跨章綜合練習題Cross-Chapter Practice Problems章横断 総合演習問題

(a) 頻率規劃與 image（Ch6 §6.2）(a) Frequency planning and the image (Ch6 §6.2)(a) 周波数プランと image（Ch6 §6.2）

已知/目標：Given / required:与えられた条件／求めるもの：$f_{RF} = 942\,\text{MHz}$、$f_{IF} = 71\,\text{MHz}$、high-side injection（LO 在 RF 上方）。求 $f_{LO}$、image frequency，並指出架構中負責 image rejection 的元件。$f_{RF} = 942\,\text{MHz}$, $f_{IF} = 71\,\text{MHz}$, high-side injection (LO above the RF). Find $f_{LO}$ and the image frequency, and identify the element in the architecture responsible for image rejection.$f_{RF} = 942\,\text{MHz}$、$f_{IF} = 71\,\text{MHz}$、high-side injection（LO が RF の上側）。$f_{LO}$ と image frequency を求め、アーキテクチャ中で image rejection を担う素子を指摘せよ。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：heterodyne 混頻關係（Ch6 §6.2）— high-side 時： the heterodyne mixing relation (Ch6 §6.2) — for high-side injection:heterodyne の周波数変換関係（Ch6 §6.2）— high-side の場合：

$$f_{LO} = f_{RF} + f_{IF}, \qquad f_{im} = f_{LO} + f_{IF} = f_{RF} + 2f_{IF}$$

desired 與 image 對稱地位於 LO 兩側、各距 $f_{IF}$，故 image 與 carrier 相距恰為 $2f_{IF}$（image = $2f_{IF}$ from carrier）。the desired signal and the image sit symmetrically on either side of the LO, each $f_{IF}$ away, so the image is exactly $2f_{IF}$ from the carrier (image = $2f_{IF}$ from carrier).desired と image は LO の両側に対称に、それぞれ $f_{IF}$ 離れて位置するため、image と carrier の間隔はちょうど $2f_{IF}$ になる（image = $2f_{IF}$ from carrier）。

逐步代入：Substituting step by step:段階的に代入：$f_{LO} = 942 + 71 = 1013\,\text{MHz}$；$f_{im} = 1013 + 71 = 1084\,\text{MHz}$。驗算：$f_{RF} + 2f_{IF} = 942 + 2\times 71 = 942 + 142 = 1084\,\text{MHz}$ ✓（image 距 carrier 142 MHz）。$f_{LO} = 942 + 71 = 1013\,\text{MHz}$; $f_{im} = 1013 + 71 = 1084\,\text{MHz}$. Check: $f_{RF} + 2f_{IF} = 942 + 2\times 71 = 942 + 142 = 1084\,\text{MHz}$ ✓ (the image is 142 MHz from the carrier).$f_{LO} = 942 + 71 = 1013\,\text{MHz}$；$f_{im} = 1013 + 71 = 1084\,\text{MHz}$。検算：$f_{RF} + 2f_{IF} = 942 + 2\times 71 = 942 + 142 = 1084\,\text{MHz}$ ✓（image は carrier から 142 MHz）。

物理詮釋：mixer 對 $f_{LO} \pm f_{IF}$ 兩側的訊號一視同仁 — 兩者都落到同一個 71 MHz IF，混頻之後再也分不開。因此 image 必須在進入 mixer 之前被衰減：由 RF preselector + 專用 image-reject filter（本鏈路中 LNA 與 mixer 之間那顆 IL = 2 dB 的濾波器）負責（Ch6 §6.2）。$2f_{IF} = 142\,\text{MHz}$ 的間距就是這顆濾波器可用的過渡帶 — 這正是 heterodyne「IF 越高 image 越好濾、IF 越低通道選擇越容易」的核心取捨。Physical interpretation: the mixer treats signals on either side of $f_{LO} \pm f_{IF}$ identically — both land on the same 71 MHz IF and can never be separated again after mixing. The image must therefore be attenuated before it reaches the mixer, which is the job of the RF preselector plus a dedicated image-reject filter(the IL = 2 dB filter between the LNA and the mixer in this line-up) — Ch6 §6.2. The $2f_{IF} = 142\,\text{MHz}$ spacing is the transition band available to that filter — precisely the central heterodyne trade-off that “a higher IF makes the image easier to filter, a lower IF makes channel selection easier”.物理的な解釈：mixer は $f_{LO} \pm f_{IF}$ の両側の信号を区別しない — どちらも同じ 71 MHz の IF に落ち、混合したあとでは二度と分離できない。したがって image は mixer に入る前に減衰させなければならない。その役目を担うのが RF preselector と専用の image-reject filter（この系統で LNA と mixer の間にある IL = 2 dB のフィルタ）である（Ch6 §6.2）。$2f_{IF} = 142\,\text{MHz}$ という間隔が、そのフィルタに使える遷移帯域そのものであり、「IF が高いほど image は濾しやすく、IF が低いほどチャネル選択は容易」という heterodyne の中心的なトレードオフを表している。

(b) Friis cascade NF 與 sensitivity（Ch4 Topic 7）(b) Friis cascade NF and sensitivity (Ch4 Topic 7)(b) Friis の cascade NF と sensitivity（Ch4 Topic 7）

已知/目標：Given / required:与えられた条件／求めるもの：LNA（$G = 15$ dB、$NF = 1.8$ dB）→ image filter（IL = 2 dB）→ diode DB mixer（$L_C = 6.5$ dB、$NF_{SSB} = 7$ dB）→ IF amp（$G = 24$ dB、$NF = 4$ dB）；$B = 200\,\text{kHz}$、required SNR = 9 dB。求 cascaded NF 與 sensitivity，並對照 ≤ −102 dBm 的 spec。 LNA ($G = 15$ dB, $NF = 1.8$ dB) → image filter (IL = 2 dB) → diode DB mixer ($L_C = 6.5$ dB, $NF_{SSB} = 7$ dB) → IF amp ($G = 24$ dB, $NF = 4$ dB); $B = 200\,\text{kHz}$, required SNR = 9 dB. Find the cascaded NF and the sensitivity, and compare against the ≤ −102 dBm spec.LNA（$G = 15$ dB、$NF = 1.8$ dB）→ image filter（IL = 2 dB）→ diode DB mixer（$L_C = 6.5$ dB、$NF_{SSB} = 7$ dB）→ IF amp（$G = 24$ dB、$NF = 4$ dB）；$B = 200\,\text{kHz}$、required SNR = 9 dB。cascaded NF と sensitivity を求め、≤ −102 dBm の spec と照合せよ。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：Friis cascade NF（Ch4 Topic 7），全部用線性值： the Friis cascade NF (Ch4 Topic 7), everything in linear terms:Friis の cascade NF（Ch4 Topic 7）、すべて線形値で：

$$F_{sys} = F_1 + \frac{F_2 - 1}{G_1} + \frac{F_3 - 1}{G_1 G_2} + \frac{F_4 - 1}{G_1 G_2 G_3}$$

sensitivity（noise-floor 形式，Ch4/Ch6）：$P_{sens} = -174\,\text{dBm/Hz} + 10\log B + NF_{sys} + SNR_{req}$。passive 元件的 $F = L$（loss 即 NF）、$G = 1/L$。sensitivity (noise-floor form, Ch4/Ch6): $P_{sens} = -174\,\text{dBm/Hz} + 10\log B + NF_{sys} + SNR_{req}$. For passive elements $F = L$ (the loss is the NF) and $G = 1/L$.sensitivity（noise-floor 形式、Ch4/Ch6）：$P_{sens} = -174\,\text{dBm/Hz} + 10\log B + NF_{sys} + SNR_{req}$。受動素子では $F = L$（損失がそのまま NF）、$G = 1/L$。

逐步代入：Substituting step by step:段階的に代入：先把每級 dB 值換成線性（$x_{\text{dB}} \to 10^{x/10}$）： First convert each stage from dB to linear ($x_{\text{dB}} \to 10^{x/10}$):まず各段の dB 値を線形に換算する（$x_{\text{dB}} \to 10^{x/10}$）：

• LNA：$F_1 = 10^{1.8/10} = 1.514$，$G_1 = 10^{15/10} = 31.6$LNA: $F_1 = 10^{1.8/10} = 1.514$, $G_1 = 10^{15/10} = 31.6$LNA：$F_1 = 10^{1.8/10} = 1.514$、$G_1 = 10^{15/10} = 31.6$
• Filter（passive）：$F_2 = 10^{2/10} = 1.585$，$G_2 = 10^{-2/10} = 0.631$Filter (passive): $F_2 = 10^{2/10} = 1.585$, $G_2 = 10^{-2/10} = 0.631$Filter（passive）：$F_2 = 10^{2/10} = 1.585$、$G_2 = 10^{-2/10} = 0.631$
• Mixer：$F_3 = 10^{7/10} = 5.01$，$G_3 = 10^{-6.5/10} = 0.224$Mixer: $F_3 = 10^{7/10} = 5.01$, $G_3 = 10^{-6.5/10} = 0.224$Mixer：$F_3 = 10^{7/10} = 5.01$、$G_3 = 10^{-6.5/10} = 0.224$
• IF amp（最後一級，只需 $F$）：$F_4 = 10^{4/10} = 2.51$IF amp (last stage, only $F$ is needed): $F_4 = 10^{4/10} = 2.51$IF amp（最終段なので $F$ だけでよい）：$F_4 = 10^{4/10} = 2.51$

累積增益：$G_1 = 31.6$；$G_1 G_2 = 31.6\times 0.631 = 19.9$；$G_1 G_2 G_3 = 19.9\times 0.224 = 4.47$（整個 mixer 之前只剩 6.5 dB 淨增益）。逐項代入：Cumulative gain: $G_1 = 31.6$; $G_1 G_2 = 31.6\times 0.631 = 19.9$; $G_1 G_2 G_3 = 19.9\times 0.224 = 4.47$ (only 6.5 dB of net gain remains ahead of everything after the mixer). Term by term:累積利得：$G_1 = 31.6$；$G_1 G_2 = 31.6\times 0.631 = 19.9$；$G_1 G_2 G_3 = 19.9\times 0.224 = 4.47$（mixer より後段から見ると正味 6.5 dB の利得しか残らない）。項ごとに代入すると：

$$F_{sys} = 1.514 + \frac{1.585-1}{31.6} + \frac{5.01-1}{19.9} + \frac{2.51-1}{4.47} = 1.514 + 0.019 + 0.201 + 0.338 = 2.07$$

$NF_{sys} = 10\log(2.07) = 3.2\,\text{dB}$。Sensitivity：$10\log B = 10\log(2\times 10^5) = 53.0\,\text{dB}$，故 $P_{sens} = -174 + 53 + 3.2 + 9 = -108.8\,\text{dBm}$。$NF_{sys} = 10\log(2.07) = 3.2\,\text{dB}$. Sensitivity: $10\log B = 10\log(2\times 10^5) = 53.0\,\text{dB}$, so $P_{sens} = -174 + 53 + 3.2 + 9 = -108.8\,\text{dBm}$.$NF_{sys} = 10\log(2.07) = 3.2\,\text{dB}$。Sensitivity：$10\log B = 10\log(2\times 10^5) = 53.0\,\text{dB}$、したがって $P_{sens} = -174 + 53 + 3.2 + 9 = -108.8\,\text{dBm}$。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的な解釈：看各項貢獻：filter 只加 0.019（被 LNA 增益壓住），但 mixer 加 0.201、IF amp 加 0.338 — IF amp 反而是最大貢獻者，因為它前面的淨增益只有 4.47 倍（passive mixer 的 6.5 dB loss 把 LNA 增益吃掉一半）。這就是 Ch4 的教訓：passive mixer 之後的每一級雜訊都被 $G_1 G_2 G_3 < G_1$ 的縮水增益除回來；LNA 增益若再低一點，NF 馬上惡化。 look at the individual contributions: the filter adds only 0.019 (suppressed by the LNA gain), but the mixer adds 0.201 and the IF amp 0.338 — the IF amp is actually the biggest contributor, because the net gain ahead of it is only 4.47× (the passive mixer's 6.5 dB loss eats half the LNA gain). That is the lesson of Ch4: the noise of every stage after a passive mixer is divided back by the shrunken gain $G_1 G_2 G_3 < G_1$; drop the LNA gain a little further and the NF degrades immediately.各項の寄与を見ると、filter は 0.019 しか加えない（LNA の利得に抑え込まれる）のに対し、mixer は 0.201、IF amp は 0.338 を加える — 実は IF amp が最大の寄与源である。その手前までの正味利得が 4.47 倍しかない（passive mixer の 6.5 dB の損失が LNA 利得の半分を食ってしまう）からだ。これが Ch4 の教訓である：passive mixer より後段の雑音はすべて、縮んだ利得 $G_1 G_2 G_3 < G_1$ で割り戻される。LNA の利得をもう少し下げれば、NF はただちに悪化する。

(c) Reciprocal mixing → LO phase-noise spec（Ch5 §5.1.10）(c) Reciprocal mixing → LO phase-noise spec (Ch5 §5.1.10)(c) Reciprocal mixing → LO の phase-noise 仕様（Ch5 §5.1.10）

已知/目標：Given / required:与えられた条件／求めるもの：blocker $I = -43\,\text{dBm}$ 在 600 kHz offset、desired $C = -99\,\text{dBm}$、required SNR = 9 dB、$B = 200\,\text{kHz}$。求 LO 在 600 kHz offset 允許的 phase noise $\mathcal{L}$。 a blocker $I = -43\,\text{dBm}$ at 600 kHz offset, desired $C = -99\,\text{dBm}$, required SNR = 9 dB, $B = 200\,\text{kHz}$. Find the phase noise $\mathcal{L}$ the LO may have at 600 kHz offset.600 kHz offset に blocker $I = -43\,\text{dBm}$、desired $C = -99\,\text{dBm}$、required SNR = 9 dB、$B = 200\,\text{kHz}$。600 kHz offset で LO に許される phase noise $\mathcal{L}$ を求めよ。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：reciprocal mixing（Ch5 §5.1.10）：blocker 與 LO 的 phase-noise skirt 相混，把 skirt「複製」到 desired channel 上，形成 in-channel noise： reciprocal mixing (Ch5 §5.1.10): the blocker mixes with the LO's phase-noise skirt, “copying” that skirt onto the desired channel as in-channel noise:reciprocal mixing（Ch5 §5.1.10）：blocker が LO の phase-noise skirt と混合され、その skirt を desired channel 上に「複製」して in-channel noise を生む：

$$N = I + \mathcal{L}(\Delta f) + 10\log B \;\;\text{(dBm)} \qquad\Rightarrow\qquad \mathcal{L}(\Delta f) \leq C - SNR_{req} - I - 10\log B$$

逐步代入：Substituting step by step:段階的に代入：$\mathcal{L}(600\,\text{kHz}) \leq -99 - 9 - (-43) - 53 = -99 - 9 + 43 - 53 = -118\,\text{dBc/Hz}$。$\mathcal{L}(600\,\text{kHz}) \leq -99 - 9 - (-43) - 53 = -99 - 9 + 43 - 53 = -118\,\text{dBc/Hz}$.$\mathcal{L}(600\,\text{kHz}) \leq -99 - 9 - (-43) - 53 = -99 - 9 + 43 - 53 = -118\,\text{dBc/Hz}$。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的な解釈：blocker 比 desired 強 56 dB，所以 LO skirt 只要殘留一點點就足以淹沒訊號。−118 dBc/Hz @ 600 kHz 對 900 MHz 級的 LC VCO（Leeson $1/f^2$ 區典型 −120 ~ −125 dBc/Hz）是可達但不能隨便的 spec — 換句話說，這條 Ch5 規格是被 Ch6 的 blocking mask 直接逼出來的。 the blocker is 56 dB stronger than the desired signal, so even a small residual LO skirt is enough to swamp it. −118 dBc/Hz @ 600 kHz is achievable for a 900 MHz-class LC VCO (typically −120 to −125 dBc/Hz in the Leeson $1/f^2$ region) but not something to take for granted — in other words, this Ch5 specification is forced directly out of the Ch6 blocking mask.blocker は desired より 56 dB 強いので、LO の skirt がわずかに残るだけで信号は埋もれてしまう。−118 dBc/Hz @ 600 kHz は 900 MHz 級の LC VCO（Leeson の $1/f^2$ 領域で典型的に −120 ～ −125 dBc/Hz）なら達成可能だが、油断はできない仕様である — 言い換えれば、この Ch5 の規格は Ch6 の blocking mask から直接導かれている。

(d) Blocker 線性度與 mixer IIP3（Ch4 Topic 7/8）(d) Blocker linearity and mixer IIP3 (Ch4 Topics 7/8)(d) Blocker の線形性と mixer の IIP3（Ch4 Topic 7/8）

已知/目標：Given / required:与えられた条件／求めるもの：兩個 −43 dBm in-band blockers 在天線端；desired −99 dBm；要求 mixer 端 IM3 比 desired 低 ≥ 9 dB。求 mixer 輸入端的 blocker 位準與所需 IIP3，並檢查 level-7 ring（IIP3 ≈ +11 dBm）。 two −43 dBm in-band blockers at the antenna; desired −99 dBm; the IM3 at the mixer must be ≥ 9 dB below the desired signal. Find the blocker level at the mixer input and the IIP3 required, then check a level-7 ring (IIP3 ≈ +11 dBm).アンテナ端に −43 dBm の in-band blocker が 2 波；desired は −99 dBm；mixer での IM3 は desired より 9 dB 以上低いこと。mixer 入力での blocker レベルと必要な IIP3 を求め、level-7 ring（IIP3 ≈ +11 dBm）で足りるかを確認せよ。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：two-tone 三階互調（Ch4 Topic 7），所有功率取同一參考面（mixer 輸入）： two-tone third-order intermodulation (Ch4 Topic 7), with all powers taken at the same reference plane (the mixer input):two-tone の三次相互変調（Ch4 Topic 7）、電力はすべて同一の基準面（mixer 入力）で取る：

$$P_{IM3} = 3P_{in} - 2\,IIP3 \;\;\text{(dBm)}$$

逐步代入：Substituting step by step:段階的に代入：天線到 mixer 輸入的增益 $= 15 - 2 = 13\,\text{dB}$。換算到 mixer 輸入面：blockers $= -43 + 13 = -30\,\text{dBm}$ each；desired $= -99 + 13 = -86\,\text{dBm}$。要求 $P_{IM3} \leq -86 - 9 = -95\,\text{dBm}$： the gain from antenna to mixer input is $= 15 - 2 = 13\,\text{dB}$. Referred to the mixer input: blockers $= -43 + 13 = -30\,\text{dBm}$ each; desired $= -99 + 13 = -86\,\text{dBm}$. Requiring $P_{IM3} \leq -86 - 9 = -95\,\text{dBm}$:アンテナから mixer 入力までの利得は $= 15 - 2 = 13\,\text{dB}$。mixer 入力面に換算すると、blocker はそれぞれ $= -43 + 13 = -30\,\text{dBm}$、desired は $= -99 + 13 = -86\,\text{dBm}$。$P_{IM3} \leq -86 - 9 = -95\,\text{dBm}$ を要求すると：

$$3(-30) - 2\,IIP3 \leq -95 \;\Rightarrow\; -90 - 2\,IIP3 \leq -95 \;\Rightarrow\; IIP3 \geq \frac{-90+95}{2} = +2.5\,\text{dBm}$$

物理詮釋：Physical interpretation:物理的な解釈：注意增益的雙面性：LNA 每多 1 dB 增益，(b) 的 NF 變好一點，但 blocker 也被放大 1 dB、所需 IIP3 上升 1.5 dB（$3P$ 對 $2\,IIP3$ 的斜率）。本設計刻意只用 15 dB LNA 增益，使 +2.5 dBm 的 IIP3 需求落在便宜的 level-7 diode ring 能力之內 — 這就是 NF–linearity 的 line-up 折衷。 note that gain cuts both ways: every extra 1 dB of LNA gain improves the NF of part (b) a little, but also amplifies the blocker by 1 dB and raises the required IIP3 by 1.5 dB (the slope of $3P$ against $2\,IIP3$). This design deliberately uses only 15 dB of LNA gain so that the +2.5 dBm IIP3 requirement stays within the reach of a cheap level-7 diode ring — that is the NF–linearity line-up compromise.利得の両面性に注意したい。LNA の利得を 1 dB 増やすごとに (b) の NF は少し良くなるが、blocker も 1 dB 増幅され、必要な IIP3 は 1.5 dB 上昇する（$3P$ と $2\,IIP3$ の傾きの差）。本設計があえて LNA 利得を 15 dB に留めているのは、+2.5 dBm という IIP3 要求を安価な level-7 diode ring の能力内に収めるためであり、これが NF と線形性の line-up 上の折衷である。

(a) 自身鏡像與 I/Q imbalance budget（Ch6 §6.2 + Ch4 Topic 6）(a) Self-image and the I/Q imbalance budget (Ch6 §6.2 + Ch4 Topic 6)(a) 自己 image と I/Q imbalance の budget（Ch6 §6.2 + Ch4 Topic 6）

已知/目標：Given / required:与えられた条件／求めるもの：zero-IF 中「image」是訊號頻譜對 DC 的鏡像（自己的 mirror，64-QAM 頻譜不對稱故會自我干擾）；要求 self-image rejection（IRR）≥ 40 dB。求容許的 I/Q amplitude imbalance $\varepsilon$ 與 phase imbalance $\theta$。 in zero-IF the “image” is the signal spectrum mirrored about DC (its own mirror; a 64-QAM spectrum is asymmetric, so it interferes with itself); a self-image rejection (IRR) ≥ 40 dB is required. Find the permissible I/Q amplitude imbalance $\varepsilon$ and phase imbalance $\theta$.zero-IF における「image」は信号スペクトルを DC について折り返した自分自身の鏡像である（64-QAM のスペクトルは非対称なので自己干渉になる）；self-image rejection（IRR）≥ 40 dB が要求される。許容される I/Q の振幅不整合 $\varepsilon$ と位相不整合 $\theta$ を求めよ。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：小失配下的 image-reject 比值（Ch4 Topic 6，$\varepsilon$ 為相對振幅誤差、$\theta$ 為弧度）： the image-reject ratio under small mismatch (Ch4 Topic 6, with $\varepsilon$ the relative amplitude error and $\theta$ in radians):微小な不整合における image-reject 比（Ch4 Topic 6、$\varepsilon$ は相対振幅誤差、$\theta$ はラジアン）：

$$IRR = \frac{\varepsilon^2 + \theta^2}{4}$$

逐步代入：Substituting step by step:段階的に代入：把 40 dB 換成線性：$IRR = 10^{-40/10} = 10^{-4}$，故 $\varepsilon^2 + \theta^2 \leq 4\times 10^{-4}$。採均分（equal split）：$\varepsilon^2 = \theta^2 = 2\times 10^{-4}$，即 $\varepsilon = \theta = \sqrt{2\times 10^{-4}} = 0.0141$。換回工程單位： converting 40 dB to linear: $IRR = 10^{-40/10} = 10^{-4}$, so $\varepsilon^2 + \theta^2 \leq 4\times 10^{-4}$. Splitting equally: $\varepsilon^2 = \theta^2 = 2\times 10^{-4}$, i.e. $\varepsilon = \theta = \sqrt{2\times 10^{-4}} = 0.0141$. Back in engineering units:40 dB を線形に換算すると $IRR = 10^{-40/10} = 10^{-4}$、したがって $\varepsilon^2 + \theta^2 \leq 4\times 10^{-4}$。等分すると $\varepsilon^2 = \theta^2 = 2\times 10^{-4}$、すなわち $\varepsilon = \theta = \sqrt{2\times 10^{-4}} = 0.0141$。工学単位に戻すと：

• phase：$\theta = 0.0141\,\text{rad} \times \dfrac{180°}{\pi} = 0.81°$phase: $\theta = 0.0141\,\text{rad} \times \dfrac{180°}{\pi} = 0.81°$phase：$\theta = 0.0141\,\text{rad} \times \dfrac{180°}{\pi} = 0.81°$
• amplitude：$20\log(1 + 0.0141) = 20\log(1.0141) = 0.12\,\text{dB}$amplitude: $20\log(1 + 0.0141) = 20\log(1.0141) = 0.12\,\text{dB}$amplitude：$20\log(1 + 0.0141) = 20\log(1.0141) = 0.12\,\text{dB}$

物理詮釋：Physical interpretation:物理的な解釈：0.81° / 0.12 dB 是 5 GHz 下純類比佈局做不到的等級（製程失配約給 1–2° / 0.2–0.5 dB，對應 ~30 dB IRR）。所以 zero-IF + 64-QAM 的結論必然是「analog 先天 + digital 校正補刀」：用 DSP 估測並反轉 $\varepsilon,\theta$，把 IRR 從 ~30 dB 推上 40+ dB。 0.81° / 0.12 dB is beyond what a purely analogue layout can achieve at 5 GHz (process mismatch typically gives 1–2° / 0.2–0.5 dB, corresponding to ~30 dB IRR). So zero-IF plus 64-QAM inevitably means “analogue gets you most of the way, digital calibration finishes the job”: DSP estimates and inverts $\varepsilon,\theta$, pushing the IRR from ~30 dB up past 40 dB.0.81° / 0.12 dB は、5 GHz でアナログのレイアウトだけでは到達できない水準である（プロセスのばらつきは典型的に 1–2° / 0.2–0.5 dB、IRR にして ~30 dB 程度）。したがって zero-IF と 64-QAM の組み合わせは必然的に「アナログで大半を稼ぎ、デジタル校正で仕上げる」ことになる：DSP が $\varepsilon,\theta$ を推定して打ち消し、IRR を ~30 dB から 40 dB 超へ押し上げる。

(b) AM blocker 與 IIP2（Ch4 + Ch6 §6.2）(b) AM blocker and IIP2 (Ch4 + Ch6 §6.2)(b) AM blocker と IIP2（Ch4 + Ch6 §6.2）

已知/目標：Given / required:与えられた条件／求めるもの：AM blocker $P_{in} = -30\,\text{dBm}$；input-referred IM2 product 必須 ≤ −105 dBm。求前端所需 IIP2。 an AM blocker at $P_{in} = -30\,\text{dBm}$; the input-referred IM2 product must be ≤ −105 dBm. Find the IIP2 required of the front end.$P_{in} = -30\,\text{dBm}$ の AM blocker；入力換算の IM2 積は ≤ −105 dBm でなければならない。フロントエンドに要求される IIP2 を求めよ。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：二階互調（Ch4）：blocker 的包絡經二階非線性「自我檢波」直接落到 DC/baseband： second-order intermodulation (Ch4): the blocker's envelope is “self-detected” by the second-order nonlinearity and lands directly at DC/baseband:二次相互変調（Ch4）：blocker の包絡線が二次の非線形性によって「自己検波」され、そのまま DC／baseband に落ちる：

$$P_{IM2} = 2P_{in} - IIP2 \;\;\text{(dBm, input-referred)}$$

逐步代入：Substituting step by step:段階的に代入：$2P_{in} = 2\times(-30) = -60\,\text{dBm}$。要求 $-60 - IIP2 \leq -105$ → $IIP2 \geq -60 + 105 = +45\,\text{dBm}$。$2P_{in} = 2\times(-30) = -60\,\text{dBm}$. Requiring $-60 - IIP2 \leq -105$ → $IIP2 \geq -60 + 105 = +45\,\text{dBm}$.$2P_{in} = 2\times(-30) = -60\,\text{dBm}$。$-60 - IIP2 \leq -105$ を要求すると → $IIP2 \geq -60 + 105 = +45\,\text{dBm}$。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的な解釈：+45 dBm 的 IIP2 遠超任何單一電晶體的本事 — 它靠的是 differential / double-balanced 對稱性把偶階項先天抵消，再加上動態校正（調 mixer 尾電流或 load 平衡）。heterodyne 不在乎這條 spec，因為 IM2 產物落在 DC 附近、會被 IF 濾波器擋掉；這是 zero-IF 獨有的代價（Ch6 §6.2）。+45 dBm of IIP2 is far beyond any single transistor — it relies on differential / double-balanced symmetry to cancel the even-order terms inherently, backed up by dynamic calibration (trimming the mixer tail current or the load balance). A heterodyne receiver does not care about this spec, because its IM2 products land near DC and are blocked by the IF filter; this is a cost unique to zero-IF (Ch6 §6.2).+45 dBm の IIP2 は単体のトランジスタの能力をはるかに超えている — differential／double-balanced の対称性によって偶数次項を原理的に打ち消し、さらに動的な校正（mixer のテール電流や負荷バランスの微調整）で支える。heterodyne 受信機はこの仕様を気にしない。IM2 積は DC 付近に落ち、IF フィルタで阻止されるからである。これは zero-IF に固有の代償である（Ch6 §6.2）。

(c) VCO at 2×LO + ÷2：理由與解析度（Ch5 §5.2.3 + Ch6）(c) VCO at 2×LO with ÷2: the rationale and the resolution (Ch5 §5.2.3 + Ch6)(c) VCO を 2×LO で走らせて ÷2：その理由と分解能（Ch5 §5.2.3 + Ch6）

已知/目標：Given / required:与えられた条件／求めるもの：VCO 跑 $2\times 5.32 = 10.64\,\text{GHz}$，經 ÷2 產生 5.32 GHz 的 I/Q LO；$f_\text{ref} = 40\,\text{MHz}$、20-bit fractional-N。說明兩個理由並算 carrier 端的 frequency resolution。 the VCO runs at $2\times 5.32 = 10.64\,\text{GHz}$ and a ÷2 produces the 5.32 GHz I/Q LO; $f_\text{ref} = 40\,\text{MHz}$, 20-bit fractional-N. Give the two reasons and compute the frequency resolution at the carrier.VCO は $2\times 5.32 = 10.64\,\text{GHz}$ で動作し、÷2 によって 5.32 GHz の I/Q LO を得る；$f_\text{ref} = 40\,\text{MHz}$、20-bit fractional-N。二つの理由を述べ、carrier での周波数分解能を計算せよ。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：fractional-N 輸出（Ch5 §5.2.3）：$f_{VCO} = \left(N + \dfrac{F}{2^{20}}\right) f_\text{ref}$，最小步階 $\Delta f_{VCO} = f_\text{ref}/2^{20}$；除二後 carrier 步階再減半。兩個理由： the fractional-N output (Ch5 §5.2.3): $f_{VCO} = \left(N + \dfrac{F}{2^{20}}\right) f_\text{ref}$, with a minimum step of $\Delta f_{VCO} = f_\text{ref}/2^{20}$; after the divide-by-two the carrier step halves again. The two reasons:fractional-N の出力（Ch5 §5.2.3）：$f_{VCO} = \left(N + \dfrac{F}{2^{20}}\right) f_\text{ref}$、最小ステップは $\Delta f_{VCO} = f_\text{ref}/2^{20}$；÷2 のあと carrier のステップはさらに半分になる。二つの理由：

• Ch6：Ch6:Ch6：VCO 在 $2f_{LO}$，晶片上沒有任何振盪器跑在 RX/PA 頻率 — LO self-mixing 造成的 DC offset 與 PA/blocker 對 VCO 的 injection pulling 同時被打斷（沒有強訊號正好坐在 VCO 自己的頻率上）。 with the VCO at $2f_{LO}$, no oscillator on the chip runs at the RX/PA frequency — both the DC offset from LO self-mixing and injection pulling of the VCO by the PA or a blocker are broken at once (no strong signal sits exactly at the VCO's own frequency).VCO を $2f_{LO}$ に置けば、チップ上のどの発振器も RX/PA の周波数では動かない — LO self-mixing による DC offset も、PA や blocker による VCO の injection pulling も同時に断ち切られる（VCO 自身の周波数にちょうど乗る強い信号が存在しない）。
• Ch5/Ch4：Ch5/Ch4:Ch5/Ch4：÷2 flip-flop divider 天生輸出 50% duty、精準相差 90° 的 I/Q — 正是 (a) 的 quadrature mixer 需要的精度，比 RC–CR 移相網路（只在單點頻率準）好得多。 a ÷2 flip-flop divider inherently produces a 50% duty cycle and a precise 90° I/Q phase difference — exactly the accuracy the quadrature mixer of part (a) needs, and far better than an RC–CR phase-shift network (which is only accurate at a single frequency).÷2 の flip-flop 分周器は、本質的にデューティ 50%、位相差ちょうど 90° の I/Q を生む — まさに (a) の quadrature mixer が必要とする精度であり、単一周波数でしか正確でない RC–CR 移相回路よりはるかに優れている。

逐步代入：Substituting step by step:段階的に代入：$\Delta f_{VCO} = \dfrac{40\times 10^6}{2^{20}} = \dfrac{4\times 10^7}{1{,}048{,}576} = 38.1\,\text{Hz}$；經 ÷2 後 carrier 步階 $= 38.1/2 = 19.07 \approx 19\,\text{Hz}$。$\Delta f_{VCO} = \dfrac{40\times 10^6}{2^{20}} = \dfrac{4\times 10^7}{1{,}048{,}576} = 38.1\,\text{Hz}$; after the ÷2 the carrier step is $= 38.1/2 = 19.07 \approx 19\,\text{Hz}$.$\Delta f_{VCO} = \dfrac{40\times 10^6}{2^{20}} = \dfrac{4\times 10^7}{1{,}048{,}576} = 38.1\,\text{Hz}$；÷2 のあと carrier のステップは $= 38.1/2 = 19.07 \approx 19\,\text{Hz}$ となる。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的な解釈：WLAN 的 channel raster 是 5 MHz，19 Hz 的解析度看似浪費 — 但 fractional-N 的細步階真正的用途是補償 crystal 的 ppm 偏移（40 MHz 晶振 ±20 ppm 即 ±106 kHz at 5.32 GHz），讓 LO 能數位微調對準對方的 carrier（Ch5 §5.2.3）。 the WLAN channel raster is 5 MHz, so 19 Hz of resolution looks wasteful — but the real purpose of fractional-N's fine step is to compensate the crystal's ppm error (±20 ppm on a 40 MHz crystal is ±106 kHz at 5.32 GHz), letting the LO be trimmed digitally onto the other end's carrier (Ch5 §5.2.3).WLAN のチャネルラスタは 5 MHz なので、19 Hz の分解能は一見むだに見える — しかし fractional-N の細かいステップの本当の用途は、水晶の ppm 誤差を補償することにある（40 MHz 水晶の ±20 ppm は 5.32 GHz で ±106 kHz）。これにより LO をデジタルに微調整して相手側の carrier に合わせ込める（Ch5 §5.2.3）。

(d) Reciprocal mixing at 20 MHz offset（Ch5 §5.1.10）(d) Reciprocal mixing at 20 MHz offset (Ch5 §5.1.10)(d) 20 MHz offset での reciprocal mixing（Ch5 §5.1.10）

已知/目標：Given / required:与えられた条件／求めるもの：adjacent blocker $I = -62\,\text{dBm}$ at 20 MHz offset、desired $C = -82\,\text{dBm}$、required SNR = 20 dB、$B = 20\,\text{MHz}$。求 LO 在 20 MHz offset 的 phase-noise 上限。 an adjacent blocker $I = -62\,\text{dBm}$ at 20 MHz offset, desired $C = -82\,\text{dBm}$, required SNR = 20 dB, $B = 20\,\text{MHz}$. Find the upper limit on the LO phase noise at 20 MHz offset.20 MHz offset に隣接 blocker $I = -62\,\text{dBm}$、desired $C = -82\,\text{dBm}$、required SNR = 20 dB、$B = 20\,\text{MHz}$。20 MHz offset における LO の phase noise の上限を求めよ。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：同 X.1(c) 的 reciprocal-mixing budget（Ch5 §5.1.10）： the same reciprocal-mixing budget as in X.1(c) (Ch5 §5.1.10):X.1(c) と同じ reciprocal-mixing budget（Ch5 §5.1.10）：

$$\mathcal{L}(\Delta f) \leq C - SNR_{req} - I - 10\log B$$

逐步代入：Substituting step by step:段階的に代入：$10\log B = 10\log(2\times 10^7) = 73.0\,\text{dB}$。代入：$10\log B = 10\log(2\times 10^7) = 73.0\,\text{dB}$. Substituting:$10\log B = 10\log(2\times 10^7) = 73.0\,\text{dB}$。代入すると：

$$\mathcal{L}(20\,\text{MHz}) \leq -82 - 20 - (-62) - 73 = -82 - 20 + 62 - 73 = -113\,\text{dBc/Hz}$$

物理詮釋：Physical interpretation:物理的な解釈：20 MHz offset 已落在 VCO 的 $1/f^2$ 區尾端甚至 noise floor — 對 LC VCO 很輕鬆（對照 Ch5 Leeson 估計：935 MHz 振盪器在 600 kHz 約 −140 dBc/Hz；升到 5.3 GHz 的 $20\log(f_0)$ 罰分約 +15 dB，再加上 offset 大了 33 倍、$1/f^2$ 又賺回 30 dB）。注意對比：X.1 在 600 kHz 要 −118、這裡在 20 MHz 只要 −113 — offset 越遠、blocker 相對越弱，spec 越鬆。 a 20 MHz offset is already at the tail of the VCO's $1/f^2$ region, if not on its noise floor — easy for an LC VCO. (Compare the Leeson estimate in Ch5: a 935 MHz oscillator gives about −140 dBc/Hz at 600 kHz; moving up to 5.3 GHz costs about +15 dB through the $20\log(f_0)$ penalty, while the 33× larger offset wins back 30 dB through $1/f^2$.) Note the contrast: X.1 demanded −118 at 600 kHz, whereas here only −113 is needed at 20 MHz — the further out the offset and the weaker the blocker relatively, the looser the spec.20 MHz offset はすでに VCO の $1/f^2$ 領域の裾、あるいは雑音フロアに達している — LC VCO には容易な要求である（Ch5 の Leeson の見積もりと比較すると、935 MHz の発振器は 600 kHz で約 −140 dBc/Hz；5.3 GHz へ上げると $20\log(f_0)$ の罰で約 +15 dB 悪化するが、offset が 33 倍遠いぶん $1/f^2$ で 30 dB を取り戻す）。対比に注目したい：X.1 では 600 kHz で −118 が要求されたのに、ここでは 20 MHz で −113 で足りる — offset が遠く、blocker が相対的に弱いほど、仕様は緩くなる。

(a) Reference spur 經 mixer 的轉換（Ch4 Topic 2 + Ch5 §5.2.2）(a) A reference spur converted through the mixer (Ch4 Topic 2 + Ch5 §5.2.2)(a) mixer を通って変換される reference spur（Ch4 Topic 2 + Ch5 §5.2.2）

已知/目標：Given / required:与えられた条件／求めるもの：integer-N PLL、$f_{PD} = 200\,\text{kHz}$ → reference spurs 在 $f_{LO} \pm 200\,\text{kHz}$、位準 −70 dBc；adjacent-channel interferer −33 dBm（恰在 $f_{RF} \pm 200\,\text{kHz}$）；desired $C = -99\,\text{dBm}$、required SIR = 9 dB。檢查 SIR 並反推所需 spur 位準。 an integer-N PLL with $f_{PD} = 200\,\text{kHz}$ → reference spurs at $f_{LO} \pm 200\,\text{kHz}$ at −70 dBc; an adjacent-channel interferer at −33 dBm (exactly at $f_{RF} \pm 200\,\text{kHz}$); desired $C = -99\,\text{dBm}$, required SIR = 9 dB. Check the SIR and work back to the spur level needed.$f_{PD} = 200\,\text{kHz}$ の integer-N PLL → reference spur が $f_{LO} \pm 200\,\text{kHz}$ に −70 dBc で立つ；隣接チャネル干渉波は −33 dBm（ちょうど $f_{RF} \pm 200\,\text{kHz}$）；desired $C = -99\,\text{dBm}$、required SIR = 9 dB。SIR を確認し、必要な spur レベルを逆算せよ。

公式與來源：Ch4 Topic 2 — 混頻 = 訊號頻譜與整個 LO 頻譜的 convolution：LO 上每一根 spur 都是一個縮小 −70 dBc 的迷你 LO，各自做一次 down-conversion。spur 與主 LO 差 200 kHz，恰好把差 200 kHz 的 adjacent interferer 搬到同一個 71 MHz IF：Formulas and sources: Ch4 Topic 2 — mixing is the convolution of the signal spectrum with the entire LO spectrum: every spur on the LO is a miniature LO scaled down by −70 dBc, each performing its own down-conversion. The spur is 200 kHz from the main LO, which is exactly what it takes to move an adjacent interferer 200 kHz away onto the same 71 MHz IF:公式と出典：Ch4 Topic 2 — 混合とは信号スペクトルと LO スペクトル全体 との畳み込みである：LO 上のどの spur も −70 dBc に縮んだ小さな LO であり、それぞれが独自に down-conversion を行う。spur は主 LO から 200 kHz 離れており、これはちょうど 200 kHz 離れた隣接干渉波を同じ 71 MHz の IF に運ぶのに必要な間隔である：

$$P_\text{interf@IF (input-referred)} = P_\text{int} + S_\text{spur}\,\text{(dBc)}, \qquad SIR = C - P_\text{interf}$$

逐步代入：converted interference $= -33 + (-70) = -103\,\text{dBm}$（input-referred，與 desired 同參考面，鏈路增益對兩者相同、比較時消去）。$SIR = -99 - (-103) = 4\,\text{dB} < 9\,\text{dB}$ → fails，差 5 dB。反推：要求 interference $\leq -99 - 9 = -108\,\text{dBm}$，故 spur $\leq -108 - (-33) = -75\,\text{dBc}$。Substituting step by step: converted interference $= -33 + (-70) = -103\,\text{dBm}$ (input-referred, at the same reference plane as the desired signal; the line-up gain is the same for both and cancels in the comparison). $SIR = -99 - (-103) = 4\,\text{dB} < 9\,\text{dB}$ → fails, short by 5 dB. Working backwards: the interference must be $\leq -99 - 9 = -108\,\text{dBm}$, so the spur must be $\leq -108 - (-33) = -75\,\text{dBc}$.段階的に代入：変換された干渉は $= -33 + (-70) = -103\,\text{dBm}$（入力換算、desired と同じ基準面。系統利得は両者に等しく、比較では相殺される）。$SIR = -99 - (-103) = 4\,\text{dB} < 9\,\text{dB}$ → fails、5 dB 不足である。逆算すると、干渉は $\leq -99 - 9 = -108\,\text{dBm}$ でなければならないので、spur は $\leq -108 - (-33) = -75\,\text{dBc}$ である必要がある。

物理詮釋：integer-N 的宿命：channel spacing = $f_{PD}$ = 200 kHz，所以 reference spur 永遠正好對準相鄰通道 — spur 頻率與最危險的干擾源天生重合。−75 dBc 要靠 charge-pump up/down 電流匹配、降低 PD 漏電、或在 loop filter 加一級額外極點來達成（Ch5 §5.2.2）。Physical interpretation: this is the curse of integer-N: the channel spacing equals $f_{PD}$ = 200 kHz, so the reference spur always lands exactly on the adjacent channel — the spur frequency inherently coincides with the most dangerous interferer. Reaching −75 dBc takes matched charge-pump up/down currents, reduced PD leakage, or an extra pole in the loop filter (Ch5 §5.2.2).物理的な解釈：これが integer-N の宿命である：チャネル間隔が $f_{PD}$ = 200 kHz に等しいため、reference spur は必ず隣接チャネルのちょうど上に落ちる — spur の周波数が、最も危険な干渉源と本質的に一致してしまう。−75 dBc を達成するには、charge pump の up/down 電流の整合、PD 漏れ電流の低減、あるいは loop filter への極の追加が必要になる（Ch5 §5.2.2）。

(b) LO 3rd harmonic 的雜散響應（Ch4 + Ch6 §6.2）(b) Spurious response of the LO 3rd harmonic (Ch4 + Ch6 §6.2)(b) LO 三次高調波による spurious response（Ch4 + Ch6 §6.2）

已知/目標：Given / required:与えられた条件／求めるもの：LO 3rd harmonic = −10 dBc（square-ish drive）；out-of-band blocker −40 dBm 在 ≈3 GHz。求會被搬到 IF 的 RF 頻率，與所需的 preselector 衰減 $A_\text{presel}$。 the LO 3rd harmonic is at −10 dBc (square-ish drive); an out-of-band blocker of −40 dBm sits at ≈3 GHz. Find the RF frequencies that get converted to the IF, and the preselector attenuation $A_\text{presel}$ required.LO の三次高調波は −10 dBc（ほぼ方形波駆動）；≈3 GHz に −40 dBm の帯域外 blocker がある。IF に変換されてしまう RF 周波数と、必要な preselector の減衰量 $A_\text{presel}$ を求めよ。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：3rd harmonic 在 $3f_{LO}$ 也是一根（弱 10 dB 的）LO 線，凡滿足 $|f - 3f_{LO}| = f_{IF}$ 的訊號都被搬到 IF： the 3rd harmonic at $3f_{LO}$ is also an LO line (just 10 dB weaker), and anything satisfying $|f - 3f_{LO}| = f_{IF}$ is moved onto the IF:$3f_{LO}$ にある三次高調波も（10 dB 弱いだけの）LO の線スペクトルであり、$|f - 3f_{LO}| = f_{IF}$ を満たす信号はすべて IF に運ばれる：

$$f_\text{spur-response} = 3f_{LO} \pm f_{IF}$$

逐步代入：Substituting step by step:段階的に代入：$3f_{LO} = 3\times 1013 = 3039\,\text{MHz}$；$f = 3039 - 71 = 2968\,\text{MHz}$ 與 $3039 + 71 = 3110\,\text{MHz}$，conversion 只比 fundamental 弱 10 dB。blocker −40 dBm 經此路徑的 input-referred 位準 $= -40 - 10 - A_\text{presel}$。沿用 (a) 的 −108 dBm 門檻：$3f_{LO} = 3\times 1013 = 3039\,\text{MHz}$; $f = 3039 - 71 = 2968\,\text{MHz}$ and $3039 + 71 = 3110\,\text{MHz}$, with a conversion only 10 dB weaker than the fundamental. Through this path a −40 dBm blocker has an input-referred level of $= -40 - 10 - A_\text{presel}$. Applying the −108 dBm threshold from part (a):$3f_{LO} = 3\times 1013 = 3039\,\text{MHz}$；$f = 3039 - 71 = 2968\,\text{MHz}$ と $3039 + 71 = 3110\,\text{MHz}$、その変換は基本波より 10 dB 弱いだけである。この経路を通る −40 dBm の blocker の入力換算レベルは $= -40 - 10 - A_\text{presel}$。(a) の −108 dBm というしきい値を当てはめると：

$$-40 - 10 - A_\text{presel} \leq -108 \;\Rightarrow\; A_\text{presel} \geq 108 - 50 = 58\,\text{dB at}\approx 3\,\text{GHz}$$

物理詮釋：58 dB 聽起來嚇人，但這些頻率離 900 MHz 通帶超過 2 GHz，SAW preselector 的 out-of-band rejection（>40 dB）加上 LNA 與 matching 的自然滾降綽綽有餘。Ch6 的觀點：mixer 的 spur table 和架構的濾波器是同一張預算表 — mixer 沒擋掉的，濾波器要先擋。Physical interpretation: 58 dB sounds alarming, but these frequencies are more than 2 GHz from the 900 MHz passband, so the SAW preselector's out-of-band rejection (>40 dB) plus the natural roll-off of the LNA and matching is more than enough. The Ch6 view: the mixer's spur table and the architecture's filters are one and the same budget — whatever the mixer fails to reject, the filter must block first.物理的な解釈：58 dB は一見おそろしいが、これらの周波数は 900 MHz の通過帯域から 2 GHz 以上離れており、SAW preselector の帯域外阻止（>40 dB）に LNA と整合回路の自然なロールオフが加われば十分すぎる。Ch6 の見方はこうだ：mixer の spur table とアーキテクチャのフィルタは同じ一枚の予算表である — mixer が阻止しきれないものは、フィルタが手前で止めなければならない。

(c) 換成 fractional-N 之後（Ch5 §5.2.3）(c) After switching to fractional-N (Ch5 §5.2.3)(c) fractional-N に切り替えたあと（Ch5 §5.2.3）

已知/目標：Given / required:与えられた条件／求めるもの：$f_{PD}$ 從 200 kHz 升到 26 MHz（fractional-N 讓 channel step 不再綁死 $f_{PD}$）。問 spur 情勢的得與失。$f_{PD}$ rises from 200 kHz to 26 MHz (fractional-N unshackles the channel step from $f_{PD}$). Discuss what is gained and lost in the spur situation.$f_{PD}$ が 200 kHz から 26 MHz へ上がる（fractional-N によってチャネルステップが $f_{PD}$ に縛られなくなる）。spur の状況で何を得て何を失うかを論ぜよ。

變好的：What gets better:良くなる点：reference spurs 移到 $f_{LO} \pm 26\,\text{MHz}$ —— (i) 遠在 channel raster 與鄰道干擾之外（200 kHz 柵格上 ±26 MHz 處早被 IF 濾波器處理）；(ii) loop BW ≪ 26 MHz，spur 在 loop 之外被 20–40 dB/dec 的閉環滾降重壓。另外 $f_{PD}$ 高 130 倍，in-band noise floor（reference + $20\log N$，Ch5 §5.2.3）也因 $N$ 縮小 130 倍（$20\log 130 \approx 42\,\text{dB}$ 潛在改善）而大幅變好。 the reference spurs move to $f_{LO} \pm 26\,\text{MHz}$ — (i) far outside the channel raster and adjacent-channel interference (on a 200 kHz grid, ±26 MHz is long since handled by the IF filter); (ii) the loop BW is ≪ 26 MHz, so the spur sits outside the loop and is heavily suppressed by the 20–40 dB/dec closed-loop roll-off. In addition, with $f_{PD}$ 130× higher, the in-band noise floor (reference + $20\log N$, Ch5 §5.2.3) improves greatly because $N$ shrinks by 130× (a potential $20\log 130 \approx 42\,\text{dB}$ improvement).reference spur が $f_{LO} \pm 26\,\text{MHz}$ に移る — (i) チャネルラスタと隣接チャネル干渉のはるか外側である（200 kHz グリッド上で ±26 MHz は、とうに IF フィルタが処理している）；(ii) loop BW は 26 MHz よりはるかに狭いので、spur はループの外にあり、20–40 dB/dec の閉ループロールオフで強く抑圧される。さらに $f_{PD}$ が 130 倍高くなることで、in-band の雑音フロア（reference + $20\log N$、Ch5 §5.2.3）も $N$ が 130 分の 1 に縮むため大きく改善する（潜在的に $20\log 130 \approx 42\,\text{dB}$ の改善）。

新的問題：ΔΣ modulator 的 quantization noise 與 fractional spurs 改出現在靠近 carrier 處（尤其分數值接近簡單分數時）— 解法是高階 MASH modulator（noise shaping 把能量推到高 offset 讓 loop filter 吃掉）、dithering 打散 idle tones、以及 loop bandwidth 的折衷選擇（Ch5 §5.2.3）。The new problems: the ΔΣ modulator's quantization noise and fractional spurs now appear close to the carrier (especially when the fractional value is near a simple fraction) — the remedies are a higher-order MASH modulator (noise shaping pushes the energy out to high offsets where the loop filter absorbs it), dithering to break up idle tones, and a judicious choice of loop bandwidth (Ch5 §5.2.3).新たに生じる問題：ΔΣ 変調器の量子化雑音と fractional spur が、今度はcarrier のすぐ近くに現れる（とくに分数値が単純な分数に近いとき）— 対策は高次の MASH 変調器（noise shaping でエネルギーを高い offset へ押しやり loop filter に吸わせる）、idle tone を崩すための dithering、そして loop bandwidth の慎重な選択である（Ch5 §5.2.3）。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的な解釈：fractional-N 不是消滅 spur，而是把 spur 從「固定在 ±$f_{PD}$、正中鄰道」搬到「靠近 carrier 但可被 noise-shaping 與 loop 設計管理」— 工程上後者好處理得多。 fractional-N does not eliminate spurs; it moves them from “pinned at ±$f_{PD}$, right on the adjacent channel” to “close to the carrier but manageable by noise shaping and loop design” — and the latter is far easier to engineer around.fractional-N は spur を消すのではなく、「±$f_{PD}$ に固定され、ちょうど隣接チャネル上にある」spur を「carrier に近いが noise shaping とループ設計で管理できる」spur へ移し替える — 工学的には後者のほうがはるかに扱いやすい。

(d) 同樣的 3rd harmonic 在 zero-IF 為何更糟（Ch6 §6.2 + Ch4 Topic 6）(d) Why the same 3rd harmonic is worse in zero-IF (Ch6 §6.2 + Ch4 Topic 6)(d) 同じ三次高調波が zero-IF でより厄介になる理由（Ch6 §6.2 + Ch4 Topic 6）

機制：zero-IF 用 switching mixer，LO 實質上是方波。方波的 Fourier 級數只有奇次諧波，第 $n$ 次的振幅是基波的 $1/n$：3rd harmonic 只比基波弱 $20\log 3 = 9.5\,\text{dB}$。落在 $3f_{LO}$ 附近的 blocker 被它直接搬到 baseband — 而 zero-IF 沒有 IF 濾波器可以救（heterodyne 至少還有固定 IF 的 SAW；這裡 baseband 就是最終訊號）。前面也只有寬鬆的 band-select filter，3rd-harmonic 響應若落在別的系統的發射頻段就完蛋。The mechanism: zero-IF uses a switching mixer, so the LO is essentially a square wave. A square wave's Fourier series contains only odd harmonics, the $n$-th having $1/n$ of the fundamental's amplitude: the 3rd harmonic is only $20\log 3 = 9.5\,\text{dB}$ below the fundamental. Any blocker near $3f_{LO}$ is moved by it straight down to baseband — and zero-IF has no IF filter to save it (a heterodyne at least has a SAW at a fixed IF; here baseband is the final signal). Ahead of it there is only a loose band-select filter, so if the 3rd-harmonic response lands in another system's transmit band, you are in trouble.メカニズム：zero-IF は switching mixer を使うので、LO は実質的に方形波である。方形波のフーリエ級数は奇数次高調波しか含まず、$n$ 次の振幅は基本波の $1/n$：三次高調波は基本波よりわずか $20\log 3 = 9.5\,\text{dB}$ 低いだけである。$3f_{LO}$ 付近の blocker はそれによってそのまま baseband へ運ばれる — しかも zero-IF には救ってくれる IF フィルタがない（heterodyne なら少なくとも固定 IF の SAW がある。ここでは baseband が最終的な信号そのものだ）。手前には緩い band-select filter しかないので、三次高調波応答が他システムの送信帯域に落ちれば手の打ちようがない。

解法：The remedy:対策：harmonic-rejection mixer — 用三路相位各差 45° 的方波 $s(t)$，以 $1:\sqrt{2}:1$ 加權相加： a harmonic-rejection mixer — three square waves $s(t)$ spaced 45° apart in phase, summed with $1:\sqrt{2}:1$ weights:harmonic-rejection mixer — 位相を 45° ずつずらした 3 本の方形波 $s(t)$ を、$1:\sqrt{2}:1$ の重みで加算する：

$$w(t) = s\!\left(t + \tfrac{T}{8}\right) + \sqrt{2}\,s(t) + s\!\left(t - \tfrac{T}{8}\right)$$

對第 $n$ 次諧波，三路的 phasor 和為 $\left(e^{jn\pi/4} + \sqrt{2} + e^{-jn\pi/4}\right) = \sqrt 2 + 2\cos(n\pi/4)$；$n = 3, 5$ 時 $\cos(n\pi/4) = -\tfrac{1}{\sqrt 2}$，和恰為零 — 合成的等效 LO 是「階梯狀正弦」，3rd/5th harmonics 全消，第一個殘存的是 7th（本身已弱 $20\log 7 \approx 17\,\text{dB}$）。for the $n$-th harmonic the phasor sum of the three paths is $\left(e^{jn\pi/4} + \sqrt{2} + e^{-jn\pi/4}\right) = \sqrt 2 + 2\cos(n\pi/4)$; for $n = 3, 5$, $\cos(n\pi/4) = -\tfrac{1}{\sqrt 2}$ and the sum is exactly zero — the synthesised effective LO is a “staircase sinusoid”, the 3rd and 5th harmonics vanish entirely, and the first survivor is the 7th (itself already $20\log 7 \approx 17\,\text{dB}$ down).$n$ 次高調波について 3 経路のフェーザ和は $\left(e^{jn\pi/4} + \sqrt{2} + e^{-jn\pi/4}\right) = \sqrt 2 + 2\cos(n\pi/4)$ となる；$n = 3, 5$ では $\cos(n\pi/4) = -\tfrac{1}{\sqrt 2}$ なので和はちょうど零になる — 合成された等価 LO は「階段状の正弦波」であり、三次と五次の高調波は完全に消え、最初に生き残るのは七次（それ自体すでに $20\log 7 \approx 17\,\text{dB}$ 低い）である。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的な解釈：這是 Ch4 的 balancing 哲學（靠對稱性抵消、而非靠濾波）解 Ch6 的架構難題：濾不掉的，就讓它在電路裡自己相消。實務上 $1:\sqrt 2:1$ 的增益匹配精度決定殘餘的 3rd-harmonic rejection（典型 30–40 dB）。 this is Ch4's balancing philosophy (cancel by symmetry rather than filter) solving a Ch6 architectural problem: what cannot be filtered out is made to cancel itself inside the circuit. In practice the gain-matching accuracy of the $1:\sqrt 2:1$ weights sets the residual 3rd-harmonic rejection (typically 30–40 dB).これは Ch4 のバランス思想（フィルタではなく対称性で打ち消す）で Ch6 のアーキテクチャ上の難題を解く例である：濾せないものは、回路の中で自分自身に打ち消させる。実際には $1:\sqrt 2:1$ という重みの利得整合精度が、残留する三次高調波抑圧量（典型的に 30–40 dB）を決める。

(a) SSB up-mixer 的 sideband suppression（Ch4 Topic 6 + Ch6 §6.3）(a) Sideband suppression of an SSB up-mixer (Ch4 Topic 6 + Ch6 §6.3)(a) SSB up-mixer の sideband suppression（Ch4 Topic 6 + Ch6 §6.3）

已知/目標：Given / required:与えられた条件／求めるもの：direct-conversion 的 I/Q 匹配 0.5 dB / 3°；sideband-suppression spec −40 dBc。求 unwanted sideband 位準；再算兩步式（100 MHz IF、0.1 dB / 1°）的情況。 direct-conversion I/Q matching of 0.5 dB / 3°; the sideband-suppression spec is −40 dBc. Find the unwanted-sideband level, then repeat for a two-step design (100 MHz IF, 0.1 dB / 1°).direct-conversion の I/Q 整合は 0.5 dB / 3°；sideband-suppression の仕様は −40 dBc。不要側波帯のレベルを求め、次に二段式（100 MHz IF、0.1 dB / 1°）の場合を計算せよ。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：SSB modulator 是 image-reject mixer 的反向應用 — unwanted sideband 就是「發射出去的 image」，同一條 Ch4 Topic 6 公式： an SSB modulator is an image-reject mixer run in reverse — the unwanted sideband is the “transmitted image”, governed by the same Ch4 Topic 6 formula:SSB 変調器は image-reject mixer を逆向きに使ったものであり、不要側波帯とは「送信されてしまう image」にほかならない。したがって Ch4 Topic 6 と同じ式が支配する：

$$\frac{P_{SB}}{P_{sig}} = \frac{\varepsilon^2 + \theta^2}{4}, \qquad \varepsilon = 10^{\Delta A_{dB}/20} - 1, \quad \theta\,\text{in rad}$$

逐步代入（direct，0.5 dB / 3°）：Substituting step by step (direct, 0.5 dB / 3°):段階的に代入（direct、0.5 dB / 3°）：

• $\varepsilon = 10^{0.5/20} - 1 = 10^{0.025} - 1 = 1.0593 - 1 = 0.0593$ → $\varepsilon^2 = 3.52\times 10^{-3}$
• $\theta = 3° \times \dfrac{\pi}{180°} = 0.0524\,\text{rad}$ → $\theta^2 = 2.74\times 10^{-3}$

$$\text{Sideband} = 10\log\frac{3.52\times 10^{-3} + 2.74\times 10^{-3}}{4} = 10\log(1.57\times 10^{-3}) = -28\,\text{dBc} \;\Rightarrow\; \textbf{fails −40 dBc by 12 dB}$$

逐步代入（two-step，100 MHz IF、0.1 dB / 1°）：Substituting step by step (two-step, 100 MHz IF, 0.1 dB / 1°):段階的に代入（two-step、100 MHz IF、0.1 dB / 1°）：$\varepsilon = 10^{0.1/20} - 1 = 0.0116$ → $\varepsilon^2 = 1.34\times 10^{-4}$；$\theta = 1° = 0.0175\,\text{rad}$ → $\theta^2 = 3.05\times 10^{-4}$：$\varepsilon = 10^{0.1/20} - 1 = 0.0116$ → $\varepsilon^2 = 1.34\times 10^{-4}$; $\theta = 1° = 0.0175\,\text{rad}$ → $\theta^2 = 3.05\times 10^{-4}$:$\varepsilon = 10^{0.1/20} - 1 = 0.0116$ → $\varepsilon^2 = 1.34\times 10^{-4}$；$\theta = 1° = 0.0175\,\text{rad}$ → $\theta^2 = 3.05\times 10^{-4}$：

$$10\log\frac{1.34\times 10^{-4} + 3.05\times 10^{-4}}{4} = 10\log(1.10\times 10^{-4}) = -39.6\,\text{dBc} \approx -40\,\text{dBc} \;✓$$

物理詮釋：Physical interpretation:物理的な解釈：1.95 GHz 直調時 0.5 dB / 3° 是合理的類比能力，但只給 −28 dBc；在 100 MHz IF 上做 quadrature（元件大、波長長、寄生小）能輕鬆做到 0.1 dB / 1°，達標還剩零頭。兩步式 TX 的存在理由就是「把對匹配最敏感的那一步，搬到匹配最容易的頻率去做」，代價是多一次 up-conversion 與一顆 IF 濾波器。 0.5 dB / 3° is a reasonable analogue capability for direct modulation at 1.95 GHz, but it only buys −28 dBc; performing the quadrature operation at a 100 MHz IF (large components, long wavelengths, small parasitics) easily reaches 0.1 dB / 1° and meets the spec with margin to spare. The whole point of a two-step TX is “move the step that is most sensitive to matching to the frequency where matching is easiest”, at the cost of an extra up-conversion and an IF filter.1.95 GHz での直接変調において 0.5 dB / 3° は妥当なアナログ性能だが、それでは −28 dBc しか得られない。直交操作を 100 MHz の IF で行えば（素子が大きく、波長が長く、寄生が小さい）0.1 dB / 1° は容易に達成でき、余裕をもって仕様を満たす。二段式 TX が存在する理由はまさに「整合に最も敏感な段を、整合が最も容易な周波数へ移す」ことにあり、その代償が一段余分な up-conversion と IF フィルタである。

(b) Carrier feedthrough（Ch6 §6.3）(b) Carrier feedthrough (Ch6 §6.3)(b) Carrier feedthrough（Ch6 §6.3）

已知/目標：Given / required:与えられた条件／求めるもの：baseband 訊號振幅 400 mV、DAC offset 4 mV；carrier-feedthrough spec −45 dBc。檢查並反推允許的 offset。 a baseband signal amplitude of 400 mV with a DAC offset of 4 mV; the carrier-feedthrough spec is −45 dBc. Check it and work back to the offset allowed.baseband 信号の振幅は 400 mV、DAC の offset は 4 mV；carrier-feedthrough の仕様は −45 dBc。これを確認し、許容される offset を逆算せよ。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：baseband 的 DC offset $V_{os}$ 與 LO 直接相乘，在 carrier 正中央產生一根未調變的 LO 線（Ch6 §6.3）： the baseband DC offset $V_{os}$ multiplies directly with the LO, producing an unmodulated LO line right at the centre of the carrier (Ch6 §6.3):baseband の DC offset $V_{os}$ が LO とそのまま乗算され、carrier のちょうど中心に無変調の LO 線スペクトルを生じる（Ch6 §6.3）：

$$\text{Feedthrough} = 20\log\frac{V_{os}}{V_{sig}}$$

逐步代入：Substituting step by step:段階的に代入：$20\log(4/400) = 20\log(0.01) = -40\,\text{dBc}$ → fails −45 dBc by 5 dB。反推允許值：$V_{os} \leq 400\,\text{mV} \times 10^{-45/20} = 400 \times 5.62\times 10^{-3} = 2.2\,\text{mV}$。. Working back to the allowed value: $V_{os} \leq 400\,\text{mV} \times 10^{-45/20} = 400 \times 5.62\times 10^{-3} = 2.2\,\text{mV}$.。許容値を逆算すると：$V_{os} \leq 400\,\text{mV} \times 10^{-45/20} = 400 \times 5.62\times 10^{-3} = 2.2\,\text{mV}$。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的な解釈：carrier feedthrough 落在頻譜正中央，濾波器無能為力（它就在訊號帶內），只能在源頭消除：開機時做 DC-offset calibration（量 PA 輸出的 carrier 殘量、回調 DAC 的數位 offset），把 4 mV 修到 2.2 mV 以下。對 QAM 而言它等效於 constellation 原點的偏移，直接吃 EVM。 carrier feedthrough sits dead centre in the spectrum, where a filter is powerless (it is inside the signal band); it can only be removed at source: run a DC-offset calibration at power-up (measure the residual carrier at the PA output and trim the DAC's digital offset back), bringing 4 mV below 2.2 mV. For QAM it is equivalent to a shift of the constellation origin, and it eats directly into EVM.carrier feedthrough はスペクトルのど真ん中に立つため、フィルタは無力である（信号帯域の内側にある）。取り除けるのは発生源だけだ：電源投入時に DC-offset 校正を走らせ（PA 出力の残留キャリアを測って DAC のデジタル offset を戻す）、4 mV を 2.2 mV 以下に追い込む。QAM にとってこれはコンスタレーション原点のずれに等しく、EVM を直接食う。

(c) LO plan：VCO at 2f_c + ÷2（Ch5 §5.2 + Ch6 §6.3）(c) LO plan: VCO at 2f_c with ÷2 (Ch5 §5.2 + Ch6 §6.3)(c) LO プラン：VCO を 2f_c で走らせて ÷2（Ch5 §5.2 + Ch6 §6.3）

已知/目標：Given / required:与えられた条件／求めるもの：$f_c = 1.95\,\text{GHz}$、PA 輸出 +27 dBm。VCO 跑 $2f_c = 3.90\,\text{GHz}$ 經 ÷2。問此安排買到什麼、剩下什麼 pulling 路徑。$f_c = 1.95\,\text{GHz}$ with a PA output of +27 dBm. The VCO runs at $2f_c = 3.90\,\text{GHz}$ followed by a ÷2. What does this arrangement buy, and what pulling paths remain?$f_c = 1.95\,\text{GHz}$、PA 出力は +27 dBm。VCO は $2f_c = 3.90\,\text{GHz}$ で動作し、その後 ÷2 する。この構成で何が得られ、どの pulling 経路が残るか。

買到的兩件事：Two things it buys:得られる二つのこと：

• Ch5 divider trick：the Ch5 divider trick:Ch5 の分周器の妙技：÷2 flip-flop 給出精準 90° 的 1.95 GHz I/Q LO 對 — 正是 (a) 的 SSB modulator 需要的 quadrature，且不靠 RC–CR 網路。 a ÷2 flip-flop yields a precisely 90° 1.95 GHz I/Q LO pair — exactly the quadrature the SSB modulator of part (a) needs, and without relying on an RC–CR network.÷2 の flip-flop はちょうど 90° の 1.95 GHz I/Q LO 対を生む — まさに (a) の SSB 変調器が必要とする直交信号であり、しかも RC–CR 回路網に頼らない。
• Ch6 §6.3：VCO 不再跑在 PA 頻率上 — +27 dBm 的 PA 輸出對 3.90 GHz 的 VCO 而言是帶外訊號，fundamental injection pulling 被打斷（受調變的 PA 頻譜不再坐在 VCO 的自然頻率上拉它）。Ch6 §6.3: the VCO no longer runs at the PA frequency — to a 3.90 GHz VCO, the +27 dBm PA output is an out-of-band signal, so fundamental injection pulling is broken(the modulated PA spectrum no longer sits on the VCO's natural frequency and pulls it).Ch6 §6.3：VCO はもはや PA の周波数では動作しない — 3.90 GHz の VCO から見れば +27 dBm の PA 出力は帯域外信号であり、基本波の injection pulling は断ち切られる（変調された PA のスペクトルが VCO の自然周波数に乗って引っ張ることがなくなる）。

殘餘路徑：PA 的 2nd harmonic 在 $2\times 1.95 = 3.90\,\text{GHz}$，正好落在 VCO 上 — PA 諧波濾波、layout 隔離、package 接地仍然關鍵。更徹底的解法是 offset-LO：用 $\tfrac{2}{3}f_c = 1.30\,\text{GHz}$ 與 $\tfrac{1}{3}f_c = 0.65\,\text{GHz}$ 兩個 LO 混出 $1.30 + 0.65 = 1.95\,\text{GHz}$，任何振盪器都不與 PA 成整數諧波關係。The residual path: the PA's 2nd harmonic at $2\times 1.95 = 3.90\,\text{GHz}$ lands right on the VCO — PA harmonic filtering, layout isolation and package grounding all remain critical. A more thorough fix is an offset LO: mix two LOs at $\tfrac{2}{3}f_c = 1.30\,\text{GHz}$ and $\tfrac{1}{3}f_c = 0.65\,\text{GHz}$ to get $1.30 + 0.65 = 1.95\,\text{GHz}$, so that no oscillator bears an integer-harmonic relationship to the PA.残る経路：PA の 二次高調波は $2\times 1.95 = 3.90\,\text{GHz}$ にあり、ちょうど VCO の上に落ちる — PA の高調波フィルタリング、レイアウトの分離、パッケージの接地はいずれも依然として重要である。より徹底した解決策は offset-LO である：$\tfrac{2}{3}f_c = 1.30\,\text{GHz}$ と $\tfrac{1}{3}f_c = 0.65\,\text{GHz}$ の二つの LO を混合して $1.30 + 0.65 = 1.95\,\text{GHz}$ を得れば、どの発振器も PA と整数調波の関係を持たなくなる。

物理詮釋：Physical interpretation:物理的な解釈：injection pulling 是「強訊號坐在振盪器自然頻率附近就能拖走它」的 Ch5 物理；架構設計的任務（Ch6）是用頻率規劃保證「沒有任何強訊號（含其諧波）落在任何振盪器上」— 2× VCO 只擋了基波，諧波路徑要另外算。 injection pulling is the Ch5 physics that “a strong signal near an oscillator's natural frequency can drag it along”; the job of architectural design (Ch6) is to use frequency planning to guarantee that “no strong signal — including its harmonics — lands on any oscillator”. Putting the VCO at 2× only blocks the fundamental; the harmonic paths must be accounted for separately.injection pulling は「発振器の自然周波数の近くに強い信号があると、それに引きずられる」という Ch5 の物理である。アーキテクチャ設計（Ch6）の仕事は、周波数プランによって「どの強い信号も（その高調波も含めて）どの発振器の上にも落ちない」ことを保証することだ。VCO を 2× に置いても防げるのは基本波だけで、高調波の経路は別に勘定しなければならない。

(d) RX-band noise：FDD 自我 desense（Ch5 §5.1.8–5.1.9 + Ch6 §6.3）(d) RX-band noise: FDD self-desense (Ch5 §5.1.8–5.1.9 + Ch6 §6.3)(d) RX 帯域の雑音：FDD の自己 desense（Ch5 §5.1.8–5.1.9 + Ch6 §6.3）

已知/目標：Given / required:与えられた条件／求めるもの：PA 輸出 +27 dBm；duplex spacing 190 MHz；duplexer TX→RX isolation 50 dB；允許 TX 雜訊到 LNA 輸入 ≤ −174 dBm/Hz（即不超過熱雜訊地板）。求 PA 輸出端在 190 MHz offset 的 noise floor 上限。 a PA output of +27 dBm; 190 MHz duplex spacing; 50 dB of TX→RX duplexer isolation; the TX noise reaching the LNA input must be ≤ −174 dBm/Hz (i.e. no more than the thermal noise floor). Find the upper limit on the noise floor at the PA output at 190 MHz offset.PA 出力は +27 dBm；duplex 間隔は 190 MHz；duplexer の TX→RX 分離は 50 dB；LNA 入力に届く TX 雑音は ≤ −174 dBm/Hz（すなわち熱雑音フロアを超えないこと）。190 MHz offset における PA 出力端の雑音フロアの上限を求めよ。

公式與來源：Formulas and sources:公式と出典：TX 的寬帶雜訊裙擺延伸到自己 RX band（offset = duplex spacing），經 duplexer 的有限隔離漏進 LNA： the TX's broadband noise skirt extends into its own RX band (offset = duplex spacing) and leaks into the LNA through the duplexer's finite isolation:TX の広帯域雑音の裾は自分自身の RX 帯域（offset = duplex 間隔）まで伸び、duplexer の有限な分離を通って LNA に漏れ込む：

$$P_{PA} + \mathcal{L}(190\,\text{MHz}) - \text{Isolation} \leq -174\,\text{dBm/Hz}$$

逐步代入：Substituting step by step:段階的に代入：$\mathcal{L}(190\,\text{MHz}) \leq -174 - 27 + 50 = -151\,\text{dBc/Hz}$。$\mathcal{L}(190\,\text{MHz}) \leq -174 - 27 + 50 = -151\,\text{dBc/Hz}$.$\mathcal{L}(190\,\text{MHz}) \leq -174 - 27 + 50 = -151\,\text{dBc/Hz}$。

物理詮釋：190 MHz offset 遠超任何 loop bandwidth 與 $1/f^2$ 區 — 這裡比的不是 resonator Q，而是 LO buffer、modulator、PA 整條鏈的白雜訊地板（Leeson 的 $F k T / 2 P_{sig}$ 項：要壓地板就要燒功率、降 buffer NF）。−151 dBc/Hz 是 FDD radio 公認最難的 spec 之一；鏈路達不到時，就在 PA 與 duplexer 之間插一顆 TX-band SAW 補足 RX-band rejection — 又一次「架構救電路」（Ch6）。Physical interpretation: a 190 MHz offset is far beyond any loop bandwidth and well outside the $1/f^2$ region — what matters here is not resonator Q but the white noise floor of the whole chain: LO buffer, modulator and PA (the $F k T / 2 P_{sig}$ term of Leeson's equation — pushing the floor down means burning power and lowering the buffer NF). −151 dBc/Hz is widely regarded as one of the hardest specs in an FDD radio; when the chain cannot meet it, a TX-band SAW is inserted between the PA and the duplexer to make up the RX-band rejection — once again “the architecture rescues the circuit” (Ch6).物理的な解釈：190 MHz offset はいかなるループ帯域よりもはるかに遠く、$1/f^2$ 領域の外でもある — ここで効くのは共振器の Q ではなく、LO buffer・変調器・PA を含む鎖全体の白色雑音フロアである（Leeson の式の $F k T / 2 P_{sig}$ 項：フロアを下げたければ電力を焚き、buffer の NF を下げるしかない）。−151 dBc/Hz は FDD 無線で最も難しい仕様のひとつとして知られており、鎖がこれを満たせない場合は PA と duplexer の間に TX 帯域の SAW を挿入して RX 帯域の阻止量を補う — ここでもまた「アーキテクチャが回路を救う」のである（Ch6）。