已知/目標：Given / required:既知／目標：$f_{RF} = 2.45\,\text{GHz}$、$f_{LO} = 2.00\,\text{GHz}$。求兩個 first-order mixing products $f_{IF}$，判別 USB/LSB，並決定通帶 < 1 GHz 的 IF filter 會選到哪一個。$f_{RF} = 2.45\,\text{GHz}$ and $f_{LO} = 2.00\,\text{GHz}$. Find the two first-order mixing products $f_{IF}$, identify the USB/LSB, and determine which one an IF filter with a passband below 1 GHz will select.$f_{RF} = 2.45\,\text{GHz}$、$f_{LO} = 2.00\,\text{GHz}$。2 つの一次混合積 $f_{IF}$ を求め、USB/LSB を判別し、通過帯域が < 1 GHz の IF filter がどちらを選ぶかを決定します。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：mixer 本質上是把 RF 與 LO 相乘，由積化和差恆等式 $\cos A\cos B = \tfrac{1}{2}[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$，一階輸出只有兩條譜線： A mixer is essentially multiplying the RF by the LO, and by the product-to-sum identity $\cos A\cos B = \tfrac{1}{2}[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$ the first-order output has only two spectral lines:ミキサは本質的に RF と LO を掛け合わせるものであり、積和公式 $\cos A\cos B = \tfrac{1}{2}[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$ により、一次出力にはスペクトル線が 2 本しかありません：

$$f_{IF} = |f_{RF} \pm f_{LO}|$$

逐步代入：Substituting step by step:順に代入：

(a) 和頻（sum product）：$f_{RF} + f_{LO} = 2.45 + 2.00 = 4.45\,\text{GHz}$；差頻（difference product）：$|f_{RF} - f_{LO}| = 2.45 - 2.00 = 0.45\,\text{GHz} = 450\,\text{MHz}$。(a) The sum product: $f_{RF} + f_{LO} = 2.45 + 2.00 = 4.45\,\text{GHz}$; the difference product: $|f_{RF} - f_{LO}| = 2.45 - 2.00 = 0.45\,\text{GHz} = 450\,\text{MHz}$.(a) 和の積（sum product）：$f_{RF} + f_{LO} = 2.45 + 2.00 = 4.45\,\text{GHz}$；差の積（difference product）：$|f_{RF} - f_{LO}| = 2.45 - 2.00 = 0.45\,\text{GHz} = 450\,\text{MHz}$。

(b) 依輸出頻譜的相對位置命名：(b) Named by their relative position in the output spectrum: (b) 出力スペクトル内の相対位置で命名します：USB（upper sideband）= 和頻 (upper sideband) = the sum product （upper sideband）= 和の積 4.45 GHz；; ；LSB（lower sideband）= 差頻 (lower sideband) = the difference product （lower sideband）= 差の積 0.45 GHz。.。

(c) IF filter 通帶只到 1 GHz：$4.45\,\text{GHz} > 1\,\text{GHz}$ 被擋掉；$450\,\text{MHz} < 1\,\text{GHz}$ 通過 → 選到 (c) The IF filter passband extends only to 1 GHz: $4.45\,\text{GHz} > 1\,\text{GHz}$ is blocked; $450\,\text{MHz} < 1\,\text{GHz}$ passes → selecting the (c) IF filter の通過帯域は 1 GHz までなので：$4.45\,\text{GHz} > 1\,\text{GHz}$ は阻止され、$450\,\text{MHz} < 1\,\text{GHz}$ は通過 → 選ばれるのは LSB at 450 MHz。.。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的な解釈：mixer 一定「同時」產生 sum 與 difference 兩個 product，down-converter 是靠 IF filter 把不要的那一條濾掉，而不是 mixer 自己只產生一條。決定要哪一條譜線（以及 filter 截止頻率）就是接收機 frequency plan 的第一步。 A mixer always produces the sum and difference products *together*; a downconverter relies on the IF filter to remove the unwanted one, rather than the mixer producing only one. Deciding which line you want (and where to put the filter cutoff) is the first step of a receiver's frequency plan.ミキサは必ず和と差の積を「同時に」生成します。ダウンコンバータは、ミキサ自身が片方だけを生成するのではなく、IF filter で不要な方を除去することに頼っています。どのスペクトル線が欲しいか（およびフィルタの遮断周波数をどこに置くか）を決めることが、受信機の frequency plan の第一歩です。

已知/目標：Given / required:既知／目標：passive diode mixer 的 conversion loss $L_C = 7\,\text{dB}$，available RF input power $P_{RF} = -20\,\text{dBm}$；mixer 之後接 gain block（$G = 15\,\text{dB}$、NF = 3 dB）。求 (a) $P_{IF}$，(b) RF 到 IF amplifier 輸出端的 cascade gain。 A passive diode mixer has a conversion loss $L_C = 7\,\text{dB}$ with an available RF input power $P_{RF} = -20\,\text{dBm}$; a gain block ($G = 15\,\text{dB}$, NF = 3 dB) follows the mixer. Find (a) $P_{IF}$ and (b) the cascade gain from RF to the IF amplifier output.passive diode mixer の変換損失は $L_C = 7\,\text{dB}$、available RF input power は $P_{RF} = -20\,\text{dBm}$；ミキサの後段に gain block（$G = 15\,\text{dB}$、NF = 3 dB）が続きます。(a) $P_{IF}$、(b) RF から IF amplifier 出力端までの cascade gain を求めます。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：conversion loss 定義為 available power 的比值 $L_C = P_{RF,avail}/P_{IF,avail}$，取 dB 後乘除變加減： Conversion loss is defined as the ratio of available powers, $L_C = P_{RF,avail}/P_{IF,avail}$, so in dB multiplication and division become addition and subtraction:変換損失は available power の比 $L_C = P_{RF,avail}/P_{IF,avail}$ として定義され、dB を取ると乗除が加減になります：

$$P_{IF}\,[\text{dBm}] = P_{RF}\,[\text{dBm}] - L_C\,[\text{dB}], \qquad G_{cascade}\,[\text{dB}] = -L_C + G$$

逐步代入：Substituting step by step:順に代入：

(a) $P_{IF} = -20 - 7 = \mathbf{-27\,dBm}$。(a) $P_{IF} = -20 - 7 = \mathbf{-27\,dBm}$.(a) $P_{IF} = -20 - 7 = \mathbf{-27\,dBm}$。

用 linear 單位驗證：$-20\,\text{dBm} = 10^{-20/10}\,\text{mW} = 0.01\,\text{mW} = 10\,\mu\text{W}$；除以 $L_C$ 的 linear 值 $10^{7/10} = 5.01$ 得 $10/5.01 \approx 2.0\,\mu\text{W}$，而 $10\log_{10}(0.002\,\text{mW}) = -27\,\text{dBm}$ ✓Check in linear units: $-20\,\text{dBm} = 10^{-20/10}\,\text{mW} = 0.01\,\text{mW} = 10\,\mu\text{W}$; dividing by the linear value of $L_C$, $10^{7/10} = 5.01$, gives $10/5.01 \approx 2.0\,\mu\text{W}$, and $10\log_{10}(0.002\,\text{mW}) = -27\,\text{dBm}$ ✓linear 単位で検証：$-20\,\text{dBm} = 10^{-20/10}\,\text{mW} = 0.01\,\text{mW} = 10\,\mu\text{W}$；$L_C$ の linear 値 $10^{7/10} = 5.01$ で割ると $10/5.01 \approx 2.0\,\mu\text{W}$、そして $10\log_{10}(0.002\,\text{mW}) = -27\,\text{dBm}$ ✓

(b) cascade gain $= -L_C + G = -7 + 15 = \mathbf{+8\,dB}$；IF amplifier 輸出功率 $= P_{RF} + G_{cascade} = -20 + 8 = \mathbf{-12\,dBm}$。(b) The cascade gain $= -L_C + G = -7 + 15 = \mathbf{+8\,dB}$; the IF amplifier output power $= P_{RF} + G_{cascade} = -20 + 8 = \mathbf{-12\,dBm}$.(b) cascade gain $= -L_C + G = -7 + 15 = \mathbf{+8\,dB}$；IF amplifier の出力電力 $= P_{RF} + G_{cascade} = -20 + 8 = \mathbf{-12\,dBm}$。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的な解釈：passive mixer 必然是損耗元件（$L_C > 0$），所以實際接收鏈幾乎都在 mixer 後緊接 IF gain block 把訊號電平拉回來。題目給的 NF = 3 dB 在純功率計算用不到，但它會進 Friis 雜訊串級（Topic 7）— mixer 的高 NF 之所以可容忍，正是因為它前面通常還有 LNA 的增益壓制。 A passive mixer is necessarily a lossy element ($L_C > 0$), which is why almost every real receive chain puts an IF gain block immediately after the mixer to pull the signal level back up. The NF = 3 dB given in the problem is not needed for the pure power calculation, but it enters the Friis noise cascade (Topic 7) — and the reason a mixer's high NF is tolerable is precisely that there is usually LNA gain ahead of it to suppress its contribution.passive mixer は必然的に損失素子（$L_C > 0$）であるため、実際の受信チェーンではほとんどの場合、ミキサの直後に IF gain block を置いて信号レベルを引き戻します。問題で与えられた NF = 3 dB は純粋な電力計算には使いませんが、Friis 雑音縦続（Topic 7）では効いてきます — ミキサの高い雑音指数が許容できるのは、その前段に通常 LNA の利得があって寄与を抑えているからです。

已知/目標：Given / required:既知／目標：low-side LO injection：$f_{RF} = 900\,\text{MHz}$、$f_{LO} = 800\,\text{MHz}$、$f_{IF} = 100\,\text{MHz}$。求 image frequency、所需 image rejection（image blocker 比訊號強 60 dB），並檢驗 $Q = 50$ 的 LC BPF 夠不夠。 Low-side LO injection: $f_{RF} = 900\,\text{MHz}$, $f_{LO} = 800\,\text{MHz}$, $f_{IF} = 100\,\text{MHz}$. Find the image frequency and the image rejection required (the image blocker is 60 dB stronger than the signal), and check whether a $Q = 50$ LC BPF is sufficient.low-side LO injection：$f_{RF} = 900\,\text{MHz}$、$f_{LO} = 800\,\text{MHz}$、$f_{IF} = 100\,\text{MHz}$。イメージ周波数と必要なイメージ除去量（イメージブロッカーは信号より 60 dB 強い）を求め、$Q = 50$ の LC BPF で十分かを検証します。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：image 是「與 $f_{RF}$ 鏡像對稱於 $f_{LO}$、會混到同一個 $f_{IF}$」的頻率。low-side injection（$f_{LO} < f_{RF}$）時： The image is the frequency “mirror-symmetric to $f_{RF}$ about $f_{LO}$, which mixes down to the same $f_{IF}$”. For low-side injection ($f_{LO} < f_{RF}$):イメージとは「$f_{LO}$ を中心に $f_{RF}$ と鏡像対称で、同じ $f_{IF}$ に変換されてしまう」周波数です。low-side injection（$f_{LO} < f_{RF}$）の場合：

$$f_{IM} = f_{LO} - f_{IF} = f_{RF} - 2f_{IF}$$

因為 $|f_{IM} - f_{LO}| = f_{IF}$，mixer 無法分辨 $f_{RF}$ 與 $f_{IM}$ — 兩者都落到 $f_{IF}$。Since $|f_{IM} - f_{LO}| = f_{IF}$, the mixer cannot tell $f_{RF}$ from $f_{IM}$ — both land on $f_{IF}$.$|f_{IM} - f_{LO}| = f_{IF}$ であるため、ミキサは $f_{RF}$ と $f_{IM}$ を区別できません — どちらも $f_{IF}$ に落ちます。

逐步代入：Substituting step by step:順に代入：

(a) $f_{IM} = 800 - 100 = \mathbf{700\,MHz}$（驗證：$|700 - 800| = 100\,\text{MHz} = f_{IF}$ ✓）。(a) $f_{IM} = 800 - 100 = \mathbf{700\,MHz}$ (check: $|700 - 800| = 100\,\text{MHz} = f_{IF}$ ✓).(a) $f_{IM} = 800 - 100 = \mathbf{700\,MHz}$（検証：$|700 - 800| = 100\,\text{MHz} = f_{IF}$ ✓）。

(b) blocker 在 mixer 輸入要被壓到與訊號等高：所需 rejection $=$ 強度差 $= \mathbf{60\,dB}$（實務上還要再加 margin，例如 +10 dB 使 image 低於訊號 10 dB）。(b) The blocker must be pushed down to the level of the signal at the mixer input: the rejection required $=$ the difference in level $= \mathbf{60\,dB}$ (in practice with additional margin, say +10 dB to put the image 10 dB below the signal).(b) ブロッカーはミキサ入力で信号と同じレベルまで抑える必要があります：必要な rejection $=$ レベル差 $= \mathbf{60\,dB}$（実務ではさらにマージン、例えば +10 dB を加えてイメージを信号より 10 dB 低くします）。

(c) 頻率間隔 $= |f_{RF} - f_{IM}| = 900 - 700 = 200\,\text{MHz}$。BPF 的 3 dB 頻寬由 $Q$ 決定：(c) The frequency separation $= |f_{RF} - f_{IM}| = 900 - 700 = 200\,\text{MHz}$. The BPF's 3 dB bandwidth is set by $Q$:(c) 周波数間隔 $= |f_{RF} - f_{IM}| = 900 - 700 = 200\,\text{MHz}$。BPF の 3 dB 帯域幅は $Q$ で決まります：

$$BW_{3dB} = \frac{f_0}{Q} = \frac{900}{50} = 18\,\text{MHz}$$

歸一化偏移：$\dfrac{2\Delta f}{BW_{3dB}} = \dfrac{2\times 200}{18} \approx 22.2$（即偏移約為半頻寬 9 MHz 的 22 倍）。2nd-order（雙極點）BPF 的遠端滾降約 40 dB/decade：The normalized offset: $\dfrac{2\Delta f}{BW_{3dB}} = \dfrac{2\times 200}{18} \approx 22.2$ (i.e. an offset about 22 times the 9 MHz half-bandwidth). A 2nd-order (two-pole) BPF rolls off far from centre at about 40 dB/decade:正規化オフセット：$\dfrac{2\Delta f}{BW_{3dB}} = \dfrac{2\times 200}{18} \approx 22.2$（すなわちオフセットは半帯域幅 9 MHz の約 22 倍）。2nd-order（2 極）BPF の遠方でのロールオフは約 40 dB/decade です：

$$\text{rejection} \approx 40\log_{10}\!\left(\frac{2\Delta f}{BW_{3dB}}\right) = 40\log_{10}(22.2) = 40\times 1.35 \approx \mathbf{54\,dB}$$

物理詮釋：Physical interpretation:物理的な解釈：image 與 RF 的間隔恆為 $2f_{IF}$ — IF 選得越低，image 越貼近訊號、preselector 越難做。這就是 superheterodyne 設計中「高 IF 利於 image rejection、低 IF 利於 channel filter」的經典取捨（也是 image-reject mixer 存在的理由，見 Topic 6）。 The separation between the image and the RF is always $2f_{IF}$ — the lower the IF, the closer the image sits to the signal and the harder the preselector becomes. This is the classic superheterodyne trade-off that “a high IF favours image rejection while a low IF favours the channel filter” (and the reason image-reject mixers exist, see Topic 6).イメージと RF の間隔は常に $2f_{IF}$ です — IF を低く選ぶほどイメージは信号に近づき、プリセレクタは作りにくくなります。これがスーパーヘテロダイン設計における「高い IF はイメージ除去に有利、低い IF はチャネルフィルタに有利」という古典的なトレードオフであり、イメージ除去ミキサが存在する理由でもあります（Topic 6 参照）。

已知/目標：Given / required:既知／目標：system NF ≤ 6 dB、system IIP3 ≥ −15 dBm；LNA：G = 20 dB / NF = 2 dB / IIP3 = −5 dBm；IF amp：NF = 4 dB / G = 20 dB。求 (a) mixer 的 SSB NF 上限、(b) mixer 的 IIP3 下限、(c) 拓樸選擇。 A system NF ≤ 6 dB and a system IIP3 ≥ −15 dBm; the LNA has G = 20 dB / NF = 2 dB / IIP3 = −5 dBm; the IF amp has NF = 4 dB / G = 20 dB. Find (a) the upper limit on the mixer's SSB NF, (b) the lower limit on the mixer's IIP3, and (c) the topology to choose.system NF ≤ 6 dB、system IIP3 ≥ −15 dBm；LNA：G = 20 dB / NF = 2 dB / IIP3 = −5 dBm；IF amp：NF = 4 dB / G = 20 dB。(a) ミキサの SSB NF の上限、(b) ミキサの IIP3 の下限、(c) トポロジーの選択を求めます。

(a) Mixer NF budget — 公式與來源（Friis cascade formula）：(a) The mixer NF budget — formula and source (the Friis cascade formula):(a) ミキサ NF バジェット — 公式と出典（Friis cascade formula）：

$$NF_{sys} = NF_{LNA} + \dfrac{NF_{mix}-1}{G_{LNA}} + \dfrac{NF_{IFA}-1}{G_{LNA}\cdot G_{mix}} \quad (\text{全部 linear 值})$$$$NF_{sys} = NF_{LNA} + \dfrac{NF_{mix}-1}{G_{LNA}} + \dfrac{NF_{IFA}-1}{G_{LNA}\cdot G_{mix}} \quad (\text{all in linear values})$$$$NF_{sys} = NF_{LNA} + \dfrac{NF_{mix}-1}{G_{LNA}} + \dfrac{NF_{IFA}-1}{G_{LNA}\cdot G_{mix}} \quad (\text{all in linear values})$$

逐步代入Substituting step by step順に代入 — 先把 dB 轉 linear： — first convert dB to linear: — まず dB を linear に変換：

• $NF_{sys,lin} \leq 10^{6/10} = 3.981$
• $NF_{LNA,lin} = 10^{2/10} = 1.585$，$G_{LNA,lin} = 10^{20/10} = 100$$NF_{LNA,lin} = 10^{2/10} = 1.585$ and $G_{LNA,lin} = 10^{20/10} = 100$$NF_{LNA,lin} = 10^{2/10} = 1.585$、$G_{LNA,lin} = 10^{20/10} = 100$
• $NF_{IFA,lin} = 10^{4/10} = 2.512$
• mixer conversion loss 假設 $\approx 8\,\text{dB}$（典型 passive mixer）→ $G_{mix} = 10^{-8/10} = 0.158$assume the mixer conversion loss $\approx 8\,\text{dB}$ (typical of a passive mixer) → $G_{mix} = 10^{-8/10} = 0.158$ミキサの変換損失を $\approx 8\,\text{dB}$ と仮定（パッシブミキサの典型値）→ $G_{mix} = 10^{-8/10} = 0.158$

第三項（IF amp 經兩級增益回推）：$\dfrac{NF_{IFA}-1}{G_{LNA}G_{mix}} = \dfrac{2.512-1}{100\times 0.158} = \dfrac{1.512}{15.8} \approx 0.096$the third term (the IF amp referred back through two stages of gain): $\dfrac{NF_{IFA}-1}{G_{LNA}G_{mix}} = \dfrac{2.512-1}{100\times 0.158} = \dfrac{1.512}{15.8} \approx 0.096$第 3 項（IF amp を 2 段の利得で入力換算）：$\dfrac{NF_{IFA}-1}{G_{LNA}G_{mix}} = \dfrac{2.512-1}{100\times 0.158} = \dfrac{1.512}{15.8} \approx 0.096$

解 mixer 項：$\dfrac{NF_{mix}-1}{100} \leq 3.981 - 1.585 - 0.096 = 2.30$Solving for the mixer term: $\dfrac{NF_{mix}-1}{100} \leq 3.981 - 1.585 - 0.096 = 2.30$ミキサの項について解く：$\dfrac{NF_{mix}-1}{100} \leq 3.981 - 1.585 - 0.096 = 2.30$

$$\Rightarrow NF_{mix,lin} \leq 1 + 100\times 2.30 = 231$$

(b) Mixer IIP3 budget — 公式與來源（IIP3 cascade 公式，兩級近似，全 linear mW）：(b) The mixer IIP3 budget — formula and source (the IIP3 cascade formula, two-stage approximation, all in linear mW):(b) ミキサ IIP3 バジェット — 公式と出典（IIP3 cascade 公式、2 段近似、すべて linear mW）：

$$\dfrac{1}{IIP3_{sys}} \approx \dfrac{1}{IIP3_{LNA}} + \dfrac{G_{LNA}}{IIP3_{mix}}$$

逐步代入Substituting step by step順に代入 — dBm 轉 mW：$IIP3_{LNA} = 10^{-5/10} = 0.316\,\text{mW}$、$IIP3_{sys} = 10^{-15/10} = 0.0316\,\text{mW}$、$G_{LNA} = 100$： — converting dBm to mW: $IIP3_{LNA} = 10^{-5/10} = 0.316\,\text{mW}$, $IIP3_{sys} = 10^{-15/10} = 0.0316\,\text{mW}$ and $G_{LNA} = 100$: — dBm を mW に変換：$IIP3_{LNA} = 10^{-5/10} = 0.316\,\text{mW}$、$IIP3_{sys} = 10^{-15/10} = 0.0316\,\text{mW}$、$G_{LNA} = 100$：

$$\dfrac{1}{0.0316} \leq \dfrac{1}{0.316} + \dfrac{100}{IIP3_{mix}} \;\Rightarrow\; 31.6 \leq 3.16 + \dfrac{100}{IIP3_{mix}}$$

$$\dfrac{100}{IIP3_{mix}} \geq 31.6 - 3.16 = 28.4 \;\Rightarrow\; IIP3_{mix} \geq \dfrac{100}{28.4} = 3.52\,\text{mW} = 10\log_{10}(3.52) = +5.5\,\text{dBm}$$

(c) Topology choice：(c) Topology choice:(c) トポロジーの選択：選 choose the 選ぶべきは double-balanced ring mixer。理由：(1) 它同時抑制 even LO harmonics 與 even RF harmonics，在頻譜擁擠的 5G sub-6 GHz 環境提供必要的 spectral purity；(2) LO-to-RF isolation（~40 dB）防止 LO 洩漏經 LNA 反向輻射到天線。. The reasons: (1) it suppresses both even LO harmonics and even RF harmonics, providing the spectral purity needed in the crowded 5G sub-6 GHz environment; (2) its LO-to-RF isolation (~40 dB) stops the LO leaking back through the LNA and radiating from the antenna.です。理由：(1) even LO harmonics と even RF harmonics を同時に抑制し、スペクトルが混雑する 5G sub-6 GHz 環境で必要な spectral purity を提供すること、(2) LO-to-RF アイソレーション（~40 dB）が、LO の漏れが LNA を逆流してアンテナから放射されるのを防ぐこと。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：注意兩個 budget 的「方向」相反 — LNA 增益越大，mixer 的 NF 要求越鬆（除以 $G_{LNA}$）、IIP3 要求卻越緊（乘上 $G_{LNA}$）。NF 上限 23.6 dB 很容易達標，但 IIP3 ≥ +5.5 dBm 需要夠大的 LO drive（level-13 以上的 diode ring 或 active mixer），這就是「線性度由後級主宰、雜訊由前級主宰」的典型表現。 Note that the two budgets pull in opposite directions — the greater the LNA gain, the looser the mixer's NF requirement (divided by $G_{LNA}$) but the tighter its IIP3 requirement (multiplied by $G_{LNA}$). An NF ceiling of 23.6 dB is easily met, but an IIP3 ≥ +5.5 dBm needs a substantial LO drive (a level-13 or higher diode ring, or an active mixer) — a textbook illustration of “linearity is dominated by the later stages, noise by the earlier ones”.二つのバジェットの「方向」が逆であることに注意してください — LNA 利得が大きいほどミキサの NF 要求は緩くなり（$G_{LNA}$ で割る）、逆に IIP3 要求は厳しくなります（$G_{LNA}$ を掛ける）。NF 上限 23.6 dB は容易に達成できますが、IIP3 ≥ +5.5 dBm には十分大きな LO ドライブ（level-13 以上のダイオードリング、またはアクティブミキサ）が必要で、これは「直線性は後段が支配し、雑音は前段が支配する」の典型的な現れです。

已知/目標：Given / required:既知/目標：mixer 的 $IIP3 = +5\,\text{dBm}$（input-referred）、兩個等功率 RF tone 各 $P_{in} = -10\,\text{dBm}$、conversion loss $L_C = 7\,\text{dB}$。求 (a) 輸出端 IM3 相對 fundamental 的電平、(b) IM3 追上 fundamental 的輸入功率。 A mixer has $IIP3 = +5\,\text{dBm}$ (input-referred), two equal-power RF tones each at $P_{in} = -10\,\text{dBm}$, and a conversion loss $L_C = 7\,\text{dB}$. Find (a) the IM3 level relative to the fundamental at the output and (b) the input power at which IM3 catches up with the fundamental.ミキサの $IIP3 = +5\,\text{dBm}$（input-referred）、等電力の RF トーン 2 波が各 $P_{in} = -10\,\text{dBm}$、変換損失 $L_C = 7\,\text{dB}$。(a) 出力端における基本波に対する IM3 のレベル、(b) IM3 が基本波に追いつく入力電力を求めます。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：IM3 以 3:1 斜率成長、fundamental 以 1:1 成長，兩線外插交於 intercept point。由幾何關係（全部 dBm/dB）： IM3 grows with a 3:1 slope and the fundamental with a 1:1 slope, and the two extrapolated lines cross at the intercept point. From the geometry (everything in dBm/dB):IM3 は 3:1 の傾きで、基本波は 1:1 の傾きで増加し、両者の外挿直線はインターセプト点で交わります。幾何関係より（すべて dBm/dB）：

$$P_{IM3,in} = 3P_{in} - 2\cdot IIP3, \qquad \Delta_{IM3} = P_{fund} - P_{IM3} = 2(IIP3 - P_{in})$$

逐步代入：Substituting step by step:順に代入：

(a) input-referred IM3：$P_{IM3,in} = 3\times(-10) - 2\times(+5) = -30 - 10 = -40\,\text{dBm}$。(a) Input-referred IM3: $P_{IM3,in} = 3\times(-10) - 2\times(+5) = -30 - 10 = -40\,\text{dBm}$.(a) input-referred IM3：$P_{IM3,in} = 3\times(-10) - 2\times(+5) = -30 - 10 = -40\,\text{dBm}$。

兩者同樣經過 $L_C = 7\,\text{dB}$ 轉到 IF：fundamental IF $= -10 - 7 = -17\,\text{dBm}$；IM3 at IF $= -40 - 7 = -47\,\text{dBm}$。相對電平 $= -17-(-47) = 30\,\text{dB}$（conversion loss 對兩者相同，所以相對值不變）。Both pass through the same $L_C = 7\,\text{dB}$ on the way to IF: the fundamental at IF $= -10 - 7 = -17\,\text{dBm}$ and the IM3 at IF $= -40 - 7 = -47\,\text{dBm}$. The relative level $= -17-(-47) = 30\,\text{dB}$ (the conversion loss being the same for both, the relative value is unchanged).両者は同じ $L_C = 7\,\text{dB}$ を経て IF に変換されます：IF での基本波 $= -10 - 7 = -17\,\text{dBm}$、IF での IM3 $= -40 - 7 = -47\,\text{dBm}$。相対レベルは $= -17-(-47) = 30\,\text{dB}$（変換損失は両者に共通なので相対値は変わりません）。

交叉驗證：$\Delta_{IM3} = 2(IIP3 - P_{in}) = 2\times(5-(-10)) = 2\times 15 = 30\,\text{dB}$ ✓Cross-check: $\Delta_{IM3} = 2(IIP3 - P_{in}) = 2\times(5-(-10)) = 2\times 15 = 30\,\text{dB}$ ✓交差検証：$\Delta_{IM3} = 2(IIP3 - P_{in}) = 2\times(5-(-10)) = 2\times 15 = 30\,\text{dB}$ ✓

(b) 由 intercept 的定義，IM3 線與 fundamental 線交點就在 $P_{in} = IIP3$，故 $P_{in} = \mathbf{+5\,dBm}$（此時 $\Delta_{IM3} = 2(5-5) = 0$ ✓）。(b) By the definition of the intercept, the IM3 line meets the fundamental line at $P_{in} = IIP3$, so $P_{in} = \mathbf{+5\,dBm}$ (at which $\Delta_{IM3} = 2(5-5) = 0$ ✓).(b) インターセプトの定義より、IM3 の直線と基本波の直線の交点はちょうど $P_{in} = IIP3$ にあり、したがって $P_{in} = \mathbf{+5\,dBm}$（このとき $\Delta_{IM3} = 2(5-5) = 0$ ✓）。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：記住兩條速算規則 — 輸入每升 1 dB，IM3 相對電平惡化 2 dB；輸入離 IIP3 每差 1 dB，IM3 就低於主訊號 2 dB。實際上 mixer 在遠未到 IIP3 前就已壓縮（$P_{1dB} \approx IIP3 - 10\,\text{dB}$），所以 (b) 的交點是外插出來的虛擬點，不能真的打到 +5 dBm 量它。 Remember two quick rules — every 1 dB rise in input worsens the relative IM3 level by 2 dB; and for every 1 dB the input sits below IIP3, the IM3 is 2 dB below the wanted signal. In reality a mixer compresses long before it reaches IIP3 ($P_{1dB} \approx IIP3 - 10\,\text{dB}$), so the crossing point in (b) is an extrapolated fiction and you cannot actually drive it to +5 dBm to measure it.二つの速算則を覚えてください — 入力が 1 dB 上がるごとに IM3 の相対レベルは 2 dB 悪化します。入力が IIP3 より 1 dB 低いごとに、IM3 は主信号より 2 dB 低くなります。実際にはミキサは IIP3 に達するはるか手前で圧縮するため（$P_{1dB} \approx IIP3 - 10\,\text{dB}$）、(b) の交点は外挿による仮想的な点であり、実際に +5 dBm まで加えて測定することはできません。

已知/目標：Given / required:既知/目標：$f_{LO} = 1000\,\text{MHz}$、$f_{RF} = 1100\,\text{MHz}$、目標 $f_{IF} = 100\,\text{MHz}$，IF passband 80–120 MHz。掃描 $m, n \leq 3$ 的所有 spur，找出落入通帶者。$f_{LO} = 1000\,\text{MHz}$, $f_{RF} = 1100\,\text{MHz}$, a target $f_{IF} = 100\,\text{MHz}$ and an IF passband of 80–120 MHz. Sweep all spurs with $m, n \leq 3$ and find those falling in the passband.$f_{LO} = 1000\,\text{MHz}$、$f_{RF} = 1100\,\text{MHz}$、目標 $f_{IF} = 100\,\text{MHz}$、IF 通過帯域 80–120 MHz。$m, n \leq 3$ のすべてのスプリアスを掃引し、通過帯域に落ちるものを求めます。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：非線性元件會產生所有諧波組合（spur chart 的依據）： A nonlinear element produces every combination of harmonics (the basis of the spur chart):非線形素子はあらゆる高調波の組み合わせを生成します（スプリアスチャートの根拠）：

$$f_{spur} = |m f_{LO} - n f_{RF}|, \quad m, n = 1, 2, 3$$

判斷準則：$80 \leq f_{spur} \leq 120\,\text{MHz}$ 即為 in-band spur。The criterion: $80 \leq f_{spur} \leq 120\,\text{MHz}$ makes it an in-band spur.判定基準：$80 \leq f_{spur} \leq 120\,\text{MHz}$ であれば帯域内スプリアスです。

逐步代入Substituting step by step順に代入 — 完整 3×3 掃描： — the complete 3×3 sweep: — 完全な 3×3 掃引：

結果：The result:結果：除了 desired 的 (1,1) 之外，最近的 spur 是 (2,2) 的 200 MHz，離通帶上緣 120 MHz 還有 80 MHz 的餘裕。 Apart from the desired (1,1), the nearest spur is the 200 MHz of (2,2), which leaves 80 MHz of clearance above the 120 MHz upper passband edge.希望波の (1,1) を除くと、最も近いスプリアスは (2,2) の 200 MHz で、通過帯域上端の 120 MHz からまだ 80 MHz の余裕があります。

延伸檢查：A further check:拡張チェック：若改 $f_{RF} = 1033\,\text{MHz}$（$f_{IF} = 33\,\text{MHz}$，假設通帶也跟著搬到 33 MHz 附近）：(3,2) 給 $|3000-2066|=934$、(2,3) 給 $|2000-3099|=1099$、(3,3) 給 $|3000-3099|=99$ — (3,3) spur 與 3 倍 IF 的關係變得逼近，顯示 RF/IF 比例的選擇直接決定 spur clearance。 If $f_{RF}$ were changed to $1033\,\text{MHz}$ ($f_{IF} = 33\,\text{MHz}$, assuming the passband moves to around 33 MHz too): (3,2) gives $|3000-2066|=934$, (2,3) gives $|2000-3099|=1099$ and (3,3) gives $|3000-3099|=99$ — the (3,3) spur comes uncomfortably close to 3× the IF, showing that the choice of RF/IF ratio directly determines the spur clearance.$f_{RF}$ を $1033\,\text{MHz}$ に変えた場合（$f_{IF} = 33\,\text{MHz}$、通過帯域も 33 MHz 付近に移るとします）：(3,2) は $|3000-2066|=934$、(2,3) は $|2000-3099|=1099$、(3,3) は $|3000-3099|=99$ — (3,3) のスプリアスが IF の 3 倍に不都合なほど近づき、RF/IF 比の選択がスプリアスの余裕を直接決めることを示しています。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：spur 落點只由 frequency plan 決定（跟 mixer 品質無關）；mixer 拓樸（balanced 與否）只能決定 spur 的「強度」。所以正確順序是：先用 spur table 把高階產物排開，再用 balanced topology 把剩下壓低 — 這正是 9.2 題的主題。 Where the spurs land is determined solely by the frequency plan (independently of the quality of the mixer); the mixer topology (balanced or not) only determines the *strength* of the spurs. So the correct order is: first use a spur table to move the high-order products out of the way, then use a balanced topology to push down what remains — which is exactly the subject of problem 9.2.スプリアスの落ちる位置は周波数プランのみで決まり（ミキサの品質とは無関係）、ミキサのトポロジー（平衡か否か）はスプリアスの「強度」だけを決めます。したがって正しい順序は：まずスプリアス表で高次の積を外し、次に平衡トポロジーで残りを押し下げる — これがまさに 9.2 題のテーマです。

已知/目標：Given / required:既知/目標：ZIF receiver，mixer 規格 $L_C = 8\,\text{dB}$、$NF_{SSB} = 10\,\text{dB}$、$IIP3 = +5\,\text{dBm}$；IF 頻寬 $B = 20\,\text{MHz}$、$T = 290\,\text{K}$。求 (a) noise floor、(b) IMFDR3、(c) −30 dBm blocker 的 IM3 是否違反 −90 dBm 要求。 A ZIF receiver with a mixer specified as $L_C = 8\,\text{dB}$, $NF_{SSB} = 10\,\text{dB}$ and $IIP3 = +5\,\text{dBm}$; the IF bandwidth is $B = 20\,\text{MHz}$ at $T = 290\,\text{K}$. Find (a) the noise floor, (b) the IMFDR3, and (c) whether the IM3 from a −30 dBm blocker violates the −90 dBm requirement.ZIF 受信機、ミキサ仕様は $L_C = 8\,\text{dB}$、$NF_{SSB} = 10\,\text{dB}$、$IIP3 = +5\,\text{dBm}$；IF 帯域幅 $B = 20\,\text{MHz}$、$T = 290\,\text{K}$。(a) 雑音フロア、(b) IMFDR3、(c) −30 dBm ブロッカーの IM3 が −90 dBm 要求に違反するかどうかを求めます。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：熱雜訊底（thermal noise floor）與 IM-free dynamic range 定義： The thermal noise floor and the definition of IM-free dynamic range:熱雑音フロア（thermal noise floor）と IM-free dynamic range の定義：

$$P_{noise} = \underbrace{-174\,\text{dBm/Hz}}_{kT,\,290\,\text{K}} + 10\log_{10}B + NF, \qquad IMFDR3 = \frac{2}{3}\left(IIP3 - P_{noise}\right)$$

係數 $2/3$ 來自：兩音輸入升到「IM3 恰好觸及 noise floor」時，可用範圍是 $(IIP3-P_{noise})$ 的 2/3（IM3 斜率 3 的幾何結果）。The factor $2/3$ arises because, as the two-tone input rises to the point where the IM3 just touches the noise floor, the usable range is 2/3 of $(IIP3-P_{noise})$ (a geometric consequence of the 3:1 IM3 slope).係数 $2/3$ は、2 トーン入力を「IM3 がちょうど雑音フロアに接する」点まで上げたとき、使用可能な範囲が $(IIP3-P_{noise})$ の 2/3 になることに由来します（IM3 の傾きが 3 であることの幾何学的帰結）。

逐步代入：Substituting step by step:順に代入：

(a) 頻寬項：$10\log_{10}(20\times 10^6) = 10\times 7.30 = 73\,\text{dB}$(a) The bandwidth term: $10\log_{10}(20\times 10^6) = 10\times 7.30 = 73\,\text{dB}$(a) 帯域幅項：$10\log_{10}(20\times 10^6) = 10\times 7.30 = 73\,\text{dB}$

$kTB = -174 + 73 = -101\,\text{dBm}$；noise floor $= kTB + NF_{mix} = -101 + 10 = \mathbf{-91\,dBm}$$kTB = -174 + 73 = -101\,\text{dBm}$; the noise floor $= kTB + NF_{mix} = -101 + 10 = \mathbf{-91\,dBm}$$kTB = -174 + 73 = -101\,\text{dBm}$；雑音フロア $= kTB + NF_{mix} = -101 + 10 = \mathbf{-91\,dBm}$

(b) $IMFDR3 = \dfrac{2}{3}\left(+5 - (-91)\right) = \dfrac{2}{3}\times 96 = \mathbf{64\,dB}$

(c) 兩個 blocker 等效兩音測試，IM3 落回 in-channel：(c) The two blockers are equivalent to a two-tone test, with the IM3 falling back in-channel:(c) 2 つのブロッカーは 2 トーン試験と等価で、IM3 はチャネル内に落ち戻ります：

$$P_{IM3} = 3P_{blocker} - 2\cdot IIP3 = 3\times(-30) - 2\times(+5) = -90 - 10 = -100\,\text{dBm}$$

敏感度檢查：A sensitivity check:感度チェック：若 blocker 升到 −25 dBm（只差 5 dB）：$P_{IM3} = 3(-25) - 10 = -85\,\text{dBm} > -90\,\text{dBm}$ → 違規。blocker 每升 1 dB，IM3 升 3 dB — 所以 IF low-pass filter 必須在 IM3 生成之前（mixer 前或 mixer 內）就把 $\Delta f = 40\,\text{MHz}$ 的 blocker 壓低至少 5 dB。 If the blocker rose to −25 dBm (only 5 dB more): $P_{IM3} = 3(-25) - 10 = -85\,\text{dBm} > -90\,\text{dBm}$ → a violation. Every 1 dB rise in the blocker raises the IM3 by 3 dB — so the IF low-pass filter must attenuate the blocker at $\Delta f = 40\,\text{MHz}$ by at least 5 dB *before* the IM3 is generated (ahead of, or inside, the mixer).ブロッカーが −25 dBm まで上がると（わずか 5 dB 差）：$P_{IM3} = 3(-25) - 10 = -85\,\text{dBm} > -90\,\text{dBm}$ → 違反です。ブロッカーが 1 dB 上がるごとに IM3 は 3 dB 上がります — したがって IF 低域通過フィルタは、IM3 が生成される前（ミキサの前またはミキサ内）に $\Delta f = 40\,\text{MHz}$ のブロッカーを少なくとも 5 dB 減衰させる必要があります。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：ZIF 架構沒有 RF channel filter，blocker 全額打進 mixer，所以 mixer 的 IIP3 直接決定抗鄰道能力。IMFDR3 = 64 dB 是這顆 mixer「雜訊底與失真底之間」可用的訊號窗口；設計餘裕要從提高 IIP3（LO drive）或縮小 $B$（降 noise floor）兩端去買。 A ZIF architecture has no RF channel filter, so the blocker hits the mixer at full strength and the mixer's IIP3 directly determines the adjacent-channel rejection. IMFDR3 = 64 dB is this mixer's usable signal window “between the noise floor and the distortion floor”; design margin has to be bought either by raising IIP3 (more LO drive) or by narrowing $B$ (lowering the noise floor).ZIF アーキテクチャには RF チャネルフィルタがないため、ブロッカーはそのままの大きさでミキサに入り、ミキサの IIP3 が隣接チャネル抑圧能力を直接決めます。IMFDR3 = 64 dB はこのミキサの「雑音フロアと歪みフロアの間」で使用できる信号窓です。設計余裕は IIP3 を上げる（LO ドライブを増やす）か、$B$ を狭める（雑音フロアを下げる）かのどちらかで買う必要があります。

已知/目標：Given / required:既知/目標：lossless branch-line hybrid 的 $[S]_{BL}$（見提示）、RF 從 port 1 進、LO（含 AM noise）從 port 4 進、兩顆 diode 接在 port 2/3。求各埠的振幅相位、兩路 IF 輸出，並證明 LO AM noise 在 IF combiner 相消。 The ideal $[S]_{BL}$ of a lossless branch-line hybrid (see the hint), with the RF entering port 1, the LO (including AM noise) entering port 4, and the two diodes at ports 2/3. Find the amplitude and phase at each port and the two IF outputs, and prove that the LO AM noise cancels at the IF combiner.無損失の branch-line hybrid の $[S]_{BL}$（ヒント参照）、RF は port 1 から入り、LO（AM ノイズを含む）は port 4 から入り、2 個のダイオードは port 2/3 に接続されます。各ポートの振幅と位相、2 系統の IF 出力を求め、LO の AM ノイズが IF 合成器で相殺されることを証明します。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：$b_i = S_{ij} a_j$（S-parameter 定義）；diode mixer 的 difference-frequency 產物相位為 $\phi_{IF} = \phi_{RF} - \phi_{LO}$（由 $\cos(\omega_{RF}t+\phi_{RF})\cos(\omega_{LO}t+\phi_{LO})$ 積化和差的差頻項直接讀出）。$b_i = S_{ij} a_j$ (the S-parameter definition); the phase of a diode mixer's difference-frequency product is $\phi_{IF} = \phi_{RF} - \phi_{LO}$ (read directly off the difference term of the product-to-sum expansion of $\cos(\omega_{RF}t+\phi_{RF})\cos(\omega_{LO}t+\phi_{LO})$).$b_i = S_{ij} a_j$（S-parameter の定義）；ダイオードミキサの差周波数積の位相は $\phi_{IF} = \phi_{RF} - \phi_{LO}$ です（$\cos(\omega_{RF}t+\phi_{RF})\cos(\omega_{LO}t+\phi_{LO})$ の積和公式における差周波数項から直接読み取れます）。

(a) 逐步代入(a) Substituting step by step(a) 順に代入 — port 1 激發 $a_1 = V_{RF}$，讀 $[S]_{BL}$ 第一行（column 1）： — exciting port 1 with $a_1 = V_{RF}$ and reading column 1 of $[S]_{BL}$: — port 1 を $a_1 = V_{RF}$ で励振し、$[S]_{BL}$ の第 1 列（column 1）を読みます：

Port 2：$S_{21}V_{RF} = \frac{-1}{\sqrt{2}}(j)V_{RF} = \frac{-j}{\sqrt{2}}V_{RF}$（−3 dB, Port 2: $S_{21}V_{RF} = \frac{-1}{\sqrt{2}}(j)V_{RF} = \frac{-j}{\sqrt{2}}V_{RF}$ (−3 dB, Port 2：$S_{21}V_{RF} = \frac{-1}{\sqrt{2}}(j)V_{RF} = \frac{-j}{\sqrt{2}}V_{RF}$（−3 dB, −90°）)）
Port 3：$S_{31}V_{RF} = \frac{-1}{\sqrt{2}}V_{RF}$（−3 dB, Port 3: $S_{31}V_{RF} = \frac{-1}{\sqrt{2}}V_{RF}$ (−3 dB, Port 3：$S_{31}V_{RF} = \frac{-1}{\sqrt{2}}V_{RF}$（−3 dB, −180°）)）
Port 4：$S_{41}V_{RF} = 0$（ Port 4: $S_{41}V_{RF} = 0$ ( Port 4：$S_{41}V_{RF} = 0$（isolated — RF 不會漏進 LO 埠） — the RF does not leak into the LO port) — RF は LO ポートへ漏れません）

(b) LO 從 port 4 進（$a_4 = V_{LO}[1+m(t)]$，$m(t)$ 為 AM noise）。由 $[S]_{BL}$ 第 4 行：$S_{24} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$（−180°）、$S_{34} = \frac{-j}{\sqrt{2}}$（−90°）。 The LO enters at port 4 ($a_4 = V_{LO}[1+m(t)]$, with $m(t)$ the AM noise). From row 4 of $[S]_{BL}$: $S_{24} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ (−180°) and $S_{34} = \frac{-j}{\sqrt{2}}$ (−90°). LO は port 4 から入ります（$a_4 = V_{LO}[1+m(t)]$、$m(t)$ は AM ノイズ）。$[S]_{BL}$ の第 4 行より：$S_{24} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$（−180°）、$S_{34} = \frac{-j}{\sqrt{2}}$（−90°）。（更正：原版把 LO 在 port 2/3 的相位寫反；結論不變。）(Correction: the original version had the LO phases at ports 2/3 the wrong way round; the conclusion is unchanged.)（訂正：元の版では port 2/3 における LO の位相が逆に書かれていました。結論は変わりません。）整理各 diode 收到的訊號： Collecting what each diode receives:各ダイオードが受け取る信号を整理します：

所以兩路 IF（振幅各 $\propto \tfrac{1}{2}V_{RF}V_{LO}[1+m]$）：So the two IF paths (each of amplitude $\propto \tfrac{1}{2}V_{RF}V_{LO}[1+m]$):したがって 2 系統の IF（振幅は各 $\propto \tfrac{1}{2}V_{RF}V_{LO}[1+m]$）：

$$i_1 \propto \tfrac{1}{2}V_{RF}V_{LO}[1+m]\cos(\omega_{IF}t + 90°), \qquad i_2 \propto \tfrac{1}{2}V_{RF}V_{LO}[1+m]\cos(\omega_{IF}t - 90°)$$

兩路 IF 訊號The two IF signals are 2 系統の IF 信号は反相（相差 180°）in anti-phase (180° apart)逆相（位相差 180°）→ 在減法 combiner（$i_1 - i_2$，或其中一顆 diode 反接）中相加。→ so they add in a subtracting combiner ($i_1 - i_2$, or with one of the diodes reversed).→ 減算合成器（$i_1 - i_2$、またはダイオードの一方を逆接続）では加算されます。

(c) AM noise 相消：(c) AM-noise cancellation:(c) AM ノイズの相殺：LO 的 AM noise 不是經由 mixing 產生，而是經 diode 的 The LO's AM noise is not produced by mixing but appears directly in the IF band through the diode's LO の AM ノイズはミキシングによって生じるのではなく、ダイオードの包絡檢波（envelope detection）envelope detection包絡線検波（envelope detection）直接出現在 IF 頻帶：$i_{n} \propto V_{LO}\,m(t)$。這個檢波輸出只跟 LO 的「振幅」有關、不繼承 carrier 相位 — 而兩顆 diode 收到的 LO 振幅相同（同樣 −3 dB split），所以兩路的 AM noise 電流: $i_{n} \propto V_{LO}\,m(t)$. This detected output depends only on the LO's *amplitude* and does not inherit the carrier phase — and both diodes receive the same LO amplitude (the same −3 dB split), so the AM-noise currents on the two paths are により直接 IF 帯域に現れます：$i_{n} \propto V_{LO}\,m(t)$。この検波出力は LO の「振幅」だけに依存し、搬送波の位相を引き継ぎません — そして 2 個のダイオードが受け取る LO の振幅は同じ（同じ −3 dB 分配）なので、2 系統の AM ノイズ電流は同相（common mode）in phase (common mode)同相（common mode）。在減法 combiner：. In the subtracting combiner:。減算合成器では：

$$i_{IF} = i_1 - i_2 = \underbrace{2\times\text{desired IF}}_{\text{反相 → 相減後相加}} + \underbrace{(i_{n} - i_{n})}_{=\,0}$$$$i_{IF} = i_1 - i_2 = \underbrace{2\times\text{desired IF}}_{\text{anti-phase → adds on subtraction}} + \underbrace{(i_{n} - i_{n})}_{=\,0}$$$$i_{IF} = i_1 - i_2 = \underbrace{2\times\text{desired IF}}_{\text{anti-phase → adds on subtraction}} + \underbrace{(i_{n} - i_{n})}_{=\,0}$$

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：balanced mixer 的核心就是讓「要的訊號」與「不要的訊號」在 combiner 處呈現不同的 odd/even 對稱性：desired IF 帶著 ±90° 的路徑相位差（differential），AM noise 不帶相位（common）— 一個減法就同時做到「訊號相加、噪聲相消」。抑制量受兩顆 diode 匹配度限制，實務約 20–30 dB。 The essence of a balanced mixer is to give the wanted and the unwanted signals different odd/even symmetries at the combiner: the desired IF carries a ±90° path phase difference (differential) while the AM noise carries none (common mode) — so a single subtraction simultaneously adds the signal and cancels the noise. The depth of suppression is limited by how well the two diodes are matched, typically 20–30 dB in practice.平衡ミキサの核心は、「必要な信号」と「不要な信号」を合成器において異なる奇偶対称性で現れさせることです：希望 IF は ±90° の経路位相差を持ち（differential）、AM ノイズは位相差を持ちません（common） — 一度の減算で「信号は加算、雑音は相殺」を同時に実現します。抑圧量は 2 個のダイオードの整合度で制限され、実務では約 20–30 dB です。

已知/目標：Given / required:既知/目標：$f_0 = 2.4\,\text{GHz}$、$Z_0 = 50\,\Omega$，基板 RO4003C；$50\,\Omega$ 線 $\varepsilon_{eff} \approx 2.64$、$35.4\,\Omega$ 線 $\varepsilon_{eff} \approx 2.85$。求四臂阻抗、各臂實體長度、總面積。$f_0 = 2.4\,\text{GHz}$ and $Z_0 = 50\,\Omega$ on RO4003C substrate; the $50\,\Omega$ line has $\varepsilon_{eff} \approx 2.64$ and the $35.4\,\Omega$ line $\varepsilon_{eff} \approx 2.85$. Find the four arm impedances, the physical length of each arm, and the total area.$f_0 = 2.4\,\text{GHz}$、$Z_0 = 50\,\Omega$、基板は RO4003C；$50\,\Omega$ 線は $\varepsilon_{eff} \approx 2.64$、$35.4\,\Omega$ 線は $\varepsilon_{eff} \approx 2.85$。四つのアームのインピーダンス、各アームの実体長、総面積を求めます。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：branch-line coupler 的標準設計（由 even-odd mode 匹配條件導出）：series 臂 $Z_0$、shunt 臂 $Z_0/\sqrt{2}$，全部 $\lambda_g/4$。microstrip 的 guided wavelength： The standard branch-line coupler design (derived from the even-odd mode matching conditions): series arms of $Z_0$, shunt arms of $Z_0/\sqrt{2}$, all $\lambda_g/4$ long. The guided wavelength in microstrip:branch-line coupler の標準設計（even-odd mode の整合条件から導出）：series アーム $Z_0$、shunt アーム $Z_0/\sqrt{2}$、すべて $\lambda_g/4$。microstrip の guided wavelength：

$$\lambda_g = \frac{c}{f_0\sqrt{\varepsilon_{eff}}}, \qquad L_{arm} = \frac{\lambda_g}{4}$$

注意 $\varepsilon_{eff}$ 與線寬有關：低阻抗線較寬 → 場更集中於介質 → $\varepsilon_{eff}$ 較大 → 同頻率下波長略短。Note that $\varepsilon_{eff}$ depends on line width: a lower-impedance line is wider → the field is more concentrated in the dielectric → $\varepsilon_{eff}$ is larger → the wavelength is slightly shorter at the same frequency.$\varepsilon_{eff}$ が線幅に依存する点に注意してください：低インピーダンス線は幅が広い → 電界が誘電体により集中する → $\varepsilon_{eff}$ が大きくなる → 同じ周波数で波長がやや短くなります。

逐步代入：Substituting step by step:順に代入：

(a) series 臂（上/下）：$Z_0 = 50\,\Omega$；shunt 臂（左/右）：$Z_0/\sqrt{2} = 50/1.414 = 35.4\,\Omega$。(a) The series arms (top/bottom): $Z_0 = 50\,\Omega$; the shunt arms (left/right): $Z_0/\sqrt{2} = 50/1.414 = 35.4\,\Omega$.(a) series アーム（上/下）：$Z_0 = 50\,\Omega$；shunt アーム（左/右）：$Z_0/\sqrt{2} = 50/1.414 = 35.4\,\Omega$。

(b) 50 Ω 臂（$c = 3\times 10^{11}\,\text{mm/s}$、$f_0 = 2.4\times 10^9\,\text{Hz}$）：(b) The 50 Ω arms (with $c = 3\times 10^{11}\,\text{mm/s}$ and $f_0 = 2.4\times 10^9\,\text{Hz}$):(b) 50 Ω アーム（$c = 3\times 10^{11}\,\text{mm/s}$、$f_0 = 2.4\times 10^9\,\text{Hz}$）：

$$\lambda_{g,50} = \dfrac{3\times10^{11}}{2.4\times10^9\times\sqrt{2.64}} = \dfrac{125\,\text{mm}}{1.625} = 76.9\,\text{mm} \;\Rightarrow\; L_{50} = \frac{76.9}{4} = \mathbf{19.2\,mm}\;(W = 1.13\,\text{mm})$$

35.4 Ω 臂：The 35.4 Ω arms:35.4 Ω アーム：

$$\lambda_{g,35.4} = \dfrac{3\times10^{11}}{2.4\times10^9\times\sqrt{2.85}} = \dfrac{125\,\text{mm}}{1.688} = 74.0\,\text{mm} \;\Rightarrow\; L_{35.4} = \frac{74.0}{4} = \mathbf{18.5\,mm}\;(W = 2.08\,\text{mm})$$

(c) coupler 為一個約 $19.2\,\text{mm} \times 18.5\,\text{mm}$ 的方環（series 臂長 × shunt 臂長）。(c) The coupler is a square ring of about $19.2\,\text{mm} \times 18.5\,\text{mm}$ (series arm length × shunt arm length).(c) coupler は約 $19.2\,\text{mm} \times 18.5\,\text{mm}$ の正方形リングです（series アーム長 × shunt アーム長）。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：3.6 cm² 在 2.4 GHz 的 PCB 上已算可觀 — 分佈式 hybrid 的面積 $\propto \lambda_g^2 \propto 1/f_0^2$，這就是為什麼低頻（sub-GHz）寧可用 lumped LC 或 transformer hybrid，而毫米波段 branch-line 反而變得迷你。兩臂長度略有差（19.2 vs 18.5 mm）提醒：不同阻抗的線必須各自用自己的 $\varepsilon_{eff}$ 算長度，不能共用。 3.6 cm² is already substantial on a PCB at 2.4 GHz — the area of a distributed hybrid goes as $\lambda_g^2 \propto 1/f_0^2$, which is why sub-GHz designs prefer lumped LC or transformer hybrids, while at millimetre-wave a branch-line becomes tiny. The slight difference in arm lengths (19.2 vs 18.5 mm) is a reminder that lines of different impedance must each use their own $\varepsilon_{eff}$; you cannot share one value.3.6 cm² は 2.4 GHz の PCB 上では既にかなりの大きさです — 分布定数ハイブリッドの面積は $\lambda_g^2 \propto 1/f_0^2$ なので、低周波（sub-GHz）では lumped LC やトランス型ハイブリッドが好まれ、ミリ波帯では branch-line は逆に極めて小さくなります。両アームの長さがわずかに異なる（19.2 対 18.5 mm）ことは、インピーダンスの異なる線はそれぞれ自分の $\varepsilon_{eff}$ を用いて長さを計算しなければならず、共用できないことを示しています。

已知/目標：Given / required:既知/目標：RF 5.18–5.32 GHz、LO 5.08–5.22 GHz、IF 100 MHz、$L_C \leq 9\,\text{dB}$、LO-RF isolation ≥ 25 dB、AM noise rejection ≥ 20 dB，FR4 基板（$\varepsilon_{eff,50\Omega} \approx 3.2$）。求 coupler 頻寬需求、方塊圖、90° vs 180° 的理由、實體尺寸。 RF 5.18–5.32 GHz, LO 5.08–5.22 GHz, IF 100 MHz, $L_C \leq 9\,\text{dB}$, LO-RF isolation ≥ 25 dB, AM noise rejection ≥ 20 dB, on FR4 substrate ($\varepsilon_{eff,50\Omega} \approx 3.2$). Find the coupler bandwidth requirement, the block diagram, the reasoning for 90° vs 180°, and the physical dimensions.RF 5.18–5.32 GHz、LO 5.08–5.22 GHz、IF 100 MHz、$L_C \leq 9\,\text{dB}$、LO-RF アイソレーション ≥ 25 dB、AM ノイズ除去 ≥ 20 dB、FR4 基板（$\varepsilon_{eff,50\Omega} \approx 3.2$）。coupler の帯域幅要求、ブロック図、90° と 180° の選択理由、実体寸法を求めます。

(a) 公式與來源(a) Formula and source(a) 公式と出典 — fractional bandwidth 定義 $FBW = BW/f_0$。 — the definition of fractional bandwidth, $FBW = BW/f_0$. — fractional bandwidth の定義 $FBW = BW/f_0$。逐步代入：Substituting step by step:順に代入：hybrid 必須同時涵蓋 RF（5.18–5.32）與 LO（5.08–5.22）→ 總涵蓋範圍 5.08–5.32 GHz，但以 RF band 計： The hybrid must cover both the RF (5.18–5.32) and the LO (5.08–5.22) → a total span of 5.08–5.32 GHz, but reckoned against the RF band:hybrid は RF（5.18–5.32）と LO（5.08–5.22）の両方を同時にカバーする必要があります → 総カバー範囲は 5.08–5.32 GHz ですが、RF band を基準に計算すると：

$$BW = 5.32 - 5.18 = 0.14\,\text{GHz}, \quad f_0 = \frac{5.18+5.32}{2} = 5.25\,\text{GHz}, \quad FBW = \frac{140}{5250} \approx \mathbf{2.7\%}$$

branch-line coupler 典型可用頻寬約 ±10–15%（amplitude/phase balance 劣化前），2.7% 遠在舒適區內 ✓（即使算入 LO 下緣 5.08 GHz，總 FBW 也只有 $240/5200 \approx 4.6\%$。）A branch-line coupler's typical usable bandwidth is about ±10–15% (before the amplitude/phase balance degrades), so 2.7% is comfortably inside it ✓ (even counting the LO's lower edge at 5.08 GHz, the total FBW is only $240/5200 \approx 4.6\%$.)branch-line coupler の典型的な使用可能帯域幅は約 ±10–15%（振幅/位相バランスが劣化する前）なので、2.7% は十分に余裕のある範囲です ✓（LO 下端の 5.08 GHz を含めても、総 FBW は $240/5200 \approx 4.6\%$ にすぎません。）

(b) Block diagram（文字版）： Block diagram (in words): ブロック図（文章版）：
   RF → Port 1 of 90° Hybrid
   LO → Port 4 of 90° Hybrid（port 1↔4 isolated → 天然提供 LO-RF isolation）    LO → Port 4 of the 90° hybrid (ports 1↔4 are isolated → providing LO-RF isolation naturally)    LO → 90° Hybrid の Port 4（port 1↔4 は isolated → LO-RF アイソレーションを自然に提供）
   Port 2 → Diode D1 → IF1
   Port 3 → Diode D2 → IF2
   IF1, IF2 → 180° power combiner (or balun) → IF out（100 MHz low-pass 取出差頻）    IF1, IF2 → a 180° power combiner (or balun) → IF out (a 100 MHz low-pass extracts the difference frequency)    IF1, IF2 → 180° power combiner (or balun) → IF out（100 MHz low-pass で差周波数を取り出す）

(c) 90° hybrid 讓兩顆 diode 收到的 LO 振幅相同、AM noise 經 envelope detection 後在兩路 The 90° hybrid gives both diodes the same LO amplitude, so after envelope detection the AM noise is 90° hybrid は 2 個のダイオードに同じ LO 振幅を与えるので、AM ノイズは envelope detection を経た後、2 系統で同相（common mode）in phase (common mode)同相（common mode），IF 減法 combiner 直接相消（見 3.1 題推導）；desired IF 則帶 ±90° 路徑相位差呈 differential 而相加。spec 要求的 ≥ 20 dB AM noise rejection 由兩 diode 的匹配度保證（典型可達 20–30 dB）。 on the two paths and the subtracting IF combiner cancels it outright (see the derivation of problem 3.1); the desired IF, carrying a ±90° path phase difference, is differential and adds. The ≥ 20 dB of AM noise rejection required by the spec is guaranteed by how well the two diodes are matched (20–30 dB is typically achievable).となり、IF 減算合成器がそのまま相殺します（3.1 題の導出を参照）；希望 IF のほうは ±90° の経路位相差を持つため differential となり加算されます。spec が要求する ≥ 20 dB の AM ノイズ除去は 2 個のダイオードの整合度によって保証されます（典型的に 20–30 dB が得られます）。

(d) 逐步代入(d) Substituting step by step(d) 順に代入 — FR4 上 $f_0 = 5.25\,\text{GHz}$： — on FR4 at $f_0 = 5.25\,\text{GHz}$: — FR4 上で $f_0 = 5.25\,\text{GHz}$：

$$\lambda_{g} = \dfrac{c}{f_0\sqrt{\varepsilon_{eff}}} = \dfrac{3\times10^{11}\,\text{mm/s}}{5.25\times10^9\times\sqrt{3.2}} = \dfrac{57.1\,\text{mm}}{1.789} = 31.9\,\text{mm}$$

$$L_{arm} = \lambda_g/4 = 31.9/4 \approx 8.0\,\text{mm} \;\Rightarrow\; \text{footprint} \approx 8\times 8 = 64\,\text{mm}^2$$

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：這個設計把三個 spec 一次收掉：isolation 來自 hybrid 的 port 隔離、AM rejection 來自 balanced 對稱性、$L_C \leq 9\,\text{dB}$ 則靠單顆 diode 的 ~6–8 dB 加上 hybrid 損耗 0.5–1 dB（FR4 在 5 GHz 的 $\tan\delta$ 損耗偏高，留 margin）。注意 FR4 只用來估尺寸 — 量產 5 GHz 設計多半改用低損耗基板。 This design settles all three specs at once: the isolation comes from the hybrid's port isolation, the AM rejection from the balanced symmetry, and the $L_C \leq 9\,\text{dB}$ from a single diode's ~6–8 dB plus 0.5–1 dB of hybrid loss (FR4's $\tan\delta$ loss is rather high at 5 GHz, so leave margin). Note that FR4 is used here only to estimate dimensions — a production 5 GHz design would usually move to a low-loss substrate.この設計は三つの spec を一度に満たします：アイソレーションは hybrid のポート隔離から、AM rejection は平衡対称性から、$L_C \leq 9\,\text{dB}$ は単一ダイオードの ~6–8 dB に hybrid 損失 0.5–1 dB を加えたものから得られます（FR4 の 5 GHz における $\tan\delta$ 損失は高めなので margin を残します）。FR4 はここでは寸法の見積もりに使っているだけである点に注意してください — 量産の 5 GHz 設計では通常、低損失基板に変更します。

已知/目標：Given / required:既知/目標：rat-race 的理想 $[S]$（題目給定，係數 $\frac{-j}{\sqrt{2}}$）。分別以 port 1（Σ）與 port 4（Δ）激發，讀出各埠輸出的振幅與相位。 The ideal $[S]$ of a rat-race (given in the problem, with a coefficient of $\frac{-j}{\sqrt{2}}$). Excite port 1 (Σ) and port 4 (Δ) in turn, and read off the amplitude and phase at each output port.rat-race の理想的な $[S]$（問題で与えられ、係数は $\frac{-j}{\sqrt{2}}$）。port 1（Σ）と port 4（Δ）で順に励振し、各ポートの出力の振幅と位相を読み取ります。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：S-parameter 定義 $b_i = \sum_j S_{ij}a_j$；單埠激發時 $b_i = S_{ij}a_j$，直接「查矩陣第 $j$ 行」。振幅 $\left|\frac{-j}{\sqrt{2}}\right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ → $20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{2}} = -3\,\text{dB}$；相位 $\angle(-j) = -90°$、$\angle(+j) = +90°$。 The S-parameter definition $b_i = \sum_j S_{ij}a_j$; for a single-port excitation $b_i = S_{ij}a_j$, so you simply “read column $j$ of the matrix”. The amplitude $\left|\frac{-j}{\sqrt{2}}\right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ → $20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{2}} = -3\,\text{dB}$; the phases are $\angle(-j) = -90°$ and $\angle(+j) = +90°$.S-parameter の定義 $b_i = \sum_j S_{ij}a_j$；単一ポート励振では $b_i = S_{ij}a_j$ なので、そのまま「行列の第 $j$ 列を読む」だけです。振幅 $\left|\frac{-j}{\sqrt{2}}\right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ → $20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{2}} = -3\,\text{dB}$；位相は $\angle(-j) = -90°$、$\angle(+j) = +90°$。

(a) 逐步代入(a) Substituting step by step(a) 順に代入 — port 1（Σ）激發 $a_1$，讀第 1 行（matrix 元素依序 $0, 1, 1, 0$）： — exciting port 1 (Σ) with $a_1$ and reading row 1 (matrix elements $0, 1, 1, 0$ in order): — port 1（Σ）を $a_1$ で励振し、第 1 行を読みます（行列要素は順に $0, 1, 1, 0$）：

$b_2 = S_{21}a_1 = \frac{-j}{\sqrt{2}}\cdot 1\cdot a_1$ → −3 dB, −90°

$b_3 = S_{31}a_1 = \frac{-j}{\sqrt{2}}\cdot 1\cdot a_1$ → −3 dB, −90°（與 port 2 同相）(in phase with port 2)（port 2 と同相）

$b_4 = S_{41}a_1 = \frac{-j}{\sqrt{2}}\cdot 0 = 0$ → isolated

Σ port 對 ports 2、3 做等幅同相分配（in-phase split）。The Σ port splits equally and in phase to ports 2 and 3 (an in-phase split).Σ port は ports 2、3 へ等振幅・同相で分配します（in-phase split）。

(b) port 4（Δ）激發 $a_4$，讀第 4 行（元素 $0, -1, 1, 0$）： Exciting port 4 (Δ) with $a_4$ and reading row 4 (elements $0, -1, 1, 0$): port 4（Δ）を $a_4$ で励振し、第 4 行を読みます（要素 $0, -1, 1, 0$）：

$b_2 = S_{24}a_4 = \frac{-j}{\sqrt{2}}\cdot(-1)\cdot a_4 = \frac{+j}{\sqrt{2}}a_4$ → −3 dB, +90°

$b_3 = S_{34}a_4 = \frac{-j}{\sqrt{2}}\cdot(+1)\cdot a_4 = \frac{-j}{\sqrt{2}}a_4$ → −3 dB, −90°

$b_1 = S_{14}a_4 = 0$ → port 1（Σ）對 Δ 隔離port 1 (Σ) is isolated from Δport 1（Σ）は Δ に対してアイソレート ✓

(c) Δ 激發下 port 2 為 +90°、port 3 為 −90° → 相位差 $+90° - (-90°) = \mathbf{180°}$（anti-phase pair）。 Under Δ excitation port 2 is at +90° and port 3 at −90° → a phase difference of $+90° - (-90°) = \mathbf{180°}$ (an anti-phase pair). Δ 励振では port 2 が +90°、port 3 が −90° → 位相差 $+90° - (-90°) = \mathbf{180°}$（anti-phase pair）。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：Σ/Δ 的行為來自環上兩條路徑的長度差：到兩輸出埠等長（各 $\lambda/4$）→ 同相；經 $3\lambda/4$ 長臂的那條多走 $\lambda/2$ → 反相。這對 0°/180° 輸出正是 180° single-balanced mixer 要的：LO 從 Δ 進讓兩顆 diode 反相切換、RF 從 Σ 進同相饋入（見 4.4 題），且 Σ↔Δ 隔離天然給出 LO-RF isolation。 The Σ/Δ behaviour comes from the difference in path length around the ring: the paths to the two output ports are equal (each $\lambda/4$) → in phase; while the path through the $3\lambda/4$ long arm travels an extra $\lambda/2$ → in anti-phase. This pair of 0°/180° outputs is exactly what a 180° single-balanced mixer needs: the LO entering at Δ switches the two diodes in anti-phase and the RF entering at Σ feeds them in phase (see problem 4.4), while the natural Σ↔Δ isolation provides LO-RF isolation.Σ/Δ の振る舞いはリング上の 2 経路の長さの差から生じます：2 つの出力ポートまでは等長（各 $\lambda/4$）→ 同相、$3\lambda/4$ の長いアームを通る経路は $\lambda/2$ 余分に進む → 逆相。この 0°/180° 出力の組はまさに 180° 単平衡ミキサが必要とするものです：Δ から入る LO が 2 個のダイオードを逆相で切り替え、Σ から入る RF が同相で給電され（4.4 題参照）、さらに Σ↔Δ の隔離が自然に LO-RF アイソレーションを与えます。

已知/目標：Given / required:既知/目標：$f_0 = 10\,\text{GHz}$、$Z_0 = 50\,\Omega$，RT/Duroid 5880；環阻抗 $Z_R = \sqrt{2}\times 50 = 70.7\,\Omega$，此線寬下 $\varepsilon_{eff} \approx 1.84$、$W \approx 0.28\,\text{mm}$。求 $\lambda_g$、三段 $\lambda/4$ 臂與一段 $3\lambda/4$ 臂的實體長度、環總周長。$f_0 = 10\,\text{GHz}$ and $Z_0 = 50\,\Omega$ on RT/Duroid 5880; the ring impedance is $Z_R = \sqrt{2}\times 50 = 70.7\,\Omega$, and at that line width $\varepsilon_{eff} \approx 1.84$ with $W \approx 0.28\,\text{mm}$. Find $\lambda_g$, the physical lengths of the three $\lambda/4$ arms and the one $3\lambda/4$ arm, and the total ring circumference.$f_0 = 10\,\text{GHz}$、$Z_0 = 50\,\Omega$、RT/Duroid 5880；リングのインピーダンスは $Z_R = \sqrt{2}\times 50 = 70.7\,\Omega$、この線幅では $\varepsilon_{eff} \approx 1.84$、$W \approx 0.28\,\text{mm}$。$\lambda_g$、3 本の $\lambda/4$ アームと 1 本の $3\lambda/4$ アームの実体長、リングの総周長を求めます。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：rat-race 的標準結構 — 環特性阻抗 $Z_R = \sqrt{2}Z_0$（使每個 tee junction 對外匹配）、三段 $\lambda_g/4$ 短臂加一段 $3\lambda_g/4$ 長臂。guided wavelength： The standard rat-race structure — a ring characteristic impedance $Z_R = \sqrt{2}Z_0$ (making each tee junction matched to the outside), three $\lambda_g/4$ short arms plus one $3\lambda_g/4$ long arm. The guided wavelength:rat-race の標準構造 — リングの特性インピーダンス $Z_R = \sqrt{2}Z_0$（各 tee junction を外部に対して整合させる）、3 本の $\lambda_g/4$ 短アームと 1 本の $3\lambda_g/4$ 長アーム。guided wavelength：

$$\lambda_g = \frac{c}{f_0\sqrt{\varepsilon_{eff}}}$$

逐步代入：Substituting step by step:順に代入：

(a) $\lambda_g = \dfrac{3\times10^{11}\,\text{mm/s}}{10^{10}\,\text{Hz}\times\sqrt{1.84}} = \dfrac{30\,\text{mm}}{1.356} = \mathbf{22.1\,mm}$

（對照自由空間 $\lambda_0 = 30\,\text{mm}$：介質讓波長縮短 $\sqrt{1.84} = 1.36$ 倍。）(Compare free space, $\lambda_0 = 30\,\text{mm}$: the dielectric shortens the wavelength by a factor of $\sqrt{1.84} = 1.36$.)（自由空間 $\lambda_0 = 30\,\text{mm}$ との対照：誘電体により波長は $\sqrt{1.84} = 1.36$ 倍短くなります。）

(b) $L_{\lambda/4} = \dfrac{22.1}{4} = \mathbf{5.53\,mm}$（共三段）；$L_{3\lambda/4} = 3\times 5.53 = \mathbf{16.6\,mm}$（一段）。(b) $L_{\lambda/4} = \dfrac{22.1}{4} = \mathbf{5.53\,mm}$ (three of them); $L_{3\lambda/4} = 3\times 5.53 = \mathbf{16.6\,mm}$ (one).(b) $L_{\lambda/4} = \dfrac{22.1}{4} = \mathbf{5.53\,mm}$（計 3 本）；$L_{3\lambda/4} = 3\times 5.53 = \mathbf{16.6\,mm}$（1 本）。

(c) 總周長 $= 3\times L_{\lambda/4} + L_{3\lambda/4} = 3\times 5.53 + 16.6 = 16.6 + 16.6 = \mathbf{33.2\,mm}$。(c) The total circumference $= 3\times L_{\lambda/4} + L_{3\lambda/4} = 3\times 5.53 + 16.6 = 16.6 + 16.6 = \mathbf{33.2\,mm}$.(c) 総周長 $= 3\times L_{\lambda/4} + L_{3\lambda/4} = 3\times 5.53 + 16.6 = 16.6 + 16.6 = \mathbf{33.2\,mm}$。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：rat-race 周長固定是 $1.5\lambda_g$（直徑 $\approx 1.5\lambda_g/\pi \approx 10.6\,\text{mm}$），比同頻的 branch-line（周長 $\approx \lambda_g$）大一半 — 換來的是 Σ/Δ（0°/180°）功能與較佳的輸出隔離。低 $\varepsilon_r$ 的 5880（2.2）在 X-band 常用，因為損耗低、色散小；代價是電路略大。 A rat-race's circumference is always $1.5\lambda_g$ (a diameter of $\approx 1.5\lambda_g/\pi \approx 10.6\,\text{mm}$), half again as large as a branch-line at the same frequency (circumference $\approx \lambda_g$) — bought in exchange for the Σ/Δ (0°/180°) function and better output isolation. The low-$\varepsilon_r$ 5880 (2.2) is common at X-band because it is low-loss and low-dispersion; the price is a slightly larger circuit.rat-race の周長は常に $1.5\lambda_g$（直径 $\approx 1.5\lambda_g/\pi \approx 10.6\,\text{mm}$）で、同じ周波数の branch-line（周長 $\approx \lambda_g$）より 1.5 倍大きくなります — その代わりに Σ/Δ（0°/180°）機能と優れた出力アイソレーションが得られます。低 $\varepsilon_r$ の 5880（2.2）は損失が小さく分散も小さいため X-band でよく使われ、代償は回路がやや大きくなることです。

已知/目標：Given / required:既知/目標：port 1（Σ）激發，even/odd 分解為 $(+\tfrac{1}{2}, +\tfrac{1}{2})$ 與 $(+\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2})$ 加在 ports 1、4。求兩個 mode 下 port 4 看到的 stub 阻抗與 $\Gamma_e$、$\Gamma_o$，再用 $b_4 = \tfrac{1}{2}(\Gamma_e - \Gamma_o)$ 證明隔離。 Exciting port 1 (Σ), decomposed into even/odd excitations of $(+\tfrac{1}{2}, +\tfrac{1}{2})$ and $(+\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2})$ applied at ports 1 and 4. Find the stub impedances seen from port 4 in each mode along with $\Gamma_e$ and $\Gamma_o$, then prove the isolation using $b_4 = \tfrac{1}{2}(\Gamma_e - \Gamma_o)$.port 1（Σ）励振を、ports 1、4 に加える $(+\tfrac{1}{2}, +\tfrac{1}{2})$ と $(+\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2})$ の even/odd 励振に分解します。両モードで port 4 から見える stub のインピーダンスと $\Gamma_e$、$\Gamma_o$ を求め、さらに $b_4 = \tfrac{1}{2}(\Gamma_e - \Gamma_o)$ を用いてアイソレーションを証明します。

更正：Correction:訂正：對稱面是把每段 arm 從 the plane of symmetry cuts each arm at its 対称面は各アームを中點midpoint中点切開，所以 port 4 看到的是「半臂」stub：$\lambda/8$（$\lambda/4$ 臂的一半）與 $3\lambda/8$（$3\lambda/4$ 臂的一半），而不是整段 $\lambda/4$、$3\lambda/4$。終端條件由 wall 決定：magnetic wall（even）= 切口開路、electric wall（odd）= 切口短路。原版答案把 open/short stub 公式對調且長度未除半，以下按正確幾何計算（與本講義 even-odd 推導章節一致），結論不變。, so what port 4 sees are “half-arm” stubs: $\lambda/8$ (half of a $\lambda/4$ arm) and $3\lambda/8$ (half of the $3\lambda/4$ arm), not whole $\lambda/4$ and $3\lambda/4$ sections. The termination is set by the wall: a magnetic wall (even) = an open at the cut, an electric wall (odd) = a short. The original answer had the open/short stub formulas interchanged and did not halve the lengths; the calculation below uses the correct geometry (consistent with the even-odd derivation section of these notes), and the conclusion is unchanged.で切るので、port 4 から見えるのは「半アーム」の stub です：$\lambda/8$（$\lambda/4$ アームの半分）と $3\lambda/8$（$3\lambda/4$ アームの半分）であって、$\lambda/4$、$3\lambda/4$ の全長ではありません。終端条件は wall で決まります：magnetic wall（even）= 切り口が開放、electric wall（odd）= 短絡。元の解答は open/short stub の公式が入れ替わっており、長さも半分にしていませんでした。以下は正しい幾何に基づく計算（本講義の even-odd 導出の節と一致）で、結論は変わりません。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：傳輸線 stub 輸入阻抗（環阻抗 $Z_R = \sqrt{2}Z_0$）： The input impedance of a transmission-line stub (ring impedance $Z_R = \sqrt{2}Z_0$):伝送線路 stub の入力インピーダンス（リングのインピーダンス $Z_R = \sqrt{2}Z_0$）：

$$Z_{in}^{oc} = -jZ_R\cot(\beta\ell)\;(\text{開路端}), \qquad Z_{in}^{sc} = +jZ_R\tan(\beta\ell)\;(\text{短路端}), \qquad \beta\ell = \frac{2\pi}{\lambda}\ell$$$$Z_{in}^{oc} = -jZ_R\cot(\beta\ell)\;(\text{open-circuited end}), \qquad Z_{in}^{sc} = +jZ_R\tan(\beta\ell)\;(\text{short-circuited end}), \qquad \beta\ell = \frac{2\pi}{\lambda}\ell$$$$Z_{in}^{oc} = -jZ_R\cot(\beta\ell)\;(\text{open-circuited end}), \qquad Z_{in}^{sc} = +jZ_R\tan(\beta\ell)\;(\text{short-circuited end}), \qquad \beta\ell = \frac{2\pi}{\lambda}\ell$$

(a) Even mode — magnetic（open）wall → 兩條 open-circuit stub，逐步代入： — a magnetic (open) wall → two open-circuit stubs; substituting step by step: — magnetic（open）wall → 2 本の open-circuit stub、順に代入：

$\lambda/8$ stub：$\beta\ell = 45°$ → $Z = -jZ_R\cot 45° = -jZ_R$（容性）the $\lambda/8$ stub: $\beta\ell = 45°$ → $Z = -jZ_R\cot 45° = -jZ_R$ (capacitive)$\lambda/8$ stub：$\beta\ell = 45°$ → $Z = -jZ_R\cot 45° = -jZ_R$（容量性）

$3\lambda/8$ stub：$\beta\ell = 135°$ → $\cot 135° = -1$ → $Z = +jZ_R$（感性）the $3\lambda/8$ stub: $\beta\ell = 135°$ → $\cot 135° = -1$ → $Z = +jZ_R$ (inductive)$3\lambda/8$ stub：$\beta\ell = 135°$ → $\cot 135° = -1$ → $Z = +jZ_R$（誘導性）

並聯：$(-jZ_R)\parallel(+jZ_R) = \dfrac{(-jZ_R)(+jZ_R)}{-jZ_R + jZ_R} = \dfrac{Z_R^2}{0} \to \boxed{\infty}$（parallel resonance，開路）→ $\Gamma_e = +1$In parallel: $(-jZ_R)\parallel(+jZ_R) = \dfrac{(-jZ_R)(+jZ_R)}{-jZ_R + jZ_R} = \dfrac{Z_R^2}{0} \to \boxed{\infty}$ (a parallel resonance, an open circuit) → $\Gamma_e = +1$並列：$(-jZ_R)\parallel(+jZ_R) = \dfrac{(-jZ_R)(+jZ_R)}{-jZ_R + jZ_R} = \dfrac{Z_R^2}{0} \to \boxed{\infty}$（parallel resonance、開放）→ $\Gamma_e = +1$

(b) Odd mode — electric（short）wall → 兩條 short-circuit stub： — an electric (short) wall → two short-circuit stubs: — electric（short）wall → 2 本の short-circuit stub：

$\lambda/8$ stub：$Z = +jZ_R\tan 45° = +jZ_R$；$3\lambda/8$ stub：$\tan 135° = -1$ → $Z = -jZ_R$the $\lambda/8$ stub: $Z = +jZ_R\tan 45° = +jZ_R$; the $3\lambda/8$ stub: $\tan 135° = -1$ → $Z = -jZ_R$$\lambda/8$ stub：$Z = +jZ_R\tan 45° = +jZ_R$；$3\lambda/8$ stub：$\tan 135° = -1$ → $Z = -jZ_R$

並聯：$(+jZ_R)\parallel(-jZ_R) \to \boxed{\infty}$ → 同樣開路 → $\Gamma_o = +1$In parallel: $(+jZ_R)\parallel(-jZ_R) \to \boxed{\infty}$ → again an open circuit → $\Gamma_o = +1$並列：$(+jZ_R)\parallel(-jZ_R) \to \boxed{\infty}$ → 同様に開放 → $\Gamma_o = +1$

(c) 結果：(c) The result:(c) 結果：

$$b_4 = \tfrac{1}{2}(\Gamma_e - \Gamma_o) = \tfrac{1}{2}(+1 - (+1)) = \mathbf{0} \;\Rightarrow\; S_{41} = 0,\;\text{port 4 isolated ✓}$$

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：隔離的本質是兩條 stub 的電納 $\pm jY_R$ 恰好互消 — 而這成立的條件正是兩臂長度差 $\lambda/4 - 3\lambda/4 \to$ 半臂差 $\lambda/4$，對應整環兩路徑差 $\lambda/2 = 180°$ 的干涉相消圖像。也因為 $\cot/\tan$ 只在 $f_0$ 恰好互為相反數，rat-race 的 isolation 是 The essence of the isolation is that the susceptances of the two stubs, $\pm jY_R$, cancel exactly — and the condition for that is precisely the arm-length difference $\lambda/4 - 3\lambda/4 \to$ a half-arm difference of $\lambda/4$, corresponding to the picture of destructive interference between two paths differing by $\lambda/2 = 180°$ around the whole ring. And because $\cot$ and $\tan$ are exact negatives of each other only at $f_0$, a rat-race's isolation is a アイソレーションの本質は 2 本の stub のサセプタンス $\pm jY_R$ がちょうど互いに打ち消し合うことです — そしてそれが成り立つ条件がまさに両アームの長さの差 $\lambda/4 - 3\lambda/4 \to$、すなわち半アームの差 $\lambda/4$ であり、環全体で 2 経路の差が $\lambda/2 = 180°$ であることによる干渉相殺の描像に対応します。また $\cot$ と $\tan$ が $f_0$ でのみ厳密に互いの符号を反転したものとなるため、rat-race のアイソレーションは窄頻narrowband狭帯域特性，離開中心頻率會迅速劣化（典型 20–30 dB 隔離頻寬約 ±10%）。 property that degrades rapidly away from the centre frequency (a typical 20–30 dB isolation bandwidth is about ±10%).特性であり、中心周波数から離れると急速に劣化します（典型的な 20–30 dB のアイソレーション帯域幅は約 ±10%）。

已知/目標：Given / required:既知/目標：RF 1900 MHz、LO 1800 MHz、IF 100 MHz；$Z_0 = 50\,\Omega$、RO4003C，$Z_R = 70.7\,\Omega$ 線的 $\varepsilon_{eff} \approx 2.98$、$W \approx 0.62\,\text{mm}$。求 ring 尺寸、方塊圖、RF/LO 埠指派與 90° 版的比較。 RF 1900 MHz, LO 1800 MHz, IF 100 MHz; $Z_0 = 50\,\Omega$ on RO4003C, with the $Z_R = 70.7\,\Omega$ line having $\varepsilon_{eff} \approx 2.98$ and $W \approx 0.62\,\text{mm}$. Find the ring dimensions, the block diagram, the RF/LO port assignment, and compare with the 90° version.RF 1900 MHz、LO 1800 MHz、IF 100 MHz；$Z_0 = 50\,\Omega$、RO4003C、$Z_R = 70.7\,\Omega$ 線の $\varepsilon_{eff} \approx 2.98$、$W \approx 0.62\,\text{mm}$。ring の寸法、ブロック図、RF/LO のポート指定、および 90° 版との比較を求めます。

(a) 公式與來源：(a) Formula and source:(a) 公式と出典：rat-race 設計頻率取 RF/LO 都要通過的中心 $f_0 \approx 1.9\,\text{GHz}$（RF 與 LO 只差 5%，一個環即可同時服務）；$\lambda_g = c/(f_0\sqrt{\varepsilon_{eff}})$。 The rat-race design frequency is taken as the centre through which both RF and LO must pass, $f_0 \approx 1.9\,\text{GHz}$ (RF and LO differ by only 5%, so a single ring can serve both); $\lambda_g = c/(f_0\sqrt{\varepsilon_{eff}})$.rat-race の設計周波数は RF と LO の両方が通る中心 $f_0 \approx 1.9\,\text{GHz}$ とします（RF と LO の差はわずか 5% なので、一つの環で両方に対応できます）；$\lambda_g = c/(f_0\sqrt{\varepsilon_{eff}})$。逐步代入：Substituting step by step:順に代入：

$$\lambda_g = \dfrac{3\times10^{11}\,\text{mm/s}}{1.9\times10^9\times\sqrt{2.98}} = \dfrac{157.9\,\text{mm}}{1.726} = 91.5\,\text{mm}$$

$$L_{\lambda/4} = \frac{91.5}{4} = 22.9\,\text{mm}, \qquad L_{3\lambda/4} = 3\times 22.9 = 68.6\,\text{mm}$$

(b) Block diagram：RF → Port 1（Σ）；LO → Port 4（Δ）；Port 2、Port 3 各接一顆 diode（其中一顆反接）；兩 diode 輸出在 IF 節點匯合（或經 IF transformer combiner），後接 100 MHz low-pass。Σ↔Δ 的隔離直接給出 LO-to-RF isolation ≥ 30 dB 的基礎。 Block diagram: RF → Port 1 (Σ); LO → Port 4 (Δ); ports 2 and 3 each carry a diode (one of them reversed); the two diode outputs meet at the IF node (or through an IF transformer combiner), followed by a 100 MHz low-pass. The Σ↔Δ isolation directly provides the basis for LO-to-RF isolation ≥ 30 dB. ブロック図：RF → Port 1（Σ）；LO → Port 4（Δ）；Port 2、Port 3 にそれぞれダイオードを 1 個接続（うち 1 個は逆接続）；2 つのダイオード出力は IF ノードで合流し（または IF transformer combiner を経由）、後段に 100 MHz low-pass を接続します。Σ↔Δ の隔離が LO-to-RF アイソレーション ≥ 30 dB の基礎を直接与えます。

(c) 埠指派與相位推導(c) Port assignment and the phase derivation(c) ポート指定と位相の導出（用 4.1 題的 $[S]$）：(using the $[S]$ of problem 4.1): （4.1 題の $[S]$ を使用）：RF → Σ (port 1)、 and 、LO → Δ (port 4)：:：

• 從 Σ：ports 2、3 都拿到 $-j/\sqrt{2}$（同相）→ RF 同相到達兩顆 diodeFrom Σ: ports 2 and 3 both receive $-j/\sqrt{2}$ (in phase) → the RF reaches both diodes in phaseΣ から：ports 2、3 はいずれも $-j/\sqrt{2}$ を受け取ります（同相）→ RF は両方のダイオードに同相で到達します
• 從 Δ：port 2 拿 $+j/\sqrt{2}$、port 3 拿 $-j/\sqrt{2}$（反相）→ LO 以 180° 相位差驅動兩顆 diode（反相切換）From Δ: port 2 receives $+j/\sqrt{2}$ and port 3 $-j/\sqrt{2}$ (in anti-phase) → the LO drives the two diodes 180° apart (switching in anti-phase)Δ から：port 2 は $+j/\sqrt{2}$、port 3 は $-j/\sqrt{2}$ を受け取ります（逆相）→ LO は 180° の位相差で 2 個のダイオードを駆動します（逆相スイッチング）
• IF 相位 $= \phi_{RF} - \phi_{LO}$：diode 1 得 $(-90°)-(+90°) = -180°$、diode 2 得 $(-90°)-(-90°) = 0°$ — 兩路 IF 反相，把其中一顆 diode 反接（或用 IF transformer 取差）後即同相相加The IF phase $= \phi_{RF} - \phi_{LO}$: diode 1 gets $(-90°)-(+90°) = -180°$ and diode 2 gets $(-90°)-(-90°) = 0°$ — the two IF paths are in anti-phase, so reversing one diode (or taking the difference with an IF transformer) makes them add in phaseIF 位相 $= \phi_{RF} - \phi_{LO}$：diode 1 は $(-90°)-(+90°) = -180°$、diode 2 は $(-90°)-(-90°) = 0°$ — 2 系統の IF は逆相なので、一方のダイオードを逆接続する（または IF transformer で差をとる）と同相で加算されます

反向指派（LO→Σ、RF→Δ）電路上也可運作，但 LO AM noise 與 even-harmonic 抑制特性較差，慣例上 LO 走 Δ。The reverse assignment (LO→Σ, RF→Δ) would also work electrically, but the LO AM noise and even-harmonic suppression are worse, so by convention the LO goes to Δ.逆の指定（LO→Σ、RF→Δ）でも電気的には動作しますが、LO の AM ノイズと偶数次高調波の抑圧特性が劣るため、慣例として LO は Δ に入れます。

(d) 與 90° 版相比，180° 拓樸的關鍵優勢是 Compared with the 90° version, the key advantage of the 180° topology is 90° 版と比べると、180° トポロジーの重要な利点は even LO harmonic rejection：LO 反相切換使 $2f_{LO} = 3.6\,\text{GHz}$、$4f_{LO}$ 等偶次諧波產物在 IF 端呈 common-mode 而相消 — 在擁擠的 cellular 頻譜中，3.6 GHz 恰好落在其他通訊頻段附近，這個抑制直接減少互擾。（90° 版的強項則是 RF/LO port 的寬頻 match 與 AM noise rejection。）: switching the LO in anti-phase makes the even-harmonic products at $2f_{LO} = 3.6\,\text{GHz}$, $4f_{LO}$ and so on common-mode at the IF, where they cancel — and in the crowded cellular spectrum 3.6 GHz falls close to other communication bands, so this suppression directly reduces mutual interference. (The strengths of the 90° version, by contrast, are the broadband match at the RF/LO ports and its AM noise rejection.)：LO を逆相で切り替えることにより、$2f_{LO} = 3.6\,\text{GHz}$、$4f_{LO}$ などの偶数次高調波の産物が IF 端で common-mode となって相殺されます — 混雑した cellular スペクトルでは 3.6 GHz がちょうど他の通信帯域の近くに落ちるため、この抑圧は相互干渉を直接減らします。（一方、90° 版の強みは RF/LO port の広帯域 match と AM ノイズ除去です。）

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：1.9 GHz 的 rat-race 周長已達 137 mm — 比 5 GHz 設計大得多，PCB 上常改用 lumped-element 等效（LC π-network 模擬 λ/4 線）或多層折疊來縮小。拓樸選擇從來不只看電氣規格，尺寸/成本也是 spec 的一部分。 A 1.9 GHz rat-race already has a circumference of 137 mm — far larger than a 5 GHz design, so PCBs often switch to a lumped-element equivalent (an LC π-network emulating the λ/4 line) or fold it across several layers to shrink it. Choosing a topology is never purely about electrical specifications; size and cost are part of the spec too.1.9 GHz の rat-race は周長が既に 137 mm に達し — 5 GHz 設計よりはるかに大きいため、PCB では lumped-element 等価（LC π-network で λ/4 線を模擬）や多層折り返しによる小型化がよく用いられます。トポロジーの選択は電気的仕様だけで決まるものではなく、寸法やコストも spec の一部です。

已知/目標：Given / required:既知/目標：4 顆 diode 的 ring mixer：LO 正半週 D1、D2 導通，負半週 D3、D4 導通。求 $i_{IF}$ 在兩個半週的表達式，並用 $\text{sgn}(v_{LO})$ 證明它等效於「乘上一個 $f_{LO}$ 的方波」。 A 4-diode ring mixer: D1 and D2 conduct on the positive LO half-cycle and D3 and D4 on the negative. Find the expression for $i_{IF}$ in each half-cycle, and use $\text{sgn}(v_{LO})$ to prove it is equivalent to “multiplying by a square wave at $f_{LO}$”.4 個のダイオードの ring mixer：LO の正の半周期では D1、D2 が導通し、負の半周期では D3、D4 が導通します。両方の半周期における $i_{IF}$ の表式を求め、$\text{sgn}(v_{LO})$ を用いて「$f_{LO}$ の方形波を掛けること」と等価であることを証明します。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：大訊號 LO 把 diode 當開關用（switching mixer model）：哪一對 diode 導通，決定 RF 訊號以「正接」還是「反接」的極性接到 IF 端。 A large-signal LO uses the diodes as switches (the switching-mixer model): which pair conducts determines whether the RF signal is connected to the IF end with “normal” or “reversed” polarity.大信号の LO はダイオードをスイッチとして使います（switching mixer model）：どちらの対のダイオードが導通するかによって、RF 信号が「正接続」と「逆接続」のどちらの極性で IF 端に接続されるかが決まります。

逐步代入：Substituting step by step:順に代入：

(a) LO+（D1、D2 on）：RF 經 D1/D2 以正極性接到 IF → $i_{IF} = +K\,v_{RF}(t)$（$K$ 為導通路徑的轉移常數）。(a) LO+ (D1, D2 on): the RF reaches the IF through D1/D2 with positive polarity → $i_{IF} = +K\,v_{RF}(t)$ ($K$ being the transfer constant of the conducting path).(a) LO+（D1、D2 on）：RF は D1/D2 を経て正極性で IF に接続されます → $i_{IF} = +K\,v_{RF}(t)$（$K$ は導通経路の伝達定数）。

(b) LO−（D3、D4 on）：導通對換到 ring 的另一側，等效把 RF 的接線「翻面」→ $i_{IF} = -K\,v_{RF}(t)$。(b) LO− (D3, D4 on): conduction moves to the other side of the ring, which is equivalent to “flipping over” the RF connection → $i_{IF} = -K\,v_{RF}(t)$.(b) LO−（D3、D4 on）：導通が ring の反対側に移り、RF の配線を「裏返す」のと等価です → $i_{IF} = -K\,v_{RF}(t)$。

(c) 兩個半週合併，極性恰好跟著 LO 的符號走：(c) Combining the two half-cycles, the polarity follows the sign of the LO exactly:(c) 二つの半周期を合わせると、極性はちょうど LO の符号に従います：

$$i_{IF}(t) = K\,v_{RF}(t)\cdot \text{sgn}(v_{LO}(t))$$

$\text{sgn}(v_{LO})$ 是 ±1 方波，其 Fourier series 只含$\text{sgn}(v_{LO})$ is a ±1 square wave, and its Fourier series contains only $\text{sgn}(v_{LO})$ は ±1 の方形波であり、その Fourier series に含まれるのは奇次odd奇数次諧波： harmonics:高調波：

$$\text{sgn}(v_{LO}) = \sum_{n\,\text{odd}} \frac{4}{n\pi}\sin(n\omega_{LO}t) = \frac{4}{\pi}\sin\omega_{LO}t + \frac{4}{3\pi}\sin 3\omega_{LO}t + \frac{4}{5\pi}\sin 5\omega_{LO}t + \cdots$$

乘上 $v_{RF} = V_{RF}\cos\omega_{RF}t$ 後，輸出只在 $|nf_{LO} \pm f_{RF}|$（$n$ 奇數）有譜線：$n=1$ 給 desired IF，$n=3$ 給 $\tfrac{1}{3}$ 振幅（−9.5 dB）的高階產物——而 $2f_{LO}$、$4f_{LO}$ 相關的產物完全不存在。Multiplying by $v_{RF} = V_{RF}\cos\omega_{RF}t$, the output has spectral lines only at $|nf_{LO} \pm f_{RF}|$ ($n$ odd): $n=1$ gives the desired IF and $n=3$ a higher-order product at $\tfrac{1}{3}$ the amplitude (−9.5 dB) — while products related to $2f_{LO}$ and $4f_{LO}$ do not exist at all.$v_{RF} = V_{RF}\cos\omega_{RF}t$ を掛けると、出力は $|nf_{LO} \pm f_{RF}|$（$n$ は奇数）にのみスペクトル線を持ちます：$n=1$ が所望の IF を与え、$n=3$ は $\tfrac{1}{3}$ の振幅（−9.5 dB）の高次成分を与えます——一方 $2f_{LO}$、$4f_{LO}$ に関連する成分は全く存在しません。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：偶次諧波消失不是濾波濾掉的，而是 The even harmonics do not vanish because a filter removed them but as a consequence of 偶数次高調波が消えるのはフィルタで除去されたからではなく、對稱性symmetry対称性的結果：±1 方波是奇函數（半波對稱 $s(t+T/2) = -s(t)$），其偶次 Fourier 係數恆為零。實務上抑制深度由 4 顆 diode 與 balun 的匹配度決定（典型 30–50 dB）——一旦 diode 不匹配，「被對稱性藏起來」的偶次產物就會漏出來。: a ±1 square wave is an odd function (half-wave symmetric, $s(t+T/2) = -s(t)$), and its even Fourier coefficients are identically zero. In practice the depth of suppression is set by how well the 4 diodes and the balun are matched (typically 30–50 dB) — as soon as the diodes are mismatched, the even-order products that symmetry was hiding leak out.の結果です：±1 の方形波は奇関数（半波対称 $s(t+T/2) = -s(t)$）であり、その偶数次フーリエ係数は恒等的にゼロです。実務では抑圧の深さは 4 個のダイオードとバランの整合度で決まります（典型的に 30–50 dB）——ダイオードが不整合になった途端、対称性が隠していた偶数次成分が漏れ出します。

已知/目標：Given / required:既知／目標：$v_{RF} = V_{RF}\cos(\omega_{RF}t)$，switching function $\text{sgn}(v_{LO}) = \frac{4}{\pi}\sum_k \frac{(-1)^k}{2k+1}\cos((2k+1)\omega_{LO}t)$。求乘積中 $f_{IF} = f_{RF}-f_{LO}$ 分量的振幅，與純粹由 Fourier 係數造成的 SSB conversion loss。$v_{RF} = V_{RF}\cos(\omega_{RF}t)$ with a switching function $\text{sgn}(v_{LO}) = \frac{4}{\pi}\sum_k \frac{(-1)^k}{2k+1}\cos((2k+1)\omega_{LO}t)$. Find the amplitude of the $f_{IF} = f_{RF}-f_{LO}$ component of the product, and the SSB conversion loss arising purely from the Fourier coefficients.$v_{RF} = V_{RF}\cos(\omega_{RF}t)$、スイッチング関数は $\text{sgn}(v_{LO}) = \frac{4}{\pi}\sum_k \frac{(-1)^k}{2k+1}\cos((2k+1)\omega_{LO}t)$。積のうち $f_{IF} = f_{RF}-f_{LO}$ 成分の振幅と、純粋にフーリエ係数から生じる SSB 変換損失を求めます。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：switching mixer 模型 $i_{IF} = v_{RF}\cdot\text{sgn}(v_{LO})$（5.1 題），配合積化和差 $\cos A\cos B = \tfrac{1}{2}[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$；conversion loss 定義為輸入可用功率對單一 sideband 輸出功率之比。 The switching-mixer model $i_{IF} = v_{RF}\cdot\text{sgn}(v_{LO})$ (problem 5.1), together with the product-to-sum identity $\cos A\cos B = \tfrac{1}{2}[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$; conversion loss is defined as the ratio of the available input power to the output power in a single sideband.スイッチングミキサモデル $i_{IF} = v_{RF}\cdot\text{sgn}(v_{LO})$（問題 5.1）と、積和公式 $\cos A\cos B = \tfrac{1}{2}[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$ を用います；変換損失は入力有能電力と単一側波帯の出力電力の比として定義されます。

逐步代入：Substituting step by step:逐次代入：

(a) 完整乘積，取 $k=0$（基波）項：(a) The full product, taking the $k=0$ (fundamental) term:(a) 完全な積、$k=0$（基本波）の項を取ります：

$$i_{IF} = V_{RF}\cos(\omega_{RF}t)\cdot\frac{4}{\pi}\cos(\omega_{LO}t) + \underbrace{\text{3rd, 5th,}\ldots}_{\text{higher order}}$$

積化和差展開 $k=0$ 項：Expanding the $k=0$ term by product-to-sum:$k=0$ の項を積和公式で展開します：

$$\frac{4}{\pi}V_{RF}\cos(\omega_{RF}t)\cos(\omega_{LO}t) = \frac{2}{\pi}V_{RF}\bigl[\cos((\omega_{RF}-\omega_{LO})t) + \cos((\omega_{RF}+\omega_{LO})t)\bigr]$$

(b) 取出 $\omega_{RF}-\omega_{LO}$（difference）分量：振幅 $= \dfrac{2}{\pi}V_{RF} \approx 0.637\,V_{RF}$ — 注意 $\frac{4}{\pi}$ 的能量被「平分」到 sum 與 difference 兩個 sideband，各拿 $\frac{2}{\pi}$。(b) Extracting the $\omega_{RF}-\omega_{LO}$ (difference) component: the amplitude $= \dfrac{2}{\pi}V_{RF} \approx 0.637\,V_{RF}$ — note that the energy of the $\frac{4}{\pi}$ is “split evenly” between the sum and difference sidebands, each taking $\frac{2}{\pi}$.(b) $\omega_{RF}-\omega_{LO}$（差）成分を取り出します：振幅は $= \dfrac{2}{\pi}V_{RF} \approx 0.637\,V_{RF}$ — $\frac{4}{\pi}$ のエネルギーが和と差の二つの側波帯に「均等分配」され、それぞれ $\frac{2}{\pi}$ を取ることに注意してください。

(c) 電壓比的平方 = 功率比：(c) The square of the voltage ratio = the power ratio:(c) 電圧比の二乗 = 電力比：

$$\frac{P_{IF}}{P_{RF}} = \left(\frac{2}{\pi}\right)^2 = \frac{4}{\pi^2} \approx 0.405 \;\Rightarrow\; L_C = -10\log_{10}(0.405) = \mathbf{3.92\,dB}$$

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：3.9 dB 是理想 switching mixer 的物理下限，由兩個因素組成：方波基波只佔 $4/\pi$（≈ 0.9 dB 的「切換損」）、再加上能量平分給兩個 sideband 只取其一（3 dB 的 SSB 損）。實際 diode ring 還要加 junction resistance $r_j$、balun 損與 mismatch（見 5.3 題），所以商品 mixer 的 $L_C$ 典型落在 6–8 dB — 量測值若遠低於 3.9 dB 必有量測錯誤。 3.9 dB is the physical lower bound for an ideal switching mixer, made up of two parts: the square wave's fundamental accounts for only $4/\pi$ (a ≈ 0.9 dB “switching loss”), plus the energy being split evenly between two sidebands of which only one is taken (the 3 dB SSB loss). A real diode ring adds junction resistance $r_j$, balun loss and mismatch (see problem 5.3), so a commercial mixer's $L_C$ typically lands at 6–8 dB — a measured value far below 3.9 dB must be a measurement error.3.9 dB は理想的なスイッチングミキサの物理的な下限であり、二つの要因から成ります：方形波の基本波が $4/\pi$ しか占めないこと（≈ 0.9 dB の「スイッチング損失」）、さらにエネルギーが二つの側波帯に均等分配されそのうち一方だけを取ること（3 dB の SSB 損失）。実際のダイオードリングではさらに接合抵抗 $r_j$、バラン損失と不整合が加わるため（問題 5.3 参照）、市販ミキサの $L_C$ は典型的に 6–8 dB になります — 測定値が 3.9 dB を大きく下回れば必ず測定の誤りです。

已知/目標：Given / required:既知／目標：RF 1920–1980 MHz、LO 1870–1930 MHz（low-side）、IF 50 MHz ± 10 MHz；spec：$L_C \leq 8\,\text{dB}$、IIP3 ≥ +10 dBm、LO-RF isolation ≥ 40 dB、LO drive +7 dBm；4 顆 matched Schottky diode，$r_j = 4\,\Omega$。求拓樸理由、$r_j$ 對 $L_C$ 的貢獻、hybrid/balun 規格。 RF 1920–1980 MHz, LO 1870–1930 MHz (low-side), IF 50 MHz ± 10 MHz; the specs: $L_C \leq 8\,\text{dB}$, IIP3 ≥ +10 dBm, LO-RF isolation ≥ 40 dB, LO drive +7 dBm; 4 matched Schottky diodes with $r_j = 4\,\Omega$. Give the reasoning for the topology, $r_j$'s contribution to $L_C$, and the hybrid/balun specifications.RF 1920–1980 MHz、LO 1870–1930 MHz（ロー側）、IF 50 MHz ± 10 MHz；仕様：$L_C \leq 8\,\text{dB}$、IIP3 ≥ +10 dBm、LO-RF アイソレーション ≥ 40 dB、LO ドライブ +7 dBm；整合した 4 個のショットキーダイオード、$r_j = 4\,\Omega$。トポロジーの理由、$r_j$ の $L_C$ への寄与、ハイブリッド／バランの仕様を求めます。

(a) 拓樸理由：(a) The reasoning for the topology:(a) トポロジーの理由：double-balanced ring 勝過 single-balanced 之處：(1) where a double-balanced ring beats single-balanced: (1) 二重平衡リングが単平衡に勝る点：(1) LO-to-RF isolation 多 ~20 dB~20 dB more LO-to-RF isolationLO-RF アイソレーションが ~20 dB 大きい — LO 在 RF balun 的兩臂等幅反相、在 RF 埠相消（single-balanced 只靠 hybrid 一層隔離 ~25 dB，ring 可達 40–50 dB，正好滿足 ≥ 40 dB spec）；(2) — the LO is equal and opposite in the two arms of the RF balun and cancels at the RF port (single-balanced relies on the hybrid's single layer of isolation for ~25 dB, whereas a ring reaches 40–50 dB, exactly meeting the ≥ 40 dB spec); (2) — LO は RF バランの両アームで等振幅逆相となり、RF ポートで打ち消されます（単平衡はハイブリッド一層のアイソレーション ~25 dB に頼るのみですが、リングは 40–50 dB に達し、≥ 40 dB の仕様をちょうど満たします）；(2) even harmonics $2f_{LO}, 4f_{LO}$ 被抑制the even harmonics $2f_{LO}$ and $4f_{LO}$ are suppressed偶数次高調波 $2f_{LO}$ と $4f_{LO}$ が抑圧される — WCDMA 的 $2f_{LO} \approx 3.8\,\text{GHz}$ 鄰近其他通訊頻段，不抑制會經天線輻射造成干擾。 — WCDMA's $2f_{LO} \approx 3.8\,\text{GHz}$ is adjacent to other communication bands, and without suppression it would radiate from the antenna and cause interference. — WCDMA の $2f_{LO} \approx 3.8\,\text{GHz}$ は他の通信帯域に隣接しており、抑圧しなければアンテナから放射されて干渉を引き起こします。

(b) 公式與來源：(b) Formula and source:(b) 公式と出典：導通時兩顆 diode 串在訊號路徑上，$2r_j$ 與 $Z_0$ 形成分壓；以電壓比估損耗（rule of thumb）： when conducting, two diodes sit in series in the signal path and $2r_j$ forms a divider with $Z_0$; estimating the loss from the voltage ratio (a rule of thumb):導通時には 2 個のダイオードが信号経路に直列に入り、$2r_j$ と $Z_0$ が分圧を形成します；電圧比から損失を見積もります（経験則）：

$$L_{r_j} \approx 20\log_{10}\!\left(1+\frac{2r_j}{Z_0}\right)$$

逐步代入：Substituting step by step:逐次代入：$L_{r_j} = 20\log_{10}\!\left(1+\dfrac{2\times 4}{50}\right) = 20\log_{10}(1.16) = 20\times 0.0645 = \mathbf{1.3\,dB}$

加上理想切換損（5.2 題）：$L_C \approx 3.92 + 1.3 = \mathbf{5.2\,dB}$。再加 balun 損與 mismatch 的 ~2–3 dB → 總計 ~7–8 dB，Adding the ideal switching loss (problem 5.2): $L_C \approx 3.92 + 1.3 = \mathbf{5.2\,dB}$. Adding a further ~2–3 dB of balun loss and mismatch → about 7–8 dB in total, which 理想的なスイッチング損失（問題 5.2）を加えると：$L_C \approx 3.92 + 1.3 = \mathbf{5.2\,dB}$。さらにバラン損失と不整合の ~2–3 dB を加えると → 合計で約 7–8 dB となり、滿足 ≤ 8 dB specmeets the ≤ 8 dB spec≤ 8 dB の仕様を満たします（無多少餘裕，balun 品質是關鍵）。(with little margin, so the quality of the balun is critical).（余裕はほとんどないため、バランの品質が鍵となります）。

(c) Hybrid 與 balun 規格：(c) Hybrid and balun specifications:(c) ハイブリッドとバランの仕様：

RF 側 rat-race：中心 $f_0 = \dfrac{1920+1980}{2} = 1950\,\text{MHz}$；需求頻寬 60 MHz → fractional BW $= 60/1950 = 3.1\%$，遠小於 rat-race 的 ±10% 可用範圍 ✓The RF-side rat-race: centre $f_0 = \dfrac{1920+1980}{2} = 1950\,\text{MHz}$; the bandwidth required is 60 MHz → a fractional BW $= 60/1950 = 3.1\%$, far inside the rat-race's usable ±10% ✓RF 側のラットレース：中心 $f_0 = \dfrac{1920+1980}{2} = 1950\,\text{MHz}$；必要な帯域幅は 60 MHz → 比帯域 $= 60/1950 = 3.1\%$ で、ラットレースの使用可能な ±10% の範囲に十分収まります ✓

IF balun 低頻截止：center-tap transformer 的 magnetizing inductance $L_m$ 與負載構成 high-pass，$f_{low} = \dfrac{R_{load}}{2\pi L_m}$。要 $f_{low} \leq 40\,\text{MHz}$、$R = 50\,\Omega$：The IF balun's low-frequency cutoff: the centre-tapped transformer's magnetizing inductance $L_m$ forms a high-pass with the load, $f_{low} = \dfrac{R_{load}}{2\pi L_m}$. Requiring $f_{low} \leq 40\,\text{MHz}$ with $R = 50\,\Omega$:IF バランの低域遮断：センタータップトランスの励磁インダクタンス $L_m$ が負荷とともに高域通過を形成し、$f_{low} = \dfrac{R_{load}}{2\pi L_m}$。$f_{low} \leq 40\,\text{MHz}$、$R = 50\,\Omega$ を要求すると：

$$L_m \geq \frac{50}{2\pi\times 40\times 10^6} = \frac{50}{2.51\times 10^8} = 199\times 10^{-9}\,\text{H} \approx 200\,\text{nH}$$

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：wound ferrite transformer 容易做到數百 nH～數 µH，可行；air-core 或 microstrip balun 在 40 MHz 的感抗不足會把低端 IF 衰減掉。另注意 LO drive 只有 +7 dBm（level-7）：由 $IIP3 \approx P_{LO} + 4\sim 8\,\text{dB}$ 的經驗律，+10 dBm 的 IIP3 spec 已在邊緣 — 若量產要留 margin，應考慮 level-10/13 drive（對照 9.4 題的取捨）。 A wound ferrite transformer easily reaches hundreds of nH to a few µH, so this is feasible; an air-core or microstrip balun would not have enough reactance at 40 MHz and would attenuate the low end of the IF. Note also that the LO drive is only +7 dBm (level-7): by the rule of thumb $IIP3 \approx P_{LO} + 4\sim 8\,\text{dB}$, an IIP3 spec of +10 dBm is already marginal — if production margin is wanted, consider a level-10/13 drive (compare the trade-offs of problem 9.4).巻線フェライトトランスは数百 nH～数 µH を容易に実現できるので実現可能です；空芯やマイクロストリップのバランでは 40 MHz でのリアクタンスが不足し、IF の低域を減衰させてしまいます。また LO ドライブが +7 dBm（level-7）しかないことにも注意してください：$IIP3 \approx P_{LO} + 4\sim 8\,\text{dB}$ の経験則によれば、+10 dBm の IIP3 仕様はすでに限界的です — 量産で余裕を残したい場合は level-10/13 のドライブを検討すべきです（問題 9.4 のトレードオフと対照）。

已知/目標：Given / required:既知／目標：$f_{LO} = 5.8\,\text{GHz}$，兩個 RF 輸入 $f_{RF1} = 5.9\,\text{GHz}$、$f_{RF2} = 5.7\,\text{GHz}$。求各自的 IF、判別 USB/LSB、以及在 image-reject mixer 的哪個輸出埠出現。$f_{LO} = 5.8\,\text{GHz}$ with two RF inputs, $f_{RF1} = 5.9\,\text{GHz}$ and $f_{RF2} = 5.7\,\text{GHz}$. Find their IFs, identify the USB/LSB, and say at which output port of an image-reject mixer each appears.$f_{LO} = 5.8\,\text{GHz}$、二つの RF 入力 $f_{RF1} = 5.9\,\text{GHz}$、$f_{RF2} = 5.7\,\text{GHz}$。それぞれの IF を求め、USB/LSB を判別し、イメージ除去ミキサのどの出力ポートに現れるかを述べます。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：down-conversion 後 $f_{IF} = |f_{RF} - f_{LO}|$；sideband 以「RF 相對 LO 的位置」定義 — 在 LO 上方為 USB、下方為 LSB（兩者互為對方的 image）。 After downconversion $f_{IF} = |f_{RF} - f_{LO}|$; the sideband is defined by “where the RF sits relative to the LO” — above the LO is the USB and below it the LSB (each being the other's image).ダウンコンバージョン後は $f_{IF} = |f_{RF} - f_{LO}|$；側波帯は「RF が LO に対してどこにあるか」で定義され — LO の上側が USB、下側が LSB です（両者は互いのイメージです）。

逐步代入：Substituting step by step:逐次代入：

(a) $f_{IF1} = |5.9 - 5.8| = 0.1\,\text{GHz} = 100\,\text{MHz}$；$f_{IF2} = |5.7 - 5.8| = 0.1\,\text{GHz} = 100\,\text{MHz}$。(a) $f_{IF1} = |5.9 - 5.8| = 0.1\,\text{GHz} = 100\,\text{MHz}$; $f_{IF2} = |5.7 - 5.8| = 0.1\,\text{GHz} = 100\,\text{MHz}$.(a) $f_{IF1} = |5.9 - 5.8| = 0.1\,\text{GHz} = 100\,\text{MHz}$；$f_{IF2} = |5.7 - 5.8| = 0.1\,\text{GHz} = 100\,\text{MHz}$。

兩個輸入落到Both inputs land on 二つの入力が落ちるのは完全相同的 IFexactly the same IF全く同じ IF — 一般 mixer + IF filter 對此無能為力，這正是 image problem 本身，也是 image-reject mixer 要解的問題。 — an ordinary mixer plus IF filter can do nothing about it, which is the image problem itself and precisely what an image-reject mixer sets out to solve. — 通常のミキサと IF フィルタではどうにもできず、これがイメージ問題そのものであり、まさにイメージ除去ミキサが解こうとする問題です。

(b) USB：$f_{RF1} = 5.9\,\text{GHz}$（$= f_{LO} + f_{IF}$，在 LO 上方）；LSB：$f_{RF2} = 5.7\,\text{GHz}$（$= f_{LO} - f_{IF}$，在 LO 下方，即 image）。(b) USB: $f_{RF1} = 5.9\,\text{GHz}$ ($= f_{LO} + f_{IF}$, above the LO); LSB: $f_{RF2} = 5.7\,\text{GHz}$ ($= f_{LO} - f_{IF}$, below the LO — the image).(b) USB：$f_{RF1} = 5.9\,\text{GHz}$（$= f_{LO} + f_{IF}$、LO の上側）；LSB：$f_{RF2} = 5.7\,\text{GHz}$（$= f_{LO} - f_{IF}$、LO の下側、すなわちイメージ）。

(c) 依題目的埠定義：USB → (c) With the port definitions of the problem: USB → (c) 問題のポート定義に従うと：USB → Port A（$f_{RF1}$）；LSB/image → ($f_{RF1}$); LSB/image → （$f_{RF1}$）；LSB／イメージ → Port B（$f_{RF2}$）。分離的原理：USB 與 LSB 經 I/Q 兩路混頻後的 IF 相位差符號相反（$\mp 90°$），輸出 90° hybrid 對一個 sideband 建設性疊加、對另一個破壞性相消（詳見 6.2 題推導）。($f_{RF2}$). The separation principle: after mixing through the I/Q paths, the USB and LSB have IF phase differences of opposite sign ($\mp 90°$), and the output 90° hybrid adds one sideband constructively while cancelling the other destructively (see the derivation of problem 6.2).（$f_{RF2}$）。分離の原理：USB と LSB は I/Q 二経路で混合された後の IF 位相差の符号が逆であり（$\mp 90°$）、出力の 90° ハイブリッドが一方の側波帯を建設的に加算し、他方を破壊的に打ち消します（問題 6.2 の導出を参照）。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：「同一個 IF 頻率」在頻域上已無法區分，image-reject mixer 利用的是頻域看不到的“The same IF frequency” cannot be distinguished in the frequency domain at all; what an image-reject mixer exploits is the 「同じ IF 周波数」は周波数領域ではもはや区別できず、イメージ除去ミキサが利用するのは周波数領域では見えない相位資訊phase information位相情報：上下 sideband 混頻時相位旋轉方向相反。實際可分離的深度（IRR）受 I/Q 振幅/相位平衡限制（6.3 題），典型 25–40 dB，所以它是「補濾波器之不足」，極強的 image 仍需 preselector 分擔。 invisible there: the upper and lower sidebands rotate in phase in opposite directions when mixed. The achievable separation (the IRR) is limited by the I/Q amplitude/phase balance (problem 6.3), typically 25–40 dB, so it “makes up for what the filter cannot do”, and a very strong image still needs a preselector to share the load.です：上側と下側の側波帯は混合時に位相の回転方向が逆になります。実際に分離できる深さ（IRR）は I/Q の振幅／位相平衡に制限され（問題 6.3）、典型的に 25–40 dB なので、これは「フィルタの不足を補う」ものであり、非常に強いイメージにはやはりプリセレクタの分担が必要です。

已知/目標：Given / required:既知／目標：image-reject (Hartley) mixer：RF 經 90° hybrid 分成 I（0°）/Q（−90°）兩路，各自與 LO 混頻，IF 再經 90° hybrid 合成。證明 USB 在 port A 相加、LSB 在 port A 相消（轉而出現在 port B）。 An image-reject (Hartley) mixer: the RF is split by a 90° hybrid into I (0°) and Q (−90°) paths, each mixed with the LO, and the IFs recombined through a 90° hybrid. Prove that the USB adds at port A while the LSB cancels there (appearing at port B instead).イメージ除去（Hartley）ミキサ：RF は 90° ハイブリッドで I（0°）／Q（−90°）の二経路に分けられ、それぞれ LO と混合され、IF は再び 90° ハイブリッドで合成されます。USB が port A で加算され、LSB が port A で打ち消される（代わりに port B に現れる）ことを証明します。

架構釐清：A clarification of the architecture:アーキテクチャの整理：若 RF 與 LO if RF と LO の兩者都both両方とも做 0°/−90° quadrature split，相位差會在混頻時互相抵消（$\phi_{RF}-\phi_{LO}$ 兩路相同）而無法分離 sideband。標準 Hartley 架構是 the RF and the LO were split into 0°/−90° quadrature, the phase differences would cancel during mixing ($\phi_{RF}-\phi_{LO}$ being the same on both paths) and no sideband separation would occur. The standard Hartley architecture has 0°/−90° の直交分配を行うと、位相差は混合時に互いに打ち消し合い（$\phi_{RF}-\phi_{LO}$ が両経路で同じ）、側波帯を分離できません。標準的な Hartley アーキテクチャは只有一路 quadraturequadrature on one side only片側のみ直交（RF 或 LO 擇一），另一路同相分配 — 以下取 RF quadrature、LO 同相（$LO_I = LO_Q = \cos\omega_{LO}t$）推導，結論與原答案相同。(either the RF or the LO), the other being split in phase — the derivation below takes RF quadrature with an in-phase LO ($LO_I = LO_Q = \cos\omega_{LO}t$), reaching the same conclusion as the original answer.（RF か LO のいずれか）で、もう一方は同相で分配されます — 以下では RF を直交、LO を同相（$LO_I = LO_Q = \cos\omega_{LO}t$）として導出し、結論は元の解答と同じになります。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：difference product 的 IF 相位（積化和差直接讀出）：down-convert 時若 $\omega_{RF} > \omega_{LO}$（USB），$\phi_{IF} = \phi_{RF} - \phi_{LO}$；若 $\omega_{RF} < \omega_{LO}$（LSB），差頻項是 $\cos[(\omega_{LO}-\omega_{RF})t + \phi_{LO} - \phi_{RF}]$，相位 The IF phase of the difference product (read straight off the product-to-sum expansion): on downconversion, if $\omega_{RF} > \omega_{LO}$ (USB) then $\phi_{IF} = \phi_{RF} - \phi_{LO}$; if $\omega_{RF} < \omega_{LO}$ (LSB) the difference term is $\cos[(\omega_{LO}-\omega_{RF})t + \phi_{LO} - \phi_{RF}]$ and the phase 差成分の IF 位相（積和公式から直接読み取れます）：ダウンコンバージョン時に $\omega_{RF} > \omega_{LO}$（USB）なら $\phi_{IF} = \phi_{RF} - \phi_{LO}$；$\omega_{RF} < \omega_{LO}$（LSB）なら差周波の項は $\cos[(\omega_{LO}-\omega_{RF})t + \phi_{LO} - \phi_{RF}]$ となり、位相の符號反轉changes sign符号が反転します：$\phi_{IF} = \phi_{LO} - \phi_{RF}$。這個符號差就是整個架構的槓桿點。: $\phi_{IF} = \phi_{LO} - \phi_{RF}$. That sign difference is the lever the whole architecture works on.：$\phi_{IF} = \phi_{LO} - \phi_{RF}$。この符号の差こそが、アーキテクチャ全体を動かす梃子となります。

(a) USB（$\omega_{RF} = \omega_{LO}+\omega_{IF}$）逐步代入：(a) USB ($\omega_{RF} = \omega_{LO}+\omega_{IF}$), substituting step by step:(a) USB（$\omega_{RF} = \omega_{LO}+\omega_{IF}$）を逐次代入：

Arm I：$RF_I = \cos(\omega_{RF}t)$（0°）× $LO_I$ → $IF_I = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t)$，相位 Arm I: $RF_I = \cos(\omega_{RF}t)$ (0°) × $LO_I$ → $IF_I = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t)$, phase アーム I：$RF_I = \cos(\omega_{RF}t)$（0°）× $LO_I$ → $IF_I = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t)$、位相 0°

Arm Q：$RF_Q = \cos(\omega_{RF}t - 90°)$ × $LO_Q$ → $IF_Q = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t - 90°)$，相位 Arm Q: $RF_Q = \cos(\omega_{RF}t - 90°)$ × $LO_Q$ → $IF_Q = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t - 90°)$, phase アーム Q：$RF_Q = \cos(\omega_{RF}t - 90°)$ × $LO_Q$ → $IF_Q = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t - 90°)$、位相 −90°

IF hybrid 在 port A 對 I 路再加 −90°、Q 路直通後相加：At port A the IF hybrid adds a further −90° to path I and passes Q straight through, then sums:IF ハイブリッドは port A で I 経路にさらに −90° を加え、Q 経路はそのまま通してから加算します：

$$\text{Port A} = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t - 90°) + \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t - 90°) = \cos(\omega_{IF}t - 90°) \;\rightarrow\; \textbf{constructive：USB 出現在 A}$$$$\text{Port A} = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t - 90°) + \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t - 90°) = \cos(\omega_{IF}t - 90°) \;\rightarrow\; \textbf{constructive: the USB appears at A}$$$$\text{Port A} = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t - 90°) + \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t - 90°) = \cos(\omega_{IF}t - 90°) \;\rightarrow\; \textbf{constructive: the USB appears at A}$$

（port B 則是 Q 路加 −90°、I 路直通：$\tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t) + \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t - 180°) = 0$ — USB 不漏到 B ✓）(At port B, path Q gets the −90° and path I passes straight through: $\tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t) + \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t - 180°) = 0$ — no USB leaks to B ✓)（port B では Q 経路に −90° を加え、I 経路はそのまま通します：$\tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t) + \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t - 180°) = 0$ — USB は B に漏れません ✓）

(b) LSB（$\omega_{RF} = \omega_{LO}-\omega_{IF}$）：(b) LSB ($\omega_{RF} = \omega_{LO}-\omega_{IF}$):(b) LSB（$\omega_{RF} = \omega_{LO}-\omega_{IF}$）：相位符號反轉 $\phi_{IF} = \phi_{LO} - \phi_{RF}$： With the phase sign reversed, $\phi_{IF} = \phi_{LO} - \phi_{RF}$:位相の符号が反転し、$\phi_{IF} = \phi_{LO} - \phi_{RF}$：

Arm I：$IF_I = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t)$，相位 0°（與 USB 相同）Arm I: $IF_I = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t)$, phase 0° (the same as the USB)アーム I：$IF_I = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t)$、位相 0°（USB と同じ）

Arm Q：$\phi_{IF} = 0 - (-90°) = \mathbf{+90°}$ → $IF_Q = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t + 90°)$（與 USB 的 −90° 反號！）Arm Q: $\phi_{IF} = 0 - (-90°) = \mathbf{+90°}$ → $IF_Q = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t + 90°)$ (the opposite sign to the USB's −90°!)アーム Q：$\phi_{IF} = 0 - (-90°) = \mathbf{+90°}$ → $IF_Q = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t + 90°)$（USB の −90° とは逆符号！）

$$\text{Port A} = \underbrace{\tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t - 90°)}_{I\,\text{路}+(-90°)} + \underbrace{\tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t + 90°)}_{Q\,\text{路直通}} = 0 \;\rightarrow\; \textbf{cancel}$$$$\text{Port A} = \underbrace{\tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t - 90°)}_{I\,\text{path}+(-90°)} + \underbrace{\tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t + 90°)}_{Q\,\text{path, straight through}} = 0 \;\rightarrow\; \textbf{cancel}$$$$\text{Port A} = \underbrace{\tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t - 90°)}_{I\,\text{path}+(-90°)} + \underbrace{\tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t + 90°)}_{Q\,\text{path, straight through}} = 0 \;\rightarrow\; \textbf{cancel}$$

$$\text{Port B} = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t) + \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t + 90° - 90°) = \cos(\omega_{IF}t) \;\rightarrow\; \textbf{constructive：LSB 出現在 B}$$$$\text{Port B} = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t) + \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t + 90° - 90°) = \cos(\omega_{IF}t) \;\rightarrow\; \textbf{constructive: the LSB appears at B}$$$$\text{Port B} = \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t) + \tfrac{1}{2}\cos(\omega_{IF}t + 90° - 90°) = \cos(\omega_{IF}t) \;\rightarrow\; \textbf{constructive: the LSB appears at B}$$

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：USB 與 LSB 在 Q 路拿到的 IF 相位是 $\mp 90°$（鏡像），輸出 hybrid 固定再補一個 −90°，恰好把其中一個補成同相（相加）、另一個補成反相（相消）。等效地說：I/Q 訊號分辨的是「正負頻率」（complex envelope 的旋轉方向），這是單一實數訊號做不到的 — 也因此任何 I/Q 不平衡都會讓 image 漏過來（6.3 題）。 The IF phases the USB and LSB acquire on the Q path are $\mp 90°$ (mirror images), and the output hybrid always adds one more −90°, which happens to bring one of them into phase (adding) and the other into anti-phase (cancelling). Equivalently: I/Q signals distinguish “positive from negative frequency” (the direction of rotation of the complex envelope), which a single real signal cannot do — and that is also why any I/Q imbalance lets the image leak through (problem 6.3).USB と LSB が Q 経路で得る IF 位相は $\mp 90°$（鏡像）であり、出力ハイブリッドは常にさらに −90° を加えるため、ちょうど一方を同相（加算）に、他方を逆相（相殺）にします。等価的に言えば：I/Q 信号が区別するのは「正負の周波数」（複素包絡線の回転方向）であり、これは単一の実信号にはできません — だからこそ I/Q の不平衡があるとイメージが漏れてくるのです（問題 6.3）。

已知/目標：Given / required:既知／目標：IRR 公式（題目給定，$\varepsilon$ 為振幅不平衡、$\Delta\phi$ 為相位不平衡）。求 (a) 完美平衡時的 IRR、(b) 40 dB IRR 的不平衡 budget、(c) ±0.5 dB 振幅匹配下允許的相位誤差、(d) 與 preselector 的分工。 The IRR formula (given in the problem, with $\varepsilon$ the amplitude imbalance and $\Delta\phi$ the phase imbalance). Find (a) the IRR under perfect balance, (b) the imbalance budget for 40 dB IRR, (c) the phase error permitted with ±0.5 dB amplitude matching, and (d) how the work is divided with the preselector.IRR の公式（問題で与えられ、$\varepsilon$ は振幅不平衡、$\Delta\phi$ は位相不平衡）。(a) 完全平衡時の IRR、(b) 40 dB IRR のための不平衡バジェット、(c) ±0.5 dB の振幅整合で許される位相誤差、(d) プリセレクタとの分担を求めます。

(a) 注意題目公式中的 $\varepsilon$ 是 Note that the $\varepsilon$ in the problem's formula is an 問題の公式中の $\varepsilon$ は振幅比amplitude ratio振幅比（perfect balance 對應 $\varepsilon = 1$）：代入 $\varepsilon = 1$、$\Delta\phi = 0$，分母 $= 1 - 2 + 1 = 0$ → $IRR \to \infty$（無限大 dB）。若改用「振幅誤差」定義（perfect balance 為誤差 $= 0$，即小誤差近似的寫法），同樣得 image 殘量為零 → $IRR = \infty$。實際上限永遠由殘餘不平衡決定。(perfect balance corresponding to $\varepsilon = 1$): substituting $\varepsilon = 1$ and $\Delta\phi = 0$ makes the denominator $= 1 - 2 + 1 = 0$ → $IRR \to \infty$ (infinite in dB). Using the “amplitude error” definition instead (perfect balance being an error of $0$, as in the small-error form), the residual image is likewise zero → $IRR = \infty$. In reality the ceiling is always set by the residual imbalance.であることに注意してください（完全平衡は $\varepsilon = 1$ に対応）：$\varepsilon = 1$、$\Delta\phi = 0$ を代入すると分母は $= 1 - 2 + 1 = 0$ → $IRR \to \infty$（dB では無限大）。「振幅誤差」の定義（完全平衡は誤差 $0$、すなわち小誤差近似の書き方）を用いても、同様にイメージ残留はゼロ → $IRR = \infty$ となります。実際の上限は常に残留する不平衡で決まります。

(b) 公式與來源：(b) Formula and source:(b) 公式と出典：小誤差展開後 image 殘量功率 $\propto \varepsilon^2 + \Delta\phi^2$（兩種誤差以 RSS 疊加），題目給的近似： expanding for small errors, the residual image power $\propto \varepsilon^2 + \Delta\phi^2$ (the two errors combining in RSS), giving the approximation stated in the problem:小誤差で展開するとイメージ残留電力は $\propto \varepsilon^2 + \Delta\phi^2$（二つの誤差は RSS で合成）となり、問題で与えられた近似は：

$$IRR \approx \frac{1}{\varepsilon^2 + \Delta\phi^2}$$

逐步代入：Substituting step by step:逐次代入：$IRR \geq 40\,\text{dB} \Rightarrow IRR_{lin} = 10^{40/10} = 10^4$：$IRR \geq 40\,\text{dB} \Rightarrow IRR_{lin} = 10^{40/10} = 10^4$:$IRR \geq 40\,\text{dB} \Rightarrow IRR_{lin} = 10^{40/10} = 10^4$：

$$\varepsilon^2 + \Delta\phi^2 \leq 10^{-4} \;\Rightarrow\; \sqrt{\varepsilon^2+\Delta\phi^2} \leq 0.01$$

平均分配（RSS split）：$\varepsilon = \Delta\phi \leq 0.01/\sqrt{2} \approx 0.007$，即振幅誤差 $20\log_{10}(1.007) \approx 0.06\,\text{dB}$、相位誤差 $0.007\,\text{rad} \approx 0.4°$。（若用更精確的 $IRR \approx 4/(\varepsilon^2+\Delta\phi^2)$，budget 放寬 2 倍：各 ≈ 0.12 dB / 0.8°。）Splitting it evenly (an RSS split): $\varepsilon = \Delta\phi \leq 0.01/\sqrt{2} \approx 0.007$, i.e. an amplitude error of $20\log_{10}(1.007) \approx 0.06\,\text{dB}$ and a phase error of $0.007\,\text{rad} \approx 0.4°$. (With the more precise $IRR \approx 4/(\varepsilon^2+\Delta\phi^2)$ the budget relaxes by a factor of 2: about 0.12 dB / 0.8° each.)均等に配分すると（RSS 分割）：$\varepsilon = \Delta\phi \leq 0.01/\sqrt{2} \approx 0.007$、すなわち振幅誤差 $20\log_{10}(1.007) \approx 0.06\,\text{dB}$、位相誤差 $0.007\,\text{rad} \approx 0.4°$。（より正確な $IRR \approx 4/(\varepsilon^2+\Delta\phi^2)$ を用いると、バジェットは 2 倍に緩和され、それぞれ約 0.12 dB / 0.8° となります。）

(c) 逐步代入(c) Substituting step by step(c) 逐次代入 — dB 轉 linear：振幅比 $A = 10^{0.5/20} = 10^{0.025} = 1.0593$ → 振幅誤差 $\varepsilon = A - 1 = 0.0593$。 — converting dB to linear: the amplitude ratio $A = 10^{0.5/20} = 10^{0.025} = 1.0593$ → an amplitude error $\varepsilon = A - 1 = 0.0593$. — dB をリニアに変換します：振幅比 $A = 10^{0.5/20} = 10^{0.025} = 1.0593$ → 振幅誤差 $\varepsilon = A - 1 = 0.0593$。

$\varepsilon^2 = (0.0593)^2 = 3.5\times 10^{-3}$，$\varepsilon^2 = (0.0593)^2 = 3.5\times 10^{-3}$, which $\varepsilon^2 = (0.0593)^2 = 3.5\times 10^{-3}$ となり、單獨就超過on its own already exceedsこれだけで既に超えているのは 40 dB 所需的 $10^{-4}$（即使含因子 4 的版本 $4\times10^{-4}$ 也超過 ~9 倍）→ the $10^{-4}$ required for 40 dB (even the version with the factor of 4, $4\times10^{-4}$, is exceeded by ~9×) → 40 dB に必要な $10^{-4}$ です（因子 4 を含む版 $4\times10^{-4}$ でさえ ~9 倍超えます）→ 允許的相位誤差為零仍不達標，±0.5 dB 下 40 dB IRR 不可能even with zero phase error it cannot be met, so 40 dB IRR is impossible at ±0.5 dB位相誤差がゼロでも満たせず、±0.5 dB では 40 dB の IRR は不可能。振幅誤差單獨造成的上限：. The ceiling imposed by the amplitude error alone:。振幅誤差だけで決まる上限は：

$$IRR \approx \frac{4}{\varepsilon^2} = \frac{4}{3.5\times 10^{-3}} = 1137 \;\Rightarrow\; 10\log_{10}(1137) \approx \mathbf{31\,dB}$$

（更正：原版誤用 $1/(4\varepsilon^2)$ 算出 18 dB；正確的小誤差公式是 $4/\varepsilon^2$，以精確公式驗證 $\left(\frac{1+1.0593}{1-1.0593}\right)^2 = 1206 \to 30.8\,\text{dB}$ ✓）(Correction: the original version wrongly used $1/(4\varepsilon^2)$ and obtained 18 dB; the correct small-error formula is $4/\varepsilon^2$, verified against the exact formula $\left(\frac{1+1.0593}{1-1.0593}\right)^2 = 1206 \to 30.8\,\text{dB}$ ✓)（訂正：元の版では誤って $1/(4\varepsilon^2)$ を用いて 18 dB としていました；正しい小誤差公式は $4/\varepsilon^2$ であり、厳密式 $\left(\frac{1+1.0593}{1-1.0593}\right)^2 = 1206 \to 30.8\,\text{dB}$ で検証済みです ✓）

(d) 40 dB 的 RF preselector 在 5.9 GHz 要窄帶 SAW/BAW filter（手機常見）。image-reject mixer 的價值是用電子方式取得 image rejection、放鬆 preselector 規格 — 在 low-IF / direct-conversion 接收機中尤其關鍵，因為 image 與訊號只差 $2f_{IF}$（低 IF → 間隔極窄），任何實體濾波器都分不開。實務常用「preselector 30 dB + IRM 30 dB」分層達成 60 dB 總抑制。 A 40 dB RF preselector at 5.9 GHz means a narrowband SAW/BAW filter (common in handsets). The value of an image-reject mixer is that it obtains image rejection electronically and so relaxes the preselector specification — which is especially critical in low-IF and direct-conversion receivers, where the image is only $2f_{IF}$ from the signal (a low IF → an extremely narrow separation) and no physical filter can separate them. In practice a layered “30 dB preselector + 30 dB IRM” is commonly used to reach 60 dB of total suppression. 5.9 GHz で 40 dB の RF プリセレクタとなると、狭帯域の SAW/BAW フィルタが必要です（携帯端末では一般的）。イメージ除去ミキサの価値は、電子的にイメージ除去を得てプリセレクタの仕様を緩和できる点にあります — これは low-IF やダイレクトコンバージョン受信機で特に重要で、イメージと信号の差はわずか $2f_{IF}$（低い IF → 間隔が極めて狭い）であり、いかなる物理的なフィルタでも分離できないからです。実務では「プリセレクタ 30 dB + IRM 30 dB」と階層化して合計 60 dB の抑圧を達成することがよくあります。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：IRR 對振幅誤差極其敏感：0.5 dB（人耳都聽不出的誤差）就把 IRR 鎖死在 ~31 dB。所以高 IRR 設計不靠元件先天匹配，而靠 The IRR is extraordinarily sensitive to amplitude error: 0.5 dB (an error the ear could not even detect) pins the IRR at ~31 dB. So high-IRR designs do not rely on inherent component matching but on IRR は振幅誤差に極めて敏感です：0.5 dB（人の耳では聞き分けられないほどの誤差）で IRR は ~31 dB に固定されてしまいます。そのため高 IRR 設計は素子固有の整合には頼らず、I/Q calibration（數位估測並補償 $\varepsilon, \Delta\phi$），校正後 50–60 dB 才有可能。(digitally estimating and compensating $\varepsilon$ and $\Delta\phi$), after which 50–60 dB becomes possible.（$\varepsilon$ と $\Delta\phi$ をディジタルに推定して補償）、校正後には 50–60 dB が可能になります。

已知/目標：Given / required:既知／目標：(a) datasheet 給 $NF_{DSB} = 6\,\text{dB}$，求 $NF_{SSB}$；(b) 解釋兩者差異的物理原因；(c) 量得 $NF_{DSB} = 7\,\text{dB}$，求進 Friis cascade 的值。(a) The datasheet gives $NF_{DSB} = 6\,\text{dB}$; find $NF_{SSB}$. (b) Explain the physical reason for the difference. (c) A measurement gives $NF_{DSB} = 7\,\text{dB}$; find the value to use in the Friis cascade.(a) データシートは $NF_{DSB} = 6\,\text{dB}$ を与えており、$NF_{SSB}$ を求めます；(b) 両者の差の物理的な理由を説明します；(c) 測定で $NF_{DSB} = 7\,\text{dB}$ が得られたとき、Friis 縦続計算に用いる値を求めます。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：mixer 同時把 signal band 與 image band 的雜訊都搬到 IF。若訊號只佔一個 sideband（SSB，實際接收的情況），雜訊卻來自兩個 band → 有效 NF 比 DSB 量測高 3 dB（假設兩 sideband 的 conversion gain 相同）： A mixer brings the noise of both the signal band and the image band down to the IF. If the signal occupies only one sideband (SSB, as in real reception) while the noise comes from both bands → the effective NF is 3 dB higher than the DSB measurement (assuming equal conversion gain for the two sidebands):ミキサは信号帯域とイメージ帯域の雑音を同時に IF へ移します。信号が一方の側波帯だけを占め（SSB、実際の受信の場合）、雑音は両方の帯域から来る場合 → 実効 NF は DSB 測定より 3 dB 高くなります（両側波帯の変換利得が等しいと仮定）：

$$NF_{SSB} = NF_{DSB} + 3\,\text{dB}$$

逐步代入：Substituting step by step:逐次代入：

(a) $NF_{SSB} = 6 + 3 = \mathbf{9\,dB}$。(a) $NF_{SSB} = 6 + 3 = \mathbf{9\,dB}$.(a) $NF_{SSB} = 6 + 3 = \mathbf{9\,dB}$。

(b) DSB 量測時，訊號同時放在 signal 與 image 兩個 sideband，訊號功率與雜訊功率「成對」出現；SSB 工作時訊號只在一個 sideband，但 image band 的雜訊照樣被折下來疊在 IF 上 — 雜訊翻倍（+3 dB）而訊號不變 → SNR 退化 3 dB，反映為 NF 高 3 dB。(b) In a DSB measurement the signal is placed in both the signal and image sidebands, so signal power and noise power appear “in pairs”; in SSB operation the signal is in only one sideband, yet the image band's noise is still folded down onto the IF — the noise doubles (+3 dB) while the signal does not → the SNR degrades by 3 dB, which shows up as a 3 dB higher NF.(b) DSB 測定では信号を信号側とイメージ側の両方の側波帯に置くため、信号電力と雑音電力が「対で」現れます；SSB 動作では信号は一方の側波帯のみですが、イメージ帯域の雑音は同じように折り返されて IF に重なります — 雑音は 2 倍（+3 dB）になるのに信号は変わらない → SNR が 3 dB 劣化し、NF が 3 dB 高いという形で現れます。

(c) $NF_{SSB} = 7 + 3 = \mathbf{10\,dB}$ — Friis cascade 要用這個值。(c) $NF_{SSB} = 7 + 3 = \mathbf{10\,dB}$ — this is the value to use in the Friis cascade.(c) $NF_{SSB} = 7 + 3 = \mathbf{10\,dB}$ — Friis 縦続計算にはこの値を使います。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：datasheet 偏好標 DSB（數字好看 3 dB），但 superheterodyne 接收的訊號是 SSB 的 — 拿 DSB 值直接進 Friis 會把系統 NF 低估 3 dB，這是新手最常見的雜訊預算錯誤。例外：direct-conversion（ZIF）接收機的「image」就是訊號自己的另一半 sideband，此時 DSB NF 才是正確的工作定義。若 mixer 前有 image-reject filter 把 image band 雜訊濾掉，有效 NF 介於兩者之間。 Datasheets prefer to quote DSB (a figure 3 dB more flattering), but a superheterodyne receives an SSB signal — feeding the DSB value straight into Friis underestimates the system NF by 3 dB, the commonest noise-budget mistake beginners make. The exception: in a direct-conversion (ZIF) receiver the “image” is the signal's own other sideband, and there the DSB NF is the correct working definition. If an image-reject filter ahead of the mixer removes the image-band noise, the effective NF lies between the two.データシートは DSB を記載したがりますが（数字が 3 dB 良く見えます）、スーパーヘテロダインが受信する信号は SSB です — DSB 値をそのまま Friis に入れるとシステム NF を 3 dB 過小評価してしまい、これは初心者が最もよく犯す雑音バジェットの誤りです。例外：ダイレクトコンバージョン（ZIF）受信機の「イメージ」は信号自身のもう半分の側波帯であり、この場合は DSB の NF こそが正しい実用上の定義です。ミキサの前にイメージ除去フィルタがあってイメージ帯域の雑音を除去する場合、実効 NF は両者の中間になります。

已知/目標：Given / required:既知／目標：鏈路 LNA（G = 18 dB, NF = 1.5 dB）→ Mixer（$L_C$ = 7 dB, $NF_{SSB}$ = 10 dB）→ IF Amp（G = 20 dB, NF = 4 dB）；GSM 通道 $B = 200\,\text{kHz}$、需求 SNR = 10 dB。求 (a) 系統 NF、(b) sensitivity、(c) 是否達 −110 dBm spec。 A chain of LNA (G = 18 dB, NF = 1.5 dB) → Mixer ($L_C$ = 7 dB, $NF_{SSB}$ = 10 dB) → IF Amp (G = 20 dB, NF = 4 dB); a GSM channel of $B = 200\,\text{kHz}$ requiring SNR = 10 dB. Find (a) the system NF, (b) the sensitivity, and (c) whether it meets the −110 dBm spec.LNA（G = 18 dB, NF = 1.5 dB）→ ミキサ（$L_C$ = 7 dB, $NF_{SSB}$ = 10 dB）→ IF アンプ（G = 20 dB, NF = 4 dB）の縦続；GSM チャネル $B = 200\,\text{kHz}$、要求 SNR = 10 dB。(a) システム NF、(b) 感度、(c) −110 dBm の仕様を満たすかを求めます。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：Friis cascade formula（linear 值；mixer 的「增益」是 $1/L_C$）與 sensitivity 公式： The Friis cascade formula (in linear values; the mixer's “gain” being $1/L_C$) and the sensitivity formula:Friis の縦続公式（リニア値；ミキサの「利得」は $1/L_C$）と感度の公式：

$$F_{sys} = F_1 + \frac{F_2 - 1}{G_1} + \frac{F_3 - 1}{G_1 G_2}, \qquad P_{sens} = kTB + NF_{sys} + SNR_{req}$$

(a) 逐步代入(a) Substituting step by step(a) 逐次代入 — dB 全部轉 linear： — converting everything from dB to linear: — すべて dB からリニアに変換します：

• $F_1 = 10^{1.5/10} = 1.413$，$G_1 = 10^{18/10} = 63.1$$F_1 = 10^{1.5/10} = 1.413$ and $G_1 = 10^{18/10} = 63.1$$F_1 = 10^{1.5/10} = 1.413$、$G_1 = 10^{18/10} = 63.1$
• $F_{mix} = 10^{10/10} = 10$，$G_{mix} = 10^{-7/10} = 0.2$（conversion loss 取負號進指數）$F_{mix} = 10^{10/10} = 10$ and $G_{mix} = 10^{-7/10} = 0.2$ (the conversion loss entering the exponent with a minus sign)$F_{mix} = 10^{10/10} = 10$、$G_{mix} = 10^{-7/10} = 0.2$（変換損失は負号を付けて指数に入ります）
• $F_{IFA} = 10^{4/10} = 2.512$

$$F_{sys} = 1.413 + \dfrac{10-1}{63.1} + \dfrac{2.512-1}{63.1\times 0.2} = 1.413 + 0.143 + 0.120 = 1.676$$

(b) 逐步代入(b) Substituting step by step(b) 逐次代入 — 先算熱雜訊底： — first the thermal noise floor: — まず熱雑音フロアを計算します：

$$kTB = -174\,\text{dBm/Hz} + 10\log_{10}(200\times 10^3) = -174 + 53 = -121\,\text{dBm}$$

$$P_{sens} = -121 + 2.24 + 10 = \mathbf{-108.8\,dBm}$$

(c) 需求 ≤ −110 dBm，但 $-108.8 > -110$ → The requirement is ≤ −110 dBm, but $-108.8 > -110$ → 要求は ≤ −110 dBm ですが、$-108.8 > -110$ → 差 1.2 dB，不達標1.2 dB short, a fail1.2 dB 足りず、不合格。.。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：分解貢獻：LNA 自己佔 1.5 dB，mixer 經 LNA 增益壓制後仍貢獻 0.143（折合約 0.4 dB）、IF amp 貢獻 0.120（約 0.3 dB）— mixer 的 10 dB NF 被 18 dB 增益除到只剩零頭，驗證「第一級主宰雜訊」。修正方向：要過 −110 dBm 需 $NF_{sys} \leq 1.0\,\text{dB}$（$F_{sys} \leq 1.26$）— 即使 LNA NF 降到 1.0 dB 且增益拉到 22 dB，$F_{sys} = 1.259 + 0.057 + 0.048 = 1.364 \to 1.35\,\text{dB}$ 仍差 0.35 dB；實際要 LNA NF ≈ 0.7 dB、G ≥ 22 dB 才穩過，顯示 sensitivity spec 幾乎完全壓在 LNA 身上。 Breaking down the contributions: the LNA itself accounts for 1.5 dB; the mixer, suppressed by the LNA gain, still contributes 0.143 (about 0.4 dB) and the IF amp 0.120 (about 0.3 dB) — the mixer's 10 dB NF is divided by 18 dB of gain down to a trifle, confirming that “the first stage dominates the noise”. The way forward: to pass −110 dBm requires $NF_{sys} \leq 1.0\,\text{dB}$ ($F_{sys} \leq 1.26$) — and even lowering the LNA NF to 1.0 dB and raising its gain to 22 dB gives $F_{sys} = 1.259 + 0.057 + 0.048 = 1.364 \to 1.35\,\text{dB}$, still 0.35 dB short; in practice an LNA NF ≈ 0.7 dB with G ≥ 22 dB is needed to pass comfortably, showing that the sensitivity spec rests almost entirely on the LNA.寄与を分解すると：LNA 自身が 1.5 dB を占め、ミキサは LNA の利得で抑えられてもなお 0.143（約 0.4 dB）、IF アンプは 0.120（約 0.3 dB）を寄与します — ミキサの 10 dB の NF は 18 dB の利得で割られてわずかしか残らず、「初段が雑音を支配する」ことを裏付けます。改善の方向：−110 dBm を満たすには $NF_{sys} \leq 1.0\,\text{dB}$（$F_{sys} \leq 1.26$）が必要です — LNA の NF を 1.0 dB に下げ利得を 22 dB に上げても $F_{sys} = 1.259 + 0.057 + 0.048 = 1.364 \to 1.35\,\text{dB}$ で、まだ 0.35 dB 足りません；実際には LNA の NF ≈ 0.7 dB、G ≥ 22 dB が必要で、感度仕様がほぼ完全に LNA に懸かっていることが分かります。

已知/目標：Given / required:既知／目標：spec：NF ≤ 4 dB、IIP3 ≥ −20 dBm。鏈路：LNA（G = 15 dB, NF = 1.5 dB, IIP3 = −5 dBm）→ Mixer（L = 7 dB, $NF_{SSB}$ = 10 dB, IIP3 = +5 dBm）→ IF Amp（G = 20 dB, NF = 4 dB, IIP3 = +15 dBm）。同時驗證兩項 spec。 The specs: NF ≤ 4 dB and IIP3 ≥ −20 dBm. The chain: LNA (G = 15 dB, NF = 1.5 dB, IIP3 = −5 dBm) → Mixer (L = 7 dB, $NF_{SSB}$ = 10 dB, IIP3 = +5 dBm) → IF Amp (G = 20 dB, NF = 4 dB, IIP3 = +15 dBm). Verify both specs.仕様：NF ≤ 4 dB、IIP3 ≥ −20 dBm。縦続：LNA（G = 15 dB, NF = 1.5 dB, IIP3 = −5 dBm）→ ミキサ（L = 7 dB, $NF_{SSB}$ = 10 dB, IIP3 = +5 dBm）→ IF アンプ（G = 20 dB, NF = 4 dB, IIP3 = +15 dBm）。両方の仕様を同時に検証します。

(a) NF check — Friis（linear）：(a) NF check — Friis (linear):(a) NF の確認 — Friis（リニア）：$F_1 = 10^{0.15} = 1.413$、$G_1 = 10^{1.5} = 31.6$、$F_2 = 10$、$G_2 = 10^{-0.7} = 0.2$、$F_3 = 2.512$：$F_1 = 10^{0.15} = 1.413$, $G_1 = 10^{1.5} = 31.6$, $F_2 = 10$, $G_2 = 10^{-0.7} = 0.2$, $F_3 = 2.512$:$F_1 = 10^{0.15} = 1.413$、$G_1 = 10^{1.5} = 31.6$、$F_2 = 10$、$G_2 = 10^{-0.7} = 0.2$、$F_3 = 2.512$：

$$F_{sys} = 1.413 + \frac{10-1}{31.6} + \frac{2.512-1}{31.6\times 0.2} = 1.413 + 0.285 + 0.239 = 1.937$$

$$NF_{sys} = 10\log_{10}(1.937) = \mathbf{2.87\,dB} \;\checkmark\;(\leq 4\,\text{dB})$$

(b) IIP3 check — cascade 公式（全部 mW，逐項換算）：(b) IIP3 check — the cascade formula (all in mW, converted term by term):(b) IIP3 の確認 — 縦続公式（すべて mW、項ごとに換算）：

• $IIP3_{LNA} = 10^{-5/10} = 0.316\,\text{mW}$；$G_{LNA} = 31.6$$IIP3_{LNA} = 10^{-5/10} = 0.316\,\text{mW}$; $G_{LNA} = 31.6$$IIP3_{LNA} = 10^{-5/10} = 0.316\,\text{mW}$；$G_{LNA} = 31.6$
• $IIP3_{mix} = 10^{5/10} = 3.16\,\text{mW}$；$G_{mix} = 0.2$$IIP3_{mix} = 10^{5/10} = 3.16\,\text{mW}$; $G_{mix} = 0.2$$IIP3_{mix} = 10^{5/10} = 3.16\,\text{mW}$；$G_{mix} = 0.2$
• $IIP3_{IFA} = 10^{15/10} = 31.6\,\text{mW}$

$$\dfrac{1}{IIP3_{sys}} = \dfrac{1}{0.316} + \dfrac{31.6}{3.16} + \dfrac{31.6\times 0.2}{31.6} = 3.16 + 10 + 0.2 = 13.36\,\text{mW}^{-1}$$

$$IIP3_{sys} = \frac{1}{13.36} = 0.0749\,\text{mW} = 10\log_{10}(0.0749) = -11.25\,\text{dBm}$$

三項中 mixer 的貢獻（10 mW⁻¹）佔 75% — 它是 IIP3 瓶頸；IF amp 雖在最後一級，但其貢獻被 mixer 的損耗壓回（$G_1G_2 = 6.3$），只佔 1.5%。Of the three terms the mixer's contribution (10 mW⁻¹) accounts for 75% — it is the IIP3 bottleneck; the IF amp, though last in the chain, has its contribution pushed back down by the mixer's loss ($G_1G_2 = 6.3$) and accounts for only 1.5%.三つの項のうちミキサの寄与（10 mW⁻¹）が 75% を占め — これが IIP3 のボトルネックです；IF アンプは最終段にありますが、その寄与はミキサの損失によって押し戻され（$G_1G_2 = 6.3$）、わずか 1.5% にとどまります。

(c) 兩項 spec 都過， Both specs pass, so 両方の仕様を満たすため、不需更動no change is needed変更は不要です。延伸：若 spec 收緊，換 IIP3 = +12 dBm（15.85 mW）的 mixer 後第二項從 10 降到 $31.6/15.85 = 2.0$ → 總和 $5.36\,\text{mW}^{-1}$ → $IIP3_{sys} = 0.187\,\text{mW} = -7.3\,\text{dBm}$。再注意一個極限：即使 mixer 無限好，$1/IIP3_{sys} \geq 3.16 + 0.2 = 3.36$ → $IIP3_{sys} \leq -5.3\,\text{dBm}$ — . An extension: if the spec tightened, switching to a mixer with IIP3 = +12 dBm (15.85 mW) would drop the second term from 10 to $31.6/15.85 = 2.0$ → a total of $5.36\,\text{mW}^{-1}$ → $IIP3_{sys} = 0.187\,\text{mW} = -7.3\,\text{dBm}$. Note one further limit: even with an infinitely good mixer, $1/IIP3_{sys} \geq 3.16 + 0.2 = 3.36$ → $IIP3_{sys} \leq -5.3\,\text{dBm}$ — 。発展：仕様が厳しくなった場合、IIP3 = +12 dBm（15.85 mW）のミキサに替えると第二項は 10 から $31.6/15.85 = 2.0$ に下がり → 合計 $5.36\,\text{mW}^{-1}$ → $IIP3_{sys} = 0.187\,\text{mW} = -7.3\,\text{dBm}$ となります。さらにもう一つの限界に注意してください：ミキサが無限に良くても $1/IIP3_{sys} \geq 3.16 + 0.2 = 3.36$ → $IIP3_{sys} \leq -5.3\,\text{dBm}$ — LNA 的 IIP3 與增益設定了天花板the LNA's IIP3 and gain set the ceilingLNA の IIP3 と利得が上限を決めます，若 spec 要 ≥ −5 dBm，光換 mixer 永遠不夠，得換 LNA 或降其增益。, so if the spec demanded ≥ −5 dBm, changing the mixer alone would never suffice and the LNA would have to be changed or its gain reduced.。仕様が ≥ −5 dBm を要求するなら、ミキサだけを替えても決して足りず、LNA を替えるか、その利得を下げる必要があります。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：NF 與 IIP3 的 budget 拉力方向相反：增益大 → 後級雜訊被壓低（NF 好）但後級提早飽和（IIP3 差）。本鏈用 15 dB 的中等 LNA 增益取得平衡，兩項 spec 同時過 — 這正是 receiver line-up 設計的核心習題。 The NF and IIP3 budgets pull in opposite directions: more gain → the later stages' noise is suppressed (better NF) but they saturate sooner (worse IIP3). This chain strikes the balance with a moderate 15 dB of LNA gain and passes both specs at once — the essential exercise of receiver line-up design.NF と IIP3 のバジェットは逆方向に引き合います：利得を大きくする → 後段の雑音は抑えられます（NF は良い）が、後段が早く飽和します（IIP3 は悪い）。この縦続は 15 dB という中庸な LNA 利得で釣り合いを取り、両方の仕様を同時に満たしています — これこそ受信機ラインアップ設計の要となる練習問題です。

已知/目標：Given / required:既知／目標：五個應用情境，從 (A) single-ended、(B) single-balanced 90°、(C) single-balanced 180°、(D) double-balanced、(E) image-reject 中各選一個最適拓樸。 Five application scenarios; for each, choose the most suitable topology from (A) single-ended, (B) single-balanced 90°, (C) single-balanced 180°, (D) double-balanced and (E) image-reject.五つの応用シナリオについて、(A) シングルエンド、(B) 単平衡 90°、(C) 単平衡 180°、(D) 二重平衡、(E) イメージ除去 の中から最適なトポロジーをそれぞれ一つ選びます。

判斷原則（公式與來源）：The guiding principle (formula and source):判断の原則（公式と出典）：拓樸選擇 = 把應用的「最痛規格」對到各拓樸的強項 — diode 數量/成本：A < B,C < D,E；LO-RF isolation：A（~15 dB）< B,C（~25 dB）< D（~40–50 dB）；harmonic 抑制：A 無、B/C 抑 even-LO、D 抑 even-LO 與 even-RF；近距 image 分離：唯有 E。 choosing a topology = matching the application's most painful specification to each topology's strength — diode count/cost: A < B,C < D,E; LO-RF isolation: A (~15 dB) < B,C (~25 dB) < D (~40–50 dB); harmonic suppression: A none, B/C suppress even-LO, D suppresses both even-LO and even-RF; separating a nearby image: only E.トポロジーの選択 = 応用で最も苦しい仕様を各トポロジーの強みに対応させること — ダイオード数／コスト：A < B,C < D,E；LO-RF アイソレーション：A（~15 dB）< B,C（~25 dB）< D（~40–50 dB）；高調波抑圧：A はなし、B/C は偶数次 LO を抑圧、D は偶数次 LO と偶数次 RF を抑圧；近接したイメージの分離：E のみ。

逐題代入：Working through each:各シナリオへの適用：

1. (A) Single-ended — 痛點是成本。433 MHz、頻寬 < 1 MHz、LO leakage 可接受 → 一顆 diode + 簡單 LC post-filter 即可；balanced 結構的 hybrid/balun 在這裡是浪費。 — the pain point is cost. At 433 MHz with a bandwidth < 1 MHz and tolerable LO leakage → a single diode plus a simple LC post-filter will do; a balanced structure's hybrid/balun would be wasted here. — 痛点はコストです。433 MHz、帯域幅 < 1 MHz、LO 漏れは許容できる → ダイオード 1 個と簡単な LC ポストフィルタで十分です；平衡構造のハイブリッド／バランはここでは無駄になります。
2. (D) Double-balanced — 痛點是 isolation > 40 dB「加上」even harmonic 抑制：single-balanced 兩者只各拿一半（isolation ~25 dB），只有 ring 同時滿足兩條。 — the pain point is isolation > 40 dB *plus* even-harmonic suppression: single-balanced gives only half of each (isolation ~25 dB), and only a ring meets both. — 痛点はアイソレーション > 40 dB「かつ」偶数次高調波の抑圧です：単平衡ではどちらも半分ずつしか得られず（アイソレーション ~25 dB）、リングだけが両方を同時に満たします。
3. (E) Image-reject — image 距離訊號僅 $2f_{IF} = 2\,\text{MHz}$，2.4 GHz 級的 RF preselector 不可能有 0.08% 的選擇性 → 必須用相位法電子分離（low-IF 接收機的標準解）。 — the image is only $2f_{IF} = 2\,\text{MHz}$ from the signal, and no 2.4 GHz RF preselector can have 0.08% selectivity → electronic separation by the phase method is essential (the standard solution for a low-IF receiver). — イメージは信号からわずか $2f_{IF} = 2\,\text{MHz}$ しか離れておらず、2.4 GHz 帯の RF プリセレクタに 0.08% の選択度は不可能です → 位相法による電子的な分離が必須です（low-IF 受信機の標準的な解）。
4. (D) Double-balanced — 實驗室儀器要最大 dynamic range：ring 的 IIP3 最高（LO drive 充足可上 level-13/17）、spur 最少 → SFDR 最大。 — laboratory instruments need the greatest dynamic range: a ring has the highest IIP3 (with ample LO drive it can go to level-13/17) and the fewest spurs → the greatest SFDR. — 実験室用計測器には最大のダイナミックレンジが必要です：リングは IIP3 が最も高く（LO ドライブが十分なら level-13/17 まで上げられます）、スプリアスが最も少ない → SFDR が最大になります。
5. (B) Single-balanced 90° — 需求是 LO AM noise rejection 且 LO 為 single-ended：90° hybrid 的對稱路徑讓 AM noise 在 IF combiner 呈 common-mode 相消（3.1 題），且 hybrid 的輸入埠本來就吃 single-ended 訊號，不需差動 LO 或 balun。 — the requirement is LO AM noise rejection with a single-ended LO: the symmetric paths of a 90° hybrid make the AM noise common-mode at the IF combiner where it cancels (problem 3.1), and the hybrid's input port takes a single-ended signal natively, needing no differential LO or balun. — 要求は LO の AM 雑音除去で、しかも LO はシングルエンドです：90° ハイブリッドの対称な経路は AM 雑音を IF 合成器で同相成分にして打ち消し（問題 3.1）、またハイブリッドの入力ポートはもともとシングルエンド信号を受け付けるため、差動 LO やバランを必要としません。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：每往 balanced 階梯上爬一級，就是「用更多 diode 與更大 LO 功率，買一種對稱性抵消」— 所以選型的問題永遠是：這個應用最貴的雜質是哪一種？而不是「哪個拓樸最好」。 Every step up the balanced ladder is “spending more diodes and more LO power to buy one more symmetry cancellation” — so the selection question is always: which impurity is most expensive in *this* application? Never “which topology is best”.平衡構成の階段を一段上がるごとに、「より多くのダイオードとより大きな LO 電力を払って、対称性による打ち消しを一つ買う」ことになります — したがって選定の問いは常に：この応用で最も高くつく不要成分はどれか？であって、「どのトポロジーが最良か」ではありません。

已知/目標：Given / required:既知／目標：比較三種拓樸在 IF 輸出端（理想匹配下）抑制了哪些 LO harmonics，並給出對稱性理由。 Compare which LO harmonics the three topologies suppress at the IF output (under ideal matching), and give the symmetry reason.三つのトポロジーが IF 出力端で（理想的な整合のもとで）どの LO 高調波を抑圧するかを比較し、対称性による理由を示します。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：balanced mixer 的抑制都來自同一機制 — 把某類產物安排成 combiner 處的 All the suppression in a balanced mixer comes from the same mechanism — arranging one class of product to be 平衡ミキサの抑圧はすべて同じ機構から生じます — ある種類の成分を合成器において common-mode（同相 → 相減消失），desired 產物則是 differential（反相 → 相減相加）。double-balanced 的 switching function $\text{sgn}(v_{LO})$ 是奇函數，只含奇次 LO 諧波（5.1 題）；RF 側 balun 同理只讓奇次 RF 諧波產物通過。at the combiner (in phase → vanishing on subtraction) while the desired products are differential (in anti-phase → adding on subtraction). A double-balanced mixer's switching function $\text{sgn}(v_{LO})$ is an odd function containing only odd LO harmonics (problem 5.1); the RF-side balun likewise passes only odd RF harmonic products.になるように配置し（同相 → 減算で消滅）、所望の成分は差動にします（逆相 → 減算で加算）。二重平衡ミキサのスイッチング関数 $\text{sgn}(v_{LO})$ は奇関数で、奇数次の LO 高調波のみを含みます（問題 5.1）；RF 側のバランも同様に、奇数次 RF 高調波の成分のみを通します。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：這張表也是 spur chart 的「強度欄」：頻率規劃（2.2 題）決定 spur 落點，拓樸決定哪些 spur 先天被壓 30–60 dB。例如 half-IF spur 是 (2,2) 產物 — even×even — 在 DB ring 被雙重抑制，這正是 9.2、9.4 題中 frequency plan 與拓樸要一起設計的原因。理想抑制是無限大，實際由 diode/balun 匹配度限制在 ~30–60 dB。 This table is also the “strength column” of a spur chart: the frequency plan (problem 2.2) decides where the spurs land, and the topology decides which of them are inherently 30–60 dB down. The half-IF spur, for instance, is a (2,2) product — even×even — doubly suppressed in a DB ring, which is exactly why problems 9.2 and 9.4 require the frequency plan and the topology to be designed together. Ideal suppression is infinite; in practice diode/balun matching limits it to ~30–60 dB.この表は spur chart の「強度欄」でもあります：周波数計画（問題 2.2）が spur の落ちる位置を決め、トポロジーがどの spur が本質的に 30–60 dB 抑えられるかを決めます。例えば half-IF spur は (2,2) 産物 — even×even — であり、DB ring では二重に抑圧されます。これがまさに問題 9.2、9.4 で frequency plan とトポロジーを一緒に設計しなければならない理由です。理想的な抑圧は無限大ですが、実際にはダイオード/バランの整合度によって ~30–60 dB に制限されます。

已知/目標：Given / required:既知/目標：Ku-band LNB：RF 10.7–11.7 GHz、LO 10.6 GHz（fixed）、IF 100–1100 MHz；image band 9.6–10.6 GHz、image 干擾最強 −80 dBm；desired 在 mixer 輸入 −110 dBm（LNA 後）。求 (a) 所需 image rejection、(b) 拓樸選擇、(c) image filter 規格。 A Ku-band LNB: RF 10.7–11.7 GHz, LO 10.6 GHz (fixed), IF 100–1100 MHz; the image band is 9.6–10.6 GHz with the strongest image interference at −80 dBm; the desired signal at the mixer input is −110 dBm (after the LNA). Find (a) the image rejection required, (b) the topology choice, and (c) the image-filter specification.Ku-band LNB：RF 10.7–11.7 GHz、LO 10.6 GHz（固定）、IF 100–1100 MHz；イメージ帯域は 9.6–10.6 GHz で、最も強いイメージ干渉は −80 dBm；ミキサ入力での希望信号は −110 dBm（LNA 後）。(a) 必要なイメージ除去量、(b) トポロジーの選択、(c) イメージフィルタの仕様を求めます。

(a) 公式與來源：(a) Formula and source:(a) 公式と出典：要把 image 壓到不超過 desired 電平，所需 rejection = 兩者的 dB 差： to push the image no higher than the desired level, the rejection required = the difference between them in dB:イメージを希望信号レベル以下に抑えるには、必要な除去量 = 両者の dB 差：

$$\text{Rejection} \geq P_{image} - P_{desired} = -80 - (-110) = \mathbf{30\,dB\;minimum}$$

（這只是「打平」；要 image 產物低於 desired 10 dB，就再加 10 dB margin → 40 dB 目標較穩。）(That merely brings them level; to put the image product 10 dB below the desired signal, add 10 dB of margin → a 40 dB target is safer.)（これは単に同レベルにするだけです；イメージ産物を希望信号より 10 dB 低くするには、さらに 10 dB のマージンを加えます → 40 dB を目標にするほうが安全です。）

(b) 拓樸選擇：double-balanced mixer + 專用 image BPF(b) The topology choice: a double-balanced mixer plus a dedicated image BPF(b) トポロジーの選択：二重平衡ミキサ + 専用イメージ BPF（而非 image-reject mixer），三點理由：(rather than an image-reject mixer), for three reasons:（イメージ除去ミキサではなく）、理由は次の 3 点：

1. 頻寬 vs 平衡度：Bandwidth vs balance:帯域幅 vs 平衡度：RF band 寬 1 GHz（fractional BW ≈ 9%），image-reject mixer 要在整個頻帶維持 I/Q 振幅/相位平衡 — 由 6.3 題，IRR 30 dB 已需 ±0.5 dB / ~2° 的全頻帶平衡，Ku-band 寬頻下實際只能做到 IRR < 25 dB，連 30 dB 門檻都不穩。 the RF band is 1 GHz wide (a fractional BW ≈ 9%), and an image-reject mixer would have to hold its I/Q amplitude/phase balance across the whole band — by problem 6.3, even 30 dB of IRR needs ±0.5 dB / ~2° of balance across the band, and over a wide Ku-band the achievable IRR is really < 25 dB, not even reliably clearing the 30 dB threshold.RF 帯域は 1 GHz 幅（比帯域 ≈ 9%）であり、イメージ除去ミキサは全帯域にわたって I/Q の振幅/位相平衡を保たなければなりません — 問題 6.3 より、IRR 30 dB でも全帯域で ±0.5 dB / ~2° の平衡が必要であり、広帯域の Ku-band で実際に達成できる IRR は < 25 dB にとどまり、30 dB のしきい値すら安定して越えられません。
2. 頻率間隔有利於濾波：The frequency separation favours filtering:周波数間隔が濾波に有利：image band 上緣（10.6 GHz）距 RF band 下緣（10.7 GHz）雖只有 100 MHz，但主要 image 能量在更低處，且 Ku-band 的 cavity / coupled-line filter 百分比頻寬選擇性好，30–35 dB 的近端 rejection 可實作。 although the top of the image band (10.6 GHz) is only 100 MHz below the bottom of the RF band (10.7 GHz), the bulk of the image energy is further down, and Ku-band cavity / coupled-line filters have good percentage-bandwidth selectivity, so 30–35 dB of close-in rejection is realizable.イメージ帯域の上端（10.6 GHz）は RF 帯域の下端（10.7 GHz）からわずか 100 MHz しか離れていませんが、イメージエネルギーの大半はさらに低い側にあり、また Ku-band の cavity / coupled-line フィルタは比帯域あたりの選択度が良いため、30–35 dB の近接除去は実現可能です。
3. 線性度：Linearity:直線性：55 dB LNA 增益直接打進 mixer，IIP3 壓力大 — double-balanced 的 IIP3 與 harmonic 抑制遠優於 IRM 中兩顆需精確匹配的小 mixer。 55 dB of LNA gain drives straight into the mixer, putting heavy pressure on IIP3 — a double-balanced mixer's IIP3 and harmonic suppression are far better than those of the two precisely matched small mixers inside an IRM.55 dB の LNA 利得がそのままミキサに入るため、IIP3 への負担が大きくなります — 二重平衡ミキサの IIP3 と高調波抑圧は、IRM 内部で精密な整合を要する 2 個の小型ミキサよりはるかに優れています。

(c) Image filter 規格(c) Image-filter specification(c) イメージフィルタの仕様（microstrip 或 waveguide BPF）：(a microstrip or waveguide BPF):（マイクロストリップまたは導波管 BPF）：

• 中心：$f_c = (10.7+11.7)/2 = 11.2\,\text{GHz}$；passband 10.7–11.7 GHz（插損 ≤ 1 dB 以免吃掉 NF）Centre: $f_c = (10.7+11.7)/2 = 11.2\,\text{GHz}$; passband 10.7–11.7 GHz (insertion loss ≤ 1 dB so as not to eat into the NF)中心：$f_c = (10.7+11.7)/2 = 11.2\,\text{GHz}$；通過帯域 10.7–11.7 GHz（NF を損なわないよう挿入損失 ≤ 1 dB）
• stopband：≤ 10.6 GHz 處 ≥ 35 dB（30 dB 需求 + 5 dB guard）Stopband: ≥ 35 dB at and below 10.6 GHz (the 30 dB requirement + 5 dB of guard)阻止帯域：10.6 GHz 以下で ≥ 35 dB（30 dB の要求 + 5 dB のガード）
• 選擇性需求：從 10.7（通）到 10.6（−35 dB）只有 0.9% 的過渡帶 → 需 5-pole coupled-resonator 設計（LNB 業界標準作法）Selectivity required: from 10.7 (pass) to 10.6 (−35 dB) is a transition band of only 0.9% → a 5-pole coupled-resonator design (standard practice in the LNB industry)必要な選択度：10.7（通過）から 10.6（−35 dB）まで遷移帯域はわずか 0.9% → 5-pole coupled-resonator 設計が必要（LNB 業界の標準的な手法）

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：這題示範拓樸選擇的負面教材思維：image-reject mixer 不是「更高級就更好」— 它的 IRR 是 This problem illustrates the cautionary side of topology selection: an image-reject mixer is not “better because it is more sophisticated” — its IRR is a この問題はトポロジー選択の反面教師的な考え方を示します：イメージ除去ミキサは「より高度だから優れている」わけではありません — その IRR は頻寬的函數function of bandwidth帯域幅の関数，寬頻系統會把它的優勢磨光。當 image 與訊號間隔「夠遠可以濾」時，濾波器 + 簡單拓樸永遠是更便宜更穩的解；IRM 留給「近到濾不掉」的場合（8.1 題第 3 例）。, and a wideband system grinds its advantage away. When the image and the signal are “far enough apart to be filtered”, a filter plus a simple topology is always the cheaper and more robust solution; IRMs are reserved for cases “too close to filter” (the third example of problem 8.1).であり、広帯域システムはその優位性を削り取ってしまいます。イメージと信号が「濾波できるほど十分に離れている」場合、フィルタ + 単純なトポロジーが常により安価で堅牢な解です；IRM は「近すぎて濾波できない」場合（問題 8.1 の 3 番目の例）のために取っておきます。

已知/目標：Given / required:既知/目標：$f_{RF} = 5.8\,\text{GHz}$、$f_{IF} = 200\,\text{MHz}$、low-side LO；preselector 在 image 處 30 dB；image blocker −50 dBm、最弱訊號 −80 dBm、image 產物需低於訊號 ≥ 12 dB；鏈路 LNA（16 dB / 2 dB）→ IRM（$L_C$ 6.5 dB / $NF_{SSB}$ 7 dB）→ IF amp（25 dB / 3.5 dB）；$B = 20\,\text{MHz}$、SNR 18 dB、sensitivity ≤ −80 dBm。$f_{RF} = 5.8\,\text{GHz}$, $f_{IF} = 200\,\text{MHz}$, low-side LO; the preselector gives 30 dB at the image; the image blocker is −50 dBm, the weakest signal −80 dBm, and the image product must be ≥ 12 dB below the signal; the chain is LNA (16 dB / 2 dB) → IRM ($L_C$ 6.5 dB / $NF_{SSB}$ 7 dB) → IF amp (25 dB / 3.5 dB); $B = 20\,\text{MHz}$, SNR 18 dB, sensitivity ≤ −80 dBm.$f_{RF} = 5.8\,\text{GHz}$、$f_{IF} = 200\,\text{MHz}$、low-side LO；プリセレクタはイメージ点で 30 dB；イメージブロッカーは −50 dBm、最弱信号は −80 dBm、イメージ産物は信号より ≥ 12 dB 低い必要があります；チェーンは LNA（16 dB / 2 dB）→ IRM（$L_C$ 6.5 dB / $NF_{SSB}$ 7 dB）→ IF 増幅器（25 dB / 3.5 dB）；$B = 20\,\text{MHz}$、SNR 18 dB、感度 ≤ −80 dBm。

(a) 公式：(a) Formula:(a) 公式：low-side injection：$f_{LO} = f_{RF} - f_{IF}$、$f_{im} = f_{LO} - f_{IF} = f_{RF} - 2f_{IF}$。 low-side injection: $f_{LO} = f_{RF} - f_{IF}$ and $f_{im} = f_{LO} - f_{IF} = f_{RF} - 2f_{IF}$.low-side injection：$f_{LO} = f_{RF} - f_{IF}$、$f_{im} = f_{LO} - f_{IF} = f_{RF} - 2f_{IF}$。代入：Substituting:代入：

$$f_{LO} = 5.8 - 0.2 = \mathbf{5.6\,GHz}, \qquad f_{im} = 5.6 - 0.2 = \mathbf{5.4\,GHz}$$

image 在 RX band 下方 $2f_{IF} = 400\,\text{MHz}$ 處，與訊號分居 LO 兩側。The image sits $2f_{IF} = 400\,\text{MHz}$ below the RX band, on the opposite side of the LO from the signal.イメージは RX 帯域の $2f_{IF} = 400\,\text{MHz}$ 下方にあり、信号とは LO を挟んで反対側に位置します。

(b) 逐步代入：(b) Substituting step by step:(b) 段階的に代入：image 產物的等效輸入電平需 ≤ $-80 - 12 = -92\,\text{dBm}$，blocker 是 −50 dBm： The image product's equivalent input level must be ≤ $-80 - 12 = -92\,\text{dBm}$, and the blocker is −50 dBm:イメージ産物の等価入力レベルは ≤ $-80 - 12 = -92\,\text{dBm}$ である必要があり、ブロッカーは −50 dBm です：

preselector 出 30 dB → mixer 至少補 $42 - 30 = 12\,\text{dB}$；加 8 dB margin → 設計目標 $IRR = 20\,\text{dB}$。轉成 imbalance budget（$IRR \approx 1/(\varepsilon^2+\Delta\phi^2)$）：The preselector supplies 30 dB → the mixer must make up at least $42 - 30 = 12\,\text{dB}$; adding 8 dB of margin → a design target of $IRR = 20\,\text{dB}$. Converting that into an imbalance budget ($IRR \approx 1/(\varepsilon^2+\Delta\phi^2)$):プリセレクタが 30 dB を提供 → ミキサは少なくとも $42 - 30 = 12\,\text{dB}$ を補う必要があります；8 dB のマージンを加えて → 設計目標は $IRR = 20\,\text{dB}$。これを imbalance budget（$IRR \approx 1/(\varepsilon^2+\Delta\phi^2)$）に換算すると：

$$\varepsilon^2 + \Delta\phi^2 \leq 10^{-20/10} = 10^{-2}$$

RSS 平均分配：$\varepsilon = \Delta\phi = \sqrt{0.01/2} = 0.071$ → 相位平衡 $0.071\,\text{rad} \approx 4.0°$、振幅平衡 $20\log_{10}(1.071) \approx 0.6\,\text{dB}$ — 很寬鬆的目標，不需校正即可達成（對照 6.3 題：40 dB IRR 需 ≈1° 與 ±0.1 dB）。Splitting it evenly in RSS: $\varepsilon = \Delta\phi = \sqrt{0.01/2} = 0.071$ → a phase balance of $0.071\,\text{rad} \approx 4.0°$ and an amplitude balance of $20\log_{10}(1.071) \approx 0.6\,\text{dB}$ — a very relaxed target, achievable without any calibration (compare problem 6.3: 40 dB IRR needs ≈1° and ±0.1 dB).RSS で均等に分配：$\varepsilon = \Delta\phi = \sqrt{0.01/2} = 0.071$ → 位相平衡 $0.071\,\text{rad} \approx 4.0°$、振幅平衡 $20\log_{10}(1.071) \approx 0.6\,\text{dB}$ — 非常に緩い目標であり、校正なしでも達成できます（問題 6.3 と比較：40 dB の IRR には ≈1° と ±0.1 dB が必要）。

(c) Friis — dB 轉 linear：(c) Friis — converting dB to linear:(c) Friis — dB を linear に換算：$F_1 = 10^{0.2} = 1.585$、$G_1 = 10^{1.6} = 39.8$；$F_2 = 10^{0.7} = 5.01$、$G_2 = 10^{-0.65} = 0.224$；$F_3 = 10^{0.35} = 2.24$：$F_1 = 10^{0.2} = 1.585$, $G_1 = 10^{1.6} = 39.8$; $F_2 = 10^{0.7} = 5.01$, $G_2 = 10^{-0.65} = 0.224$; $F_3 = 10^{0.35} = 2.24$:$F_1 = 10^{0.2} = 1.585$、$G_1 = 10^{1.6} = 39.8$；$F_2 = 10^{0.7} = 5.01$、$G_2 = 10^{-0.65} = 0.224$；$F_3 = 10^{0.35} = 2.24$：

$$F_{sys} = 1.585 + \dfrac{5.01-1}{39.8} + \dfrac{2.24-1}{39.8\times 0.224} = 1.585 + 0.101 + 0.139 = 1.825$$

(d) 代入 sensitivity 公式：(d) Substituting into the sensitivity formula:(d) 感度の式に代入：

$$kTB = -174 + 10\log_{10}(20\times 10^6) = -174 + 73 = -101\,\text{dBm}$$

$$P_{sens} = kTB + NF_{sys} + SNR_{req} = -101 + 2.6 + 18 = \mathbf{-80.4\,dBm}$$

過 −80 dBm spec，但只有 It passes the −80 dBm spec, but with only −80 dBm の spec は満たしますが、わずか 0.4 dB margin。雜訊由 LNA 主宰：$F_1 = 1.585$ 佔 $F_{sys} = 1.825$ 的 ≈ 87% — 要買 margin 先改 LNA：NF = 1.2 dB / G = 18 dB 時 $F_{sys} \approx 1.318 + 0.064 + 0.088 \approx 1.47 \to NF_{sys} \approx 1.7\,\text{dB}$，多出 ≈ 1 dB margin。. The noise is dominated by the LNA: $F_1 = 1.585$ accounts for ≈ 87% of $F_{sys} = 1.825$ — so buying margin means changing the LNA first: with NF = 1.2 dB and G = 18 dB, $F_{sys} \approx 1.318 + 0.064 + 0.088 \approx 1.47 \to NF_{sys} \approx 1.7\,\text{dB}$, gaining ≈ 1 dB more margin.。雑音は LNA が支配します：$F_1 = 1.585$ が $F_{sys} = 1.825$ の ≈ 87% を占めます — マージンを買うにはまず LNA を変更します：NF = 1.2 dB / G = 18 dB のとき $F_{sys} \approx 1.318 + 0.064 + 0.088 \approx 1.47 \to NF_{sys} \approx 1.7\,\text{dB}$ となり、≈ 1 dB のマージンが増えます。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：本題演示完整的 spec flow-down：frequency plan 決定 image 位置 → image budget 拆給 preselector 與 IRM（濾波器吃大頭、IRM 補尾巴，所以 IRM 只需 20 dB 的寬鬆平衡）→ Friis 驗證雜訊 → sensitivity 收斂。0.4 dB margin 太薄是常見的審查紅旗：溫度、老化、批次變異輕易吃掉 1–2 dB，設計審查會要求至少 2–3 dB。 This problem demonstrates a complete spec flow-down: the frequency plan fixes where the image lands → the image budget is divided between the preselector and the IRM (the filter takes the lion's share and the IRM mops up, so the IRM needs only a relaxed 20 dB of balance) → Friis verifies the noise → the sensitivity converges. A margin as thin as 0.4 dB is a common review red flag: temperature, ageing and lot-to-lot variation easily eat 1–2 dB, and a design review would demand at least 2–3 dB.この問題は完全な spec flow-down を示します：frequency plan がイメージの落ちる位置を決める → イメージ予算をプリセレクタと IRM に分配する（フィルタが大半を担い IRM が残りを処理するので、IRM には 20 dB という緩い平衡しか要りません）→ Friis で雑音を検証する → 感度が収束する。0.4 dB という薄いマージンは審査でよくある赤信号です：温度、経年変化、ロット間ばらつきが 1–2 dB を簡単に食ってしまうため、設計審査では少なくとも 2–3 dB が要求されます。

已知/目標：Given / required:既知/目標：$f_{LO} = 800\,\text{MHz}$、IF passband 90–110 MHz；mixer-first 前端，preselector 帶外 10 dB；LO drive +7 dBm、天線端 LO 洩漏限制 −30 dBm。求 700–900 MHz 內的 spur 路徑、三種拓樸的抑制情況、(2,2) spur 電平、洩漏合規性。$f_{LO} = 800\,\text{MHz}$ with an IF passband of 90–110 MHz; a mixer-first front end with 10 dB of out-of-band preselector rejection; an LO drive of +7 dBm and an antenna LO-leakage limit of −30 dBm. Find the spur paths within 700–900 MHz, the suppression offered by the three topologies, the (2,2) spur level, and whether the leakage complies.$f_{LO} = 800\,\text{MHz}$、IF 通過帯域 90–110 MHz；mixer-first フロントエンドで、プリセレクタの帯域外除去は 10 dB；LO ドライブ +7 dBm、アンテナ端の LO 漏れ制限は −30 dBm。700–900 MHz 内の spur 経路、3 種類のトポロジーによる抑圧、(2,2) spur のレベル、漏れが規格に適合するかを求めます。

(a) 公式：(a) Formula:(a) 公式：spur 進入 IF 的條件 $|m f_x - n\cdot 800| \in [90, 110]\,\text{MHz}$。 The condition for a spur to enter the IF is $|m f_x - n\cdot 800| \in [90, 110]\,\text{MHz}$.spur が IF に入る条件は $|m f_x - n\cdot 800| \in [90, 110]\,\text{MHz}$。逐一解出 $f_x$（限 700–900 MHz）：Solving for $f_x$ one case at a time (restricted to 700–900 MHz):$f_x$ を場合ごとに解きます（700–900 MHz に限定）：

• $(m,n) = (1,1)$：$800 - f_x = 100 \Rightarrow f_x = \mathbf{700\,MHz}$ → 這就是 $(m,n) = (1,1)$: $800 - f_x = 100 \Rightarrow f_x = \mathbf{700\,MHz}$ → this is the $(m,n) = (1,1)$：$800 - f_x = 100 \Rightarrow f_x = \mathbf{700\,MHz}$ → これが image。.。
• $(m,n) = (2,2)$：$2f_x - 1600 = 100 \Rightarrow f_x = \mathbf{850\,MHz}$ → $(m,n) = (2,2)$: $2f_x - 1600 = 100 \Rightarrow f_x = \mathbf{850\,MHz}$ → $(m,n) = (2,2)$：$2f_x - 1600 = 100 \Rightarrow f_x = \mathbf{850\,MHz}$ → half-IF spur，恰在 $(f_{RF}+f_{LO})/2$。, exactly at $(f_{RF}+f_{LO})/2$.、ちょうど $(f_{RF}+f_{LO})/2$ にあります。
• $(m,n) = (3,3)$：$3f_x - 2400 = 100 \Rightarrow f_x = \mathbf{833.3\,MHz}$ → half-IF 的三階類比。$(m,n) = (3,3)$: $3f_x - 2400 = 100 \Rightarrow f_x = \mathbf{833.3\,MHz}$ → the third-order analogue of the half-IF.$(m,n) = (3,3)$：$3f_x - 2400 = 100 \Rightarrow f_x = \mathbf{833.3\,MHz}$ → half-IF の三次版に相当します。

（其餘 $m,n \leq 3$ 組合解出的 $f_x$ 都落在 700–900 MHz 之外，例如 (2,1) 給 445–455 MHz、(1,2) 給 1490–1510 MHz。）(Every other combination with $m,n \leq 3$ solves to an $f_x$ outside 700–900 MHz; for example (2,1) gives 445–455 MHz and (1,2) gives 1490–1510 MHz.)（その他の $m,n \leq 3$ の組み合わせから解かれる $f_x$ はすべて 700–900 MHz の外に落ちます。例えば (2,1) では 445–455 MHz、(1,2) では 1490–1510 MHz となります。）

(b) 對照 8.2 題的拓樸抑制表：(b) Against the topology suppression table of problem 8.2:(b) 問題 8.2 のトポロジー抑圧表と照合：

• Single-ended：Single-ended:Single-ended：無任何抵消 — 三條 spur 路徑全部以原生轉換效率存活。 no cancellation of any kind — all three spur paths survive at their native conversion efficiency.打ち消しは一切なし — 3 本の spur 経路がすべて本来の変換効率のまま残ります。
• Single-balanced：Single-balanced:Single-balanced：抑制 even- suppresses even-even-LO-harmonic 產物 → (2,2) half-IF spur 壓 ≈ 30 dB；(3,3)（odd×odd）與 (1,1) image 存活。-harmonic products → the (2,2) half-IF spur is pushed down ≈ 30 dB; (3,3) (odd×odd) and the (1,1) image survive.-harmonic 産物を抑圧します → (2,2) half-IF spur は ≈ 30 dB 押し下げられます；(3,3)（odd×odd）と (1,1) イメージは残ります。
• Double-balanced ring：Double-balanced ring:Double-balanced ring：只有 odd-$m$ × odd-$n$ 產物能轉換 → (2,2) 被 RF、LO 兩層 balance 同時抑制（≈ 65 dB）。(3,3) 是 odd×odd，balance 救不了 — 只能靠 preselector 裙邊與元件線性度壓制。(1,1) image 更要注意：它就是 desired 的同階產物、只是頻率不同 — only odd-$m$ × odd-$n$ products can convert → (2,2) is suppressed by both the RF and LO layers of balance at once (≈ 65 dB). (3,3) is odd×odd and balance cannot save it — only the preselector skirt and device linearity can push it down. The (1,1) image deserves particular care: it is the same order of product as the desired signal, differing only in frequency — odd-$m$ × odd-$n$ の産物のみが変換できます → (2,2) は RF と LO の両方の平衡層によって同時に抑圧されます（≈ 65 dB）。(3,3) は odd×odd であり平衡では救えません — プリセレクタのスカートと素子の直線性でしか押し下げられません。(1,1) イメージにはとくに注意が必要です：希望信号と同じ次数の産物であり、違うのは周波数だけです — 任何Anyいかなる balance 都不抑制它，必須靠 preselector（此處距離 200 MHz → 容易濾）或 image-reject 架構（Topic 6）。 no amount of balance suppresses it, and it must be handled by the preselector (200 MHz away here → easy to filter) or an image-reject architecture (Topic 6). balance でもこれを抑圧できず、プリセレクタ（ここでは 200 MHz 離れている → 濾波は容易）またはイメージ除去アーキテクチャ（Topic 6）で対処するしかありません。

(c) 逐步代入：(c) Substituting step by step:(c) 段階的に代入：850 MHz 干擾 −30 dBm，經 preselector −10 dB、再經 ring 的 (2,2) 抑制 −65 dB： The 850 MHz interferer at −30 dBm, after −10 dB from the preselector and a further −65 dB of (2,2) suppression from the ring:850 MHz の干渉波は −30 dBm、プリセレクタによる −10 dB と、リングの (2,2) 抑圧によるさらに −65 dB を経て：

$$P_{spur,in} = -30 - 10 - 65 = \mathbf{-105\,dBm}$$

(d) LO 洩漏檢查(d) LO leakage check(d) LO 漏れの検査 — 天線端電平 $= P_{LO} - \text{isolation} - 10\,\text{dB（preselector @ 800 MHz）}$，逐一代入： — the level at the antenna $= P_{LO} - \text{isolation} - 10\,\text{dB (the preselector at 800 MHz)}$, case by case: — アンテナ端のレベル $= P_{LO} - \text{isolation} - 10\,\text{dB (the preselector at 800 MHz)}$ を、場合ごとに代入します：

• Single-ended：$7 - 15 - 10 = -18\,\text{dBm}$ → Single-ended: $7 - 15 - 10 = -18\,\text{dBm}$ → Single-ended：$7 - 15 - 10 = -18\,\text{dBm}$ → fails（超限 12 dB）。(12 dB over the limit).（制限を 12 dB 超過）。
• Single-balanced：$7 - 25 - 10 = -28\,\text{dBm}$ → Single-balanced: $7 - 25 - 10 = -28\,\text{dBm}$ → Single-balanced：$7 - 25 - 10 = -28\,\text{dBm}$ → fails by 2 dB（−28 > −30）。(−28 > −30).（−28 > −30）。
• Double-balanced：$7 - 45 - 10 = -48\,\text{dBm}$ → 過關，18 dB margin ✓Double-balanced: $7 - 45 - 10 = -48\,\text{dBm}$ → passes, with 18 dB of margin ✓Double-balanced：$7 - 45 - 10 = -48\,\text{dBm}$ → 合格、18 dB のマージン ✓

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：三個檢查各考一種機制：image 考「頻率規劃 + 濾波」、half-IF 考「拓樸對稱性」、LO 洩漏考「isolation 預算」。mixer-first 架構（無 LNA 反向隔離可借）把所有壓力堆在 mixer 的 isolation 上，因此 DB ring 幾乎是唯一解 — 這也解釋了為何商用 mixer-first SDR 前端清一色用高 isolation 的 ring 或 switch mixer。 Each of the three checks tests a different mechanism: the image tests “frequency planning + filtering”, the half-IF tests “topological symmetry”, and the LO leakage tests the “isolation budget”. A mixer-first architecture (with no LNA reverse isolation to borrow) piles all the pressure onto the mixer's isolation, so a DB ring is virtually the only answer — which is also why commercial mixer-first SDR front ends universally use high-isolation ring or switching mixers.3 つの検査はそれぞれ異なるメカニズムを試します：イメージは「周波数計画 + 濾波」、half-IF は「トポロジーの対称性」、LO 漏れは「アイソレーション予算」を問います。mixer-first アーキテクチャ（借りられる LNA の逆方向アイソレーションがない）はすべての負担をミキサのアイソレーションに集中させるため、DB ring がほぼ唯一の答えになります — これは商用の mixer-first SDR フロントエンドが一様に高アイソレーションのリングミキサやスイッチングミキサを使う理由でもあります。

已知/目標：Given / required:既知/目標：LO 800 MHz / +7 dBm，殘餘 FM：$\Delta f = 2\,\text{kHz}$、$f_m = 100\,\text{kHz}$；IF carrier 量得 −7 dBm；spec：IF carrier ±100 kHz 處 spur ≤ −50 dBc。求 sideband 電平、解釋它如何穿過 mixer、合規檢查與允許的 $\Delta f$。 An LO at 800 MHz / +7 dBm with residual FM of $\Delta f = 2\,\text{kHz}$ at $f_m = 100\,\text{kHz}$; the IF carrier measures −7 dBm; the spec is spurs ≤ −50 dBc at ±100 kHz from the IF carrier. Find the sideband level, explain how it passes through the mixer, check compliance, and find the permissible $\Delta f$.LO は 800 MHz / +7 dBm、残留 FM は $\Delta f = 2\,\text{kHz}$、$f_m = 100\,\text{kHz}$；IF キャリアの測定値は −7 dBm；spec は IF キャリアから ±100 kHz で spur ≤ −50 dBc。側波帯のレベル、それがミキサをどのように通り抜けるかの説明、適合性の確認、および許容される $\Delta f$ を求めます。

(a) 公式與來源：(a) Formula and source:(a) 公式と出典：FM 調變指數與 narrowband FM（$\beta \ll 1$）的一階 Bessel 近似： The FM modulation index and the first-order Bessel approximation for narrowband FM ($\beta \ll 1$):FM 変調指数と、narrowband FM（$\beta \ll 1$）に対する一次ベッセル近似：

$$\beta = \frac{\Delta f}{f_m}, \qquad \frac{J_1(\beta)}{J_0(\beta)} \approx \frac{\beta}{2}$$

逐步代入：Substituting step by step:段階的に代入：$\beta = \dfrac{2\,\text{kHz}}{100\,\text{kHz}} = 0.02 \ll 1$ ✓ → 第一對 sideband 相對 carrier 的振幅比 $\approx \beta/2 = 0.01$：$\beta = \dfrac{2\,\text{kHz}}{100\,\text{kHz}} = 0.02 \ll 1$ ✓ → the amplitude of the first sideband pair relative to the carrier is $\approx \beta/2 = 0.01$:$\beta = \dfrac{2\,\text{kHz}}{100\,\text{kHz}} = 0.02 \ll 1$ ✓ → 第 1 側波帯対のキャリアに対する振幅比は $\approx \beta/2 = 0.01$：

(b) 時域相乘 = Multiplication in time = 時間領域での乗算 = 頻域卷積（convolution）convolution in frequency周波数領域での畳み込み（convolution）。LO 頻譜 = carrier + ±100 kHz 的 −40 dBc sidebands；卷積時每一條 LO 譜線都把 RF 各自搬移一份 → IF carrier 帶著一模一樣的 −40 dBc / ±100 kHz sidebands。它們是 angle-modulation sidebands，. The LO spectrum = a carrier plus −40 dBc sidebands at ±100 kHz; on convolution every LO spectral line translates its own copy of the RF → so the IF carrier carries exactly the same −40 dBc / ±100 kHz sidebands. They are angle-modulation sidebands that 。LO スペクトル = キャリア + ±100 kHz の −40 dBc 側波帯；畳み込みでは LO の各スペクトル線がそれぞれ RF を 1 部ずつ移動させます → IF キャリアはまったく同じ −40 dBc / ±100 kHz の側波帯を伴います。これらは角度変調の側波帯であり、跟著 carrier 一起移動move with the carrierキャリアとともに移動し、永遠貼在通道內或鄰道 — 以 carrier 為中心的 IF filter 無法分離。唯一解法是清理 LO 本身（VCO 供電濾波、PLL 頻寬設計）。 and stay permanently in-channel or in the adjacent channel — an IF filter centred on the carrier cannot separate them. The only remedy is to clean up the LO itself (filtering the VCO supply, designing the PLL bandwidth).、常にチャネル内または隣接チャネルに貼り付いたままです — キャリアを中心とする IF フィルタでは分離できません。唯一の解決策は LO 自体をきれいにすることです（VCO 電源の濾波、PLL 帯域幅の設計）。

(c) 合規檢查：(c) Compliance check:(c) 適合性の確認：−40 dBc > −50 dBc → fail 10 dB。反推允許值：. Working back to the permitted value:。許容値を逆算すると：

$$\frac{\beta}{2} \leq 10^{-50/20} = 3.16\times 10^{-3} \;\Rightarrow\; \beta \leq 6.3\times 10^{-3}$$

(d) dB 換算練習：(d) A dB conversion exercise:(d) dB 換算の練習：sideband 絕對功率 $= P_{IF} + (\text{dBc}) = -7 - 40 = -47\,\text{dBm}$。心算：$-47 = -50 + 3$ → $10^{-5}\,\text{mW}\times 2 = 2\times 10^{-5}\,\text{mW} = \mathbf{20\,nW}$。 The absolute sideband power $= P_{IF} + (\text{dBc}) = -7 - 40 = -47\,\text{dBm}$. Mentally: $-47 = -50 + 3$ → $10^{-5}\,\text{mW}\times 2 = 2\times 10^{-5}\,\text{mW} = \mathbf{20\,nW}$.側波帯の絶対電力 $= P_{IF} + (\text{dBc}) = -7 - 40 = -47\,\text{dBm}$。暗算では：$-47 = -50 + 3$ → $10^{-5}\,\text{mW}\times 2 = 2\times 10^{-5}\,\text{mW} = \mathbf{20\,nW}$。

Bonus：carrier 消失於 $J_0(\beta) = 0$ 的第一個根 $\beta = 2.405$ → $\Delta f = 2.405\times 100\,\text{kHz} = 240.5\,\text{kHz}$ — 經典的 Bonus: the carrier vanishes at the first root of $J_0(\beta) = 0$, $\beta = 2.405$ → $\Delta f = 2.405\times 100\,\text{kHz} = 240.5\,\text{kHz}$ — the classic Bonus：キャリアは $J_0(\beta) = 0$ の最初の根 $\beta = 2.405$ → $\Delta f = 2.405\times 100\,\text{kHz} = 240.5\,\text{kHz}$ で消失します — 古典的な Bessel-null 法，用頻譜儀看 carrier 歸零來校正 FM deviation。 method, calibrating FM deviation by watching the carrier null on a spectrum analyser. 法で、スペクトラムアナライザでキャリアのヌルを観察して FM の周波数偏移を校正します。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：這題是「LO 品質 = IF 品質」的核心教訓：mixer 把 LO 的全部頻譜雜質（FM/PM sidebands、phase noise）原封不動「蓋章」到每一個轉換後的訊號上，且以 dBc 計完全不打折。接收機的 blocker 場景更糟 — 強鄰道訊號與 LO sidebands 卷積會把雜訊倒進通道（reciprocal mixing），所以 LO 純度規格通常由系統最嚴的 blocking 情境反推出來。 This problem carries the central lesson that “LO quality = IF quality”: a mixer stamps every spectral impurity of the LO (FM/PM sidebands, phase noise) onto every converted signal completely unaltered, with no discount whatsoever in dBc. The blocker scenario in a receiver is worse still — convolving a strong adjacent-channel signal with the LO sidebands pours noise into the channel (reciprocal mixing), so the LO purity specification is usually derived backwards from the system's most severe blocking scenario.この問題は「LO の品質 = IF の品質」という中心的な教訓を伝えます：ミキサは LO のあらゆるスペクトル不純物（FM/PM 側波帯、位相雑音）を、変換後のすべての信号にそのまま「押印」し、dBc で見て一切割り引かれません。受信機のブロッカー場面はさらに悪く — 強い隣接チャネル信号と LO 側波帯の畳み込みがチャネル内へ雑音を注ぎ込みます（reciprocal mixing）。そのため LO の純度仕様は通常、システムで最も厳しいブロッキング場面から逆算して決められます。

已知/目標：Given / required:既知/目標：RF 1.93–1.99 GHz、$f_{IF} = 190\,\text{MHz}$、high-side LO；DB ring（LO–RF iso 40 dB）、LNA 反向隔離 20 dB、天線洩漏限制 −30 dBm；兩個 −20 dBm blocker、最弱訊號 −75 dBm、IM3 需低 ≥ 10 dB；LO drive 可選 +7 或 +13 dBm；preselector 帶外 ≥ 25 dB。 RF 1.93–1.99 GHz, $f_{IF} = 190\,\text{MHz}$, high-side LO; a DB ring (LO–RF isolation 40 dB), 20 dB of LNA reverse isolation, and an antenna leakage limit of −30 dBm; two −20 dBm blockers, a weakest signal of −75 dBm, and IM3 required to be ≥ 10 dB below it; an LO drive of either +7 or +13 dBm; a preselector giving ≥ 25 dB out of band.RF 1.93–1.99 GHz、$f_{IF} = 190\,\text{MHz}$、high-side LO；DB ring（LO–RF アイソレーション 40 dB）、LNA の逆方向アイソレーション 20 dB、アンテナ漏れ制限 −30 dBm；−20 dBm のブロッカー 2 波、最弱信号 −75 dBm、IM3 はそれより ≥ 10 dB 低いことが必要；LO ドライブは +7 または +13 dBm から選択；プリセレクタは帯域外 ≥ 25 dB。

(a) 公式：(a) Formula:(a) 公式：high-side：$f_{LO} = f_{RF} + f_{IF}$、$f_{im} = f_{LO} + f_{IF} = f_{RF} + 2f_{IF}$。 High-side: $f_{LO} = f_{RF} + f_{IF}$ and $f_{im} = f_{LO} + f_{IF} = f_{RF} + 2f_{IF}$.high-side：$f_{LO} = f_{RF} + f_{IF}$、$f_{im} = f_{LO} + f_{IF} = f_{RF} + 2f_{IF}$。代入：Substituting:代入：

$$f_{LO} = (1.93\text{–}1.99) + 0.19 = \mathbf{2.12\text{–}2.18\,GHz}, \qquad f_{im} = f_{RF} + 0.38 = \mathbf{2.31\text{–}2.37\,GHz}$$

image band 在 RX 上緣之外足足 320 MHz → preselector 的 ≥ 25 dB stopband 直接涵蓋（若 image band 內有強發射源再加 pole）。The image band lies a full 320 MHz above the top of the RX band → the preselector's ≥ 25 dB stopband covers it directly (add a pole if there is a strong transmitter within the image band).イメージ帯域は RX 帯域の上端よりさらに 320 MHz 上にあります → プリセレクタの ≥ 25 dB 阻止帯域が直接カバーします（イメージ帯域内に強い送信源があれば極を 1 つ追加します）。不需 image-reject mixerNo image-reject mixer is neededイメージ除去ミキサは不要 — 那個架構的複雜度只有在「image 近到濾不掉」（low-IF，Topic 6）才划算。 — that architecture's complexity only pays off when the image is “too close to filter” (low IF, Topic 6). — あのアーキテクチャの複雑さは「イメージが近すぎて濾波できない」（low-IF、Topic 6）場合にのみ見合います。

(b) Level-7 — 公式與來源（diode-ring 經驗律）：(b) Level-7 — formula and source (the diode-ring rule of thumb):(b) Level-7 — 公式と出典（diode-ring の経験則）：$P_{1dB} \approx P_{LO} - 6\,\text{dB}$、$IIP3 \approx P_{1dB} + 10\,\text{dB}$。$P_{1dB} \approx P_{LO} - 6\,\text{dB}$ and $IIP3 \approx P_{1dB} + 10\,\text{dB}$.$P_{1dB} \approx P_{LO} - 6\,\text{dB}$、$IIP3 \approx P_{1dB} + 10\,\text{dB}$。逐步代入：Substituting step by step:段階的に代入：

$$P_{1dB} \approx 7 - 6 = +1\,\text{dBm}, \qquad IIP3 \approx 1 + 10 = +11\,\text{dBm}$$

兩音 IM3（input-referred）：$P_{IM3} = 3P_{in} - 2\,IIP3 = 3\times(-20) - 2\times 11 = -60 - 22 = \mathbf{-82\,dBm}$Two-tone IM3 (input-referred): $P_{IM3} = 3P_{in} - 2\,IIP3 = 3\times(-20) - 2\times 11 = -60 - 22 = \mathbf{-82\,dBm}$2 音 IM3（input-referred）：$P_{IM3} = 3P_{in} - 2\,IIP3 = 3\times(-20) - 2\times 11 = -60 - 22 = \mathbf{-82\,dBm}$

需求：$\leq -75 - 10 = -85\,\text{dBm}$ → $-82 > -85$ → The requirement: $\leq -75 - 10 = -85\,\text{dBm}$ → $-82 > -85$ → 要求：$\leq -75 - 10 = -85\,\text{dBm}$ → $-82 > -85$ → fails by 3 dB。.。

(c) Level-13：(c) Level-13:(c) Level-13：$P_{1dB} \approx 13 - 6 = +7\,\text{dBm}$、$IIP3 \approx +17\,\text{dBm}$：$P_{1dB} \approx 13 - 6 = +7\,\text{dBm}$ and $IIP3 \approx +17\,\text{dBm}$:$P_{1dB} \approx 13 - 6 = +7\,\text{dBm}$、$IIP3 \approx +17\,\text{dBm}$：

$$P_{IM3} = 3\times(-20) - 2\times 17 = -60 - 34 = \mathbf{-94\,dBm} \;\rightarrow\; \text{比 −85 dBm 低 9 dB，passes ✓}$$$$P_{IM3} = 3\times(-20) - 2\times 17 = -60 - 34 = \mathbf{-94\,dBm} \;\rightarrow\; \text{9 dB below −85 dBm, passes ✓}$$$$P_{IM3} = 3\times(-20) - 2\times 17 = -60 - 34 = \mathbf{-94\,dBm} \;\rightarrow\; \text{9 dB below −85 dBm, passes ✓}$$

LO 洩漏逐級遞減：mixer RF port $= +13 - 40 = -27\,\text{dBm}$ → 經 LNA 反向隔離 20 dB → $-47\,\text{dBm}$ → preselector 對 2.12–2.18 GHz 再衰減 ≥ 25 dB → 天線端 $\approx -72\,\text{dBm}$，遠低於 −30 dBm 限制 ✓The LO leakage falls stage by stage: at the mixer RF port $= +13 - 40 = -27\,\text{dBm}$ → through 20 dB of LNA reverse isolation → $-47\,\text{dBm}$ → the preselector attenuates 2.12–2.18 GHz by a further ≥ 25 dB → about $-72\,\text{dBm}$ at the antenna, far below the −30 dBm limit ✓LO 漏れは段ごとに減衰します：ミキサ RF ポートで $= +13 - 40 = -27\,\text{dBm}$ → LNA の逆方向アイソレーション 20 dB を経て → $-47\,\text{dBm}$ → プリセレクタが 2.12–2.18 GHz をさらに ≥ 25 dB 減衰させ → アンテナ端で約 $-72\,\text{dBm}$ となり、−30 dBm の制限をはるかに下回ります ✓

(d) Half-IF (2,2) 干擾帶：(d) The half-IF (2,2) interference band:(d) Half-IF (2,2) 干渉帯域：位於 $\dfrac{f_{RF}+f_{LO}}{2} = f_{RF} + \dfrac{f_{IF}}{2} = f_{RF} + 95\,\text{MHz}$ → It lies at $\dfrac{f_{RF}+f_{LO}}{2} = f_{RF} + \dfrac{f_{IF}}{2} = f_{RF} + 95\,\text{MHz}$ → $\dfrac{f_{RF}+f_{LO}}{2} = f_{RF} + \dfrac{f_{IF}}{2} = f_{RF} + 95\,\text{MHz}$ に位置します → 2.025–2.085 GHz，在 RX passband 之外。保護是雙重的：preselector ≥ 25 dB , outside the RX passband. The protection is twofold: ≥ 25 dB from the preselector 、RX 通過帯域の外です。保護は二重で、プリセレクタの ≥ 25 dB 加上plusに加えて DB ring 對 even-order (2,2) 的 ≈ 60–65 dB 抑制。high-side plan 把 image 與 half-IF band 都推到 RX band「同一側」（上方）→ 一道濾波器裙邊同時罩住兩者。 the DB ring's ≈ 60–65 dB suppression of the even-order (2,2). The high-side plan pushes both the image and the half-IF band to the *same* side of the RX band (above it) → so a single filter skirt covers them both. DB ring による偶数次 (2,2) の ≈ 60–65 dB の抑圧があります。high-side plan はイメージと half-IF 帯域の両方を RX 帯域の「同じ側」（上方）に押しやります → 1 枚のフィルタスカートで両方を同時に覆えます。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的解釈：LO drive 的選擇是典型的「拿功率買線性度」：+6 dB LO → IIP3 +6 dB → IM3 改善 12 dB（從差 3 dB 變賺 9 dB），代價是洩漏 +6 dB — 但洩漏走的是「isolation 鏈」（40+20+25 dB 層層遞減），而 IM3 沒有任何下游補救。結論也展示了 frequency plan、拓樸、濾波器三者是一個耦合決策，不能分開各自最佳化。 The choice of LO drive is a textbook case of “spending power to buy linearity”: +6 dB of LO → +6 dB of IIP3 → a 12 dB improvement in IM3 (from 3 dB short to 9 dB in hand), at the cost of +6 dB of leakage — but the leakage travels down an “isolation chain” (40+20+25 dB of successive attenuation) whereas the IM3 has no downstream remedy at all. The conclusion also shows that the frequency plan, the topology and the filters are one coupled decision and cannot be optimized separately.LO ドライブの選択は「電力を使って直線性を買う」典型例です：LO +6 dB → IIP3 +6 dB → IM3 が 12 dB 改善（3 dB 不足から 9 dB の余裕へ）、代償は漏れ +6 dB — しかし漏れは「アイソレーションの鎖」（40+20+25 dB と層ごとに減衰）を通るのに対し、IM3 には下流での救済手段がまったくありません。この結論は、frequency plan、トポロジー、フィルタの三者が 1 つの結合した決定であり、個別に最適化できないことも示しています。