} = 16{,}777{,}216$ and $K = 5{,}592{,}405$. Find $f_\text{out}$ and the frequency resolution. $f_\text{ref} = 19.2\,\text{MHz}$、$N = 156$、アキュムレータ $R = 2^{24} = 16{,}777{,}216$、$K = 5{,}592{,}405$。$f_\text{out}$ と周波数分解能を求める。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(fractional-N,5.2.3):accumulator 讓除數在 $N$ 與 $N+1$ 之間以 duty cycle $K/R$ 切換,(fractional-N, 5.2.3): the accumulator switches the divisor between $N$ and $N+1$ with a duty cycle of $K/R$, giving an (fractional-N、5.2.3):アキュムレータは分周比を $N$ と $N+1$ の間でデューティ比 $K/R$ で切り替え、平均average平均除數為 $N + K/R$: divisor of $N + K/R$:分周比を $N + K/R$ とする:
$$f_\text{out} = \left(N + \frac{K}{R}\right) f_\text{ref},\qquad \Delta f_\text{min} = \frac{f_\text{ref}}{R}$$
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると:
(a) 小數部分:$\dfrac{K}{R} = \dfrac{5{,}592{,}405}{16{,}777{,}216} = 0.333333$(刻意取 $\approx 2^{24}/3$,即 1/3)。(a) The fractional part: $\dfrac{K}{R} = \dfrac{5{,}592{,}405}{16{,}777{,}216} = 0.333333$ (deliberately chosen as $\approx 2^{24}/3$, i.e. 1/3).(a) 小数部:$\dfrac{K}{R} = \dfrac{5{,}592{,}405}{16{,}777{,}216} = 0.333333$(意図的に $\approx 2^{24}/3$、すなわち 1/3 に取ってある)。
$$f_\text{out} = (156 + 0.3333)\times 19.2\,\text{MHz} = 156.3333\times 19.2 = \mathbf{3001.6\,MHz} \approx 3\,\text{GHz}$$
(驗算:$156\times 19.2 = 2995.2$,$0.3333\times 19.2 = 6.4$,合計 3001.6 ✓)(Check: $156\times 19.2 = 2995.2$ and $0.3333\times 19.2 = 6.4$, totalling 3001.6 ✓)(検算:$156\times 19.2 = 2995.2$、$0.3333\times 19.2 = 6.4$、合計 3001.6 ✓)
(b) $$\Delta f = \frac{f_\text{ref}}{R} = \frac{19.2\times 10^6}{1.678\times 10^7} = \mathbf{1.14\,Hz}$$
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 這正是 fractional-N 的魔術:integer-N 要 1 Hz 解析度就得 $f_\text{ref} = 1\,\text{Hz}$(完全不可行),fractional-N 用 24-bit accumulator「免費」取得。代價:$N/N{+}1$ 切換產生的 instantaneous phase error 是週期性的 → fractional spurs(尤其 $K/R$ 接近簡單分數如 1/3 時),需 ΔΣ noise-shaping 把它推到高頻讓 loop filter 吸收。 This is precisely the magic of fractional-N: integer-N would need $f_\text{ref} = 1\,\text{Hz}$ for 1 Hz resolution (utterly impractical), whereas fractional-N gets it “for free” with a 24-bit accumulator. The price: the instantaneous phase error created by switching between $N$ and $N{+}1$ is periodic → fractional spurs (especially when $K/R$ is near a simple fraction such as 1/3), requiring ΔΣ noise shaping to push them to high frequencies where the loop filter absorbs them. これこそ fractional-N の魔法である:integer-N で 1 Hz の分解能を得るには $f_\text{ref} = 1\,\text{Hz}$ が必要で(まったく実現不能)、fractional-N は 24 ビットのアキュムレータで「タダで」それを得る。代償は、$N/N{+}1$ の切り替えが生む瞬時位相誤差が周期的であること → 小数スプリアス(特に $K/R$ が 1/3 のような単純な分数に近いとき)。これを高周波側へ押しやってループフィルタに吸収させるため ΔΣ ノイズシェーピングが必要になる。
(a) Compute integer-N range and the fractional accumulator size to achieve 1 kHz resolution.
(b) Verify settling time. Rule of thumb: settling ≈ 5/(loop BW).
(c) Discuss whether integer-N (no fractional) could meet the same resolution with $f_\text{ref} = 38.4\,\text{MHz}$.
已知/目標:Given / required:与件/目標: 輸出 2110–2170 MHz、解析度 1 kHz、settling ≤ 200 µs、$f_\text{ref} = 38.4\,\text{MHz}$、loop BW = 100 kHz。求 (a) N 範圍與 accumulator 大小 (b) settling 驗證 (c) integer-N 可行性。 an output of 2110–2170 MHz, 1 kHz resolution, settling ≤ 200 µs, $f_\text{ref} = 38.4\,\text{MHz}$ and a loop bandwidth of 100 kHz. Find (a) the N range and accumulator size, (b) verify the settling, and (c) assess the feasibility of integer-N. 出力 2110〜2170 MHz、分解能 1 kHz、整定時間 ≤ 200 µs、$f_\text{ref} = 38.4\,\text{MHz}$、ループ帯域 100 kHz。(a) N の範囲とアキュムレータのサイズ、(b) 整定時間の検証、(c) integer-N の実現可能性を求める。
(a) N 範圍與解析度(a) N range and resolution(a) N の範囲と分解能(fractional-N,5.2.3):$N = f_\text{out}/f_\text{ref}$:
下緣:$N = \dfrac{2110}{38.4} = 54.95$;上緣:$N = \dfrac{2170}{38.4} = 56.51$ → 整數部分 Lower edge: $N = \dfrac{2110}{38.4} = 54.95$; upper edge: $N = \dfrac{2170}{38.4} = 56.51$ → an integer part of 下端:$N = \dfrac{2110}{38.4} = 54.95$;上端:$N = \dfrac{2170}{38.4} = 56.51$ → 整数部は 54..57,小數部分由 accumulator 補。, with the fractional part supplied by the accumulator. であり、小数部はアキュムレータが補う。
解析度條件:$\Delta f = \dfrac{f_\text{ref}}{R} \leq 1\,\text{kHz} \Rightarrow R \geq \dfrac{38.4\times 10^6}{10^3} = 38{,}400$。The resolution condition: $\Delta f = \dfrac{f_\text{ref}}{R} \leq 1\,\text{kHz} \Rightarrow R \geq \dfrac{38.4\times 10^6}{10^3} = 38{,}400$.分解能の条件:$\Delta f = \dfrac{f_\text{ref}}{R} \leq 1\,\text{kHz} \Rightarrow R \geq \dfrac{38.4\times 10^6}{10^3} = 38{,}400$。
取 2 的冪:$R = 2^{16} = 65{,}536 \Rightarrow \Delta f = \dfrac{38.4\times 10^6}{65{,}536} = \mathbf{586\,Hz}$(優於 1 kHz,over-resolved 沒有壞處)。Take a power of 2: $R = 2^{16} = 65{,}536 \Rightarrow \Delta f = \dfrac{38.4\times 10^6}{65{,}536} = \mathbf{586\,Hz}$ (better than 1 kHz; over-resolving does no harm).2 のべき乗を取る:$R = 2^{16} = 65{,}536 \Rightarrow \Delta f = \dfrac{38.4\times 10^6}{65{,}536} = \mathbf{586\,Hz}$(1 kHz より良く、分解能が過剰でも害はない)。
(b) Settling time:rule of thumb settling ≈ $5/\omega_\text{BW}$(角頻率版)或 $5/f_\text{BW}$(保守版): Rule of thumb: settling ≈ $5/\omega_\text{BW}$ (the angular-frequency version) or $5/f_\text{BW}$ (the conservative version): 経験則では整定時間 ≈ $5/\omega_\text{BW}$(角周波数版)または $5/f_\text{BW}$(保守的な版):
$$t_s \approx \frac{5}{2\pi\times 10^5} = 7.96\,\mu\text{s}\quad\text{(即使保守取 } 5/f_\text{BW} = 50\,\mu\text{s}\text{)} \ll 200\,\mu\text{s} \checkmark$$$$t_s \approx \frac{5}{2\pi\times 10^5} = 7.96\,\mu\text{s}\quad\text{(even conservatively, } 5/f_\text{BW} = 50\,\mu\text{s}\text{)} \ll 200\,\mu\text{s} \checkmark$$$$t_s \approx \frac{5}{2\pi\times 10^5} = 7.96\,\mu\text{s}\quad\text{(保守的に } 5/f_\text{BW} = 50\,\mu\text{s} \text{ としても)} \ll 200\,\mu\text{s} \checkmark$$
loop BW 合法性檢查:$f_\text{PD} = 38.4\,\text{MHz}$,$f_\text{BW} = 100\,\text{kHz} = f_\text{PD}/384 \ll f_\text{PD}/10$ ✓(穩定性裕度充足)。Checking the loop bandwidth is legitimate: $f_\text{PD} = 38.4\,\text{MHz}$ and $f_\text{BW} = 100\,\text{kHz} = f_\text{PD}/384 \ll f_\text{PD}/10$ ✓ (ample stability margin).ループ帯域の妥当性確認:$f_\text{PD} = 38.4\,\text{MHz}$、$f_\text{BW} = 100\,\text{kHz} = f_\text{PD}/384 \ll f_\text{PD}/10$ ✓(安定余裕は十分)。
(c) Integer-N 反例:(c) The integer-N counterexample:(c) Integer-N の反例:要 1 kHz 解析度,integer-N 被迫 $f_\text{ref} = f_\text{PD} = 1\,\text{kHz}$,則 For 1 kHz resolution, integer-N is forced to $f_\text{ref} = f_\text{PD} = 1\,\text{kHz}$, whereupon 1 kHz の分解能を得るには integer-N は $f_\text{ref} = f_\text{PD} = 1\,\text{kHz}$ を強いられ、その結果
$$N = \frac{2.17\times 10^9}{10^3} = 2.17\times 10^6 \;\Rightarrow\; 20\log N = +126.7\,\text{dB}$$
即使 reference 有 $-160\,\text{dBc/Hz}$,in-band 輸出 $= -160 + 127 = \mathbf{-33\,\text{dBc/Hz}}$ — 完全不可用(連 SSB 訊號本身都被相位雜訊淹沒)。且 loop BW ≤ 100 Hz → settling 數十 ms,違反 200 µs。Fractional-N 是Even with a reference at $-160\,\text{dBc/Hz}$, the in-band output is $= -160 + 127 = \mathbf{-33\,\text{dBc/Hz}}$ — completely unusable (even the SSB signal itself would be swamped by phase noise). And the loop bandwidth ≤ 100 Hz → settling of tens of ms, violating the 200 µs. Fractional-N is 基準源が $-160\,\text{dBc/Hz}$ であっても帯域内出力は $= -160 + 127 = \mathbf{-33\,\text{dBc/Hz}}$ — まったく使い物にならない(SSB 信号そのものが位相雑音に埋もれる)。さらにループ帯域は ≤ 100 Hz → 整定時間は数十 ms となり 200 µs に違反する。ここでは fractional-N は選択肢ではなく必要necessary必須而非可選。 here, not optional.である。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: (c) 的 127 dB 數字值得記住:integer-N 的雜訊懲罰 $20\log N$ 隨「輸出頻率/解析度」比直接縮放,cellular 等級(GHz 輸出、kHz 解析度)的比值 ~10⁶ 註定 integer-N 出局。fractional-N 把「解析度」與「phase-detector 頻率」這兩件事解耦,是 5.2.3 的核心訊息。 The 127 dB figure in (c) is worth remembering: integer-N's noise penalty $20\log N$ scales directly with the ratio “output frequency / resolution”, and at cellular grade (a GHz output with kHz resolution) that ratio of ~10⁶ rules integer-N out completely. Fractional-N decouples “resolution” from “phase-detector frequency”, which is the core message of 5.2.3. (c) の 127 dB という数字は覚えておく価値がある:integer-N の雑音ペナルティ $20\log N$ は「出力周波数/分解能」の比にそのまま比例し、セルラー級(GHz 出力・kHz 分解能)ではその比が ~10⁶ になるため integer-N は完全に脱落する。fractional-N は「分解能」と「位相比較器の周波数」を切り離すものであり、これが 5.2.3 の核心的なメッセージである。
Phase accumulator + sine LUT + DAC + LPF; FTW and resolution.
A 32-bit DDS is clocked at $f_\text{clk} = 500\,\text{MHz}$.
(a) Find the FTW for exactly $f_\text{out} = 75\,\text{MHz}$.
(b) What is the minimum frequency step (1-LSB resolution)?
已知/目標:Given / required:与件/目標: 32-bit DDS,$f_\text{clk} = 500\,\text{MHz}$,目標 $f_\text{out} = 75\,\text{MHz}$。求 FTW 與 1-LSB 解析度。 a 32-bit DDS with $f_\text{clk} = 500\,\text{MHz}$ and a target $f_\text{out} = 75\,\text{MHz}$. Find the FTW and the 1-LSB resolution. 32 ビット DDS、$f_\text{clk} = 500\,\text{MHz}$、目標 $f_\text{out} = 75\,\text{MHz}$。FTW と 1 LSB の分解能を求める。
公式與來源Formulas and sources公式と出典(DDS phase accumulator,5.2.4):每個 clock 週期 phase accumulator 加上 FTW,繞完 $2^{32}$ 即一個輸出週期:(the DDS phase accumulator, 5.2.4): on every clock cycle the phase accumulator adds the FTW, and one full wrap of $2^{32}$ is one output period:(DDS の位相アキュムレータ、5.2.4):クロック周期ごとに位相アキュムレータが FTW を加算し、$2^{32}$ を一巡することが出力の 1 周期に当たる:
$$f_\text{out} = \frac{\text{FTW}}{2^{32}}\,f_\text{clk} \;\Rightarrow\; \text{FTW} = \frac{f_\text{out}}{f_\text{clk}}\cdot 2^{32},\qquad \Delta f_\text{LSB} = \frac{f_\text{clk}}{2^{32}}$$
逐步代入:Substituting step by step:順に代入すると:
(a) 頻率比:$\dfrac{f_\text{out}}{f_\text{clk}} = \dfrac{75}{500} = 0.15$。$2^{32} = 4{,}294{,}967{,}296$。(a) The frequency ratio: $\dfrac{f_\text{out}}{f_\text{clk}} = \dfrac{75}{500} = 0.15$. And $2^{32} = 4{,}294{,}967{,}296$.(a) 周波数比:$\dfrac{f_\text{out}}{f_\text{clk}} = \dfrac{75}{500} = 0.15$。また $2^{32} = 4{,}294{,}967{,}296$。
$$\text{FTW} = 0.15\times 4{,}294{,}967{,}296 = 644{,}245{,}094.4 \;\Rightarrow\; \mathbf{644{,}245{,}094}\ (\text{取整})$$$$\text{FTW} = 0.15\times 4{,}294{,}967{,}296 = 644{,}245{,}094.4 \;\Rightarrow\; \mathbf{644{,}245{,}094}\ (\text{rounded})$$$$\text{FTW} = 0.15\times 4{,}294{,}967{,}296 = 644{,}245{,}094.4 \;\Rightarrow\; \mathbf{644{,}245{,}094}\ (\text{丸め})$$
因為 0.15 不是 $2^{-k}$ 的組合,FTW 必須取整 → 實際輸出 $= \dfrac{644{,}245{,}094}{2^{32}}\times 500\,\text{MHz} = 74.999{,}999{,}95\,\text{MHz}$,誤差僅 $0.4\,\text{LSB} \approx 0.047\,\text{Hz}$(0.6 ppb)。Since 0.15 is not a combination of $2^{-k}$, the FTW must be rounded → the actual output is $= \dfrac{644{,}245{,}094}{2^{32}}\times 500\,\text{MHz} = 74.999{,}999{,}95\,\text{MHz}$, an error of only $0.4\,\text{LSB} \approx 0.047\,\text{Hz}$ (0.6 ppb).0.15 は $2^{-k}$ の組み合わせでは表せないので FTW は丸めざるを得ない → 実際の出力は $= \dfrac{644{,}245{,}094}{2^{32}}\times 500\,\text{MHz} = 74.999{,}999{,}95\,\text{MHz}$ となり、誤差はわずか $0.4\,\text{LSB} \approx 0.047\,\text{Hz}$(0.6 ppb)である。
(b) $$\Delta f_\text{LSB} = \frac{5\times 10^8}{4.295\times 10^9} = \mathbf{0.1164\,Hz}$$
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: DDS 的頻率精度只受 FTW 量化(< 0.06 Hz)與 clock 本身的準確度限制,而且換頻是「改一個暫存器」、單一 clock 週期內生效、 A DDS's frequency accuracy is limited only by FTW quantization (< 0.06 Hz) and the accuracy of the clock itself, and changing frequency means “writing one register”, takes effect within a single clock cycle and is DDS の周波数確度を制限するのは FTW の量子化(< 0.06 Hz)とクロック自身の確度だけであり、しかも周波数変更は「レジスタを一つ書き換える」だけで単一クロック周期内に反映され、相位連續phase-continuous位相連続 — PLL 做不到的三件事。代價見 P7.2/P7.3:輸出頻率上限與 DAC spurs。 — three things a PLL cannot do. The costs are in P7.2/P7.3: the output frequency ceiling and DAC spurs.である — いずれも PLL にはできない三つの点である。その代償は P7.2/P7.3 にある:出力周波数の上限と DAC スプリアスである。
The same 500 MHz DDS is used in a swept-source instrument.
(a) What is the theoretical maximum output frequency? (Nyquist limit.)
(b) Practical maximum is usually ~40% of $f_\text{clk}$ due to image-rejection filter roll-off. Compute the practical maximum and explain why.
(c) For wider sweep, would you increase $f_\text{clk}$ or use multiple DDS in parallel?
已知/目標:Given / required:与件/目標: $f_\text{clk} = 500\,\text{MHz}$ 的 DDS。求理論與實際最大輸出頻率,並比較擴展頻寬的兩條路。 a DDS with $f_\text{clk} = 500\,\text{MHz}$. Find the theoretical and practical maximum output frequencies, and compare the two routes to more bandwidth. $f_\text{clk} = 500\,\text{MHz}$ の DDS。理論上および実際上の最大出力周波数を求め、帯域を広げる二つの道筋を比較する。
(a) Nyquist 上限(a) The Nyquist ceiling(a) ナイキストの上限(取樣定理):DDS 輸出是取樣訊號,可重建的最高頻率為(the sampling theorem): a DDS output is a sampled signal, and the highest reconstructable frequency is(標本化定理):DDS の出力は標本化された信号であり、再構成できる最高周波数は
$$f_\text{max,theory} = \frac{f_\text{clk}}{2} = \frac{500}{2} = \mathbf{250\,MHz}$$
(b) 實際上限(~40%):(b) The practical ceiling (~40%):(b) 実際の上限(~40%):$0.4\times 500 = \mathbf{200\,MHz}$。原因是 DAC 的第一個 image 在 $f_\text{clk} - f_\text{out}$:$0.4\times 500 = \mathbf{200\,MHz}$. The reason is that the DAC's first image sits at $f_\text{clk} - f_\text{out}$:$0.4\times 500 = \mathbf{200\,MHz}$。理由は DAC の第一イメージが $f_\text{clk} - f_\text{out}$ に現れることにある:
另外 DAC 的 $\text{sinc}$ roll-off($\sin(\pi f/f_\text{clk})/(\pi f/f_\text{clk})$)在 Nyquist 處掉 3.92 dB,在 200 MHz 處約掉 2.4 dB — 越靠近 Nyquist 訊號越弱、image 越強,雪上加霜。In addition, the DAC's $\text{sinc}$ roll-off ($\sin(\pi f/f_\text{clk})/(\pi f/f_\text{clk})$) costs 3.92 dB at Nyquist and about 2.4 dB at 200 MHz — the closer to Nyquist, the weaker the signal and the stronger the image, compounding the problem.さらに DAC の $\text{sinc}$ ロールオフ($\sin(\pi f/f_\text{clk})/(\pi f/f_\text{clk})$)はナイキスト点で 3.92 dB、200 MHz で約 2.4 dB の損失となる — ナイキストに近づくほど信号は弱く、イメージは強くなり、状況は一層厳しくなる。
(c) 擴頻策略:(c) Strategies for more bandwidth:(c) 帯域を広げる方策:提高 $f_\text{clk}$Raising $f_\text{clk}$$f_\text{clk}$ を上げること 是乾淨的路 — 頻寬與 image 間距同步放大,filter 比例不變。現代 DDS IC(AD9914/9915 等)跑 3.5–4 GS/s。並聯多顆 DDS(polyphase/interleaving)要解決相位同步、增益/時序校準,只在超寬頻儀器中使用。 is the clean route — the bandwidth and the image spacing scale together, leaving the filter's proportions unchanged. Modern DDS ICs (the AD9914/9915 and similar) run at 3.5–4 GS/s. Paralleling several DDSs (polyphase/interleaving) requires solving phase synchronization and gain/timing calibration, and is used only in ultra-wideband instruments.がきれいな道筋である — 帯域とイメージ間隔が同時に拡大し、フィルタの相対的な難しさは変わらない。現代の DDS IC(AD9914/9915 など)は 3.5〜4 GS/s で動作する。複数の DDS を並列化する(ポリフェーズ/インターリーブ)方式は位相同期と利得/タイミング校正を解決する必要があり、超広帯域の計測器でしか使われない。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 「40% 規則」本質是 The “40% rule” is essentially 「40% の法則」の本質は濾波器的物理filter physicsフィルタの物理而非數學:Nyquist 說 250 MHz 可以,但你得做出 brick-wall filter 才拿得到。這也解釋為什麼 DDS 多半當 PLL 的精細參考或 IF 源,而把 GHz 載波留給 PLL(見 P8.4c)。 rather than mathematics: Nyquist says 250 MHz is allowed, but you would need a brick-wall filter to collect it. This also explains why a DDS is usually used as a fine reference or IF source for a PLL, leaving the GHz carrier to the PLL (see P8.4c).であって数学ではない:ナイキストは 250 MHz まで許すが、それを取り出すにはブリックウォールフィルタが要る。DDS が多くの場合 PLL の細かい基準源や IF 源として使われ、GHz の搬送波は PLL に任される理由もここにある(P8.4c 参照)。
(a) Choose the DDS clock $f_\text{clk}$.
(b) Determine the minimum accumulator width $M$.
(c) The DAC SFDR sets the spur floor. What DAC resolution (N-bit) is needed?
已知/目標:Given / required:与件/目標: 輸出 100 MHz–1.2 GHz、解析度 ≤ 10 Hz、hop < 100 ns、SFDR ≥ 75 dBc。求 $f_\text{clk}$、accumulator 位寬 $M$、DAC 位數 $N$。 an output of 100 MHz–1.2 GHz, resolution ≤ 10 Hz, hop < 100 ns and SFDR ≥ 75 dBc. Find $f_\text{clk}$, the accumulator width $M$ and the DAC resolution $N$. 出力 100 MHz〜1.2 GHz、分解能 ≤ 10 Hz、ホップ時間 < 100 ns、SFDR ≥ 75 dBc。$f_\text{clk}$、アキュムレータ幅 $M$、DAC ビット数 $N$ を求める。
(a) Clock 選擇(a) Choosing the clock(a) クロックの選定(P7.2 的 40% 規則):最高輸出 1.2 GHz,(the 40% rule of P7.2): the highest output is 1.2 GHz, so(P7.2 の 40% 法則):最高出力は 1.2 GHz なので、
$$f_\text{clk} \geq \frac{f_\text{out,max}}{0.4} = \frac{1.2\,\text{GHz}}{0.4} = 3\,\text{GHz} \;\Rightarrow\; \textbf{選 } f_\text{clk} = 3\,\text{GHz}$$$$f_\text{clk} \geq \frac{f_\text{out,max}}{0.4} = \frac{1.2\,\text{GHz}}{0.4} = 3\,\text{GHz} \;\Rightarrow\; \textbf{choose } f_\text{clk} = 3\,\text{GHz}$$$$f_\text{clk} \geq \frac{f_\text{out,max}}{0.4} = \frac{1.2\,\text{GHz}}{0.4} = 3\,\text{GHz} \;\Rightarrow\; \textbf{したがって } f_\text{clk} = 3\,\text{GHz}$$
(此時最低輸出 100 MHz 僅 $f_\text{clk}/30$,sinc roll-off 與 image 都極輕鬆。)(The lowest output of 100 MHz is then only $f_\text{clk}/30$, so the sinc roll-off and the images are both trivially easy.)(このとき最低出力 100 MHz は $f_\text{clk}/30$ にすぎず、sinc ロールオフもイメージも極めて楽になる。)
(b) Accumulator 位寬(b) Accumulator width(b) アキュムレータの幅(5.2.4):$\Delta f = \dfrac{f_\text{clk}}{2^M} \leq 10\,\text{Hz}$:
$$2^M \geq \frac{3\times 10^9}{10} = 3\times 10^8,\qquad \log_2(3\times 10^8) = \frac{\log_{10}(3\times 10^8)}{\log_{10}2} = \frac{8.477}{0.301} = 28.2$$
取下一個標準位寬 $\mathbf{M = 32\,bits}$ → $\Delta f = \dfrac{3\times 10^9}{2^{32}} = 0.70\,\text{Hz}$(14 倍餘裕)。Take the next standard width, $\mathbf{M = 32\,bits}$ → $\Delta f = \dfrac{3\times 10^9}{2^{32}} = 0.70\,\text{Hz}$ (a 14× margin).次の標準的な幅を取ると $\mathbf{M = 32\,bits}$ → $\Delta f = \dfrac{3\times 10^9}{2^{32}} = 0.70\,\text{Hz}$(14 倍の余裕)。
(c) DAC 位數:(c) DAC resolution:(c) DAC のビット数:量化諧波上限的經驗式 SFDR ≈ 6 dB/bit(嚴格式 $6.02N+1.76$ 是 SNR;spur 集中時 SFDR 略好,經驗值仍用 ~6 dB/bit 估): The rule of thumb for the quantization-harmonic ceiling is SFDR ≈ 6 dB/bit (strictly, $6.02N+1.76$ is the SNR; SFDR is a little better when the spurs are concentrated, but ~6 dB/bit remains the working estimate): 量子化高調波の上限に対する経験則は SFDR ≈ 6 dB/bit である(厳密には $6.02N+1.76$ は SNR であり、スプリアスが集中する場合 SFDR はやや良くなるが、見積もりには ~6 dB/bit を用いる):
$$N \geq \frac{75}{6} = 12.5 \;\Rightarrow\; \textbf{14-bit DAC}$$
理論 ~84 dB,扣掉 package coupling、layout、clock feedthrough 的 5–10 dB 後實測 ~75 dB,剛好壓線 — 所以不取 13-bit。Theoretically ~84 dB; after deducting the 5–10 dB lost to package coupling, layout and clock feedthrough, the measured value is ~75 dB — only just meeting the specification, which is why 13 bits is not chosen.理論値は ~84 dB。パッケージの結合、レイアウト、クロックフィードスルーによる 5〜10 dB を差し引くと実測は ~75 dB となり、ちょうど仕様ぎりぎりである — したがって 13 ビットは選べない。
Hop time 驗證:Verifying the hop time:ホップ時間の検証:換頻 = 寫入新 FTW,一個 clock 週期生效:$t = \dfrac{1}{3\times 10^9} = 0.33\,\text{ns} \ll 100\,\text{ns}$ ✓,且相位連續(radar pulse train 相參性保留)。 Changing frequency = writing a new FTW, effective in one clock cycle: $t = \dfrac{1}{3\times 10^9} = 0.33\,\text{ns} \ll 100\,\text{ns}$ ✓, and phase-continuous (preserving the coherence of a radar pulse train). 周波数変更 = 新しい FTW の書き込みであり、1 クロック周期で反映される:$t = \dfrac{1}{3\times 10^9} = 0.33\,\text{ns} \ll 100\,\text{ns}$ ✓、しかも位相連続である(レーダーのパルス列のコヒーレンスが保たれる)。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 這張規格單正是 DDS 的甜蜜點:PLL 換頻要重新鎖定(µs–ms),DDS 在 ns 級且相位連續 — frequency-agile radar 與 EW 系統非 DDS 不可。瓶頸永遠在 DAC:速度(3 GS/s)與線性度(14-bit)同時要,功耗與價格就上去了。 This specification sheet is exactly the DDS sweet spot: a PLL must re-lock to change frequency (µs–ms), whereas a DDS does it in nanoseconds and phase-continuously — frequency-agile radar and EW systems simply have to use DDS. The bottleneck is always the DAC: demanding both speed (3 GS/s) and linearity (14 bits) drives up power and price. この仕様書はまさに DDS の得意領域である:PLL は周波数を変えるたびに再ロックが要る(µs〜ms)が、DDS は ns 級かつ位相連続である — 周波数アジャイルなレーダーや EW システムが DDS を使わざるを得ない理由である。ボトルネックは常に DAC にある:速度(3 GS/s)と直線性(14 ビット)を同時に要求すると、消費電力と価格が跳ね上がる。
Each problem chains material across the chapter — topology design (5.1.4), start-up (5.1.2/5.1.5), Kurokawa stability (5.1.6), Leeson phase noise (5.1.9), reciprocal mixing (5.1.10), and synthesizer architecture (5.2) — as a single design thread.
(a) Size $C_1$ and $C_2$.
(b) Write the Barkhausen start-up condition for the Colpitts ($g_m/G_i \geq C_2/C_1$) and find the required $g_m$ with the ×3 margin.
(c) Estimate $\mathcal{L}(100\,\text{kHz})$ from Leeson's model.
(d) The spec is −125 dBc/Hz at 100 kHz. What $Q_L$ (alone) or what power increase (alone) closes the gap?
已知/目標:Given / required:与件/目標: CE Colpitts,$L_3 = 12\,\text{nH}$、$f_0 = 915\,\text{MHz}$、$C_1 = C_2$、$G_i = 0.5\,\text{mS}$、margin ×3、$Q_L = 15$、$P = 0\,\text{dBm}$、$F = 6\,\text{dB}$。設計鏈:tank → 起振 $g_m$ → Leeson → 補規格缺口。 a CE Colpitts with $L_3 = 12\,\text{nH}$, $f_0 = 915\,\text{MHz}$, $C_1 = C_2$, $G_i = 0.5\,\text{mS}$, a ×3 margin, $Q_L = 15$, $P = 0\,\text{dBm}$ and $F = 6\,\text{dB}$. Design chain: tank → start-up $g_m$ → Leeson → closing the specification gap. CE Colpitts、$L_3 = 12\,\text{nH}$、$f_0 = 915\,\text{MHz}$、$C_1 = C_2$、$G_i = 0.5\,\text{mS}$、マージン ×3、$Q_L = 15$、$P = 0\,\text{dBm}$、$F = 6\,\text{dB}$。設計の流れ:タンク → 起振に必要な $g_m$ → Leeson → 仕様との差を埋める。
(a) 電容設計(a) Designing the capacitors(a) コンデンサの設計(共振條件,5.1.4):$\omega_0^2 = 1/(L_3 C_\text{eq})$ 反解:(the resonance condition, 5.1.4): solve $\omega_0^2 = 1/(L_3 C_\text{eq})$ backwards:(共振条件、5.1.4):$\omega_0^2 = 1/(L_3 C_\text{eq})$ を逆に解く:
$\omega_0 = 2\pi\times 915\times 10^6 = 5.75\times 10^9$ rad/s,$\omega_0^2 = 3.31\times 10^{19}$。$\omega_0 = 2\pi\times 915\times 10^6 = 5.75\times 10^9$ rad/s, so $\omega_0^2 = 3.31\times 10^{19}$.$\omega_0 = 2\pi\times 915\times 10^6 = 5.75\times 10^9$ rad/s、$\omega_0^2 = 3.31\times 10^{19}$。
$$C_\text{eq} = \frac{1}{\omega_0^2 L_3} = \frac{1}{3.31\times 10^{19}\times 12\times 10^{-9}} = \frac{1}{3.97\times 10^{11}} = 2.52\,\text{pF}$$
$C_1 = C_2$ 串聯 → $C_\text{eq} = C_1/2$ → $C_1 = C_2 = 2\times 2.52 = \mathbf{5.04\,pF}$(取 5.1 pF,E24)。$C_1 = C_2$ in series → $C_\text{eq} = C_1/2$ → $C_1 = C_2 = 2\times 2.52 = \mathbf{5.04\,pF}$ (take 5.1 pF, E24).$C_1 = C_2$ が直列 → $C_\text{eq} = C_1/2$ → $C_1 = C_2 = 2\times 2.52 = \mathbf{5.04\,pF}$(E24 の 5.1 pF を取る)。
(b) 起振 $g_m$(b) Start-up $g_m$(b) 起振に必要な $g_m$(Barkhausen 5.1.2 + Colpitts 增益條件):$g_{m,\min} = G_i\,\dfrac{C_2}{C_1} = 0.5\,\text{mS}\times 1 = 0.5\,\text{mS}$。乘上 ×3 margin:(Barkhausen 5.1.2 + the Colpitts gain condition): $g_{m,\min} = G_i\,\dfrac{C_2}{C_1} = 0.5\,\text{mS}\times 1 = 0.5\,\text{mS}$. With a ×3 margin:(バルクハウゼン 5.1.2 + Colpitts の利得条件):$g_{m,\min} = G_i\,\dfrac{C_2}{C_1} = 0.5\,\text{mS}\times 1 = 0.5\,\text{mS}$。×3 のマージンを掛けると:
(BJT 換算:$g_m = I_C/V_T$ → $I_C \geq 1.5\,\text{mS}\times 26\,\text{mV} \approx 39\,\mu\text{A}$,非常省電。)(For a BJT: $g_m = I_C/V_T$ → $I_C \geq 1.5\,\text{mS}\times 26\,\text{mV} \approx 39\,\mu\text{A}$, extremely frugal.)(BJT に換算すると:$g_m = I_C/V_T$ → $I_C \geq 1.5\,\text{mS}\times 26\,\text{mV} \approx 39\,\mu\text{A}$ と、きわめて低消費電力である。)
(c) Leeson 估計(c) The Leeson estimate(c) Leeson による見積もり(5.1.9,$1/f^2$ 區),用 dB 拆兩項:(5.1.9, $1/f^2$ region), split into two terms in dB:(5.1.9、$1/f^2$ 領域)。dB で二項に分けると:
$$\mathcal{L}(f_m) = 10\log\!\left[\frac{FkT}{2P}\left(1 + \Big(\frac{f_0}{2Q_L f_m}\Big)^2\right)\right]$$
共振放大項:$\dfrac{f_0}{2 Q_L f_m} = \dfrac{915\times 10^6}{2\times 15\times 10^5} = \dfrac{915\times 10^6}{3\times 10^6} = 305$ → $10\log(1+305^2) = 10\log(9.3\times 10^4) = 49.7\,\text{dB}$。The resonant amplification term: $\dfrac{f_0}{2 Q_L f_m} = \dfrac{915\times 10^6}{2\times 15\times 10^5} = \dfrac{915\times 10^6}{3\times 10^6} = 305$ → $10\log(1+305^2) = 10\log(9.3\times 10^4) = 49.7\,\text{dB}$.共振増幅項:$\dfrac{f_0}{2 Q_L f_m} = \dfrac{915\times 10^6}{2\times 15\times 10^5} = \dfrac{915\times 10^6}{3\times 10^6} = 305$ → $10\log(1+305^2) = 10\log(9.3\times 10^4) = 49.7\,\text{dB}$。
噪聲底項:$kT = -174\,\text{dBm/Hz}$,$F = +6\,\text{dB}$,$P = 0\,\text{dBm}$ 且 $2P \Rightarrow +3\,\text{dB}$:The noise-floor term: $kT = -174\,\text{dBm/Hz}$, $F = +6\,\text{dB}$, $P = 0\,\text{dBm}$, and $2P \Rightarrow +3\,\text{dB}$:雑音フロア項:$kT = -174\,\text{dBm/Hz}$、$F = +6\,\text{dB}$、$P = 0\,\text{dBm}$、そして $2P \Rightarrow +3\,\text{dB}$:
$$10\log\frac{FkT}{2P} = -174 + 6 - 3 = -171\,\text{dB}$$
(d) 補 3.7 dB 缺口(d) Closing the 3.7 dB gap(d) 3.7 dB の差を埋める(規格 −125):(the specification being −125):(仕様は −125):
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 指數看得很清楚 — Q 的回報是平方(每 dB 努力賺 2 dB 雜訊),功率只是線性(1:1)而且直接燒電流;所以設計順序永遠是先榨資源 Q(layout、電感選型),不夠才加功率。本題 Q 從 15 → 23 在 off-chip inductor 可行,on-chip 則接近極限。 The exponents make it plain — Q pays back quadratically (every dB of effort buys 2 dB of noise) while power is merely linear (1:1) and burns current directly; so the design order is always to squeeze Q first (layout, inductor selection) and only add power if that is not enough. Taking Q from 15 → 23 here is feasible with an off-chip inductor but close to the limit on-chip. 指数を見れば明らかである — Q の見返りは二乗(1 dB の努力が 2 dB の雑音改善になる)だが、電力は線形(1:1)にすぎず、しかも直接電流を食う;したがって設計の順序は常に、まず Q を絞り出し(レイアウト、インダクタの選定)、足りなければ電力を足す、である。本問の Q を 15 → 23 にするのは外付けインダクタなら可能だが、オンチップでは限界に近い。
(a) Choose the series load $Z_L = R_L + jX_L$ using the $R_L = |R_{in}|/3$ rule, and give the inductor value that realizes $X_L$.
(b) Why $|R_{in}|/3$? What do larger or smaller choices trade off?
(c) Find the steady-state oscillation amplitude $A_0$.
(d) Verify Kurokawa's stability condition at $A_0$.
已知/目標:Given / required:与件/目標: 6 GHz one-port device:小訊號 $Z_{in} = -44 - j25\,\Omega$,振幅相依 $R_{in}(A) = -44(1-A/2)\,\Omega$、$X_{in}$ 視為常數。設計鏈:load 設計 → 起振準則的物理 → 穩態振幅 → Kurokawa 穩定性。 a 6 GHz one-port device with a small-signal $Z_{in} = -44 - j25\,\Omega$, an amplitude dependence $R_{in}(A) = -44(1-A/2)\,\Omega$ and $X_{in}$ treated as constant. Design chain: load design → the physics of the start-up criterion → steady-state amplitude → Kurokawa stability. 6 GHz の 1 ポートデバイス:小信号では $Z_{in} = -44 - j25\,\Omega$、振幅依存性は $R_{in}(A) = -44(1-A/2)\,\Omega$、$X_{in}$ は一定とみなす。設計の流れ:負荷の設計 → 起振基準の物理 → 定常振幅 → Kurokawa の安定性。
(a) Load 設計(a) Load design(a) 負荷の設計(start-up rule,5.1.5):
$$R_L = \frac{|R_{in}|}{3} = \frac{44}{3} = \mathbf{14.7\,\Omega}$$
共振(頻率)條件 $X_L = -X_{in} = +25\,\Omega$(感性,抵消 device 的 $-j25$):The resonance (frequency) condition $X_L = -X_{in} = +25\,\Omega$ (inductive, cancelling the device's $-j25$):共振(周波数)条件 $X_L = -X_{in} = +25\,\Omega$(誘導性で、デバイスの $-j25$ を打ち消す):
$$L = \frac{X_L}{2\pi f} = \frac{25}{2\pi\times 6\times 10^9} = \frac{25}{3.77\times 10^{10}} = 6.6\times 10^{-10}\,\text{H} = \mathbf{0.66\,nH}\ \text{(series inductor)}$$
(0.66 nH 在 6 GHz 已是 bond wire / 短傳輸線等級 — 實作常直接用 transmission line stub。)(At 6 GHz, 0.66 nH is already bond-wire / short-transmission-line territory — in practice a transmission-line stub is used directly.)(6 GHz における 0.66 nH はすでにボンディングワイヤ / 短い伝送線路の領域である — 実装では伝送線路スタブを直接使うことが多い。)
(b) 為什麼 $|R_{in}|/3$:(b) Why $|R_{in}|/3$:(b) なぜ $|R_{in}|/3$ なのか:起振需要小振幅時淨電阻 $R_{in}(0) + R_L = -44 + 14.7 = -29.3\,\Omega < 0$,負得越多、起振越快越可靠。取 1/3 留下 2/3 的負電阻當 margin,涵蓋溫度、偏壓、元件離散。trade-off: Start-up needs a negative net resistance at small amplitude, $R_{in}(0) + R_L = -44 + 14.7 = -29.3\,\Omega < 0$; the more negative, the faster and more reliable the start-up. Taking 1/3 leaves 2/3 of the negative resistance as margin, covering temperature, bias and component spread. The trade-off: 起振には小振幅で正味抵抗が負であること、すなわち $R_{in}(0) + R_L = -44 + 14.7 = -29.3\,\Omega < 0$ が必要であり、負が深いほど起振は速く確実になる。1/3 に取れば負性抵抗の 2/3 がマージンとして残り、温度・バイアス・素子ばらつきを吸収できる。トレードオフは:
(c) 穩態振幅:(c) Steady-state amplitude:(c) 定常振幅:穩態條件 $R_{in}(A_0) + R_L = 0$,即 $|R_{in}(A_0)| = R_L$: The steady-state condition $R_{in}(A_0) + R_L = 0$, i.e. $|R_{in}(A_0)| = R_L$: 定常条件 $R_{in}(A_0) + R_L = 0$、すなわち $|R_{in}(A_0)| = R_L$ より:
$$44\left(1-\frac{A_0}{2}\right) = 14.7 \;\Rightarrow\; 1-\frac{A_0}{2} = 0.334 \;\Rightarrow\; A_0 = 2(1-0.334) = \mathbf{1.33\,V}$$
(d) Kurokawa 穩定性(d) Kurokawa stability(d) Kurokawa の安定性(5.1.6),$T$ = device + load 總和:(5.1.6), with $T$ = the sum of device and load:(5.1.6)。$T$ = デバイスと負荷の総和:
$$\frac{\partial R_T}{\partial A}\frac{\partial X_T}{\partial \omega} - \frac{\partial X_T}{\partial A}\frac{\partial R_T}{\partial \omega} > 0$$
逐項檢查:Checking term by term:項ごとに確認する:
故第一項 $(+)(+) > 0$、第二項為 0 → 條件成立 ✓。So the first term is $(+)(+) > 0$ and the second is 0 → the condition holds ✓.したがって第一項は $(+)(+) > 0$、第二項は 0 → 条件は成立する ✓。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: Kurokawa 條件就是「振幅回復力 × 頻率選擇力」要同號:$\partial R_T/\partial A > 0$ 提供振幅彈簧,$\partial X_T/\partial\omega > 0$(高 Q 時斜率大)提供頻率彈簧。Q 越高、$\partial X_T/\partial\omega$ 越陡,工作點越穩 — 與 Leeson 的低 phase noise 是同一件事的兩面。 The Kurokawa condition simply says that the “amplitude restoring force × frequency selecting force” must share a sign: $\partial R_T/\partial A > 0$ provides the amplitude spring and $\partial X_T/\partial\omega > 0$ (a steep slope at high Q) the frequency spring. The higher the Q and the steeper $\partial X_T/\partial\omega$, the more firmly the operating point is held — two faces of the same thing as Leeson's low phase noise. Kurokawa 条件が言っているのは「振幅の復元力 × 周波数の選択力」が同符号であれということに尽きる:$\partial R_T/\partial A > 0$ が振幅のばねを、$\partial X_T/\partial\omega > 0$(高 Q ほど傾きが急)が周波数のばねを与える。Q が高く $\partial X_T/\partial\omega$ が急なほど動作点は固く保たれる — Leeson の低位相雑音と同じことの裏表である。
(a) Find the required $\mathcal{L}(600\,\text{kHz})$ from the reciprocal-mixing condition.
(b) Does the candidate VCO meet it (Leeson, $1/f^2$ region)?
(c) Compare the synthesizer's in-band output noise for integer-N ($f_{PD}$ = 200 kHz) vs fractional-N ($f_{PD}$ = 13 MHz).
(d) The free-running VCO reaches −110.6 dBc/Hz at 20 kHz offset. Where should the fractional-N loop bandwidth sit?
已知/目標:Given / required:与件/目標: $f_0 = 935\,\text{MHz}$;$C = -99\,\text{dBm}$、$I = -43\,\text{dBm}$ @ 600 kHz、SIR 9 dB、$B = 200\,\text{kHz}$;VCO:$Q_L = 20$、$P = +3\,\text{dBm}$、$F = 8\,\text{dB}$;reference chain floor −150 dBc/Hz、$f_\text{ref} = 13\,\text{MHz}$。設計鏈:blocker → LO 規格 → VCO 檢核 → 架構 → loop BW。 $f_0 = 935\,\text{MHz}$; $C = -99\,\text{dBm}$, $I = -43\,\text{dBm}$ @ 600 kHz, SIR 9 dB, $B = 200\,\text{kHz}$; the VCO has $Q_L = 20$, $P = +3\,\text{dBm}$, $F = 8\,\text{dB}$; the reference chain floor is −150 dBc/Hz with $f_\text{ref} = 13\,\text{MHz}$. Design chain: blocker → LO specification → VCO check → architecture → loop bandwidth. $f_0 = 935\,\text{MHz}$;$C = -99\,\text{dBm}$、$I = -43\,\text{dBm}$ @ 600 kHz、SIR 9 dB、$B = 200\,\text{kHz}$;VCO は $Q_L = 20$、$P = +3\,\text{dBm}$、$F = 8\,\text{dB}$;基準系のフロアは −150 dBc/Hz、$f_\text{ref} = 13\,\text{MHz}$。設計の流れ:ブロッカ → LO の仕様 → VCO の検証 → 構成 → ループ帯域。
(a) Reciprocal mixing(5.1.10):$10\log B = 10\log(2\times 10^5) = 53.0\,\text{dB}$:
$$\mathcal{L}(600\,\text{kHz}) \leq C - SIR - I - 10\log B = -99 - 9 - (-43) - 53 = \mathbf{-118\,\text{dBc/Hz}}$$
(b) Leeson 檢核(b) Checking against Leeson(b) Leeson による検証(5.1.9):
共振放大項:$\dfrac{f_0}{2 Q_L f_m} = \dfrac{935\times 10^6}{2\times 20\times 6\times 10^5} = \dfrac{935\times 10^6}{2.4\times 10^7} = 39$ → $10\log(1+39^2) = 10\log(1522) = 31.8\,\text{dB}$。The resonant amplification term: $\dfrac{f_0}{2 Q_L f_m} = \dfrac{935\times 10^6}{2\times 20\times 6\times 10^5} = \dfrac{935\times 10^6}{2.4\times 10^7} = 39$ → $10\log(1+39^2) = 10\log(1522) = 31.8\,\text{dB}$.共振増幅項:$\dfrac{f_0}{2 Q_L f_m} = \dfrac{935\times 10^6}{2\times 20\times 6\times 10^5} = \dfrac{935\times 10^6}{2.4\times 10^7} = 39$ → $10\log(1+39^2) = 10\log(1522) = 31.8\,\text{dB}$。
噪聲底項(dB 直加):$P = +3\,\text{dBm} = 2\,\text{mW} \Rightarrow 2P = 4\,\text{mW} = +6\,\text{dBm}$:The noise-floor term (adding directly in dB): $P = +3\,\text{dBm} = 2\,\text{mW} \Rightarrow 2P = 4\,\text{mW} = +6\,\text{dBm}$:雑音フロア項(dB のまま加算):$P = +3\,\text{dBm} = 2\,\text{mW} \Rightarrow 2P = 4\,\text{mW} = +6\,\text{dBm}$:
$$10\log\frac{FkT}{2P} = 8 + (-174) - 6 = -172\,\text{dB}$$
(c) In-band 比較(c) In-band comparison(c) 帯域内雑音の比較(5.2.2/5.2.3,in-band noise = reference floor + $20\log N$):
(d) Loop BW 擺哪裡:(d) Where to put the loop bandwidth:(d) ループ帯域をどこに置くか:最佳 loop BW ≈「乘上 $N$ 的 reference 雜訊」與「free-running VCO 雜訊」的交叉點。VCO 雜訊往低 offset 以 $1/f_m^2$(+20 dB/dec)上升:由 (b) 的 −140.2 @ 600 kHz 反推,達到 −112.9 需上升 27.3 dB → offset 縮小 $10^{27.3/20} = 23$ 倍: The optimum loop bandwidth ≈ the crossover between “the reference noise multiplied by $N$” and “the free-running VCO noise”. The VCO noise rises towards lower offsets as $1/f_m^2$ (+20 dB/dec): working back from the −140.2 @ 600 kHz of (b), reaching −112.9 requires a rise of 27.3 dB → a reduction in offset by a factor of $10^{27.3/20} = 23$: 最適なループ帯域は「$N$ 倍された基準雑音」と「フリーランニング VCO の雑音」が交差する点である。VCO の雑音は低オフセット側へ $1/f_m^2$(+20 dB/dec)で上昇する:(b) の −140.2 @ 600 kHz から逆算すると、−112.9 に達するには 27.3 dB の上昇が必要 → オフセットは $10^{27.3/20} = 23$ 倍小さくなる:
$$f_m = \frac{600\,\text{kHz}}{23} \approx 26\,\text{kHz}\quad(\text{驗證:題目給的 } -110.6\ @\ 20\,\text{kHz 同一條斜線上})$$$$f_m = \frac{600\,\text{kHz}}{23} \approx 26\,\text{kHz}\quad(\text{check: the } -110.6\ @\ 20\,\text{kHz given in the problem lies on the same line})$$$$f_m = \frac{600\,\text{kHz}}{23} \approx 26\,\text{kHz}\quad(\text{検証:問題文の } -110.6\ @\ 20\,\text{kHz も同じ直線上にある})$$
所以 Hence したがって loop BW ≈ 25 kHz:頻寬內由較安靜的 multiplied reference(−112.9)管教 VCO;頻寬外放手讓此時已較安靜的 VCO 自由跑。loop 開太寬會把 −112.9 印到 VCO 本來更好的區域;太窄則 close-in 留著 VCO 的 $1/f^2$ 雜訊不管。: inside the bandwidth the quieter multiplied reference (−112.9) disciplines the VCO; outside it, the VCO — by then quieter — is left to run free. Opening the loop too wide would stamp the −112.9 onto a region where the VCO is naturally better; making it too narrow would leave the VCO's close-in $1/f^2$ noise unchecked.:帯域内では、より静かな逓倍後の基準(−112.9)が VCO を抑え込み;帯域外では、その時点ですでに静かな VCO を自由に走らせる。ループを広げすぎると VCO が本来もっと良い領域にまで −112.9 を刻印してしまい、狭すぎると近傍における VCO の $1/f^2$ 雑音を放置することになる。
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 整題是一條完整的 LO 設計鏈:系統規格(blocker)→ 元件檢核(VCO 有 22 dB 餘裕,合格)→ 架構(integer-N 連 −118 都不夠格:−76.6 慘敗;fractional-N 過關)→ 參數(loop BW 取交叉點)。考試遇到 synthesizer 設計題,照這四步走。 This problem is a complete LO design chain: system specification (the blocker) → device check (the VCO has 22 dB of margin, a pass) → architecture (integer-N cannot even reach −118: a dismal −76.6; fractional-N passes) → parameters (put the loop bandwidth at the crossover). When a synthesizer design question comes up in an exam, follow these four steps. この問題は LO 設計の完全な一連の流れである:システム仕様(ブロッカ)→ 素子の検証(VCO は 22 dB の余裕があり合格)→ 構成の選択(integer-N は −118 にすら届かず −76.6 と惨敗;fractional-N は合格)→ パラメータ(ループ帯域を交差点に置く)。試験でシンセサイザの設計問題に出会ったら、この四段階でたどればよい。
(a) Integer-N: give $f_{PD}$, the N range, the maximum loop bandwidth, the lock time, and the in-band $20\log N$ penalty. Does it meet 40 µs?
(b) Fractional-N: give $f_{PD}$, the N range, the frequency resolution, the in-band improvement over (a), and the lock time for a 200 kHz loop.
(c) Why can't a DDS generate the carrier directly? If a 152.5 MHz DDS output is multiplied up to 2.44 GHz instead, what happens to its −70 dBc spurs?
(d) Recommend an architecture.
已知/目標:Given / required:与件/目標: 輸出 2.402–2.480 GHz、1 MHz channels、$f_\text{ref} = 16\,\text{MHz}$、lock < 40 µs;規則:loop BW ≤ $f_{PD}/10$、$t_\text{lock} \approx 4/f_\text{BW}$;fractional 20-bit;DDS 上限 $0.4f_\text{clk}$、SFDR 70 dBc。比較三種架構。 an output of 2.402–2.480 GHz, 1 MHz channels, $f_\text{ref} = 16\,\text{MHz}$ and lock < 40 µs; the rules: loop BW ≤ $f_{PD}/10$ and $t_\text{lock} \approx 4/f_\text{BW}$; a 20-bit fractional part; a DDS ceiling of $0.4f_\text{clk}$ and SFDR of 70 dBc. Compare the three architectures. 出力 2.402〜2.480 GHz、1 MHz チャネル、$f_\text{ref} = 16\,\text{MHz}$、ロック時間 < 40 µs;規則:ループ帯域 ≤ $f_{PD}/10$、$t_\text{lock} \approx 4/f_\text{BW}$;小数部は 20 ビット;DDS の上限は $0.4f_\text{clk}$、SFDR は 70 dBc。三つの構成を比較する。
(a) Integer-N:channel spacing 綁死 $f_{PD} = 1\,\text{MHz}$: The channel spacing chains $f_{PD} = 1\,\text{MHz}$: チャネル間隔が $f_{PD} = 1\,\text{MHz}$ を縛る:
$N = \dfrac{f_\text{out}}{f_{PD}} = \dfrac{2402\text{–}2480\,\text{MHz}}{1\,\text{MHz}} = \mathbf{2402\text{–}2480}$。$N = \dfrac{f_\text{out}}{f_{PD}} = \dfrac{2402\text{–}2480\,\text{MHz}}{1\,\text{MHz}} = \mathbf{2402\text{–}2480}$.$N = \dfrac{f_\text{out}}{f_{PD}} = \dfrac{2402\text{–}2480\,\text{MHz}}{1\,\text{MHz}} = \mathbf{2402\text{–}2480}$。
Loop BW $\leq \dfrac{f_{PD}}{10} = 100\,\text{kHz}$ → $t_\text{lock} \approx \dfrac{4}{10^5} = \mathbf{40\,\mu s}$ — 恰好壓線、零 marginExactly on the line, with zero marginちょうど仕様ぎりぎりで余裕はゼロ(任何 loop 參數漂移就超時)。In-band 懲罰:$20\log(2440) = 67.7\,\text{dB}$。(any drift in the loop parameters and it overruns). In-band penalty: $20\log(2440) = 67.7\,\text{dB}$.(ループのパラメータが少しでもずれれば時間超過になる)。帯域内のペナルティ:$20\log(2440) = 67.7\,\text{dB}$。
(b) Fractional-N:$f_{PD} = f_\text{ref} = 16\,\text{MHz}$:
$N = \dfrac{2402}{16} = 150.125$ 到 $\dfrac{2480}{16} = 155.000$ → $N = \dfrac{2402}{16} = 150.125$ to $\dfrac{2480}{16} = 155.000$ → $N = \dfrac{2402}{16} = 150.125$ から $\dfrac{2480}{16} = 155.000$ → N = 150.125–155.000(小數由 ΔΣ modulator 實現)。(the fractional part realized by the ΔΣ modulator).(小数部は ΔΣ 変調器で実現する)。
解析度:$\dfrac{16\times 10^6}{2^{20}} = \dfrac{16\times 10^6}{1.049\times 10^6} = \mathbf{15.3\,Hz} \ll 1\,\text{MHz}$ ✓(channel raster 免費達成;Hz 級解析度順便拿來補 crystal ppm 偏移)。Resolution: $\dfrac{16\times 10^6}{2^{20}} = \dfrac{16\times 10^6}{1.049\times 10^6} = \mathbf{15.3\,Hz} \ll 1\,\text{MHz}$ ✓ (the channel raster comes free, and the Hz-level resolution incidentally also compensates the crystal's ppm error).分解能:$\dfrac{16\times 10^6}{2^{20}} = \dfrac{16\times 10^6}{1.049\times 10^6} = \mathbf{15.3\,Hz} \ll 1\,\text{MHz}$ ✓(チャネルラスタは無償で達成でき、Hz 級の分解能は水晶の ppm 偏差の補正にもそのまま使える)。
In-band:$20\log(152.5) = 43.7\,\text{dB}$ → 比 integer-N 的 67.7 dB In-band: $20\log(152.5) = 43.7\,\text{dB}$ → against integer-N's 67.7 dB, that is 帯域内:$20\log(152.5) = 43.7\,\text{dB}$ → integer-N の 67.7 dB に比べて 安靜 24 dB24 dB quieter24 dB 静か。.である。
Lock:$f_{PD}/10$ 上限升到 1.6 MHz,但 ΔΣ quantization noise 在高 offset 上升,實務 loop 上限 ~200 kHz → $t_\text{lock} \approx \dfrac{4}{2\times 10^5} = \mathbf{20\,\mu s}$ — 2× margin ✓。Lock: the $f_{PD}/10$ ceiling rises to 1.6 MHz, but ΔΣ quantization noise rises at high offsets, so the practical loop ceiling is ~200 kHz → $t_\text{lock} \approx \dfrac{4}{2\times 10^5} = \mathbf{20\,\mu s}$ — a 2× margin ✓.ロック:$f_{PD}/10$ の上限は 1.6 MHz まで上がるが、ΔΣ の量子化雑音が高オフセットで増えるため実用上のループ帯域の上限は ~200 kHz → $t_\text{lock} \approx \dfrac{4}{2\times 10^5} = \mathbf{20\,\mu s}$ — 2× の余裕 ✓。
(c) DDS 路線:(c) The DDS route:(c) DDS による道筋:直接生成需 $f_\text{clk} \geq \dfrac{2.48\,\text{GHz}}{0.4} = 6.2\,\text{GHz}$ — 6 GS/s DAC 的功耗/成本對 BLE SoC 完全不成比例(5.2.4)。改走「低頻 DDS × 倍頻」:把 152.5 MHz 乘 16 上 2.44 GHz 時,相位(含 spur)同乘 16: Direct generation would need $f_\text{clk} \geq \dfrac{2.48\,\text{GHz}}{0.4} = 6.2\,\text{GHz}$ — the power and cost of a 6 GS/s DAC are wholly disproportionate for a BLE SoC (5.2.4). Take the “low-frequency DDS × multiplication” route instead: multiplying 152.5 MHz by 16 up to 2.44 GHz multiplies the phase (and hence the spurs) by 16 as well: 直接生成するには $f_\text{clk} \geq \dfrac{2.48\,\text{GHz}}{0.4} = 6.2\,\text{GHz}$ が必要 — 6 GS/s の DAC の消費電力とコストは BLE SoC にはまったく釣り合わない(5.2.4)。そこで「低周波 DDS × 逓倍」に切り替える:152.5 MHz を 16 倍して 2.44 GHz にすると、位相(したがってスプリアス)も 16 倍される:
$$\text{spur degradation} = 20\log 16 = 24.1\,\text{dB} \;\Rightarrow\; -70 + 24.1 = \mathbf{-45.9\,dBc}$$
−46 dBc 的 spurs 過不了典型 adjacent-channel 規格 — DDS-as-reference 方案必須把倍頻數壓低或對 DDS 輸出窄帶濾波。Spurs at −46 dBc will not pass a typical adjacent-channel specification — a DDS-as-reference scheme must either keep the multiplication factor low or narrowband-filter the DDS output.−46 dBc のスプリアスでは典型的な隣接チャネル仕様を通らない — DDS を基準源に使う方式では逓倍数を抑えるか、DDS 出力を狭帯域フィルタで濾さなければならない。
(d) 架構建議:(d) Architecture recommendation:(d) 構成の推奨:
物理詮釋:Physical interpretation:物理的解釈: 三條路各敗在自己的物理:integer-N 敗在「channel spacing = $f_{PD}$」這條鐵鍊(lock time 零餘裕 + 68 dB 雜訊放大);DDS 敗在 DAC 速度與 spur 的 $20\log N$ 倍頻劣化;fractional-N 用數位 ΔΣ 把兩個問題都換成「可被 loop filter 吸收的高頻量化雜訊」— 數位電路最便宜,所以它贏。 Each of the three routes founders on its own physics: integer-N on the iron chain “channel spacing = $f_{PD}$” (zero lock-time margin plus 68 dB of noise amplification); DDS on DAC speed and the $20\log N$ degradation of spurs under multiplication; fractional-N converts both problems into “high-frequency quantization noise the loop filter can absorb” using a digital ΔΣ — and digital circuitry is the cheapest, so it wins. 三つの道筋はそれぞれ自分自身の物理で敗れる:integer-N は「チャネル間隔 = $f_{PD}$」という鉄の鎖(ロック時間の余裕ゼロ + 68 dB の雑音増幅);DDS は DAC の速度と、逓倍によるスプリアスの $20\log N$ 劣化;fractional-N はデジタルの ΔΣ によってその両方を「ループフィルタが吸収できる高周波の量子化雑音」に置き換える — デジタル回路が最も安上がりなので、これが勝つ。