影像抑制二極體混頻器Image-Reject Diode Mixerイメージ除去ダイオードミキサ
slide 30/31 — 兩個 90° hybrid 如何把 USB 與 LSB 分到不同的 IF 埠slide 30/31 — how two 90° hybrids separate USB and LSB into different IF portsslide 30/31 — 二つの 90° hybrid が USB と LSB を別々の IF ポートへ分ける仕組み

RF 上下旁帶 → 兩個獨立的 IF 輸出，靠 RF 端與 IF 端各一個 90° hybrid 的相位魔術RF upper and lower sidebands → two independent IF outputs, thanks to the phase magic of one 90° hybrid at the RF end and another at the IF endRF の上側・下側側波帯 → 二つの独立した IF 出力へ。RF 側と IF 側にそれぞれ一つずつ置いた 90° hybrid の位相マジックによります

為什麼需要 image-reject mixer？Why do we need an image-reject mixer?なぜイメージ除去ミキサが必要なのか？

在下變頻接收機裡，RF 訊號跟 LO 混頻後會產生兩個 IF 候選：In a downconverting receiver, mixing the RF signal with the LO produces two candidate IFs:ダウンコンバート受信機では、RF 信号を LO と混合すると二つの IF 候補が生じます：

$$\omega_{IF} = |\omega_{RF} - \omega_{LO}|$$

這意味著兩個不同的 RF 頻率 $\omega_{LO}+\omega_{IF}$（USB, upper sideband）跟 $\omega_{LO}-\omega_{IF}$（LSB, lower sideband）This means two different RF frequencies, $\omega_{LO}+\omega_{IF}$ (USB, upper sideband) and $\omega_{LO}-\omega_{IF}$ (LSB, lower sideband), つまり、$\omega_{LO}+\omega_{IF}$（USB, upper sideband）と $\omega_{LO}-\omega_{IF}$（LSB, lower sideband）という二つの異なる RF 周波数が會被混到同一個 IF 頻率are mixed down to the same IF frequency同一の IF 周波数へ変換される。其中一個是「想要的訊號」，另一個是「鏡像 (image)」。. One of them is the wanted signal, the other is the image.ということです。一方が「欲しい信号」、もう一方が「イメージ (image)」です。

傳統做法：用 RF 濾波器擋掉 image，但...The traditional approach: block the image with an RF filter — but…従来の手法：RF フィルタでイメージを阻止する — しかし…

當 IF 很低（例如幾 MHz）時，RF 濾波器需要極窄頻、高 Q —— 在 GHz 級的 RF 上幾乎做不出來。這時就需要 When the IF is low (a few MHz, say), the RF filter has to be extremely narrowband and high-Q — which is all but impossible to build at GHz RF. That is exactly where you need the IF が低い場合（たとえば数 MHz）、RF フィルタは極めて狭帯域かつ高 Q でなければならず —— GHz 帯の RF ではほとんど実現できません。そこで必要になるのが image-reject mixer：不靠濾波，而是用: rather than filtering, it uses ：フィルタに頼らず、相位魔術phase magic位相のマジック把 USB 跟 LSB 路由到 to route the USB and the LSB to によって USB と LSB を不同的輸出端口different output ports別々の出力ポート，你可以挑一個用。 , so you can pick whichever one you want. へ振り分けるので、好きな方を選んで使えます。

拓樸拆解Breaking down the topologyトポロジーの分解

① 左邊 90° RF hybrid：把 RF 訊號分相注入兩個 mixer① The 90° RF hybrid on the left: splits the RF signal in quadrature into the two mixers① 左側の 90° RF hybrid：RF 信号を直交位相で二つの mixer に分配する

Port 1：RF input: RF input：RF input
Port 2 → $v_{RF}^A$（送到上面的 mixer A）— 相位差 $-90°$ → $v_{RF}^A$ (feeding mixer A above) — phase shift $-90°$ → $v_{RF}^A$（上側の mixer A へ）— 位相差 $-90°$
Port 3 → $v_{RF}^B$（送到下面的 mixer B）— 相位差 $-180°$ → $v_{RF}^B$ (feeding mixer B below) — phase shift $-180°$ → $v_{RF}^B$（下側の mixer B へ）— 位相差 $-180°$
Port 4：以 $Z_0$ 終結（不接訊號）: terminated in $Z_0$ (no signal connected)：$Z_0$ で終端（信号は接続しない）

② 兩顆 mixer（diode 環）：各自跟同一個 LO 混頻② The two mixers (diode rings): each mixes against the same LO② 二つの mixer（ダイオードリング）：それぞれ同一の LO と混合する

兩個 mixer 都吃同樣的 LO 訊號 $V_{LO}\cos\omega_{LO}t$，但 RF 端是相位差 $90°$ 的兩個版本。Both mixers are fed the same LO signal $V_{LO}\cos\omega_{LO}t$, but their RF ports see two versions $90°$ apart in phase.どちらの mixer にも同じ LO 信号 $V_{LO}\cos\omega_{LO}t$ が入りますが、RF 端に来るのは位相が $90°$ 異なる二つの版です。

③ 兩個 LPF：濾掉和頻和倍頻，留下 IF③ The two LPFs: strip off the sum and harmonic products, leaving the IF③ 二つの LPF：和周波数と高調波成分を落とし、IF だけを残す

每個 mixer 出來都有 $\omega_{RF}\pm\omega_{LO}$ 等成份，LPF 把和頻 $\omega_{RF}+\omega_{LO}$ 擋掉，留下差頻 $|\omega_{RF}-\omega_{LO}|=\omega_{IF}$。Every mixer output contains components at $\omega_{RF}\pm\omega_{LO}$ and beyond; the LPF blocks the sum term $\omega_{RF}+\omega_{LO}$ and keeps the difference $|\omega_{RF}-\omega_{LO}|=\omega_{IF}$.各 mixer の出力には $\omega_{RF}\pm\omega_{LO}$ などの成分が含まれます。LPF が和の項 $\omega_{RF}+\omega_{LO}$ を阻止し、差の項 $|\omega_{RF}-\omega_{LO}|=\omega_{IF}$ を残します。

④ 右邊 90° IF hybrid：再做一次 90° 移相，做④ The 90° IF hybrid on the right: one more 90° phase shift, producing ④ 右側の 90° IF hybrid：もう一度 90° 移相を行い、相位相干干涉coherent phase interference位相コヒーレントな干渉

關鍵就在這裡 — USB 跟 LSB 經過This is where the trick happens — after the USB and LSB have accumulated 仕掛けはここにあります — USB と LSB は兩次two二度の $90°$ 移相累積後相位不同，在這個 hybrid 的兩個輸出埠分別 $90°$ shifts their phases differ, so at the two output ports of this hybrid they respectively undergo $90°$ 移相を積み重ねた結果、位相が異なります。そのためこの hybrid の二つの出力ポートでは、それぞれ建設性疊加constructive addition強め合う加算或 or または破壞性對消destructive cancellation打ち消し合う相殺，因此被路由到不同的輸出。, and are therefore routed to different outputs.が起こり、別々の出力へ振り分けられます。

小訊號分析（為什麼 USB 跟 LSB 會分到不同埠）Small-signal analysis (why the USB and LSB end up at different ports)小信号解析（なぜ USB と LSB が別のポートに分かれるのか）

Step 1 — RF 輸入含有 USB + LSB 兩個成份Step 1 — the RF input contains both a USB and an LSB componentStep 1 — RF 入力には USB と LSB の二成分が含まれる

$$v_{RF}(t) = \underbrace{V_U\cos(\omega_{LO}+\omega_{IF})t}_{\text{RF-USB}} + \underbrace{V_L\cos(\omega_{LO}-\omega_{IF})t}_{\text{RF-LSB}}$$

假設這兩個 RF 成份都會打到 mixer。要看看最終誰跑到哪個 IF 輸出。Assume both RF components reach the mixer. Let us track which one ends up at which IF output.この二つの RF 成分がいずれも mixer に届くとします。最終的にどちらがどの IF 出力へ行くのかを追ってみましょう。

Step 2 — 過 90° RF hybrid 後的兩條 RF 路徑Step 2 — the two RF paths after the 90° RF hybridStep 2 — 90° RF hybrid を通ったあとの二つの RF 経路

RF 由 port 1 進入，到 port 2 ($v_{RF}^A$) 的相位是 $-90°$，到 port 3 ($v_{RF}^B$) 的相位是 $-180°$：The RF enters at port 1; the phase at port 2 ($v_{RF}^A$) is $-90°$ and the phase at port 3 ($v_{RF}^B$) is $-180°$:RF は port 1 から入り、port 2 ($v_{RF}^A$) までの位相は $-90°$、port 3 ($v_{RF}^B$) までの位相は $-180°$ です：

$$\begin{aligned} v_{RF}^A(t) &= \tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl[V_U\cos((\omega_{LO}+\omega_{IF})t - 90°) + V_L\cos((\omega_{LO}-\omega_{IF})t - 90°)\bigr] \\ &= \tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl[V_U\sin(\omega_{LO}+\omega_{IF})t + V_L\sin(\omega_{LO}-\omega_{IF})t\bigr] \\[4pt] v_{RF}^B(t) &= \tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl[V_U\cos((\omega_{LO}+\omega_{IF})t - 180°) + V_L\cos((\omega_{LO}-\omega_{IF})t - 180°)\bigr] \\ &= -\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl[V_U\cos(\omega_{LO}+\omega_{IF})t + V_L\cos(\omega_{LO}-\omega_{IF})t\bigr] \end{aligned}$$

注意：USB 跟 LSB 走的Note that the USB and the LSB travel 注意すべきは、USB と LSB が是同一條 hybrid 路徑along the same hybrid path同じ hybrid 経路，所以這裡兩者多 $-90°$（或多 $-180°$）的, so the extra $-90°$ (or $-180°$) that each picks up here is を通るため、ここで加わる $-90°$（あるいは $-180°$）が相位完全一樣exactly the sameまったく同一。USB/LSB 的差別還沒展現出來 — 要等到 mixer 跟 LO 相乘後才會。. The difference between USB and LSB has not appeared yet — it only emerges once the mixer multiplies them by the LO.だという点です。USB と LSB の違いはまだ現れていません — mixer が LO を掛け合わせて初めて現れます。

Step 3 — Mixer 跟 LO 相乘，LPF 留下 IFStep 3 — the mixer multiplies by the LO, the LPF keeps the IFStep 3 — mixer が LO を掛け、LPF が IF を残す

每個 mixer 把 RF 跟 LO ($V_{LO}\cos\omega_{LO}t$) 相乘。用積化和差：Each mixer multiplies the RF by the LO ($V_{LO}\cos\omega_{LO}t$). Using the product-to-sum identity:各 mixer は RF に LO ($V_{LO}\cos\omega_{LO}t$) を掛けます。積和公式を使うと：

$$\cos A\cdot \cos B = \tfrac{1}{2}[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$$ $$\sin A\cdot \cos B = \tfrac{1}{2}[\sin(A-B)+\sin(A+B)]$$

LPF 擋掉和頻（$A+B$ 約等於 $2\omega_{LO}$）、只留下差頻。代入後：The LPF blocks the sum term ($A+B$, roughly $2\omega_{LO}$) and keeps only the difference. Substituting:LPF が和の項（$A+B$、およそ $2\omega_{LO}$）を阻止し、差の項だけを残します。代入すると：

$$v_{IF}^A(t) = \frac{K V_{LO}}{2\sqrt{2}}\bigl[\underbrace{V_U\sin(+\omega_{IF}t)}_{\text{from USB}} + \underbrace{V_L\sin(-\omega_{IF}t)}_{\text{from LSB}}\bigr] = \frac{K V_{LO}}{2\sqrt{2}}(V_U - V_L)\sin\omega_{IF}t$$

$$v_{IF}^B(t) = -\frac{K V_{LO}}{2\sqrt{2}}\bigl[V_U\cos\omega_{IF}t + V_L\cos\omega_{IF}t\bigr] = -\frac{K V_{LO}}{2\sqrt{2}}(V_U + V_L)\cos\omega_{IF}t$$

關鍵The key point要点：USB 經 mixer 後保留正的 $\omega_{IF}$ 相位；LSB 因為頻率比 LO 低，混完後變成: after mixing, the USB retains a positive $\omega_{IF}$ phase; the LSB, being lower in frequency than the LO, comes out with a ：mixer を通ったあと、USB は正の $\omega_{IF}$ 位相を保ちます。一方 LSB は LO より周波数が低いため、混合後は負的negative負の $\omega_{IF}$ 相位。$\sin(-x) = -\sin x$，所以路徑 A 上 USB 與 LSB 變成 $\omega_{IF}$ phase. Since $\sin(-x) = -\sin x$, on path A the USB and LSB end up $\omega_{IF}$ 位相になります。$\sin(-x) = -\sin x$ なので、経路 A では USB と LSB が相減subtracting打ち消し合い。路徑 B 則是相加。, while on path B they add.、経路 B では加算されます。

Step 4 — 相量表示 (phasor form)Step 4 — phasor formStep 4 — フェーザ表示 (phasor form)

$$V_{IF}^A = \frac{-jKV_{LO}}{2\sqrt{2}}(V_U - V_L), \qquad V_{IF}^B = \frac{-KV_{LO}}{2\sqrt{2}}(V_U + V_L)$$

Step 5 — 過 90° IF hybrid 做最後一次干涉Step 5 — the 90° IF hybrid performs one last interferenceStep 5 — 90° IF hybrid が最後の干渉を行う

IF hybrid 的兩個輸出端口 $V_1, V_2$ 分別是兩個輸入經過 $-90°$ 與 $-180°$ 移相後的和：The two output ports $V_1, V_2$ of the IF hybrid are the sums of the two inputs after $-90°$ and $-180°$ phase shifts respectively:IF hybrid の二つの出力ポート $V_1, V_2$ は、それぞれ二つの入力を $-90°$ と $-180°$ 移相したものの和です：

$$\begin{aligned} V_1 &= -j\tfrac{V_{IF}^A}{\sqrt{2}} - \tfrac{V_{IF}^B}{\sqrt{2}} = \frac{K V_{LO} V_L}{2}\\[2pt] V_2 &= -\tfrac{V_{IF}^A}{\sqrt{2}} - j\tfrac{V_{IF}^B}{\sqrt{2}} = \frac{j K V_{LO} V_U}{2} \end{aligned}$$

展開後（代入 step 4 的 $V_{IF}^A, V_{IF}^B$）就會發現 — $V_U$ 在 $V_1$ 對消、只剩 $V_L$；$V_L$ 在 $V_2$ 對消、只剩 $V_U$。轉回時域：Expanding (substituting $V_{IF}^A, V_{IF}^B$ from step 4) shows that $V_U$ cancels at $V_1$, leaving only $V_L$, while $V_L$ cancels at $V_2$, leaving only $V_U$. Back in the time domain:展開すると（step 4 の $V_{IF}^A, V_{IF}^B$ を代入）、$V_U$ は $V_1$ で打ち消されて $V_L$ だけが残り、$V_L$ は $V_2$ で打ち消されて $V_U$ だけが残ることがわかります。時間領域に戻すと：

$$v_1(t) = \frac{K V_{LO} V_L}{2}\cos\omega_{IF}t \quad\Rightarrow\quad \text{IF-LSB (只有 LSB)}$$ $$v_2(t) = -\frac{K V_{LO} V_U}{2}\sin\omega_{IF}t \quad\Rightarrow\quad \text{IF-USB (只有 USB)}$$ $$v_1(t) = \frac{K V_{LO} V_L}{2}\cos\omega_{IF}t \quad\Rightarrow\quad \text{IF-LSB (LSB only)}$$ $$v_2(t) = -\frac{K V_{LO} V_U}{2}\sin\omega_{IF}t \quad\Rightarrow\quad \text{IF-USB (USB only)}$$ $$v_1(t) = \frac{K V_{LO} V_L}{2}\cos\omega_{IF}t \quad\Rightarrow\quad \text{IF-LSB (LSB only)}$$ $$v_2(t) = -\frac{K V_{LO} V_U}{2}\sin\omega_{IF}t \quad\Rightarrow\quad \text{IF-USB (USB only)}$$

這就是 image rejection 的相位魔術This is the phase magic behind image rejectionこれがイメージ除去を支える位相のマジックです

USB 走 RF→A 路徑跟 RF→B 路徑時都 On both the RF→A and the RF→B path the USB picks up USB は RF→A 経路でも RF→B 経路でも各加了 90°an extra 90° eachそれぞれ 90° ずつ余分に；經 IF hybrid 後在 $V_2$ 兩條路徑同相相加（建設性）、在 $V_1$ 兩條路徑反相相消（破壞性）→ ; after the IF hybrid the two paths add in phase at $V_2$ (constructive) and cancel in antiphase at $V_1$ (destructive) → 位相が加わります。IF hybrid を通ったあと、$V_2$ では二経路が同相で加算され（強め合い）、$V_1$ では逆相で相殺されます（打ち消し合い）→ USB 只跑到 $V_2$the USB goes only to $V_2$USB は $V_2$ にしか現れません。 LSB 因為 $\omega_{IF}$ 的「方向」相反，相位累積跟 USB 剛好差 $180°$，所以剛好走相反路 → . Because the “direction” of $\omega_{IF}$ is reversed for the LSB, its accumulated phase differs from the USB's by exactly $180°$, so it takes precisely the opposite route → 。 LSB は $\omega_{IF}$ の「向き」が逆になるため、位相の積算が USB とちょうど $180°$ 異なり、まったく反対の経路をたどります → LSB 只跑到 $V_1$the LSB goes only to $V_1$LSB は $V_1$ にしか現れません。 . 。

實務問題與限制Practical issues and limitations実務上の課題と限界

項目Item項目	說明Notes説明
影像抑制度Image rejectionイメージ除去比	典型 ~20–30 dB（取決於兩條 mixer 路徑的振幅/相位匹配）。要達到 40+ dB 需要 trim 或 calibration。Typically ~20–30 dB (set by the amplitude/phase match of the two mixer paths). Reaching 40+ dB requires trimming or calibration.典型的には ~20–30 dB（二つの mixer 経路の振幅／位相の整合で決まります）。40 dB 以上を得るにはトリミングや校正が必要です。
製造困難Manufacturing difficulty製造の難しさ	IF 頻率通常很低（幾 MHz ~ 數十 MHz），但要做The IF is usually very low (a few MHz to a few tens of MHz), yet building a IF 周波数は通常とても低い（数 MHz～数十 MHz）のですが、低頻 90° hybridlow-frequency 90° hybrid低周波の 90° hybrid 很困難 — 集中元件 (LC) 的精度有限，分散元件 ($\lambda/4$) 在低頻又會太大。這是 image-reject mixer 在低 IF 下的 is hard — lumped elements (LC) have limited accuracy, while distributed elements ($\lambda/4$) become far too large at low frequencies. This is the を作るのは困難です — 集中定数素子 (LC) は精度に限りがあり、分布定数素子 ($\lambda/4$) は低周波では大きくなりすぎます。これが低 IF におけるイメージ除去ミキサの主要限制main limitation主な限界。 of the image-reject mixer at low IF.です。
RF 端的優勢The advantage at the RF endRF 端における利点	RF 端 hybrid 在 GHz 級容易做（branch-line、Lange coupler 都可以），不是瓶頸。The RF-end hybrid is easy to build at GHz frequencies (branch-line or Lange couplers both work), so it is not the bottleneck.RF 端の hybrid は GHz 帯なら作りやすく（branch-line でも Lange coupler でも可）、ボトルネックにはなりません。
轉換損失Conversion loss変換損失	因為訊號要 ×$\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ 分配兩次，總損失約 6 dB 比單一 mixer 多。Because the signal is split by ×$\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ twice, the total loss is about 6 dB more than for a single mixer.信号を ×$\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ で二回分配するため、総損失は単一 mixer より約 6 dB 大きくなります。
適用場景When to use it適用場面	當 IF 太低、RF 預選濾波器做不到夠窄時，唯一選擇。常見於通訊接收機（GSM/LTE）、雷達、頻譜儀。The only option when the IF is too low for the RF preselect filter to be made narrow enough. Common in communication receivers (GSM/LTE), radar and spectrum analysers.IF が低すぎて RF プリセレクトフィルタを十分狭くできない場合の唯一の選択肢です。通信受信機（GSM/LTE）、レーダ、スペクトラムアナライザでよく使われます。

反向用：SSB modulator (上變頻)Running it backwards: an SSB modulator (upconversion)逆向きに使う：SSB modulator（アップコンバージョン）

把整顆電路Use the whole circuit 回路全体を反過來in reverse逆向きに用：:使います：

從 $v_1$ 端注入 IF 訊號 → 只輸出 RF-LSB（鏡像被天生抑制）Inject the IF signal at $v_1$ → only RF-LSB comes out (the image is inherently suppressed)$v_1$ 端から IF 信号を注入 → RF-LSB だけが出力される（イメージは本質的に抑圧される）
從 $v_2$ 端注入 IF 訊號 → 只輸出 RF-USBInject the IF signal at $v_2$ → only RF-USB comes out$v_2$ 端から IF 信号を注入 → RF-USB だけが出力される

這就是This is precisely a これはまさに單邊帶調變器single-sideband modulator単側波帯変調器（SSB modulator） — 不需要外加帶通濾波就能選擇要發射 USB 還是 LSB，傳統廣播、業餘無線電發射機常用。(SSB modulator) — you can choose whether to transmit USB or LSB without any additional bandpass filter, which is why it is a staple of traditional broadcast and amateur-radio transmitters.（SSB modulator）です — 追加の帯域通過フィルタなしに USB と LSB のどちらを送信するか選べるため、従来の放送用送信機やアマチュア無線送信機の定番となっています。

顏色對照Colour key色の対応

RF 路徑（藍） RF path (blue) RF 経路（青）

LO 路徑（紅） LO path (red) LO 経路（赤）

IF 路徑（綠） IF path (green) IF 経路（緑）

90° hybrid（黃） 90° hybrid (yellow) 90° hybrid（黄）

LSB 標籤 LSB label LSB ラベル

USB 標籤 USB label USB ラベル

三句話帶走Three sentences to take away三つの文で持ち帰る

RF 跟 LO 混頻時 USB 跟 LSB 會折到同一個 $\omega_{IF}$When the RF mixes with the LO, the USB and the LSB fold onto the same $\omega_{IF}$RF と LO を混合すると、USB と LSB が同じ $\omega_{IF}$ に折り重なる — 這就是「鏡像問題」。Image-reject mixer 不靠濾波，而靠 — that is the image problem. An image-reject mixer separates them not by filtering but by — これがイメージ問題です。イメージ除去ミキサはフィルタではなく相位干涉phase interference位相干渉把它們分開。.によって両者を分離します。
兩個 90° hybrid（RF 端 + IF 端）讓 USB 跟 LSB 累積不同的相位Two 90° hybrids (one at the RF end, one at the IF end) give the USB and the LSB different accumulated phases二つの 90° hybrid（RF 端と IF 端に一つずつ）が USB と LSB に異なる積算位相を与える，在 IF 兩個輸出端口分別建設性/破壞性疊加 → 一個輸出純 USB、一個輸出純 LSB。, so at the two IF output ports they add constructively and destructively respectively → one output is pure USB, the other pure LSB.ため、IF の二つの出力ポートでそれぞれ強め合い／打ち消し合いが起こります → 一方の出力は純粋な USB、もう一方は純粋な LSB になります。
主要瓶頸是 IF hybrid 在低頻難做The main bottleneck is that the IF hybrid is hard to build at low frequencies主なボトルネックは、IF hybrid を低周波で作るのが難しい点である。要達 40+ dB 影像抑制需精密匹配；總損失約多 6 dB；反向用則變成 SSB modulator。. Reaching 40+ dB of image rejection demands precise matching; the total loss is about 6 dB higher; and run in reverse it becomes an SSB modulator.。40 dB 以上のイメージ除去には精密な整合が必要で、総損失は約 6 dB 増え、逆向きに使えば SSB modulator になります。