Receivers & Transmitters

Answer

(a) 高 IF 與低 IF 的 image 位置與抑制(a) Where the image lands and how well it is rejected, at high and low IF(a) 高い IF と低い IF におけるイメージの位置と抑圧量

已知/目標Given / required既知/目標：$f_{RF}=900\,\text{MHz}$、$B=200\,\text{kHz}$、high-side LO（$f_{LO}>f_{RF}$）；前端 BPF 在 ±140 MHz offset 給 60 dB、在 ±20 MHz 只給 25 dB。分別對 $f_{IF}=70\,\text{MHz}$ 與 $10\,\text{MHz}$ 求 $f_{LO}$、image frequency，並檢查 image rejection。: $f_{RF}=900\,\text{MHz}$, $B=200\,\text{kHz}$, high-side LO ($f_{LO}>f_{RF}$); the front-end BPF gives 60 dB at ±140 MHz offset but only 25 dB at ±20 MHz. For $f_{IF}=70\,\text{MHz}$ and $10\,\text{MHz}$ respectively, find $f_{LO}$ and the image frequency, and check the image rejection.：$f_{RF}=900\,\text{MHz}$、$B=200\,\text{kHz}$、high-side LO（$f_{LO}>f_{RF}$）；フロントエンド BPF は ±140 MHz オフセットで 60 dB、±20 MHz では 25 dB しか与えない。$f_{IF}=70\,\text{MHz}$ と $10\,\text{MHz}$ のそれぞれについて $f_{LO}$ とイメージ周波数を求め、イメージ抑圧を確認せよ。

公式與來源Formulas and sources公式と出典：high-side injection 時 $f_{LO}=f_{RF}+f_{IF}$。Mixer 對任何滿足 $|f-f_{LO}|=f_{IF}$ 的輸入一視同仁，所以 image 是 desired 對 $f_{LO}$ 的鏡像，永遠落在離 desired 恰好 $2f_{IF}$ 處（6.2 the image problem）：: for high-side injection $f_{LO}=f_{RF}+f_{IF}$. The mixer treats any input satisfying $|f-f_{LO}|=f_{IF}$ identically, so the image is the mirror of the desired signal about $f_{LO}$ and always lands exactly $2f_{IF}$ from it (6.2, the image problem):：high-side injection では $f_{LO}=f_{RF}+f_{IF}$。ミキサは $|f-f_{LO}|=f_{IF}$ を満たす入力をすべて同じように扱うので、イメージは希望波の $f_{LO}$ に関する鏡像であり、常に希望波からちょうど $2f_{IF}$ だけ離れた位置に落ちる（6.2 the image problem）：

$$f_{im}=f_{LO}+f_{IF}=f_{RF}+2f_{IF}$$

逐步代入Substituting step by step順に代入（$f_{IF}=70\,\text{MHz}$）：($f_{IF}=70\,\text{MHz}$):（$f_{IF}=70\,\text{MHz}$）：

• $f_{LO}=900+70=970\,\text{MHz}$
• $f_{im}=900+2\times 70=1040\,\text{MHz}$
• image offset $=1040-900=140\,\text{MHz}$ → 正好落在 BPF 的 ±140 MHz 規格點，吃到完整的 60 dB rejection ✓image offset $=1040-900=140\,\text{MHz}$ → exactly on the BPF's ±140 MHz specification point, so it gets the full 60 dB of rejection ✓image offset $=1040-900=140\,\text{MHz}$ → ちょうど BPF の ±140 MHz 規格点に当たり、60 dB の抑圧をフルに受けられる ✓

逐步代入Substituting step by step順に代入（$f_{IF}=10\,\text{MHz}$）：($f_{IF}=10\,\text{MHz}$):（$f_{IF}=10\,\text{MHz}$）：

• $f_{LO}=900+10=910\,\text{MHz}$、$f_{im}=900+2\times 10=920\,\text{MHz}$$f_{LO}=900+10=910\,\text{MHz}$, $f_{im}=900+2\times 10=920\,\text{MHz}$$f_{LO}=900+10=910\,\text{MHz}$、$f_{im}=900+2\times 10=920\,\text{MHz}$
• image offset 只剩 20 MHz → BPF 只給 25 dB。典型 out-of-band blocker 可以比 desired 強 60–80 dB，25 dB 完全不夠。the image offset is only 20 MHz → the BPF gives just 25 dB. A typical out-of-band blocker can be 60–80 dB stronger than the desired signal, so 25 dB is nowhere near enough.image offset は 20 MHz しか残らない → BPF は 25 dB しか与えない。典型的な帯域外ブロッカーは希望波より 60–80 dB 強くなりうるので、25 dB ではまったく足りない。

物理詮釋Physical interpretation物理的な解釈：image 落點由 $2f_{IF}$ 唯一決定，與前端 filter 的 roll-off 無關——選 IF 就是在替 image「選位置」，這是 frequency planning 的第一個自由度。: where the image lands is determined solely by $2f_{IF}$, independently of the front-end filter's roll-off — choosing the IF is choosing where to put the image, and that is the first degree of freedom in frequency planning.：イメージの落ちる位置は $2f_{IF}$ だけで一意に決まり、フロントエンドフィルタのロールオフとは無関係である——IF を選ぶことはイメージの「置き場所」を選ぶことであり、これが周波数プランニングにおける第一の自由度である。

(b) 直接在 70 MHz 做 channel selection？(b) Can channel selection be done directly at 70 MHz?(b) 70 MHz で直接チャネル選択はできるか?

已知/目標Given / required既知/目標：channel bandwidth $B=200\,\text{kHz}$、filter 中心頻率 $f_0=f_{IF}=70\,\text{MHz}$、可實作 $Q\lesssim 50$。求所需 Q。: channel bandwidth $B=200\,\text{kHz}$, filter centre frequency $f_0=f_{IF}=70\,\text{MHz}$, realizable $Q\lesssim 50$. Find the Q required.：チャネル帯域幅 $B=200\,\text{kHz}$、フィルタ中心周波数 $f_0=f_{IF}=70\,\text{MHz}$、実現可能な $Q\lesssim 50$。必要な Q を求めよ。

公式與來源Formulas and sources公式と出典：band-pass filter 的 loaded Q 定義為中心頻率除以 −3 dB 頻寬：$Q=f_0/B$；要恰好罩住一個 channel，頻寬就取 $B=200\,\text{kHz}$。: the loaded Q of a band-pass filter is the centre frequency divided by the −3 dB bandwidth, $Q=f_0/B$; to cover exactly one channel, take $B=200\,\text{kHz}$.：帯域通過フィルタの負荷 Q は中心周波数を −3 dB 帯域幅で割ったもの、すなわち $Q=f_0/B$ である；チャネルをちょうど 1 つ覆うには $B=200\,\text{kHz}$ とする。

逐步代入Substituting step by step順に代入：:：

$$Q=\frac{f_{IF}}{B}=\frac{70\times 10^6}{200\times 10^3}=350\gg 50$$

物理詮釋Physical interpretation物理的な解釈：fractional bandwidth $B/f_0\approx 0.29\%$ 太窄——filter 難度由相對頻寬決定，這就是為什麼 channel selection 一定要把訊號再往低頻搬。: the fractional bandwidth $B/f_0\approx 0.29\%$ is far too narrow — filter difficulty is governed by relative bandwidth, which is why channel selection always requires moving the signal further down in frequency.：比帯域幅 $B/f_0\approx 0.29\%$ は狭すぎる——フィルタの難易度は相対帯域幅で決まる。これこそが、チャネル選択では必ず信号をさらに低い周波数へ移さなければならない理由である。

(c) Dual conversion 到 $f_{IF2}=10.7$ MHz(c) Dual conversion to $f_{IF2}=10.7$ MHz(c) $f_{IF2}=10.7$ MHz へのダブルコンバージョン

已知/目標Given / required既知/目標：$f_{IF1}=70\,\text{MHz}$、low-side LO₂（$f_{LO2}<f_{IF1}$）、$f_{IF2}=10.7\,\text{MHz}$。求 $f_{LO2}$ 與 IF₂ 的所需 Q。: $f_{IF1}=70\,\text{MHz}$, low-side LO₂ ($f_{LO2}<f_{IF1}$), $f_{IF2}=10.7\,\text{MHz}$. Find $f_{LO2}$ and the Q required at IF₂.：$f_{IF1}=70\,\text{MHz}$、low-side LO₂（$f_{LO2}<f_{IF1}$）、$f_{IF2}=10.7\,\text{MHz}$。$f_{LO2}$ と IF₂ で必要な Q を求めよ。

公式與來源Formulas and sources公式と出典：low-side injection：$f_{LO2}=f_{IF1}-f_{IF2}$；Q 與 (b) 同樣用 $Q=f_0/B$。: low-side injection: $f_{LO2}=f_{IF1}-f_{IF2}$; the Q follows $Q=f_0/B$ as in (b).：low-side injection：$f_{LO2}=f_{IF1}-f_{IF2}$；Q は (b) と同じく $Q=f_0/B$ による。

逐步代入Substituting step by step順に代入：:：

• $f_{LO2}=70-10.7=\mathbf{59.3\,MHz}$
• $Q=\dfrac{10.7\times 10^6}{200\times 10^3}=53.5\approx 50$ ✓（剛好落在可實作邊緣）$Q=\dfrac{10.7\times 10^6}{200\times 10^3}=53.5\approx 50$ ✓ (right on the edge of what is realizable)$Q=\dfrac{10.7\times 10^6}{200\times 10^3}=53.5\approx 50$ ✓（実現可能なぎりぎりの境界）

物理詮釋Physical interpretation物理的な解釈：一次降頻無法同時滿足「image 遠」與「Q 低」，兩段降頻讓兩個目標各自擁有專屬的 IF——這正是傳統 superheterodyne 接收機的標準解法。: a single downconversion cannot satisfy “image far away” and “low Q” at once; two stages give each goal its own dedicated IF — precisely the standard solution of the classical superheterodyne receiver.：一度の周波数変換では「イメージが遠い」と「Q が低い」を同時に満たせない。2 段に分ければそれぞれの目標に専用の IF を与えられる——これこそ古典的なスーパーヘテロダイン受信機の標準的な解である。

(d) Secondary image

已知/目標Given / required既知/目標：第二級 mixer（$f_{LO2}=59.3\,\text{MHz}$）會把任何滿足 $|f-f_{LO2}|=f_{IF2}$ 的 IF₁ 頻率都轉到 10.7 MHz。找出 70 MHz 以外的解、它對應的 RF 頻率，以及該由哪個 filter 負責。: the second mixer ($f_{LO2}=59.3\,\text{MHz}$) converts any IF₁ frequency satisfying $|f-f_{LO2}|=f_{IF2}$ down to 10.7 MHz. Find the solution other than 70 MHz, the RF frequency it corresponds to, and which filter should deal with it.：第 2 段ミキサ（$f_{LO2}=59.3\,\text{MHz}$）は $|f-f_{LO2}|=f_{IF2}$ を満たす IF₁ 周波数をすべて 10.7 MHz へ変換する。70 MHz 以外の解と、それに対応する RF 周波数、そしてどのフィルタが担当すべきかを求めよ。

公式與來源Formulas and sources公式と出典：第二級的 image 是 desired IF₁ 對 LO₂ 的鏡像（與 (a) 同一個原理，套在第二級）：$f_{im,IF1}=2f_{LO2}-f_{IF1}$。再反推第一級：第一個 mixer（$f_{LO}=970\,\text{MHz}$）把 $|f_{RF}-f_{LO}|=f_{im,IF1}$ 的 RF 都搬到該處。: the second stage's image is the mirror of the desired IF₁ about LO₂ (the same principle as (a), applied to the second stage): $f_{im,IF1}=2f_{LO2}-f_{IF1}$. Then work back to the first stage: the first mixer ($f_{LO}=970\,\text{MHz}$) moves any RF satisfying $|f_{RF}-f_{LO}|=f_{im,IF1}$ to that point.：第 2 段のイメージは、希望 IF₁ の LO₂ に関する鏡像である（(a) と同じ原理を第 2 段に適用したもの）：$f_{im,IF1}=2f_{LO2}-f_{IF1}$。次に第 1 段へ遡ると、第 1 ミキサ（$f_{LO}=970\,\text{MHz}$）は $|f_{RF}-f_{LO}|=f_{im,IF1}$ を満たす RF をすべてそこへ移す。

逐步代入Substituting step by step順に代入：:：

• 解 $|f-59.3|=10.7$：$f=59.3+10.7=70\,\text{MHz}$（desired）或 $f=59.3-10.7=\mathbf{48.6\,MHz}$（即 $2\times 59.3-70=48.6$，70 MHz 對 LO₂ 的鏡像）Solving $|f-59.3|=10.7$: $f=59.3+10.7=70\,\text{MHz}$ (desired) or $f=59.3-10.7=\mathbf{48.6\,MHz}$ (i.e. $2\times 59.3-70=48.6$, the mirror of 70 MHz about LO₂)$|f-59.3|=10.7$ を解くと：$f=59.3+10.7=70\,\text{MHz}$（希望波）または $f=59.3-10.7=\mathbf{48.6\,MHz}$（すなわち $2\times 59.3-70=48.6$ で、70 MHz の LO₂ に関する鏡像）
• 反推 RF：$|f_{RF}-970|=48.6$ → $f_{RF}=970-48.6=921.4\,\text{MHz}$ 或 $f_{RF}=970+48.6=1018.6\,\text{MHz}$Working back to RF: $|f_{RF}-970|=48.6$ → $f_{RF}=970-48.6=921.4\,\text{MHz}$ or $f_{RF}=970+48.6=1018.6\,\text{MHz}$RF へ遡ると：$|f_{RF}-970|=48.6$ → $f_{RF}=970-48.6=921.4\,\text{MHz}$ または $f_{RF}=970+48.6=1018.6\,\text{MHz}$

物理詮釋Physical interpretation物理的な解釈：921.4 MHz 離 desired 的 900 MHz 只有 21.4 MHz——RF preselector 幾乎擋不住（同 (a) 低 IF 情形的 25 dB 等級）。但它在 IF₁ 上是 48.6 MHz 對 70 MHz，fractional offset $(70-48.6)/70\approx 30\%$，一個普通的 : 921.4 MHz is only 21.4 MHz from the desired 900 MHz — the RF preselector can barely block it (the same ~25 dB level as the low-IF case in (a)). But at IF₁ it is 48.6 MHz against 70 MHz, a fractional offset of $(70-48.6)/70\approx 30\%$, so an ordinary ：921.4 MHz は希望波の 900 MHz からわずか 21.4 MHz しか離れていない——RF プリセレクタではほとんど阻止できない（(a) の低 IF の場合と同じ 25 dB 程度)。しかし IF₁ では 70 MHz に対して 48.6 MHz であり、比オフセットは $(70-48.6)/70\approx 30\%$ になるので、ごく普通の IF₁ band-pass filter（中心 70 MHz）就能輕鬆壓掉。這就是 dual-conversion receiver 兩個 mixer 之間永遠要放 BPF 的原因（HW11）。(centred at 70 MHz) suppresses it easily. This is why a dual-conversion receiver always has a BPF between its two mixers (HW11).（中心 70 MHz）で容易に抑圧できる。これが、ダブルコンバージョン受信機では 2 つのミキサの間に必ず BPF を置く理由である（HW11）。

Answer

(a) LO self-mixing 造成的 DC offset(a) The DC offset caused by LO self-mixing(a) LO セルフミキシングによる DC オフセット

已知/目標Given / required既知/目標：$P_{LO}=0\,\text{dBm}$、LO→LNA-input isolation 60 dB、LNA→mixer-output 電壓增益 30 dB、desired 在 sensitivity $-99\,\text{dBm}$、50 Ω 系統。求 mixer 輸出端的 DC offset（dBm 與 mV）、與 desired 的差距，並為 TDMA 系統選 offset-removal 方法。: $P_{LO}=0\,\text{dBm}$, LO→LNA-input isolation 60 dB, LNA→mixer-output voltage gain 30 dB, the desired signal at the sensitivity of $-99\,\text{dBm}$, a 50 Ω system. Find the DC offset at the mixer output (in dBm and mV), how far above the desired signal it is, and choose an offset-removal method for a TDMA system.：$P_{LO}=0\,\text{dBm}$、LO→LNA 入力の分離 60 dB、LNA→ミキサ出力の電圧利得 30 dB、希望波は感度 $-99\,\text{dBm}$、50 Ω 系。ミキサ出力での DC オフセット（dBm と mV）、希望波との差、そして TDMA 系に適したオフセット除去法を求めよ。

公式與來源Formulas and sources公式と出典：zero-IF 的 LO 經有限 isolation 漏到 LNA 輸入，被放大後回到 mixer 與 LO 本尊相乘（self-mixing），$\cos\omega t\cdot\cos\omega t = \tfrac12(1+\cos 2\omega t)$ 產生 DC 項（6.2 direct conversion）。量級估計：$P_{DC}\approx P_{LO}-\text{isolation}+G$。功率轉電壓用 $V_{rms}=\sqrt{P\cdot R}$。: in zero-IF the LO leaks through the finite isolation to the LNA input, is amplified, and returns to the mixer where it multiplies with the LO itself (self-mixing); $\cos\omega t\cdot\cos\omega t = \tfrac12(1+\cos 2\omega t)$ produces a DC term (6.2, direct conversion). Order-of-magnitude estimate: $P_{DC}\approx P_{LO}-\text{isolation}+G$. Converting power to voltage uses $V_{rms}=\sqrt{P\cdot R}$.：zero-IF では LO が有限の分離を通って LNA 入力へ漏れ、増幅されてミキサへ戻り、LO 本体と掛け合わされる（セルフミキシング）。$\cos\omega t\cdot\cos\omega t = \tfrac12(1+\cos 2\omega t)$ が DC 項を生む（6.2 direct conversion）。オーダー評価は $P_{DC}\approx P_{LO}-\text{isolation}+G$。電力から電圧への換算には $V_{rms}=\sqrt{P\cdot R}$ を使う。

逐步代入Substituting step by step順に代入：:：

• LNA 輸入端的 LO leakage：$0-60=-60\,\text{dBm}$LO leakage at the LNA input: $0-60=-60\,\text{dBm}$LNA 入力での LO 漏れ：$0-60=-60\,\text{dBm}$
• 經 30 dB 增益到 mixer 輸出再 self-mix：$-60+30=\mathbf{-30\,dBm}$after 30 dB of gain to the mixer output, then self-mixing: $-60+30=\mathbf{-30\,dBm}$30 dB の利得を経てミキサ出力に達し、そこでセルフミキシング：$-60+30=\mathbf{-30\,dBm}$
• dBm→W：$-30\,\text{dBm}=10^{-30/10}\,\text{mW}=10^{-3}\,\text{mW}=1\,\mu\text{W}$dBm→W: $-30\,\text{dBm}=10^{-30/10}\,\text{mW}=10^{-3}\,\text{mW}=1\,\mu\text{W}$dBm→W：$-30\,\text{dBm}=10^{-30/10}\,\text{mW}=10^{-3}\,\text{mW}=1\,\mu\text{W}$
• $V_{rms}=\sqrt{10^{-6}\times 50}=\sqrt{5\times 10^{-5}}=\mathbf{7.1\,mV}$（DC offset）$V_{rms}=\sqrt{10^{-6}\times 50}=\sqrt{5\times 10^{-5}}=\mathbf{7.1\,mV}$ (the DC offset)$V_{rms}=\sqrt{10^{-6}\times 50}=\sqrt{5\times 10^{-5}}=\mathbf{7.1\,mV}$（DC オフセット）
• desired 在同一節點：$-99+30=-69\,\text{dBm}=10^{-6.9}\,\text{mW}=1.26\times 10^{-10}\,\text{W}$ → $V_{rms}=\sqrt{1.26\times 10^{-10}\times 50}=\mathbf{79\,\mu V}$the desired signal at the same node: $-99+30=-69\,\text{dBm}=10^{-6.9}\,\text{mW}=1.26\times 10^{-10}\,\text{W}$ → $V_{rms}=\sqrt{1.26\times 10^{-10}\times 50}=\mathbf{79\,\mu V}$同じノードでの希望波：$-99+30=-69\,\text{dBm}=10^{-6.9}\,\text{mW}=1.26\times 10^{-10}\,\text{W}$ → $V_{rms}=\sqrt{1.26\times 10^{-10}\times 50}=\mathbf{79\,\mu V}$
• 差距：$-30-(-69)=\mathbf{39\,dB}$（電壓比 $7.1\,\text{mV}/79\,\mu\text{V}\approx 89$ 倍）the gap: $-30-(-69)=\mathbf{39\,dB}$ (a voltage ratio of $7.1\,\text{mV}/79\,\mu\text{V}\approx 89$)差：$-30-(-69)=\mathbf{39\,dB}$（電圧比で $7.1\,\text{mV}/79\,\mu\text{V}\approx 89$ 倍）

物理詮釋Physical interpretation物理的な解釈：一個比訊號大 39 dB 的 DC 項會先把 baseband amplifier/ADC 的 dynamic range 吃光、甚至直接 saturate——訊號根本還沒被偵測到。TDMA 有現成的 idle/guard interval 可以量測並數位扣除 offset；若只靠 AC coupling，corner 必須極低（訊號能量集中在 DC 附近）導致 settling 太慢，跟不上 burst 切換。: a DC term 39 dB larger than the signal will consume the entire dynamic range of the baseband amplifier and ADC, or saturate them outright — the signal is never even detected. TDMA has a ready-made idle/guard interval in which the offset can be measured and subtracted digitally; relying on AC coupling alone would require an extremely low corner (the signal energy is concentrated near DC), making the settling far too slow to keep up with burst switching.：信号より 39 dB 大きい DC 項は、ベースバンド増幅器と ADC のダイナミックレンジを食い尽くすか、そのまま飽和させてしまう——信号は検出すらされない。TDMA には、オフセットを測定してディジタルで差し引くための idle/guard 区間が最初から用意されている；AC 結合だけに頼ると、信号のエネルギーが DC 付近に集中しているためコーナーを極端に低くせざるを得ず、整定が遅すぎてバースト切り替えに追随できない。

(b) IIP2 需求(b) The IIP2 requirement(b) IIP2 の要求値

已知/目標Given / required既知/目標：兩個 $-35\,\text{dBm}$ 的 interferer，其 IM2 beat（差頻項 $f_1-f_2$，在 zero-IF 直接落進 baseband）必須比 desired（$-99\,\text{dBm}$）再低 9 dB。求前端所需 IIP2。: two interferers at $-35\,\text{dBm}$, whose IM2 beat (the difference term $f_1-f_2$, which in zero-IF lands directly in baseband) must be a further 9 dB below the desired signal ($-99\,\text{dBm}$). Find the IIP2 required of the front end.：$-35\,\text{dBm}$ の干渉波が 2 つあり、その IM2 ビート（差の項 $f_1-f_2$ で、zero-IF では直接ベースバンドに落ちる）は希望波（$-99\,\text{dBm}$）よりさらに 9 dB 低くなければならない。フロントエンドに必要な IIP2 を求めよ。

公式與來源Formulas and sources公式と出典：二階互調的 input-referred beat level（two-tone、等功率 $P_{in}$）：: the input-referred beat level of second-order intermodulation (two tones of equal power $P_{in}$):：2 次相互変調の入力換算ビートレベル（等電力 $P_{in}$ の 2 トーン）：

$$P_{IM2,in}=2P_{in}-IIP2$$

（每 1 dB 的輸入變化讓 IM2 變 2 dB，外插交點即 IIP2。）(every 1 dB change of input moves the IM2 by 2 dB, and the extrapolated intercept is the IIP2.)（入力が 1 dB 変わるごとに IM2 は 2 dB 動き、外挿した交点が IIP2 である。）

逐步代入Substituting step by step順に代入：:：

• $P_{IM2,in}=2\times(-35)-IIP2=-70-IIP2$（dBm）$P_{IM2,in}=2\times(-35)-IIP2=-70-IIP2$ (dBm)$P_{IM2,in}=2\times(-35)-IIP2=-70-IIP2$（dBm）
• 要求 $P_{IM2,in}\leq -99-9=-108\,\text{dBm}$requiring $P_{IM2,in}\leq -99-9=-108\,\text{dBm}$$P_{IM2,in}\leq -99-9=-108\,\text{dBm}$ が要求される
• $-70-IIP2\leq -108$ → $IIP2\geq -70+108=+38\,\text{dBm}$

物理詮釋Physical interpretation物理的な解釈：heterodyne 中 IM2 的 beat 落在 baseband、會被 IF filter 擋掉，所以 IIP2 幾乎不設規格；zero-IF 的「IF」就是 baseband，beat 直接疊在訊號上——+38 dBm 這種誇張的數字只能靠全差動 mixer（理論上消偶次項）加上校準達成。: in a heterodyne the IM2 beat lands in baseband and is blocked by the IF filter, so IIP2 is barely specified at all; in zero-IF the “IF” is baseband and the beat lands straight on top of the signal — an outlandish figure like +38 dBm can only be reached with a fully differential mixer (which cancels the even-order terms in theory) plus calibration.：ヘテロダインでは IM2 のビートがベースバンドに落ち、IF フィルタで阻止されるため IIP2 はほとんど規定されない；zero-IF では「IF」がベースバンドそのものなので、ビートが信号の上に直接重なる——+38 dBm というような極端な値は、完全差動ミキサ（理論上は偶数次項を打ち消す）と校正を併用してはじめて達成できる。

(c) Flicker noise penalty：GSM vs LTE(c) The flicker-noise penalty: GSM vs LTE(c) フリッカ雑音ペナルティ：GSM と LTE

已知/目標Given / required既知/目標：flicker corner $f_2=200\,\text{kHz}$、offset-cancellation HPF corner $f_1=100\,\text{Hz}$、channel 上緣 $f_3=$ 200 kHz（GSM）或 10 MHz（LTE）。求相對 thermal-only 的 noise penalty。: flicker corner $f_2=200\,\text{kHz}$, offset-cancellation HPF corner $f_1=100\,\text{Hz}$, upper channel edge $f_3=$ 200 kHz (GSM) or 10 MHz (LTE). Find the noise penalty relative to thermal-only.：フリッカコーナー $f_2=200\,\text{kHz}$、オフセット除去 HPF のコーナー $f_1=100\,\text{Hz}$、チャネル上端 $f_3=$ 200 kHz（GSM）または 10 MHz（LTE）。熱雑音のみの場合に対する雑音ペナルティを求めよ。

公式與來源Formulas and sources公式と出典：baseband noise PSD 在 $f<f_2$ 處為 $S_{th}\cdot f_2/f$（1/f 區），$f>f_2$ 處為 $S_{th}$（平坦區）。對 $f_1\to f_3$ 積分（6.2 flicker 公式）：: the baseband noise PSD is $S_{th}\cdot f_2/f$ for $f<f_2$ (the 1/f region) and $S_{th}$ for $f>f_2$ (the flat region). Integrating from $f_1\to f_3$ (the 6.2 flicker formula):：ベースバンド雑音 PSD は $f<f_2$ で $S_{th}\cdot f_2/f$（1/f 領域）、$f>f_2$ で $S_{th}$（平坦領域）である。$f_1\to f_3$ で積分すると（6.2 のフリッカの式）：

$$P_n=\int_{f_1}^{f_2}S_{th}\frac{f_2}{f}\,df+\int_{f_2}^{f_3}S_{th}\,df=\Big(f_2\ln\frac{f_2}{f_1}+(f_3-f_2)\Big)S_{th}$$

thermal-only 基準為 $(f_3-f_1)S_{th}$。the thermal-only reference is $(f_3-f_1)S_{th}$.熱雑音のみの基準は $(f_3-f_1)S_{th}$ である。

逐步代入Substituting step by step順に代入（GSM，$f_3=f_2=200\,\text{kHz}$，平坦區為零）：(GSM, $f_3=f_2=200\,\text{kHz}$, so the flat region contributes nothing):（GSM、$f_3=f_2=200\,\text{kHz}$ なので平坦領域の寄与はゼロ）：

• $\ln(f_2/f_1)=\ln(200{,}000/100)=\ln(2000)=7.60$
• $P_n=200\times 10^3\times 7.60\,S_{th}=1.52\times 10^6\,S_{th}$
• thermal-only：$(200\times 10^3-100)\,S_{th}\approx 2\times 10^5\,S_{th}$thermal-only: $(200\times 10^3-100)\,S_{th}\approx 2\times 10^5\,S_{th}$thermal-only：$(200\times 10^3-100)\,S_{th}\approx 2\times 10^5\,S_{th}$
• penalty $=10\log\dfrac{1.52\times 10^6}{2\times 10^5}=10\log(7.6)=\mathbf{8.8\,dB}$

逐步代入Substituting step by step順に代入（LTE，$f_3=10\,\text{MHz}$）：(LTE, $f_3=10\,\text{MHz}$):（LTE、$f_3=10\,\text{MHz}$）：

• 1/f 區貢獻不變：$1.52\times 10^6\,S_{th}$；平坦區：$(10\times 10^6-0.2\times 10^6)\,S_{th}=9.8\times 10^6\,S_{th}$the 1/f contribution is unchanged: $1.52\times 10^6\,S_{th}$; the flat region: $(10\times 10^6-0.2\times 10^6)\,S_{th}=9.8\times 10^6\,S_{th}$1/f 領域の寄与は変わらず $1.52\times 10^6\,S_{th}$；平坦領域は $(10\times 10^6-0.2\times 10^6)\,S_{th}=9.8\times 10^6\,S_{th}$
• $P_n=(1.52+9.8)\times 10^6\,S_{th}=1.13\times 10^7\,S_{th}$；thermal-only $\approx 10^7\,S_{th}$$P_n=(1.52+9.8)\times 10^6\,S_{th}=1.13\times 10^7\,S_{th}$; thermal-only $\approx 10^7\,S_{th}$$P_n=(1.52+9.8)\times 10^6\,S_{th}=1.13\times 10^7\,S_{th}$；thermal-only は $\approx 10^7\,S_{th}$
• penalty $=10\log(1.13)=\mathbf{0.5\,dB}$

物理詮釋Physical interpretation物理的な解釈：1/f 雜訊的總能量固定集中在低頻；channel 越寬，被污染的比例越小。GSM 的 200 kHz 幾乎整段都泡在 1/f 區，LTE 的 10 MHz 只有前 2% 受害——zero-IF 的可行性本質上是「頻寬除以 flicker corner」的比值問題。: the total energy of 1/f noise is fixed and concentrated at low frequencies, so the wider the channel the smaller the fraction that is contaminated. Almost the whole of GSM's 200 kHz is submerged in the 1/f region, whereas only the first 2% of LTE's 10 MHz suffers — the feasibility of zero-IF is essentially a question of the ratio “bandwidth divided by flicker corner”.：1/f 雑音の総エネルギーは低周波に集中したまま一定なので、チャネルが広いほど汚染される割合は小さくなる。GSM の 200 kHz はほぼ全体が 1/f 領域に浸かっているのに対し、LTE の 10 MHz は最初の 2% しか影響を受けない——zero-IF が成立するかどうかは、本質的に「帯域幅をフリッカコーナーで割った比」の問題である。

(d) I/Q mismatch 的 IRR(d) IRR from I/Q mismatch(d) I/Q ミスマッチによる IRR

已知/目標Given / required既知/目標：gain error 0.2 dB、phase error 2°。用 HW12 small-error 公式求 image-rejection ratio，判斷 QPSK（需 ≈ −20 dB）與 64-QAM（需 ≈ −40 dB）。: a gain error of 0.2 dB and a phase error of 2°. Use the HW12 small-error formula to find the image-rejection ratio, and judge it against QPSK (needs ≈ −20 dB) and 64-QAM (needs ≈ −40 dB).：利得誤差 0.2 dB、位相誤差 2°。HW12 の微小誤差の式でイメージ抑圧比を求め、QPSK（≈ −20 dB 必要）と 64-QAM（≈ −40 dB 必要）に照らして判定せよ。

公式與來源Formulas and sources公式と出典：HW12 的 small-error 近似（$\varepsilon$ 為線性 gain error、$\theta$ 為弧度制 phase error）：: the HW12 small-error approximation ($\varepsilon$ the linear gain error, $\theta$ the phase error in radians):：HW12 の微小誤差近似（$\varepsilon$ は線形の利得誤差、$\theta$ はラジアン単位の位相誤差）：

$$\text{IRR}=\frac{P_{image}}{P_{signal}}\approx\frac{\varepsilon^2+\theta^2}{4}$$

逐步代入Substituting step by step順に代入：:：

• dB→線性：$\varepsilon=10^{0.2/20}-1=1.0233-1=0.0233$ → $\varepsilon^2=5.4\times 10^{-4}$dB→linear: $\varepsilon=10^{0.2/20}-1=1.0233-1=0.0233$ → $\varepsilon^2=5.4\times 10^{-4}$dB→線形：$\varepsilon=10^{0.2/20}-1=1.0233-1=0.0233$ → $\varepsilon^2=5.4\times 10^{-4}$
• 度→弧度：$\theta=2°\times\dfrac{\pi}{180}=0.0349\,\text{rad}$ → $\theta^2=1.22\times 10^{-3}$degrees→radians: $\theta=2°\times\dfrac{\pi}{180}=0.0349\,\text{rad}$ → $\theta^2=1.22\times 10^{-3}$度→ラジアン：$\theta=2°\times\dfrac{\pi}{180}=0.0349\,\text{rad}$ → $\theta^2=1.22\times 10^{-3}$
• $\text{IRR}=\dfrac{5.4\times 10^{-4}+1.22\times 10^{-3}}{4}=\dfrac{1.76\times 10^{-3}}{4}=4.4\times 10^{-4}$
• dB：$10\log(4.4\times 10^{-4})=\mathbf{-33.6\,dB}$in dB: $10\log(4.4\times 10^{-4})=\mathbf{-33.6\,dB}$dB 表示：$10\log(4.4\times 10^{-4})=\mathbf{-33.6\,dB}$

物理詮釋Physical interpretation物理的な解釈：0.2 dB／2° 已是不錯的類比匹配，仍離 64-QAM 的需求差 6 dB 以上——而且本例 phase 項（$1.22\times 10^{-3}$）貢獻是 gain 項的兩倍多。這就是現代 radio 一律在類比匹配之上再加 digital I/Q calibration 的原因。: 0.2 dB / 2° is already respectable analogue matching, yet it still falls more than 6 dB short of what 64-QAM needs — and in this example the phase term ($1.22\times 10^{-3}$) contributes more than twice as much as the gain term. This is why every modern radio adds digital I/Q calibration on top of analogue matching.：0.2 dB／2° はすでにかなり良いアナログ整合だが、それでも 64-QAM の要求には 6 dB 以上足りない——しかも本例では位相項（$1.22\times 10^{-3}$）の寄与が利得項の 2 倍以上ある。これが、現代の無線機がアナログ整合の上にディジタル I/Q 校正を必ず重ねる理由である。

Answer

(a) Hartley 的 IRR(a) The IRR of a Hartley receiver(a) Hartley 受信機の IRR

已知/目標Given / required既知/目標：gain mismatch $\varepsilon=0.3\,\text{dB}$、phase mismatch $\theta=3°$。求 IRR 並與 6.2 的「typical 30–35 dB」對照。: gain mismatch $\varepsilon=0.3\,\text{dB}$, phase mismatch $\theta=3°$. Find the IRR and compare it with the “typical 30–35 dB” of 6.2.：利得ミスマッチ $\varepsilon=0.3\,\text{dB}$、位相ミスマッチ $\theta=3°$。IRR を求め、6.2 の「典型値 30–35 dB」と比較せよ。

公式與來源Formulas and sources公式と出典：HW12 small-error 公式（$\varepsilon$ 取線性、$\theta$ 取弧度）：: the HW12 small-error formula ($\varepsilon$ linear, $\theta$ in radians):：HW12 の微小誤差の式（$\varepsilon$ は線形、$\theta$ はラジアン）：

$$\text{IRR}=\frac{\varepsilon^2+\theta^2}{4}$$

逐步代入Substituting step by step順に代入：:：

• dB→線性：$\varepsilon=10^{0.3/20}-1=1.0352-1=0.0352$ → $\varepsilon^2=1.24\times 10^{-3}$dB→linear: $\varepsilon=10^{0.3/20}-1=1.0352-1=0.0352$ → $\varepsilon^2=1.24\times 10^{-3}$dB→線形：$\varepsilon=10^{0.3/20}-1=1.0352-1=0.0352$ → $\varepsilon^2=1.24\times 10^{-3}$
• 度→弧度：$\theta=3°\times\dfrac{\pi}{180}=0.0524\,\text{rad}$ → $\theta^2=2.74\times 10^{-3}$degrees→radians: $\theta=3°\times\dfrac{\pi}{180}=0.0524\,\text{rad}$ → $\theta^2=2.74\times 10^{-3}$度→ラジアン：$\theta=3°\times\dfrac{\pi}{180}=0.0524\,\text{rad}$ → $\theta^2=2.74\times 10^{-3}$
• $\text{IRR}=\dfrac{1.24\times 10^{-3}+2.74\times 10^{-3}}{4}=\dfrac{3.98\times 10^{-3}}{4}=9.9\times 10^{-4}$
• dB：$10\log(9.9\times 10^{-4})=\mathbf{-30\,dB}$in dB: $10\log(9.9\times 10^{-4})=\mathbf{-30\,dB}$dB 表示：$10\log(9.9\times 10^{-4})=\mathbf{-30\,dB}$

物理詮釋Physical interpretation物理的な解釈：0.3 dB／3° 是未經校準的類比電路很實際的 mismatch 水準，算出來剛好就是教科書宣稱的 30 dB 量級——這個「typical」數字不是經驗口訣，而是 small-error 公式的直接結果。: 0.3 dB / 3° is a very realistic level of mismatch for an uncalibrated analogue circuit, and it works out to exactly the 30 dB figure the textbooks quote — that “typical” number is not a rule of thumb but a direct consequence of the small-error formula.：0.3 dB／3° は未校正のアナログ回路として非常に現実的なミスマッチ水準であり、計算するとちょうど教科書が挙げる 30 dB になる——この「典型値」は経験則ではなく、微小誤差の式から直接導かれる帰結である。

(b) RC–CR 漂移 +20% 的後果(b) The consequence of a +20% RC–CR drift(b) RC–CR が +20% ドリフトした場合の帰結

已知/目標Given / required既知/目標：RC–CR 90° 網路的 corner $1/RC$ 因 process 漂移 +20%（即 $RC\to 1.2\,RC$），訊號頻率 $\omega$ 不變（設計時 $\omega=1/RC_{nom}$）。求兩支路的振幅、相位變化與 IRR，並判斷是 amplitude 還是 phase error 主導。: the corner $1/RC$ of an RC–CR 90° network drifts by +20% with process (i.e. $RC\to 1.2\,RC$), while the signal frequency $\omega$ is unchanged (designed with $\omega=1/RC_{nom}$). Find the change in amplitude and phase of the two branches and the resulting IRR, and decide whether amplitude or phase error dominates.：RC–CR 90° 回路網のコーナー $1/RC$ がプロセスばらつきで +20% ドリフトし（すなわち $RC\to 1.2\,RC$）、信号周波数 $\omega$ は変わらない（設計時は $\omega=1/RC_{nom}$）。2 つの枝の振幅と位相の変化、および結果として得られる IRR を求め、振幅誤差と位相誤差のどちらが支配的かを判定せよ。

公式與來源Formulas and sources公式と出典：兩支路的轉移函數：: the transfer functions of the two branches:：2 つの枝の伝達関数は次のとおり：

$$H_{RC}=\frac{1}{1+j\omega RC},\qquad H_{CR}=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC},\qquad \frac{H_{CR}}{H_{RC}}=j\omega RC$$

比值 $j\omega RC$ 一眼給出兩個結論：相位差恆為 $\arg(j)=90°$（與頻率無關）；振幅比為 $|\omega RC|$（只在 $\omega=1/RC$ 時等於 1）。The ratio $j\omega RC$ gives two conclusions at a glance: the phase difference is always $\arg(j)=90°$ (independent of frequency); and the amplitude ratio is $|\omega RC|$ (equal to 1 only when $\omega=1/RC$).比 $j\omega RC$ を見れば 2 つの結論が一目で分かる：位相差は常に $\arg(j)=90°$ であり（周波数に依存しない）、振幅比は $|\omega RC|$ である（$\omega=1/RC$ のときだけ 1 になる）。

逐步代入Substituting step by step順に代入：:：

• 漂移後 $\omega RC=\omega\times 1.2\,RC_{nom}=1.2$ → 振幅比 1.2，即 $\varepsilon=0.2$（20% gain error）after the drift $\omega RC=\omega\times 1.2\,RC_{nom}=1.2$ → an amplitude ratio of 1.2, i.e. $\varepsilon=0.2$ (a 20% gain error)ドリフト後は $\omega RC=\omega\times 1.2\,RC_{nom}=1.2$ → 振幅比 1.2、すなわち $\varepsilon=0.2$（20% の利得誤差）
• 相位差仍是 90° → $\theta=0$，phase error 為零（結構保證）the phase difference is still 90° → $\theta=0$, zero phase error (guaranteed by the structure)位相差は依然として 90° → $\theta=0$ で位相誤差はゼロ（構造的に保証される）
• $\text{IRR}\approx\dfrac{\varepsilon^2}{4}=\dfrac{0.2^2}{4}=\dfrac{0.04}{4}=0.01$ → $10\log(0.01)=\mathbf{-20\,dB}$

物理詮釋Physical interpretation物理的な解釈：一個尋常的 ±20% RC process 變異就把 IRR 從 −30 dB 砍到 −20 dB——而且輸不在 90° 相位（那是結構完美的），輸在振幅。這就是 Hartley 必須加 tuning/limiting 或乾脆換架構的原因。: an everyday ±20% RC process variation slashes the IRR from −30 dB to −20 dB — and the loss is not in the 90° phase (which is structurally perfect) but in the amplitude. This is why a Hartley receiver needs tuning or limiting, or a different architecture altogether.：ごく普通の ±20% の RC プロセスばらつきだけで IRR は −30 dB から −20 dB まで落ちる——しかも負けているのは 90° の位相（構造的に完璧）ではなく振幅のほうである。これが Hartley に tuning/limiting を足すか、いっそアーキテクチャを乗り換えねばならない理由である。

(c) Weaver 的 $\omega_2$ 選擇與 secondary image(c) Choosing $\omega_2$ in a Weaver receiver, and the secondary image(c) Weaver における $\omega_2$ の選び方と secondary image

已知/目標Given / required既知/目標：RF $=2.4\,\text{GHz}$、$\omega_1=2.3\,\text{GHz}$（low-side，IF₁ $=100\,\text{MHz}$）、目標 IF₂ $=20\,\text{MHz}$。比較 $\omega_2=120\,\text{MHz}$ 與 $80\,\text{MHz}$ 兩種選法（皆滿足 $|100-\omega_2|=20$）：secondary image 在 IF₁ 的哪裡？inter-stage LPF 救得了哪一個？: RF $=2.4\,\text{GHz}$, $\omega_1=2.3\,\text{GHz}$ (low-side, IF₁ $=100\,\text{MHz}$), target IF₂ $=20\,\text{MHz}$. Compare $\omega_2=120\,\text{MHz}$ with $80\,\text{MHz}$ (both satisfy $|100-\omega_2|=20$): where does the secondary image fall in IF₁, and which one can the inter-stage LPF save?：RF $=2.4\,\text{GHz}$、$\omega_1=2.3\,\text{GHz}$（low-side、IF₁ $=100\,\text{MHz}$）、目標 IF₂ $=20\,\text{MHz}$。$\omega_2=120\,\text{MHz}$ と $80\,\text{MHz}$ の 2 つの選び方（いずれも $|100-\omega_2|=20$ を満たす）を比較する：secondary image は IF₁ のどこに落ちるか、inter-stage LPF はどちらを救えるか。

公式與來源Formulas and sources公式と出典：第二次混頻的 image 是 desired IF₁ 對 $\omega_2$ 的鏡像（同 S.1(d) 的原理，套用在 Weaver 的第二級）：: the image of the second mix is the mirror of the desired IF₁ about $\omega_2$ (the same principle as S.1(d), applied to Weaver's second stage):：2 回目のミキシングの image は、desired IF₁ を $\omega_2$ について折り返した像である（S.1(d) と同じ原理を Weaver の第 2 段に適用したもの）：

$$f_{im,IF1}=2\omega_2-f_{IF1}$$

它對應的 RF 為 $\omega_1+f_{im,IF1}$（low-side 第一混頻）。The corresponding RF is $\omega_1+f_{im,IF1}$ (low-side first mix).対応する RF は $\omega_1+f_{im,IF1}$ となる（low-side の第 1 ミキシング）。

逐步代入Substituting step by step順に代入：:：

• $\omega_2=120\,\text{MHz}$：$f_{im,IF1}=2\times 120-100=\mathbf{140\,MHz}$（RF $=2.3+0.14=2.44\,\text{GHz}$）。140 MHz 在 desired 100 MHz $\omega_2=120\,\text{MHz}$: $f_{im,IF1}=2\times 120-100=\mathbf{140\,MHz}$ (RF $=2.3+0.14=2.44\,\text{GHz}$). 140 MHz lies $\omega_2=120\,\text{MHz}$：$f_{im,IF1}=2\times 120-100=\mathbf{140\,MHz}$（RF $=2.3+0.14=2.44\,\text{GHz}$）。140 MHz は desired の 100 MHz 之上aboveより上 → cutoff ≈ 110 MHz 的 inter-stage LPF 通過 100、壓掉 140 ✓ the desired 100 MHz → an inter-stage LPF with a cutoff of ≈ 110 MHz passes 100 and suppresses 140 ✓にある → cutoff ≈ 110 MHz の inter-stage LPF なら 100 を通し 140 を落とせる ✓
• $\omega_2=80\,\text{MHz}$：$f_{im,IF1}=2\times 80-100=\mathbf{60\,MHz}$（RF $=2.3+0.06=2.36\,\text{GHz}$）。60 MHz 在 desired $\omega_2=80\,\text{MHz}$: $f_{im,IF1}=2\times 80-100=\mathbf{60\,MHz}$ (RF $=2.3+0.06=2.36\,\text{GHz}$). 60 MHz lies $\omega_2=80\,\text{MHz}$：$f_{im,IF1}=2\times 80-100=\mathbf{60\,MHz}$（RF $=2.3+0.06=2.36\,\text{GHz}$）。60 MHz は desired より之下below下——任何讓 100 MHz 通過的 LPF 必然也讓 60 MHz 通過。Unfilterable ✗ the desired signal — and any LPF that passes 100 MHz must necessarily pass 60 MHz too. Unfilterable ✗にある——100 MHz を通す LPF は必ず 60 MHz も通してしまう。Unfilterable ✗

物理詮釋Physical interpretation物理的な解釈：兩種 $\omega_2$ 給出一樣的 IF₂，差別全在 image 的落點——high-side 第二 LO 把 image 推到 LPF 的 stopband，low-side 把它藏進 passband。Weaver 的 frequency plan 自由度必須用來避開 secondary image。: the two choices of $\omega_2$ give the same IF₂; the entire difference is where the image lands — a high-side second LO pushes the image into the LPF's stopband, while a low-side one hides it inside the passband. Weaver's freedom in frequency planning has to be spent on dodging the secondary image.：2 つの $\omega_2$ はどちらも同じ IF₂ を与え、違いは image の落ちる位置だけである——high-side の第 2 LO は image を LPF の stopband へ押し出し、low-side はそれを passband の中に隠してしまう。Weaver の frequency plan の自由度は、secondary image を避けるために使わなければならない。

(d) Weaver vs Hartley 總結(d) Weaver vs Hartley in summary(d) Weaver と Hartley のまとめ

Weaver 勝在哪Where Weaver winsWeaver の強み：它用第二組 quadrature mixer 取代 RC–CR 網路完成 90° 相移——LO 的相位由分頻/多相電路產生、不依賴會漂移的 $RC$ 絕對值（(b) 的 −20 dB 災難不存在），且兩路輸出可在 current domain 直接相加。: it uses a second pair of quadrature mixers instead of an RC–CR network to accomplish the 90° phase shift — the LO phase comes from a divider or polyphase circuit and does not depend on the absolute value of a drifting $RC$ (the −20 dB disaster of part (b) simply does not arise), and the two outputs can be summed directly in the current domain.：RC–CR 網の代わりに 2 組目の quadrature mixer で 90° 移相を実現する点——LO の位相は分周器やポリフェーズ回路が生成し、ドリフトする $RC$ の絶対値に依存しない（(b) の −20 dB という惨事は起こらない）。しかも 2 系統の出力は current domain でそのまま加算できる。

共同極限Their shared limit共通の限界：兩者都靠 quadrature 精度做 image cancellation，所以: both rely on quadrature accuracy for image cancellation, so ：どちらも image cancellation を quadrature 精度に頼るので、都被同一條 $(\varepsilon^2+\theta^2)/4$ 公式綁住both are bound by the very same $(\varepsilon^2+\theta^2)/4$ formula同じ $(\varepsilon^2+\theta^2)/4$ の式に縛られる——mixer 的 I/Q matching（典型 30–40 dB）才是天花板。這正是 low-IF receiver 把訊號數位化後再用 digital image rejection 補完最後 20–30 dB 的原因。— the mixer's I/Q matching (typically 30–40 dB) is the ceiling. That is precisely why a low-IF receiver digitizes the signal and then makes up the last 20–30 dB with digital image rejection.——mixer の I/Q matching（典型的に 30–40 dB）が天井になる。low-IF receiver が信号をディジタル化してから digital image rejection で最後の 20–30 dB を稼ぐのは、まさにこのためである。

Answer

(a) Carrier feedthrough

已知/目標Given / required既知/目標：baseband I/Q 振幅 $V_{sig}=400\,\text{mV}$、I-path DAC offset $V_{os}=4\,\text{mV}$、spec ≤ −45 dBc。求 feedthrough、判斷是否達標、反推允許的 offset。: baseband I/Q amplitude $V_{sig}=400\,\text{mV}$, I-path DAC offset $V_{os}=4\,\text{mV}$, spec ≤ −45 dBc. Find the feedthrough, decide whether it meets the spec, and work back to the offset allowed.：baseband I/Q 振幅 $V_{sig}=400\,\text{mV}$、I 側 DAC の offset $V_{os}=4\,\text{mV}$、spec は ≤ −45 dBc。feedthrough を求め、spec を満たすか判定し、許容される offset を逆算する。

公式與來源Formulas and sources公式と出典：up-mixer 把 baseband 乘上 LO；baseband 的 DC offset 也被乘上去，直接以 carrier 頻率出現在輸出（carrier feedthrough = DC offset × LO，6.3）。相對載波功率：: the up-mixer multiplies baseband by the LO, and the baseband DC offset gets multiplied too, appearing at the output directly at the carrier frequency (carrier feedthrough = DC offset × LO, 6.3). Relative to the carrier power:：up-mixer は baseband に LO を掛け算する。baseband の DC offset も同じく掛け算され、出力にちょうど carrier 周波数で現れる（carrier feedthrough = DC offset × LO、6.3）。carrier 電力に対する相対値は：

$$\text{feedthrough}\;[\text{dBc}]=20\log\frac{V_{os}}{V_{sig}}$$

逐步代入Substituting step by step順に代入：:：

• $20\log\dfrac{4}{400}=20\log(0.01)=\mathbf{-40\,dBc}$ — fails the −45 dBc spec by 5 dB
• 反推允許值：$V_{os}\leq V_{sig}\times 10^{-45/20}=400\times 5.62\times 10^{-3}=2.25\,\text{mV}$working back to the allowed value: $V_{os}\leq V_{sig}\times 10^{-45/20}=400\times 5.62\times 10^{-3}=2.25\,\text{mV}$許容値の逆算：$V_{os}\leq V_{sig}\times 10^{-45/20}=400\times 5.62\times 10^{-3}=2.25\,\text{mV}$

物理詮釋Physical interpretation物理的な解釈：1% 的 DC offset 就是 −40 dBc——feedthrough 對 offset 是 20 dB/decade 的線性靈敏度，所以 −45 dBc 等於要求 offset 壓到滿幅的 0.56% 以下，類比 trimming 之外通常還要數位校準。這個未調變的 carrier 殘留會打壞接收端的 constellation 原點，等效於 RX 的 DC offset 問題。: a 1% DC offset is already −40 dBc — feedthrough tracks offset with a linear 20 dB/decade sensitivity, so −45 dBc means holding the offset below 0.56% of full scale, which usually needs digital calibration on top of analogue trimming. This residual unmodulated carrier corrupts the origin of the constellation at the receiver, equivalent to the DC-offset problem on the RX side.：1% の DC offset がもう −40 dBc に相当する——feedthrough は offset に対して 20 dB/decade の線形な感度をもつので、−45 dBc とは offset をフルスケールの 0.56% 以下に抑えよという要求であり、アナログの trimming に加えてディジタル校正がふつう必要になる。この無変調の残留 carrier は受信側で constellation の原点を狂わせ、RX 側の DC オフセット問題と等価になる。

(b) Injection pulling 的數字(b) Putting numbers on injection pulling(b) Injection pulling を数字で見る

已知/目標Given / required既知/目標：PA 輸出 $+30\,\text{dBm}$、PA→VCO isolation 50 dB、direct-conversion 表示 VCO 也跑在 1.96 GHz。評估 VCO 的處境與最糟時機。: PA output $+30\,\text{dBm}$, PA→VCO isolation 50 dB, and direct conversion means the VCO also runs at 1.96 GHz. Assess the VCO's predicament and the worst moment for it.：PA 出力 $+30\,\text{dBm}$、PA→VCO の isolation 50 dB、direct-conversion なので VCO も 1.96 GHz で動く。VCO の置かれた状況と最悪のタイミングを評価する。

公式與來源Formulas and sources公式と出典：注入訊號功率 $=P_{PA}-\text{isolation}$；當注入頻率落在 oscillator 的 lock range 內（這裡 PA 頻譜「就是」VCO 頻率），oscillator 會被 injection pulling/locking 拖走（6.3，Adler 型行為：pulling 強度隨注入比 $\sqrt{P_{inj}/P_{osc}}$ 增大）。: the injected signal power is $=P_{PA}-\text{isolation}$; when the injection frequency falls within the oscillator's lock range (here the PA spectrum *is* the VCO frequency), the oscillator is dragged by injection pulling/locking (6.3, Adler-type behaviour: the strength of the pulling grows with the injection ratio $\sqrt{P_{inj}/P_{osc}}$).：注入される信号電力は $=P_{PA}-\text{isolation}$。注入周波数が oscillator の lock range に入ると（ここでは PA のスペクトルが「まさに」VCO 周波数である）、oscillator は injection pulling/locking で引きずられる（6.3、Adler 型の振る舞い：pulling の強さは注入比 $\sqrt{P_{inj}/P_{osc}}$ とともに増大する）。

逐步代入Substituting step by step順に代入：:：

• 注入到 VCO 的 PA 能量：$+30-50=-20\,\text{dBm}=10\,\mu\text{W}$PA energy injected into the VCO: $+30-50=-20\,\text{dBm}=10\,\mu\text{W}$VCO に注入される PA のエネルギー：$+30-50=-20\,\text{dBm}=10\,\mu\text{W}$
• VCO core 振盪功率約 $0\,\text{dBm}=1\,\text{mW}$ → 注入比 $-20\,\text{dB}$（電壓比 $1/10$）the VCO core oscillates at roughly $0\,\text{dBm}=1\,\text{mW}$ → an injection ratio of $-20\,\text{dB}$ (a voltage ratio of $1/10$)VCO コアの発振電力はおよそ $0\,\text{dBm}=1\,\text{mW}$ → 注入比は $-20\,\text{dB}$（電圧比 $1/10$）
• 對 oscillator 而言 −20 dB 的同頻注入是非常強的擾動（pulling 實驗通常 −40 dB 以下才可忽略）→ VCO 相位被 PA 的調變頻譜拖著跑，modulation 被自己的輸出污染for an oscillator, a co-frequency injection at −20 dB is an extremely strong disturbance (pulling experiments usually consider it negligible only below −40 dB) → the VCO phase is dragged along by the PA's modulation spectrum, and the modulation is contaminated by its own outputoscillator にとって −20 dB の同一周波数注入は極めて強い擾乱である（pulling の実験では −40 dB 以下でようやく無視できる）→ VCO の位相は PA の変調スペクトルに引きずられ、変調が自分自身の出力で汚染される

物理詮釋Physical interpretation物理的な解釈：最糟的時刻是 burst ramp-up（PA 包絡劇烈變動、注入量瞬間拉滿）以及頻譜被調變展寬時——偏偏這正是資料在傳的時候，所以 pulling 直接表現為 EVM/頻譜劣化，無法靠事後校準救回。Shielding 只能買到有限的 isolation，治本要靠 (c)(d) 的 frequency planning。: the worst moment is during burst ramp-up (the PA envelope swings violently and the injection peaks) and when the spectrum is broadened by modulation — which is exactly when data is being transmitted, so pulling shows up directly as EVM and spectral degradation that no amount of after-the-fact calibration can undo. Shielding buys only so much isolation; the real cure is the frequency planning of parts (c) and (d).：最悪なのは burst の ramp-up 時（PA の包絡線が激しく振れ、注入量が一気に跳ね上がる）と、変調でスペクトルが広がっているとき——それはまさにデータを送っている最中なので、pulling は EVM やスペクトル劣化としてそのまま現れ、後からの校正では取り戻せない。シールドで買える isolation には限りがあり、根本的な処方は (c)(d) の frequency planning である。

(c) Offset-LO 設計（$\omega_2=\omega_1/2$）(c) An offset-LO design ($\omega_2=\omega_1/2$)(c) Offset-LO の設計（$\omega_2=\omega_1/2$）

已知/目標Given / required既知/目標：要求 $\omega_1+\omega_2=\omega_c=1.96\,\text{GHz}$ 且 $\omega_2=\omega_1/2$。求兩個頻率、offset mixer 的輸出產物與濾波、以及為何兩個 VCO 都不被 pull。: require $\omega_1+\omega_2=\omega_c=1.96\,\text{GHz}$ with $\omega_2=\omega_1/2$. Find the two frequencies, the offset mixer's output products and their filtering, and explain why neither VCO gets pulled.：$\omega_1+\omega_2=\omega_c=1.96\,\text{GHz}$ かつ $\omega_2=\omega_1/2$ を要求する。2 つの周波数、offset mixer の出力成分とその濾波、そしてなぜどちらの VCO も pull されないのかを求める。

公式與來源Formulas and sources公式と出典：LO chain 先用 mixer 把 $\omega_1$ 與 $\omega_2$ 相乘產生 $\omega_1\pm\omega_2$，BPF 選出和頻當作真正的 up-conversion LO（6.3 offset-LO 圖）；$\omega_2$ 由 $\omega_1$ 經 ÷2 分頻產生，只需一個 VCO。: the LO chain first mixes $\omega_1$ with $\omega_2$ to produce $\omega_1\pm\omega_2$, and a BPF selects the sum as the real up-conversion LO (the 6.3 offset-LO figure); $\omega_2$ is generated from $\omega_1$ by a ÷2 divider, so only one VCO is needed.：LO chain はまず mixer で $\omega_1$ と $\omega_2$ を掛けて $\omega_1\pm\omega_2$ を作り、BPF で和の成分を選んで実際の up-conversion 用 LO とする（6.3 の offset-LO の図）。$\omega_2$ は $\omega_1$ を ÷2 分周して得るので、VCO は 1 個で済む。

逐步代入Substituting step by step順に代入：:：

• $\omega_1+\dfrac{\omega_1}{2}=\dfrac{3}{2}\omega_1=1.96\,\text{GHz}$ → $\omega_1=\dfrac{2}{3}\times 1.96=\mathbf{1.307\,GHz}$，$\omega_2=\dfrac{1}{3}\times 1.96=\mathbf{653\,MHz}$$\omega_1+\dfrac{\omega_1}{2}=\dfrac{3}{2}\omega_1=1.96\,\text{GHz}$ → $\omega_1=\dfrac{2}{3}\times 1.96=\mathbf{1.307\,GHz}$, $\omega_2=\dfrac{1}{3}\times 1.96=\mathbf{653\,MHz}$$\omega_1+\dfrac{\omega_1}{2}=\dfrac{3}{2}\omega_1=1.96\,\text{GHz}$ → $\omega_1=\dfrac{2}{3}\times 1.96=\mathbf{1.307\,GHz}$、$\omega_2=\dfrac{1}{3}\times 1.96=\mathbf{653\,MHz}$
• offset-mixer 輸出：$\omega_1+\omega_2=1.96\,\text{GHz}$（wanted）；$\omega_1-\omega_2=1.307-0.653=653\,\text{MHz}$（unwanted，離載波 1.3 GHz → BPF 很好做）；另有 harmonic 產物（$2\omega_1=2.61\,\text{GHz}$、$2\omega_2=1.307\,\text{GHz}$、…）也都遠離 1.96 GHzoffset-mixer outputs: $\omega_1+\omega_2=1.96\,\text{GHz}$ (wanted); $\omega_1-\omega_2=1.307-0.653=653\,\text{MHz}$ (unwanted, 1.3 GHz from the carrier → an easy BPF); plus harmonic products ($2\omega_1=2.61\,\text{GHz}$, $2\omega_2=1.307\,\text{GHz}$, …), all far from 1.96 GHzoffset-mixer の出力：$\omega_1+\omega_2=1.96\,\text{GHz}$（wanted）；$\omega_1-\omega_2=1.307-0.653=653\,\text{MHz}$（unwanted、carrier から 1.3 GHz 離れており BPF は容易）；さらに高調波成分（$2\omega_1=2.61\,\text{GHz}$、$2\omega_2=1.307\,\text{GHz}$、…）もすべて 1.96 GHz から遠い

物理詮釋Physical interpretation物理的な解釈：PA 的大訊號頻譜集中在 1.96 GHz，而系統裡: the PA's large-signal spectrum is concentrated at 1.96 GHz, and in this system ：PA の大信号スペクトルは 1.96 GHz に集中しているが、このシステムには沒有任何 oscillator 跑在 1.96 GHzno oscillator runs at 1.96 GHz at all1.96 GHz で動く oscillator が 1 つも存在しない——注入訊號落在兩個 VCO 的 lock range 之外，pulling 從機制上被消滅。1.96 GHz 只存在於 mixer 輸出這種「非再生」節點上，不怕被注入。— the injected signal falls outside the lock range of both VCOs, so pulling is eliminated at the mechanism level. 1.96 GHz exists only at non-regenerative nodes such as the mixer output, which cannot be injection-locked.——注入信号は 2 つの VCO のどちらの lock range からも外れるので、pulling は機構のレベルで消滅する。1.96 GHz は mixer 出力のような「非再生的」なノードにしか存在せず、注入引き込みを受けない。

(d) Two-step TX（IF₁ = 400 MHz）(d) A two-step TX (IF₁ = 400 MHz)(d) Two-step TX（IF₁ = 400 MHz）

已知/目標Given / required既知/目標：先 quadrature up-mix 到 IF₁ $=400\,\text{MHz}$，再上變頻到 1.96 GHz。求第二個 LO、第二次 up-mix 的 image、負責的 filter，與 I/Q 上的好處。: quadrature up-mix first to IF₁ $=400\,\text{MHz}$, then up-convert to 1.96 GHz. Find the second LO, the image of the second up-mix, the filter responsible for it, and the benefit on the I/Q side.：まず quadrature up-mix で IF₁ $=400\,\text{MHz}$ に上げ、次に 1.96 GHz へ上変換する。第 2 の LO、2 回目の up-mix の image、それを取り除くフィルタ、そして I/Q 上の利点を求める。

公式與來源Formulas and sources公式と出典：第二級 mixer 產生 $f_2\pm f_{IF1}$ 兩個 sideband：和頻是 carrier，差頻就是 TX 端的 image，落在離 carrier $2f_{IF1}$ 處——與 RX image problem 同構，靠 mixer 後的 BPF 解決（6.3 two-step 圖）。: the second mixer produces the two sidebands $f_2\pm f_{IF1}$: the sum is the carrier, and the difference is the TX-side image, landing $2f_{IF1}$ from the carrier — isomorphic to the RX image problem, and solved by a BPF after the mixer (the 6.3 two-step figure).：第 2 段の mixer は $f_2\pm f_{IF1}$ の 2 つの sideband を生む：和が carrier、差が TX 側の image で、carrier から $2f_{IF1}$ 離れた位置に落ちる——RX の image problem と同型であり、mixer 後段の BPF で解決する（6.3 の two-step の図）。

逐步代入Substituting step by step順に代入：:：

• $f_2=1.96-0.4=\mathbf{1.56\,GHz}$
• image（差頻）：$f_2-f_{IF1}=1.56-0.4=\mathbf{1.16\,GHz}$，在 carrier 下方 $2f_{IF1}=800\,\text{MHz}$ 處image (the difference term): $f_2-f_{IF1}=1.56-0.4=\mathbf{1.16\,GHz}$, sitting $2f_{IF1}=800\,\text{MHz}$ below the carrierimage（差成分）：$f_2-f_{IF1}=1.56-0.4=\mathbf{1.16\,GHz}$、carrier の $2f_{IF1}=800\,\text{MHz}$ 下に位置する
• $800\,\text{MHz}/1.96\,\text{GHz}\approx 41\%$ 的 fractional offset → post-mixer BPF 輕鬆壓制a fractional offset of $800\,\text{MHz}/1.96\,\text{GHz}\approx 41\%$ → easily suppressed by the post-mixer BPF$800\,\text{MHz}/1.96\,\text{GHz}\approx 41\%$ という比率のオフセット → post-mixer BPF で楽に抑圧できる

物理詮釋Physical interpretation物理的な解釈：I/Q quadrature 在 400 MHz 建立，匹配遠比 1.96 GHz 容易（mismatch 大致隨頻率上升）→ RF 端的 EVM 與 carrier feedthrough 都更低；同時兩個 oscillator（quadrature LO 在 0.4 GHz、$f_2=1.56\,\text{GHz}$）都不等於 PA 的 1.96 GHz，pulling 同樣被避開。代價是多一顆 LO 與兩個 BPF（6.3）。: the I/Q quadrature is established at 400 MHz, where matching is far easier than at 1.96 GHz (mismatch broadly worsens with frequency) → both EVM and carrier feedthrough at RF are lower; at the same time neither oscillator (the quadrature LO at 0.4 GHz and $f_2=1.56\,\text{GHz}$) sits at the PA's 1.96 GHz, so pulling is avoided as well. The price is one more LO and two more BPFs (6.3).：I/Q の直交は 400 MHz で確立され、1.96 GHz よりはるかに整合を取りやすい（ミスマッチは概ね周波数とともに悪化する）→ RF 側の EVM も carrier feedthrough も低くなる。同時に 2 つの oscillator（0.4 GHz の quadrature LO と $f_2=1.56\,\text{GHz}$）はいずれも PA の 1.96 GHz と一致しないので、pulling も同様に回避できる。代償は LO が 1 個と BPF が 2 個増えることである（6.3）。